信号与系统傅里叶变换对照表

欧阳歌谷创编 2021年2月1
欧阳歌谷创编 2021年2月1
常用信号的傅立叶变换表

欧阳歌谷
（2021.02.01）
名称

时间信号 频谱函数

单边指数脉冲
矩形脉冲
三角脉冲
单个余弦脉冲
抽样脉冲
冲激函数
阶跃函数

斜变函数

符号函数
直流
冲激序列
欧阳歌谷创编 2021年2月1
欧阳歌谷创编 2021年2月1
余弦函数
正弦函数

调幅余弦函数

常用信号的傅里叶变换
傅里叶变换是一种常用的信号分析工具，通过将信号分解成一系列正弦和余弦函数的叠加，可以帮助我们更好地理解信号的频率特性。

以下是一些常见信号的傅里叶变换：
1. 正弦信号：由单一频率的正弦波组成，傅里叶变换为两个脉冲，分别在正弦频率和负正弦频率处。

2. 方波信号：由多个正弦波组成，傅里叶变换为一系列频率为
奇数倍基频的正弦波。

3. 三角波信号：同样由多个正弦波组成，但相比于方波信号，
频率成倍数递增。

傅里叶变换为一系列频率为奇数倍基频的正弦波，且振幅递减。

4. 噪声信号：由多个随机频率的波形组成，傅里叶变换为连续
分布的频率成分。

通过傅里叶变换，我们可以将信号在频域上展开，进而进行滤波、频率分析等操作，为信号处理和通信系统的设计提供了有力的工具。

- 1 -。

信号与系统公式性质一览表1连续傅里叶变换⎰⎰∞∞-∞∞--==ωωπωωωd e j F t f dtet f j F t j tj )(21)()()(2连续拉普拉斯变换(单边) ⎰⎰∞+∞-∞-==-j j st stds e s F jt f dte tf s F σσπ)(21)()()(03离散Z 变换(单边) ⎰∑≥==-∞=-Lk k kk dz z z F j k f z k f z F 0,)(21)()()(10π4离散傅里叶变换⎰∑==∞-∞=-πθθθθθπ2)(21)()()(d e eF k f e k f e F k j j k kj j 线性 )()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+线性 )()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+线性 )()()()(2121θθj j e bF e aF k bf k af +↔+时移)()(00ωωj F e t t f t j ±↔± 时移)()(00s F e t t f st ±↔± 时移)()(z F z m k f m ±↔±（双边）时移)()(θθj m j e F e m k f ±↔±频移 ))(()(00ωωω j F t f e t j ↔±频移 )()(00s s F t f e t s ↔±频移 )()(00z e F k f e j k j ωω ↔±（尺度变换）频移 )()()(00θθθ j jk e F k f e ↔±尺度 变换 )(||1)(aj F e a b at f a bj ωω↔+尺度 变换 )(||1)(asF e a b at f s a b↔+尺度 变换 )()(azF k f a k ↔尺度 变换 )(0)/()()(θjn n e F n k f k f ↔⎩⎨⎧=反转 )()(ωj F t f -↔- 反转 )()(s F t f -↔- 反转 )()(1-↔-z F k f （仅限双边） 反转 )()(θj e F k f -↔-时域 卷积 )()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔时域 卷积)()()(*)(2121s F s F t f t f ↔时域 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→∞+=为真分式初值)(lim )(z F z M f M z ∞→=（右边信号）,)()([lim )1(1M zf z F z M f M z -=++∞→帕斯 瓦尔⎰⎰∞∞-∞∞-==ωωπd j F dt t f E 22|)(|21|)(|终值0),(lim )(0==∞→s s sF f s 在收敛域内终值)()1(lim )(1z F z f z -=∞→（右边信号）帕斯 瓦尔⎰∑∞-∞==πθθπ222|)(|21|)(|d e F k f j k常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换对一览表连续傅里叶变换对⎰∞∞--=dt et f j F tj ωω)()(拉普拉斯变换对（单边）⎰∞--=0)()(dt e t f s F stZ 变换对（单边） ∑∞=-=0)()(k k z k f z F函数 )(t f傅里叶变换)(ωj F 函数)(t f象函数)(s F函数0),(≥k k f象函数函数0),(≥k k f象函数1)(t δ )(21ωπδ)(t δ1)(k δ10),(≥-m m k δmz - )()()(t t n δδ'nj j )(ωω )(t δ's11-z z 0),(≥-m m k εm z z z-⋅-1)(t ε )(1ωπδω+j )(t ε s 1)(k ε1-z z )(2k k ε32)1(-+z z z )(t t ε21)(ωωδπ-'j )()(t t t t nεε12!1+n s n s )(k k ε2)1(-z z )()1(k a k kε+22)(a z z - 0,)()(>--αεεααt te t e t t2)(11ωαωαj j ++)()(t te t e t t εεαα--2)(11αα++s s)(k a k ε a z z - )(1k ka k ε-2)(a z z - )sin()cos(00t t ωω)]()([)]()([0000ωωδωωδπωωδωωδπ--+-++j)()cos(t t εβ22β+s s)(k e k εα αe z z - )(k ka k ε 2)(a z az - t1)sgn(ωπj -)()sin(t t εβ22ββ+s )(k ekj εββj e z z - )(2k a k kε322)(a z z a az -+||t22ω-)()cosh(t t εβ22β-s s )(2)(k a a a kk ε-- 22a z z - )(2)(k aa a kk ε-+ 222a z z - t j e 0ω± )(20ωωπδ)()sinh(t t εβ22ββ-s )(2)1(k k k ε- 3)1(-z z)(2)1(k kk ε+ 32)1(-z z )()cos(t t e t εβα-22)(βαωαω+++j j )()cos(t t e t εβα-22)(βαα+++s s )(k ba b a kk ε-- ))((b z a z z--)(11k ba b a k k ε--++ ))((2b z a z z -- )()sin(t t e t εβα-22)(βαωβ++j)()sin(t t e t εβα-22)(βαβ++s)()cos(k k εβ1cos 2)cos (2+--ββz z z z )()sin(k k εβ1cos 2sin 2+-ββz z z0),(||>-αεαt e t222ωαα+)()(10t b t b ε+210s s b b + )()cos(k k εθβ+1cos 2)cos(cos 22+---βθβθz z z z )()sin(k k εθβ+1cos 2)sin(sin 22+--+βθβθz z z zn t t )()(2)(2)(ωδπωδπn n j j ')()(10t e b b b t εααα---)(01α++s s b s b)()cos(k k a k εβ22cos 2)cos (a az z a z z +--ββ)()sin(k k a k εβ22cos 2sin a az z az +-ββ)sgn(tωj 2)()]sin([13t t t εβββ-)(1222β+s s)()cosh(k k a k εβ22cosh 2)cosh (aaz z a z z +--ββ)()sinh(k k a k εβ22cosh 2sinh a az z az +-ββ)0(,0,0,>⎪⎩⎪⎨⎧><--αααt e t e tt 222ωαω+-j)()sin()]1[213t t t εβββ- 222)(1β+s0),(>k k ka kε⎪⎭⎫ ⎝⎛-a z z 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时间：2021.03.06创作：欧阳道时域信号弧频率表示的傅里叶变换注释1线性2时域平移3频域平移,变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当|a | 趋向无穷时，成为Delta函数。

5傅里叶变换的二元性性质。

通过交换时域变量和频域变量得到.6傅里叶变换的微分性质7变换6的频域对应8表示和的卷积—这就是卷积定理9矩形脉冲和归一化的sinc函数10变换10的频域对应。

矩形函数是理想的低通滤波器，sinc函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。

11tri 是三角形函数12变换12的频域对应13高斯函数exp( − αt2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当Re(α) > 0时，这是可积的。

14 1518δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19变换23的频域对应20由变换3和24得到.21由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (eiat + e−iat) / 2.22由变换1和25得到23这里, n 是一个自然数. δ(n)(ω) 是狄拉克δ函数分布的n阶微分。

这个变换是根据变换7和16a>017变换本身就是一个公式24得到的。

将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。

24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.25变换29的推广.26变换29的频域对应.27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到.28u(t)是单位阶跃函数，且a > 0.34狄拉克梳状函数——有助于解释或理解从连续到离散时间的转变.时间：2021.03.06 创作：欧阳道。

1连续傅里叶变换∫∫∞∞−∞∞−−==ωωπωωωd e j F t f dtet f j F t j tj )(21)()()(2连续拉普拉斯变换连续拉普拉斯变换((单边单边))∫∫∞+∞−∞−==−j j st stds e s F jt f dte tf s F σσπ)(21)()()(03离散Z 变换变换((单边单边))∫∑≥==−∞=−Lk k kk dz z z F j k f z k f z F 0,)(21)()()(1π4离散傅里叶变换∫∑==∞−∞=−πθθθθθπ2)(21)()()(d e e F k f e k f e F k j j k kj j 线性)()()()(2121ωωj bF j aF t bf t af +↔+线性)()()()(2121s bF s aF t bf t af +↔+线性)()()()(2121z bF z aF k bf k af +↔+线性)()()()(2121θθj j e bF e aF k bf k af +↔+时移)()(00ωωj F et t f t j ±↔±时移)()(00s F e t t f st ±↔±时移)()(z F zm k f m±↔±（双边）时移)()(θθj m j e F e m k f ±↔±频移))(()(00ωωω∓j F t f etj ↔±频移)()(00s s F t f e t s ∓↔±频移)()(00z e F k f e j k j ωω∓↔±（尺度变换尺度变换））频移)()()(00θθθ∓j jk e F k f e ↔±尺度变换)(||1)(aj F e a b at f a bj ωω↔+尺度变换)(||1)(asF e a b at f s a b↔+尺度变换)()(azF k f a k ↔尺度变换)(0)/()()(θjn n e F n k f k f ↔⎩⎨⎧=反转)()(ωj F t f −↔−反转)()(s F t f −↔−反转)()(1−↔−z F k f （仅限双边）反转)()(θj e F k f −↔−时域卷积)()()(*)(2121ωωj F j F t f t f ↔时域卷积)()()(*)(2121s F s F t f t f ↔时域卷积)()()(*)(2121z F z F t f t f ↔时域卷积)()()(*)(2121θθj j e F e F k f k f ↔频域卷积)(*)(21)()(2121ωωπj F j F t f t f ↔时域微分)0()0()()()0()()(2−−−′−−↔′′−↔′y sy s F s t f f s sF t f 时域差分)1()0()()2()0()()1()2()1()()2()1()()1(22121zf f z z F z k f zf z zF k f f f z z F z k f f z F z k f −−↔+−↔+−+−+↔−−+↔−−−−频域卷积ψπθψπψd e F eF k f k f j j )()(21)()()(22121−∫↔时域微分)()()()()()(ωωωωj F j j F j t f t f n n ↔′时域差分)()1()1()(θθj j e F e k f k f −↔−−频域微nn nd j F d d j dF jt f jt t tf ωωωω)()()()()(↔−S 域微分nn nds s F d s F t f t t tf )()()()()(′−↔−Z 域微分dzz dF zk kf )()(−↔频域微θθd e dF jk kf j )()(↔分分时域积分)()0()()(,)(ωδπωωFjjFfdxxft+↔=−∞∫∞−时域积分sfssFdxxft)0()()()1(−−∞−+↔∫部分求和1)()(*)(−↔=∑−∞=zzifkkfkiε时域累加∑∑∞−∞=∞−∞=−+−↔kjjjkkeFeeFkf)2()(1)()(0πθδπθθ频域积分)(,)()()()0(=−∞↔−+∫∞−FdjFjttftfωττπS域积分∫∞↔sdFttfηη)()(Z域积分ηηηdFzmkkfz mm∫∞+↔+1)()()(lim)0(zFfz→∞=,)]0()([lim)1(zfzzFfz−=→∞对称)(2)(ωπ−↔fjtF初值)(),(lim)0(sFssFfs→∞+=为真分式初值)(lim)(zFzMf Mz∞→=（右边信号）,)()([lim)1(1MzfzFzMf Mz−=++∞→帕斯瓦尔∫∫∞∞−∞∞−==ωωπdjFdttfE22|)(|21|)(|终值),(lim)(==∞→sssFfs在收敛域内终值)()1(lim)(1zFzfz−=∞→（右边信号）帕斯瓦尔∫∑∞−∞==πθθπ222|)(|21|)(|deFkf jk信号与系统公式性质一览表常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、常用连续傅里叶变换、拉普拉斯变换、ZZ 变换对一览表连续傅里叶变换对∫∞∞−−=dtet f j F tj ωω)()(拉普拉斯变换对（单边）∫∞−−=0)()(dte tf s F stZ 变换对（单边）∑∞=−=0)()(k kz k f z F 函数)(t f 傅里叶变换)(ωj F 函数)(t f 象函数)(s F 函数0),(≥k k f 象函数函数),(≥k k f 象函数1)(t δ)(21ωπδ)(t δ1)(k δ10),(≥−m m k δm z −)()()(t t n δδ′n j j )(ωω)(t δ′s11−z z 0),(≥−m m k εm z z z−⋅−1)(t ε)(1ωπδω+j )(t εs1)(k ε1−z z )(2k k ε32)1(−+z z z )(t t ε21)(ωωδπ−′j )()(t t t t nεε12!1+n s n s )(k k ε2)1(−z z )()1(k a k kε+22)(a z z −0,)()(>−−αεεααt te t e t t 2)(11ωαωαj j ++)()(t te t e t t εεαα−−2)(11αα++s s )(k a k εa z z −)(1k ka k ε−2)(a z z −)sin()cos(00t t ωω)]()([)]()([0000ωωδωωδπωωδωωδπ−−+−++j )()cos(t t εβ22β+s s )(k e k εααe z z −)(k ka k ε2)(a z az−t 1)sgn(ωπj −)()sin(t t εβ22ββ+s )(k ekj εββj e z z −)(2k a k kε322)(a z z a az −+||t 22ω−)()cosh(t t εβ22β−s s )(2)(k aa a kk ε−−22a z z −)(2)(k aa a kk ε−+222a z z −t j e 0ω±)(20ωωπδ∓)()sinh(t t εβ22ββ−s )(2)1(k k k ε−3)1(−z z )(2)1(k kk ε+32)1(−z z )()cos(t t e t εβα−22)(βαωαω+++j j )()cos(t t e t εβα−22)(βαα+++s s )(k b a b a kk ε−−))((b z a z z−−)(11k ba b a k k ε−−++))((2b z a z z −−)()sin(t t e t εβα−22)(βαωβ++j )()sin(t t e t εβα−22)(βαβ++s )()cos(k k εβ1cos 2)cos (2+−−ββz z z z )()sin(k k εβ1cos 2sin 2+−ββz z z 0),(||>−αεαt et 222ωαα+)()(10t b t b ε+210s s b b +)()cos(k k εθβ+1cos 2)cos(cos 22+−−−βθβθz z z z )()sin(k k εθβ+1cos 2)sin(sin 22+−−+βθβθz z z zn t t )()(2)(2)(ωδπωδπn n j j ′)()(100t e b bb t εααα−−−)(01α++s s b s b )()cos(k k a k εβ22cos 2)cos (aaz z a z z +−−ββ)()sin(k k a k εβ22cos 2sin a az z az +−ββ)sgn(t ωj 2)()]sin([13t t t εβββ−)(1222β+s s )()cosh(k k a k εβ22cosh 2)cosh (aaz z a z z +−−ββ)()sinh(k k a k εβ22cosh 2sinh a az z az +−ββ)0(,0,0,>⎪⎩⎪⎨⎧><−−αααt e t e tt 222ωαω+−j)()sin()]1[213t t t εβββ−222)(1β+s 0),(>k k k a kε⎟⎠⎞⎜⎝⎛−a z z ln )(!k k a kεza e ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=2||,02||),cos()(τττπt t t t f 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b b t εθββγγγγ++++−−其中)()(1220βγβββθj jb b b Aej ++−=))((220122βγ++++s s b s b s b⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><+=2||,02||),2(1)(ττττt t t t f ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−212ωτωωτSa e j j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−×⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−↔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<−−<=4)(sin 4)(sin )(82||,02||2),||21(2||,1)(1112111ττωττωττωττττττττt t t t t f )()]sin()([222210t t Ae e b b b t t εθββγαγγαγ+++−+−−−其中)()()(2210βαγββαβαθj j b j b b Aej +−−+−−=)]))[((220122βαγ+++++s s b s b s b双边拉普拉斯变换与双边Z 变换对一览表双边拉普拉斯变换对∫∞∞−−=dte tf s F st)()(双边Z 变换对∑∞−∞=−=k kzk f z F )()(函数象函数)(s F 和收敛域函数象函数)(z F 和收敛域)(t δ1，整个S 平面)(k δ1，整个Z 平面)()(t n δns ，有限S 平面)(k nδ∆0||,)1(>−z z z nn)(t ε0}Re{,1>s s)(k ε1||,1>−z z z)(t t ε0}Re{,12>s s )()1(k k ε+1||,)1(22>−z z z )()!1(1t n t n ε−−0}Re{,1>s s n)()!1(!)!1(k n k n k ε−−+1||,)1(>−z z z n n)(t −−ε0}Re{,1<s s)1(−−−k ε1||,1<−z z z)(t t −−ε0}Re{,12<s s )1()1(−−+−k k ε1||,)1(22<−z z z )()!1(1t n t n −−−−ε0}Re{,1<s s n)1()!1(!)!1(−−−−+−k n k n k ε1||,)1(<−z z z nn)(t e at ε−}Re{}Re{,1a s as −>+)(k a k ε||||,a z az z>−)(t te atε−}Re{}Re{,)(12a s a s −>+)()1(k 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ε)()1(1t e t εαα−−)(t ε)(t t ε)(212t t ε)(1t e t εα−)(2t e t εα−2112),()(121ααεαααα≠−−−−t e e t t )(t e t εα−)(t e t εα−)(t te t εα−)(1t te t εα−)(2t e t εα−1221221212)()(1)(1)(21ααεαααααααα≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+−−−−−t e e t t t )(t t ε)(t e t εα−)(1122t e t t εαααα⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−)()cos(1t t e t εθβα+−)(2t e t εα−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−−+−−+−−1222122212arctan )()()cos()()cos(21ααβϕεβααϕθβααϕθβααt e e t t t )(t te t εα−)(t e t εα−)(212t e t tεα−卷积和一览表∑∞−∞=−=i i k f i ft f t f )()()(*)(121)(1t f )(2t f )(*)(21t f t f )(1t f )(2t f )(*)(21t f t f )(k f )(k δ)(k f )(k f )(k ε∑−∞=ki i f )()(k ε)(k ε)()1(k k ε+)(k k ε)(k ε)()1(21k k k ε+)(k a kε)(k ε0),(111≠−−+a k a a k ε)(1k a k ε)(2k a kε21211211),(a a k a a a a k k ≠−−++ε)(k a kε)(k a k ε)()1(k a k kε+)(k k ε)(k a kε)()1()1()(12k a a a k a k k εε−−+−)(k k ε)(k k ε)()1()1(61k k k k ε−+)()cos(1k k a k εθβ+)(k a k ε⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−+−−−++++2112122211211cos sin arctan )(cos )cos(])1(cos[a a a k a a a a a k a k k ββϕεβϕθϕθβ关于)(t δ、)(k δ函数公式一览表)()0()()(t f t t f δδ=)()()()(000t t t f t t t f −=−δδ)()()()(t t t t δδδδ′−=−′=−)()0()()0()()(t f t f t t f δδδ′−′=′)0()()(f dt t t f =∫∞∞−δ)()()(00t f dt t t t f =−∫∞∞−δ)(|)(|1)([1i ni i t t t f t f −′=∑=δδ)0()1()()()()(n n n f dt t t f −=∫∞∞−δ)(||1)(t a at δδ=∫∫∞−∞∞−==tt d dt t )()(1)(εττδδ)()(0)(t d dt t tδττδδ=′=′∫∫∞−∞∞−)()()()()()(00000t t t f t t t f t t t f −′−−′=−′δδδ)(1||1)()()(t a a at n nn δδ⋅=)()()()(k k k ak δδδδ=−=∑∞−∞===k f k k f k f k k f )0()()()()0()()(δδδ)()()(00t f dt t t t f ′−=−′∫∞∞−δ。

信号与系统常用公式汇总_1.傅里叶级数公式：信号x(t)的周期为T时，它的傅里叶级数展开式为：x(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))，其中n为整数，ω0 = 2π/T，an和bn为傅里叶系数。

2.傅里叶变换公式：连续时间信号x(t)的傅里叶变换为：X(ω) = ∫( -∞到+∞ ) x(t)*e^(-jωt)dt。

3.逆傅里叶变换公式：连续频率信号X(ω)的逆傅里叶变换为：x(t)=(1/2π)*∫(-∞到+∞)X(ω)*e^(jωt)dω。

4.傅里叶变换对称性：X(-ω)=X(ω)*，即傅里叶变换对称于原点。

5.卷积定理：连续时间卷积的傅里叶变换等于信号的傅里叶变换之积，即：x(t)*h(t)的傅里叶变换为X(ω)*H(ω)。

6.系统频率响应：系统的频率响应H(ω)是指系统对频率为ω的输入信号的增益和相位的影响。

7.系统单位冲激响应：系统对单位冲激信号δ(t)的响应称为系统的单位冲激响应h(t)。

8.系统的冲激响应和频率响应的关系：系统的冲激响应h(t)和频率响应H(ω)满足傅里叶变换的关系：H(ω) = ∫( -∞到+∞ ) h(t)*e^(-jωt)dt。

9.系统的传递函数：系统的传递函数H(ω)是频率响应H(ω)的傅里叶变换。

10.系统的单位阶跃响应：系统对单位阶跃信号u(t)的响应称为系统的单位阶跃响应s(t)。

11.傅里叶变换的线性性质：对于信号x(t)和y(t)和常数a和b，有以下性质：a*x(t)+b*y(t)的傅里叶变换为a*X(ω)+b*Y(ω)。

12.傅里叶变换的时移性质：对于信号x(t)，有以下性质：x(t-t0)的傅里叶变换为e^(-jωt0)*X(ω)。

13.周期信号的傅里叶变换：周期信号x(t)的傅里叶变换可以通过傅里叶级数的频谱乘以δ函数的序列得到。

14.采样定理：若连续时间信号x(t)的带宽为BHz，则它的采样频率应大于2BHz，以避免采样失真。