greatout
绝对值邂逅一次方程
模型①c?axb x-3?3?3 1、解方程：4x=2-
2、1=+12732x-4x=24-2
+12=2-2x-2-1+1=7-3x
32x-3+4=a有两个解，求a的取值范围。 3、已知关于x的方程
ax?b?cx?d模型②x?1?2x2x-1?x?1
1、
x-53?2x?x?6x?63x3x4-??x5??71 2、
-
1 -
greatout
多重绝对值方程怕不怕 1.解方程：3=x-2-4
解方程：2.32=2-x-
已知满足的x有2个，求a3.的取值范围。a?-1x-2
多个绝对值方程怕不怕
已知x-2+x+4=6,则x的取值范围是____ 1.
已知x-2+x+4=8,则x=____ 2.
已知x?3-x-4?5,则x?____ 3.
已知x?3-x-4??7,则x的取值范围为____ 4.
-
2 -
greatout
。5.____则x的取值范围是+3+2x-4=7,已知2x
6.个。的整数解共有_____+-52x+7=122x
个。_____的整数-1=8x的值的个数有7符合2x+-2x 7.
含绝对值的方程组6x+y=,x+y=12y=_____ ，则1.已知x=___，
____x+=y,-10,xx++y=x+yy=12则 2.
已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则。x+y=______3.
-
3 -
greatout
4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________.
5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y的值。
22=______ a+b6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则
数形结合突破绝对值
y=x-1+x-2，求y的取值范围。1.已知
x-1+x-2=a分别有2.满足什么条件时，方程2a个解？无解？无数解？当
-
4 -
greatout
的取值范围。3.已知，求y2x-1-x-y=
个解？无解？无数解？满足什么条件时，方程分别有14.当a a=x-21x--
5.____的最大值为≥m，恒成立，则m+x+4+x-5+若x-1+x2+x-3
6.____y的取值范围是且+4,x可以取所有实数，则x已知y=x+1-2-3+x
但不到万不得已不要轻易用，解含绝对值的二元一次方程组时，分类讨论是万能的，小结：杀敌一千自损八百。先试试整体思
想，正负分析，最后再来分类讨论。其他2017×2017=2017若
2017x+x=________ 1.，则
13______?m-?0，则x52mxx.2已知关于的方程??的解满足-22
-
5 -
greatout
1x?x-3-。_____的解是.?1312?x
2a___的数值最小，则a已知a是正整数，为使=-31014.
____b的值等于,那么a-+3b=,且a+b=ab4若a=, 5.
6.。个的值有____100且m=x-的值为整数，则m<-若2017 那么下列结论：b+,b b,是有理数，如果a-=aa设 6.请说明理由。的是__,可能是负数，其中正确一定不是负数；②①ab - 6 - greatout 绝对值邂逅一次方程 模型①c?axb x-3?3?3 1、解方程：4x=2- 2、1=+12732x-4x=24-2 +12=2-2x-2-1+1=7-3x 32x-3+4=a有两个解，求a的取值范围。 3、已知关于x的方程 ax?b?cx?d模型②x?1?2x2x-1?x?1 1、 x-53?2x?x?6x?63x3x4-??x5??71 2、 - 1 - greatout 多重绝对值方程怕不怕 1.解方程：3=x-2-4 解方程：2.32=2-x- 已知满足的x有2个，求a3.的取值范围。a?-1x-2 多个绝对值方程怕不怕 已知x-2+x+4=6,则x的取值范围是____ 1. 已知x-2+x+4=8,则x=____ 2. 已知x?3-x-4?5,则x?____ 3. 已知x?3-x-4??7,则x的取值范围为____ 4. - 2 - greatout 。5.____则x的取值范围是+3+2x-4=7,已知2x 6.个。的整数解共有_____+-52x+7=122x 个。_____的整数-1=8x的值的个数有7符合2x+-2x 7. 含绝对值的方程组6x+y=,x+y=12y=_____ ，则1.已知x=___， ____x+=y,-10,xx++y=x+yy=12则 2. 已知|x|+|y|=7,2|x|-3|y|=-1,则。x+y=______3. - 3 - greatout 4.已知|x-1|+|y-2|=6,|x-1|=2y-4,则x+y=________. 5.已知x-y=4,|x|+|y|=7,求x,y的值。 22=______ a+b6.已知3a-2|b|=5,4|a|-6a=3b,则 数形结合突破绝对值 y=x-1+x-2，求y的取值范围。1.已知 x-1+x-2=a分别有2.满足什么条件时，方程2a个解？无解？无数解？当 - 4 - greatout 的取值范围。3.已知，求y2x-1-x-y= 2 - 1 = 2 2 2 2 进而 ?? ，解得 ?? ? ? 一元一次方程培优专题——绝对值方程 例题1. 解方程： 2 x + 3 = 5 【解析】根据绝对值的意义，原方程可化为 2x + 3 = 5 或者 2x + 3 = -5 ，解得 x = 1 或 x = -4 【答案】 x = 1 或 x = -4 例题2. 解方程 x + 1 - 1 2 - x + 1 3 【解析】原方程整理得： x + 1 = 13 ，即 x + 1 = 13 或者 x + 1 = - 13 ，所以原方程的解为 x = 8 或 x = - 18 5 5 5 5 5 【答案】 x = 8 或 x = - 18 5 5 例题3. 已知：当 m > n 时，代数式 (m 2 - n 2 + 3) 和 m 2 + n 2 - 5 的值互为相反数，求关于 x 的方程 m 1 - x = n 的解． 【解析】因为代数式 (m 2 - n 2 + 3) 和 m 2 + n 2 - 5 的值互为相反数， 所以 (m 2 - n 2 + 3) + m 2 + n 2 - 5 = 0 ， 所以 (m 2 - n 2 + 3) = 0 ， m 2 + n 2 - 5 = 0 ， ?m 2 - n 2 = -3 ?m 2 + n 2 = 5 ?m 2 = 1 ?n 2 = 4 ，所以 m = ±1, n = ±2 ， 因为 m > n ，当 m = 1时， n = -2 ；当 m = -1 时， n = -2 ； 当 m = 1，n = -2 时，方程为 1 - x = -2 ，该方程无解； 当 m = -1， n = -2 时，方程为 - 1 - x = -2 ，解得 x = -1 或 x = 3 ． 【答案】 x = -1 或 x = 3 七年级数学竞赛题：含绝对值符号的一次方程 绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程．解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是： 1．形如∣ax＋b∣＝c(c≥0)的最简绝对值方程 这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax＋b＝c或ax＋b＝一C 2．含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程 这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义、去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例1 方程∣x一5∣＋2x＝一5的解是_______． (四川省竞赛题) 解题思路设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一元一次方程求解． 例2 适当∣2a＋7∣＋∣2a－1∣＝８的整数a的值的个数有( )． (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 解题思路发现常数的内在联系，从绝对值的几何意义入手，本例能获得简解． 例3 已知关于x的方程|ｘ|＝ａｘ＋１同时有一个正根和一个负根，求整数a的值． (第12届“希望杯”邀请赛试题) 解题思路去掉绝对值的符号，把x用a的代数式表示，首先确定a的取值范围． 例4解下列方程：． (1)|x－|3x＋1∣∣＝4； (天津市竞赛题) (2)|x＋3|－|x－1|＝x＋1 (北京市“迎春杯”竞赛题) (3|x－1|＋|x－5|＝4 (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路多重绝对值解法的基本方法是，根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨论法是解多个绝对值方程的有效手段． 例5讨论关于x的方程|x－2|＋|x－5|＝a的解的情况． (南京市竞赛题) 解题思路方程解的情况取决于a的情况，口与方程中常数2，5有一定的依存关系，这种关系决定了方程解的情况．因此，探求这种关系是解本例的关键，借助数轴、利用绝对值的几何意义是探求这种关系的重要工具． 初中数学含绝对值符号的一元一次方程练习题含答案 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 使方程3|x+2|+2=0成立的未知数x的值是（） D.不存在 A.?2 B.0 C.2 3 2. 方程|x?19|+|x?93|=74的有理数解（） A.至少有3个 B.恰好有2个 C.恰有1个 D.不存在 3. 方程|x+1|+|x+9|+|x+2|=1992的解的个数是（） A.4 B.3 C.2 D.1 4. 方程|x+1|+|x?5|＝6的整数解有（） A.5个 B.6个 C.7个 D.无穷多个 5. 方程|2007x?2007|=2007的解是（） A.0 B.2 C.1或2 D.2或0 6. 方程|3x|=15的解的情况是（） A.有一个解，是5 B.无解 C.有无数个解 D.有两个解，是±5 7. 方程m|x|?x?m=0(m>0且m≠1)有两个解，则实数m的取值范围是（） A.m>1 B.0 10. 若关于x的方程||x?2|?1|=a有三个整数解，则a的值是（） A.0 B.1 C.2 D.3 11. 解方程|7x?1|=3，则x=________． 的根，则a的取值范围是12. 若关于x的方程|x?1|=(a?1)x有且只有一个不大于1 2 ________． |=3，则x=________． 13. 解方程|1?x 2 14. 方程|x+5|?|3x?7|=1的解有________个． 15. 若关于x的方程ax+3=|x|有负根且无正根，则a的取值范围是________． x|=4，则x=________． 16. 方程|2?2 3 17. 方程|5x+6|=6x?5的解是________． 18. 关于x的方程||x?2|?1|=a恰有三个整数解，则a的值为________． 19. 方程|2x+3|=1的解是________． ，那么方程3△|x|=4的解x=________． 20. 若规定a△b=a+2b 2 21. 阅读下题和解题过程：化简：|x?2|+1?2(x?2)，使结果不含绝对值．解：当x?2≥0时，即x≥2时：原式=x?2+1?2x+4=?x+3； 当x?2<0时，即x<2时：原式=?(x?2)+1?2x+4=?3x+7． 这种解题的方法叫“分类讨论法”． 请你用“分类讨论法”解一元一次方程：|2x?1|=3． 22. 有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程x+2|x|=3， 解：当x≥0时，方程可化为：x+2x=3， 解得x=1，符合题意． 第五讲一元一次方程 趣面引路】 观察下列演算过程，判断运算过程是否正确，若不正确，请指出错在哪里？ 解方程：x+2=2x+4. 解原方程可化为x+2=2 （x+2）, ① 两边同时除以（x+2）得1二2. ② 解析 1=2显然不正确，问题出在从第①步到第②步的变形，方程两边同时除以一个代数式，要对 （x+2） 的值进行讨论，当x+2二0时，两边不能除。一般地，在等式的两边同时除以一个代数式的时候要 对其分等于零和不等于零两种情况进行讨论。 知识延伸】 一、一元一次方程的解法 一元一次方程的解法一般有去分母，去扌舌号，移项，合并同类项等步骤，但在解题过程中不要生搬硬 套，往往需要我们活用所学方法，灵活地解决问题. 例 1?解方程：（1） 2003X2004X （x+」一）X2005X2006=0： 2005 2x 2x 2x 2x ------ 1 ------------1 -- -------------------------- ? ? + 1x3 3x5 5x7 2003x2005 解析（1）依题意得x+」一=0, 2005 ? r = __1_ 2005 （2）原方程可化为 2004 XX ----------- 2005 x = 2005 点评点评（1）本题的关键是：发现要使左边二0,必有X+」—=0,若按常规去括号可麻烦了； 2005 2 2 2 2 （2） —— + —— +——+???+ --------------------- = 2004是我们熟悉的式子，于是左边反用乘法分配律, 1x3 3x5 5x7 2003x2005 提出一个X,剩下的就可以用裂项法进行化简.一般的，一-—=丄-一— n{n + a ） n n + a (2) = 2004 x(l ——+ ------ --- -------- 3 3 5 2003 ^)= 2°04 = 2004 含绝对值的一元一次方程解法 引言 一元一次方程是数学中常见的方程类型。然而，当方程中含有绝对值时，解题变得更加复杂。本文将介绍含绝对值的一元一次方程的解法，并提供简单的策略来解决这类问题。 解法步骤 解含绝对值的一元一次方程可以按照以下步骤进行： 1. 确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。确定绝对值的取值范围：首先，我们需要确定绝对值的取值范围。绝对值是一个非负数，所以无论绝对值内的表达式是正数还是负数，我们都可以用正数来解方程。 2. 列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。列出两个方程：根据绝对值的定义，我们可以将含绝对值的方程分成两个方程，分别对应绝对值内的表达式为正数和负数的情况。对于每个方程，我们将绝对值去掉，得到一个等式。 3. 解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。这些解将是含绝对值的方程的解。解每个方程：解两个等式，分别得到两个解。这些解将是含绝对值的方程的解。 4. 检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。只有满足条件的解才是方程的真正解。检查解的有效性：将得到的解代入原方程，检查是否满足原方程的条件。只有满足条件的解才是方程的真正解。 简单示例 让我们通过一个简单的示例来演示含绝对值的一元一次方程的解法。 题目：解方程 $|2x - 3| = 5$。解方程 $|2x - 3| = 5$。 解法： 1. 绝对值的取值范围为非负数，所以我们可以将方程改写为两个等式： - $2x - 3 = 5$，对应于绝对值内的表达式为正数的情况。 - $2x - 3 = -5$，对应于绝对值内的表达式为负数的情况。 2. 解第一个等式：$2x - 3 = 5$。解得 $x = 4$。 3. 解第二个等式：$2x - 3 = -5$。解得 $x = -1$。 4. 检查解的有效性： - 将 $x = 4$ 代入原方程得到 $|2(4) - 3| = 5$，满足条件。 - 将 $x = -1$ 代入原方程得到 $|2(-1) - 3| = 5$，满足条件。 所以，方程 $|2x - 3| = 5$ 的解为 $x = 4$ 和 $x = -1$。 思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法 方法点津 · 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程． 解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程． 一般有以下两种解法： 1．几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解． 2．代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解． ||a ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a>0），0（a ＝0），－a （a<0）. 典题精练 · 类型一 几何解法 1．阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数x 对应的点与原点的距离，即|x|＝|x －0|，也就是说|x|表示在数轴上数x 与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为|x 1－x 2|表示在数轴上 数x1与数x2对应的点之间的距离． 例1：已知|x|＝2，求x的值． 解：在数轴上与原点的距离为2的点对应的数为－2或2，即x ＝－2或x＝2. 例2：已知|x－1|＝2，求x的值． 解：在数轴上与数1对应的点之间的距离为2的点对应的数为3和－1，即x＝3或x＝－1. 例3：解方程|x－1|＋|x＋2|＝5. 图11－S－1 解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数1和数－2对应的点之间的距离之和为5的点对应的数，即为x的值．在数轴上，数1和－2对应的点的距离为3，满足方程的x在数轴上的对应点在1的右边或－2的左边．若x对应的点在1的右边，如图11－S－1，可以看出x＝2；同理，若x对应的点在－2的左边，可得x ＝－3.故原方程的解是x＝2或x＝－3. 仿照阅读材料的解法，求下列各式中x的值： (1)|x－3|＝3； 第3章一元一次方程 一、课前衔接 （一）上次课堂作业检查讲解 （二）课前小测（错题本错题再练） 二、教学过程专题05 一元一次方程概念及解法 1、教学重点、难点：合并同类项与移项；去括号与去分母； 2、教学易错点：去括号与去分母； 3、教学目标： （1）了解方程和一元一次方程的概念； （2）正确掌握一元一次方程的解法，并用适当的方法去解一元一次方程； 【要点梳理】 一等式: 用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边． 三．方程 定义 含有未知数的等式叫做方程 定义中含有两层含义： ①方程必定是等式，即是用等号连接而成的式子； ②方程中必定有一个（可以是多个）待确定的数，即未知数． 二者缺一不可． *注意：方程一定是等式,等式却不一定是方程 方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求得方程的解的过程，叫做解方程． *注意：（1）方程中含有的未知数可以不止一个，对于只含有一个 未知数的方程，它的解也叫方程的根． （2）要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入 方程的左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是． 四．一元一次方程 定 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数的个数，“次”是指含未知数的项的最高次数． 形一元一次方程的标准形式：0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）． 一元一次方程的最简形式：ax b =（0a ≠，a ，b 是已知数）． 一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数系数化1； 【典型例题】 要点一、等式的性质 1、下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A.若x y =，则55x y +=+ B.若a b =，则ac bc = C.若a b c c =，则a b = D.若x y =，则x y a a = 【变式1】 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A.若x ＝y ，则x ＋5＝y ＋5 B.若x ＝y ，则x y a a = C.若a ＝b ，则ac ＝bc D.若x ＝y ，则5－x ＝5－y 【变式2】 下列等式中正确的是（ ） 专题26 解含绝对值的一元一次方程 1．同学们都知道，|5(2)|--表示5与2-的差的绝对值，实际上也可理解为5与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离:同理|4|x -也可理解为x 与4两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索: （1）求|5(2)|--= ; （2）若|2|6x -=，则x = ; （3）请你找出所有符合条件的整数x ,使得|2||3|5x x -++=. 2．方程22019x x +=的解为__________． 3．已知关于x 的方程12x a +=+只有一个解，那么201819315x a --的值为______． 4．如图，在关于x 的方程x a b -=（a ，b 为常数）中，x 的值可以理解为：在数轴上，到A 点的距离等于b 的点X 对应的数．例如：因为到实数1对应的点A 距离为3的点X 对应的数为4和-2，所以方程13x -=的解为4x =，2x =-．用上述理解，可得方程32x -=的解为______． 5．阅读与探究：如： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：2x =，213x -=，…，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程23x x +=. 解：当0x ≥时，方程可化为：23x x +=，解得1x =，符合题意．当 0x <时，方程可化为：23x x -=，解得3x =-，符合题意． 所以，原方程的解为：1x =或3x =-. 根据以上材料解决下列问题： (1)若33x x -=-，则x 的取值范围是________________； (2)方程30x +=的解的个数是________________； (3)方程32x +=的解是_________________； (4)解方程：317x x +-=． (5)若关于x 的方程31x b +=+有两个解，直接写出b 的取值范围． 6．阅读与写作： 一个数学问题，在特定的题设下，有时其结论并不唯一，因而我们需要对这一问题进行必要的分类，将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的结果进行归纳综合，这种解决问题的思维方法在数学上称为“分类讨论” 例如在解方程32x +=时，我们就可以利用这种思维方式来解决．当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得5x =-．所以原方程的解是1x =-或5x =-． （1）请你用这种思维方式解方程3240x --=． （2）围绕“分类讨论”这一主题撰写一篇数学小文章，题目自拟．（要求：书写端正，字数限于100字内．） 7．阅读下面的解题过程： 解方程：|x +3|=2． 解：当x +3≥0时，原方程可化成为x +3=2 解得x =-1，经检验x =-1是方程的解； 当x +3＜0，原方程可化为，-（x +3）=2 解得x =-5，经检验x =-5是方程的解． 所以原方程的解是x =-1，x =-5． 解答下面的两个问题： （1）解方程：|3x -2|-4=0； 探究：当值a 为何值时，方程|x -2|=a ， ①无解；②只有一个解；③有两个解． 8．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程2||3x x +=， 解：当0x ≥时，方程可化为：23x x +=，解得1x =，符合题意； 第九讲 绝对值与一元一次方程 绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程． 解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法,后者是技巧． 解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法． 例题 【例1】方程5665-=+x x 的解是 ． (重庆市竞赛题） 思路点拨 没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解． 【例2】 适合81272=-++a a 的整数a 的值的个数有（ )． A ．5 B ．4 C ． 3 D ．2 （ “希望杯；邀请赛试题） 思路点拨 用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径． 注:形如d cx b ax +=+的绝对值方程可变形为)(d cx b ax +±=+且0≥+d cx , 才是原方程的根,否则必须舍去,故解绝对值时应检验． 【例3】解方程：413=+-x x ； 思路点拨 从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． （天津市竞赛题) 【例4】解下列方程： （1）113+=--+x x x (北京市“迎春杯”竞赛题) （2）451=-+-x x ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论,采用前面介绍的“零点分段法"分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解． 【例5】已知关于x 的方程a x x =-+-32，研究a 存在的条件，对这个方程的解进行讨论． 思路点拨 方程解的情况取决于a 的情况,a 与方程中常数2、3有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解． 注 本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题,它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究． 学力训练 1．方程15)1(3+=-x x 的解是 ;方程1213+=-x x 的解是 ． 答案与评分标准 一、解答题（共18小题，满分150分） 1、a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）|a+b|=|a|+|b|； （2）|ab|=|a||b|； （3）|a﹣b|=|b﹣a|； （4）若|a|=b，则a=b； （5）若|a|＜|b|，则a＜b； （6）若a＞b，则|a|＞|b|． 考点：绝对值；不等式的性质。 分析：根据绝对值和不等式的性质对每一小题进行分析． 解答：解：（1）错误．当a，b同号或其中一个为0时成立． （2）正确． （3）正确． （4）错误．当a≥0时成立． （5）错误．当b＞0时成立． （6）错误．当a+b＞0时成立． 点评：本题主要考查了绝对值和不等式的有关内容．需熟练掌握和运用绝对值和不等式的性质． 2、已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b|． 考点：整式的加减；数轴；绝对值。 分析：解决此题关键要对a，b，c与0进行比较，进而确定b﹣a，a+c，c﹣b与0的关系，从而很好的去掉绝对值符号． 解答：解：由数轴可知：a＞b＞0＞c，|a|＞|c|， 则b﹣a＜0，a+c＞0，c﹣b＜0． ∴|b﹣a|+|a+c|﹣2|c﹣b| =﹣（b﹣a）+（a+c）﹣2[﹣（c﹣b）] =﹣b+a+a+c+2c﹣2b =2a﹣3b+3c． 点评：在去绝对值符号时要注意：大于0的数值绝对值是它本身，小于零的数值绝对值是它的相反数． 3、已知x＜﹣3，化简：|3+|2﹣|1+x|||． 考点：绝对值。 专题：计算题。 分析：这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 解答：解：∵x＜﹣3， ∵1+x＜0，3+x＜0， ∴原式=|3+|2+（1+x）||， =|3+|3+x||， =|3﹣（3+x）|， =|﹣x|， =﹣x． 点评：本题考查了绝对值的知识，注意对于含有多层绝对值符号的问题，要从里往外一层一层地去绝对值符号． 解一元一次方程重难题型分类练（九大考点） 一．方程定义的理解 1．已知（m ﹣3）x |m |﹣ 2+m ﹣3＝0是关于x 的一元一次方程，则m ＝ ． 2．已知关于x 的方程（m ﹣1）x |m |﹣3＝0是一元一次方程，则m ＝ ． 二．含绝对值的方程--分类思想 3．已知|2x ﹣3|＝1，则x 的值为 ． 4．已知方程|2x ﹣1|＝2﹣x ，那么方程的解是 ． 5．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：|x +3|＝2． 解：当x +3≥0时，原方程可化为x +3＝2，解得x ＝﹣1； 当x +3＜0时，原方程可化为x +3＝﹣2，解得x ＝﹣5． 所以原方程的解是x ＝﹣1或x ＝﹣5． （1）利用上述方法解方程：|3x ﹣2|＝4． （2）当b 满足什么条件时，关于x 的方程|x ﹣2|＝b ﹣1，①无解；②只有一个解；③有两个解． 三．方程中的新定义 6．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b ＝ab 2﹣2ab +a ．如：1☆3＝1×32﹣2×1×3+1＝4． （1）求（﹣2）☆5的值； （2）若 a+12 ☆3＝8，求a 的值； （3）若m ＝2☆x ，n ＝（13 −x ）☆3（其中x 为有理数），试比较大小m n （填“＞”、“＜”或“＝”）． 7．“*”是新规定的这样一种运算法则：a *b ＝a 2﹣2ab ，比如3*（﹣2）＝32﹣2×3×（﹣2）＝21 （1）试求（﹣2）*3的值； （2）若（﹣2）*（1*x ）＝x ﹣1，求x 的值． 8．用“⊕”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ⊕b ＝ab 2+2ab +a ． 如：1⊕3＝1×32+2×1×3+1＝16． 一、解答题 1．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书超过200元一律打八折.如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价为多少？ 解析：180元或202.5元 【分析】 先根据题意判断出可能打折的情况,再分别算出可能的可能的原价. 【详解】 ∵200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180， ∴一次性购书付款162元，可能有两种情况． 162÷0.9=180元；162÷0.8=202.5元． 故王明所购书的原价一定为180元或202.5元． 【点睛】 本题考查打折销售问题,关键在于分类讨论. 2．解方程： 2x 13+=x 24 +-1． 解析：x=-2． 【分析】 按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤进行求解即可. 【详解】 去分母得：4(2x+1)=3(x+2)-12， 去括号得：8x+4=3x+6-12， 移项得：8x-3x=6-12-4， 合并同类项得：5x=-10， 系数化为1得：x=-2． 【点睛】 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键. 3．已知方程3210x a +-=的解与方程20x a -=的解互为相反数，求a 的值． 解析：14 a =- 【分析】 先分别求出两个方程的解，再根据解互为相反数列方程计算即可. 【详解】 3210x a +-=，解得123 a x -=； 20x a -=，解得2x a =． 由题意得， 12203a a -+=， 解得14 a =- . 【点睛】 本题考查一元一次方程的解法，解题的关键是根据两个方程的解互为相反数列方程求解. 4．解下列方程： (1) 51784a -=； (2) 22146y y +--＝1； (3)2131683 x x x -+-= －1 解析：（1）3a =；（2）4y =-；（3）179 x = ． 【分析】 （1）先方程两边同乘以8去分母，再按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （2）先方程两边同乘以12去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得； （3）先方程两边同乘以24去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可得． 【详解】 （1）方程两边同乘以8去分母，得5114a -=， 移项，得5141a =+， 合并同类项，得515a =， 系数化为1，得3a =； （2）方程两边同乘以12去分母，得3(2)2(21)12y y +--=， 去括号，得364212y y +-+=， 移项，得341262y y -=--， 合并同类项，得4y -=， 系数化为1，得4y =-； （3）方程两边同乘以24去分母，得4(21)3(31)824x x x --+=-， 去括号，得8493824x x x ---=-， 移项，得8982443x x x --=-++， 合并同类项，得917x -=-， 系数化为1，得179 x =． 人教版七年级上册 一元一次方程相关概念专项培优训练（含答案） 一、单选题 1．已知下列方程，属于一元一次方程的有（ ） ①x ﹣2＝2x ；②0.5x ＝1；③3x ＝8x ﹣1；④x 2 ﹣4x ＝8；⑤x ＝0；⑥x+2y ＝0． A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 2．已知下列方程：①x ﹣2=1x ；②x=0；③3 x =x ﹣3；④x 2 ﹣4=3x ；⑤x ﹣1；⑥x ﹣y=6，其中一元一次方程有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3．若方程的解与关于的方程的解相同，则的值为（ ）. A. 5 9 B.- 59 C. 95 D.95 - 4．若方程ax=2x+b 有无数多个解，则( ) A ．a≠0，b≠0 B ．a≠2，b=0 C ．a=2，b=0 D ．a=0，b=0 5．小马虎做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2（x －3）－■＝x ＋1，怎么办呢？他想了想，便翻看书后的答案，方程的解是x ＝9，请问这个被污染的常数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．下列说法正确的是（ ） A.带负号的数一定是负数． B.方程1 2x x += 是一元一次方程． C.单项式22x y -的次数是3． D.单项式与单项式的和一定是多项式． 7．运用等式性质进行的变形，正确的是（ ） A.如果a ＝b ，那么a+c ＝b ﹣c B.如果 a b c c =，那么a ＝b C.如果a ＝b ，那么 a b c c = D.如果a 2＝3a ，那么a ＝3 8．如果1是关于x 方程x+2m ﹣5=0的解，则m 的值是（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．2 9．关于x 的一元一次方程224a x m -+=的解为1x =，则a m +的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 10．已知a ＝b ，下列变形正确的有（ ）个． ①a +c ＝b +c ；②a ﹣c ＝b ﹣c ；③3a ＝3b ；④ac ＝bc ；⑤a b c c =． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 11．把方程 1 2 x =1变形为x =2，其依据是 A.等式的性质1 B.等式的性质2 C.分数的基本性质 D.乘法分配律 12．若a ，b ，c 是实数，下列变形正确的是 A.如果a=b ，那么a ＋c=b －c B.如果a=b ，那么ac=bc C.如果a=b ，那么a b c c = D.如果 52a b c c =，那么5a=2b 二、填空题 13．若方程（a ﹣3）x |a|﹣2﹣7＝0是一个一元一次方程，则a 等于_____． 14．若关于x 的方程()k 1 k 2x 5k 0--+=是一元一次方程，则k =________． 15．如果等式ax ﹣3x=2+b 不论x 取什么值时都成立，则a= ________b= ________ . 第一讲 一元一次方程培优竞赛辅导 一、【知识点梳理】 知识点一、一元一次方程的基本概念 1．方程： 叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个 （元），未知数的次数都是 ，这样的 方程叫做一元一次方程． 要点诠释：．．．．． （．1．）一元一次方程变形后总可以化为．．．．．．．．．．．．．．． 的形式，它是一元一次方程的标准形式．．．．．．．．．．．．．．．．．．． （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数②未知数的次数为1； 未知数所在的式子是整式（即分母中不含未知数）； 3.方程的解： 叫做这个方程的解． 4．解方程： 叫做解方程． 知识点二、等式的性质 等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个 的数，结果仍相等． 知识点三、一元一次方程的解法 方程的变形规则： 1、方程两边同加(或减)同一个数(或式子)，方程的解不变． 2、方程两边同乘或除以同一个 的数(或式子)，方程的解不变． 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：依据 在方程两边同乘以各分母的 (2)去括号：依据 ，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：依据 把含有未知数的所有项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax ＝b (0≠0)． (5)系数化为1：依据 方程两边同除以未知数的系数得到方程的解b x a =(a ≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；否则则不是方程的解． 二、基础夯实 1、下列方程中是一元一次方程的是( ) A ．x+y=8 B ．()7561x x +=- C ．()21112x x +-= D ．12x x -= 2、若（m －2）23m x -＝5是一元一次方程，则m 的值为( ) A ．±2 B ．－2 C ．2 D ．4 3、下列判断错误的是( ) A.若ac-7=bc-7,则a=b B.若a=b,则1 122+=+c b c a C.若x/a=y/a,则x=y D.若ax=bx,则a=b 或x=0 4、关于x 的方程2(x －1)－a ＝0的根是3，则a 的值是（ ） A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－1 5、如果a 、b 是已知数，则－7x ＋2a ＝－5x ＋2b 的解是（ ） A ． a －b B ． －a －b C ． b －a D ． b ＋a 专题26 含绝对值的一元一次方程 1．求解含绝对值的一元一次方程的方法我们没有学习过，但我们可以采用分类讨论思想先把绝对值去除，使得方程成为一元一次方程，这样我们就能轻松求解了，比如求解：|3|2x -=．解：当30x -时，原方程可化为32x -=，解得5x =；当30x -<时，原方程可化为32x -=-，解得1x =．所以原方程的解是5x =或1x =．请你依据上面的方法求解 方程：|37|80x --=，则得到的解为 5x =或13 x =- ． 【解答】解：|37|80x --=， 378x ∴-=或378x -=-， 解得5x =或13 x =-， 故答案为：5x =或13 x =-． 2．我们已经知道“非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数”，利用这个知识可以解含有绝对值的方程，如：解方程|3|2x -=． 解：当30x -时，3x ，方程化为32x -=，解得5x =（符合题意）； 当30x -<时，3x <，方程化为(3)2x --=，解得1x =（符合题意）． ∴方程|3|2x -=的解为5x =或1x =． （1）方程|4|3x x -=的解为 1x = ； （2）方程|3||2|3x x x --+=的解为 ． 【解答】解：（1）当40x -时，即4x 时， 方程化为43x x -=， 解得2x =-， 因为4x ， 所以2x =-不合题意； 当40x -<时，即4x <时， 方程化为(4)3x x --=， 解得1x =， 因为4x <， 所以1x =符合题意； 所以方程的解为1x =． （2）当2x -时，原方程化为： 323x x x -++=， 人教版七年级上册 解一元一次方程培优专题（含答案） 一、单选题 1．若关于x 的方程()2018201662018(1)k x x --=-+的解是整数，则整数k 的取值个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2．关于x 的方程253x a +=的解及方程220x +=的解相同，则a 的值是（ ）. A ．1 B ．4 C ．-1 D ．-4 3．若3a 及9 6a -互为相反数，则a 的值为（ ） A ．3 2 B ．3 2- C ．3 D ．3- 4．解方程时，去分母后得到的方程是（ ） A ．3（x ﹣5）+2（x ﹣1）＝1 B ．3（x ﹣5）+2x ﹣1＝1 C ．3（x ﹣5）+2（x ﹣1）＝6 D ．3（x ﹣5）+2x ﹣1＝6 5．若代数式32x +及代数式510x -的值互为相反数，则x 的值为（ ） A.1 B.0 C.-1 D.2 6．方程去分母后正确的结果是( ) A. B. C. D. 7．若方程：()2160x --=及的解互为相反数，则a 的值为（ ） A.-13 B.13 C.7 3 D.-1 8．规定，若，则x =（ ） A.0 B.3 C.1 D.2 9．方程2y ﹣12＝12 y ﹣中被阴影盖住的是一个常数，此方程的解是y ＝﹣53 ．这个常数应是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10．已知|m －2|＋(n －1)2＝0，则关于x 的方程2m ＋x ＝n 的解是( ) A.x ＝－4 B.x ＝－3 C.x ＝－2 D.x ＝－1 二、填空题 11．代数式及代数式32x -的和为4，则x =_____． 12．若1y =-是方程237y a -=的解，则关于x 的方程(31)42a x x a -=+-的解为_______________. 13．()00ax b a -=≠,a 、b 互为相反数，则x 等于___________ 14．代数式31a -及2a 互为相反数，则a =___________ 15．请你写出一个一元一次方程_____,使它的解及一元一次方程3x x 1 的解相同．(只需写出一个满足条件的方程即可) 16．若代数式 4x 8- 及 3x 22+ 的值互为相反数，则x 的值是____. 一、解答题 1．数学课上，某班同学用天平和一些物品（如图）探究了等式的基本性质.该班科技创新小组的同学提出问题：仅用一架天平和一个10克的砝码能否测量出乒乓球和一次性纸杯的质量？科技创新小组的同学找来足够多的乒乓球和某种一次性纸杯（假设每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同），经过多次试验得到以下记录： 记录天平左边天平右边状态 记录一6个乒乓球， 1个10克的砝码 14个一次性纸杯平衡 记录二8个乒乓球7个一次性纸杯， 1个10克的砝码 平衡 请算一算，一个乒乓球的质量是多少克？一个这种一次性纸杯的质量是多少克？ 解：（1）设一个乒乓球的质量是x克，则一个这种一次性纸杯的质量是______克；（用含x的代数式表示） （2）列一元一次方程求一个乒乓球的质量，并求出一个这种一次性纸杯的质量. 解析：（1）610 14 x+ 或 810 7 x- ；（2）一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的 质量是2克. 【分析】 (1)根据题意即可得出答案； （2）弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，解方程即可．【详解】 解：（1）610 14 x+ 或 810 7 x- （2）根据题意得，610810 147 x x +- = 6101620 x x +=-6162010 x x -=--1030 x -=- 3x =． 当3x =时， 6106310 21414 x +⨯+==（克）． 答：一个乒乓球的质量是3克，一个这种一次性纸杯的质量是2克． 【点睛】 本题考查了一元一次方程与实际问题，解题的关键是找到合适的等量关系，列出方程，解方程． 2．在十一黄金周期间，小明、小华等同学随家长共15人一同到金丝峡游玩，售票员告诉他们：大人门票每张100元，学生门票8折优惠．结果小明他们共花了1400元，那么小明他们一共去了几个家长、几个学生？ 解析：10个家长，5个学生 【分析】 设小明他们一共去了x 个家长，则有（15﹣x ）个学生，根据“大人门票购买费用+学生门票购买费用=1400”列式求解即可. 【详解】 解：设小明他们一共去了x 个家长，（15﹣x ）个学生， 根据题意得：100x +100×0.8（15﹣x ）=1400， 解得：x =10， 15﹣x =5， 答：小明他们一共去了10个家长，5个学生． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用. 3．利用等式的性质解下列方程： （1）x －2＝5； （2）－ 2 3 x ＝6； （3）3x ＝x ＋6． 解析：（1）x ＝7；（2）x ＝－9；（3）x ＝3 【分析】 （1）两边同时加上2即可求解； （2）两边同时乘－ 3 2 即可求解； （3）两边同时减x ，然后同时除以2即可求解． 【详解】 解：（1）等式两边加2，得x －2＋2＝5＋2， 即x ＝7． （2）等式两边乘－32，得x ＝6×（－3 2 ）， 即x ＝－9．完整版七年级培优专题解含绝对值的一元一次方程
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