2014年中考数学课时热身训练10：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

专题 1.3 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（3个考点八大题型）【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】【题型1 由根的判别式判断方程根的情况】1．（2023春•南岗区校级期中）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．无实数根C．有一个实数根D．有两个不等的实数根2．（2023•平顶山二模）定义运算：a※b＝a2b+ab﹣1，例如：2※3＝22×3+2×3﹣1＝17，则方程x※1＝0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根3．（2023•柘城县二模）一元二次方程x2+2x﹣5＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根4．（2023•桂林二模）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）A．无实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不等的实数根5．（2023•东城区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+1＝0根的情况是（）A．无实根B．有实根C．有两个不相等实根D．有两个相等实根6．（2023•新郑市模拟）一元二次方程2x2﹣mx﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无法确定7．（2023•三门峡一模）一元二次方程（x﹣1）2＝x+3的根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根8．（2023春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2+kx+k﹣1＝0的根的情况，下列说法中正确的是（）A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根D．无实数根【题型2 由方程方程根的情况求字母的取值范围】9．（2023•洛阳二模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k＝0有两个实数根，则k的值为（）A．k＝4B．k＝﹣4C．k≤4D．k＜4 10．（2023•济源一模）若关于x的一元二次方程x2+4x+m+5＝0有实数根，则m 的取值范围是（）A．m≤1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1D．m≥﹣1且m≠0 11．（2023•东莞市校级一模）已知方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值（）A．k＞﹣1B．k＞1C．k＞1且k≠0D．k＞﹣1且k≠0 12．（2023春•洞头区期中）关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（）A．﹣36B．﹣9C．9D．36 13．（2023•阿克苏市一模）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围（）A．B．C．k＜且k≠2D．且k≠2 14．（2023•贵阳模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0没有实数根，则k的值可以是（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．2【题型3 由根的判别式证明方程求根的必然情况】15．（2023春•蜀山区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x﹣k ﹣1＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1、x2，且x1+x2﹣4x1x2＝2，求k的值．16．（2023春•庐阳区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m ﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）若a和b是这个一元二次方程的两个根，且a2+b2＝9，求m的值．17．（2023•门头沟区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣1＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果此方程的一个根为1，求k的值．18．（2023•金溪县模拟）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根分别是等腰△ABC两边AB、AC的长，其中BC＝10，求k 值．19．（2023•长安区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为x＝0，且m为正数，求m的值．20．（2022秋•东城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）当该方程的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解．【题型4 由根与系数的关系求代数式（直接）】21．（2023•红桥区模拟）若一元二次方程x2+4x﹣12＝0的两个根分别为x1，x2，则x1+x2的值等于（）A．﹣4B．4C．﹣12D．12 22．（2023•五华县校级开学）设一元二次方程x2﹣12x+3＝0的两个实根为x1和x2，则x1x2＝（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 23．（2023•六盘水二模）已知x1、x2是一元二次方程x2+4x+3＝0的两根，则x1+x2+2x1x2的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2 24．（2023•长丰县模拟）若m，n是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则m+n ﹣mn的值是（）A．5B．﹣5C．1D．﹣1【题型5 由根与系数的关系求代数式（代换）】25．（2023•南山区三模）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+3＝0有两个不相等的实数根x1、x2，则的值是（）A．B．C．D．26．（2023•潍城区二模）若x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣5＝0的两根，则的值为（）A．19B．9C．1D．﹣1 27．（2023•汉阳区校级模拟）若实数m，n满足条件：m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n ﹣1＝0，则的值是（）A．2B．﹣4C．﹣6D．2或﹣6 28．（2023•兴庆区校级二模）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为（）A．﹣10B．10C．3D．0 29．（2022秋•南安市期末）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根分别是x1、x2，则x2+x1的值是（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3 30．（2023•临沭县一模）已知m，n是一元二次方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+4m+2n的值等于（）A．2023B．2022C．2020D．2019【题型6 由根与系数的关系求代数式（降次）】31．（2023•河东区一模）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式的值是（）A．4047B．4045C．2023D．1 32．（2022秋•嘉陵区校级期末）如果m，n是一元二次方程x2+x＝3的两个根，那么多项式m3+4n﹣mn+2022的值等于（）A．2018B．2012C．﹣2012D．﹣2018【题型7 构造一元二次方程求代数式的值】33．（2023•安丘市模拟）已知方程x2+2023x﹣5＝0的两根分别是α和β，则代数式α2+β+2024α的值为（）A．0B．﹣2018C．﹣2023D．﹣2024 34．（2023•肥城市一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值为（）A．2020B．2021C．2022D．2023 35．（2023•鼓楼区校级模拟）已知a、b是关于x的方程x2+3x﹣2010＝0的两根，则a2﹣a﹣4b的值是（）A．2020B．2021C．2022D．2023 36．（2023•东港区校级一模）已知m、n是一元二次方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2﹣2m﹣n的值等于（）A．2020B．2021C．2022D．2023 37．（2023春•江岸区校级月考）设α、β是方程x2+2019x﹣2＝0的两根，则（α2+2022α﹣1）（β2+2022β﹣1）的值为（）A．6076B．﹣6074C．6040D．﹣6040 38．（2022秋•莲池区校级期末）若m，n是一元二次方程x2+4x﹣9＝0的两个根，则m2+5m+n的值是（）A．4B．5C．6D．12【题型8 已知方程根的情况判断另一个根】39．（2023•阿克苏市二模）若x＝2是方程x2﹣x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．﹣1B．0C．1D．2 40．（2020秋•甘井子区期末）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2B．2C．﹣5D．5 41．（2020春•宣城期末）关于x的一元二次方程2x2+kx﹣4＝0的一个根x1＝﹣2，则方程的另一个根x2和k的值为（）A．x2＝1，k＝2B．x2＝2，k＝2C．x2＝1，k＝﹣1D．x2＝2，k＝﹣1 42．（2023•诸暨市模拟）关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有一个解为x＝1，则该方程的另一个解为（）A．0B．﹣1C．2D．﹣2 43．（2023•洛阳一模）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣2，则另一个根是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2。

2014届中考专题复习《一元二次方程根的判别式和根与系数的关系》跟踪检测姓名： 班级： 分数：一、填空题和选择题（每小题5分，共15分）1、（2013•潜江）已知α，β是一元二次方程0252=--x x 的两个实数根，则22βαβα++的值为 （ ） A ．-1B . 9C . 23D . 272、（2013•十堰）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．1 D ．﹣13、（2013•遵义）已知x=﹣2是方程x 2+mx ﹣6=0的一个根，则方程的另一个根是 ．二、解答题（每小题9分，共45分）1、已知关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋m －1＝0。

(1)请你为m 选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根； (2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求α2＋β2＋αβ的值。

2、（2013•呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m 的值。

3. （2010湖北孝感，22，10分）已知关于x 的方程x 2－2（k －1）x+k 2=0有两个实数根x 1，x 2.（1）求k 的取值范围；（4分）（2）若12121x x x x +=-，求k 的值. （6分）4. （2011四川南充市，18，8分）关于的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数解是x 1和x 2。

（1）求k 的取值范围；（2）如果x 1+x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值。

5. 已知，如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900，AB=5，两直角边AC 、BC 的长是关于x 的方程()2x m 5x 6m 0-++=的两个实数根。

求m 的值。

课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【课前热身】1．一元二次方程的根的情况为（）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.3．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则，.x12＋x22＝.4．关于x的方程2x2＋(m2－9)x＋m＋1＝0，当m＝时，两根互为倒数；当m＝时，两根互为相反数.5．若x1=是二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根,则a＝，该方程的另一个根x2=.【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程的根的判别式为.（1）>0一元二次方程有两个实数根，即.（2）=0一元二次方程有相等的实数根，即.（3）<0一元二次方程实数根.2．一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么，.3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式；②二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【典例精析】例1 当为何值时，方程，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2 下列命题：①若，则；②若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；③若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；④若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（）Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②③④．例3 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为. 【中考演练】1．设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，则(x1＋1)(x2＋1)= __________，x12＋x22＝_________，＝________，(x1－x2)2＝_______.2．当__________时，关于的方程有实数根．（填一个符合要求的数即可）3.已知关于的方程的判别式等于0，且是方程的根，则的值为．4. 已知是关于的方程的两个实数根，则的最小值是．5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系（一）一、知识归纳：1.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式是：△=b 2-4ac ，当△>0时；△=0；△<0时方程分别有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。

2.判别式“△”的应用：1)由“△”的符号判定方程根的情况；2)由“△”的符号，证明方程的根可能出现的情况；3)由方程的情况通过“△”的符号，确定方程中参数字母的取值范围。

例1. 关于x 的方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根．．．，求m 的取值范围。

解：当m －1≠0时, 该方程为关于x 一元二次方程∵原方程有实数根 ∴0≥∆即Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥即711≤m ，当m-1=0时，该方程变为4x+3=0,它是一元一次方程，有实数根34x =-练习：1.关于x 的方程m 2x 2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数．．．．．．．．．根．，求m 。

(注意二次项系数不为零)2.已知a ，b ，c 为一个三角形的三边，求证方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0无实数根。

3.已知方程x 2+2x=k-1没有实数根，求证方程x 2+kx=1-2k 必定有两个不相等的实数根。

4.已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根，y 1,y 2是关于y 的方程y 2+my+7=0两个实数根，且x 1-y 1=2, x 2-y 2=2，求m ，n 的值。

3．一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aacb b 242---能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+aacb b 242---=a acb b ac b b 24422----+- =12.x x =a ac b b 242-+-×aac b b 242---=2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为 x 1+x 2=a b -， x 1x 2=ac 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为 x 2＋ x ＋ac＝0(a ≠0)， 则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x 2-（ ）x ＋x 1x 2＝0(a ≠0)3.一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根为x 1,x 2它的根与系数的关系是：例1：已知方程5x 2＋k x -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1，那么5621-=x （为什么？）∴ x 1= 又x 1+2=5k-（为什么？）∴ k= 例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的（1）平方和 （2）倒数和 解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2=（1）∵ （x 1+x 2）2= x 12+2 +x 22 ∴ x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2 = （2）==+212111x x x x例3：求一个一元二次方程，使它的两个根是212313，- 解：所求的方程是x 2-（212313+-）x ＋（ ）212⋅＝0 (为什么？) 即 x 2+ x- ＝0 或 6x 2+ x- ＝0。

一元二次方程（根的判别式，根与系数的关系）专项训练题一.选择题1.关于x的一元二次方程的根的情况是A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定2.已知反比例函数,当x＞0时,y随x的增大而增大,则关于x的方程的根的情况是（）A.有两个正根B.有两个负根C.有一个正根一个负根D.没有实数根4．设、是关于x的一元二次方程的两个实数根，且＜0，－3＜0，则（）A． B． C． D．5.已知是关于的一元二次方程的两实数根，则式子的值是（）A．B．C．D．7. 已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根8.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（）A.＞B.＞且C.＜D.且9.关于方程式49x2－98x－1=0的解，下列叙述何者正确？( )(A) 无解 (B) 有两正根 (C)有两负根 (D) 有一正根及一负根13.若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根中有且仅有一根在0和1之间（不含0和1），则a的取值范围是（）A、a＜3B、a＞3C、a＜-3D、a＞-3二、填空题3．）设一元二次方程的两个实数根分别为和，则，．4.已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是5．已知一元二次方程的一个根为，则．6．已知x1、x2是方程x2－3x－2＝0的两个实根，则(x1－2) (x2－2)= ．7．已知为方程的二实根，则．9.、关于X的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是--------------10、若关于的方程的一个根是0，则另一个根是．11、等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是．12、关于的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一根为 .13、三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是．三、简答题1.当为何值时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？2．设是关于的一元二次方程的两实根，当为何值时，有最小值？最小值是多少？3．已知：关于的一元二次方程．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为，（其中）．若是关于的函数，且，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量的取值范围满足什么条件时，．5.已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且——=115(1)求k的值；（2）求++8的值。

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系【知识点1】一元二次方程的根的判别式概念：一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的判别式为b 2－4ac ，通常用符号“△”来表示。

即△=b 2－4ac 一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0 (a ≠0)的根的情况是：①当△＞0时，有两个不相等的实数根。

②当△=0时，有两个相等的实数根。

③当△＜0时，没有实数根 ✪注：当△≧0时，方程有实数根。

【例1】已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程(a + b )x 2+ 2cx + (a + b )＝0的根的情况是（ ） A ． 没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【例2】如果关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）A.＞B ＞且C.＜D.且【例3】已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，则的取值范围是【例4】.已知关于x 的二次方程012)21(2=---x k x k 有实数根，则k 的取值范围是 。

【例5】已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是【例6】关于x 的一元二次方程04)(2=-+++ca bx xb a 有两个相等的实数根,那么以a 、b 、c 为三边的三角形是 A 、以a 为斜边的直角三角形 B 、以c 为斜边的直角三角形 C 、以b 为底边的等腰三角形D 、以c 为底边的等腰三角形 【知识点2】一元二次方程根于系数的关系概念：若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和，那么=+21x x ，=∙21x x 。

这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

【例1】在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，有一根为0，则=c ；有一根为1，则=++c b a ；有一根为1-，则=+-c b a ；若两根互为倒数,则=c ；若两根互为相反数，则=b 。

课时10．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【课前热身】1．一元二次方程x 2-2x -1=0的根的情况为( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根2. 若方程kx 2-6x +1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____________.3．设x 1、x 2是方程3x 2+4x -5＝0的两根，则=+2111x x ________，.x 12+x 22=________. 4．关于x 的方程2x 2+(m 2-9)x +m +1=0，当m =________时，两根互为倒数；当m =________时，两根互为相反数.5． 若x 11是二次方程x 2+ax +1＝0的一个根，则a =____，该方程的另一个根x 2=_______.【知识整理】1. 一元二次方程根的判别式(Δ)：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为_________________.(1)ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个____________实数根，即=2,1x _____________________.(2)ac b 42-=0⇔一元二次方程有_______相等的实数根，即==21x x __________.(3)ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax ______实数根. 2. 一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)：若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x _________，=⋅21x x __________.3. 易错知识辨析：(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【例题讲解】例1 当k 为何值时，方程x 2-6x +k -1=0，(1)两根相等；(2)有一根为0；(3)两根互为倒数.例2 如果方程组⎩⎨⎧+==②①m x y x y 242只有一组实数解，求m 值.例3 已知：方程12x 2=1-2x 的两根为x 1，x 2，不解方程求下列各式的值：(1)( x 1- x 2)2；(2)x 13x 2+x 1x 23.【中考演练】1．当c _______时，关于x 的方程2x 2+8x +c =0有实数根．2．设x 1，x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根，则(x 1+1)(x 2+1)= __________，x 12+x 22=_________， 1211x x +=__________，(x 1-x 2)2=_______. 3. 请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程_____________________.4. 设x 1，x 2是方程2x 2-3x +m =0的两个实根，且8 x 1-2 x 2=7，则m 的值是_______.5. 下列说法中不正确的是( )A.方程x 2+2x -7=0的两实数根之和为2B.方程x 2-3x -5=0的两实数根之积为-5C.方程x 2-2x -7=0的两实数根的平方和为18D.方程x 2-3x -5=0的两实数根的倒数和为0.66. 以3和-2为根的一元二次方程是( )A.x 2+3x -2=0B.x 2-3x +2=0C.x 2+x -6=0D.x 2-x -6=07．若关于x 的一元二次方程x 2-2x +m =0没有实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．m < lB ．m > -1C ．m > lD ．m < -18．已知α，β是关于x 的一元二次方程x 2+(2m +3)x +m 2=0的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是( )A ．3或-1B ．3C ．1D ．-3或19．一元二次方程x 2-3x +1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值是( )A ．3B ．-3C ．13D ．13- 10．已知关于x 的一元二次方程x 2-(m -1)x +m +2=0．(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值；(2)若方程的两实数根之积等于m 2-9m +211．求证：无论k 取何值，关于x 的方程x 2+kx -k -2=0一定有两个不相等的实数根.12. 阅读下列解题过程：已知：方程x 2+3x +1=0的两个根为α、β 解：∵ △=b 2-4ac =32-4×1×1=5>0∴ α≠β (1)由一元二次方程的根与系数的关系，得α+β=-3， αβ=1 (2)331-=+===- …… (3) 阅读后回答问题：上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程.。

考点四一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系知识点整合一、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．典例引领1．已知关于x 的一元二次方程()()22110x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若该方程的一个根为1，求m 的值及另一个根．【答案】(1)证明见解析(2)当0m =时，方程的另一个根为0x =；当1m =时，方程的另一个根为2x =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．（1）只需要证明()()221410m m m ∆=-+-+>⎡⎤⎣⎦恒成立即可；（2）把1x =代入原方程得到20m m -=，解方程求出m 的值，进而根据m 的值解方程求出方程的另一根即可．【详解】（1）证明：由题意得，()()22141m m m ∆=-+-+⎡⎤⎣⎦依题意有：215x -+=，21x k -⋅=，解得26x =，6k =-，故k 的值为6-，方程的另一个根为6x =．9．求证：对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根情况，判断其根的情况，完全取决于24b ac ∆=-的符号，当0> 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【详解】解：()24422m m =--△2488m m =-+()2414m =-+．()210m -≥，∴()241440m =-+≥>△．∴对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．10．已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m ++++=．(1)求证：不论实数m 取何值，方程总有实数根；(2)当m 取何值时，方程有两个相等的实数根？【答案】(1)见详解(2)1m =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“24b ac ∆=-”是解题关键．（1）方程有实数根时240b ac ∆=-≥，由此即可求解．（2）方程有两个相等的实数根即240b ac ∆=-=，由此即可求解．【详解】（1）证明：()()2243412b ac m m ∆=-=+-⨯⨯+26948m m m =++--221m m =++()21m =+（2）由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，根据()223122023342023k k k k -+=-+，计算求解即可．【详解】（1）解：∵2229x kx k +-=，∴22290x kx k -+-=，∴()()222419360k k ∆=--⨯⨯-=>，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，∴()2231220233420231520232038k k k k -+=-+=+=，∴23122023k k -+的值为2038．13．已知关于x 的方程22220x mx m ++-=．(1)试说明：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求22122043m m ++的值．【答案】(1)证明见解析(2)2029【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值；（1）根据一元二次方程根的判别式，进行证明即可；（2）根据方程有一个根为3，得出267m m +=-，然后整体代入求值即可．解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】（1）证明：∵()()2222241244880m m m m ∆=-⨯⨯-=-+=>，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程有一个根为3，∴223620m m ++-=，整理，得：267m m +=-，∴22122043m m ++()2262043m m =++()272043=⨯-+142043=-+2029=．14．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；(2)求证：该方程总有两个实数根．【答案】(1)1(2)见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，再解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行证明．掌握对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根；理解一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，是解决问题的关键．【详解】（1）解：当2x =时，4210m m -+-=3m ∴=，则原方程为：2320x x -+=，即：()()210x x --=，11x ∴=，22x =，∴另一个根1，（2）证明：()()2Δ411m m =--⨯⨯-244m m =-+()220m =-≥，∴该方程总有两个实数根；15．已知关于x 的一元二次方程()()25230x m x m +---=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)如果该方程的两个实数根的差为4，求m 的值(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；(3)已知方程20x mx n ++=是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn 的值．【答案】(1)2230x x +-=(2)1(3)mn 2=-【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现1x =是方程的根，直接写出一个根为1一元二次方程即可．（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现1x =是一元二次方程的一个根，直接求解即可．（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出240b ac ∆=-=，可以得到一个方程，再由凤凰方程，又可以得到一个10m n ++=的方程，然后去求，m 和n 即可，最后求出mn 的值．【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是1x =；即为：2230x x +-=．（2）关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，且满足0a b c ++=；∴1x =时，0a b c ++=；故凤凰”方程必定有一个根是1x =．（3）20x mx n ++= 是“凤凰”方程；10m n ∴++=，即1n m =--；方程20x mx n ++=有两个相等的实数根；240m n ∴∆=-=．将1n m =--代入，得()2410m m ---=；解得：2,1m n =-∴=；()212mn ∴=-⨯=-．19．已知关于x 的一元二次方程()23220x k x k ++++=．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若方程的两个根分别为1x ，2x ，且1212217x x x x ++=，求k 的值．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；（1）求出0∆>即可证明；（2）根据根与系数的关系得出1221k x k x -=++，123x x +=，结合已知等式得出关于k 的一元二次方程，解方程可得答案．【详解】（1）证明：∵()()()2222234194444452140k k k k k k k ∆=---++=+--=-+=-+>，∴无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程22310x x k k ++--=有两个实数根1x ，2x ，∴1221k x k x -=++，123x x +=，又∵()()12113++=x x ，∴121213x x x x +++=，∴23131k k -+++=+，解得：12k =，21k =-．5．已知关于x 的一元二次方程220x x k ++=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若m 是方程的根，且222m m +=，求k 的值．【答案】(1)1k <(2)2k =-【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解的含义，理解原理的应用是解本题的关键；（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得240b ac ∆=->，求出k 的取值范围即可；（2）先由方程解的含义可得22m m k +=-，结合222m m +=即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，∴24440b ac k ∆=-=->，解得：1k <；（2）∵m 是方程220x x k ++=的根，∴220m m k ++=即22m m k +=-，∵222m m +=，∴2k -=，解得：2k =-．6．已知关于x 的一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根．(1)求n 的取值范围；(2)当n 取最大值时，求方程2210(0)nx x n -+=≠的根．【答案】(1)1n ≤且0n ≠(2)121x x ==【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程．（1）根据题意，可得240b ac ∆=-≥，即440n -≥，解不等式，并根据一元二次方程的定义确定n 的取值范围即可；（2）结合n 的取值范围确定n 的最大值，然后利用配方法解该方程即可．【详解】（1）解：根据题意，一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根，则224(2)41440b ac n n ∆=-=--⨯⨯=-≥，解得1n ≤，又∵0n ≠，∴n 的取值范围是1n ≤且0n ≠；（2）由1n ≤且0n ≠得，n 的最大值为1，把1n =代入原方程得2210x x -+=，∴2(1)0x -=，解得121x x ==．7．己知一元二次方程2410x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求实数m 以及此时方程的根．【答案】(1)5m <(2)5m =，122x x ==【分析】本题考查了根的判别式，牢记“①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．”（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：2(4)4(1)m ∆=---，方程有两个不相等的实数根，∴0∆>，解得5m <．（2） 方程有两个相等的实数根，∴Δ0=，即164(1)0m --=解得5m =(1)若所捂的部分为【详解】（1）解：∵方程有实数解是1x 和2x ，∴()22410k ∆=--≥，解得2k ≤，故k 的取值范围是2k ≤；（2）∵一元二次方程2210x x k ++-=的实数解是1x 和2x ，∴122x x +=-，121x x k ⋅=-，则()121221x x x x k +-=---，∵12121x x x x +-<-∴()211k ---<-，解得0k >，又由（1）知2k ≤，∴02k <≤，∵k 为整数，∴k 的值为1或2．13．已知关于x 的一元二次方程250x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为3，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)方程的另一根为2-；(2)见解析【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，（1）将方程的根代入可求得a 的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；（2）用a 表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论；掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系及根与系数的关系是解题的关键．【详解】（1）解：将3x =代入方程250x ax a ++-=可得：9350a a ++-=，解得1a =-；∴方程为260x x --=，设另一根为x ，则36x =-，。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、知识点：1.一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式：2.一元二次方程根与系数的关系： （1）如果1x ，2x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根，那么a b x x -=+21，ac x x =∙21 （2）如果1x ，2x 是方程02=++q px x 的两个根，那么p x x -=+21，q x x =∙21二、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式的应用：1. 不解方程，判断方程根的情况：（1）；05432=--x x （2）；01322=+-x x （3）26232-=+y y2. 证明方程根的情况：（1）已知关于x 的方程0)12(2)12(2=-++-k x k x .①求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；②若等腰△ABC 中有两边的长恰好是这个方程的两个根，且这两边和为6，求△ABC 的周长.（2）小明说：“关于x 的方程)1.(0)1(4)1(222±≠=++-+m m mx x m 一定没有实数根”。

小明的说法对吗？说明你的理由.（3）求证：无论m 取何值，关于x 的方程01)32(2=++++m x m x 总有两个不相等的实数根。

（4）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，试判断关于x 的方程)(02)(2c b c b ax x c b ≠=-+--的根的情况.（5）已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状.3. 已知方程根的情况，求字母系数的取值范围：（1）已知：关于x 的一元二次方程：0)1(22=+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围.（2）关于x 的一元二次方程06)4(22=+--x kx x 无实数根，求k 的最小整数值.（3）若关于x 的方程0122=--x kx 有实数根，求k 的取值范围.三、一元二次方程根与系数的关系的应用：1．已知方程一根，求方程另一根及字母系数的值：（1）已知32+是关于x 的方程042=+-c x x 的一个根，求方程的另一个根及c 的值.（2）已知方程：0422=--bx x 的一个根为1，求另一个根及b 的值.（3）已知关于x 的方程0252=++k kx x 的一个根是21，它的另一个根及k 的值.2. 已知方程两根之间的关系，求字母系数的值：（1）关于x 的方程0)1(22=+--m x m x 的两根互为相反数，求m 的值.（2）关于x 的方程02)1(2=+++-k x k x 的两个实数根的平方和等于6，求k 的值.（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°， ∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，并且a ，b 是方程07822=+-x x 的两根. 求斜边c 的值.3. 不解方程，求代数式的值：（1）若1x ，2x 是方程01422=+-x x 的两个根，求下列代数式的值： ①2111x x +； ②2221x x + ③1221x x x x +；④221)x x -（ ⑤)3)(3(21++x x（2）已知1x ，2x 是方程0132=+-x x 的两个根，求代数式21214x x x --的值.（3）如果实数a ，b 满足方程0172=+-a a ，0172=+-b b ，求代数式b a a b +的值.（4）关于x 的一元二次方程0122=++-k x x 的实数根是1x ，2x .（1）求k 的取值范围；（2）如果7)4)(4(21-=--x x ，求k 的值；（3）设k x x x x y 2)(22121----=，求y 的最大值.。

中考数学第一轮复习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系mX+nx+m+3m=0有一个根为零，贝U m 的值等于2 24. 关于X 的一元二次方程 2X — 3x — a +1=0的一个根为2 21） X+5x+m — 3m+2=0的常数项为0，则m 的值等于（）A . 1B . 2C 【参考答案】 1. 5X 2— X — 3=0 5 — 1 — 32. — 33. ( X — 1) (X +2) 5. D 6.B♦【考点聚焦】知识点:元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 大纲要求： 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况， 也会根据根的情况确定字母的取值范围; 2. 掌握韦达定理及其简单的应用;3. 会在实数范围内把二次三项式分解因式;4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题♦【备考兵法】♦【课前热身】 1.方程(2X — 1) ( 3X +1) =X 2+2化为一般形式为，其中 a= ___ , b= ___ , c=3.关于X 的一元二次方程2X +mx+ n=0的两个根为 X 1=1, 2X 2=— 2,则x+mx+n 分解因式的结果A . 1B . 43 C732.关于X 的一元二次方程2，则a 的值是（）5.若关于X 的一元二次方程（m- .对含有字母系数1考查重点与常见题型〗1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况, 有关试题出现在选择题或填空题中， 女口：关2于X 的方程ax — 2x + 1 = .0中，如果a<0，那么根的情况是() (A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根2. 利用一元二次方程的根与系数 的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中 出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如: 设x i ，X 2是方程2x 2— 6x + 3 = 0的两根，则x i 2+ X 22的值是() (A ) 15 (B ) 12 (C ) 6 (D ) 33. 在中考试题中常出现有关根的判别式、 根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出 现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力.在一元二次方程的应 用中，列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义, 解(虽然是原方程的解)一定要舍去. 易错知识辨析:(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.(2)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意:①根的判别式b 2 -4ac 二0 ;工0,即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的 ♦【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式X 1,2 =b 2 -4ac <0u —元二次方程 ax 2 +bx + c = 0(a h 0 12. 一元二次方程根与系数的关系(C )没有实数根(D )不能确定凡不满足实际问题的②二次项系数a关于 X 的一元二次方程ax 2 + bx + C = 0(a 工0 )的根的判别式为・(1) b 2 — 4ac >0u —元二次方程ax 2 +bx + c = da H 0)有两个实数根，即(2) 2b — 4ac =0u —元二次方程有.相等的实数根，即 X 1 = X2 =实数根.2若关于x 的一元二次方程ax + bx+ c=0( a^O)有两根分别为x 1 ,他，那么X j +X 2 =♦【典例精析】例1 (四川绵阳)已知关于X 的一元二次方程 X 2 + 2 ( k — 1) X + k 2-1 = 0有两个不相等 的实数根.(1)求实数k 的取值范围;(2) 0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由. 【分析】这是一道确定待定系数 要考生具备分类讨论的思维能力.2 2=4k — 8k + 4 — 4k + 4 =•••原方程有两个不相等的实数根,—8k + 8 >0,解得k < 1,即实数k 的取值范围是 k v 1. (2)假设0是方程的一个根，则代入得 02 + 2 ( k — 1 )• 0 + k 2— 1 = 0 ,解得k = — 1或k = 1 (舍去).即当k = — 1时，0就为原方程的一个根.此时，原方程变为 X 2— 4X = 0，解得X 1 = 0 , X 2 = 4，所以它的另一个根是 4.例2 (北京)已知下列n (n 为正整数)个关于 X 的一元二次方程:2— 1=0m 的一元二次方程，？又讨论方程解的情况的优秀考题，需【答案】(= [ 2 ( k — 1)]2— 4 ( k 2— 1)(1)2 C八(2)2+2X — 3=02+ (n — 1) X — n=0 (n )(1)请解上述一元二次方程(1), (2), (3) ( n );(2)请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点，写出 .一条即可. 【分析】由具体到一般进行探究.【答案】(1) <1> (X+1) (X — 1) =0, 所以 X 1 = — 1 , X 2=1 . <2>(X+2) (X — 1) =0，所以 X 1=— 2, X 2=1 .<3> (X+3) (X — 1) =0，所以 X 1=— 3, X 2=1 .但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去.♦【迎考精练】一、选择题<n> (x+n ) (X — 1) =0，所以 X 1=— n , X 2=1.（2）比如：共同特点是：都有一个根为 1 ;都有一个根为负整数；两个根都是整数根等.【点评】本例从教材要求的基本知识出发， 探索具有某种特点的方程的解题规律及方程 根与系数之间的关系，注重了对学生观察、类比及联想等数学思想方法的考查. 例3 （江苏南京）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2: 1在温室内沿前侧内墙保留 3m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1m 宽的通道.当矩形温室的长与宽各 为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m ?【答案】解法一：设矩形温室的宽为 xm 贝y 长为2xm,根据题意，得(X — 2) • (2x — 4) =288.解这个方程，得X 1=— 10 （不合题意，舍去），X 2=14. 所以 x=14, 2x=2X 14=28.答：当矩形温室的长为 28m,宽为14m 时，蔬菜种植区域的面积是288n i .1 解法二：设矩形温室的长为 xm,则宽为一xm.2根据题意，得（ 解这个方程，得 1 -X — 2) • (X — 4) =288.2x i =— 20 (不合题意，舍去)，X 2=28.1 所以 x=28X — x= —21X 28=14.2 答：当矩形温室的长为 28m宽 为14m 时，蔬菜种植区域的面积是 288m .【解析】在一元二次方程的应用中, 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同,1.（台湾）若a 、b 为方程式x 2/（x+1）=1的两根，且a >b ,则-=bA. — 5两个相等的实数根，则下列结论正确的是3.（四川成都）若关于X 的一元二次方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是为（ ）A. 2006 设方程x 2— 4x — 1=0的两个根为X 1与X 2，则X 1X 2的值是（）A. — 4A. X 2-2x -1 =02.X -2x +3 = 0C. X 2 = 2^/3x -32.X -4x +4 = 0A. a = 0 a =2.a =1 D . a = 0 或 a = 26.（山东烟台） 设a, b 是方程 2 2X + x-2009 =0的两个实数根，则a + 2a+b 的值为（ （湖北十堰） 下列方程中, 有两个不相等实数根的是（（四川眉山） 若方程X 2-3x-1=0的两根为X 1、X 2，则 丄+丄 的值为X 1 X 2A. 310 .（山东东营）若n （ n H 0）是关于x 的方程X 2 +mx + 2n = 0的根，贝U m +n 的值为（D. 32. （2.009年湖南株洲）定义：如果一元二次方程 2ax +bx +c = 0(aH0)满足 a + b + c = 0 , 那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知ax 2 + bx+ c = 0（aH0）是“凤凰”方程，且有A. a = cB. a = bC. b = CD. a = b = CB.k 》_1 且 kH0 C. k<1D.kc1 且k H 04.（内蒙古包头） 关于x 的一元二次方程2X -mx+2m —1 = 0的两个实数根分别是 为、X 2 ,2则（X 1 -X 2）的值是A. 1B . 12C . 13D . 255.（湖北荆州） 关于x 的方程ax 2 -（a +2）x +2=0只有一解（相同解算一解），则a 的值（湖北宜昌） .2007A.1B.2C.-1D.-2二、填空题1.（上海市）如果关于x的方程X2 - x + k =0 （k为常数）有两个相等的实数根，那么2.（山东泰安）关于X的一元二次方程-X2+（2k +1）x + 2-k2=0有实数根，贝U k的取值范围是3.（广西崇左）_2元二次方程X +mx+ 3=0的一个根为—1，则另一个根为4.（广西贺州）已知关于X的一元二次方程x2-x-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是三、解答题1.（山东淄博）已知X i, X2是方程X2-2x +a =0的两个实数根，且Xi + 2x2=3-42 .(1)求x i, X2及a的值;(2)求X|3 -3x i2+2x i +x2 的值.2.（广东中山）已知：关于X的方程2x2+kx-1=0（1 ）求证：方程有两个不相等的实数根;（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.3.（重庆江津区）已知a、b、c分别是△ ABC的三边，其中a= 1 ,c = 4，且关于x的方程X2 -4x +b = 0有两个相等的实数根，试判断^ ABC的形状.2 24. (湖南怀化)如图，已知二次函数y=(x +m) + k-m的图象与X轴相交于两个不同的点A(Xi,O)、B(X2,O)，与y轴的交点为C .设△ ABC的外接圆的圆心为点P .(1 )求0卩与y轴的另一个交点D的坐标;(2)如果AB恰好为O P的直径，且△ABC的面积等于J5，求m和k的值.【参考答案】选择题5.(湖北黄石)已知关于X的函数y=ax2+ x+1 （a为常数）(1 )若函数的图象与X轴恰有一个交点，求a的值;(2 )若函数的图象是抛物线，且顶点始终在X轴上方，求a的取值范围.42 2 2 2又••• X 1 +X 2 =(X 1 +X2 ) —2X 1X 2 =7 ••• m —2(2m —1 )=7 得 口 =—1 , m 2 =5，而 当m=5时，原方程的判别式 △ =25-4x9 = —11 v 0，此时方程无解，/• m=5不合.题I X 1 +X 2 1(X 1 _X2 $ =(片 +X2 ) —4X 1X 2 =(-1 ) —4^(—3)=13，故选 C"x = -3I Xi + X = im本题易出错，学生易在求得叶=-1或m 2 =5的两个值后，代入] 2— ，求出.X 2 = 2m — 12 2(X 1 —X 2 ) =(X 1中X 2 ) —4X 1X 2 =13或—11,易漏掉检验方程是否存在实根D 【解析】本题考查方程的有关知识，关于 X 的方程ax 2 - (a + 2)x + 2 = 0只有一解,有两个相等等的实数根，(a +2 2 —4aL2=0 ,解得a =2，故选D. 6. 7. 8. 9. 10. 填空题 1.1. 2. 3. 4.【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式.由题意知:"x, + X 2 = m x ,.X 2 = 2m — 15.有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a =0 ,②该方程是一元二次方程，方程2. k>_9 43.4.4-11-解答题収1 + X 2 =2,1.解：(1)由题意，得｛[x 1 +2x 2 =3 —V 2.解得X t =1 ,X 2 =1 -血.(2)法一： 由题意，得X ： —2捲一1 =0 .所以 x 1^ -3x 1^2x 1 +x , = x 13 -2x 12 -x 1 -x 1^3x 1 +x 2=—x|2 +2x 1 +1 +x i +X 2 —1 =2 —1 =1 .法二：由题意，得为2 =2为+1，3 2所以 x 1 -3x 1 +2x 1 +x 2 = ^(2xi +1)—3(2为 +1)+2x 1+x 22= 2xi + 捲 一6为一3+2捲 +x 2 = 2(2xi +1) —3为一3+x 2= 4X| +2 —3x i —3 + x ? = X i + x ? —1 =2 —1 =1 .2.解：(1) 2x 2 +kx-1 =0 ,氐=k 2 -4x2x(-1) = k 2 +8,2 2无论k 取何值，k > 0，所以k +8〉0，即也>0 ,2/.方程2x + kx -1 = 0有两个不相等的实数根.k1 (2)设 2x2+kx —1=0的另一个根为 x ，贝y x-1=-- , (―1Lx = —-2 21解得：x=—, k=1,21/. 2x 2 +kx —1 =0的另一个根为一，k 的值为1.23.解：•••方程X 2 -4x+b =0有两个相等的实数根•••△ =(Y)2-4b=0/• b=4.•/ c=4.••• b=c=4.所以 a =X 1 X 2 =(1+间(1 -间=—1 .•••△ ABC为等腰三角形.4-12--13 -4.解（1 ）易求得点C 的坐标为（0, k ）由题设可知x 1, x 2是方程（x + m ）2+k-m 2 =0即 X 2 +2mx+k =0 的两根，故 x 1,2 = —2m ±J (]2必竺，所以 X 1 + x^ -2m, x^x^ k 如图3,vo P 与y 轴的另一个交点为 D,由于AB CD 是O P 的 两条相交弦，设它们的交点为点 0连结DB•••△ AO 3A DOS" O D /A^B OC X 1X 2 k |k=—k=1 y A C 由题意知点C 在y 轴的负半轴上，从而点 D 在y 轴的正半轴上, 图3 所以点D 的坐标为（0, 1）（2）因为AB 丄CD AB 又恰好为O P 的直径，则C 、D 关于点0对称, 所以点C 的坐标为（0,-1），即k = -1）又 AB = X2 -% =J (X 2 + x 』2 -4x^2 = J (-2m)2 -4k = 2j m 2 - k = 2j m 2 +1 , A A 厂 一所以 ABC = 1 AB^OC = X 2j m 2 +1X 1 =75解得 m = ±2.2 2 5.解：（1）当a=0时，函数为y=x+1，它的图象显然与 x 轴 只.有一个交点（—1,0）.当a H0时，依题意得方程ax 2 +x +1 =0有两等实数根. 1:b =1 -4a =0，”•. a =-4c 1 ”•.当a=0或a= 时函数图象与x 轴恰有一个交点.44a -1 1（2）依题意有 ---- >0分类讨论解得a > -或a V 0.44a 1 当a 》—或a<0时，抛物线顶点始终在 x 轴上方.4。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

这是因为Δ大于0表示
判别式是一个正数，所以开方后可以得到一个实数。

这种情况下方程的根
可以通过求解下面的式子来得到：
x1=(-b+√Δ)/(2a)
x2=(-b-√Δ)/(2a)
2.当Δ=0时，方程有一个实数根。

这是因为Δ等于0表示判别式是
一个零，所以开方后可以得到同一个数字。

这种情况下方程的根可以通过
求解下面的式子来得到：
x=-b/(2a)
3.当Δ<0时，方程没有实数根。

这是因为Δ小于0表示判别式是一
个负数，所以开根号无法得到实数。

但是我们可以通过引入虚数单位i来
表示方程的根。

这种情况下方程的根可以通过求解下面的式子来得到：x1=(-b+√(-Δ)i)/(2a)
x2=(-b-√(-Δ)i)/(2a)
根据根与系数的关系
1.根与二次项系数a的关系：当a大于0时，方程开口向上，根的值
会随着a增大而增大；当a小于0时，方程开口向下，根的值会随着a减
小而增大。

2.根与一次项系数b的关系：根的值与b的正负有关，当b大于0时，根的值变大；当b小于0时，根的值变小。

3.根与常数项系数c的关系：根的值与c的正负有关，当c大于0时，根的值变小；当c小于0时，根的值变大。

这些关系可以帮助我们更好地理解和应用一元二次方程的根。

在实际
问题的解决中，根与系数的关系可以帮助我们分析方程的性质，例如方程
的图像形状和根的变化趋势，并在需要的时候做出合理的调整和判断。

一元二次方程的根的判别式和根与系数关系一、知识要点：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式：24b ac ∆=-；2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数关系：（1）设12,x x 是方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根,则有1212,b c x x x x a a+=-=；（2）以12,x x 为两根的一元二次方程是：21212()0x x x x x x -++=。

3、公式变形：2221212122212121212121212121212(1)()2(2)()()4(3)(1)(1)()111(4)(5)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+--=+- ++=++++ += -==121212121210000010x x x x x x x x x x x ⇔∆>⇔∆⇔∆<⇔∆≥∆≥⎧⎪⇔+=⎨⎪≤⎩∆≥⎧⇔⎨⎩∆≥⎧⎪⇔+>⎨⎪>⎩∆≥⇔+4、（1）方程有两个不等实根；（2）方程有两个相等实根＝0；（3）方程没有实根0；（4）方程有两个实根0（5）方程有两个互为相反数的实根 （6）方程有两个互为倒数的实根＝0 （7）方程有两个正根0 （8）方程有两个负根2121212121200000x x x x x x x x x x x ⎧⎪<⎨⎪>⎩∆>⎧⎪⇔+>⎨⎪<⎩∆>⎧⎪⇔+<⎨⎪<⎩0 （9）方程有两个异号根，且正根的绝对值比较大0 （10）方程有两个异号根，且负根的绝对值比较大例1、解关于x的方程：2--+=m x mx m(1)20例2、已知关于x的一元二次方程2m x mx m+++-=有两个不等实根，且这两根又不互为相反数，(1)230求m的取值范围。

例3、已知关于x的方程22--+=x m x m4(2)40（1）若方程有两个相等实根，求m的值，并求出方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实根的平方和等于224？若存在，请求出满足条件的m值；若不存在，请说明理由。

第10课一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系（教学案）启东市长江中学九年级数学组执教者:黄美娟复习目标:1•掌握用判别式判断一元二次方程的根的情况和用判别式确定方程中字母 系数的取值范围，会灵活运用判别式解决有关问题。

2•理解一元二次方程的根与系数的关系式，会用它解决有关简单问题。

复习重点：掌握根的判别式及根与系数关系.灵活运用配方法、因式分解法等数 学方法和降次、化归、方程、分类讨论的数学思想解决问题。

复习难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问 题应具备的条件，特别是不忽略隐含条件并注意对待定系数的检验。

—、预习交流复习书本P34-37, P40-41内容，完成【知识整理】和【基础扫描】 （一）、【知识整理】（二）、【基础扫描】1. （2011*福州）一元二次方程x （x-2） =0根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C •只有一个实数根 D.没有实数根 2. （2011・威海）关于x 的一元二次方程x?+ （m-2） x+m+l=0有两个相等的实数根，则m 的值是（）A.OB.8 CA±y{2 D.0 或 8 3・（2010-荆门市）若关于x 的方程a X 2+2X +1= 0有两个不等实数根，则实数a的取值范围 ________—元二次方程 ax - +bx+c=0(aH0)J4.（2010-眉山）已知方程x2 -5x+2=O的两个解分别为x |、x 2，Wljx1 + x2-x1・x2的值为（）A.-7B.-3C.7D.35.（2011-常州）已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根为2,则m= _________ ,另一个根是—6•已知£ , x?是一元二次方程X2-2X-1=0的两根，则x「+X2：= ________ , Xj +2 X2= __7.（2011-南充市）已知关于x的一元二次方程x:+2x+k+1= 0的实数解是X］和 X?.（1）求k的取值范围；（2）如果X1+X2-X1X2 且k为整数，求k的值.8.（2010*中山）已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0.（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为xi, X2,且xi+3X2=3,求m的值.二、展示交流 1例1. （1） m为任意实数时，关于x的方程-x2-（m + \）x+m2 + 2m + 2 = 0 的根的情况是___________ 2（2） a,b,c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx + （a + b） = 0的根的情况是___________例2：已知关于x的一元二次方程（m-l）x2+x+l=0有实数根，则m的取值范围_______ °变式1：已知关于x的方程（m・l）x2+x+l=0有两个不相等实数根，则m的取值范围________变式2：已知关于x的方程（m-1） x2+x+l=0有两个实数根，则m的取值范围例3 (2010＞芜湖)已知A), x2是方程X2+3X +\= 0的两个实数根，求下列式子的值(l)(x ] - 2)(x 2 - 2) (2)x「+ Sx2 + 20例4已知关于x的一元二次方程x?+ (2m-1) x+m2 =0有两个实数根X】和x?・(1)求实数m的取值范围；(2)当(Xi + x?) • (Xj- x2) =0 时，求 m 的值.三、课堂小结1 •本课我们复习了哪些知识点？2 •解题时注意哪些问题？四、当堂检测1.（2011-潍坊）关于x的方程x2+2kx+k-l=O的根的情况描述正确的是（）A、k为任何实数，方程都没有实数根B、k为任何实数，方程都有两个不相等的实数抿C、k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D、根据k的取值不同，方程根的悄况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种2.（2010*自贡）关于x的一元二次方程-X，+ （2m+l） x+l-m2=0无实数根,则m的取值范围是_________3.（2011-德州）若” X，是方程x2+x-l=0的两个根，贝9立+生二____________ ,Xi X.4•已知方程X2-2X+C=0的一个根是3,则方程的另一个根__________ c的值5•已知x,, X2是关于X的一元二次方程x2-6x+k=0的两个实数根，且 x「x22- x r x2=115.求 k 的值。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系复习【课前热身】1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 . 3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则1211x x += ，.x 12＋x 22＝ . 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数； 当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 12是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，另一个根x 2 = . 【要点回顾】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=的根的判别式为 .（1）24b ac ->0⇔一元二次方程()200ax bx c a ++=有两个 实数根，即1,2x = .（2）24b ac -=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即12x x == .（3）24b ac -<0⇔一元二次方程()200ax bx c a ++=实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=有两根分别为1x ，2x ，那么12x x += ，12x x ? .例1、 求证关于x 的方程x 2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。

例2、m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,(1) 有两个相等实根；（2）有两个不相等实根；（3）无实根； (4)有两个实根. （5）有一根为0；例3、（1）已知关于x 的方程3x 2+6x-2=0的两根为x 1 、x 2，求1211x x +的值. （2） 已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且12113x x += ， 求 ①m 的值；②求x 12+x 22的值； ③x 13+x 23的值；④|x 1-x 2|的值.【强化训练】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______.2．当c =__________时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于x 的方程2(2)20x a x a b -++-=的判别式等于0，且12x =是方程的根，则a b +的值为 ．4. 已知a b ，是关于x 的方程2(21)(1)0x k x k k -+++=的两个实数根，则22a b +的最小值是 ．5．已知α，β是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111a b+=-，则m 的值是（ ） Ａ．3或1- Ｂ．3Ｃ．1Ｄ．3-或16．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3-Ｃ．13Ｄ．13-7．若关于x 的一元二次方程 2.20x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m<l B ．m>－1 C ．m>l D ．m<－18. 菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长是方程27120x x -+= 的一个根，则菱形ABCD 的周长为 .9．设关于x 的方程kx 2－(2k ＋1)x ＋k ＝0的两实数根为x 1、x 2，，若122117,4x x x x +=求k 的值.10．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+的值．11、 若关于x 的一元二次方程x 2-3(m+1)x+m 2-9m+20=0有两个实数根，又已知a 、b 、c 分别是△ABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90°，且cosB=53,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt △ABC 的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m 的值；若不存在，说明理由.“存在性”问题）。