高中数学 2.2.1直接证明与间接证明(一)同步练习(含解析)苏教版选修12

2.2.1 直接证明双基达标 (限时20分钟)1．分析法是________．①执果索因的逆推法；②执因导果的顺推法；③因果别离互推的两头凑法；④寻觅结论成立的充要条件的证明办法．答案 ①2．设a 、b 是正实数，以下不等式①ab ＞2ab a ＋b；②a ＞|a －b |－b ；③ab ＋2ab ＞2恒成立的序号是________．解析 当a ＝b 时，ab ＝2ab a ＋b ，∴①不成立． a 、b 为正数，∴a ＋b ＞|a －b |，②成立．ab ＋2ab≥22＞2，故③成立． 答案 ②③3．设函数f (x )是概念在R 上，周期为3的奇函数，若f (1)＜1，f (2)＝2a －1a ＋1，则a 的取值范围为________．解析 由题意得f (－2)＝f (1－3)＝f (1)＜1，∴－f (2)＜1，即－2a －1a ＋1<1. ∴3a a ＋1>0，即3a (a ＋1)＞0.∴a ＜－1或a ＞0. 答案 a ＜－1或a ＞04．若是a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则正数a ，b 应知足的条件是________．解析 ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a ∴a (a －b )＋b (b －a )＞0∴(a －b )(a －b )＞0.∴(a ＋b )(a －b )2＞0， ∴a －b ≠0即a ≠b .答案 a ≠b5．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状必然是________． 解析 在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，即2a 2＋c 2－b 22ac·a ＝c . ∴a 2＋c 2－b 2＝c 2，∴a 2＝b 2，∴a ＝b .∴△ABC 是等腰三角形．答案 等腰三角形6．设a ，b ＞0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.证明 法一 分析法要证a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )成立，又因a ＋b ＞0，只需证a 2－ab ＋b 2＞ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2＞0成立，即需证(a －b )2＞0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2＞0显然成立．由此命题得证．法二 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2＞0⇒a 2－2ab ＋b 2＞0⇒a 2－ab ＋b 2＞ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b ＞0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＞ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.综合提高 (限时25分钟)7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n (m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为________．①p ≥q ；②p ≤q ；③p ＞q .解析 q ＝ ab ＋mad n ＋nbc m ＋cd ≥ ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p . 答案 ②8．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则P ________S (填“>”或“<”或“≥”或“≤”)．解析 S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴S ≥P .答案：≤9．已知a ＞0，b ＞0，若是不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b恒成立，那么m 的最大值等于________． 解析 ∵a ＞0，b ＞0，∴不等式可化为m ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋1b (2a ＋b )＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b . 只需求右边的最小值，由大体不等式，有5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，∴m ≤9.答案 910．设f (x )是概念在R 上的偶函数，当x >0时，f (x )＋xf ′(x )>0，f (1)＝0，则不等式xf (x )>0的解集为________．解析 ∵x >0时，f (x )＋xf ′(x )>0，即(xf (x ))′>0，∴xf (x )在(0，＋∞)是增函数．又f (1)＝0，∴x ＝1时，xf (x )＝0.∵f (x )为偶函数，∴xf (x )为奇函数．∴xf (x )的图象如图．∴xf (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)11．a 、b 、c 为互不相等的正数，且abc ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c . 证明 法一 由左式推证右式∵abc ＝1，且a 、b 、c 为互不相等的正数∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab＝bc ＋ac 2＋ac ＋ab 2＋ab ＋bc 2>bc ·ac ＋ac ·ab ＋ab ·bc ＝c ＋a ＋b∴1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c .法二 右式⇒左式∵a ，b ，c 为互不相等的正数，且abc ＝1. ∴a ＋b ＋c ＝ 1bc ＋ 1ac ＋ 1ab<1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c .12．已知x ＞0，y ＞0，求证(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13. 证明 要证明(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13， 只需证(x 2＋y 2)3＞(x 3＋x 3)2.只需证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6＞x 6＋2x 3y 3＋y 6， 只需证3x 4y 2＋3x 2y 4＞2x 3y 3.又x ＞0，y ＞0，∴x 2y 2＞0，∴只需证3x 2＋3y 2＞2xy ， ∵3x 2＋3y 2＞x 2＋y 2≥2xy ，∴3x 2＋3y 2＞2xy 成立，故(x 2＋y 2)12＞(x 3＋y 3)13. 13．(创新拓展)已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6，a 5＝162.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，证明：S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 2＝a 1q ，a 5＝a 1q 4，依题意，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，a 1q 4＝162. 解得a 1＝2，q ＝3，∴a n ＝2·3n －1(2)∵S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1， ∴S n ·S n ＋2S 2n ＋1＝32n ＋2－(3n ＋3n ＋2)＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1≤32n ＋2－23n ·3n ＋2＋132n ＋2－2·3n ＋1＋1＝1， 即S n ·S n ＋2S 2n ＋1≤1.。

2.2 直接证明与间接证明1、关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法2、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<3、若两个正实数,x y 满足141x y +=,且不等式234y x m m +<-有解,则实数m 的取值范围是( )A. ()1,4?-B. (,1)(4,)-∞-⋃+∞C. ()4,1?-D. (,0)(3,)-∞⋃+∞4、下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法.其中正确的语句有( )A.2个B.3个C.4个D.5个5、设()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,若120x x +>,则()()12f x f x +的值( )A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负6、下列不等式不成立的是( )A. 222a b c ab bc ca ++≥++)0,0a b >>>)3a <≥>7、设(0)a b c ∈∞，，－，，则1a b +，1b c +，1c a +( ) A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一个不小于－2D.至少有一个不大于－28、否定:“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A.,,a b c 都是偶数B.,,a b c 都是奇数C.,,a b c 中至少有两个偶数D.,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数9、若ABC △能被一条直线分成两个与自身相似的三角形,那么这个三角形的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定10、用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程20x ax b ++=没有实根B.方程20x ax b ++=至多有一个实根C.方程20x ax b ++=至多有两个实根D.方程20x ax b ++=恰好有两个实根11、如果>则实数,a b 应满足的条件是__________.12、如果>则正数,a b 应满足的条件是__________.13、用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为0 (,a b 为实数)”,其反设为__________.14、用反证法证明命题“设,a b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是__________.15、已知数列{}n a 满足: ()()()111131211,,01211n n n n n n a a a a a n a a +++++==<≥--;数列{}n b 满足: ()2211n n n b a a n +=-≥. 1.求数列{}{},n n a b 的通项公式;2.证明:数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：根据综合法的定义可得,综合法是由因导果法,是顺推证法;根据分析法的定义可得,分析法是执果索因法,是逆推证法,它们都是直接证法.故选D.2答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .3答案及解析：答案：B解析：∵110,0,1x y x y >>+=,∴144224444y y y x x x x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,等号在4y x =,即2,8x y ==时成立,∴4y x +的最小值为4,要使不等式234y m m x ->+有解,应有234m m ->,∴1m <-或4m >,故选B.4答案及解析：答案：C解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确.5答案及解析：答案：A解析：由()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时, ()f x 单调递减,可知()f x 是R 上的单调递减函数.由120x x +>,可知12x x >-,()()12f x f x <-,则()()120f x f x +<.故选A.6答案及解析：解析：对A,∵2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,∴222a b c ab bc ca ++≥++;对B,∵22a b a b +=+=+>;对C,)3a <≥成立,只需证明<两边平方得2323a a -+<-+,<两边平方得22332a a a a -<-+,即02<.因为02<显然成立,所以原不等式成立;对于D ()221224430-=+=<<故D 错误.7答案及解析：答案：D解析：8答案及解析：答案：D解析：恰有一个偶数的否定有两种情况,其一是无偶数(全为奇数),其二是至少有两个偶数,故选D.9答案及解析：答案：B解析：分ABC △的直线只能过一个顶点且与对边相交,如直线AD (点D 在BC 上),则πADB ADC ∠+∠=,若ADB ∠为钝角,则ADC ∠为锐角.而,ADC BAD ADC ABD ∠>∠∠>∠,ABD △与ACD △不可能相似,与已知不符,只有当π2ADB ADC BAC ∠=∠=∠=时,才符合题意.10答案及解析：解析：“方程20x ax b ++=至少有一个实根”等价于“方程20x ax b ++=有一个实根或两个实根”所以该命题的否定是“方程20x ax b ++=没有实根”.故选A.11答案及解析：答案：0,0a b ≥≥且a b ≠解析：若>则0a b +>,即()20a b -=>, 所以有0,0a b ≥≥且a b ≠.12答案及解析：答案：a b ≠解析：∵-()ab a b =+=- 2=∴只要a b ≠,就有>13答案及解析：答案：a,b 不全为0解析：“,a b 全为0”即是“0a =且0b =”,因此它的反设为“0a ≠或0b ≠”.14答案及解析：答案：方程30x ax b ++=没有实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程30x ax b ++=没有实根”.15答案及解析：答案：1.由题意可知, ()2212113n n a a +-=-. 令21n n c a =-,则123n n c c +=. 又211314c a =-=,则数列{}n c 是首项为134c =,公比为23的等比数列,即13243n n c -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭, 故11223232114343n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⋅⇒=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 又1110,02n n a a a +=><,故()1n n a -=-1122132321211434343n n n n n nb a a --+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-⋅--⋅=⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 2.用反证法证明.假设数列{}n b 存在三项(,,)r s t b b b r s t <<,按某种顺序成等差数列,由于数列{}n b 是首项为14,公比为23的等比数列,于是有r s t b b b >>,则只可能有2s r t b b b =+成立. ∴1111212122434343s r t ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 两边同乘以1132t r --,化简得32223t r t r s r t s ----+=⋅.由于r s t <<,∴上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{}n b 中任意三项不可能成等差数列.解析：由Ruize收集整理。

2。

2 直接证明与间接证明2.2.1 直接证明知识梳理证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的，这种证明通常称为____________，其一般形式为⇒⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫ 已知定理已知公理已知定义本题条条本题结论。

其中从已知条件出发，以已知的定义、定理、公理为依据,逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法称为_____________，推证过程为已知条件⇒……⇒……⇒结论.而从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法常称为____________，推证过程为⇐……⇐……⇐。

知识导学综合法与分析法都是直接证明。

综合法是从已知条件出发，经过推理,导出所要结论，步骤比较简洁明了，但入手点比较难找,而分析法则是从要证的结论出发,寻求它的论据,直至归结到题设条件(结论成立的充分条件）,运用综合法证明需先对题目进行分析,找到证明的出发点，两者相辅相成，辩证统一.疑难突破综合法与分析法的比较剖析：一般地,对于命题“若A 则D”，用综合法证明时，思考过程可表示为综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A 推演到达D 的途径，但由A 推演出的中间结论未必唯一，如B,B 1，B 2等。

由B ，B 1，B 2推演出的进一步的中间结论则可能更多,如C ，C 1，C 2，C 3，C 4等，最终能有一个(或多个）可推演出结论D 即可。

用分析法思考数学问题的顺序可理解为(对于命题“若A 则D”)分析法的思考顺序是执果索因的顺序.是从D 上溯寻其论据，如C,C 1，C 2等,再寻求C ，C 1，C 2的论据，如B,B 1，B 2，B 3，B 4等等,继而寻求B ，B 1，B 2，B 3，B 4的论据，如果其中之一B 的论据恰好为已知条件,于是命题得证. 用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有区别，在综合法中,每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的，而在分析法中，就应当用假设的语气,习惯上常用这样一类语句：假如要A 成立，就必须先有B 成立;如果要有B 成立，又只需有C 成立……这样从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时，所有各个中间的辅助命题，仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才确信它是真实的,从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的，于是命题就被证明了。

2.2 直接证明与间接证明1、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<2、若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内, 2l 在平面β内, l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A. l 至少与12,l l 中的一条相交B. l 与12,l l 都相交C. l 至多与12,l l 中的一条相交D. l 与12,l l 都不相交3、下列不等式不成立的是( )A. 222a b c ab bc ac ++≥++B. )0,0a b≥>>C.)3a <≥D. <4、设,,?a b m 都是正整数,且a b <,则下列不等式中恒不成立的是( )A.1a a m b b m+<<+ B. a a m b b m+≥+ C. 1a a m b b m+≤≤+ D. 1b m b a m a +≤≤+5、已知,,a b c 为不全相等的实数, ()2223,2,P a b c Q a b c =+++=++则P 与Q 的大小关系是( )A. P Q >B. P Q ≥C. P Q <D. P Q ≤6、<(0)a ≥可选择的方法很多,其中最合理的是( )A.综合法B.类比法C.分析法D.归纳法7、用反证法证明“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”时,应假设( )A.,,a b c 都是偶数B.,,a b c 都是奇数C.,,a b c 中至少有两个偶数D.,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数8、已知0a b c ++>,0ab bc ac ++>,0abc >,用反证法求证0a >,0b >,0c >时的反设为( )A.0,0,0a b c <<<B.0,0,0a b c ≤>>C.,,a b c 不全是正数D.0abc <9、在运用反证法推出矛盾的推理过程中,可以把下列哪些作为条件使用( )①结论的反设;②已知条件; ③定义、公理、定理等;④原结论. A.①② B.②③C.①②③D.①②④ 10、用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是( )A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D.假设三内角至多有两个大于60度11、设0,0,0a b c >>>且 1.a b c ++=则111a b c++的最小值为__________. 12、使用反证法证明“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_________________.13、用反证法证明命题“,N a b ∈,如果ab 可被5整除,那么,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是__________.14、设,a b 是两个实数,给出下列条件:①1a b +>;②2a b +=;③2a b +>;④222a b +>;⑤1?ab >.其中能推出:" ,a b 中至少有一个实数大于1”的条件是__________.15、已知函数()f x 在R 上是增函数，,R a b ∈.(1)求证：如果0a b +≥，那么()()()()f a f b f a f b +≥-+-.(2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .2答案及解析：答案：A解析：若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内, 2l 在平面β内, l 是平面α与平面β的交线,则l 至少与1l ,2l 中的一条相交,故选A.3答案及解析：答案：D解析：4答案及解析：答案：B 解析：可证明a a m b b m +≤+成立,要证明a a m b b m+<+,由于,,?a b m 都是正整数,故只需证ab am ab bm +<+,即证()0a b m -<,因为a b <,所以()0a b m -<成立.5答案及解析：答案：A解析：要比较,?P Q 的大小,只需比较P Q -与0的关系.因为()()()()22222222232212121111P Q a b c a b c a a b b c c a b c -=+++-++=-++-++-+=-+-+-,又,,a b c 不全相等,所以0P Q ->,即.P Q >6答案及解析：答案：C解析：<,只需证明2727a a ++++只需证明227712a a a a +<++,只需证明012<,故选择分析法最合理.7答案及解析：答案：D解析：自然数,,a b c 的奇偶性共有四种情形:3个都是奇数,1个偶数2个奇数,2个偶数1个奇数,3个都是偶数,所以假设应为“,,a b c 中都是奇数或至少有两个是偶数”8答案及解析：答案：C解析：9答案及解析：答案：C解析：除原结论不能作为推理条件外,其余均可.10答案及解析：答案：B解析：根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,即"三内角都大于60度".故选B.11答案及解析：答案：9解析：因为0,0,0a b c >>>且1a b c ++=所以1113()()()b a c a c b a b c a b a c b c++=++++++32229≥+++=当且仅当a b c ==时等号成立.12答案及解析：答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.13答案及解析：答案：,a b 都不能被5整除解析：反证法是“间接证明法”一类,是从反方向证明的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。

直接证明[对应学生用书P26]1．若实数a，b满足a＋b＝3，证明：2a＋2b≥4 2.证明：因为2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b，又a＋b＝3，所以2a＋2b≥223＝4 2.故2a＋2b≥42成立．问题1：本题利用什么公式？提示：基本不等式．问题2：本题证明顺序是什么？提示：从已知到结论．2．求证：3＋22<2＋7.证明：要证明3＋22<2＋7，由于3＋22>0,2＋7>0，只需证明(3＋22)2<(2＋7)2，展开得11＋46<11＋47，只需证明6<7，显然6<7成立．所以3＋22<2＋7成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证题思路是什么？提示：寻求上一步成立的充分条件．1．直接证明(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明．(2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒…⇒本题结论．2．综合法和分析法直接证明 定义推证过程综合法 从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法已知条件⇒…⇒…⇒结论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法 结论⇐…⇐…⇐已知条件1．综合法是从“已知”看“可知”逐步推向未知，由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件．它的证明格式为：因为×××，所以×××，所以×××……所以×××成立．2．分析法证明问题时，是从“未知”看“需知”，执果索因逐步靠拢“已知”，通过逐步探索，寻找问题成立的充分条件．它的证明格式：要证×××，只需证×××，只需证×××……因为×××成立，所以×××成立．[对应学生用书P27]综合法的应用[例1] 已知a ，b ，c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[思路点拨]从已知条件出发，结合基本不等式，即可得出结论． [精解详析]∵a 2＋19≥2a 3，b 2＋19≥2b 3，c 2＋19≥2c 3，∴⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2＋19≥23a ＋23b ＋23c＝23(a ＋b ＋c )＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.[一点通]综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路．第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．1．设a ，b ，c 为不全相等的正数，且abc ＝1， 求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：∵a >0，b >0，c >0，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab .又bc ＋ca ≥2bc ·ca ＝2abc 2＝2c ， 同理bc ＋ab ≥2b ，ca ＋ab ≥2a . ∵a 、b 、c 不全相等．∴上述三个不等式中的“＝”不能同时成立． ∴2(bc ＋ca ＋ab )>2(c ＋a ＋b )， 即bc ＋ca ＋ab >a ＋b ＋c ， 故1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .2.(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真；(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需证明)．解：(1)证明：法一：如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线a ，b ，c ，n 的方向向量分别是a ，b ，c ，n ，则b ，c ，n 共面．根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得c ＝λb ＋μn ，则a·c ＝a·(λb ＋μn )＝λ(a·b )＋μ(a·n )，因为a ⊥b ，所以a·b ＝0， 又因为aπ，n ⊥π，所以a·n ＝0，故a·c ＝0，从而a ⊥c .法二：如图，记c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c . ∵PO ⊥π，a π，∴直线PO ⊥a . 又a ⊥b ，b平面PAO ，PO ∩b ＝P ，∴a ⊥平面PAO .又c平面PAO ，∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．分析法的应用[例2] 已知a >b >0，求证：(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b.[思路点拨]本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求结论成立的充分条件，即用分析法．[精解详析]要证明(a －b )28a <a ＋b 2－ab <(a －b )28b 成立，只需证(a －b )24a <a ＋b －2ab <(a －b )24b 成立，即证(a －b )24a <(a －b )2<(a －b )24b 成立．只需证a －b 2a <a －b <a －b2b成立．只需证a＋b2a<1<a＋b2b成立，即证a＋b<2a且a＋b>2b，即b<a.∵a>b>0，∴b<a成立．∴(a－b)28a<a＋b2－ab<(a－b)28b成立．[一点通]在已知条件较为简单，所要证的问题较为复杂，无从入手的情况下，我们可从结论入手逆推，执果索因，找到结论成立的条件，注明必要的文字说明，再用综合法写出步骤．3．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，求证：P＜Q.证明：要证P＜Q，主要证P2＜Q2，只要证2a＋7＋2a(a＋7)＜2a＋7＋2(a＋3)(a＋4)，即证a2＋7a＜a2＋7a＋12，即证0＜12.因为0＜12成立，所以P＜Q成立．4．已知a、b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明：要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥ab(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，即证a＋b－ab≥ab.也就是要证a＋b≥2ab.因为a，b为正实数，所以a＋b≥2ab成立，所以ab＋ba≥a＋b.综合法与分析法的综合应用[例3] 已知0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1， 求证：1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1.[思路点拨]因为0<a ≤1,0<b ≤1,0<c ≤1，所以要证明1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1成立，可转化为证明1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc 成立．[精解详析]∵a >0，b >0，c >0， ∴要证1＋ab ＋bc ＋ca a ＋b ＋c ＋abc≥1，只需证1＋ab ＋bc ＋ca ≥a ＋b ＋c ＋abc ， 即证1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0. ∵1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc ) ＝(1－a )＋b (a －1)＋c (a －1)＋bc (1－a ) ＝(1－a )(1－b －c ＋bc )＝(1－a )(1－b )(1－c )， 又a ≤1，b ≤1，c ≤1， ∴(1－a )(1－b )(1－c )≥0，∴1＋ab ＋bc ＋ca －(a ＋b ＋c ＋abc )≥0成立， 即证明了1＋ab ＋bc ＋caa ＋b ＋c ＋abc≥1.[一点通](1)较为复杂问题的证明如单纯利用分析法和综合法证明较困难，这时可考虑分析法、综合法轮流使用以达到证题目的．(2)综合法和分析法的综合应用过程既可先用分析法再用综合法，也可先用综合法再用分析法，一般无具体要求，只要达到证题的目的即可．5．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 成等差数列．求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c . 证明：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ab ＋c ＝1， 只需证c (b ＋c )＋a (a ＋b )(a ＋b )(b ＋c )＝1，即a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.下面证明：a 2＋c 2＋ab ＋bcb 2＋ab ＋ac ＋bc＝1.∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. ∴b 2＝a 2＋c 2－ac .∴a 2＋c 2＋ab ＋bc b 2＋ab ＋ac ＋bc ＝a 2＋c 2＋ab ＋bc a 2＋c 2－ac ＋ab ＋ac ＋bc＝1. 故原等式成立．6．若a ，b ，c 是不全相等的正数． 求证：lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lga ＋b2＋lgb ＋c2＋lgc ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c 成立，即证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(abc )成立，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc 成立，∵a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，c ＋a2≥ca >0，∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2≥abc >0，(*)又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立， ∴原不等式成立．1．综合法是由因导果，步骤严谨，逐层递进、步步为营，书写表达过程是条理清晰、形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹、缺点是探路艰难，不易达到所要证明的结论．2．分析法是执果索因，方向明确、利于思考，便于寻找解题思路．缺点是思路逆行、叙述繁琐、表述易出错．3．在解决一个问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论P 1；根据原结论的特点去寻求使结论成立的条件，寻找到条件P 2；当由P 1可以推出P 2时，结论得证．[对应学生用书P29]一、填空题1．在△ABC中，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B.又∵A>B，∴a>b，∴sin A>sin B反之，若sin A>sin B，则a>b，∴A>B∴A>B是sin A>sin B的充要条件．答案：充要2．设n∈N，则n＋4－n＋3________n＋2－n＋1(判断大小)．解析：要证n＋4－n＋3<n＋2－n＋1，只需证n＋4＋n＋1<n＋3＋n＋2，只需证(n＋4＋n＋1)2<(n＋2＋n＋3)2，即2n＋5＋2(n＋4)(n＋1)<2n＋5＋2(n＋2)(n＋3).只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，只需证(n＋1)(n＋4)<(n＋2)(n＋3)，即n2＋5n＋4<n2＋5n＋6，即4<6即可．而4<6成立，故n＋4－n＋3<n＋2－n＋1.答案：<3．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b4．若三棱锥S－ABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在底面ABC上的射影为△ABC的________．(填重心、垂心、内心、外心之一)解析：如图，设S 在底面ABC 上的射影为点O ， ∴SO ⊥平面ABC ，连接AO ，BO ， ∵SA ⊥BC ，SO ⊥BC ， ∴BC ⊥平面SAO ， ∴BC ⊥AO . 同理可证，AC ⊥BO . ∴O 为△ABC 的垂心． 答案：垂心5．已知函数f (x )＝10x，a ＞0，b ＞0，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f ()ab ，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为________．解析：由a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又f (x )＝10x在R 上是单调增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥f ()ab ≥f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，即A ≥B ≥C . 答案：A ≥B ≥C 二、解答题6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋2)，a ，b ，c 是两两不相等的正数，且a ，b ，c 成等比数列，试判断f (a )＋f (c )与2f (b )的大小关系，并证明你的结论．解：f (a )＋f (c )＞2f (b )．证明如下：因为a ，b ，c 是两两不相等的正数， 所以a ＋c ＞2ac .因为b 2＝ac ，所以ac ＋2(a ＋c )＞b 2＋4b ， 即ac ＋2(a ＋c )＋4＞b 2＋4b ＋4， 从而(a ＋2)(c ＋2)＞(b ＋2)2. 因为f (x )＝log 2(x ＋2)是增函数， 所以log 2(a ＋2)(c ＋2)＞log 2(b ＋2)2， 即log 2(a ＋2)＋log 2(c ＋2)＞2log 2(b ＋2)． 故f (a )＋f (c )＞2f (b )． 7．已知a >0，用分析法证明：a 2＋1a 2－2>a ＋1a－2.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. 因为a >0，故只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2，从而只需证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只需证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．8．(某某高考改编)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c ，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．证明：由c ＝0，得b n ＝S n n＝a ＋n －12d .又b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a . 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .。

2020-2021学年高二数学苏教版选修1-2同步课时作业2.2直接证明与间接证明1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是( )A.假设三内角都不大于60度B.假设三内角都大于60度C.假设三内角至多有一个大于60度D. 假设三内角至多有两个大于60度2.关于综合法和分析法的说法错误的是( )A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B.综合法又叫顺推证法或由因导果法C.分析法又叫逆推证法或执果索因法D.综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法3.用反证法证明命题：“若,,a b N ab ∈能被3整除，那么,a b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．,a b 都能被3整除B ．,a b 都不能被3整除C ．,a b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除4.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件5.分析法又称执果索因法.若用分析法证明：“设a b c >>，且0a b c ++=，求证”索的因应是( )A.0a b ->B.0a c ->C.()()0a b a c -->D.()()0a b a c --<6.)2a <≥能用的最适合的方法是( )A.综合法B.分析法C.间接证明法D.合情推理法7.用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳以下三个步骤：①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角,,A B C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒.正确顺序的序号为( )A.①②③B.①③②C.②③①D.③①②8.命题“任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( )A.分析法B.综合法C.综合法、分析法结合使用D.间接证法 9.分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.设,,,(0,)a b c d ∈+∞，若a d b c +=+且||||a d b c -<-，则有( )A.ad bc =B.ad bc <C.ad bc >D.ad bc ≥11.若,a b 应满足的条件是_____________.12.使用反证法证明“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是_________________.13.凸函数的性质定理：如果函数()f x 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 的任意12,,,n x x x ⋅⋅⋅，有1212()()()n n f x f x f x x x x f n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.已知函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在ABC △中，sin sin sin A B C ++的最大值为___________.14.用反证法证明命题“,,a b R ab ∈可以被5整除，那么a b 、中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是_________________.15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱垂直于底面，满足_________时，1BD AC ⊥.(写上一个条件即可)答案以及解析1.答案：B解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”.故选：B.2.答案：D解析：根据综合法的定义可得，综合法是由因导果法，是顺推证法；根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是逆推证法，它们都是直接证法.故选D.3.答案：B解析：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立.“,a b 中至少有一个能被3整除”的反面是：“,a b 都不能被3整除”，故应假设,a b 都不能被3整除.故选B4.答案：A解析： —般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后.把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.故选A.5.答案：C解析：由a b c >>，且0a b c ++=可得b a c =--，0a >，0c <.<，只要证22()3a c ac a ---<，即证2220a ac a c -+->，即证()()()0a a c a c a c -++->，即证()()0a a c b a c -+->，即证()()0a c a b -->，故求证”索的因应是()()0a c a b -->，故选C.6.答案：B的大小，221a =-+221a =-+的大小.......以上证明不等式所用的方法是最适合的方法，该方法是分析法，故选B.7.答案：D解析：根据反证法的步骤，应该是先提出假设，在推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.故选D.8.答案：B解析：综合法是由已知入手，利用基本定理进行的推理证明；分析法是从要证明的结论入手寻找思路.结合证明过程，可知是综合法.9.答案：A解析：∵分析法是逆向逐步找寻这个结论成立需要具备的充分条件，∴分析法是从要证得结论发出，寻求使它成立的充分条件，故选A.10.答案：C解析：∵222222||||()()22a d b c a d b c a d ad b c bc -<-⇔-<-⇔+-<+-.又22()()a d b c a d b c +=+⇔+=+，∴44ad bc ad bc -<-⇔>.11.答案：0,0a b a b ≠≥≥且解析：a b ⇔>⇔>2(0a b ⇔-⇔>，只需0,0a b a b ≠≥≥且.12.答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析：该命题的否定有两部分，一是任何三角形，二是至少有两个，其否定应为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”.13. 解析：∵()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，且,,(0,)A B C ∈π，∴()()()333f A f B f C A B C f f ++++π⎛⎫⎛⎫≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin sin sin 3sin 3A B C π++≤=sin sin sin A B C ++. 14.答案：b a 、都不能被5整除解析：至少有一个的反面为一个都没有，所以应假设a b 、都不能被5整除.15.答案：AC BD ⊥解析：要证1BD AC ⊥，只需证BD ⊥平面1AAC . 因为1AA BD ⊥，只要再添加条件AC BD ⊥，即可证明BD ⊥平面1AAC ，从而有1BD AC ⊥.（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由分析法的定义知A正确.2．用反证法证明“若，则或”时，应假设A．或B．且C．D．【答案】B3．命题“对于任意角，”的证明：“．”该过程应用了A．分析法B．综合法C．间接证明法D．反证法【答案】B【解析】由证明过程可知，推理的出发点是对同角三角函数平方关系的运用（即从定理出发），是直接证明中的综合法．故选B．4．欲证成立，只需证A．B．C．D．【答案】C【解析】由分析法知，欲证，只需证，即证，故选C ． 5．已知，，且，则A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由a ＋b ＝2，可得ab ≤1， 又a 2＋b 2＝4－2ab ，∴a 2＋b 2≥2.6．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos =sin b C c B a A +，则ABC △的形状为 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B7．有以下结论：①已知332=p q +，求证：2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥；②已知,a b ∈R ，||||1a b +<，求证方程20x ax b +=+的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设1||1x ≥． 下列说法中正确的是 A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确【答案】D【解析】用反证法证明问题时，其假设是原命题的否定，故①的假设应为“+2p q >”； ②的假设为“两根的绝对值不都小于1”， 故①假设错误．②假设正确．故选D ．8．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b ac a -<”索的因应是A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()0()a b a c ->-D ．()0()a b a c -<-【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．命题“若sin sin sin 0αβγ++=，cos cos cos 0αβγ++=”，则cos()αβ-=______________． 【答案】12-【解析】条件变为sin sin sin αβγ+=-，cos cos cos αβγ+=-，两式平方相加可推得结论=os 1(2c )αβ--． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________________． 【答案】③①②【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②． 11．设，，则__________（填入“”或“”）．【答案】【解析】由题意可知，则比较的大小，只需比较和的大小，只需比较和的大小，又由，得，即，故.12．已知1x 是方程24x x +=的根，2x 是方程2log 4x x +=的根，则12x x +的值是______________． 【答案】4三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．若均为实数，且，，，，求证：中至少有一个大于. 【解析】设都不大于，即，..,,,，，与矛盾.假设错误，原命题正确，即中至少有一个大于. 14．已知非零向量a ，b 满足⊥a b ，求证：||||2||+≤+a b a b ．15．（1）求证：当2a >（2）证明：2不可能是同一个等差数列中的三项.【解析】（1）(222a a ++=+又200a ->>，且22a a +≠-，<.（2）假设是同一个等差数列中的三项，分别设为,,m n p a a a ，则m n a a d m n -==-为无理数，又253m p a a d m pm p m p---===---为有理数，矛盾.所以，假设不成立，即不可能是同一个等差数列中的三项.16．在ABC △中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且,,A B C 成等差数列，,,a b c 成等比数列，求证：ABC △为等边三角形．【解析】由,,A B C 成等差数列，得2B A C =+①． 因为,,A B C 为ABC △的内角，所以.A B C ++=π② 由①②，得3B π=③，由,,a b c 成等比数列，得2b ac =④． 由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac ==+-+-．将④代入，可得22a c ac ac +-=，即2()0a c -=，因此a c =，从而有A C =⑤．由②③⑤，得3A B C π===，所以ABC △为等边三角形． 17．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞为增函数； （2）用反证法证明方程()0f x =没有负实根．。

高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ） A ．假设至少有一个钝角 B ．假设至少有两个钝角 C ．假设没有一个钝角D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角 答案：B2．关于直线m n ，与平面αβ，，有下列四个命题： ①若m α∥，n β∥且αβ∥，则m n ∥； ②若m n αβ⊥⊥，且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m n αβ⊥，∥且αβ∥，则m n ⊥； ④若m α∥，n β⊥且αβ⊥，则m n ∥．其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．③④ C ．①④ D ．②③ 答案：D3．设a b c ，，是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A ．a b a c b c --+-≤ B ．2211a a a a++≥C ．2aba b+D 答案：C4．如果111A B C △的三个内角的余弦值分别等于222A B C △的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C △和222A B C △都是锐角三角形 B ．111A B C △和222A B C △都是钝角三角形C ．111A B C △是钝角三角形，222A B C △是锐角三角形D ．111A B C △是锐角三角形，222A B C △是钝角三角形 答案：D二、填空题5．若1x y >>且01a <<，则①x ya a <；②log log a a x y >；③aa xy -->，其中不成立的不等式序号是 ． 答案：②③6．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：191=+□□． 答案：4，12 三、解答题7．已知(01)abc ∈，，求证：(1)a b -，(1)b c -，(1)c a -不能同时大于14． 证明：假设三式同时大于14， 即14b ab ->，14c bc ->，14a ac ->．三式同向相乘，得1(1)(1)(1)64a ab bc c --->． ① 又211(1)24a a a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭≤，同理1(1)4b b -≤，1(1)4c c -≤． 1(1)(1)(1)64a ab bc c ∴---≤． ②因①②矛盾，故假设错误，原命题成立．8．已知()f x 对任意实数a b ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >． （1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）已知(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<． 解：证明：设任意12x x ∈R ，，且21x x >， 则210x x x ∆=->．由已知得21()1f x x ->． 而212111()()[()]()y f x f x f x x x f x ∆=-=-+-2111()()1()f x x f x f x =-+-- 21()10f x x =-->，所以()f x 是R 上的增函数；（2）解：由于(4)(2)(2)15f f f =+-=，(2)3f ∴=．由2(32)3f m m --<得2(32)(2)f m m f --<，()f x Q 是R 上的增函灵敏，2322m m ∴--<，解得413m -<<．C 备选题1．计算机中常用的十六进进是逢16进1的计数制，采用数字0~9和字母~A F 共16个计例如，用十六进制表示，则（ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B 答案：A2．设a b c >>，n ∈N ，且11na b b c a c+---≥恒成立，则n 的最大值是 ． 答案：43．已知(01)a b c d ∈，，，，，试比较abcd 与3a b c d +++-的大小． 答案：解：先考虑一个简单问题，比较ab 与1a b +-的大小． 事实上，因为(1)1(1)(1)0ab a b ab a b a b -+-=--+=-->， 所以1ab a b >+-．所以()1(1)12abc ab c ab c a b c a b c =>+->+-+-=++-．更进一步，则有()1(2)13abcd abc d abc d a b c d a b c d =>+->++-+-=+++-， 故有3abcd a b c d >+++-．高中苏教选修（2-2）2.2直接证明与间接证明水平测试一、选择题1<，只需证（ ）A ．22<B ．22<C ．22< D ．22(<答案：C2．若x y ，a 的最小值是（ ）A ．BC ．2D ．1答案：B3．“不等式sin()sin 2αγβ+=成立”是“αβγ，，成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 答案：B4．已知平面α外不共线的三点A B C ，，到α的距离都相等，则正确的结论是（ ） A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于α C ．平面ABC 必与α相交D ．存在ABC △的一条中位线平行于α或在α内 答案：D5．过平行六面体1111ABCD A B C D -任意两条棱的中点作直线，其中与平面11DBB D 平行的直线共有（ ） A ．4条 B ．6条 C ．8条 D ．12条答案：D6．若00a b >>，，则不等式1b a x-<<等价于（ ） A ．10x b -<<或10x a << B ．11x a b-<<C ．1x a <-或1x b >D ．1x b <-或1x a>答案：D二、填空题7．用反证法证明“如果a b >>，假设的内容是 ．8．设()y f x =（x ∈R ，0x ≠）对任意非零实数12x x ，均满足1212()()()f x x f x f x =+，则()f x 为 函数（“奇”或“偶”）． 答案：偶 9．设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=（a b c ，，均为正数），则M 的取值范围是 ． 答案：[)8+∞，10．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥． （1）当满足条件 时，有m β∥；（2）当满足条件 时，有m β⊥．（填所选条件的序号） 答案：③⑤；②⑤ 三、解答题11．已知非零实数a b c ，，是公差不为零的等差数列，求证：112a c b+≠． 证明：（反证法）假设112a c b+=， 则2bc ab ac +=． ① 而2b a c =+． ②由①②，得2()4a c ac +=，即2()0a c -=，于是a b c ==，这与非零实数a b c ，，成公差不为零的等差数列矛盾，故假设不成立，原命题结论成立，即112a c b+≠成立．12．当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大．将此结论由平面类比到空间时，你能够得出什么样的结论，并证明你的结论． 解：由平面类比到空间可得如下结论：当一个球与一个正方体的表面积相等时，这个球的体积比正方体的体积大． 设球和正方体的表面积均为S ，依题意球的体积为324π34πS ⎛⎫ ⎪⎝⎭，正方体的体积为326S ⎛⎫⎪⎝⎭．要证明33224π34π6S S ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需证明33216π94π6S S ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为33233316π94π36π66S S S S ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，显然，336π6<，333366S S ∴>， 33224π34π6S S ⎛⎫⎛⎫∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 13．已知a b c ，，为互不相等的实数，求证：444()a b c abc a b c ++>++． 证明：44222a ba b +Q ≥，44222b c b c +≥，44222c a a c +≥，又a b c ，，互不相等，∴上面三式都不能取“=”号，444222222a b c a b b c c a ∴++>++． 222a b ab +Q ≥，222222a c b c abc ∴+≥．同理，222222a b a ca bc +≥，222222bc b a ab c +≥，222222222a b b c c a abc a bc ab c ∴++++≥．故444()a b c abc a b c ++>++．14．若下列方程：24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=，至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围．解：设三个方程均无实根，则有2122223164(43)0(1)4044(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩解得312211320a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪<->⎨⎪-<<⎪⎪⎩或，即312a -<<-．所以当1a -≥或32a -≤时，三个方程至少有一个方程有实根．。

2．2.1 直接证明(一)课时目标 1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2.了解这两种方法的思考过程、特点．1．直接证明(1)直接从________________逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明． (2)直接证明的一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论．2．综合法 (1)定义从____________出发，以已知的________、________、________为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法称为综合法．(2)综合法的推理过程 已知条件⇒…⇒…⇒结论. 3．分析法 (1)定义从问题的________出发，追溯导致________成立的条件，逐步上溯，直到________________________________________为止，这种证明方法称为分析法．(2)分析法的推理过程 结论⇐…⇐…⇐已知条件.一、填空题1．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a 、b 、c 的大小关系为____________． 2．设a ，b 是两个正实数，且a <b ，则下列式子一定成立的是________． ①a >a ＋b2>ab >b ；②b >ab >a ＋b2>a ；③b >a ＋b2>ab >a ；④b >a >a ＋b2>ab .3．已知xy ＝19，0<x <y <1，则log 13x ·log 13y 的取值范围是__________．4．如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是________．5．要证明a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4 (a ≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是________．6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．7．已知a 、b 、u 均为正实数，且1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是__________．二、解答题8．已知a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤a 2＋b 2c 2＋d 2.能力提升10．a >b >c ，n ∈N *，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为________． 11．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .1．运用综合法解题时，要保证前提条件正确，推理要合乎逻辑规律，只有这样才能保证结论的正确性．2．在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是使结论成立的充分条件．最后一步归结到已被证明了的事实．因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略．3．综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，这些方法是综合法和分析法的延续与补充．§2.2直接证明与间接证明2．2.1 直接证明(一)答案知识梳理1．(1)原命题的条件(2)已知定义已知公理已知定理2．(1)已知条件定义公理定理3．(1)结论结论使结论成立的条件和已知条件吻合作业设计1．a>c>b解析∵(7＋2)2＝9＋214，(6＋3)2＝9＋218.∴7＋2<6＋3，∴7－3<6－2，即b<c.又22>6，∴2>6－2，即a>c.∴a>c>b.2．③ 3．(0,1)解析 log 13x >0，log 13y >0，log 13x ·log 13y ≤log 13x ＋log 13y 2＝12log 13(xy ) ＝12×2＝1.∴0<log 13x ·log 13y <1. 4．23－2解析 由x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2， 则2－(x ＋y )＝xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴(x ＋y )2＋4(x ＋y )－8≥0， ∴x ＋y ≥23－2或x ＋y ≤－2－2 3. ∵x >0，y >0，∴x ＋y 的最小值为23－2. 5．分析法解析 要证a ＋a ＋7<a ＋3＋a ＋4， 只要证a ＋a ＋7＋2a a ＋7<a ＋3＋a ＋4＋2a ＋3a ＋4，只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证a 2＋7a <a 2＋7a ＋12， 只要证0<12.由此可知，最合理的是分析法． 6．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .7．(－∞，16]解析 ∵a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋9b＝10＋b a＋9ab≥10＋2b a ×9ab＝16， 当且仅当b a ＝9ab即3a ＝b 时取等号， 若a ＋b ≥u 恒成立，则u ≤16.8．证明 ∵b 2a ＋a 2b ＝a 3＋b 3ab＝a ＋ba 2－ab ＋b 2ab，又∵a >0，b >0，∴a 2－ab ＋b 2－ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2－ab ＋b 2≥ab ，∴a 2－ab ＋b 2ab≥1，∴(a ＋b )·a 2－ab ＋b 2ab ≥a ＋b .∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b . 9．证明 ①当ac ＋bd ≤0时，显然成立． ②当ac ＋bd >0时，欲证原不等式成立， 只需证(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)．即证a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2. 即证2abcd ≤b 2c 2＋a 2d 2. 即证0≤(bc －ad )2.因为a ，b ，c ，d ∈R ，所以上式恒成立． 故原不等式成立， 综合①、②知，命题得证． 10．4解析 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0. 若1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立， 即a －c a －b ＋a －cb －c≥n 恒成立． a －c a －b ＋a －c b －c ＝a －b ＋b －c a －b ＋a －b ＋b －cb －c＝2＋b －c a －b ＋a －bb －c ≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4. ∴当且仅当a －b ＝b －c 时取等号． ∴n 的最大值为4. 11．证明 要证log xa ＋b2＋log xb ＋c2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ，只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x(abc )．由已知0<x <1， 只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc由公式a ＋b2≥ab >0，b ＋c2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0.又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc . 即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc 成立． ∴log xa ＋b2＋log xb ＋c 2＋log xa ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．。

§2.2 直接证明与间接证明2．2.1 直接证明 课时目标 1.结合已学过的数学实例了解直接证明的两种基本方法：分析法、综合法.2.了解分析法和综合法的思考过程、特点．1．直接证明(1)定义：直接从原命题的________逐步推得命题成立的证明，通常称为直接证明．(2)一般形式：⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C …⇒本题结论． (3)两种基本方法：__________和__________．2．综合法(1)定义：从__________出发，以已知的________________为依据，逐步________，直至推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法． (2)推证过程：已知条件⇒…⇒…⇒结论(3)特点：条理清晰，宜于表述．3．分析法(1)定义：从________________出发，追溯导致结论成立的条件，逐步________，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法称为分析法．(2)推理过程：结论⇐…⇐…⇐已知条件(3)特点：方向较为明确，利于寻找解题思路．一、填空题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的________条件．2．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ac ，则S 、P 的大小关系为________．3．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a 、b 、c 的大小关系为__________． 4．若平面内有OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，且|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|，则△P 1P 2P 3的形状是__________三角形．5．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足__________条件．6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．7．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．8．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．二、解答题9．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.能力提升11. 如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)12．已知函数f (x )＝1＋x 2，若a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答 案知识梳理1．(1)条件 (3)综合法 分析法2．(1)已知条件 定义、公理、定理 下推3．(1)问题的结论 上溯作业设计1．充分2．S ≥P解析 ∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴S ≥P .3．b >a >c解析 利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c . 4．正5．b 2＋c 2<a 26．a ≠b解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a .7．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b 恒成立， 而(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16， 当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”． 此时a ＝4，b ＝12.∴0<u ≤16.8．a <b解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b . 9．证明 方法一 分析法要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.10．证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 即证ca ＋b ＋a b ＋c＝1，即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc＝1， 而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 11．AC ⊥BD解析 从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．12．证明 原不等式即|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |，要证此不等式成立，即证1＋a 2＋1＋b 2－21＋a 2·1＋b 2<a 2＋b 2－2ab .即1＋ab <1＋a 2·1＋b 2.当1＋ab <0时不等式恒成立，当1＋ab ≥0时，即要证1＋a 2b 2＋2ab <(1＋a 2)(1＋b 2)，即2ab <a 2＋b 2，由a ≠b 知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。