人教版高中数学选修1-2直接证明与间接证明课件6
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普通高中数学课程标准(新人教A)：选修1-2
选修1－2在本模块中，学生将学习统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图。
学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法,进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想,认识统计方法在决策中的作用.“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理.合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有利于创新意识的培养。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。
合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成.证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。
在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法(如分析法、综合法)和间接证明的方法(如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性,学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。
框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具,并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。
人教B高中数学选修1-2全套ppt课件：模块高考热点透视
RB . 数学 Hale Waihona Puke 选修1-2 模块高考热点透视
第一章 统计案例
【命题趋势】 从近几年的高考试题来看，高考对本章内
容的考查有加强的趋势，主要以考查回归分析、独立性检
验为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本
的统计思想．同时在该部分的高考试题中，还渗透了数形 结合、转化与化归等数学思想，考查了学生利用统计方法 解决实际问题的能力．题型多为选择题、填空题，也有解 答题出现 . /费/馈/赠 服 /务/教/师 免
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RB . 数学 . 选修1-2 (2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级 体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级 体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．
2 n （ n n － n n ） 11 22 12 21 附：χ2＝ n1＋n2＋n＋1n＋2
D 中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋ d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
2 52 × （ 14 × 30 － 6 × 2 ） 3 757 2 χ＝ ＝ . 160 20×32×16×36
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RB . 数学 . 选修1-2
13 13 637 3 757 ∵ < < < ， 1 440 10 360 160 ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．
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RB . 数学 . 选修1-2
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
第一章 统计案例
【命题趋势】 从近几年的高考试题来看，高考对本章内
容的考查有加强的趋势，主要以考查回归分析、独立性检
验为主，并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本
的统计思想．同时在该部分的高考试题中，还渗透了数形 结合、转化与化归等数学思想，考查了学生利用统计方法 解决实际问题的能力．题型多为选择题、填空题，也有解 答题出现 . /费/馈/赠 服 /务/教/师 免
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2 n （ n n － n n ） 11 22 12 21 附：χ2＝ n1＋n2＋n＋1n＋2
D 中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋ d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，
2 52 × （ 14 × 30 － 6 × 2 ） 3 757 2 χ＝ ＝ . 160 20×32×16×36
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13 13 637 3 757 ∵ < < < ， 1 440 10 360 160 ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．
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高中新课标数学人教A版选修1-2课件：2.2 直接证明与间接证明 .6
目标导航 1.理解分析法的意义，掌握分析法的特点． 2.会用分析法解决问题． 3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题．
1 新知识· 预习探究 知识点 分析法 阅读教材 P38 分析法至 P39 例 4，完成下列问题． 1．分析法的定义 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定 义、公理等)，这种证明方法叫做分析法． 2．分析法的框图表示 得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 成立的条件
2．综合法、分析法的区别 综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 倒溯，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路，利于思考 表述形式 形式简洁，条理清晰 叙述繁琐，易出错 思考的侧重点 侧重于已知条件提供的信息 侧重于结论提供的信息 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法 解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻 求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.
点评：分析法证明不等式的方法与技巧
a＋b＋c 3 变式探究 1 求证： 对于任意的正实数 a， b， c1 1 1≤ 3 a＋ b＋ c (当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
【证明】 立，
a＋b＋c 3 对于任意正实数 a，b，c，要证1 1 1≤ 成 3 a ＋b ＋ c a a b b c c 9≤3＋b＋ c＋a＋c＋a＋b，
点评：分析法证明立体几何问题的三个关注点 (1)主要依据：立体几何中直线、平面的位置关系、定义、判定定 理、性质定理以及一些推论． (2)立体几何中某些结论成立的充分条件很多，要结合题目背景加 以认真分析． (3)分析法证明的模式(若 p 则 q 形式)是： 要证明 q 命题为真， 只需证命题 p1 为真，从而有„ 只需证命题 p2 为真，从而有„ „ 只需证命题 p 为真，而已知 p 为真，故 q 必为真．
1 新知识· 预习探究 知识点 分析法 阅读教材 P38 分析法至 P39 例 4，完成下列问题． 1．分析法的定义 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定 义、公理等)，这种证明方法叫做分析法． 2．分析法的框图表示 得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„→ 成立的条件
2．综合法、分析法的区别 综合法 分析法 推理方向 顺推，由因导果 倒溯，执果索因 解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路，利于思考 表述形式 形式简洁，条理清晰 叙述繁琐，易出错 思考的侧重点 侧重于已知条件提供的信息 侧重于结论提供的信息 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解题思路；而综合法 解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问题时，通常以分析法为主寻 求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.
点评：分析法证明不等式的方法与技巧
a＋b＋c 3 变式探究 1 求证： 对于任意的正实数 a， b， c1 1 1≤ 3 a＋ b＋ c (当且仅当 a＝b＝c 时取等号)．
【证明】 立，
a＋b＋c 3 对于任意正实数 a，b，c，要证1 1 1≤ 成 3 a ＋b ＋ c a a b b c c 9≤3＋b＋ c＋a＋c＋a＋b，
点评：分析法证明立体几何问题的三个关注点 (1)主要依据：立体几何中直线、平面的位置关系、定义、判定定 理、性质定理以及一些推论． (2)立体几何中某些结论成立的充分条件很多，要结合题目背景加 以认真分析． (3)分析法证明的模式(若 p 则 q 形式)是： 要证明 q 命题为真， 只需证命题 p1 为真，从而有„ 只需证命题 p2 为真，从而有„ „ 只需证命题 p 为真，而已知 p 为真，故 q 必为真．
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)(PPT课件)
![2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)(PPT课件)](https://img.taocdn.com/s1/m/608022b3360cba1aa911da5d.png)
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
8
小结
综合法的定义: 利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推 导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫做综合法
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
特点：执果索因.
分析法又叫执果索因法或叫逆推证法
用框图表示分析法的思考过程、特点.
得到一个明显
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
成立的结论
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
11
例4:求证 3 72 5
证明：因为 3 7和2 5都是正数， 所以为了证明 3 72 5 只需证明 ( 3 7)2(2 5)2
1
4
22
a b (1 cos ห้องสมุดไป่ตู้C)
2
1 4
a
2
b
2
[1
a• b
a b
]
1
[
a
2
b
2
(a•
b)2]
4
于是 SΔABC
1 2
22
a b (a• b)2
2[1][1]2直接证明与间接证明(人教A选修12)（PPT课件）
7
例3：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的边分 别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、b、c成 等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明:要证AF⊥SC
只需证:SC⊥平面AEF
只需证:AE⊥SC 只需证:AE⊥平面SBC
只需证:AE⊥BC 只需证:BC⊥平面SAB 只需证:BC⊥SA 只需证:SA⊥平面ABC
高中数学2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A版选修2_2
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式问题
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 分析:解答本题的关键是从基本不等式入手,利用同向不等式相 加而得证. 证明:(1)∵a
1 , ������ 3
2
求证:(1)a2+b2+c2≥3 ; (2) ������ + ������ + ������ ≤ 3.
*
3 3 2������������-1 ∴当 n∈N ,且 n≥2 时,bn= 2 ������(������n − 1) = 2 ·������ +3. ������-1 1 1 1 ∴bnbn-1+3bn=3bn-1.∴ ������ − ������ = 3. ������ ������-1 1 1 ∴数列 ������ 是首项为1,公差为 3 的等差数列. ������
【做一做】 命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)内是增函数”的证 明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f'(x)=-ln x,当x∈(0,1)时,f'(x)=-ln x>0,故函数f(x)在区间(0,1)内是增函数”应用了 的证明 方法. 解析:本命题的证明,利用已知条件和导数与函数单调性的关系 证得了结论,应用了综合法的证明方法. 答案:综合法
第1课时 综合法
1.了解直接证明的一种基本方法——综合法. 2.理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题.
综合法
定义 利用已知条件和某些 数学定义、 公理、 定理 等,经过一系列的推理 论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种 证明方法叫做综合法 推证过程 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理 等,Q 表示所要证明的结论) 特点 顺推证 法 或由因 导 果法
高中数学目录(选修)
必修五第一章解三角形1． 1 正弦定理和余弦定理1． 2 应用举例1． 3 实习作业第二章数列2． 1 数列的概念与简单表示法2． 2 等差数列2． 3 等差数列的前 n 项和2． 4 等比数列2． 5 等比数列前 n 项和第三章不等式3． 1 不等关系与不等式3． 2 一元二次不等式及其解法3． 3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3． 4 基本不等式选修 1－1 文科第一章常用逻辑用语1． 1 命题及其关系1． 2 充分条件与必要条件1． 3 简单的逻辑联结词1． 4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2． 1 椭圆 2． 2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3． 1 变化率与导数3． 2 导数的计算3． 3 导数在研究函数中的应用3． 4 生活中的优化问题举例选修 1－2第一章统计案例1． 1 回归分析的基本思想及其初步应用1． 2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2． 1 合情推理与演绎证明2． 2 直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3． 1 数系的扩充和复数的概念3． 2 复数代数形式的四则运算第四章框图4． 1 流程图4． 2 结构图选修 2-1 理科第一章常用逻辑用语1. 1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆2.3 双曲线2.4 抛物线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3. 2 立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1. 2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用第二章推理与证明2. 1 合情推理与演绎推理2. 2 直接证明与间接证明2. 3 数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1. 1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1. 2 排列与组合1. 3 二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布第三章统计案例3. 1 回归分析的基本思想及其初步应用3. 2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修 4-4 坐标系与参数方程第一讲坐标系一平面直角坐标系二极坐标系三简单曲线的极坐标方程四柱坐标系与球坐标系简介第二讲参数方程一曲线的参数方程二圆锥曲线的参数方程三直线的参数方程四渐开线与摆线选修 4-5 不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术 - 几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式文科与理科。
高三数学第六章第6课时优质课件
1 1 证明：要证 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2， a a 1 1 2 只要证 a ＋ 2＋2≥a＋ ＋ 2. a a
2
1 a2＋ 2－ a
∵a>0，故只要证
1 2≥a＋1＋ 2 2， a ＋ 2＋2 a a
2
目录
1 1 2 即 a ＋ 2＋4 a ＋ 2＋4 a a 1 2 a＋1 ＋2， ≥a ＋2＋ 2＋2 2 a a 1 2 a＋1 ， 从而只要证 2 a ＋ 2≥ 2 a a a2＋ 12 ≥2a2＋2＋ 12， 只要证 4 a a 1 即 a2＋ 2≥2. a
目录
2．分析法 要证明的结论 (1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 __________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这 种证明的方法叫作分析法． (2)框图表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„ → 得到一个明显成立的条件 . 3．反证法 矛盾 不成立 假设原命题_______，经过正确的推理,最后得出_____，由 此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫反证法．
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
•
•
•
•
教材回顾•夯实双基
基础梳理
1．综合法 (1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 推理证明 经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论 成立 ________，这种证明方法叫综合法． (2)框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q (其中 P 表示条件，Q 表示要证结论)．
2
1 a2＋ 2－ a
∵a>0，故只要证
1 2≥a＋1＋ 2 2， a ＋ 2＋2 a a
2
目录
1 1 2 即 a ＋ 2＋4 a ＋ 2＋4 a a 1 2 a＋1 ＋2， ≥a ＋2＋ 2＋2 2 a a 1 2 a＋1 ， 从而只要证 2 a ＋ 2≥ 2 a a a2＋ 12 ≥2a2＋2＋ 12， 只要证 4 a a 1 即 a2＋ 2≥2. a
目录
2．分析法 要证明的结论 (1)定义：从____________出发，逐步寻求使它成立的 充分条件 __________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个 明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这 种证明的方法叫作分析法． (2)框图表示： Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →„ → 得到一个明显成立的条件 . 3．反证法 矛盾 不成立 假设原命题_______，经过正确的推理,最后得出_____，由 此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方 法叫反证法．
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
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教材回顾•夯实双基
基础梳理
1．综合法 (1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等， 推理证明 经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论 成立 ________，这种证明方法叫综合法． (2)框图表示： P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →„→ Qn⇒Q (其中 P 表示条件，Q 表示要证结论)．
人教版高中数学目录(详细)
§1数列的概念和表示
必 修
第二 章
数列
§2等差数列 §3等差数列前n项和
§4等比数列
12
五
§5等比数列前n项和
§1不等关系与不等式
§2一元二次不等式
第三 章
不等式
及其解法 §3一元二次不等式 （组）与简单线性规
划
一元二次不等式（组）与平面区域 简单的线性规划问题
16
§4基本不等式
命题
§1命题及其关系
向量加法运算及其几何意义 向量减法运算及其几何意义
第二 章
平面向量
12
必
修
§2平面向量的线性运
四
算
向量数乘运算及其几何意义
第二 章
平面向量
§3平面向量的基本定 理
及坐标表示
平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量的坐标运算
12
平面向量共线坐标表示
§4平面向量的数量积
平面向量数量积的物理背景及意义 平面向量数量积的坐标表示、模、夹
§3离散型随机变量
离散型随机变量的均值
的均值与方差
离散型随机变量的方差
§4正态分布 §1回归分析的基本思
第三 章
统计案例
想 §2独及立其性初检步验应的用基本
思想及其初步应用
§1合情推理与演绎推
合情推理
第二 章
理
推理与证明 §2直接证明与间接证 明
演绎推理 综合法与分析法
反证法
§3数学归纳法
§1数系的扩充和
数系的扩充和复数的概念
第三 章
数系的扩充 与复数的引入
复数的概念
§2复数代数形式的 四则运算
复数的几何意义 复数代数形式的加减运算及其几何意
2014年人教A版选修1-2课件 2.2 直接证明与间接证明
因为两平面相交, 有且只有一条公共直线. 所以 P, Q, R 共线于平面 a 与平面 ABC 的交线.
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 分析: 所证三角形面积的式子 b 中是用向量的模以及向量的数量积 表示的, 于是我们考虑用三角形面 积公式 SABC = 1 AC BC sin C . 2 sinC 再通过向量的数量积转换.
综合法是由因导果的顺序.
习题 2.2 A组 第 1、2 题. B组 第 1、2 题.
习题 2.2 A组 1. 已知 A, B 都是锐角, 且 A+B≠ , 2 (1+tanA)(1+tanB)=2, 求证A+B= . 4 证明: 由 (1+tanA)(1+tanB)=2 得 1+tanA+tanB+tanAtanB=2, 整理得 tanA+tanB=1tanAtanB, ① tan A + tan B 又因为 tan( A + B) = , ② 1 tan Atan B 将①代入②得 1 tan A tan B =1, tan( A + B) = 1 tan Atan B 因为 A, B 都是锐角,
B
a C
例2. 在△ABC中, 设 CB = a, CA = b, 求证 S△ABC= 1 | a |2| b |2 (a b)2 . A 2 证明: 如图, b SABC = 1 BC AC sin C , a C 2 B 又因为 CB = a, CA = b, ab , cos C = 则 | a | | b | 于是得 sin C = 1 cos2 C = 1 ( a b )2 , | a | | b | (a b)2 1 1 SABC = | a | | b | 1 2 2 = | a |2| b |2 (a b)2 . 2 | a | | b | 2