高中数学选修2-2推理与证明 直接证明与间接证明

庖丁巧解牛知识·巧学一、综合法和分析法1.综合法一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可用框图表示为:要点提示①综合法是“由因导果”.即由已知条件出发,推导出所要证明的等式或不等式成立,综合法又叫做顺推证法或由因导果法.②综合法的格式——从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是顺推法的格式,它的常见书面表达是“∵,∴”或“⇒”.2.分析法一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明的方法叫做分析法.用Q表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为:要点提示①分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法.②分析法格式——与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等).这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书写表达式是“要证…,只需…”或“⇐”.知识拓展有时解题,需一边分析,一边综合,称之为分析综合法,或称两头凑法.两头凑法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的辩证统一关系.分析的终点是综合的起点,综合的终点又成为进一步分析的起点.辨析比较综合法与分析法的区别与联系分析法的特点是:从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,实际上要寻求它的充分条件;综合法的特点是:从“已知”看“可知”,逐步推向“求知”,逐步推理,实际上是寻求它的必要条件.分析法与综合法各有特点.有些具体的待证命题,用分析法或综合法都可以证出来,人们往往选择比较简单的一种.事实上,在解决问题时,我们经常把综合法与分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P.若由P可以推出Q成立,就可以证明结论成立.二、反证法反证法一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题的成立,这样的证明方法叫做反证法.深化升华用反证法证明命题“若p则q”时,可能会出现以下三种情况:①导出非p为真,即与原命题的条件矛盾;②导出q 为真,即与假设“非q 为真”矛盾;③导出一个恒假命题.知识拓展 用反证法证明问题的步骤①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立.②从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾.③从矛盾判断假设不正确,从而肯定命题的结论正确.知识拓展 适宜用反证法证明的数学命题①结论本身是以否定形式出现的命题.②关于唯一性,存在性的命题.③结论以“至多”“至少”等形式出现的命题.④结论的反面比原结论更具体,更容易研究的命题.问题·探究问题1 综合法与分析法各有怎样的特点?思路:明确综合法与分析法的定义是关键.它们都是用来证明数学命题的基本方法,二者虽有区别,但证题的过程中又是密不可分的.探究:综合法是由原因推出结果的思维方式.分析法是由结果追溯到这一结果的原因的思维方式.问题2 桌面上有3枚正面(有面额的那面)朝上的硬币,每次用双手同时翻转2枚硬币,那么无论怎样翻转,都不能使硬币全部反面朝上,你能解释这种现象吗?思路:本题若从正面入手考虑,很难找到解决问题的切入点.此时我们不妨利用间接法(反证法)来说明这个问题.探究:假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上,由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要翻转(3×奇数)次,即要翻转奇数次,但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被翻转的次数只能是2的倍数,即偶数次,这个矛盾说明假设错误,所以原结论成立.问题3 用反证法证明问题的本质是什么？在证明的过程中要注意什么?如何反设？思路:反证法的本质是:由证明p ⇒q 转向证明q ⌝⇒r ⇒……⇒t,t 与假设或与某个真命题矛盾,q ⌝为假,推出q 为真的方法.以上由定义可以得出,围绕定义不难得出这几个问题的答案?探究:从逻辑角度看,命题“若p 则q”的否定是“若p 则q ⌝”.由此进行推理,如果发生矛盾,那么“若p 则q ⌝”为假,因此可知“若p 则q”为真.可以看出,反证法与证逆否命题是不同的.由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响,在否定结论后的推理过程中,往往一味寻求与原题设的矛盾,而不注意寻求其他形式的矛盾,这样就大大限制和影响了解题思路.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下:(1)等于——不等于;(2)大于——小于等于;(3)小于——大于等于;(4)结论对所有的x 成立——存在某个x 使结论不成立;(5)至少有一个——一个也没有;(6)至多一个——至少两个;(7)至少n 个——至多n-1个;(8)至多n 个——至少n+1个;(9)p 或q ——p ⌝且q ⌝;(10)p 且q ——p ⌝或q ⌝.典题·热题例1（2005全国高考卷Ⅱ）锐角三角形的内角A 、B 满足A 2sin 1=tanB,则有( ) A.sin2A-cosB=0 B.sin2A+cosB=0C.sin2A-sinB=0D.sin2A+sinB=0思路解析:由已知得BB A A A A cos sin cos sin 21cos sin =∙-, ∴AA A cos sin 21sin 22-=tanB.∴A A 2sin 2cos -=tanB. ∴-cot2A=tanB.∴tan(2A+2π)=tanB. ∴2A+2π-π=B. ∴2A-B=2π.∴2A-2π=B.∴sin(2A-2π)=sinB.∴cos2A-sinB=0. ∴cos(2A-2π)=sin2A.∴sin2A=cosB. ∴sin2A-cosB=0.答案:A例2（2005全国高考卷Ⅲ）若a=55ln ,33ln ,22ln ==c b ,则( ) A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c思路解析:a-b=6163ln 22ln 333ln 22ln =-=-(ln8-ln9)<0,所以a<b. 同理,可得c<a,因而c<a<b.答案:C例3设a>0,b>0,a+b=1.求证:(1)abb a 111++≥8; (2)(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225. 思路分析:要证的不等式是在已知条件下成立的,从不等式的结构及与已知的关系考虑,可用综合法证之.证明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴ab1≥4. ∴a 1+b 1+ab 1=(a+b)(a 1+b 1)+ab 1≥ab ·2ab1+4=8. ∴a 1+b 1+ab1≥8. (2)∵2b a +≤222b a +,则222)2(2b a b a +≥+.∴(a+a 1)2+(b+b 1)2≥2(211b b a a +++)2=2252)121(2)111(22≥+≥++ab b a . ∴(a+a 1)2+(b+b 1)2≥225 深化升华 利用综合法证明不等式可利用已经证过的不等式作为基础,再运用不等式的性质推导出所要证的不等式.但要注意防止在推证中盲目套用公式和错用性质,要把握住不等号方向始终如一的正确性.例4已知x>0,y>0,求证:31332122)()(y x y x +>+.思路分析:本题若直接运用综合法,则不易发现与已知不等式的关系,因而可试用分析法. 证明:要证明31332122)()(y x y x +>+只需证(x 2+y 2)3>(x 3+y 3)2,即证x 6+3x 4y 2+3x 2y 4+y 6>x 6+2x 3y 3+y 6,即证3x 4y 2+3x 2y 4>2x 3y 3.∵x>0,y>0,∴x 2y 2>0,即证3x 2+3y 2>2xy.∵3x 2+3y 2>x 2+y 2≥2xy,∴3x 2+3y 2>2xy 成立. 故31332122)()(y x y x +>+深化升华 该例用分析法将一个较为复杂的不等式转化为简单的不等式,从而找到使它成立的条件.当然,该例也可以用分析综合法证明.例5若tan(α+β)=2tanα,求证:3sinβ=sin(2α+β).思路分析:本题存在三角函数的角的形式的联系:β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,这是本题的切入点.证明:∵tan(α+β)=2tanα,∴ααβαβαcos sin 2)cos()sin(=++. 2sinαcos(α+β)=cosαsin(α+β).又3sinβ=3sin ［(α+β)-α］=3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β),sin(2α+β)=sin ［(α+β)+α］=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=3sinαcos(α+β).∴3sinβ=sin(2α+β).深化升华 综合法证题是从“已知”看“可知”逐步推向“未知”,它的逐步推理,是在寻找它的必要条件.例6如图2-2-2所示,AB 为⊙O 的直径,⊙O 在平面γ内,SA ⊥平面γ,∠SBA=30°,动点P 在圆O 上移动(不重合于A,B 两点),以N 和M 表示点A 在SP,SB 上的射影,∠BAP=α,求证:图2-2-2(1)△SPB 是直角三角形;(2)AN ⊥平面SPB.思路分析:熟练掌握空间垂直的判定定理是成功解题的关键.证明:(1)∵SA ⊥平面APB,P 为圆周上的一点,∴AP ⊥PB.又∵AP 为SP 在平面γ上的射影,∴SP ⊥PB.∴△SPB 是直角三角形.(2)∵PB ⊥SA,PB ⊥SP,SA∩SP=S,∴PB ⊥平面SAP.又AN ⊂平面SAP,∴PB ⊥AN.又∵SP ⊥AN,PB∩SP=P,∴AN ⊥平面SPB.深化升华 在高中数学的证明题中,立体几何占有很大的一部分.其中以综合法为主,主要是培养大家的逻辑推理能力.拓展延伸如图2-2-3所示,四棱锥P —ABCD 中,PC ⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD 中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,点M 在PB 上,且PB=4PM,PB 与平面ABC 成30°角.图2-2-3(1)求证:CM ∥平面PAD;(2)求证:面PAB ⊥面PAD.证明:(1)以C 为原点,以CD 、CB 、CP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. ∠PBC=30°,|PC|=2,|BC|=32,|AB|=4,不难得出D(1,0,0),B(0,32,0),P(0,0,2),M(0,23,23). 设43=⇒+=x DA y DP x CM ,y=41. ∴,,共面. ∵CM ⊄平面PAD,∴CM ∥平面PAD.(2)作BE ⊥PA 于E,∵|PB|=|AB|=4,∴E 为PA 中点.∴E(2,3,1),则BE =(2,3-,1).∴DA BE ∙=0.∴BE ⊥DA.又BE ⊥PA,∴BE ⊥面PAD.∴面PAB ⊥面PAD.深化升华 在空间中证平行、垂直时,可建立空间直角坐标系,通过向量的坐标运算来证明问题,这是空间向量的一个重要应用.例7设n ∈N ,求证:1+12313121222+≥+++n n n . 思路分析:把结论分解为两部分进行考查.证明:设x n =1+12313121222+≥+++n n n, 则有Δx n =x n+1-x n =2)1(1+n >0,Δy n =y n+1-y n =1)1(432-+n >0. 可知,数列{x n }与{y n }都是单调递增数列.再运用综合法,先寻求两个数列的联系.x 1=y 1=1,1)1(432-+n <2)1(44+n =2)1(1+n ,把这种关系概括为Δx n ≥Δy n . x n+1=x 1+Δx 1+Δx 2+…+Δx n ;y n+1=x 2+Δy 1+Δy 2+…+Δy n .显然,x n+1≥y n+1,即1+12313121222+≥+++n n n . 深化升华 上述思考过程的前半部分运用了分析法,后半部分运用了综合法.例8(2005江苏高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,a 2=6,a 3=11,且(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B,n=1,2,3,…,其中A 、B 为常数.(1)求A 与B 的值;(2)证明数列{a n }为等差数列;(3)证明不等式n m m a a a -5>1对任何正整数m 、n 都成立.(1)解:由已知得S 1=a 1=1,S 2=a 1+a 2=7,S 3=a 1+a 2+a 3=18.由(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =An+B 知,⎩⎨⎧-=+-=+⎩⎨⎧+=-+=--.482,28,2123,732312B A B A B A S S B A S S 即 解得A=-20,B=-8.(2)证法一:由(1)得(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8,①∴(5n-3)S n+2-(5n+7)S n+1=-20n-28,②②-①得(5n-3)S n+2-(10n-1)S n+1+(5n+2)S n =-20,③∴(5n+2)S n+3-(10n+9)S n+2+(5n+7)S n+1=-20,④④-③得(5n+2)S n+3-(15n+6)S n+2+(15n+6)S n+1-(5n+2)S n =0.∵a n+1=S n+1-S n ,∴(5n+2)a n+3-(10n+4)a n+2+(5n+2)a n+1=0.又∵5n+2≠0,∴a n+3-2a n+2+a n+1=0,即a n+3-a n+2=a n+2-a n+1,n≥1.又a 3-a 2=a 2-a 1=5,∴数列{a n }为等差数列.证法二:由已知,S 1=a 1=1,又(5n-8)S n+1-(5n+2)S n =-20n-8且5n-8≠0,∴数列{S n }是唯一确定的,因而数列{a n }是唯一确定的.设b n =5n-4,则数列{b n }是等差数列,前n 项和T n =2)35(-n n , 于是(5n-8)T n+1-(5n+2)T n =(5n-8)2)35()25(2)25)(1(---++n n n n n =-20n-8. 由唯一性得b n =a n ,即数列{a n }是等差数列.(3)证明:由(2)可知a n =1+5(n-1)=5n-4, 要证n m m a a a -5>1,只要证5a mn >1+a m ·a n +n m a a ∙2,因为a mn =5mn-4,a m ·a n =(5m-4)(5n-4)=25mn-20(m+n)+16,故只要证5(5mn-4)>1+25mn-20(m+n)+16+n m a a ∙2,即只要证20m+20n-37>n m a a ∙2. 因为n m a a ∙2≤a m +a n =5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20m+20n-37,所以原命题得证.深化升华 本小题主要考查等差数列的有关知识,不等式的证明方法,考查思维能力,运算能力.例9数列{a n }的前n 项和S n =2a n -3n(n ∈N *).(1)求{a n }的通项公式;(2)数列{a n }中是否存在三项,它们按原顺序可以构成等差数列?若存在,求出一组适合条件的项;若不存在,请说明理由.思路分析:存在性探索题可运用反证法的思想,先假设存在,若推出矛盾,即假设存在不成立;若推出符合存在性的条件,则存在性成立.解:(1)a 1=S 1=2a 1-3,则a 1=3.由⇒⎩⎨⎧-=+-=++n a S n a S n nn n 32)1(3211a n =S n+1-S n =2a n+1-2a n -3⇒a n+1+3=2(a n +3), ∴{a n +3}为等比数列,首项为a 1+3=6,公比为2.∴a n +3=6·2n-1,即a n =3·2n -3.(2)假设数列{a n }中存在三项a r ,a s ,a t (r<s<t),它们可以构成等差数列,且a r <a s <a t .∴只能是a r +a t =2a s ,即3(2r-1)+3(2t-1)=6(2s-1).∴2r +2t =2s+1.∴1+2t-r =2s+1-r .(*)∵r<s<t,r,s,t 均为正整数,∴(*)式左边为奇数,右边为偶数,不可能成立.∴数列{a n }中不存在可以构成等差数列的三项.误区警示 在解答(2)时,易错取三项a n-1,a n ,a n+1.事实上,适合条件的三项并不一定是连续的.例10若下列三个方程:x 2+4ax-4a+3=0,x 2+(a-1)x+a 2=0,x 2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,试求a 的取值范围.思路分析:上述三个方程中至少有一个方程有实根的情况较多,考虑起来比较复杂;如果考虑其反面,即“三个方程都无实根”,则就简单多了,这样求得a 的集合为A,那么命题所要求的a 的范围即为 A.解:三个方程都无实根⇔230231121230)2(4)2(04)1(0)34(4)4(2322221-⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<<-⇔⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆a a a a a a a a a a 或<a<-1. 设A={a|23-<a<-1},则A={a|a≤23-或a≥-1}. 故所求的实数a 的取值范围是{a|a≤23-或a≥-1}. 方法归纳 考虑问题的反面,求出a 的范围,从而求出原命题要求的a 的范围,是“正难则反”的解题策略的运用.这种解题策略在数学中随处可见,大家应注意掌握.。

第章．直接证明与间接证明．综合法（）综合法的的定义：一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．（）综合法的思维框图：用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）．分析法（）分析法的定义：一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法．（）分析法的思维框图用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）．反证法证题（）反证法定义：一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．（）反证法的一般步骤：（）反设：假设所要证明的结论不成立，假设结论的反面成立；（）归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾或自相矛盾；（2）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．、你知道综合法与分析法之间的关系吗？、使用分析法、反证法需要注意那些方面？．【河南洛阳期末】用反证法证明“，如果、能被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容是（）．不能被整除．不能被整除．都不能被整除．中至多有一个能被整除．【安徽太和中学期中】设、、为锐角的三个内角，，，则（）．．．．、大小不确定．【甘肃高台一中期中】要证，只要证（）．．．．．【安徽合肥一中期中】若且，则和的值满足（）．和中至少有一个小于．和都小于．和都大于．不确定．【山西晋中榆社中学期中】现有个命题：：函数有个零点．：面值为分和分的邮票可支付任何分的邮资．：若，，则、、、中至少有个为负数．。

反证法使用
反证法在数学中经常运用。

当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓"正难则反"。

牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。

一般来讲，反证法常用来证明正面证明有困难,情况多或复杂,而逆否命题则比较浅显的题目，问题可能解决得十分干脆。

反证法的证题可以简要的概括为“否定→得出矛盾→否定”。

即从否定结论开始，得出矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是辩证的“否定之否定”。

应用反证法的是：
欲证“若P则Q”为真命题，从相反结论出发，得出矛盾，从而原命题为真命题。

证明步骤
（1）反设：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立。

（2）归谬：从这个命题出发，经过推理证明得出矛盾。

（3）结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确。

适用题型
（1）唯一性命题
（2）否定性题
（3）“至多”，“至少”型命题
（4）必然性命题
（5）起始性命题
（6）无限性命题
（7）不等式证明。

高中数学 第二章 推理与证明 直接证明与间接证明（第1课时）课堂探究 新人教A 版选修2-2探究一 综合法的应用综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题结论的真实性．简言之，综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．【典型例题1】已知a ，b ，c 是正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8. 思路分析：利用“1”的代换进行转化，利用基本不等式证明．证明：∵a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a＞0， 1b－1＝1－b b＝a ＋c b ≥2ac b ＞0， 1c －1＝1－c c ＝a ＋b c ≥2ab c ＞0，以上三式对应相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8×bc a ×ac b ×ab c＝8. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．∴原不等式成立．反思 综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R )． ②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22. ③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别是b a ＋ab≥2. 【典型例题2】如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.思路分析：解答本题可先明确线线、线面垂直的判定定理及性质定理，再用定理进行证明．证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又∵PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．又AB⊥AD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.探究二分析法的应用分析法是一种从未知到已知(从结论到题设)的证明方法，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的判断，而当这个判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提条件)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法，也是数学证明常用的手段．【典型例题3】已知a＞6，求证：a－3－a－4＜a－5－a－6.思路分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件．证明：要证a－3－a－4＜a－5－a－6，只需证a －3＋a －6＜a －5＋a －4⇐(a －3＋a －6)2＜(a －5＋a －4)2⇐2a －9＋2(a －3)(a －6)＜2a －9＋2(a －5)(a －4) ⇐(a －3)(a －6)＜(a －5)(a －4)⇐(a －3)(a －6)＜(a －5)(a －4)⇐18＜20，因为18＜20显然成立，所以原不等式a －3－a －4＜a －5－a －6成立．探究三 综合法和分析法的综合应用分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：→→…→←…←←其中P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的结论．【典型例题4】若a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .思路分析：本题先利用分析法将对数不等式转化为一般不等式，再用综合法证明不等式成立，两种方法同时使用，可使问题迅速解决．证明：要证lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c ， 只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2＞lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc . 因为a ，b ，c 为不全相等的正数，所以a ＋b2≥ab ＞0，b ＋c2≥bc ＞0，c ＋a2≥ac ＞0，且上述三式中等号不能同时成立，所以a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2＞abc 成立， 所以lg a ＋b2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c 成立．反思 对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用．探究四易错辨析易错点：分析法与综合法相混淆而导致出错【典型例题5】求证：2＋10＜2 6.错解：2＋10＜26，并且2＋10和26都是正数，所以(2＋10)2＜(26)2，即12＋45＜24，5＜3，所以5＜9.因为5＜9成立，所以不等式2＋10＜26成立．错因分析：本题步骤出现错误，把2＋10＜26看成了条件去推，不符合分析法的步骤．正解：因为2＋10和26都是正数，所以要证2＋10＜26，只需证明(2＋10)2＜(26)2，展开得12＋45＜24，即5＜3，故只需证5＜9.因为5＜9显然成立，所以不等式2＋10＜26成立．。

高中数学第二章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-2间接证明教学案苏教版选修2_21．问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的命题变换艺术．如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．该广告词实际说明了什么？提示：说的是：“不拥有的人们不幸福”．2．已知正整数a，b，c满足a2＋b2＝c2.求证：a，b，c不可能都是奇数．问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？提示：不能．问题2：a、b、c不可能都是奇数的反面是什么？还满足条件a2＋b2＝c2吗？提示：都是奇数．若a、b、c都是奇数，则不能满足条件a2＋b2＝c2.1．间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明．反证法就是一种常用的间接证明方法，间接证明还有同一法、枚举法等．2．反证法(1)反证法证明过程反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)，用反证法证明命题“若p 则q”的过程可以用下面的框图表示：肯定条件p 否定结论q →→→“若p则q”为真(2)反证法证明命题“若p则q”的步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法．2．可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与反设矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论．[例1]的三角形不可能都是锐角三角形．[思路点拨] 本题证明的命题是否定性命题，解答时先假设四个三角形都是锐角三角形，再分情况去推出矛盾．[精解详析] 假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D，考虑△ABC，点D的位置分为在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(如图(1))，根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾．(2)如果点D在△ABC之外(如图(2))，根据假设∠A，∠B，∠C，∠D都小于90°，这和四边形内角之和等于360°矛盾．综上所述．原结论成立．[一点通] (1)结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题正面比较模糊，而反面比较具体，适于应用反证法．(2)反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”．1．实数a、b、c不全为0等价于________(填序号)．①a，b，c全不为0；②a，b，c中最多只有一个为0；③a，b，c 中只有一个不为0；④a，b，c中至少有一个不为0.解析：“不全为0”等价于“至少有一个不为0”．答案：④2.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线．解：假设直线BM与A1N共面．则A1D1⊂平面A1BND1，且平面A1BND1∩平面ABCD＝BN，由正方体特征知A1D1∥平面ABCD，故A1D1∥BN，又A1D1∥BC，所以BN∥BC.这与BN∩BC＝B矛盾，故假设不成立．所以直线BM与直线A1N是两条异面直线．3．已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列．证明：假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b，而b2＝ac，即b＝，∴a＋c＋2＝4，所以(－)2＝0.即＝，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，，不成等差数列．[例2][思路点拨] “有且只有一个”的否定分两种情况：“至少有两个”、“一个也没有”．[精解详析] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不只有一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[一点通] 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和惟一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“惟一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其惟一性就较为简单明了．4．证明方程2x＝3有且仅有一个根．证明：∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程有一个根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是惟一的，假设方程2x＝3有两个根b1、b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3.两式相除得：2b1－b2＝1.如果b1－b2>0，则2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．如果b1－b2<0，则2b1－b2<1，这与2b1－b2＝1相矛盾．因此b1－b2＝0，则b1＝b2，这就同b1≠b2相矛盾．如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾．故2x＝3有且仅有一个根．5．求证：过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．解：已知P∉平面α.求证：过点P和平面α垂直的直线b有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P∉平面α，由立体几何知识知：过点P能作出一条直线与平面α垂直，故直线b存在．(2)惟一性：假设过点P还有一条直线c与平面α垂直．由b⊥α，c⊥α，得b∥c，这与b∩c＝P矛盾，故假设不存在，因此直线b惟一．综上所述，过平面外一点有且只有一条直线和这个平面垂直．[例求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．[思路点拨] 本题要证a、b、c、d中至少有一个是负数，具体有一个负数？两个负数？三个负数？还是四个负数？都有可能，谁是负数也都有可能．所以正面证明很复杂，可考虑用反证法．[精解详析] 假设a、b、c、d都不是负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.∵a＋b＝c＋d＝1，∴b＝1－a≥0，d＝1－c≥0.∴ac＋bd＝ac＋(1－a)(1－c)＝2ac－(a＋c)＋1＝(ac－a)＋(ac－c)＋1＝a(c－1)＋c(a－1)＋1.∵a(c－1)≤0，c(a－1)≤0.∴a(c－1)＋c(a－1)＋1≤1，即ac＋bd≤1.与ac＋bd>1相矛盾．∴假设不成立．∴a、b、c、d中至少有一个是负数．[一点通](1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．(2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表：不能都大于.证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a＞0,1－b＞0,1－c＞0，∴≥＞＝.同理＞，＞.三式相加，得＋＋＞，即＞，矛盾．所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.7．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，设α，β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)．这与f(α)＝0＝f(β)矛盾．所以方程f(x)＝0在区间 [a，b]上至多只有一个实根．1．反证法证明的适用情形(1)一些基本命题、基本定理；(2)易导出与已知矛盾的命题；(3)“否定性”命题；(4)“惟一性”命题；(5)“必然性”命题；(6)“至多”“至少”类命题；(7)涉及“无限”结论的命题．2．用反证法证明问题应注意以下三点(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必然罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．一、填空题1．命题“，中至多有一个小于2”的反设为________．答案：，都小于22．(山东高考改编)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是____________________．解析：至少有一个实根的否定是没有实根．答案：方程x3＋ax＋b＝0没有实根1．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为____________________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．答案：a，b不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.答案：③①②5．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b二、解答题6．(陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列．(1)推导{an}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．解：(1)设{an}的前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，①qSn ＝a1q ＋a1q2＋…＋a1qn ，②①－②得，(1－q)Sn ＝a1－a1qn ，∴Sn ＝，∴Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na1，q ＝1，－1－q ，q≠1.(2)证明：假设{an ＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*， (ak ＋1＋1)2＝(ak ＋1)(ak ＋2＋1)，a ＋2ak ＋1＋1＝akak ＋2＋ak ＋ak ＋2＋1，aq2k ＋2a1qk ＝a1qk －1·a1qk＋1＋a1qk －1＋a1qk ＋1，∵a1≠0，∴2qk ＝qk －1＋qk ＋1.∵q ≠0，∴q2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{an ＋1}不是等比数列．7．设f(x)＝x2＋ax ＋b ，求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.证明：假设|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，则有⎩⎪⎨⎪⎧ －12<1＋a ＋b<12，－12<4＋2a ＋b<12，－12<9＋3a ＋b<12.11 / 11 于是有⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a ＋b<－12， ①－92<2a ＋b<－72， ②－192<3a ＋b<－172. ③由①、②得－4<a<－2，④由②、③得－6<a<－4.⑤④、⑤显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确．8．已知P ∉直线a.求证：过点P 和直线a 平行的直线b 有且只有一条．证明：(1)存在性：∵P ∉直线a ，∴点P 和直线a 确定一个平面α. 由平面几何知识知：在平面α内过点P 能作出一条直线与直线a 平行，故直线b 存在．(2)惟一性：假设过点P 还有一条直线c 与a 平行．∵a ∥b ，a ∥c ，∴b ∥c ，这与直线b 、c 有共点P 矛盾．故假设不存在，因此直线b 惟一．综上所述，过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．。

1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点) 2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 综合法阅读教材P 63，完成下列问题． 1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有__________与__________． 【答案】 1.(1)定义 公理 定理 (2)综合法 分析法 2．综合法(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P 0(已知)⇒P 1⇒P 2⇒…⇒P n (结论)． 【答案】 2.(1)原因 结果已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c >0，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ababc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)．【解析】 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． 【答案】 综合法 教材整理2 分析法阅读教材P 64～P 65，完成下列问题．1．定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知) 【答案】 1.结果 原因 充分判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( ) (2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )【答案】 (1)× (2)× (3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)在△ABC 中， __________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac＋bd )2.其中恒成立的有__________．【自主解答】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3， ∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14. ③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．【答案】 (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．[再练一题]1．综合法是( ) 【导学号：05410044】 A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 【答案】 B设a ，b 【精彩点拨】 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． 【自主解答】 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0，∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．[再练一题]2．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b .【证明】 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b ， 只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1，即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证． [探究共研型]探究1 【提示】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2 综合法与分析法有什么区别？【提示】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.【精彩点拨】 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决． 【自主解答】 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 ca ＋b ＋ab ＋c ＝1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.[再练一题]3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .【证明】 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立．[构建·体系]1．下面叙述正确的是( )A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 【解析】 直接证明包括综合法和分析法． 【答案】 A2．欲证不等式3－5＜6＜8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)2【解析】 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．【答案】 C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立．【解析】 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________.【导学号：05410045】【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c＋2c a ·a c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 【答案】 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .(要求用两种方法证明) 【证明】 法一：(综合法)因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab≥0，所以a b ＋ba≥a ＋b .法二：(分析法)要证ab＋ba≥a＋b，只需证a a＋b b≥a b＋b a，即证(a－b)(a－b)≥0，因为a＞0，b＞0，所以a－b与a－b符号相同，不等式(a－b)(a－b)≥0成立，所以原不等式成立．我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。

反证法解释
反证法（Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法），是一种论证方式，其方法是首先假设某命题的否命题成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题成立，得证。

反证法常称作Reductio ad absurdum，是拉丁语中的“转化为不可能”，源自希腊语中的“ἡειςτοαδυνατονπαγωγη”，阿基米德经常使用它。

反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。

法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。

具体地讲，反证法就是从反论题入手，把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾，肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”，否则就不是反证法。

用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。