高一数学直接证明与间接证明练习题

习题课 课时目标 1.进一步理解两种推理的含义和作用.2.利用合情推理和演绎推理解决一些简单的实际问题．1．合情推理包括____________和______________；合情推理得到的结论__________正确，但可以为我们的证明提供思路和方向．2．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．一、选择题1．若f (n )＝n 2＋n ＋41，n ∈N ＋，下列说法正确的是( )A ．f (n )可以为偶数B ．f (n )一定为奇数C ．f (n )一定为质数D ．f (n )必为合数2．不等式a >b 与1a >1b同时成立的充要条件为( ) A ．a >b >0 B ．a >0>bC ．1b <1a <0D ．1a >1b>0 3．已知a 1＝3，a 2＝6，且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－64．已知f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，f 4(x )＝f ′3(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，则f 2 007(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x5．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那这个数列的通项公式是( ) A ．a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ．a n ＝3·2nC ．a n ＝3n ＋1D ．a n ＝2·3n二、填空题6．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)．计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有__________________．7．已知两个圆：x 2＋y 2＝1， ①与x 2＋(y －3)2＝1. ②则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________.8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．三、解答题9．11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)，写出n ＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.能力提升11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．1．归纳推理和类比推理都具有猜测的性质，要注意观察所给资料的规律性或两类事物具有的属性，得到可靠的结论．2．三段论是演绎推理的常用形式，在实际应用时往往省略大前提．答案知识梳理1．归纳推理 类比推理 不一定作业设计1．B [因为n ∈N ＋，所以f (n )＝n (n ＋1)＋41，一定为奇数．]2．B [⎩⎪⎨⎪⎧ a >b ，1a >1b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >b ，a －b ab <0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，ab <0， ⇔a >0>b .]3．A [a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，…，故{a n }是以6个项为周期循环出现的数列，a 33＝a 3＝3.]4．D [由已知，有f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f 3(x )＝－cos x ，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，…可以归纳出：f 4n (x )＝sin x ，f 4n ＋1(x )＝cos x ，f 4n ＋2(x )＝－sin x ，f 4n ＋3(x )＝－cos x (n ∈N ＋)，∴f 2 007(x )＝f 3(x )＝－cos x ．]5．D [当n ＝1时，a 1＝32a 1－3，∴a 1＝6， 由S n ＝32a n －3，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32a n －32a n －1， ∴a n ＝3a n －1.∴a 1＝6，a 2＝3×6，a 3＝32×6.猜想：a n ＝6·3n －1＝2·3n .]6．f (2n )>n ＋227．设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ③(x －c )2＋(y －d )2＝r 2 ④其中a ≠c 或b ≠d ，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程．8．125解析 第一个图只一条线段，第二个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比第二个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜测第6个图的线段的条数为1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋22(25－1)2－1＝27－3＝125.9．解 n ＝1时，11×2＝12； n ＝2时，11×2＋12×3＝12＋16＝23； n ＝3时，11×2＋12×3＋13×4＝23＋112＝34； n ＝4时，11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝34＋120＝45. 观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.所以猜想11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝n n ＋1. 证明如下：由11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴原式＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 10．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知EF ∥BC .因为EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC .所以EF ∥平面ABC .(2)由三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱知CC 1⊥平面A 1B 1C 1.又A 1D ⊂A 1B 1C 1，故CC 1⊥A 1D .又因为A 1D ⊥B 1C ，CC 1∩B 1C ＝C ，故A 1D ⊥平面BB 1C 1C ，又A 1D ⊂平面A 1FD ，所以平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .11．n 2＋n解析 由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n .12．解 猜想正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两互相垂直，则S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD ”．事实上，本题还需要严格意义上的证明：如图所示，作AO ⊥平面BCD 于点O ，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB 、AC 、AD 两两互相垂直，故O 为△BCD 的垂心，在Rt △DAE 中，AO ⊥DE ，有AE 2＝EO ·ED ，S 2△ABC ＝14BC 2·AE 2 ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ＝S △OBC ·S △BCD ， 同理S 2△ACD ＝S △BCD ·S △OCD ，S 2△ABD ＝S △BCD ·S △OBD ， 故S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ADB ＝S 2△BCD .。

第九章§2：直接证明与间接证明(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝33π，则cos(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为A ．－1B ．32C ．1D ．－322．若c>1，a ＝c －c －1，b ＝c ＋1－ c.则下列结论中正确的是A ．a>bB ．a ＝bC ．a<bD ．a ≤b3. 如图，O ，A ，B 是平面上的三点，若OA →＝a ，OB →＝b ，设P 为AB 的垂直平分线CP 上的任意一点，向量OP →＝p ，若|a|＝4，|b|＝2，则p·(a －b)等于A ．6B ．5C ．3D ．14．若函数f(x)＝e x sinx ，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 5．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A(2,0)，B(0,4)，若其欧拉线方程为x ＋y －5＝0，则顶点C 的坐标是A ．(－2,0)B ．(2,0)C ．(－4,0)D ．(4,0)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．如果a a ＋b b>a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是______________．7．为迎接2010年广州亚运会，大赛组委会规定：在大赛期间每天主办方要安排专用大巴接送运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴可乘坐20人，已知第t 日参加比赛的运动员人数M 与t 的关系是M(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧30t ＋60，1≤t ≤6－3t 2＋61t ＋88，7≤t ≤12，为了保证赛会期间运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴的数量为________．8．已知三棱锥S —ABC 的三视图如图所示，在原三棱锥中给出下列命题：①BC ⊥平面SAC ；②平面SBC ⊥平面SAB ；③SB ⊥AC.其中所有正确命题的代号是__________．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知：a>0，求证：a 2＋1a 2 －2≥a ＋1a－2.10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分） 设函数f(x)＝x ＋sinx x，g(x)＝xcosx －sinx. (1)求证：当x ∈(0，π)时g(x)<0；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f(x)<a 成立，求a 的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：cos(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝cos[log 3(a 1a 2·…·a 7)]＝cos(log 337π)＝－1. 答案：A2．解析：假设a>b ，则c －c －1>c ＋1－c ⇒2c>c ＋1＋c －1⇒4c>2c ＋2c 2－1⇒c>c 2－1⇒c 2>c 2－1.此式显然成立，故假设成立．答案：A3. 解析：p ＝OC →＋CP →＝a ＋b 2＋CP →， ∴p·(a －b)＝(a ＋b 2＋CP →)·(a －b) ＝12(a ＋b)(a －b)＝12(42－22)＝6. 答案：A4．解析：f ′(x)＝(e x sinx)′＝e x sinx ＋e x cosx ＝e x (sinx ＋cosx)，f ′(4)＝e 4(sin4＋cos4)，因为sin4<0，cos4<0，所以f ′(x)<0，所以切线斜率为负值，则切线的倾斜角为钝角． 答案：C5．解析：AB 中点为(1,2)，直线AB 的垂直平分线方程为y －2＝12(x －1)，将其与欧拉线方程联立，解得外心(－1,1)，设C(a ，b)，则重心G(2＋a 3，4＋b 3)，有4＋b 3＝2＋a 3＋2与 (a ＋1)2＋(b －1)2＝10，联立得a ＝－4，b ＝0.答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵a a ＋b b>a b ＋b a ⇔(a －b)2·(a ＋b)>0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b. 答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b7．解析：本题只需求出分段函数的最大值即可，当1≤t ≤6时，M 的最大值为240；当7≤t ≤12时，M 的最大值为398，故至少应准备大巴20辆．答案：208．解析：由三视图知，在三棱锥S —ABC 中，底面ABC 为Rt △且∠ACB ＝90°.又∵SA ⊥底面ABC ，∴BC ⊥AC ，且BC ⊥SA ，并且SA ∩AC ＝A.∴BC ⊥平面SAC.命题①正确．由已知推证不出②③命题正确．答案：①三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分） 证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只要证：a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋2， ∵a>0，故只要证：(a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a ＋2)2， 即：a 2＋1a2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋1a 2＋2＋22(a ＋1a )＋2， 只要证：2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)， 只要证：4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋1a 2＋2)，即：a 2＋1a2≥2. 上述不等式显然成立，故原不等式成立．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)g ′(x)＝cosx －xsinx －cosx ＝－xsinx ， ∵x ∈(0，π)，∴g ′(x)≤0，∴g(x)在(0，π)上单调递减，又g(0)＝0，∴当x ∈(0，π)时，g(x)<g(0)＝0.(2)∵f(x)＝x ＋sinx x ＝1＋sinx x， ∴f ′(x)＝xcosx －sinx x 2， 由(1)知，当x ∈(0，π)时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，π)上单调递减，则当x ∈(0，π)时，当x →0时，sinx x→1，f(x)→2， 由题意知，f(x)<a 在(0，π)上有解，∴a>f(x)max ，∵f(x)<2，从而a ≥2.。

05限时标准特训A 级 基础达标1．[2021·皖北联考]假设P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，那么P ，Q 的大小关系( ) A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 取值决定解析：假设P <Q ，∵要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证：2a ＋7＋2a a ＋7<2a ＋7＋2a ＋3a ＋4，只要证：a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．答案：C2．[2021·三明模拟]设a ，b ∈R ，那么“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( )A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也没必要要条件解析：假设“a ＋b ＝1”，那么4ab ＝4a (1－a )＝－4(a －12)2＋1≤1；假设“4ab ≤1”，取a ＝－4，b ＝1，a ＋b ＝－3，即“a ＋b ＝1”不成立；那么“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的充分没必要要条件．答案：A3．[2021·张家口模拟]分析法又称执果索因法，假设用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证 b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0 解析：b 2－ac <3a⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0.答案：C4．[2021·汕头模拟]设x ，y ，z >0，那么三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：假设这三个数都小于2，那么三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x ＋z y ＋x z ＋x y ＝(y x ＋x y )＋(y z ＋z y)＋(z x ＋x z )≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x ＝y ＝z ＝1，可排除A 、B.答案：C5．[2021·四平质检]设a ，b 是两个实数，给出以下条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是( )A ．②③B ．①②③C ．③D ．③④⑤解析：①中假设a ＝34，b ＝12，那么a ＋b >1，故①不能；②中假设a ＝b ＝1，那么a ＋b ＝2，故②不能；③能，④中假设a ＝b ＝－2，那么a 2＋b 2>2，故④不能；⑤中假设a ＝b ＝－2，那么ab >1，故⑤不能．∴只有③能，选C.答案：C6．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数解析：自然数a ，b ，c 中为偶数的情形为a ，b ，c 全为偶数；a ，b ，c 中有两个数为偶数；a ，b ，c 全为奇数；a ，b ，c 中恰有一个数为偶数，因此反设为a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数．答案：B7．不相等的三个正数a 、b 、c 成等差数列，而且x 是a 、b 的等比中项，y 是b 、c 的等比中项，那么x 2、b 2、y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析：由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc ， ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b ，代入①，得x 2b ＋y 2b＝2b ， 即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2、b 2、y 2成等差数列，应选B.答案：B8．假设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出以下判定：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b 与a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判定正确的选项是________．解析：①②正确；③中a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 可能同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3.答案：①②9．请阅读以下材料：假设两个正实数a 1，a 2知足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2. 证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，因此Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，因此a 1＋a 2≤ 2.依照上述证明方式，假设n 个正实数知足a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1时，你能取得的结论为________． 解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，因此Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，因此a 1＋a 2＋…＋a n ≤n . 答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n 10. 已知x ∈R ，a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1. 解：假设a ，b ，c 均小于1，即a <1，b <1，c <1，那么有a ＋b ＋c <3，而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋12＋3＝2(x －12)2＋3≥3， 二者矛盾；故a ，b ，c 至少有一个不小于1.11．[2021·南京联考]已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，由于a >1，ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0.又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 1＋1x 2＋1＝3x 2－x 1x 1＋1x 2＋1>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，即f (x 2)>f (x 1)， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)知足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1. ∵a >1，∴0<ax 0<1.∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾， 故方程f (x )＝0没有负数根．证法二：假设存在 x 0<0(x 0≠－1)知足f (x 0)＝0，①假设－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾．②若x 0<－1，那么x 0－2x 0＋1>0,1>ax 0>0，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．12．已知非零向量a ，b ，且a ⊥b ，求证：|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2.证明：a ⊥b ⇔a ·b ＝0，要证|a |＋|b ||a ＋b |≤ 2. 只需证|a |＋|b |≤2|a ＋b |， 只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2(a 2＋2a ·b ＋b 2)，只需证|a |2＋2|a ||b |＋|b |2≤2a 2＋2b 2，只需证|a |2＋|b |2－2|a ||b |≥0，即(|a |－|b |)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．B 级 知能提升1．假设a ，b ∈R ，那么下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，∵a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B 2．凸函数的性质定理为：若是函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么关于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f x 1＋f x 2＋…＋f x nn ≤f (x 1＋x 2＋…＋x nn )，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．解析：∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f A ＋f B ＋f C3≤f (A ＋B ＋C3)＝f (π3)， 即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， 因此sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 答案：3323．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个不同的交点，假设f (c )＝0且0<x <c 时，f (x )>0，(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小； (3)证明：－2<b <－1.解：(1)证明：∵f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a， ∴x 2＝1a (1a≠c )， ∴1a是f (x )＝0的一个根． (2)假设1a <c ，又1a>0， 由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a>c . (3)证明：由f (c )＝0，得ac ＋b ＋1＝0，∴b ＝－1－ac .又a >0，c >0，∴b <－1.二次函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝－b 2a ＝x 1＋x 22<x 2＋x 22＝x 2＝1a， 即－b 2a <1a. 又a >0，∴b >－2，∴－2<b <－1.。

直接证明与间接证明一、选择题1．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( )A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C ．a ，b ，c 都是奇数D ．a ，b ，c 都是偶数2．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.（a ＋b ）22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥03．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．由a 的取值确定4．(2013·东莞调研)对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中真命题是( )A ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊂α，n ∥α，则m ∥nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n5．已知函数f (x )＝(12)x ，a ，b 是正实数，A ＝f (a ＋b 2)，B ＝f (ab )，C ＝f (2ab a ＋b)，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A二、填空题6．下列条件：①ab ＞0，②ab ＜0，③a ＞0，b ＞0，④a ＜0，b ＜0，其中能使b a ＋a b ≥2成立的条件的个数是________．7．(2013·阳江月考)下面有3个命题：①当x ＞0时，2x ＋12x 的最小值为2；②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2.③在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22.类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________． 8．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f （x 1）＋f （x 2）＋…＋f （x n ）n ≤f (x 1＋x 2＋…＋x n n)，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为________．三、解答题9．(1)设x 是正实数，求证：(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3；(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x 的值．10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a＞c . 11．(2013·珠海模拟)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A 、B 、C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．解析及答案一、选择题1．【解析】 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定为“a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数”．【答案】 B2．【解析】 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.【答案】 D3．【解析】 ∵P 2＝2a ＋7＋2a a ＋7＝2a ＋7＋2a 2＋7a ，Q 2＝2a ＋7＋2a ＋3a ＋4＝2a ＋7＋2a 2＋7a ＋12，∴P 2＜Q 2，∴P ＜Q .【答案】 C4．【解析】 对于平面α和共面直线m 、n .设m ，n 确定的平面为β，对于C ，若m ⊂α，则m ＝α∩β，从而n ∥α可得m ∥n ，因此C 正确．【答案】 C5．【解析】 ∵a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b，又f (x )＝(12)x 在R 上是减函数，∴f (a ＋b 2)≤f (ab )≤f (2ab a ＋b)，即A ≤B ≤C . 【答案】 A二、填空题6．【解析】 要使b a ＋a b ≥2，只要b a ＞0且a b ＞0，所以a ，b 不为0且同号即可，故有3个．【答案】 37．【解析】 对于①，2x ＋12x 取得最小值为2的条件是x ＝0，这与x ＞0相矛盾；易证②成立；对于③，可将该三棱锥补成长方体，其外接球的直径恰好是长方体的体对角线．【答案】 ①8．【解析】 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f （A ）＋f （B ）＋f （C ）3≤f (A ＋B ＋C 3)＝f (π3)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332，所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332.【答案】 332 三、解答题9．【证明】 (1)x 是正实数，由基本不等式知 x ＋1≥2x ，1＋x 2≥2x ，x 3＋1≥2x 3，故(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥2x ·2x ·2x 3＝8x 3(当且仅当x ＝1时等号成立)．(2)若x ∈R ，不等式(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)≥8x 3仍然成立．由(1)知，当x ＞0时，不等式成立．当x ≤0时，8x 3≤0，又(x ＋1)(x 2＋1)(x 3＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)(x 2－x ＋1)＝(x ＋1)2(x 2＋1)[(x －12)2＋34]≥0，此时不等式仍然成立．10．【证明】 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根．即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f (1a )>0与f (1a )＝0矛盾，∴1a ≥c ，又∵1a ≠c ，∴1a >c .11．【解】 A 、B 、C 成等差数列，下面用综合法给出证明：∵1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c，∴a＋b＋ca＋b＋a＋b＋cb＋c＝3，∴ca＋b＋ab＋c＝1，∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，∴b2＝a2＋c2－ac.在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12，∵0°＜B＜180°，∴B＝60°.∴A＋C＝120°＝2B，∴A、B、C成等差数列．。

限时集训(三十九) 直接证明与间接证明(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A2．(2013·成都模拟)设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＝1”是“4ab ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P 、Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定4．(2013·银川模拟)设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立，其中正确判断的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列6．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc .若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么他的反设应该是________．8．设S n ＝12＋16＋112＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)，且S n ＋1·S n ＋2＝34，则n 的值是________． 9．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b. 11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 12．已知{a n }是正数组成的数列，a 1＝1，且点(a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝x 2＋1的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1＝b n ＋2a n ，求证：b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.限时集训(三十九) 直接证明与间接证明答 案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D7．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|则|f (x 1)－f (x 2)|≥12” 8．5 9.⎝⎛⎭⎫－3，32 10．证明：∵1b －1a，a >0， ∴0<b <1，要证1＋a >11－b， 只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a>1. 这是已知条件，所以原不等式成立．11．解：(1)由已知得⎩⎨⎧ a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，解得d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则 b 2q ＝b p b r .即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)．∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0. ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r .与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．12．解：(1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列．故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2·2n ＋1＋1)＝－2n <0，所以b n ·b n ＋2<b 2n ＋1.。

江苏高考直接证明与间接证明专题练习（附答案）直接证明是相关于直接证明说的，综合法和剖析法是两种罕见的直接证明。

以下是直接证明与直接证明专题练习，请考生查缺补漏。

【典例1】 (2021天津高考)q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2，，q-1}，集合A={x|x=x1+x2q++xnqn-1，xiM，i=1,2，，n}.(1)当q=2，n=3时，用罗列法表示集合A.(2)设s，tA，s=a1+a2q++anqn-1，t=b1+b2q++bnqn-1，其中ai，biM，i=1,2，，n.证明：假定an1及a0可知0，只需证1，只需证1+a-b-ab1，只需证a-b-ab1，即-1.这是条件，所以原不等式得证.考向3 反证法(高频考点) 【典例3】 (1)(2021山东高考改编)用反证法证明命题设a，b为实数，那么方程x3+ax+b=0至少有一个实根时，要做的假定是________.(2)(2021陕西高考)设{an}是公比为q的等比数列.推导{an}的前n项和公式;设q1，证明数列{an+1}不是等比数列.[思绪点拨] (1)至少的否认是少于.(2)分q=1和q1两种状况求解.用反证法证明.[解析] (1)a，b为实数，那么方程x3+ax+b=0至少有一个实根的否认为方程x3+ax+b=0没有实根.[答案] 方程x3+ax+b=0没有实根(2)设{an}的前n项和为Sn，当q=1时，Sn=a1+a1++a1=na1;当q1时，Sn=a1+a1q+a1q2++a1qn-1，qSn=a1q+a1q2++a1qn，①-得，(1-q)Sn=a1-a1qn，Sn=，Sn=证明：假定{an+1}是等比数列，那么对恣意的kN+，(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1)，a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1，aq2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1，a10，2qk=qk-1+qk+1.q0，q2-2q+1=0，q=1，这与矛盾.直接证明与直接证明专题练习及答案就分享到这里，查字典数学网预祝考生可以考上自己理想的大学。

4 直接证明与间接证明一、选择题(每小题7分，共35分)1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ≤b2已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)、P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|3．已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2；②f (m ＋1,1)＝2f (m ，1)．给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9；(2)f (5,1)＝16；(3)f (5,6)＝26.其中正确结论的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．04．设x 、y 、z >0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于25．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(ⅰ)1*1=1，（ii ）(n+1)*1=n*1+1则n*1等于 ( )A ．nB ．n ＋1C ．n －1D ．n 2二、填空题(每小题6分，共24分)6．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是_______________________________．7．设x ，y ，z 是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x ⊥z ，且y ⊥z ，则x ∥y ”为真命题的是________．(填写所有正确条件的代号) ①x 为直线，y ，z 为平面；②x ，y ，z 为平面；③x ，y 为直线，z 为平面；④x ，y 为平面，z 为直线；⑤x ，y ，z 为直线．8．下面有4个命题：①当x >0时，2x ＋12x 的最小值为2； ②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22； 类比到空间，若三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S —ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22. 其中错误．．命题的序号为________(把你认为错误命题的序号都填上)． 9．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)三、解答题(共41分)10．(13分)设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，求证：a >0且-2<b a<-1.11．(14分)已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.12．(14分)已知a ，b ，c 是互不相等的实数．求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．答案1.A2.C3.A4.C5.A6. a ≥0，b ≥0且a ≠b7. ①③④8. ①③9. ③10. 证明 f (0)>0，∴c >0，又∵f (1)>0，即3a ＋2b ＋c >0.①而a ＋b ＋c ＝0即b ＝－a －c 代入①式，∴3a －2a －2c ＋c >0，即a －c >0，∴a >c .∴a >c >0.又∵a ＋b ＝－c <0，∴a ＋b <0.∴1＋b a <0，∴b a<－1.又c ＝－a －b ， 代入①式得，3a ＋2b －a －b >0，∴2a ＋b >0，∴2＋b a >0，∴b a >－2.故－2<b a<－1. 11. 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．12. 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.上述三个同向不等式相加得，4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ca ≤0，∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0，∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．。

第六节 直接证明与间接证明预习设计 基础备考·知识梳理1．直接证明2．间接证明 反证法：假设命题 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出 因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．典题热身1．分析法是从要证的结论出发，寻求使它成立的 ( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案：A2．用反证法证明命题“如果,b a >那么,,33b a >时，假设的内容应是33.b a A = b a B <3. 3333.b a b a C <=且 3333.b a b a D <=或 答案：D3．若,0<<b a 则下列不等关系中不能成立的是 ( )b a A 11.> ab a B 11.>- ||||.b ac > 44.b a D > 答案：B4．已知∈d c b a ,,,{正实数}且,dC b a <则( ) d c d b c a b a A <++<⋅ d c b a d b c a B <<++. db c a d c b a c ++<<⋅ D ．以上均可能 答案：A5．若,,R b a ∈有下列不等式：;232a a >+① );1(222--≥+b a b a ② +>+2355b a b a ③;32b a .21≥+aa ④则其中一定成立的是答案：①②课堂设计 方法备考题型一 用综合法证明不等式【例1】已知,1=++z y x 求证：⋅≥++31222z y x 题型二 用分析法证明不等式【例2】已知,0>>b a 求证：<-+<-ab b a a b a 28)(2⋅-b b a 8)(2 题型三 用反证法证明不等式【例3】设,)(2q Px x x f ++=则|)3(||,)2(||,)1(|f f f 中是否至少有-个不小于?21并证明你的结论. 技法巧点(1)分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知．(2)综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．(3)分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．(4)应用反证法证明数学命题，一般分下面几个步骤：第一步，分清命题”“q p →的条件和结论； 第二步，作出与命题结论q 相矛盾的假定;q ⌝第三步，由p 和q ⌝出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不真，于是原结论q 成立，从而间接地证明了命题p →q 为真第三步所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理矛盾、与已知定义矛盾、与已知定理矛盾、与已知条件矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况．失误防范1．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）”…“即要证”…“就要证”等分析到一个明显成立的结论p ，再说明所要证明的数学问题成立．随堂反馈1．已知z y x ,,为正实数且z y x ,,不全相等， 求证：.222z y x x z z y y x ++>++2．已知a ，b 为正实数，且,1=+b a 求证：.22121≤+++b a 3．已知,10,10,10<<<<<<c b a 求证：三个数,)1(b a -a c c b )1(,)1(--不可能都大于⋅41 高效作业 技能备考一、选择题1．若),0(43,7≥++=+=a a a Q a a p 则P 、Q 的大小关系是( )Q p A >. Q p B =. Q P c <. D ．由a 的取值确定答案：C2．设,1,1,1),,0(,,xz c z y b y x a z y x +=+=+=+∞∈则c b a ,,三数( ) A 至少有一个不大于2 B ．都小于2 C.至少有一个不小于2 D ．都大于2答案：C3．要使.333b a b a -<-成立，则a ，b 应满足( )b a ab A ><且0. b a ab B >>且0. b a ab C <<且0. b a ab D >>且0.或0<ab 且 b a <答案：D4．设,1,0=+<<b a b a 则下列不等式中正确的是 ( ) 22222.b a b a ab b A +<+<< b a b a b ab B +<+<<222.b b a b a abc <+<+<222. b a b b a ab D +<<+<222.答案：D5．已知,0>>b a 且,1=ab 若=+=<<q b a P c c ,2log ,1022 ,)1(log 2ba c +则p 、q 的大小关系是 ( )q P A >⋅ q P B <. q P c =⋅ q P D ≥.答案：B6．已知函数B b a f A R b a x f x ),2(,,,)21()(+=∈=+=),2(),(ba ab f C ab f +=则A 、B 、C 的大小关系是 ( )c B A A ≤≤. B c A B ≤≤. A C B c ≤≤. A B C D ≤≤.答案：A二、填空题7．在等比数列}{n a 和等差数列}{n b 中，,0,03311>=>=b a b a ,31a a =/则5a 和5b 的大小关系为 答案：55b a >8．（2011．宁夏模拟）若a ，b ，c 为Rt△ABC 的三边，其中c 为斜边，那么n n b a +与nc （其中*N n ∈且 )2>n 的大小关系是答案：n n n c b a <+9．(2011．德州模拟)已知点),(n n a n A 为函数1+=x y 图像上的点，),(n n b n B 为函数x y =图像上的点，其中∈n *,N 设,n n n b a c -=则.c 与1+n c 的大小关系为答案：1+>n n c c三、解答题10．已知非零向量a ，b ，且,b a ⊥求证：.2||||||≤++b a b a11．设,23)(2c bx ax x f ++=若0.)1(,0)0(,0>>=++f f c b a 求证：0>a 且.12-<<-ab 12. (2011．德州模拟)已知,1,0,,,==++∈abc c b a R c b a 求证：c b a ,,中至少有一个大于⋅23。

教
学
过
程
1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．
2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．
3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易
寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从
条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常
常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．
4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命
题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是
错误的．
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．
①1
a＜
1
b；②a＋
1
b＞b＋
1
a；③b＋
1
a＞a＋
1
b；④
b
a＜
b＋1
a＋1
.
2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．
3．(2014·上海模拟)“a＝1
4”是“对任意正数x，均有x＋
a
x≥1”的
________条件．教学效果分析。

高中新课标选修（1-2）直接证明与间接证明测试题一、选择题1 ）Ａ．综合法 Ｂ．分析法 Ｃ．间接证法 Ｄ．合情推理法答案：Ｂ2．对一个命题的证明，下列说法错误的是（ ）Ａ．若能用分析法，必能用综合法Ｂ．若用综合法或分析法证明难度较大时，可考虑分析法与综合法的合用等方法 Ｃ．若用直接证法难度较大时，可考虑反证法Ｄ．用反证法就是要证结论的反面成立答案：Ｄ3．设a b c ，，都是正数，则三个数111a b c b c a+++，，（ ） Ａ．都大于2Ｂ．至少有一个大于2Ｃ．至少有一个不大于2Ｄ．至少有一个不大于2答案：Ｃ4．设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P =，Q = ） Ａ．P Q ≥Ｂ．P Q ≤ Ｃ．P Q > Ｄ．P Q <答案：Ｂ5．若π04αβ<<<，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则（ ） Ａ．a b <Ｂ．a b > Ｃ．1ab < Ｄ．2ab >答案：Ａ6．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤答案：Ａ二、填空题7．sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-°°°°°°的值为 ．答案：28．三次函数3()1f x ax =-在()-+，∞∞内是减函数，则a 的取值范围是 ．答案：0a <9．若抛物线2y mx =与椭圆22195x y +=有一个共同的焦点，则m = ．答案：8±10．已知a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥． 证明过程如下：∵a b c +∈R ，，，且1a b c ++=，110b c a a +-=>∴，110a c b b +-=>，110a b c c+-=>， 111111b c a b c a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴．8a c a b b c ++=·， 当且仅当a b c ==时取等号，∴不等式成立．这种证法是 ．（综合法、分析法或反证法）答案：综合法11．已知平面αβ，和直线m ，给出条件：①m α∥；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤αβ∥．（1）当满足条件 时，有m β∥，（2）当满足条件 时，有m β⊥．（填所选条件的序号）答案：③⑤，②⑤12．向量，a b 满足()(2)4a b a b -+=-·，且24a b ==，，则a 与b 夹角的余弦值等于 ．答案：12-三、解答题13．设函数()f x 对任意∈R ，x y ，都有()()()f x y f x f y +=+，且0x >时，()0f x <．（1）证明()f x 为奇函数；（2）证明()f x 在R 上为减函数．证明：（1）x y ∈R ，∵，()()()f x y f x f y +=+，∴令0x y ==，(0)(0)(0)f f f =+，(0)0f =∴，令y x =-，代入()()()f x y f x f y +=+，得(0)()()f f x f x =+-， 而(0)0f =，()()()f x f x x -=-∈R ∴，()f x ∴是奇函数；（2）任取12x x ∈R ，，且12x x <，则210x x x ∆=->，21()()0f x f x x ∆=-<∴．又2121()()()f x x f x f x -=+-，()f x ∵为奇函数，11()()f x f x -=-∴，21()()()0f x f x f x ∆=-<∴，即21()()0f x f x -<，()f x ∴在R 上是减函数．14．用分析法证明：若0a >221122a a a a++-． 221122a a a a ++≥ 0a >∵，∴两边均大于零． 因此只需证2222221111442222a a a a a a a a ⎫+++++++++⎪⎭， 只需证221122a a a a ⎫++⎪⎭， 只需证22221122a a a a ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥，即证2212a a +≥，而2212a a +≥显然成立， ∴原不等式成立．15．在ABC △中，已知()()3a b c a b c ab +++-=，且2cos sin sin A B C =．判断ABC △的形状．解：180A B C++=∵°，sin sin()C A B=+∴．又2cos sin sinA B C=，2cos sin sin cos cos sinA B A B A B=+∴，sin()0A B-=∴．又A与B均为ABC△的内角，A B=∴．又由()()3a b c a b c ab+++-=，得22()3a b c ab+-=，222a b c ab+-=，又由余弦定理2222cosc a b ab C=+-，得2222cosa b c ab C+-=，2cosab C ab=∴，1cos2C=，60C=∴°．又A B=∵，∴ABC△为等边三角形．。

高一数学直接证明与间接证明试题答案及解析1.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”．故选B点评：本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．2.用反证法证明命题“若a2+b2=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）A．a、b至少有一个不为0B．a、b至少有一个为0C．a、b全不为0D．a、b中只有一个为0【答案】A【解析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选 A．点评：本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，是解题的关键．3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的假设为（）A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，由此得出结论．解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定为：“a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数”，故选D．点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键．4.用反证法证明：“方程ax2+bx+c=0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”正确的假设是方为（）程存在实数根xA．整数B．奇数或偶数C．正整数或负整数D．自然数或负整数【答案】A【解析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定．根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“方程没有整数根”写出否定即可．解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“方程没有整数根”的否定“方程存在实数根x为整数”．为整数．即假设正确的是：方程存在实数根x故选A．点评：一些正面词语的否定：“是”的否定：“不是”；“能”的否定：“不能”；“都是”的否定：“不都是”；“至多有一个”的否定：“至少有两个”；“至少有一个”的否定：“一个也没有”；“是至多有n个”的否定：“至少有n+1个”；“任意的”的否定：“某个”；“任意两个”的否定：“某两个”；“所有的”的否定：“某些”．5.关于综合法和分析法说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．分析法又叫逆推证法或执果索因法D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法【答案】D【解析】根据综合法、分析法的定义可得结论．解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法；根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法．故选：D．点评：本题主要考查综合法、分析法的定义，属于基础题．6.某同学证明+＜+的过程如下：∵﹣＞﹣＞0，∴＜，∴＜，∴+＜+，则该学生采用的证明方法是（）A．综合法B．比较法C．反证法D．分析法【答案】A【解析】从推理过程（是“执因索果”还是“执果索因”）即可得到答案．解：从推理形式来看，从﹣＞﹣＞0入手，推出＜，继而得到＜，最后得到+＜+，是“执因索果”，是综合法证明，故选：A．点评：本题考查综合法与分析法，掌握二者的推理形式（“执因索果”为综合法，“执果索因”为分析法）是关键，属于中档题．7.已知a，b，c∈（0，1），则对于（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a说法正确的是（）A．不能都大于B．都大于C．都小于D．至少有一个大于【答案】A【解析】首先根据题意，通过反证法得出结论．解：假设（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a中都大于即（1﹣a）b＞，（1﹣b）c＞，（1﹣c）a＞，即＞①＞②＞③①②③相加：++＞由基本不等式++≤=矛盾所以假设不成立，∴（1﹣a）b，（1﹣b）c，（1﹣c）a中至少有一个不大于．故选：A．点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．8.要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0B．a2+b2﹣1﹣≤0C．﹣1﹣a2b2≤0D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0【答案】D【解析】将左边因式分解，即可得出结论．解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．故选：D．点评：综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式．9.下面叙述正确的是（）A．综合法、分析法是直接证明的方法B．综合法是直接证法、分析法是间接证法C．综合法、分析法所用语气都是肯定的D．综合法、分析法所用语气都是假定的【答案】A【解析】根据综合法、分析法的定义与证题思路，可得结论．解：综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式，是直接证明的方法．故选：A．点评：综合法（由因导果）证明不等式、分析法（执果索因）证明不等式．10.要证明“”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是．（填序号）．①反证法，②分析法，③综合法．【答案】②【解析】分析不等式的形式，判断最合适证明的方法．解：因为，是含有无理式的不等式，如果利用反证法，其形式与原不等式相同，所以反证法不合适；综合法不容易找出证明的突破口，所以最还是的证明方法是分析法．故答案为：②．点评：本题考查反证法与分析法、综合法证明不等式的使用条件，基本知识的应用．11.证明命题：“f（x）=e x+在（0，+∞）上是增函数”，现给出的证法如下：因为f（x）=e x+，所以f′（x）=e x﹣，因为x＞0，所以e x＞1，0＜＜1，所以e x﹣＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上是增函数，使用的证明方法是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是【答案】A【解析】由条件根据分析法和综合法的定义，可得结论．解：题中命题的证明方法是由所给的条件，利用所学的定理、定义、公式证得要证的结论，故此题的证明方法属于综合法，故选：A．点评：本题主要考查分析法和综合法的定义，属于基础题．12.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得答案．解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．13.证明不等式的最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．间接证法D．合情推理法【答案】B【解析】要证原不等式成立，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18，此种证明方法是分析法．解：要证明不等式，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18．以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．故选B．点评：本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析，属于中档题．14.要证明+＜2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法【答案】B【解析】要证+＜2，需证＜，即证…，显然用分析法最合理．解：用分析法证明如下：要证明+＜2，需证＜，即证10+2＜20，即证＜5，即证21＜25，显然成立，故原结论成立．综合法：∵﹣=10+2﹣20=2（﹣5）＜0，故+＜2．反证法：假设+≥2，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选B．点评：本题考查分析法的应用，考查分析与判定思维能力，属于中档题．15.设（）A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2【答案】C【解析】假设：中都小于2，则，但由于=≥2+2+2=6，出现矛盾，从而得出正确答案：中至少有一个不小于2．解：由于=≥2+2+2=6，∴中至少有一个不小于2，故选C．点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．16.已知函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为α，．则（）A．A＞B B．A＜BC．A=B D．A与B的大小不确定【答案】C【解析】作出函数f（x）=|sinx|的图象，利用函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）有且仅有三个交点，确定切点坐标，然后利用三角函数的关系即可得到结论．解：作出函数f（x）=|sinx|的图象与直线y=kx（k＞0）的图象，如图所示，要使两个函数有且仅有三个交点，则由图象可知，直线在（）内与f（x）相切．设切点为A（α，﹣sinα），当x∈（）时，f（x）=|sinx|=﹣sinx，此时f'（x）=﹣cosx，x∈（）．∴﹣cos，即α=tanα，∴==．即A=B．故选：C．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键．17.（2014•枣庄一模）在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2B．3C．6D．8【答案】B【解析】根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+，利用基本不等式，即可得出结论．解：根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+≥1+2=3，当且仅当e x=时，f（x）=（e x）*的最小值为3．故选：B．点评：本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键．18.（2014•泸州一模）一支人数是5的倍数且不少于1000人的游行队伍，若按每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．则这只游行队伍的最少人数是（）A．1025B．1035C．1045D．1055【答案】C【解析】由已知可设这只游行队伍的最少人数是n，则n﹣1是2，3，4的公倍数，即12的倍数，且n为5和倍数，进而可得答案．解：设这只游行队伍的最少人数是n∵每横排4人编队，最后差3人；若按每横排3人编队，最后差2人；若按每横排2人编队，最后差1人．∴n﹣1是2，3，4的公倍数，即12的倍数即n﹣1=1008+12k，k∈N则n=1009+12k，k∈N又∵n为5的倍数故当k=3时，1045是满足条件的最少人数故选C点评：本题是典型的“韩信点兵”问题，解答的关键是将问题转化为公倍数问题．19.（2014•郴州三模）设集合A⊆R，如果x∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x为集合A的一个聚点．则在下列集合中：（1）Z+∪Z﹣；（2）R+∪R﹣；（3）{x|x=，n∈N*}；（4）{x|x=，n∈N*}．其中以0为聚点的集合有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】根据集合聚点的新定义，我们逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案．解：（1）对于某个a＜1，比如a=0.5，此时对任意的x∈Z+∪Z﹣，都有|x﹣0|=0或者|x﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是Z+∪Z﹣的聚点；（2）集合{x|x∈R，x≠0}，对任意的a，都存在x=（实际上任意比a小得数都可以），使得0＜|x|=＜a，∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点；（3）集合{x|x=，n∈N*}中的元素是极限为0的数列，对于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a，∴0是集合 {x|x=，n∈N*}的聚点；（4）中，集合{x|x=，n∈N*}中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a＜的时候，不存在满足得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合{x|x=，n∈N*}的聚点；故选：B点评：本题的考点是函数恒成立问题，主要考查的知识点是集合元素的性质，其中正确理解新定义﹣﹣集合的聚点的含义，是解答本题的关键．20.（2014•陕西模拟）已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[﹣1.3]=﹣2，[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x﹣[x]，求{}+{}+{}+…+{}=（）A．1006B．1007C．1008D．2014【答案】B【解析】利用新定义，代入计算可得结论．解：，，∴指数为奇次幂时，值为，为偶次幂时，值为∴原式=1007，故选：B．点评：本题考查简单的合情推理，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．。

第六节 直接证明与间接证明时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数解析 “至少有一个”的否定为“都不是”．故选B.答案 B2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( )A ．2ab －1－a 2b 2≤0B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 解析 a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.答案 D3．(2014·临沂模拟)若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系( )A ．P >QB ．P ＝QC ．P <QD ．由a 取值决定解析 假设P <Q ，∵要证P <Q ，只要证P 2<Q 2，只要证：2a ＋7＋2a (a ＋7)<2a ＋7＋2(a ＋3)(a ＋4)， 只要证：a 2＋7a <a 2＋7a ＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．答案 C4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0，故选A.答案 A5．不相等的三个正数a ，b ，c 成等差数列，并且x 是a ，b 的等比中项，y 是b ，c 的等比中项，则x 2，b 2，y 2三数( )A ．成等比数列而非等差数列B ．成等差数列而非等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既非等差数列又非等比数列解析 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②y 2＝bc ， ③由②③得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b ，代入①，得x 2b ＋y 2b ＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2.故x 2，b 2，y 2成等差数列，故选B.答案 B6．(2014·济南模拟)设x ，y ，z >0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋x y ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析 假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又y x ＋y z ＋z x＋z y ＋x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋x z ≥2＋2＋2＝6，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x ＝y ＝z ＝1，可排除A 、B.答案 C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知三个不等式①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．解析 ①②⇒③，①③⇒②；②③⇒①.答案 38．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，则a 5和b 5的大小关系为________．解析 方法1：设公比为q ，公差为d ，则a 3＝a 1q 2，b 3＝b 1＋2d ＝a 1＋2d ，故由a 3＝b 3，得2d ＝a 1(q 2－1)．又∵a 1≠a 3，∴q 2≠1.∴a 5－b 5＝a 1q 4－(a 1＋4d )＝a 1q 4－[a 1＋2a 1(q 2－1)]＝a 1(q 2－1)2＞0.∴a 5＞b 5.方法2：∵在等比数列{a n }中，a 1≠a 3，∴公比不为1.∴a 1≠a 5.又∵a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 5＝a 3q 2＞0(q 为公比)，∴b 3＝b 1＋b 52＝a 3＝a 1a 5＜a 1＋a 52＝b 1＋a 52.∴a 5＞b 5.答案 a 5＞b 59．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1的图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为__________．解析 a n ＝n 2＋1，b n ＝n .方法1：c n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n 随n 的增大而减小，为减函数，∴c n ＋1＜c n .方法2：c n ＋1＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)，c n ＝n 2＋1－n ，∴c n c n ＋1＝n 2＋1－n (n ＋1)2＋1－(n ＋1)＝(n ＋1)2＋1＋n ＋1n 2＋1＋n＞1. ∴c n ＞c n ＋1.答案 c n ＞c n ＋1 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．已知a >0，求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 证明 要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2. 只要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋ 2.∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎪⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋22，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ， 只要证4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋2＋1a 2，即a 2＋1a 2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0，且0<x <c 时，f (x )>0.(1)证明：1a 是函数f (x )的一个零点；(2)试用反证法证明1a >c .证明 (1)∵f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，∴f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.∵f (c )＝0，∴x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a ，∴x 2＝1a (1a ≠c )，∴1a 是f (x )＝0的一个根，即1a 是函数f (x )的一个零点．(2)假设1a <c ，又1a >0，由0<x <c 时，f (x )>0，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，∴1a ≥c ， 又∵1a ≠c ，∴1a >c .12．(1)求证：当a >1时，不等式a 3＋1a 3>a 2＋1a 2成立； (2)要使上述不等式成立，能否将条件“a >1”适当放宽？若能，请放宽条件，并简述理由；若不能，请说明理由；(3)请你根据(1)(2)的结果，写出一个更为一般的结论，且予以证明．解 (1)证明：a 3＋1a 3－a 2－1a 2＝1a 3(a －1)(a 5－1)，∵a >1，∴1a 3(a －1)(a 5－1)>0，故原不等式成立．(2)能将条件“a >1”适当放宽．理由如下：当a ≠1时，(a －1)与(a 5－1)同符号，所以(a －1)(a 5－1)>0，只需a >0且a ≠1就能使1a 3(a －1)(a 5－1)>0，故条件可以放宽为a >0且a ≠1.(3)根据(1)(2)的结果，可推知：若a >0且a ≠1，m >n >0，则有a m＋1a m >a n ＋1a n . 证明如下：a m －a n ＋1a m －1a n ＝a n (a m －n －1)－1a m (a m －n －1)＝1a m (a m －n －1)(a m ＋n －1)，若a >1，则由m >n >0得a m －n －1>0，a m ＋n －1>0，知不等式成立， 若0<a <1，则由m >n >0得a m ＋n －1<0，a m ＋n －1<0知不等式成立．。

高三数学查漏补缺专题训练：直接证明与间接证明一、解答题1. 是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++ 对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．2.)a b c +++．3. 设()2xxa af x -+=，()2xxa ag x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示； （2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．4. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ 23125sin 65sin5sin222=++通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。

二、选择题5. 观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是（ ）Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-6. 在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（ ） Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法7. 如图，在梯形ABC D 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若E F A B∥，EF到C D 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mb EF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABC D 中，延长梯形两腰A D B C ，相交于O 点，设O A B △，O C D △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到C D 与AB 的距离之比为:m n ，则O EF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+ Ｂ．120nS mS S m n+=+Ｃ．m n=+m n=+8. 观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<， ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<- ≥ Ｂ．22211111(2)2321n nn ++++<+ ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++< ≥ Ｄ．22211121(2)2321n n nn ++++<+ ≥9. 已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ）Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<10. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=- ····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k +Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++11. 正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯12. 正2007边形P 被它的一些不在P 内部相交的对角线分割成若干个区域，每个区1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 98712 1916 15 14 13 202524232221域都是三角形，则锐角三角形的个数为（ ）。

2019-2019高考数学复习直接证明与间接证明专项检测（附答案）直接证明是相对于间接证明说的, 综合法和分析法是两种常见的直接证明, 以下是直接证明与间接证明专项检测, 请考生及时练习。

一、选择题1.所有9的倍数都是3的倍数, 某奇数是9的倍数, 故该奇数是3的倍数.上述推理()A 小前提错B 结论错C 正确D 大前提错2.对于平面和共面的直线m, n, 下列命题中真命题是().A.若m, mn, 则nB.若m, n, 则mnC.若m, n, 则mnD.若m, n与所成的角相等, 则mn解析对于平面和共面的直线m, n, 真命题是若m, n, 则mn. 答案 C3.要证: a2+b2-1-a2b20, 只要证明().A.2ab-1-a2b20B.a2+b2-1-0C.-1-a2b20D.(a2-1)(b2-1)0解析因为a2+b2-1-a2b20(a2-1)(b2-1)0, 故选D.答案 D4.命题如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n, 那么数列{an}一定是等差数列是否成立().A.不成立B.成立C.不能断定D.能断定解析 Sn=2n2-3n,Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n2),an=Sn-Sn-1=4n-5(n=1时, a1=S1=-1符合上式).又an+1-an=4(n1),{an}是等差数列.答案 B5.设a, b, c均为正实数, 则三个数a+, b+, c+().A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析 a0, b0, c0,6, 当且仅当a=b=c时, =成立, 故三者不能都小于2, 即至少有一个不小于2.答案 D6.定义一种运算*: 对于自然数n满足以下运算性质:(n+1)*1=n*1+1n*1= ().A.nB.n+1C.n-1D.n2解析由(n+1)*1=n*1+1, 得n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2==答案 A二、填空题7.要证明2可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是________(填序号).反证法, 分析法, 综合法.答案8.设a0, m=-, n=, 则m, n的大小关系是________. 解析取a=2, b=1, 得m0, 显然成立.答案 mb与a。

高一数学直接证明与间接证明试题1.用反证法证明“如果a＜b，那么”，假设的内容应是（）A．B．C．且D．或【答案】D【解析】分析：反证法是假设命题的结论不成立，即结论的反面成立，所以只要考虑＞的反面是什么即可．解：∵＞的反面是≤，即=或＜．故选D．点评：本题主要考查了不等式证明中的反证法，属于基础题．2.反证法证明三角形的内角中至少有一个不小于60°，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都小于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个小于60°【答案】B【解析】由于本题所给的命题是一个特称命题，故它的否定即为符合条件的反设，写出其否定，对照四个选项找出答案即可解：用反证法证明命题：“一个三角形中，至少有一个内角不小于60°”时，应由于此命题是特称命题，故应假设：“三角形中三个内角都小于60°”故选：B点评：本题考查反证法的基础概念，解答的关键是理解反证法的规则及特称命题的否定是全称命题，本题是基础概念考查题，要注意记忆与领会．3.关于综合法和分析法说法错误的是（）A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．分析法又叫逆推证法或执果索因法D．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法【答案】D【解析】根据综合法、分析法的定义可得结论．解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法；根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法．故选：D．点评：本题主要考查综合法、分析法的定义，属于基础题．4.（2009•惠州模拟）设x+y+z=2，则m=x2+2y2+z2的最小值为．【答案】8【解析】利用：（x2+2y2+z2）×（1++1 ）≥（x+y+z）2这个条件进行证明．证明：∵（x2+2y2+z2）×（1++1 ）≥（x+y+z）2=20，∴x2+2y2+z2≥20×=8，故 m=x2+2y2+z2的最小值为8，故答案为：8．点评：本题考查用综合法证明不等式，关键是利用：（x2+2y2+z2）×（1++1 ）≥（x+y+z）2．5.分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】本题考查的分析法和综合法的定义，根据定义分析法是从从求证的结论出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．我们易得答案．解：∵分析法是逆向逐步找这个结论成立需要具备的充分条件；∴分析法是从要证的不等式出发，寻求使它成立的充分条件故选A点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．6.命题“对于任意角θ，cos4θ﹣sin4θ=cos2θ”的证明：“cos4θ﹣sin4θ=（cos2θ﹣sin2θ）（cos2θ+sin2θ）=cos2θ﹣sin2θ=cos2θ”过程应用了（）A．分析发B．综合法C．综合法、分析法结合使用D．间接证法【答案】B【解析】在推理的过程中使用了因式分解，平方差公式，以及余弦的倍角公式，符合综合法的证明过程．解：在证明过程中使用了大量的公式和结论，有平方差公式，同角的关系式，所以在证明过程中，使用了综合法的证明方法．故选：B．点评：本题主要考查证明方法的选择和判断，比较基础．7.证明不等式的最适合的方法是（）A．综合法B．分析法C．间接证法D．合情推理法【答案】B【解析】要证原不等式成立，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18，此种证明方法是分析法．解：要证明不等式，只要证＜，即证9+2＜9+2，故只要证＜，即证14＜18．以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．故选B．点评：本题考查的是分析法和综合法，解答此题的关键是熟知比较大小的方法．从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件，分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法．也称为因果分析，属于中档题．8.下面对命题“函数f（x）=x+是奇函数”的证明不是综合法的是（）A．∀x∈R且x≠0有f（﹣x）=（﹣x）+=﹣（x+）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数B．∀x∈R且x≠0有f（x）+f（﹣x）=x++（﹣x）+（﹣）=0，∴f（x）=﹣f（﹣x），∴f （x）是奇函数C．∀x∈R且x≠0，∵f（x）≠0，∴==﹣1，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数D．取x=﹣1，f（﹣1）=﹣1+=﹣2，又f（1）=1+=2【答案】D【解析】数学中的综合法就是根据已知的条件、定理、公理和已知的结论，经过严密的推理，推出要征得结论，其显著的特征是“由因导果”．解：数学中的综合法就是根据已知的条件、定理、公理和已知的结论，经过严密的推理，推出要征得结论，其显著的特征是“由因导果”，前三个选项中对命题“函数f（x）=x+是奇函数”的证明都是：“由因导果”，“由因导果”，选项D属于不完全归纳法．故选D．点评：本题考查数学中的综合法的定义，及其显著特征，掌握综合法的定义，是解题的关键．9.下列表述：①综合法是执因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证法；⑤反证法是逆推法．正确的语句有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据综合法的定义可得①②正确；根据分析法的定义可得③正确，④不正确；由反证法的定义可得，⑤不正确．解：根据综合法的定义可得，综合法是执因导果法，是顺推法，故①②正确．根据分析法的定义可得，分析法是执果索因法，是直接证法，故③正确，④不正确．由反证法的定义可得，反证法是假设命题的否定成立，由此推出矛盾，从而得到假设不成立，即命题成立，故不是逆推法，故⑤不正确．故选B．点评：本题主要考查综合法、分析法、反证法的定义，属于基础题．10.（2014•陕西模拟）已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[﹣1，3]=﹣2，[0.8]=0，[3，4]=3．定义{x}=x﹣[x]，求{}+{}+{}+…+{}=（）A．2013B．C．1007D．2014【答案】B【解析】利用新定义，代入计算，即可得出结论．解：，…所以原式=．故选：B．点评：本题考查简单的合情推理，考查新定义，考查学生的计算能力，比较基础．。

2021年高考数学 6.6 直接证明与间接证明练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(xx·周口模拟)用反证法证明命题:若a+b+c为偶数,则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时正确反设为( )A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】选D.由于“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”,故选D.2.(xx·北京模拟)若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ca.证明过程如下:因为a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,又因为a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一个“=”不成立,所以将以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此证法是( )A.分析法B.综合法C.分析法与综合法并用D.反证法【解析】选B.由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义.3.(xx·东城模拟)在△ABC中,sinAsinC<cosAcosC,则△ABC一定是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【解析】选C.由sinAsinC<cosAcosC得cosAcosC-sinAsinC>0,即cos(A+C)>0,所以A+C是锐角,从而B>,故△ABC必是钝角三角形.4.设a,b∈R,已知p:a=b;q:≤,则p是q成立的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B,p:a=b是q:≤成立的充分不必要条件.5.(xx·宁波模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”索的因应是( )A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0【解析】选C.<a⇐b2-ac<3a2⇐(a+c)2-ac<3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇐-2a2+ac+c2<0⇐2a2-ac-c2>0⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.6.若=loga,|logba|=-logba,则a,b满足的条件是( )A.a>1,b>1B.0<a<1,b>1C.a>1,0<b<1D.0<a<1,0<b<1【解题提示】先利用|m|=m,则m≥0,|m|=-m,则m≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出a和b的范围.【解析】选B.因为=loga,所以loga≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知0<a<1.因为|logba|=-logba,所以logba≤0=logb1,但b≠1,所以根据对数函数的单调性可知b>1.7.若a>b>c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为( )A.2B.3C.4D.5【解析】选C.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.又+=+=2++≥2+2=4(当且仅当2b=a+c时取等号),所以k≤+,k≤4,故k的最大正整数为4,故选C.二、填空题(每小题5分,共15分)8.用反证法证明命题“若x2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时,应假设为.【解析】“x≠a且x≠b”的否定是“x=a或x=b”,因此应假设为x=a或x=b.答案:x=a或x=b【误区警示】此题容易出现:”x=a且x=b”的错误答案.9.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是.【解析】因为P2=2a+7+2=2a+7+2,Q2=2a+7+2=2a+7+2,所以P2<Q2,又因为P>0,Q>0,所以P<Q.答案:P<Q10.(xx·邯郸模拟)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是.(填序号)【解析】若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.答案:③(20分钟40分)1.(5分)(xx·青岛模拟)设x,y,z>0,则三个数+,+,+( )A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2【解析】选C.因为x>0,y>0,z>0,所以++=++≥6,当且仅当x=y=z时等号成立,则三个数中至少有一个不小于2,故选C.2.(5分)(xx·营口模拟)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a=b中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由已知得①②正确,③中,a≠c,b≠c,a≠b可能同时成立,如a=1,b=2,c=3.3.(5分)下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的个数是.【解析】要使+≥2,只要>0且>0,即a,b不为0且同号即可,故有3个.答案:34.(12分)(xx·银川模拟)如图,几何体ABC-EFD是由直三棱柱截得的,EF∥AB,∠ABC=90°,AC=2AB=2,CD=2AE=,(1)求三棱锥D-BEC的体积.(2)求证:CE⊥DB.【解析】(1)由题意可证,EF⊥平面BCD,VD-BCE=VE-BCD=·S△BCD·EF=××××1=.(2)连接CF,依题意可得:AB⊥BF,AB⊥BC,而BF和BC是平面BFD内的两条相交直线,故有AB⊥平面BFD.而BD在平面BFD内,故AB⊥BD.再由EF∥AB可得EF⊥BD.又在Rt△BCF和Rt△CDB中,因为==,==,所以=,所以Rt△BCF∽Rt△CDB,所以∠BDC=∠BCF,所以∠BDC+∠DCF=∠BCF+∠DCF=90°,所以CF⊥BD.综上可得,BD垂直于平面CEF内的两条相交直线,故有BD⊥平面CEF.又CE⊂平面CEF,所以CE⊥DB.5.(13分)(能力挑战题)已知数列{An}:a1,a2,…,an.如果数列{Bn}:b1,b2,…,bn满足b1=an,bk=ak-1+ak-bk-1,其中k=2,3,…,n,则称{Bn}为{An}的“衍生数列”.(1)写出数列{A4}:2,1,4,5的“衍生数列”{B4}.(2)若n为偶数,且{An}的“衍生数列”是{Bn},证明:bn=a1.(3)若n为奇数,且{An}的“衍生数列”是{Bn},{Bn}的“衍生数列”是{Cn},…,依次将数列{An},{Bn},{Cn},…首项取出,构成数列{Ω}:a1,b1,c1,…,证明:{Ω}是等差数列.【解析】(1){B4}:5,-2,7,2.(2)因为b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an,由于n为偶数,将上述n个等式中的第2,4,6,…,n这个式子都乘以-1,相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…-(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…-(an-1+an),即-bn=-a1,bn=a1.(3)对于数列{An}及其“衍生数列”{Bn},因为b1=an,b1+b2=a1+a2,b2+b3=a2+a3,…,bn-1+bn=an-1+an,由于n为奇数,将上述n个等式中的第2,4,6,…,n-1这个式子都乘以-1,相加得b1-(b1+b2)+(b2+b3)-…+(bn-1+bn)=an-(a1+a2)+(a2+a3)-…+(an-1+an)即bn=an-a1+an=2an-a1.设数列{Bn}的“衍生数列”为{Cn},因为b1=an,c1=bn=2an-a1,所以2b1=a1+c1,即a1,b1,c1成等差数列.同理可证,b1,c1,d1;c1,d1,e1,…也成等差数列.从而{Ω}是等差数列.【加固训练】(1)如果a,b都是正数,且a≠b,求证a6+b6>a4b2+a2b4.(2)设a,b,c为△ABC的三条边,求证(a+b+c)2<4(ab+bc+ca).【证明】(1)a6+b6-(a4b2+a2b4)=a4(a2-b2)-b4(a2-b2)=(a2-b2)2(a2+b2),因为a,b都是正数,且a≠b,所以(a2-b2)2(a2+b2)>0,所以a6+b6>a4b2+a2b4.(2)要证原不等式成立,只需证4(ab+bc+ca)-(a+b+c)2>0,即a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)<0,即a2+b2+c2-a(b+c)-b(c+a)-c(a+b)<0,也即a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立.因为a,b,c为△ABC的三条边,所以a-(b+c)<0,b-(c+a)<0,c-(a+b)<0,即a[a-(b+c)]+b[b-(c+a)]+c[c-(a+b)]<0成立,所以原不等式也成立.30196 75F4 痴L 21797 5525 唥23136 5A60 婠35192 8978 襸29387 72CB 狋CIF<。

考点28 直接证明与间接证明选择题1。

2015·安徽高考理科·T5）已知m，n是两条不同直线，α,β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A、若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B、若m，n平行于同一平面，则m与n平行C、若α，β不平行,则在α内不存在与β平行的直线D、若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【解题指南】根据直线与平面的位置关系判断。

【解析】选D。

2．(2015·广东高考文科·T10）若集合E=｛(p,q,r，s）|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4,0≤r〈s ≤4且p，q,r，s∈N}，F={(t，u，v,w)｜0≤t〈u≤4，0≤v<w≤4且t,u,v，w∈N}，用card （X)表示集合X中的元素个数,则card(E）+card(F）= ( ）A.50B.100C.150 D。

200【解析】选D.当s=4时，p，q,r都是取0,1，2,3中的一个，有4×4×4=64种,当s=3时,p,q，r都是取0,1，2中的一个，有3×3×3=27种，当s=2时，p，q，r都是取0,1中的一个,有2×2×2=8种，当s=1时,p,q，r都取0,有1种,所以card(Ε)=64+27+8+1=100，当t=0时，u取1，2,3，4中的一个，有4种,当t=1时，u取2，3,4中的一个，有3种，当t=2时,u取3,4中的一个，有2种,当t=3时,u取4，有1种,所以t,u的取值有1+2+3+4=10种,同理，v，w的取值也有10种，所以card(F)=10×10=100，所以card(Ε)+card(F)=100+100=200.攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷,也许就会有钢铁般的意志.。

高一数学直接证明与间接证明试题1.设a=lg2+lg5，b=e x（x＜0），则a与b大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a≤b【答案】A【解析】利用对数的运算性质化简a，利用指数函数的单调性求出b的范围．解；∵a=lg2+lg5=lg10=1，而b=e x＜e0 =1，故a＞b，故选 A．点评：本题考查对数运算性质的应用，以及利用指数函数的单调性求函数的取值范围．2.设x，y，z∈（0，+∞），a=x+，b=y+，c=z+，则a，b，c三数（）A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2【答案】C【解析】将三个式子相加，构造出均值不等式的形式，由均值不等式可得a+b+c≥6，从而推出a，b，c的范围．解：∵a+b+c=x++y++z+≥6，∴a，b，c至少有一个不小于2．故选C．点评：基本不等式是高考重点考查的知识点之一，应用基本不等式时，要熟练掌握不等式成立的条件与重要不等式的变形．3.设a，b∈R，则“a+b=1”是“4ab≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】欲判断必要条件、充分条件与充要条件．对于充分性，根据题目具体情况，题目给出了两个参数的等式，于是可将不等式转化为单个参数的不等式，再运用一元二次函数的求最值的相关知识进行判别了．对于必要性，右边的关系未必推到左边，条件不满足必要性．解：若“a+b=1”，则4ab=4a（1﹣a）=﹣4（a﹣）2+1≤1；若“4ab≤1”，取a=﹣4，b=1，a+b=﹣3，即“a+b=1”不成立；则“a+b=1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．故答案选A．点评：此题考查必要条件、充分条件与充要条件的判别，同时考查求函数最值的相关知识．4.若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是（）A．a+＞b+B．＞C．a+＞b+D．＞【答案】A【解析】由题意得到＞，将它与a＞b同向相加可得答案．解：∵a＞b＞0，∴＞．又a＞b，∴a+＞b+；故选A．点评：本题考查不等式的基本性质的应用，属于基础题．5.若P=+，Q=+（a≥0），则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．由a的取值确定【答案】C【解析】本题考查的知识点是证明的方法，观察待证明的两个式子P=+，Q=+，很难找到由已知到未知的切入点，故我们可以用分析法来证明．解：∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，只要证：2a+7+2＜2a+7+2，只要证：a2+7a＜a2+7a+12，只要证：0＜12，∵0＜12成立，∴P＜Q成立．故选C点评：分析法──通过对事物原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法，也称为因果分析，从求证的不等式出发，“由果索因”，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件；综合法是指从已知条件出发，借助其性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题，其特点和思路是“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．6.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形【答案】D【解析】首先根据正弦、余弦在（0，π）内的符号特征，确定△A1B1C1是锐角三角形；然后假设△A2B2C2是锐角三角形，则由cosα=sin（）推导出矛盾；再假设△A2B2C2是直角三角形，易于推出矛盾；最后得出△A2B2C2是钝角三角形的结论．解：因为△A2B2C2的三个内角的正弦值均大于0，所以△A1B1C1的三个内角的余弦值也均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形．若△A2B2C2是锐角三角形，由，得，那么，，这与三角形内角和是π相矛盾；若△A2B2C2是直角三角形，不妨设A2=，则sinA2=1=cosA1，所以A1在（0，π）范围内无值．所以△A2B2C2是钝角三角形．故选D．点评：本题主要考查正余弦函数在各象限的符号特征及诱导公式，同时考查反证法思想．7.如果a+b＞a+b，则a、b应满足的条件是．【答案】a≥0，b≥0，且a≠b．【解析】首先要仔细分析式子，根据基本不等式的解法，先把它的所有项都移到一边，然后配成几个一次因式的积的形式，在解出参量应满足的条件．解：因为移向得⇔即要满足可以看出式子左边是大于等于0的，故要排除等于0的情况．因为a，b求平方根，则必有a≥0，b≥0，若a=b则有矛盾，故a≠b故答案应为：a≥0，b≥0，且a≠b．点评：此题主要考查含两个参数的不等式的解的问题，这种题不能盲目的求解要认真分析原式子的形式，找到一种较合适的求解方法．具有一定的技巧性属于中档题．8.设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是（填所有正确条件的代号）①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线．【答案】①③④【解析】依据定理，采用逐一判定的方法解答本题，见解题过程．解：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，∴x∥平面y或x⊂平面y．又∵x⊄平面y，故x∥y成立②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．故答案为：①③④．点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，是中档题．9.设f（x）=3ax2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，求证：a＞0且﹣2＜＜﹣1．【答案】见解析【解析】先将f（0）＞0，f（1）＞0，利用函数式中的a，b，c进行表示，再结合等式关系利用不等式的基本性质即可得到a和的范围即可．证明：f（0）＞0，∴c＞0，又∵f（1）＞0，即3a+2b+c＞0．①而a+b+c=0即b=﹣a﹣c代入①式，∴3a﹣2a﹣2c+c＞0，即a﹣c＞0，∴a＞c．∴a＞c＞0．又∵a+b=﹣c＜0，∴a+b＜0．∴1+＜0，∴＜﹣1．又c=﹣a﹣b，代入①式得，3a+2b﹣a﹣b＞0，∴2a+b＞0，∴2+＞0，∴＞﹣2．故﹣2＜＜﹣1．点评：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10.已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．【答案】见解析【解析】本题是一个至少性问题，可以利用反证法证明，其步骤为：①否定命题的结论，即假设“任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点”成立→②根据函数的性质可以得到三个函数对应方程的△≤0均成立→③利用不等式的性质，同向不等式求和→④得到的式子与实数的性质相矛盾→⑤故假设不成立，原结论成立．解：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x有两个不同的交点（即任何一条抛物线与x轴没有两个不同的交点），=（2b）2﹣4ac≤0，由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b得△1△=（2c）2﹣4ab≤0，2△=（2a）2﹣4bc≤0．3同向不等式求和得，4b2+4c2+4a2﹣4ac﹣4ab﹣4bc≤0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac≤0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≤0，∴a=b=c，这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．点评：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．。

高三数学直接证明与间接证明试题1. 设x ，y ，z>0，则三个数＋，＋，＋ ( ) A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2【答案】C【解析】假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)≥2＋2＋2＝6，当且仅当x ＝y ＝z 时取等号，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取x ＝y ＝z ＝1，可排除A 、B.2. 已知x ∈R ，a ＝x 2＋，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，试证明a ，b ，c 至少有一个不小于1. 【答案】见解析【解析】解：假设a ，b ，c 均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a ＋b ＋c<3， 而a ＋b ＋c ＝2x 2－2x ＋＋3＝2(x －)2＋3≥3， 两者矛盾；故a ，b ，c 至少有一个不小于1.3. 已知函数f(x)＝a x ＋(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根． 【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2， 由于a>1，ax 1<ax 2，∴ax 2－ax 1>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴－＝＝>0，于是f(x 2)－f(x 1)＝ax 2－ax 1＋－>0，即f(x 2)>f(x 1)，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f(x 0)＝0， 则ax 0＝－.∵a>1， ∴0<ax 0<1. ∴0<－<1，即<x 0<2，与假设x 0<0相矛盾， 故方程f(x)＝0没有负数根．证法二：假设存在 x 0<0(x 0≠－1)满足f(x 0)＝0， ①若－1<x 0<0，则<－2,0<ax<1，∴f(x0)<－1，与f(x)＝0矛盾．②若x0<－1，则>0,1>ax>0，∴f(x0)>0，与f(x)＝0矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．4.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab>2b2D．<【答案】B【解析】在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．5.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件【答案】A【解析】由分析法的定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止这种证明方法叫做分析法．可知A答案是正确故选A6.用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，下列假设正确的是（）A．假设a，b，c都小于0B．假设a，b，c都大于0C．假设a，b，c中都不大于0D．假设a，b，c中至多有一个大于0【答案】C【解析】用反证法证明“a，b，c中至少有一个大于0”，应先假设要证命题的否定成立．而要证命题的否定为：“假设a，b，c中都不大于0”，故选C．7.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,那么()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形【答案】D【解析】由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形,由得则A 2+B 2+C 2=,这与三角形内角和为180°相矛盾,所以假设不成立, 所以△A 2B 2C 2是钝角三角形或直角三角形.假设△A 2B 2C 2是直角三角形,则直角的正弦值为1,则△A 1B 1C 1某角余弦值为1,这与三角形余弦值不可能为1矛盾,所以△A 2B 2C 2不可能是直角三角形, 即△A 2B 2C 2是钝角三角形.故选D.8. 已知椭圆具有性质：若M 、N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 为椭圆上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM 、k PN ，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．【答案】若M 、N 是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．【解析】类似的性质为：若M 、N 是双曲线：＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM 、PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设点M 的坐标为(m ，n)，则点N 的坐标为(－m ，－n)，其中＝1. 又设点P 的坐标为(x ，y)，由k PM ＝，k PN ＝，得k PM ·k PN ＝·＝，将y 2＝x 2－b 2，n 2＝m 2－b 2代入得k PM ·k PN ＝.9. 设数列满足a 1＝0且－＝ 1.(1) 求的通项公式；(2) 设b n ＝，记S n ＝，证明：S n <1. 【答案】（1）a n ＝1－（2）见解析 【解析】(1)解： 由题设－＝1，即是公差为1的等差数列．又＝1，故＝n.所以a n ＝1－. (2) 证明： 由(1)得b n ＝，S n ＝10. 设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n =_____．【答案】【解析】因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以．【考点】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题．。