chapt01-数学物理方法

数学物理⽅法第⼆篇第2章第⼆章数学物理⽅程和⼆阶线性偏微分⽅程分类§2.2.1数学物理⽅程数学物理⽅程（简称数理⽅程）通常是指从物理模型中导出的函数⽅程，特别是偏微分⽅程，我们这⾥着重讨论⼆阶线性偏微分⽅程.数学物理⽅程⼀般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类：1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动⽅程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的⽅程.有⼀维波动⽅程xx tt u a u 2=（⾃由振动⽅程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动⽅程），这⾥u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播速度.tt u 表⽰22t u ??，xx u 表⽰22xu ??；⼆维波动⽅程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（⼆维的），222222zy x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散⽅程，热传导⽅程.例如，有⼀维的热传导⽅程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表⽰x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.⽅程),(2t x f u a u xx t +=表⽰有热源的传导⽅程.3.稳定（或者静⽌、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯⽅程.02222=??+??≡?yu x u u . 在数学中，把⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类，其中有三种最重要的类型，分别称为双曲型⽅程、抛物型⽅程和椭圆型⽅程，⽽上⾯所指出的那些数理⽅程都是⼆阶线性偏微分⽅程.波动⽅程可以作为研究双曲型⽅程的模型，热传导⽅程可以作为研究抛物型⽅程的模型，拉普拉斯⽅程可以作为研究椭圆型⽅程的模型.对于仅有数理⽅程这类偏微分⽅程还不⾜以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作⽤有关.从数学的⾓度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求⼀个微分⽅程的解满⾜⼀定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.⽽初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，⼜叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题.边界条件⼀般有三种类型，以⼀维的为例：在x =0点的第⼀边界条件：)(),0(t t u µ=；第⼆边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这⾥h 为已知常数，)(t µ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t µ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，⼀般将边界条件写成)()],(),([t f t M nu t M u D M =??+?∈βα，D ?表⽰区域D 的边界，n 是D ?的外法线⽅向，这⾥α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述.如果⼀个定解问题中既有初始条件⼜有边界条件，则称为混合问题.例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点⾃由；(3)端点固定在弹性⽀承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.设杆的两端的坐标分别为x =0与x =l ,(1)端点固定，表明端点⽆位移，所以有0),(,0),0(==t l u t u ,(2)端点⾃由，此时在端点处⽆外⼒作⽤，因此有边界条件0),0(=??t xu 或0),0(=t u x , 因为在端点x =0点的拉⼒为S t xu E ),0()0(，E 为杨⽒模量，S 为细杆的截⾯积.同理在端点x =l 处有边界条件0),(=??t l xu 或0),(=t l u x . (3)端点固定在弹性⽀承上，此时端点受的外⼒与⽀承的变形成⽐例.例如，在杆的左端x =0处有弹性⽀承,⽀承的弹性系数为k ，⽀承对杆的作⽤⼒为S t xu E),0()0(,且其正向与x 轴⽅向相反，因此杆对⽀承的作⽤⼒亦为S t xu E ),0()0(,但其正向与x 轴⽅向相同，⽀承的伸长与杆的位移⼀致，因此有),0(),0()0(t ku S t x u E =，亦即 0)(0=+??-=x u x u σ，其中S E k )0()0(==σσ.同理，对x =l 处弹性⽀承的情形，类似地有0)(=+??=lx u x u σ，这⾥S l E k l )()(==σσ. 例2．对于热传导问题的边界条件设物体所占的空间域为Ω，其边界为Σ，即Ω?=∑.(1)如果边界Σ上的温度已知，则边界条件为第⼀边界条件， ),,(t M u ?=ΣΣ∈M这⾥?为已知的函数.(2)如果边界Σ上流⼊的热流密度为已知),(t M Q n ψ=-Σ，这⾥n Q 代表热流密度在边界⾯的外法线⽅向n 的分量，ψ为已知的函数，按傅⽴叶定律，nu k Q n ??-=，因⽽得第⼆边界条件 ),,(1t M kn u ψ=??ΣΣ∈M 如果边界是绝热的.则0=ψ，即边界绝热的条件为0=??Σn u . (3)如果物体的表⾯与外界通过辐射或者对流等过程交换热量，则得边界条件为第三边界条件0][hu hu nu =+??Σ，这⾥0u 代表外界温度，h 是⼀个正的常数.§2.2.2⼆阶线性偏微分⽅程分类和简化2.2.2.1⼆阶⽅程的分类上⼀段我们讨论了三种典型的数理⽅程：波动⽅程：),(2t x f u a u xx tt +=,热传导⽅程或扩散⽅程：),(2t x f u a u xx t +=,拉普拉斯⽅程：0=+yy xx u u .这些⽅程各代表不同性质的物理过程，因此它们的解也各有不同的特性，但是这些⽅程都是⼆阶线性偏微分⽅程，这⾥以两个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx为例，讨论分类和简化，其中a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 都只是⾃变量x 和y 的函数.⼆阶线性偏微分⽅程怎样进⾏分类和简化呢？我们通过作⾃变量的变换==),(),(y x y x ψη?ξ并假设在所考虑的平⾯区域内雅可⽐（Jacobi ）⾏列式0),(D ),(D ≠y x ηξ，将⽅程化为标准型，这⾥要求雅可⽐⾏列式不为零是为了保证这种变换是可逆的，从⽽对⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类，那么这样的),(),,(y x y x ψη?ξ==是如何确定的呢？为此，称⼀阶常微分⽅程02)(2=+-c xy b x y a d d d d 为⼆阶线性偏微分⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx 的特征⽅程.请注意，它的特征⽅程的系数与⼆阶线性偏微分⽅程的⼆阶偏导数yy xy xx u u u ,,的系数有⼀定的对应关系，xx u 的系数a 与特征⽅程中x y d d 的⼆次项系数相同，⽽xy u 的系数与特征⽅程中x y d d 的系数互为相反数，yy u 的系数与特征⽅程的常数项相⼀致.特征⽅程是关于xy d d 的⼀元⼆次⽅程，它的判别式ac b y x -≡?2),( 的符号决定着特征⽅程解的情况.依据判别式),(y x ?的符号对⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类：当0),(>?y x 时称⽅程为双曲型⽅程；当0),(=?y x 时称为抛物型⽅程；当0),(2.2.2.2⼆阶线性偏微分⽅程的标准形式现在分别就三种类型的⽅程讨论它的简化问题(1)双曲型⽅程例3．把⽅程06232=++--y x yy xy xx u u u u u化为标准形式，并确定它的类型.解：写出它的特征⽅程032)(2=-+xy x y d d d d ，解得 01=-x y d d ，或03=+x y d d . 积分得⽅程的通解1c x y =-，23c x y =+，21,c c 为任意常数.特征⽅程的解称为特征线，因此0),(2>-≡?ac b y x 有两族实的特征线.这⾥0431>=+=?，故这个偏微分⽅程属于双曲型⽅程. 作变量变换，令x y -=ξ，x y 3+=η，它的雅可⽐⾏列式041311),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，为⽅便仍⽤),(ηξu 记为),(y x u ，所以ηξηξu u u u u x 33)1(+-=?+-=, ηξu u u y +=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx 9633)1(33+-=?+-+?-=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xy 3233++-=++--=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u yy ++=+++=2,把它们代⼊原⽅程，原⽅程就简化成012416=++-ηξξηu u u ，化简得双曲型⽅程的标准形式ηξξηu u u 4341+= (2)抛物型⽅程例4．确定⽅程02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ，（0≠a 常数）的类型并把它化为标准形式.写出它的特征⽅程02)(2=+-a xy a x y a d d d d ，判别式022=-=?a a ，故⽅程是抛物型的，这时特征⽅程只有⼀族特征线 1c x y =-，那么做变量变换只有 x y -=ξ，另⼀个变量η怎么引进呢？可以做最简单的变换，只要保证这种变换的雅可⽐⾏列式不为零就可以.例如这⾥令x =η，那么有010111),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ记),(),(ηξu y x u =，就有ηξηξu u u u u x +-=?+-=1)1(, ξηξu u u u y =?+?=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+?-+--=2)1(1)()1(, ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=?+?+?-?-=0101,ξξξηξξu u u u yy =?+?=01,代⼊原⽅程中，化简为0)(=++--u bu u c b au ηξηη，得到这个⽅程的标准形式为u au a b u a c b u 1---=ηξηη. (3)椭圆型⽅程例5．试确定⽅程0254=++++y x yy xy xx u u u u u的类型，并把它化为标准型.写出它的特征⽅程054)(2=+-xy x y d d d d ，这时01522<-=-=?，所以⽅程是椭圆型的.解特征⽅程 0)2(=--i x y d d ，或0)2(=+-i xy d d 积分得两组复特征曲线：12c ix x y =+-，22c ix x y =--，取实部、虚部，引进变量变换，令y x +-=2ξ，x =η，这是实变量的实变换，且010112),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，记),(),(ηξu y x u =，于是有ηξηξu u u u u x +-=+-=2)2(, ξηξu u u u y =?+?=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+-=44)2(24,ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=?+?+?--=201022,ξξξηξξu u u u yy =?+=0,代⼊⽅程，化简得0=++ηηηξξu u u ，于是有椭圆型⽅程的标准形式ηηηξξu u u -=+应当指出，由于所取的⾃变量的变换),(y x ?ξ=，),(y x ψη=的形式不是唯⼀的，所以⽅程的标准形式也不是唯⼀的，但⽅程的类型是不变的，即判别式ac b -=?2的符号与⾃变量变换的选取⽆关.因为判别式ac b -=?2⼀般是),(y x 的函数，因此⼀个⼀般的线性⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx在不同区域内可以属于不同类型.例如特⾥⾕⽶(Tricomi)⽅程0=+yy xx u yu的判别式y -=?，因此，当0程是抛物型的；当0>y 时⽅程为椭圆型的.由此可见，数理⽅程中的波动⽅程),(2t x f u a u xx tt =-是双曲型⽅程；⼀维热传导⽅程),(2t x f u a u xx t =-是抛物型⽅程；拉普拉斯⽅程是椭圆型⽅程，这三类⽅程所描述的物理现象的本质不同，因⽽这三类⽅程的性质也不同，⽽⼆阶线性偏微分⽅程的分类正是这种客观现象的实际反映.。

数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学工具和物理理论相结合，用数学方法来解决物理问题。

数学物理方法在现代物理学的发展中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解自然界的规律，还推动了科学技术的进步。

本文将对数学物理方法进行概述，介绍其基本概念、应用领域以及在物理学中的重要性。

一、基本概念数学物理方法是一种将数学工具应用于物理问题的方法论。

它主要包括数学分析、微分方程、变分法、群论、复变函数等数学工具，以及量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等物理理论。

通过数学物理方法，我们可以建立物理模型，推导物理规律，解决物理问题。

1.1 数学分析数学分析是数学物理方法中的基础工具之一，它包括微积分、级数、极限等内容。

在物理学中，我们经常需要对物理量进行微分、积分运算，利用微积分理论可以描述物理系统的变化规律，求解运动方程等问题。

1.2 微分方程微分方程是描述物理系统演化规律的数学工具，它在数学物理方法中扮演着重要角色。

通过建立微分方程模型，我们可以预测物理系统的未来状态，研究系统的稳定性和动力学行为。

1.3 变分法变分法是一种优化方法，它在物理学中被广泛应用于求解最优控制问题、能量最小化问题等。

通过变分法，我们可以得到物理系统的最优解，优化系统的性能。

1.4 群论群论是一种抽象代数学，它研究对称性和变换的数学结构。

在物理学中，群论被用来研究对称性和守恒律，揭示物理规律背后的对称性原理。

1.5 复变函数复变函数是研究复数域上的函数的数学分支，它在量子力学、电磁学等领域有重要应用。

复变函数理论为我们提供了处理振荡、波动等问题的有效工具。

二、应用领域数学物理方法在物理学的各个领域都有广泛应用，包括量子力学、统计物理学、电磁学、流体力学等。

下面我们将分别介绍数学物理方法在这些领域的应用。

2.1 量子力学量子力学是描述微观世界的物理理论，它通过波函数和算符等数学工具来描述微粒的运动和相互作用。

数学物理方法在量子力学中扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解量子力学的基本原理，推导薛定谔方程，研究量子力学中的对称性和守恒律。

数学物理方法概述数学物理方法是一门交叉学科，它将数学和物理学的知识相结合，用数学的方法来解决物理学中的问题。

数学物理方法在现代物理学的研究中起着至关重要的作用，它不仅帮助我们理解物理现象背后的数学原理，还为物理学家提供了强大的工具来解决复杂的物理问题。

本文将对数学物理方法进行概述，介绍其在物理学中的应用和重要性。

一、数学物理方法的基础数学物理方法的基础是数学和物理学的结合。

数学作为一种抽象的科学，通过符号和公式来描述事物之间的关系，而物理学则研究自然界中的物质和运动规律。

数学物理方法将数学的严谨性和物理学的实验性相结合，通过数学模型来描述物理现象，从而揭示事物之间的内在联系。

在数学物理方法中，常用的数学工具包括微积分、线性代数、微分方程、泛函分析等。

这些数学工具为物理学家提供了描述物理现象的数学语言，帮助他们建立物理模型并进行定量分析。

通过数学物理方法，我们可以用数学语言来描述物理规律，从而预测物理系统的行为并进行实验验证。

二、数学物理方法在物理学中的应用数学物理方法在物理学中有着广泛的应用，涉及到多个领域，如量子力学、统计物理、电磁学、流体力学等。

下面将分别介绍数学物理方法在这些领域中的应用。

1. 量子力学量子力学是描述微观世界的物理学理论，它通过波函数来描述微粒的运动状态。

数学物理方法在量子力学中扮演着重要的角色，如波动方程、薛定谔方程等数学工具被广泛应用于量子力学的研究中。

通过数学物理方法，我们可以计算微粒的能级、波函数等物理量，并预测微粒在不同势场中的行为。

2. 统计物理统计物理研究大量微粒的集体行为，通过统计方法来描述物质的宏观性质。

数学物理方法在统计物理中有着重要的应用，如配分函数、统计力学等数学工具被用来描述系统的热力学性质。

通过数学物理方法，我们可以计算系统的熵、内能等热力学量，并研究系统的相变行为。

3. 电磁学电磁学研究电荷和电磁场之间的相互作用，描述电磁波的传播和辐射现象。

数学物理方法在电磁学中有着广泛的应用，如麦克斯韦方程组、洛伦兹力等数学工具被用来描述电磁现象。

数学物理方法课件一、引言数学物理方法是一种广泛应用于科学、工程和技术领域的工具，它涵盖了从最简单的线性代数到更复杂的微分方程和量子力学等广泛的主题。

本篇文章将概述数学物理方法在科学、工程和技术中的应用，并重点介绍一些常用的数学物理方法及其基本原理。

二、数学物理方法的应用数学物理方法在各个领域都有广泛的应用，包括物理学、化学、生物学、工程学和地球科学等。

例如，在物理学中，数学物理方法被用于描述和预测各种现象，如力学、电磁学、热力学和量子力学等。

在化学和生物学中，数学物理方法被用于研究化学反应和生物系统的动态行为。

在工程学和地球科学中，数学物理方法被用于解决实际问题和预测自然现象，如流体动力学、结构力学和气候变化等。

三、常用的数学物理方法1、线性代数：线性代数是数学物理方法的基础，它研究的是向量空间和线性变换的数学性质。

线性代数在物理学、工程学和化学中被广泛应用，用于描述和预测各种现象。

2、微积分：微积分是研究变化率和累积量的数学工具，它在物理学和工程学中被广泛使用，用于描述和预测各种动态行为。

3、微分方程：微分方程是描述动态系统变化的数学工具，它在物理学、工程学和生物学中被广泛应用。

微分方程可以用来描述物体的运动、化学反应的速度以及生物系统的动态行为等。

4、量子力学：量子力学是描述微观粒子行为的物理学分支，它使用数学物理方法来描述和预测微观粒子的状态和行为。

量子力学在物理学、化学和材料科学中被广泛应用。

四、结论数学物理方法是科学、工程和技术领域中不可或缺的工具，它为我们提供了描述和预测各种现象的强大工具。

通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和解决现实世界中的问题。

在我们的日常生活中，物理现象无处不在。

当我们打开电灯时，为什么会立刻看到光线？当我们在冷天洗热水澡时，为什么会感到身体变暖？这些都是物理现象的表现。

今天，我们将一起走进这个充满奇妙和神秘的物理世界。

让学生了解物理是什么，以及物理学科的特点和研究内容。

数学物理方法什么是数学物理方法，想必大家都有很多疑惑吧。

下面是由小编为大家整理的“数学物理方法”，欢迎大家阅读，仅供大家参考，希望对您有所帮助。

数学物理方法数学物理方法是物理系本科各专业学生必修的重要基础课，也是海洋科学类、力学类、电子信息科学类、材料科学类等专业的重要公共基础课。

本课程定位于在高等数学和普通物理的基础上，以讲授古典数学物理中的常用方法为主，适当介绍近年来的新发展，为后继有关专业课程作准备。

所以，本课程受到了广大学生的高度重视。

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《数学物理方法》作者郭玉翠，由清华大学出版出版，该书是物理系本科各专业以及部分工科专业学生必修的重要基础课，是在"高等数学"课程基础上的又一重要的基础数学课程，它将为学习物理专业课程提供基础的数学处理工具。

一、出版信息清华大学出版书名：数学物理方法ISBN：9787302140047作者：郭玉翠定价：34元出版日期：2006-12-29出版社：清华大学出版社定价: 33.00元二、清华版本书是在北京邮电大学出版社出版的《数学物理方法(研究生用)》的基础上修订而成的.此次修订除了对一些章节的内容作了调整，以便更适合教学外，主要增加了计算机软件Maple在求解定解问题中的应用，以及用Maple将一些结果可视化的内容.全书内容分为10章，分别介绍矢量分析与场论的基础知识、数学物理定解问题的推导、求解数学物理问题的分离变量法、行波法与积分变换法、Green函数法、变分法、二阶线性常微分方程的级数解法与Sturm?Liouville本征值问题、特殊函数(一)——Legendre多项式、特殊函数(二)——Bessel函数以及积分方程的基本知识.本书从理论到实例都考虑了电子、通信类各专业的特点，兼顾数学理论的严谨性和物理背景的鲜明性，体现了数学物理方法作为数学应用于物理和其他科学的桥梁作用.本书可以作为高等学校工科硕士研究生的教材，也可以供对这门课程要求较高的专业的本科生使用，或作为教学参考书.前言本书第1版于2003年1月出版后，曾蒙广大师友和读者的关怀与厚爱，于2005年9月进行了第2次印刷.此次修订主要是增加了应用数学软件Maple来辅助求解数学物理定解问题，并将部分结果用Maple进行可视化的内容.因为“数学物理方法”这门课程作为众多理工科学生的基础课之一，在后续课程和完成学业后的科研工作中都有许多应用，需要学生清楚地理解其中的概念，娴熟地掌握解题方法，并且了解结果的物理意义.但是由于课程本身的内容多而难，题目繁而杂，被公认为是一门难学的课程，主要体现在公式推导多，求解习题往往要计算复杂的积分或级数等.随着计算机的深入普及，功能强大的数学软件(如Maple等)为复杂数学问题的求解提供了有力的工具，目的在于：(1)将繁难的数学运算，比如求解常微分方程、计算积分、求解复杂代数方程等借助于计算机完成，可使读者更专注于模型(数学物理方程)的建立、物理思想的形成和数学方法应用于物理过程的理论体系;(2)借助于计算机强大的可视性功能，把一些抽象难懂但又非常有用的知识变成生动的、“活”的物理图像展现在读者面前，这无疑有益于读者对知识的理解和掌握.数学软件Maple的符号运算功能强大，它的最大好处是不用编程，可以直接进行符号运算，因此读者不用另外学习编程的知识，更不要求以会编程为学习基础，这会带来极大的方便，读者只要在计算机上装上Maple软件，直接输入命令即可.本次修订除了增加上述内容外，还对原版的内容作了以下调整：将第1章“场论初步”改成“矢量分析与场论初步”，增加了矢量分析的内容，删去了矢量场的梯度、张量及其计算，以及并矢分析两节内容;将第5章“特殊函数”分成两章“特殊函数(一)——Legendre 多项式”和“特殊函数(二)——Bessel函数”;在“变分法”一章中，增加了复杂泛函Euler方程的推导，因为在数学物理问题中经常会遇到求解复杂变分的问题;在“积分方程的一般性质和解法”一章中，按照积分核的类型讲解相应的解法，以便使内容更加清晰和系统.全书的文字内容进行了重写或修改，也改正了第1版中几处印刷错误.书中加“*”号内容可作为选学内容，读者可根据需要取舍.编著者十分感谢清华大学出版社对本书再版的大力支持和帮助，尤其感谢刘颖和王海燕两位编辑，其严谨、辛勤的敬业精神令人钦佩.目录第1章矢量分析与场论初步1.1矢量函数及其导数与积分1.1.1矢量函数1.1.2矢量函数的极限与连续性1.1.3矢量函数的导数和积分1.2梯度、散度与旋度在正交曲线坐标系中的表达式1.2.1直角坐标系中的“三度”及Hamilton算子1.2.2正交曲线坐标系中的“三度”1.2.3“三度”的运算公式1.3正交曲线坐标系中的Laplace算符、Green第一和第二公式1.4算子方程第2章数学物理定解问题2.1基本方程的建立2.1.1均匀弦的微小横振动2.1.2均匀膜的微小横振动2.1.3传输线方程2.1.4电磁场方程2.1.5热传导方程2.2定解条件2.2.1初始条件2.2.2边界条件2.3定解问题的提法2.4二阶线性偏微分方程的分类与化简2.4.1两个自变量方程的分类与化简2.4.2常系数偏微分方程的进一步简化2.4.3线性偏微分方程的叠加原理第3章分离变量法3.1(1+1)维齐次方程的分离变量法3.1.1有界弦的自由振动3.1.2有限长杆上的热传导3.22维Laplace方程的定解问题3.3高维Fourier级数及其在高维定解问题中的应用3.4非齐次方程的解法3.4.1固有函数法3.4.2冲量法3.4.3特解法3.5非齐次边界条件的处理第4章二阶常微分方程的级数解法本征值问题4.1二阶常微分方程系数与解的关系4.2二阶常微分方程的级数解法4.2.1常点邻域内的级数解法4.2.2正则奇点邻域内的级数解法4.3Legendre方程的级数解4.4Bessel方程的级数解4.5Sturm?Liouville本征值问题第5章特殊函数(一)Legendre 多项式5.1正交曲线坐标系中的分离变量法5.1.1Laplace方程5.1.2Helmholtz方程5.2Legendre 多项式及其性质5.2.1Legendre多项式的导出5.2.2Legendre多项式的性质5.3Legendre多项式的应用5.4一般球函数5.4.1关联Legendre函数5.4.2球函数第6章特殊函数(二)Bessel函数6.1Bessel函数的性质及其应用6.1.1柱函数6.1.2Bessel函数的性质6.1.3修正Bessel函数6.1.4Bessel函数的应用6.2球Bessel函数6.3柱面波与球面波6.3.1柱面波6.3.2球面波6.4可化为Bessel方程的方程6.5其他特殊函数方程简介6.5.1Hermite多项式6.5.2Laguerre多项式第7章行波法与积分变换法7.1一维波动方程的d′Alembert公式7.2三维波动方程的Poisson公式7.3Fourier积分变换法求定解问题7.3.1预备知识——Fourier变换及性质7.3.2Fourier变换法7.4Laplace变换法解定解问题7.4.1Laplace变换及其性质7.4.2Laplace变换法第8章Green函数法8.1引言8.2Poisson方程的边值问题8.2.1Green公式8.2.2解的积分形式——Green函数法8.2.3Green函数关于源点和场点是对称的8.3Green函数的一般求法8.3.1无界区域的Green函数8.3.2用本征函数展开法求边值问题的Green函数8.4用电像法求某些特殊区域的Dirichlet?Green函数8.4.1Poisson方程的Dirichlet?Green函数及其物理意义8.4.2用电像法求Green函数*8.5含时间的定解问题的Green函数第9章变分法9.1泛函和泛函的极值9.1.1泛函9.1.2泛函的极值与泛函的变分9.1.3泛函取极值的必要条件——Euler方程9.1.4复杂泛函的Euler方程9.1.5泛函的条件极值问题9.1.6求泛函极值的直接方法——Ritz方法9.2用变分法解数学物理方程9.2.1本征值问题和变分问题的关系9.2.2通过求泛函的极值来求本征值9.2.3边值问题与变分问题的关系*9.3与波导相关的变分原理及近似计算9.3.1共振频率的变分原理9.3.2波导的传播常数γ的变分原理9.3.3任意截面的柱形波导管截止频率的近似计算第10章积分方程的一般性质和解法10.1积分方程的概念与分类10.2积分方程的迭代解法10.2.1第二类Volterra方程的迭代解法10.2.2第一类Volterra方程的迭代解法10.2.3第二类Fredholm方程的迭代解法10.2.4叠核、预解核10.3退化核方程的求解10.4弱奇异核的Abel方程的解法10.5对称核的Fredholm方程10.6微分方程与积分方程的联系10.6.1二阶线性常微分方程与Volterra方程的联系10.6.2微分方程的本征值问题与对称核积分方程的联系参考文献三、西科大版第1章数学物理方程的定解问题1.1 基本概念1.1.1 偏微分方程的基本概念1.1.2 三类常见的数学物理方程1.1.3 数学物理方程的一般性问题1.2 数学物理方程的导出1.2.1 波动方程的导出1.2.2 输运方程的导出1.2.3 稳定场方程的导出1.3 定解条件与定解问题1.3.1 初始条件1.3.2 边界条件1.3.3 三类定解问题1.4 本章小结习题1第2章行波法2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式2.1.1 达朗贝尔(D’Alembert)公式的导出2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义2.1.3 依赖区间和影响区域2.2 半无限长弦的自由振动2.3 三维波动方程的泊松公式2.3.1 平均值法2.3.2 泊松公式2.3.3 泊松公式的物理意义2.4 强迫振动2.4.1 冲量原理2.4.2 纯强迫振动2.4.3 一般强迫振动2.5 三维无界空间的一般波动问题2.6 本章小结习题2第3章分离变量法3.1 双齐次问题3.1.1 有界弦的自由振动3.1.2 均匀细杆的热传导问题3.1.3 稳定场分布问题3.2 本征值问题3.2.1 斯特姆-刘维型方程3.2.2 斯特姆-刘维型方程的本征值问题3.2.3 斯特姆-刘维本征值问题的性质3.3 非齐次方程的处理3.3.1本征函数展开法3.3.2 冲量原理法3.4 非齐次边界条件的处理3.4.1 边界条件的齐次化原理3.4.2 其他非齐次边界条件的处理3.5 正交曲线坐标系下的分离变量法3.5.1 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题3.5.2 正交曲线坐标系下分离变量法的基本概念3.5.3 正交曲线坐标系中的分离变量法3.6 本章小结习题3第4章特殊函数4.1 二阶线性常微分方程的级数解4.1.1 二阶线性常微分方程的常点与奇点4.1.2 方程常点邻域内的级数解4.1.3 方程正则奇点邻域内的级数解4.2勒让德多项式4.2.1 勒让德多项式4.2.2 勒让德多项式的微分和积分表示4.3 勒让德多项式的性质4.3.1 勒让德函数的母函数4.3.2 勒让德多项式的递推公式4.3.3 勒让德多项式的正交归一性4.3.4 广义傅里叶级数展开4.4 勒让德多项式在解数理方程中的应用4.5 连带勒让德函数4.5.1 连带勒让德函数本征值问题4.5.2 连带勒让德函数的性质4.5.3 连带勒让德函数在解数理方程中的应用4.6 球函数4.6.1 一般的球函数定义4.6.2 球函数的正交归一性4.6.3 球函数的应用4.7贝塞尔函数4.7.1 三类贝塞尔函数(贝塞尔方程的解) 4.7.2 贝塞尔方程的本征值问题4.8 贝塞尔函数的性质4.8.1 贝塞尔函数的母函数和积分表示4.8.2 贝塞尔函数的递推关系4.8.3 贝塞尔函数的正交归一性4.8.4 广义傅里叶-贝塞尔级数展开4.9 其他柱函数4.9.1 球贝塞尔函数4.9.2 虚宗量贝塞尔函数4.10 贝塞尔函数的应用4.11 本章小结习题4第5章积分变换法5.1 傅里叶变换5.1.1傅里叶积分5.1.2 傅里叶变换5.1.3 傅里叶变换的物理意义5.1.4 傅里叶变换的性质5.1.5 δ函数的傅里叶变换5.1.6 n维傅里叶变换5.2 傅里叶变换法5.2.1 波动问题5.2.2 输运问题5.2.3 稳定场问题5.3 拉普拉斯变换5.3.1 拉普拉斯变换5.3.2 拉普拉斯变换的基本定理5.3.3 拉普拉斯变换的基本性质5.4 拉普拉斯变换的应用5.4.1 拉普拉斯变换解常微分方程5.4.2 拉普拉斯变换解偏微分方程5.5 本章小结习题5第6章格林函数法6.1δ函数6.1.1 δ函数的定义6.1.2 δ函数的性质6.1.3 δ函数的应用6.2 泊松方程边值问题的格林函数法6.2.1 格林函数的一般概念6.2.2 泊松方程的基本积分公式6.3 格林函数的一般求法6.3.1 无界空间的格林函数6.3.2 一般边值问题的格林函数6.3.3 电像法6.3.4 电像法和格林函数的应用6.4 格林函数的其他求法6.4.1 本征函数展开法求解边值问题的格林函数6.4.2 冲量法求解含时间的格林函数6.5 本章小结习题6第7章数学物理方程的其他解法7.1 延拓法7.1.1 半无界杆的热传导问题7.1.2 有界弦的自由振动7.2 保角变换法7.2.1 单叶解析函数与保角变换的定义7.2.2 拉普拉斯方程的解7.3积分方程的迭代解法7.3.1 积分方程的几种分类7.3.2 迭代解法7.4变分法7.4.1 泛函和泛函的极值7.4.2 里兹方法第8章数学物理方程的可视化计算8.1 分离变量法的可视化计算8.1.1 矩形区泊松方程的求解8.1.2直角坐标系下的分离变量法在电磁场中的应用8.2 特殊函数的应用8.2.1 平面波展开为柱面波的叠加8.2.2 平面波展开为球面波的叠加8.2.3 特殊函数在波动问题中的应用8.2.4 球体雷达散射截面的解析解8.3 积分变换法的可视化计算8.4 格林函数的可视化计算参考文献四、北理工版基本信息作者: 闫桂峰出版社: 北京理工大学出版社ISBN: 9787564023485装帧:平装页码: 279开本: 16中文:简体中文简介本书主要介绍了三类典型数学物理方程定解问题的多种求解方法。