动力学-第一章-质点动力学

& m& = ∑Fx x & m& = ∑Fy y & m& = ∑Fz z
& & ms = ∑ F t m & s2
ρ
= ∑F n
0 = ∑F b
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的摆在铅垂面内摆动。 例：质量为 m 长为 l 的摆在铅垂面内摆动。初始时小球的速度 并分析小球的运动。 。求绳作用在小球上的力F( 为u , θ = 0。求绳作用在小球上的力 θ ), 并分析小球的运动。
v2 20 v = m ρ= = 0 a cos 30 an 3
2
12
§1-2 质点运动微分方程
当研究飞行器轨道动 力学问题时， 力学问题时，可将飞行器 视为质点。 视为质点。
当研究飞行器姿态动力 学时， 学时，可将其视为刚体系或 质点系。 质点系。
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理论基础： 理论基础：牛顿定律与微积分 第一定律 第二定律 第三定律
第一章 质点动力学
质点动力学是研究质点运动与其受力间的关系
道路转弯中的力学问题
点的运动学: 点的运动学:点在空间的位置随时间的变化规律 1
§1 点的运动学
•参考体 参考体(reference body): 参考体 为研究运动作为参考的物体 •参考系 参考系(reference frame): 参考系 与参考体固连的坐标系
d(mv) = ma = ∑Fi dt i =1
n
第一、二定律： 第一、二定律： 惯性参考系 适用条件？ 第 三 定律： 任意参考系 定律：
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一、矢量形式： 矢量形式：
n dr m 2 = ∑F i dt i=1 ma = FR 2
z
FR
o x
r
a
y
二、 直角坐标形式： 直角坐标形式：
三、 自然坐标形式： 自然坐标形式：
3、点的加速度 、
a = axi + ay j + azk
3
问题：如何求点运动方程、运动轨迹、 问题：如何求点运动方程、运动轨迹、 点的速度和加速度的大小与方向。 点的速度和加速度的大小与方向。
几何性质
运动方程 点的速度
运动轨迹
点的加速度
4
点的运动方程， 例：求 P 点的运动方程，P 点的速度和加速度
z
r o
x
M
y
一、矢量法
1、运动方程 、 2、速度 、 3、加速度 、
r = r(t)
dr & v= =r dt 2 dv d r & r a= = 2 = v = && dt dt
2
二、直角坐标法
x = x(t) 1、运动方程 、 y = y(t) r = xi + yj + zk z = z(t)
Q F = f FN
& & mrθ& = mg cosθ − f (mrθ 2 + mg sin θ ) & & mrθ& = mg cosθ + f (mrθ 2 + mg sin θ )
22
& 同理， 同理，当：θ < 0
数值方法给出质点位 置、速度和切向加速 度随时间的变化规律
f = 0.1
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& & θ +ω θ = 0
（2）大幅摆动 ）
&&+ω2 sin θ = 0 θ
大 幅 摆 动 不 具 有 等 时 性
θ / rad
t /s
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建立抛体的运动微分方程。 例: 建立抛体的运动微分方程。 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
解：1、取炮弹为研究对象 建立矢量方程 、取炮弹为研究对象,建立矢量方程 y
•曲率半径(radius curvature) 曲率半径 1 ρ= k
M ' = ∆s M
1、运动方程 、
s = s(t)
MTT” 极限位置的平面称为 密切面(osculating plane) 密切面
8
主法线
3、速度与加速度 、
en
密切面
速度
+s
加速度 切线
& v = se t
& d(set ) & a=v= dt
解：建立M点的运动方程 建立 点的运动方程
x = R(ϕ − sinϕ)
y = R(1− cosϕ)
& u = ϕR
& vx = x = u(1− cosϕ) & vy = y = u sin ϕ
& ax = && = uϕ sin ϕ x & ay = && = uϕ cosϕ y
2Hale Waihona Puke u 当 ϕ = 2kπ (k = 0, 1, L v =0, ax = 0, ay = ) R
F
FN
o θ n
解：取质点为研究对象
当：
r
& θ >0
(1) (2)
ma = mg + F + FN
& τ : mrθ& = mg cosθ − F & η : mrθ 2 = −mg sin θ + FN
mg
τ
由（2）式解得： ）式解得： 代入（ ）式得： 代入（1）式得：
FN = mrθ& 2 + mg sin θ
2、点的速度 、
z
o x
r
v a
y
dr & & & v= = xi + yj + zk dt & v = r = vxi + vy j + vz k
d2r & & & a = 2 = & i + & j + &k x y z dt
& vx = x & vy = y & vz = z
& ax = & x & ay = & y & az = & z
θ
o
r
θ (t ) θ&(t )
& θ&(t )
mg
t(s)
& θ0 = 0rad,θ0 = 0rad/s,
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f = 0.60314 思考题: 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。 上升时的运动微分方程 思考题 给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。
θ 设空气阻力的大小与速度的平方成正比
&
θ / rad
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的速度和加速度， 例：已知图示瞬时动点A的速度和加速度，其中 已知图示瞬时动点 的速度和加速度 设动点的坐标为x ：v = 10m/s, a = 10m/s 2 ，设动点的坐标为 , y 求该瞬时动点A的 & & x y 求该瞬时动点 的 x, y, &&, &&, ρ
y
v
300
A
x = v x = −10 cos 300 (m/s) 解： &
R mg
ma = mg + R
v
x
ma = mg + (−cvv)
2、建立直角坐标形式的运动微分方程 、
o
运动微分方程
& & v = x2 + y2
m& = −cx x2 + y2 & & & & x & & & & m& = −mg − cy x2 + y2 y
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m =10kg, c = 0.02Ns2/m2 , v0 =1000m /s,
问题:质点M 问题:质点M沿椭圆轨道 匀速率运动, 匀速率运动,如何确定其 加速度的大小和方向。 加速度的大小和方向。
7
三、自然坐标法
已知点的运动轨迹
2、曲线的几何性质 、 T” M
z o x r
∆θ
T M’
T’
0
s
M +
y
∆θ •曲率 曲率(curvature) k = lim 曲率 ∆s→ ∆ 0 s
2 2
y
v
mg
& A: m&& = −mg − cy y & B: m&& = −mg + cy y & C: m&& = +mg − cy y
x x
o o v
y
2
&& = +mg + cy2 & D: my
E: 未给出正确答案
t /s
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mg
2、P点的速度和加速度 、 点的速度和加速度
5
y
A P θ B x ϕ
P点的运动轨迹 点的运动轨迹
O
6
问题: 问题:如果已知点的运动轨迹和点速度的大小随 时间的变化规律,如何确定点的加速度? 时间的变化规律,如何确定点的加速度?
v
M
列车沿铁路行驶 若将列车视为质点 其运动轨迹已知。 其运动轨迹已知。
OA = R, AB = L, AP = l,θ = ωt
y O θ A P ϕ B x
R L = sin ϕ sin θ
解：1、P点运动方程 点运动方程
xp = Rcosθ + l cosϕ yp = (L − l) sin ϕ
l 2 2 2 xp = Rcosθ + L − R sin θ L R yp = (L − l) sin θ L