江苏省2019高考数学二轮复习第3讲平面向量滚动小练201903024253

2019届高三理科数学滚动训练卷三学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集U R =，集合，，则图1中阴影部分表示的集合为（ ）A． {}0,1,2 B ． {}1,2 C ． {}3,4D ． {}0,3,42．命题p ：“”，命题q ：“函数x k y )12(-=是R 上的增函数。

”若复合命题“p 或q”与“p 且q”一真一假，则实数k 的取值范围为（ ） A ．(1，2）B ．(5，2)C ．(5，1)U(2，∞+)D ．(-5，1] U [2，∞+)3．在△ABC 中，“”是“”的( )A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既不充分也不必要条件 4．向量()1,tan ,cos ,1a b αα⎛⎫== ⎪，且||a b ，则（ ） A ． B ． C ． D ．5．曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 点的坐标为（ ） A ． B ． C ． 和 D ． 和 6x a+ （ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个7．已知的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ． － ，－B ． － ，C ． － ，D ． ，8．已知 ， ，，则 ， ， 的大小关系为（ ） 31-3132-322-9．已知点P 在曲线41xe +上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ） A ．[0,4π) B ．[,)42ππ C ．3(,]24ππ D ．3[,)4ππ 10．古代数学著作《张丘建算经》有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？”意思是：有一女子善于织布，织得很快，织的尺数逐日增多.已知她某月的第一天织布5尺，一个月共织9匹3丈（1匹=4丈，1丈=10尺），问这女子平均每天多织多少布？若一个月按30天计算，则该女子平均每天多织布的尺数为（ ） ABCD11．已知函数，为 的图象的一条对称轴，将 的图象向左平移个单位长度后得到 的图象，则 的解析式为（ ）A ．B ．C ．D ．12．定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈[)4,2x ∈--时，函数恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．23t ≤≤B ．13t ≤≤C ．14t ≤≤D ．24t ≤≤ 二、填空题13．命题“2R,20x x ax a ∃∈++≤”是假命题，则实数a 的取值范围为__________． 14．15．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．16．设实数0λ>，若对于任意()0,x ∈+∞，不等式恒成立，则λ的最小值为__________．三、解答题17．在 中，已知：，且 ．（ ）判断 的形状，并证明． （ ）求的取值范围．18．如图，四棱柱 中，侧棱 底面 , 为棱 的中点. （1）证明： ；（2）求二面角 的正弦值.19．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，重量分组区间为[]5,15,(]15,25,(]25,35,(]35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)． （1）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）182（Ⅰ）当时， ()f x k ≤恒成立，求k 范围；（Ⅱ）方程()212am mf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有唯一实数解，求正数的值．参考答案1．A【解析】根据韦恩图知道阴影部分表示的为u A C B ⋂， {}|02,u C B x x =≤≤则{}0,1,2u A C B ⋂= 故答案为：A 。

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--平面向量及其应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

1.掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用、复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视、2.在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等、会用向量解决某些简单的几何问题、1.ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，那么MN →＝________.(用a 、b 表示)2.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，那么λ＝________.3.假设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，那么|a －b |＝________.4.向量P ＝a |a|＋b|b|，其中a 、b 均为非零向量，那么|P |的取值范围是________、【例1】向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sinx ，－1sinx ，b ＝(2，cos2x)、(1)假设x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？ (2)假设x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，求函数f(x)＝a ·b 的最小值、【例2】设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)、(1)假设a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)假设tan αtan β＝16，求证：a ∥b .【例3】在△ABC 中，2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC 2，求角A ，B ，C 的大小、 【例4】△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2).(1)假设m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)假设m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.1.(2017·安徽)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，假设AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，那么BD →＝________.2.(2017·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，那么AB →·AD →＝________. 3.(2017·江苏)e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，假设a ·b ＝0，那么实数k 的值为________.4.(2017·浙江)假设平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，那么α与β的夹角θ的取值范围是________、5.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)、 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值、 6.(2017·陕西)表达并证明余弦定理、(2017·江苏泰州一模)(本小题总分值14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1)设向量x ＝(sinB ，sinC)，向量y ＝(cosB ，cosC)，向量z ＝(cosB ，－cosC)，假设z ∥(x ＋y )，求tanB ＋tanC 的值；(2)a 2－c 2＝8b ，且sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，求b.解：(1)由题意：x ＋y ＝(sinB ＋cosB ，sinC ＋cosC)，(1分) ∵z ∥(x ＋y )，∴cosB(sinC ＋cosC)＝－cosC(sinB ＋cosB)， ∴cosBsinC ＋cosCsinB ＝－2cosBcosC ，(3分)∴cosBsinC ＋cosCsinB cosBcosC＝－2， 即：tanB ＋tanC ＝－2.(6分) (2)∵sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2cosAsinC ，(8分) ∴sin(A ＋C)＝－2cosAsinC ， 即：sinB ＝－2cosAsinC.(10分) ∴b ＝－2c ·b 2＋c 2－a 22bc ，(12分) ∴－b 2＝b 2＋c 2－a 2，即：a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ， ∴2b 2＝8b ，∴b ＝0(舍去)或4.(14分)第9讲平面向量及其应用1.△ABC 外接圆的圆心为O ，BC>CA>AB ，那么OA →·OB →，OA →·OC →，OB →·OC →的大小关系为________、 【答案】OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →解析：0＜∠AOB ＜∠AOC ＜∠BOC ＜π，y ＝cosx 在(0，π)上单调减，∴cos ∠AOB ＞cos ∠AOC ＞cos ∠BOC,∴OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →.2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tanA tanB ＝2cb . (1)求角A ；(2)假设m ＝(0，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosB ，2cos 2C 2，试求|m ＋n|的最小值、 解：(1)1＋tanA tanB ＝2cb1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinC sinB ，即sinBcosA ＋sinBcosB sinBcosA ＝2sinC sinB ， ∴sin A ＋B sinBcosA ＝2sinC sinB ，∴cosA ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)m ＋n ＝(cosB,2cos 2C2－1)＝(cosB ，cosC)，∴|m ＋n|2＝cos 2B ＋cos 2C ＝cos 2B ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.∵A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 从而－π6＜2B －π6＜7π6.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1，即B ＝π3时，|m ＋n|2取得最小值12. 所以，|m ＋n|min ＝22. 基础训练1.－14a ＋14b 解析：MN →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b.2.－0.5解析：a ＋λb ＝m[－(b －2a )]，那么⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝1，λ＝－m λ＝－12.3.3解析：|a －b|＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋4－2×1×2×cos π3＝ 3.4.[0,2]解析：设a 与b 的夹角为θ，那么|P|＝1＋1＋2cos θ＝2＋2cos θ(θ∈[0，π])、例题选讲例1解：(1)假设a 与b 平行，那么有1sinx ·cos2x ＝－1sinx ·2，因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，sinx ≠0，所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a 与b 不能平行、(2)由于f(x)＝a ·b ＝2sinx ＋－cos2x sinx ＝2－cos2x sinx ＝1＋2sin 2x sinx ＝2sinx ＋1sinx ，又因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以sinx ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，于是2sinx ＋1sinx ≥22sinx ·1sinx ＝22，当2sinx＝1sinx ，即sinx ＝22，x ＝π4时取等号，故函数f(x)的最小值等于2 2.变式训练向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域、 点拨：平面向量与三角结合是高考中的一个热点，此题主要考查平面向量数量积的坐标运算、解：(1)m ·n ＝sinA －2cosA ＝0tanA ＝2.(2)f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋32， ∵x ∈R,∴sinx ∈[－1,1]，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.例2(1)解：b －2c ＝(sin β－2cos β，4cos β＋8sin β)，a 与b －2c 垂直，∴4cos α(sin β－2cos β)＋sin α(4cos β＋8sin β)＝0，sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，即tan(α＋β)＝2.(2)解：b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c|＝sin β＋cos β2＋16cos β－sin β2＝17－15sin2β≤17＋15＝42，|b ＋c|的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β， 即4cos α4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b.变式训练向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)、 (1)假设a ∥b ，求tan θ的值；(2)假设|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值、解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或3π4.例3解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bccosA ＝3bc ，所以cosA ＝32， 又A ∈(0，π)，因此A ＝π6.由3|AB →|·|AC →|＝3BC 2得bc ＝3a 2，于是sinC ·sinB ＝3sin 2A ， 所以sinC ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，sinC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosC ＋32sinC ＝34， 因此2sinC ·cosC ＋23sin 2C ＝3，sin2C －3cos2C ＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3<2C －π3＜4π3， 从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或2π3， 故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3. 例4(1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形、(2)解：由题意可知m ·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4或－1(舍去)，∴S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3. 高考回顾1.(－3，－5)解析：取A(0,0)那么B(2,4)，C(1,3)、由BC →＝AD →得D(－1，－1)、即BD →＝(－3，－5)、2.152解析：AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·AB →＋AB →·BD →＝32＋3×1×cos 2π3＝152. 3.54解析：a ·b ＝0，(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，k －52＋k ＝0，k ＝54.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6解析：|α||β|sin θ＝12，sin θ＝12|β|≥12，又θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.5.解：(1)(解法1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 那么AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)、 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ， 那么：E 为B 、C 的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)，故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210； (2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)、 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.或者：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3,5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.6.解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍、或：在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，那么有a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ； b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC. 证明：如图a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC 2→－2|AC →||AB →|cosA ＋AB →2＝b 2－2bccosA ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.同理可证b 2＝a 2＋c 2－2accosB ， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.。

14个填空题专项强化练(七) 平面向量A 组—-题型分类练题型一 平面向量的线性运算1．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若错误!＋2错误!＝3错误!，则错误!的值为________． 解析:由错误!＋2错误!＝3错误!,得错误!－错误!＝2错误!－2错误!，即错误!＝2错误!，所以错误!＝错误!。

答案：错误!2．在▱ABCD 中,错误!＝a ，错误!＝b ，错误!＝3错误!，M 为BC 的中点，则错误!＝____________（用a ，b 表示)．解析：由错误!＝3错误!得错误!＝错误!错误!＝错误!(a ＋b ），错误!＝a ＋错误!b ，所以错误!＝错误!－错误!＝错误!（a ＋b ）－错误!＝－错误!a ＋错误!b 。

答案:－14a ＋14b3．已知Rt △ABC 的面积为2，∠C ＝90°，点P 是Rt △ABC 所在平面内的一点，满足错误!＝错误!＋错误!,则错误!·错误!的最大值是________．解析：由条件可知｜错误!|·|错误!|＝4，错误!·错误!＝0，因为错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!－错误!，错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!－错误!，故错误!·错误!＝错误!·错误!＝97－9｜错误!|－4|错误!｜≤97－12×2＝73,当且仅当9｜错误!|＝4｜错误!｜，即|错误!｜＝错误!，｜错误!｜＝3时等号成立．答案：73[临门一脚］1．对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位．2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：（1）观察各向量的位置;（2）寻找相应的三角形或平行四边形;(3)运用法则找关系;(4）化简结果．3．线性运算由于基底运用难度较大，能建立坐标系的时候，建系优先．4．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．5．已知错误!＝λ错误!＋μ错误! （λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1。

平面向量A 组——抓牢中档小题1．（2018·南京学情调研）设向量a ＝(1,－4),b ＝（－1,x ），c ＝a ＋3b 。

若a ∥c ，则实数x ＝________. 解析:因为a ＝(1,－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝（－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4。

答案：42．(2018·无锡期末）已知向量a ＝(2,1），b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________． 解析：因为a ＝（2,1),b ＝(1，－1），所以a －b ＝(1,2)，m a ＋b ＝(2m ＋1,m －1），因为a －b 与m a ＋b 垂直,所以(a －b ）·（m a ＋b ）＝0，即2m ＋1＋2（m －1)＝0，解得m ＝错误!.答案：错误!3．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________。

解析:由题意知a ＋λb ＝k [－（b －3a ）］， 所以错误!解得错误! 答案:－错误!4．已知｜a |＝1,|b ｜＝错误!，且a ⊥（a －b ），则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：∵a ⊥(a －b)，∴a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－错误!cos 〈a,b 〉＝0，∴cos 〈a,b 〉＝错误!，∴〈a,b 〉＝π4。

答案:错误!5．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO ，―→·错误!＝________。

解析：设BC 边中点为D ，则错误!＝错误! 错误!，错误!＝错误!（错误!＋错误!)，∴ 错误!·错误!＝错误!（错误!＋错误!)·错误!＝错误!×（3×2×cos 60°＋32）＝4.答案:46。

第二讲小题考法—平面向量考点（一)平面向量的概念及线性运算主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用1．设D,E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝错误!AB，BE＝错误!BC，若错误!＝λ1错误!＋λ2错误!（λ1，λ2为实数）,则λ1＋λ2的值为________．解析：如图，错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!＝错误!(错误!－错误!）＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.又错误!＝λ1错误!＋λ2错误!,且错误!与错误!不共线．所以λ1＝错误!－错误!，λ2＝错误!，所以λ1＋λ2＝错误!。

答案：错误!2。

如图,在△ABC中，BO为边AC上的中线,错误!＝2错误!，设错误!∥错误!，若错误!＝错误!错误!＋λ错误! (λ∈R)，则λ的值为 ________.解析：由题意，得错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!,错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!＋（λ－1)错误!，因为错误!∥错误!，所以λ－1＝错误!，λ＝错误!。

答案：错误!3．(2018·南京考前模拟）在直角梯形ABCD中,AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点），若错误!＝λ错误!＋μ错误!，则错误!＋错误!的最小值为________．解析：以A为坐标原点，AB为x轴建立直角坐标系如图所示，设B（2,0),C(1，t），M错误!，N（x0，y0），因为N在线段BC上，所以y0＝t1－2（x0－2），即y0＝t（2－x0）,因为错误!＝λ错误!＋μ错误!，所以错误!即t＝λt＋μy0＝λt＋μt（2－x0）,因为t≠0，所以1＝λ＋μ（2－x0）＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－错误!，所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以4错误!＝（3λ＋4μ）错误!＝3＋12＋错误!＋错误!≥15＋2错误!＝27，所以错误!＋错误!≥错误!当且仅当错误!＝错误!，即λ＝错误!，μ＝错误!时取等号．所以错误!＋错误!的最小值为错误!。

第3讲　平面向量1.如图,在6×6的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a, b,c满足c=xa+yb(x, y∈R),则x2+y2= .答案　5解析 a =(1,2),b =(2,-1),c =(3,4),由c =xa +yb 得 解得 则x 2+y 2=5.23,24,x y x y +=⎧⎨-=⎩11,52,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2.若a ,b ,c 都是单位向量,且a ⊥b ,则(a +b +2c )·c 的最大值为 .答案 2解析　由题意可设a =(1,0),b =(0,1),c =(cos α,sin α),则(a +b +2c )·c =(1+2cos α,1+2sin α)·(cos α,sin α)=(1+2cos α)cos α+(1+2sin α)sin α=cos α+sin α+2= sin α+ +2≤ 当且仅当α= +2k π,k ∈Z 时取等号,故(a +b +2c )·c 的最大值为2+ 24π24π23.若向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|a+b|≤2a·b,则cos(α-β)= .答案　1解析　由|a+b|≤2a·b两边平方得|a|2+2a·b+|b|2≤4(a·b)2.又a·b=cos(α-β)≥0,所以4cos2(α-β)-2cos(α-β)-2≥0,[2cos(α-β)+1][cos(α-β)-1]≥0,则cos(α-β)≥1.又-1≤cos(α-β)≤1,则cos(α-β)=1.4.已知向量e 1,e 2是夹角为 的两个单位向量,向量a =e 1-e 2,b =ke 1+e 2,若a ·b =0,则k 的值为 .23答案　1解析　|e 1|=|e 2|=1,e 1·e 2=- ,a ·b =(e 1-e 2)·(ke 1+e 2)=k |e 1|2+(1-k )e 1·e 2-|e 2|2=k - (1-k )-1=0,解得k =1.1212题型一　平面向量的线性运算例1　设 =(2,-1), =(3,0), =(m ,3).(1)当m =8时,将 用 和 表示;(2)若A 、B 、C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件.OA →OB →OC →OC →OA →OB →解析　(1)当m =8时, =(8,3),设 =x +y ,则(8,3)=x (2,-1)+y (3,0)=(2x +3y ,-x ),∴ ∴ ∴ =-3 + .OC →OC →OA →OB →238,3,x y x +=⎧⎨-=⎩3,14,3x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩OC →OA →143OB →(2)∵ A 、B 、C 三点能构成三角形,∴ , 不共线,又 =(1,1), =(m -2,4),∴1×4-1×(m -2)≠0,∴m ≠6.AB →AC →AB →AC →【方法归纳】　(1)向量的线性运算有加法、减法、数乘,运算方法有几何法(三角形法则和平行四边形法则)和代数法(坐标法);(2)向量共线定理:非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0.1-1 (2018江苏南通中学高三考前冲刺)如图,在梯形ABCD 中, AB ∥CD , AB =3CD ,点E 是BC 的中点.若 =x +y ,其中x ,y ∈R,则x +y 的值为 .AC →AE →AD →答案 54解析　2 = + =3 + =3 - + =4 -3 ,则 = + ,则x +y = + = . AE →AB →AC →DC →AC →AC →AD →AC →AC →AD →AC →12AE →34AD →123454题型二　平面向量的数量积例2　(1)(2018江苏盐城模拟)如图,在△AB 1B 8中,已知∠B 1AB 8= ,AB 1=6,AB 8=4,点B 2,B 3,B 4,B 5,B 6,B 7分别为边B 1B 8的7等分点,则当i +j =9(1≤i ≤8)时, · 的最大值为 .3πi AB →j AB →(2)(2018江苏扬州调研)如图,已知AC =2,B 为AC 的中点,分别以AB ,AC 为直径在AC 同侧作半圆,M ,N 分别为两半圆上的动点(不含端点A ,B ,C )且BM ⊥BN ,则 · 的最大值为 .AM →CN →答案　(1) (2) 132714解析　(1)在△AB 1B 8中,∠B 1AB 8= ,AB 1=6,AB 8=4,由余弦定理可得B 1B 8 取B 1B 8的中点D ,则| , · = + · - =| |2-| |2=19-| |2,当 · 最大时,| |2最小,则i =4或5,此时| |2= 2= ,则 · 的最大值为19- = .(2)由题意可得BM ⊥BN ,∠AMB =90°,则AM ∥BN .因为AC =2,B 为AC 的中点,所3π7AD →2182AB AB →→⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭3616244++19i AB →j AB →AD →i DB →AD →i DB →AD →i DB →i DB →i AB →j AB →i DB →i DB →7717i AB →j AB →171327以BN =BC =BA =1.设∠NBC =∠MAB =α,α∈ ,则 · = ·( - )= · - · =| |·| |-| |·| |cos α=| |-| |2=- + ≤ ,当| |= 时取等号,故 · 的最大值是 .0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭AM →CN →AM →BN →BC →AM →BN →AM →BC →AM →BN →AM →BC →AM →AM →21||2AM →⎛⎫- ⎪⎝⎭1414AM →12AM →CN →14【方法归纳】数量积运算一般有两种解法,即基底法和坐标法,一般选择长度、夹角已知的向量为基底,将其余向量都用基底表示;特殊图形中的数量积也可建立适当的平面直角坐标系,利用向量的坐标运算求解,要根据条件灵活选择方法.2-1　(1)(2018江苏南京模拟)在△ABC中,AB=3,AC=2,D为边BC上一点.若 · =5, · =- ,则 · 的值为 .(2)(2018苏锡常镇四市调研)如图,扇形AOB的圆心角为90°,半径为1,点P是圆弧AB上的动点,作点P关于弦AB的对称点Q,则 · 的取值范围为 .AB→AD→AC→AD→23AB→AC→OP→OQ→答案　(1)-3 -1,1]2解析 (1)因为D 为边BC 上一点,所以 =x +y ,x +y =1,x ,y >0①,则 · = ·(x +y )=9x +y · =5②, · = ·(x +y )=x · +4y =- ③.联立①②③解得 · =-3或 ,当 · = 时不满足x ,y >0,舍去,故 · =-3.(2)以点O 为坐标原点,OA 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (1,0),B (0,1).设P (cos α,sin α),α∈ ,直线AB 的方程为x +y -1=0,则点P 关于直线AB 的对称点Q (1-sin α,1-cos α),则 · =cos α(1-sin α)+sin α(1-cosAD →AB →AC →AB →AD →AB →AB →AC →AB →AC →AC →AD →AC →AB →AC →AB →AC →23AB →AC →223AB →AC →223AB →AC →0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦OP →OQ →α)=sin α+cos α-2sin αcos α,令t =sin α+cos α sin ∈ ],则 · =-t 2+t +1∈ 24απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2OP →OQ →2题型三　平面向量与三角函数的综合问题例3 (2018江苏南通调研)在平面直角坐标系xOy 中,设向量a =(cos α,sin α),b =(-sin β,cos β),c = .(1)若|a +b |=|c |,求sin(α-β)的值;(2)设α= ,0<β<π,且a ∥(b +c ),求β的值.13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭56π解析　(1)因为a =(cos α,sin α),b =(-sin β,cos β),c = ,所以|a |=|b |=|c |=1,且a ·b =-cos αsin β+sin αcos β=sin(α-β).因为|a +b |=|c |,所以|a +b |2=c 2,即a 2+2a ·b +b 2=1,所以1+2sin(α-β)+1=1,即sin(α-β)=- .(2)因为α= ,所以a = .依题意,b +c = .13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭1256π31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭13sin ,cos 22ββ⎛⎫--+ ⎝⎭因为a ∥(b +c ),所以- - =0.化简得 sin β- cos β= ,所以sin = .因为0<β<π,所以- <β- < .所以β- = ,即β= .323cos 2β⎛⎫+ ⎪⎝⎭121sin 2β⎛⎫-- ⎪⎝⎭1232123βπ⎛⎫- ⎪⎝⎭123π3π23π3π6π2π。