高中数学课件：第一章 1.1.7 柱、锥、台和球的体积

故圆柱的体积为36π2或24π2. [悟一法]
求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的 体积则需要确定底面半径和高．
[通一类]
1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r， a2＝πr2 ① 则有 ， 2πrh＝4a2 ② π 由①得 r＝ a； π 由②得 πrh＝2a2， 2 π 3 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ a， π 2 π 3 π ∴V 正方体∶V 圆柱＝a3∶( a )＝ ∶1＝ π∶2. π 2
读教材·填要点
第 一 章 立 体 几 何 初 步
课前预习·巧设计
1.1.7 1.1
小问题·大思维
柱、 空 间 几 何 体 锥、
名师课堂·一点通
考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
台和
球的 体积
No.2课下检测
[读教材·填要点] 1．长方体的体积 (1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体
C．3倍
D．4倍
解析：半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为 x,2x,3x， 则最大球的半径为 3x， 4 其体积为3π×(3x)3， 4 3 4 其余两个球的体积之和为3πx ＋3π×(2x)3， 4 4 3 4 3 ∴3π×(3x) ÷ 3πx ＋3π×(2x)3]＝3. [
答案：C
在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与 正方体的体积之比．
2 2
2 2 6 6 从而 V 半球＝3πR3＝3π( 2 a)3＝ 2 πa3， V 正方体＝a3. 6 3 因此 V 半球∶V 正方体＝ 2 πa ∶a3＝ 6π∶2.
3．柱、锥、台、球的体积
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和 r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径.
名 柱体
称
棱柱 圆柱 棱锥
体积(V) Sh πr2h 1 3Sh
1 2 3πr h
锥体
圆锥
名
称 棱台
体积(V)
1 3h(S＋ SS′＋S′)
台体 圆台 球
1 πh(r2＋rr′＋r′2) 3
提示：正确．
1 3．由 V 锥体＝3S· h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半
径变为原来的______倍，体积变为原来的________
倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时， 球的半径变为原来的 2倍， 体积变为原来的 2 2倍．
[悟一法] 求解锥体体积时，要注意观察其结构特征，尤其是 三棱锥，三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可以当 作底面来处理，这一方法又叫作等体积转移法(或等体积
法)，通常运用此法求点到平面的距离(后面将会学习)，
也会给我们的计算带来方便．
[通一类] 2．一个边长为2的正三角形，绕它的对
称轴旋转一周，如图，求所得几何
体的体积．
解：正三角形 SAB 绕对称轴 SO 旋转一周，得到 一个圆锥， AB ∵圆锥的底面半径 r＝ 2 ＝1， 3 圆锥的高 SO＝ 2 ×2＝ 3， 1 1 3 ∴V 圆锥＝3πr2h＝3π×12× 3＝ 3 π.
[研一题]
[例3] 设圆台的高为3，如图，在轴
截面中母线AA1与底面圆直径AB的夹角为 60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰， 求圆台的体积．
积为V长方体＝ abc .
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V
长方体＝
Sh .
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行 于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说 明： 等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体积相等．
[自主解答]
设上、 下底面半径分别为 r、 R.作 A1D⊥AB
于 D，则 A1D＝3. 因为∠A1AB＝60° ， 又∠BA1A＝90° ， 所以∠BA1D＝60° . A1D 3 所以 AD＝tan60° ＝3× 3A1D· tan60° ＝3× 3＝3 3， 所以 R＋r＝3 3. 所以 R＝2 3，r＝ 3. 1 而 h＝3，所以 V 圆台＝3πh(R2＋Rr＋r2) 1 ＝3π×3×[(2 3)2＋2 3× 3＋( 3)2]＝21π. 所以圆台的体积为 21π.
解：如图，分别过正四棱台的
底面中心O1，O作O1E1⊥B1C1， OE⊥BC，垂足分别为E1，E， 则E1E为正四棱台的斜高． 由于正四棱台的侧面积为180 cm2，
1 所以2×4×(6＋12)|E1E|＝180，解得|E1E|＝5. 在直角梯形 O1OEE1 中， O1E1＝3，OE＝6， E1E＝5，解得 O1O＝4. 所以正四棱台的体积为 1 V＝3h(S＋ SS′＋S′) 1 ＝3×4(62＋6×12＋122) ＝336(cm3).
[研一题]
[例1] 圆柱的侧面展开图是长、宽分别为6π和4π
的矩形，求圆柱的体积． [自主解答] 设圆柱的底面半径为R，高为h. ①当圆柱的底面周长为6π时，高为4π， 即2πR＝6π，h＝4π，∴R＝3， ∴V＝πR2· h＝πR2·4π＝π·32·4π＝36π2.
②当圆柱的底面周长为4π时，高为6π， 即2πR＝4π，h＝6π，∴R＝2， ∴V＝πR2· h＝πR2·6π＝π·22·6π＝24π2.
法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正 方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个
球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接
球的直径．设原正方体棱长为a，球的半径为R， 则根据长方体的对角线性质，得 (2R)2＝a2＋a2＋(2a)2，
6 即 4R ＝6a .所以 R＝ 2 a.
4 3 3πR
[小问题·大思维] 1．夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个 平面的某个平面所截，如果截得的两个截面面积相等，
则这两个几何体的体积相等吗？
提示：不一定，被任意平面所截，若截得的面积总相 等，则这两个几何体的体积相等． 2．锥体的体积只与底面积和高度有关，与其具体形状无 关正确吗？
[悟一法] 解决此类问题必须灵活构造运用正棱台中的直角梯 形，将直角梯形转化为矩形和直角三角形进行计算是关 键；解决台体问题常“还台为锥”，并借助于过高的截面， 将空间问题转化为平面问题求出相关数据，然后进行运
算．
[通一类]
3．正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积
为180 cm2，求棱台的体积．
[研一题]
[例4]
已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的
距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球 的表面积与球的体积． [自主解答] 如图， 设球心为O，球半径为R，作OO1垂 直平面ABC于O1， 由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心． 设M是AB的中点，由于AC＝BC，
[研一题] [例2] 如图，棱锥的底ABCD是一个
矩形，AC与BD交于M，VM是棱锥的高， 若VM＝4 cm，AB＝4 cm，VC＝5 cm， 求棱锥的体积．
[自主解答] ∴VM⊥MC.
∵VM 是棱锥的高，
在 Rt△VMC 中，MC＝ VC2－VM2＝ 52－42＝3(cm)， ∴AC＝2MC＝6 cm. 在 Rt△ABC 中， BC＝ AC2－AB2＝ 62－42＝2 5(cm)． S 底＝AB· BC＝4×2 5＝8 5(cm2)， 1 1 32 5 ∴V 锥＝ Sh＝ ×8 5×4＝ (cm3)． 3 3 3 32 5 ∴该棱锥的体积为 cm3. 3
2
[悟一法]
由球的体积公式可知，求球的体积关键是求球的半径， 要根据具体题目灵活掌握球的半径的求法．利用球的半径、 截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形求取 半径是常用的方法．
[通一类] 4．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积 是其余两个球的体积之和的 A．1倍 B．2倍 ( )
[解] 法一：作正方体对角面的
截面，如图所示，设半球的半径为 R， 2a 正方体的棱长为 a，那么 CC′＝a，OC＝ . 2 在 Rt△C′CO 中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2＝ OC′2，
2a 2 6 2 即 a ＋( 2 ) ＝R ，所以 R＝ 2 a.
2
2 3 2 6 3 6 3 从而 V 半球＝3πR ＝3π( 2 a) ＝ 2 πa ， V 正方体＝a3. 6 3 因此 V 半球∶V 正方体＝ 2 πa ∶a3＝ 6π∶2.
则 O1 在 CM 上． 设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2， O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x. 又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x. 7 2 9 2 解得 x＝ 4 .则 O1A＝O1B＝O1C＝ 4 . R 在 Rt△OO1A 中，O1O＝ 2 ，∠OO1A＝90° ，OA＝R. R2 9 22 3 6 2 由勾股定理得( 2 ) ＋( 4 ) ＝R .解得 R＝ 2 . 4 3 故 S 球＝4πR ＝54π，V 球＝3πR ＝27 6π.