2016秋高中数学第一章立体几何初步1.1.7柱、锥、台和球的体积练习新人教B版必修2

2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7 简单几何体的面积和体积1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案（无答案）北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.7 简单几何体的面积和体积1.7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积学案（无答案）北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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柱体、椎体、台体的体积姓名：___________________________【学习目标】准确掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用【重点难点】准确理解和掌握柱体、椎体、台体的体积公式及应用【知识链接】S圆柱侧=__________________________；S圆柱表=__________________________S圆锥侧=__________________________；S圆锥表=__________________________S圆台侧=__________________________; S圆台表=__________________________【学习过程】一、新课引入：柱体的体积公式______________________________________________________________注：通过学习柱体的体积公式,试分析公式中的h，对于棱柱来说是否就是棱柱的长度？锥体的体积公式______________________________________________________________注：由1V Sh3锥体,那么三棱锥的任何一个面都可以作底面吗?台体的体积公式______________________________________________________________(其中S上，S下_________________________________)注：柱体，锥体，台体的体积公式是适用于特殊的柱体，锥体，台体,还是适用于一般的柱体,锥体和台体？二、例题应用:例1、看课本例4并做练习1、2于导学案知识链结：直线方程的几种形式学习过程：直线的一般式方程把关于,x y 的二元一次方程__________________________________叫做直线方程的一般式.过点00(,)x y 的倾斜角为90或0的直线方程是什么？是不是关于,x y 的二元一次方程？例1、看课本例6，例8并做练习第3题,第4题,第5题，第6题，第9题于导学案上.例2、做练习第7题，第8题于导学案上.例3、看课本例7并做练习第2题于导学案上.例2、已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm，求其体积。

高中数学第一章立体几何初步1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面同步练习（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面同步练习（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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棱柱、棱锥、棱台和球的表面1．正三棱锥的底面边长为a ,高为66a ，则此三棱锥的侧面积为（ )． A ．234a B ．232a C ．2334a D ．2332a 2．长方体的高等于h ,底面积等于a ，过相对侧棱的截面面积等于b ，则此长方体的侧面积等于（ ）．A ．222b ah +B ．2222b ah +C ．2222b ah +D ．222b ah +3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为( ）．A ．316 B ．916 C ．38 D ．9324．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．A ．372B ．360C ．292D ．2805．已知三个球的半径R 1、R 2、R 3满足R 1＋2R 2＝3R 3,则它们的表面积S 1、S 2、S 3满足的等量关系是______．6．有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a （a ＞0）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中,表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是______．7．已知正三棱锥S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15 cm，底面边长为12 cm，内接正三棱柱的侧面积为120 cm2.（1）求三棱柱的高;（2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．8．已知梯形ABCD中,AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD 内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．参考答案1。

柱、锥、台和球的体积一、非标准1.若圆锥、圆柱的底面直径和它们的高都等于一个球的直径,则圆锥、圆柱、球的体积之比为( )A.1∶3∶4B.1∶3∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶2解析:设球的半径为R,则V圆锥=πR2(2R)=πR3,V圆柱=πR2·2R=2πR3,V球=πR3.所以V锥∶V柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.答案:B2.正方体的内切球的体积为36π,则此正方体的表面积是( )A.216B.72C.108D.648答案:A3.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+解析:该空间几何体为正四棱锥和圆柱的组合体.如图所示.由题意知,圆柱的底面半径为1,高为2.正四棱锥的底面边长为,侧棱长为2,高为.所以V=π×12×2+×()2×=2π+.答案:C4.一个圆台的轴截面(等腰梯形)的腰长为a,下底长为2a,对角线长为a,则这个圆台的体积是( )A.πa3B.πa3C.πa3D.πa3解析:如图,由AD=a,AB=2a,BD=a,知∠ADB=90°.取DC中点E,AB中点F,分别过点D、点C作DH⊥AB,CG⊥AB,知DH=a.所以HB=a.所以DE=HF=a.所以V圆台=·a=πa3.答案:D5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.18解析:由三视图可推知,几何体的直观图如下图所示,可知AB=6,CD=3,PC=3,CD垂直平分AB,且PC⊥平面ACB,故所求几何体的体积为×3=9.答案:B6.如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB∶A1B1=1∶2,则三棱锥A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为( )A.1∶1∶1B.1∶1∶2C.1∶2∶4D.1∶4∶4解析:设棱台的高为h,S△ABC=S,则=4S,所以S△ABC·h=Sh,·h=Sh.又V台=h(S+4S+2S)=Sh,所以=V台-=Sh-Sh-Sh=Sh.所以所求体积之比为1∶2∶4.答案:C7.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为.解析:该几何体为底面是直角梯形的四棱柱,V=×1=3.答案:38.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为.解析:由几何体的三视图可知该几何体是一个底面是正方形的四棱锥,其底面边长为3,且该四棱锥的高是1,故其体积为V=×9×1=3.答案:39.如图①,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱组成的几何体.当这个几何体如图②水平放置时,液面高度为20cm,当这个几何体如图③水平放置时,液面高度为28cm,则这个几何体的总高度为cm.解析:设半径为1cm和半径为3cm的两个圆柱的高分别为h1cm和h2cm,则由题意知π·32·h2+π·12·(20-h2)=π·12·h1+π·32·(28-h1),整理得8π(h1+h2)=232π,所以h1+h2=29.答案:2910.圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,求圆台的体积.分析:计算台体的体积时,需要计算其底面的面积和高.若是圆台,则要计算其上、下底面圆的半径,可根据条件建立相关的关系式求解.解:如图所示为圆台的轴截面,设圆台上、下底面圆半径及高分别为x,4x,4x,则在△ABC中,AC=4x,BC=4x-x=3x,AB=10,由于AB2=AC2+BC2,所以16x2+9x2=25x2=100.所以x=2.从而可知圆台的上、下底面圆半径及高分别为2,8,8.所以V圆台=(4+16+64)=224π.11.已知某几何体的俯视图是矩形(如图所示),主视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.(1)求该几何体的体积V;(2)求该几何体的侧面积S.解:由三视图特点可知,该几何体是一个高为4的四棱锥,其底面是边长分别为6和8的矩形.如图,设底面矩形为ABCD,则AB=8,BC=6,高VO=4.(1)V=×(8×6)×4=64.(2)四棱锥侧面VAD,VBC是全等的等腰三角形,侧面VAB,VCD也是全等的等腰三角形.在△VBC中,BC边上的高h1==4,在△VAB中,AB边上的高h2==5.所以此几何体的侧面积S=2=40+24.12.如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积.解:如图所示,过点A,B分别作AM,BG垂直于EF,垂足分别为点M,G,连接DM,CG,这样就将多面体分为两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱.由图形的对称性,知EM=GF=.在Rt△AME中,可求得AM=.在等腰三角形AMD中,可求得S△AMD=.所以V多面体=2V三棱锥E-ADM+V三棱柱ADM-BCG=·EM·S△AMD+AB·S△AMD=.。

第一章立体几何初步1.1空间几何体1.1.7柱、锥、台和球的体积课时跟踪检测[A组基础过关]1．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为()A．2 B．3C．4 D．6解析：由三视图可知三棱锥的直观图如图所示．其中AB为高，底面是直角三角形，V＝13AB×12BD×CD＝13×2×12×3×2＝2，故选A．答案：A2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．13＋π B．23＋πC．13＋2π D．23＋2π解析：由该几何体的三视图可知该几何体是由一个三棱锥和半个圆柱组合而成，由此可知该几何体的体积为13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A．答案：A3．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是()A．96 B．128C．140 D．152解析：由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，V＝S·h＝12×6×4×8＝96.答案：A4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是()A．839B．439C．239D．439或839解析：当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a＝2 3，底面面积S＝34a2＝39，正三棱柱的高h＝4，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝439；同理，当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a′＝43，底面面积S′＝34a′2＝439，正三棱柱的高h′＝2，所以正三棱柱的体积V′＝S′h′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.答案：D5．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()A．26B．23C．33D．23解析：以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是由两个全等的正四棱锥构成，正四棱锥的底面边长为1，高为22，∴V＝2×13×1×1×22＝23.故选B．答案：B6．已知圆锥的母线长为5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为________．解析：由S侧＝πrl＝20π，l＝5得r＝4，∴圆锥的高h＝l2－r2＝3.∴圆锥的体积为V＝13πr2·h＝16π.答案：16π7．(2018·江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．解析：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，且正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，所以该多面体的体积为2×13×1×(2)2＝43.答案：438．已知某几何体的俯视图是边长分别为8和6的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的侧面积．解：由已知可得该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V －ABCD .如图所示，(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)该四棱锥有两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高为h 1＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝42，另两个侧面VAB ，VCD 也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h 2＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5，因此S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.[B 组 技能提升]1．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15解析：由三视图可知，正方体被平面截去三棱锥A1－AB1D1，设正方体的边长为a，V正＝a3，VA1－AB1D1＝13×12a2·a＝16a3，∴V A1－AB1D1V剩＝16a3a3－16a3＝15，故选D．答案：D2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为3，则这个球的体积为() A．9π B．932πC．27π D．2732π解析：∵棱长为3的正方体的体对角线长为33，∴球半径为332，∴V＝43π⎝⎛⎭⎪⎫3233＝2732π.故选D．答案：D3．一个底面半径为R的圆柱形水桶中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球(水面漫过球)，水面高度恰好升高r，则Rr＝________.解析：由题知43πr3＝πR2·r，∴R r＝233.答案：23 34．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：由主视图知，三棱锥的高为1，底面是腰长为2，底边为23的等腰三角形，∴V＝13×12×23×1×1＝33.答案：3 35．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出(单位：cm)．(1)在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－13×⎝⎛⎭⎪⎫12×2×2×2＝2843.6．圆台的母线长为6 cm，它的轴截面等腰梯形的一条对角线与一腰垂直且与下底所成的角为30°，求该圆台的体积．解：如图，等腰梯形AA1B1B为圆台的轴截面，AA1＝6 cm，∠AA1B＝90°，∠ABA1＝30°，于是AB＝2AA1＝12 cm，由A1B1∥AB，得∠B1A1B＝∠A1BA＝30°，又∠A＝90°－30°＝60°，得∠A1BB1＝60°－30°＝30°，故△A1B1B为等腰三角形，∴A1B1＝B1B＝6 cm.又OO1·AB＝AA1·A1B得，OO1＝AA1·A1BAB＝6×6312＝33(cm)，由圆台的体积公式：V圆台＝13π·OO1·(A1O21＋A1O1·AO＋AO2)＝13·π·33·(32＋3×6＋62)＝633π(cm3)．。

柱、锥、台和球的体积1．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )．A ．2B ．1C ．23 D ．132．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ，已知点P 、Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B －APQC 的体积是( )．A ．12V B ．13V C ．14V D ．23V 3．64个直径均为4a的球，记它们的体积之和为V 甲，表面积之和为S 甲，一个直径为a 的球，记其体积为V 乙，表面积为S 乙，则( )．A ．V 甲＞V 乙，S 甲＞S 乙B ．V 甲＜V 乙，S 甲＜S 乙C ．V 甲＝V 乙，S 甲＞S 乙D ．V 甲＝V 乙，S 甲＝S 乙4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，动点E ，F 在棱A 1B 1上，点Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上．若EF ＝1，DP ＝x ，A 1E ＝y (x ，y 大于零)，则三棱锥P －EFQ 的体积( )．A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与y 有关，与x 无关5．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm 3，则棱台的高为______． 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．7．在棱长为1的正方体内，有两球外切，并且分别与正方体相内切． (1)求两球的半径之和；(2)球的半径为多少时，两球的体积之和最小？8．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥的内切球的体积．9.如图所示，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，设V 1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V 2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )．A ．V 1＞2V B ．V 2＜2VC ．V 1＞V 2D ．V 1＜V 2参考答案1. 答案：B2. 答案：B3. 答案：C4. 答案：C解析：∵三棱锥P －EFQ 的体积由底面积和高确定，又EF ＝1，且点Q 到EF 的距离为定值(，∴△EFQ 的面积为定值，∴体积与y 无关．∵三棱锥的高与DP 有关，∴三棱锥的体积与x 有关． 5. 答案：2 cm解析：设正四棱台的上底面边长为2a ，则斜高、下底面边长分别为5a 、8a .4.a =又∵2214(644143a a a ⨯⨯++=， ∴12a =，即高为2 cm. 6. 答案：103解析：该几何体是由一个正四棱锥与一个长方体组合而成的．7. 解：(1)如图，ABCD 为过球心的对角面，AC =设两球半径分别为R 、r ，则有)R r R r ++=∴32R r -+=(2)设两球的体积之和为V ，则()334π3V R r =+ ＝4π3(R +r )(R 2－Rr +r 2) ＝4π3(R +r )[(R +r )2－3Rr ]＝(22334π3333222R R ⎡⎤-⎛--⎢⎥⋅-+ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∴334R -=时，V 有最小值． 8. 解析：(1)如图所示，作圆锥的轴截面，则等腰三角形ABC 内接于O ，O 1内切于△ABC ．设O 的半径为R ，由题意得4π3R 3＝972π， ∴R 3＝729，R ＝9.∴CE ＝18. 已知CD ＝16，∴ED ＝2，连接AE . ∵CE 是直径，∴CA ⊥AE ，CA 2＝CD ·CE ＝18×16＝288. ∴122CA =.∵AB ⊥CD ，∴AD 2＝CD ·DE ＝16×2＝32，4 2.AD =∴π4212296π.S =⋅⋅=圆锥侧 (2)设内切球O 1的半径为r .∵△ABC 的周长为(212242322= ∴113228216.22r ⋅=⨯ ∴r ＝4.∴内切球O 1的体积34π256π.33V r ==球 9. 答案：D解析：设大球的半径为R ，小球的半径为r ，则R ＝2r ，则大球的体积V ＝43πR 3，4个小球的体积为33424π()π323R R ⨯⋅=.∴V 2＝V －(23πR 3－V 1)＝33311422πππ333R R V R V -+=+＞V 1，∴C 不正确．∵32π23V R =，∴2.2V V >又4个小球的体积为32π3R ，∴12VV ＜.∴A，B 均不正确．。

1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.已知高为3的直棱柱ABC A′B′C′的底面是边长为1的正三角形(如图所示).则三棱锥B′ABC的体积为( D )(A)(B)(C)(D)解析:依题意:=×3××12=.故选D.2.圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( C )(A)1∶1 (B)1∶6 (C)1∶7 (D)1∶8解析:如图,设圆锥底半径OB=R,高PO=h,因为O′为PO为中点,所以PO′=,因为==,所以O′A=,所以V圆锥PO′=π·()2·=πR2h.V圆台O′O=·(()2+R2+·R)·=πR2h.所以=,故选C.3.一球的体积扩大为原来的8倍,则此球的表面积扩大为原来的( B )(A)2倍(B)4倍(C)2倍 (D)8倍解析:设球半径为r,扩大后半径为R,则有πR3=8×πr3,所以R=2r.所以扩大后球表面积为4πR2=4π×(2r)2=16πr2,而原球表面积为4πr2.故扩大为原来的4倍.4.若正方体的棱长为,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B )(A)(B)(C)(D)解析:由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成),所有的棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为,故正八面体的体积V=2V2×=.故选B.正四棱锥=2××15.已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C为该球面上的动点.若三棱锥O ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( C )(A)36π (B)64π (C)144π(D)256π解析:由题意知当三棱锥的三条棱两两垂直时,其体积最大.设球的半径为r,则×r2·r=36,解得r=6,所以球O的表面积S=4πr2=144π,选C.6.在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,若使△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的体积是( D )(A)6π(B)5π(C)4π(D)3π解析:如图所示,所形成的几何体是一个大圆锥挖去一个小圆锥剩下的部分,这两个圆锥的底面半径r=AD=ABsin 60°=2×=,小圆锥的高是BD=ABcos 60°=2×=1,大圆锥的高是CD=BD+BC=1+3=4,则所形成的几何体的体积是×π×()2×4-×π×()2×1=3π.7.如图(1)所示,一只装了水的密封瓶子,其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体.当这个几何体如图(2)水平放置时,液面高度为20 cm,当这个几何体如图(3)水平放置时,液面高度为28 cm,则这个简单几何体的总高度为( A )(A)29 cm (B)30 cm (C)32 cm (D)48 cm解析:在题图(2)和题图(3)中,瓶子上部没有液体的部分容积相等,设这个简单几何体的总高度为h,则有π×12(h-20)=π×32(h-28),解得h=29(cm).8.如图所示,扇形所在圆的圆心角为90°,弦AB将这个扇形分成两个部分,这两部分各以AO 所在直线为轴旋转一周,则这两部分旋转所得旋转体的体积V1和V2之比为.解析:△ABO绕AO所在直线旋转一周得圆锥,扇形ABO绕AO所在直线旋转一周得半球体,设AO=R,V半球=πR3,V圆锥=·R·R2=R3,所以V1∶V2=V圆锥∶(V半球-V圆锥)=1∶1.答案:1∶19.如图(1),一个正三棱柱形容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,现将容器放倒,把一个侧面作为底面,这时水面恰好为中截面,如图(2),则原来容器内水面的高度为.图(1) 图(2)解析:设题图(1)中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=S△ABC h.又题图(2)中水组成了一个直四棱柱,其底面积为S△ABC,高度为2a,则V=S△ABC·2a,所以h== a.答案: a10.如图,正方体ABCD A 1B1C1D1的棱长为2,P是BC的中点,点Q是棱CC1上的动点.(1)点Q在何位置时,直线D1Q,DC,AP交于一点,并说明理由;(2)求三棱锥B 1DBQ的体积;(3)若点Q是棱CC1的中点时,记过点A,P,Q三点的平面截正方体所得截面面积为S,求S. 解:(1)当Q是棱CC1的中点时,直线D1Q,DC,AP交于一点,理由:延长D1Q、DC交于点O,则QC为△DD1O的中位线,所以C为DO的中点,延长AP、DC交于点O′,则PC为△ADO′的中位线,所以C为DO′的中点,所以点O与点O′重合,所以直线D1Q、DC、AP交于一点.(2)==×(×2×2)×2=.(3)连接AD1、PQ,由(1)知,AD1∥PQ,所以梯形APQD1为所求截面,梯形APQD1的高为=,S=(+2)×=.11.有一个倒置圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度.解:如图作出轴截面,因轴截面是正三角形,根据切线性质知当球在容器内时,水的深度为3r,水面半径为r,则容器内水的体积为V=V圆锥-V球=π(r)2·3r-πr3=πr3.将球取出后,设容器中水的深度为h,则水面圆的半径为h,从而容器内水的体积是V′=π(h)2h=πh3.由V=V′得h=r.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

7．2 柱、锥、台的体积1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm 、4 cm 、5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3B ．60 cm 3C ．64 cm 3D ．125 cm 3[解析] V ＝3×4×5＝60 cm 3，选B. [答案] B2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6[解析] 由题意，V ＝13(π＋2π＋4π)·h ＝7π，所以h ＝3.选A.[答案] A3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( ) A ．π B．2π C．4π D．8π[解析] 设圆柱母线长为l ，底面半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2r ，2πrl ＝4π，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴V 圆柱＝πr 2l ＝2π. [答案] B4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48[解析] 正四棱锥的斜高h ′＝52－32＝4，S 侧＝4×12×6×4＝48.[答案] D空间几何体体积计算常用方法与技巧空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解．1．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．【示例1】如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C、三棱锥C－A1B1C1的体积之比．[思路分析] 如图，三棱锥B－A1B1C可以看作棱台减去三棱锥A1－ABC和三棱锥C－A1B1C1后剩余的几何体，然后相比即可．[解][题后反思] 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法．[针对训练1] 如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB 上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积( )A ．与点E ，F 的位置有关B ．与点Q 的位置有关C ．与点E ，F ，Q 的位置都有关D ．与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值[解析] 因为点Q 到平面A ′EF 的距离为正方体的棱长4，A ′到EF 的距离为正方体的棱长4，所以VA ′－QEF ＝VQ －A ′EF ＝13×12×2×4×4＝163，是定值，因此与点E ，F ，Q 的位置均无关．[答案] D 2．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．【示例2】 如图所示的三棱锥O －ABC 为长方体的一角，其中OA ，OB ，OC 两两垂直，三个侧面OAB ，OAC ，OBC 的面积分别为1.5 cm 2,1 cm 2,3 cm 2，求三棱锥O －ABC 的体积．[思路分析] 三棱锥O －ABC 的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O －ABC 看作C 为顶点，△OAB 为底面．由三棱锥C －OAB 的体积得出三棱锥O －ABC 的体积．[解] 设OA ，OB ，OC 的长分别为x cm ，y cm ，z cm ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12xy ＝1.5，12xz ＝1，12yz ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，z ＝2.于是V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝13S△OAB·OC＝13×12×1×3×2＝1(cm3)．[题后反思] 利用等积法求几何体的体积时，在保证几何体的体积不变的情况下，可以变换几何体的底面与及相应的高，例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．[针对训练2] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1－EDF的体积．[解]V D1－EDF＝V F－DD1E＝13S△D1DE·AB＝13×12×1×1×1＝16.。

第9课时 1.1.7 柱、锥、台和球的体积课时目标的底面是边长为1的正三角形33答案：D 解析：设正方体的棱长为x ，则正方体的体对角线长为3x ，由题设有43π⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 23＝323π，解得x ＝433.所以选D.二、填空题(每个5分，共15分)7．若一个球的体积为43π，则它的表面积为________． 答案：12π解析：设球的半径为R ，则43πR 3＝43π，∴R ＝3，∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×3＝12π.8．木星的表面积约是地球的120倍，体积约是地球的__________倍． 答案：24030解析：由题意，得4πR 2木＝4πR 2地·120，所以R 木＝120R 地．所以V 木＝43πR 3木＝43π·(120R 地)3＝24030·43πR 3地＝24030V 地．9．如图，E ，F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，AB ＝2，沿图中虚线将该正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是________．答案：13解析：折叠起来后，B ，C ，D 三点重合，设为点S ，则围成的三棱锥为S －AEF ，其中，SA ⊥SE ，SA ⊥SF ，SE ⊥SF ，且SA ＝2，SE ＝SF ＝1，如图，所以此三棱锥的体积V ＝13×12×1×1×2＝13. 三、解答题 10．(12分)已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S ，求其内接正四棱柱的体积．解：设等边圆柱的底面半径为r ，则高h ＝2r .∵S ＝S 侧＋2S 底＝2πrh ＋2πr 2＝6πr 2，∴r ＝S6π.已知四棱锥P －ABCD 的直观图及三视图如图所示，求该四棱锥的体积．由该四棱锥的三视图，可知该四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱·PC ＝23.能力提升如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为( )若该几何体的俯视图是选项A ，则该几何体的体积为1，不满足题意；若该几何则该几何体的体积为π4，不满足题意；若该几何体的俯视图是选项，满足题意；若该几何体的俯视图是选项D ，则该几何体的体积为某几何体的三视图如图所示．画出这个几何体的直观图(不要求写画法)； 求这个几何体的表面积及体积． 这个几何体的直观图如图所示．ABCD －A 1B 1C 1D 1和直三棱柱，可得PA 1⊥PD 1.＋2×2×2＋2×12×(2)2×2＝10.。

7.2 柱、锥、台的体积1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式.(重点)2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积.(难点)[基础·初探]教材整理 柱、锥、台的体积阅读教材P 46“练习”以下至P 48“例5”以上部分，完成下列问题.直角三角形两直角边AB ＝3，AC ＝4，以AB 为轴旋转所得的几何体的体积为( ) A.12π B.16π C.20π D.24π【解析】 旋转后的几何体为以AC ＝4为底面半径，以3为高的圆锥，V ＝13πr 2h ＝13π×42×3＝16π.【答案】 B[小组合作型]如图111D 是棱BC 的中点.正三棱柱的主视图如图1­7­14②.求正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的体积.图1­7­14【精彩点拨】 先利用主视图中的数据确定出正三棱柱底面边长及侧棱长，再代入柱体的体积公式求解.【自主解答】 由三视图可知：在正三棱柱中，AD ＝3，AA 1＝3，从而在底面即等边△ABC 中，AB ＝ADsin 60°＝332＝2，所以正三棱柱的体积V ＝Sh ＝12×BC ×AD ×AA 1＝12×2×3×3＝3 3.计算柱体体积的关键及常用技巧：(1)计算柱体体积的关键：确定柱体的底面积和高. (2)常用技巧：①充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，构造直角三角形，从而计算出底面积和高. ②由于柱体的体积仅与它的底面积和高有关，而与柱体是几棱柱，是直棱柱还是斜棱柱没有关系，所以我们往往把求斜棱柱的体积通过作垂直于侧棱的截面转化成求直棱柱的体积.[再练一题]1.一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比.【导学号：39292050】【解】 设正方体边长为a ，圆柱高为h ，底面半径为r ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝πr 2，2πrh ＝4a 2，①②由①得r ＝ππa ， 由②得πrh ＝2a 2，∴V 圆柱＝πr 2h ＝2ππa 3，∴V 正方体∶V 圆柱＝a 3∶⎝⎛⎭⎪⎫2ππa 3＝π2∶1＝π∶2.一个正三棱锥底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥体积. 【精彩点拨】 已知底面边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面积和高，再根据体积公式求出其体积.【自主解答】 如图所示，正三棱锥S ­ABC .设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高.连接AH 并延长交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AH ⊥BC .∵△ABC 是边长为6的正三角形， ∴AE ＝32×6＝33，∴AH ＝23AE ＝2 3. 在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在Rt△SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， ∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝3， ∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.三棱锥的任一个面都可作为三棱锥的底面.求体积时，要选择适当的底面和高，然后应用公式V ＝13Sh 进行计算即可.[再练一题]2.如图1­7­15，已知四棱锥P ­ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高.若AB ＝6，∠APB ＝∠ADB ＝60°，求四棱锥P ­ABCD 的体积.图1­7­15【解】 因为ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，AB ＝6，所以HA ＝HB ＝ 3.因为∠APB ＝∠ADB ＝60°，所以PA ＝PB ＝6，HD ＝HC ＝3tan 30°＝1. 可得PH ＝PA 2－AH 2＝3，等腰梯形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝2＋ 3.所以四棱锥的体积为V ＝13×(2＋3)×3＝3＋233.[探究共研型]探究1 如图111AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成体积为V 1，V 2的两部分，能否求出几何体AEF －A 1B 1C 1的体积V 1?图1­7­16【提示】 能.几何体AEF －A 1B 1C 1为三棱台，设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh .因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝13h ⎝⎛⎭⎪⎫S ＋14S ＋S ·S 4＝712Sh .探究2 在上述问题中，V 1∶V 2的值是多少？ 【提示】 V 2＝Sh －V 1＝512Sh ，故V 1∶V 2＝7∶5.如图1­7­17，圆台高为3，轴截面中母线AA 1与底面直径AB 的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.图1­7­17【精彩点拨】 求圆台的体积，关键是作出轴截面，并根据条件，求出两底面半径，代入公式求解.【自主解答】 设上、下底面半径分别为r ，R . ∵A 1D ＝3，∠A 1AB ＝60°，∴AD ＝A 1Dtan 60°＝3，∴R －r ＝3，BD ＝A 1D ·tan 60°＝33， ∴R ＋r ＝33，∴R ＝23，r ＝3，h ＝3，∴V 圆台＝13π(R 2＋Rr ＋r 2)h ＝13π×[(23)2＋23×3＋(3)2]×3＝21π.1.求台体的体积，其关键在于求上、下底面的面积和高，一般地棱台常把高放在直角梯形中去求解，若是圆台则把高放在等腰梯形中求解.2.“还台为锥”是求解台体问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键.[再练一题]3.正四棱台的高是12 cm ，两底面边长之差为10 cm ，表面积为512 cm 2，求此四棱台的体积.【解】 如图，设正棱台上底面边长为x cm ，则下底面边长为(x＋10) cm.在Rt△E 1FE 中，EF ＝x ＋10－x2＝5(cm).∵E 1F ＝12 cm ，∴斜高E 1E ＝13 cm ， ∴S 侧＝4×12(x ＋x ＋10)×13＝52(x ＋5)，S 表＝52(x ＋5)＋x 2＋(x ＋10)2＝2x 2＋72x ＋360.∵S 表＝512 cm 2，∴2x 2＋72x ＋360＝512， ∴x 2＋36x －76＝0，解得x 1＝－38(舍去)，x 2＝2， ∴x ＋10＝12，∴正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm ， ∴V ＝13(22＋122＋22×122)·12＝13(4＋144＋24)×12 ＝688 cm 3.1.已知高为3的三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面是边长为1的正三角形(如图1­7­18)，则三棱锥B 1­ABC 的体积为( )图1­7­18A.14B.12C.36D.34 【解析】 V ＝13Sh ＝13×34×3＝34.【答案】 D2.已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图1­7­19所示，则该三棱锥的体积是( )图1­7­19A.1 cm 3B.2 cm3C.3 cm 3D.6 cm 3【解析】 该三棱锥的底面是两直角边为1,2的直角三角形，高为3，所以V ＝13×12×1×2×3＝1.【答案】 A3.如图1­7­20，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，E 、F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，则这两部分的体积之比为________.【导学号：39292051】图1­7­20【解析】 设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V ＝Sh ，则三角形AEF 的面积为14S ，由于VAEF ­A 1B 1C 1＝13·h ·⎝ ⎛⎭⎪⎫S4＋S ＋S 2＝712Sh ，则剩余不规则几何体的体积为V ′＝V －VAEF －A 1B 1C 1＝Sh －712Sh ＝512Sh ，所以两部分的体积之比为VAEF －A 1B 1C 1∶V ′＝7∶5.【答案】 7∶5(或5∶7)4.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________. 【解析】 设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2，由S 1S 2＝94，得πr 21πr 22＝94，则r 1r 2＝32. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2，所以V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32.【答案】 325.如图1­7­21，棱锥的底面ABCD 是一个矩形，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高.若VM ＝4 cm ，AB ＝4 cm ，VC ＝5 cm ，求锥体的体积.图1­7­21【解】 ∵VM 是棱锥的高，∴VM ⊥MC . 在Rt△VMC 中，MC ＝VC 2－VM 2＝52－42＝3(cm)， ∴AC ＝2MC ＝6(cm).在Rt△ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝62－42＝25(cm).S 底＝AB ·BC ＝4×25＝85(cm 2)，∴V 锥＝13S 底h ＝13×85×4＝3253(cm 3).∴棱锥的体积为3253cm 3.。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球一、非标准1.若A,B为球面上相异两点,则通过A,B所作的大圆有( )A.1个B.无数个C.一个也没有D.1个或无数个解析:(1)若A,B两点的连线经过球心O,则经过A,B的大圆有无数个;(2)若A,B两点的连线不经过球心O,由立体几何知识知,不共线的三个点A,B,O确定一个圆,此时大圆只有一个.答案:D2.下列命题中错误的是( )A.以矩形一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫作圆柱B.以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥C.以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥D.以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫作圆锥解析:直角三角形绕其一条直角边旋转才能形成圆锥,如果绕其斜边旋转则形成的是两个圆锥的组合体.答案:B3.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为( )A.4B.3C.2D.2解析:圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r,R满足关系式l2=h2+(R-r)2,求得h=2,即两底面之间的距离为2.答案:D4.顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,AB=1,AA'=,则A,C两点间的球面距离为( )A. B.C.πD.π解析:如图所示,设球的半径为R,则有R==1,连接AC,连接AC'与A'C交于点O,则O为外接球的球心.在△AOC中,AO=OC=1,AC=,所以∠AOC=90°.所以A,C两点间的球面距离为.答案:B5.在圆柱内有一个内接正三棱锥,过一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )答案:D6.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的轴截面对应的等腰三角形的底角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:设圆锥的底面半径是r,母线长是l.如图所示,2πr=πl,所以2r=l,所以.所以轴截面对应的等腰三角形的顶角为60°,因此底角为60°.答案:C7.已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M.若圆M的面积为3π,则球O的半径等于.解析:因为圆M的面积为3π,所以圆M的半径r=.设球的半径为R,由图可知,R2=R2+3,所以R2=3.所以R2=4.所以R=2.答案:28.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12πcm,则该地球仪的半径是cm.解析:设地球仪上北纬30°纬线所在圆的半径为r cm,则有2πr=12π.所以r=6(cm).设地球仪的半径为R cm,则=cos30°=.所以R=4(cm).答案:49.如图所示,圆柱OO'的底面半径为2cm,高为4cm,且P为母线B'B的中点,∠AOB=120°,则一只蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程为.解析:将圆柱侧面沿母线A'A剪开展开成平面图,如图所示,则易知最短路程为平面图中线段AP的长.在Rt△ABP中,AB=×4π=(cm),PB=2cm,所以AP=(cm).即这只蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程为cm.答案:cm10.如图所示组合体是由哪些几何体组成的?解:(1)正三棱柱内挖去一个圆柱.(2)圆锥挖去一个圆柱.11.轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为,求该圆锥的底面半径、高和母线长.解:如图为等边圆锥的轴截面,设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则在轴截面△SAB中,有OB=r,SO=h,SB=l,且∠SBO=60°.在Rt△SOB中,h=r,l=2r,所以S△SAB=×AB×SO=rh=r2,根据题意得r2=,解得r=1,所以l=2r=2,h=r=.即该圆锥的底面半径为1,高为,母线长为2.12.设地球的半径为R,在北纬45°纬线圈上有两个点A,B,A在西经40°经线上,B在东经50°经线上,求A,B两点间纬线圈的劣弧长及A,B两点间的球面距离.解:如图所示,设45°纬线圈中心为O1,地球中心为O,则∠AO1B=40°+50°=90°.又因为OO1⊥☉O1所在平面,所以OO1⊥O1A,OO1⊥O1B.又因为点A,B在北纬45°纬线圈上,所以∠OBO1=∠OAO1=45°.所以O1A=O1B=O1O=OA·cos45°=R.在Rt△AO1B中,因为AO1=BO1,所以AB=AO1=R.所以△AOB为等边三角形.所以∠AOB=60°.所以在45°纬线圈上,A,B两点间纬线圈的劣弧长为AO1=·R=R.在球面上,A,B两点间的球面距离的长为·AO=R(此时是大圆上的一段劣弧长).所以A,B两点间纬线圈的劣弧长为R,A,B两点间的球面距离为R.。

1．1．7 柱、锥、台和球的体积1．了解祖暅原理．2．理解柱、锥、台体的体积公式的推导．3．会求柱、锥、台、球的体积．1．长方体的体积公式V长方体＝abc＝Sh．其中a、b、c分别是长方体的长、宽和高，S、h分别是长方体的底面积和高．2．祖暅原理幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．3．祖暅原理的应用等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等．4．柱、锥、台、球的体积其中S表示底面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh 圆柱πr2h锥体棱锥13Sh 圆锥13πr2h台体棱台13h(S＋SS′＋S′)圆台13πh(r2＋rr′＋r′2) 球43πR3锥体的高度与原锥体的高度之比的立方．1．已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，体对角线的长为214，则这个长方体的体积是( )A ．6B ．12C ．24D ．48答案：D2．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是( ) A ．955π B ．955 C ．355π D ．355 答案：C3．把直径分别为6 cm ，8 cm ，10 cm 的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为( )A ．3 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．12 cm 解析：选B ．设大铁球的半径为R ，则有43πR 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫623＋43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫823＋43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫1023，解得R ＝6．柱体的体积棱柱ABC ­A ′B ′C ′的侧面AA ′C ′C 的面积为S ，且这个侧面到与它相对的侧棱BB ′之间的距离为a ，求这个棱柱的体积．【解】 如图，过侧棱BB ′、CC ′分别作侧面AC ′、AB ′的平行平面，DD ′是交线，再伸展两底面，得到平行六面体ABDC ­A ′B ′D ′C ′．因为侧面AA ′C ′C 的面积为S ， 设此面为底面，则平行六面体BDD ′B ′­ACC ′A ′的高为a ， 所以V 平行六面体＝Sa ． 又V 棱柱ABC ­A ′B ′C ′＝12V 平行六面体，所以V 棱柱ABC ­A ′B ′C ′＝Sa2．当所给几何体的体积不易求出时，我们可以通过“割补法”，使之变形为我们熟悉的几何体去解决．正三棱柱侧面的一条对角线长为2且与该侧面内的底边所成角为45°，求此三棱柱体积．解：如图为正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，则有AB 1＝2，∠B 1AB ＝45°，所以AB ＝BB 1＝2，所以S △ABC ＝12×2×32×2＝32，所以V 三棱柱＝32×2＝62，即此三棱柱的体积为62． 锥体、台体的体积四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．【解】 因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2． 所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π，因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1，高h ′＝1． 所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， 所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π．在多面体和旋转体的有关计算中通常将其转化为平面图形(三角形或特殊的四边形)来计算．对于棱锥中的计算问题往往要构造直角三角形，即棱锥的高、斜高以及斜高在底面上的投影构成的直角三角形，或者由棱锥的高、侧棱以及侧棱在底面上的投影构成的直角三角形；对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．已知正四棱台两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面积是780 cm 2．求正四棱台的体积．解：如图所示，正四棱台ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1＝10 cm ，AB ＝20 cm ．取A 1B 1的中点E 1，AB 的中点E ，则E 1E 是侧面ABB 1A 1的高．设O 1、O 分别是上、下底面的中心，则四边形EOO 1E 1是直角梯形．由S 侧＝4×12(10＋20)·E 1E ＝780得EE 1＝13(cm)．在直角梯形EOO 1E 1中，O 1E 1＝12A 1B 1＝5(cm)， OE ＝12AB ＝10(cm)，所以O 1O ＝E 1E 2－(OE －O 1E 1)2＝12(cm)，V 正四棱台＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm 3)．故正四棱台的体积为2 800 cm 3．球的体积过球面上三点A ，B ，C 的截面到球心O 的距离等于球的半径的一半，且AB ＝BC＝CA ＝3 cm ，求球的体积和表面积． 【解】如图，设过A 、B 、C 三点的截面为圆O ′，连接OO ′、AO 、AO ′． 因为AB ＝BC ＝CA ＝3 cm ，所以O ′为正三角形ABC 的中心，所以AO′＝33AB ＝ 3 (cm)． 设OA ＝R ，则OO ′＝12R ，因为OO ′⊥截面ABC ，所以OO ′⊥AO ′， 所以AO ′＝32R ＝3，所以R ＝2 (cm)， 所以V 球＝43πR 3＝323π(cm 3)，S 球＝4πR 2＝16π(cm 2)．即球的体积为323π cm 3，表面积为16π cm 2．球的体积的求法及注意事项(1)要求球的体积，必须知道半径R 或者通过条件能求出半径R ，然后代入体积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．若球的大圆面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的( )A ．3倍B ．9倍C ．27倍D ．3 3 倍解析：选D ．设变化前、后两球的半径分别为r 、R ，则有πr 2πR 2＝13，所以r R ＝13 ．所以V 1V 2＝43πr 343πR 3＝r 3R 3＝133．故选D ．1．多面体与旋转体的体积公式只要求我们了解，但结论“等底面积、等高的两个棱锥的体积相等”必须记熟且学会对它的熟悉运用，柱体、锥体、台体的体积关系如下：2．在推导棱锥的体积公式时，是将三棱柱分成三个三棱锥，这三个三棱锥变换它们的底面和顶点，可以得到它们两两之间等底面积、等高，因此它们的体积相等，都等于三棱柱体积的三分之一．在这个过程中，一是运用了等体积转换的方法，二是运用了割补法，这些方法在今后解题时要灵活运用．1．求几何体的体积，需要求与其体积有关的各个量，但有时各个量不一定都要求出，而只需求出与其体积有关的各量的组合．2．“割补”是求体积的一种常用策略．运用时，要注意弄清“割补”前后几何体体积之间的数量关系．3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．1．已知一个圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为( )A．2πB．4πC．8πD．16π解析：选D．V圆柱＝πR2h＝π×22×4＝16π．2．将半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( )A．324πR3B．38πR3C．524πR3D．58πR3答案：A3．若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为________．答案：2 34．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．解析：题图为一四棱台和长方体的组合体的三视图， 由题中所给公式计算得体积为V ＝13×(4×4＋16×64＋64)×3＋4×4×2＝144(cm 3)．答案：144, [学生用书P89(单独成册)])[A 基础达标]1．若一个长方体有相同顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的体积为( )A ．2 3B ．3 2C ．6D ． 6解析：选D ．因为ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6．所以a 2b 2c 2＝6，所以V ＝abc ＝6． 2．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V 1和V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶3B ．1∶1C ．2∶1D ．3∶1解析：选D ．V 1∶V 2＝(sh )∶(13sh )＝3∶1．3．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．13B ．23C ．1D ．2解析：选C ．该几何体的直观图为直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1，如图所示，其体积为V ＝12×1×2×2＝1．故选C ．4．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A ．r h2B ．r 2h4C ． 3r 2h 4D ．r 2h2解析：选C ．因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h 4．5．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A ．32π3B ．8π3C ．82πD ．82π3解析：选D ．设截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，故r ＝1， 由勾股定理求得球的半径为1＋1＝2， 所以球的体积为43π(2)3＝82π3，故选D ．6．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于________．解析：V 球＝43πR 3＝323π，所以R ＝2．设正方体的棱长为a ，则a 2＋a 2＋a 2＝2R ，所以3a 2＝16， 所以a ＝433．答案：4337．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14 cm 3，则棱台的高为________．解析：如图所示，设正四棱台AC ′的上底面边长为2a ，则斜高EE ′和下底面边长分别为5a 、8a ．高OO ′＝(5a )2－(4a －a )2＝4a ．又因为13×4a ×(64a 2＋4a 2＋4a 2×64a 2)＝14，所以a ＝12，即高为4a ＝2 cm ．答案：2 cm 8．圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm ．解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4．答案：49．根据图中标出的尺寸，求各几何体的体积．解：(1)该几何体是圆锥，高h ＝10，底面圆半径r ＝3，所以底面积S ＝πr 2＝9π， 则V ＝13Sh ＝13×9π×10＝30π．(2)该几何体是正四棱台，底面中心连线就是高h ＝6， 上底面积S 上＝64，下底面积S 下＝144，则V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13×(64＋144＋64×144)×6＝608．10．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥的体积．解：如图，正三棱锥S ­ABC 中，设H 为△ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH ，延长后交BC 于E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥BC ．由于△ABC 是边长为6的正三角形，所以AE ＝32×6＝33．所以AH ＝23AE ＝23． 在Rt △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23， 所以SH ＝ SA 2－AH 2＝15－12＝3．在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝93．所以V S ­ABC ＝13×93×3＝9．[B 能力提升]11．圆台的轴截面等腰梯形的腰长为a ，下底边长为2a ，对角线长为3a ，则这个圆台的体积是( )A ．734πa 3B ．7123πa 3C ．783πa 3 D ．7324πa 3解析：选D ．如图，由AD ＝a ，AB ＝2a ，BD ＝3a ，知∠ADB ＝90°．取DC 中点E ，AB 中点F ，分别过D 点、C 点作DH ⊥AB ，CG ⊥AB ，知DH ＝32a ． 所以HB ＝3a 2－34a 2＝32a ．所以DE ＝HF ＝12a ．所以V 圆台＝π3⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋12a 2＋a 2·32a ＝7243πa 3．12．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．解析：①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为r ，则球心到该圆锥底面的距离是r 2，于是圆锥的底面半径为 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2．高为3r 2． 该圆锥的体积为13×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22×3r 2＝38πr 3，球体积为43πr 3， 所以该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932． ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332． 答案：932或33213．圆台上底的面积为16π cm 2，下底半径为6 cm ，母线长为10 cm ，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？解：首先，圆台的上底的半径为4 cm ，于是S 圆台侧＝π(r ＋r ′)l ＝100π(cm 2)．其次，如图，圆台的高h ＝BC＝ BD 2－(OD －AB )2＝ 102－(6－4)2＝46(cm)，所以V 圆台＝13h (S ＋SS ′＋S ′) ＝13×46×(16π＋16π×36π＋36π) ＝3046π3(cm 3)． 14．(选做题)在半径为15的球O 内有一个底面边长为123的内接正三棱锥A ­BCD ，求此正三棱锥的体积．解：①如图甲所示的情形，显然OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝15．设H 为△BCD 的中心，则A ，O ，H 三点在同一条直线上．因为HB ＝HC ＝HD ＝23×32×123＝12， 所以OH ＝OB 2－HB 2＝9， 所以正三棱锥A ­BCD 的高h ＝9＋15＝24．又S △BCD ＝34×(123)2＝1083， 所以V 三棱锥A ­BCD ＝13×1083×24＝8643．②对于图乙所示的情形，同理，可得正三棱锥A ­BCD 的高h ′＝15－9＝6， S △BCD ＝1083，所以V 三棱锥A ­BCD ＝13×1083×6＝2163． 综上，可知正三棱锥的体积为8643或2163．。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( B )(A)一个棱柱中挖去一个棱柱(B)一个棱柱中挖去一个圆柱(C)一个圆柱中挖去一个棱锥(D)一个棱台中挖去一个圆柱解析:一个六棱柱挖去一个等高的圆柱,选B.2.如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( C )(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°解析:设圆锥底面半径为r,母线长为l,依条件则有2πr=πl,如图,所以=,即∠ASO=30°,因此圆锥顶角为60°.3.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如图所示,则截面可能的图形是( C )(A)①③(B)②④(C)①②③(D)②③④解析:当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体的体对角线时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④.4.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是( C )(A)4S (B)4πS (C)πS (D)2πS解析:因为圆柱的轴截面的一边是底面直径,另一邻边为圆柱的高,所以应满足=2r(r为底面圆半径),所以r=,故底面面积为πS.5.已知A,B,C是球O上的三点,AB=10,AC=6,BC=8,球O的半径等于13,则球心O到△ABC所在小圆的距离为.解析:因为AB=10,AC=6,BC=8,所以△ABC为直角三角形且AB为点A,B,C所在小圆O1的直径,所以r=5,如图,所以d2=R2-r2=132-52=122,所以d=12.答案:126.水平桌面α上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球,它和下面4个球恰好都相切,则小球的球心到水平桌面α的距离是.解析:5个球心组成一个正四棱锥,这个正四棱锥的底面边长为4R,侧棱长为3R,求得它的高为R,所以小球的球心到水平桌面α的距离是3R.答案:3R7.图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截面图形可能是( D )(A)(1)(2) (B)(1)(3) (C)(1)(4) (D)(1)(5)解析:当截面不过旋转轴时,截面图形是(5),当截面过旋转轴时,截面图形是(1).故选D. 8.(2017·山西忻州一中高一测试)一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm,若两底面圆心的连线长为12 cm,则这个圆台的母线长为 cm.解析:如图,过点A作AC⊥OB,交OB于点C.在Rt△ABC中,AC=12 cm,BC=8-3=5(cm).所以AB==13(cm).答案:139.湖水结冰时, 一个球被冻在冰面上,取出后(未弄破冰)在冰面上留下一个直径为24 cm,深8 cm的空穴,则该球的半径为cm.解析:设球的半径为R,根据题意知截面圆的半径r=12 cm,球心与截面圆的距离为d=R-8.由截面的性质得r2+d2=R2,即122+(R-8)2=R2,从而可得R=13 cm.答案:1310.圆锥母线长为8,底面半径为2,A为底面圆周上一点,从A出发将绳子绕圆锥侧面一周后,再回到A,则绳长最短为.解析:如图所示,将圆锥沿过A点的母线展开,设A点展开后另一点为A′点,则绳子最短长度为线段AA′的长度.因为底面半径为2,所以弧长=2π×2=4π.因为展开图对应的扇形半径R=8,所以圆心角α==,所以AA′==8.答案:811.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于圆柱底面的平面去截它,求所得截面的面积.解:截面为一个圆环,圆环的大圆半径为R,小圆半径为l.所以截面圆环的面积为πR2-πl2=π(R2-l2).精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积时间：45分钟 满分：80分班级________ 姓名________ 分数________一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)1．一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，则三棱锥的体积与原来长方体体积之比为( )A ．1：3B ．1：6C ．1：8D ．1：4 答案：B解析：设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则V 三棱锥＝13(12ab )c ＝abc6.又V 长方体＝abc .故选B.2．正四棱锥的侧棱长为2 3，侧棱与其在底面上的射影所成的角为60°，则该棱锥的体积为( )A ．3B ．6C ．9D ．18 答案：B解析：如图所示O 为正四棱锥底面中心，∠PCO ＝60°，PC ＝2 3，则在Rt △POC 中，PO ＝3，OC ＝3，AC ＝2 3，AB ＝AC 2＝6，∴V 锥＝13×6×6×3＝6，故选B.3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为( ) A ．26 B ．28 C ．30 D ．32 答案：B解析：所求棱台的体积V ＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28.4．已知某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π 答案：C解析：该几何体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱，由三视图可得该几何体的体积V＝V 圆锥＋V 圆柱＝13×π×32×52－32＋π×32×5＝57π.故选C.5．已知圆柱的侧面展开图的面积为S ，底面周长为c ，它的体积是( )A.c 34πSB.4πS c3 C.cS 2π D.Sc4π 答案：D解析：由题意知2πr ＝c ，所以r ＝c2π.又因为ch ＝S ，所以h ＝S c.所以V ＝πr 2h ＝π(c2π)2·S c ＝cS4π，故选D. 6.在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°(如图所示)，若将△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A.9π2B.7π2C.5π2D.3π2 答案：D解析：从A 点向BC 作垂线，垂足为Q ，所求旋转体的体积可视为两个圆锥的体积之差：V 旋＝V 大－V 小＝13π(3)2×2.5－13π(3)2×1＝32π.二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)7．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案：4解析：由俯视图与左视图，可知该三棱锥的底面积为12×4×3＝6，由左视图，可知该三棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为13×6×2＝4.8．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是__________．答案：54解析：由题意知r R ＝，r 、R 分别为上、下底面的半径，故(V －V ＝，解出V ＝54.9．一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积也相等，则它们的体积大小关系是________． 答案：V 正方体＜V 圆柱解析：设正方体棱长为a ，则圆柱高为a ，又设圆柱底面圆的半径为r ，则4a 2＝2πra ，即r ＝2a π.∴V 正方体＝a 3，V 圆柱＝πr 2a ＝4πa 3.∵4＞π＞0， ∴V 正方体＜V 圆柱．三、解答题(共35分，11＋12＋12)10．已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，求三棱锥P －ABC 的体积．解：因为PA ⊥底面ABC ，且底面ABC 是边长为2的正三角形，所以三棱锥P －ABC 的体积V ＝13×12×2×3×3＝ 3.11．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ADC ＝135°，AB ＝5，CD ＝22，AD ＝2，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的体积．解：如图，过C 作CE 垂直于AD ，交AD 延长线于E ，则所求几何体的体积可看成是由梯形ABCE 绕AE 旋转一周所得的圆台的体积，减去△EDC 绕DE 旋转一周所得的圆锥的体积．所以所求几何体的体积V ＝V 圆台－V 圆锥＝13π×(52＋5×2＋22)×4－13π×22×2＝1483π.12.如图，A 1A 是圆柱的一条母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于A ，B 的任意一点，A 1A ＝AB ＝2.求三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值．解：因为VA 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1，而A 1A ＝2，要使得三棱锥A 1－ABC 的体积最大，只需三角形ABC 的面积最大．记AB 边上的高为CD ，则S △ABC ＝12·AB ·CD ＝CD .显然CD 有最大值1，所以VA 1－ABC ＝13×CD ×AA 1≤13×1×2＝23.故三棱锥A 1－ABC 的体积的最大值为23.。