06. 均匀平面电磁波——习题课

第6章　均匀平面波的反射与透射（一）思考题6.1 试述反射系数和透射系数的定义，它们之间存在什么关系？答：（1）反射波电场振幅E rm与入射波电场振幅E im的比值为分界上的反射系数；透射波电场振幅E tm与入射波电场振幅E im的比值为分界面上的透射系数。

（2）反射系数Γ和透射系数τ之间的关系为：6.2 什么是驻波？它与行波有何区别？答：频率和振幅均相同，振动方向一致，传播方向相反的两列波叠加后形成的波叫驻波。

行波在介质中传播时，其波等相面随时间前移，而驻波的波形不向前推进。

6.3 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，反射系数大于0？在什么情况下，反射系数小于0？答：均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界时，当时，反射系数Γ＞0；当时，反射系数Γ＜0。

6.4 均匀平面波向理想导体表面垂直入射时，理想导体外面的合成波具有什么特点？答：均匀平面波向理想导体表面入射时，理想导体外面的合成波具有特点如下：合成波电场和磁场的驻波在时间上有的相移，在空间上也错开了且在导体边界上，电场为零。

驻波的坡印廷矢量的平均值为零，不发生电磁能量的传输过程，仅在两个波节之间进行电场能量和磁场能量的交换。

6.5 均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，在什么情况下，分界面上的合成波电场为最大值？在什么情况下，分界面上的合成波电场为最小值？答：当均匀平面波垂直入射到两种理想媒质分界面时，的位置时，分界面上的合成波电场为最大值。

的位置时，分界面上的合成波电场为最小值。

6.6 一个右旋圆极化波垂直入射到两种媒质分界面上，其反射波是什么极化波？答：右旋圆极化。

6.7 试述驻波比的定义，它与反射系数之间有什么关系？答：驻波比的定义是合成波的电场强度的最大值与最小值之比，即6.8 什么是波阻抗？在什么情况下波阻抗等于媒质的本征阻抗？答：在空间任意点，均匀平面波的电场与磁场强度的模值之比称为自由空间的波阻抗，在均匀无耗各向同性的无界媒质中，均匀平面波的电场与磁场的模值之比称为媒质中的阻波抗。

边界条件入射波（已知）＋反射波（未知）透射波（未知）现象：电磁波入射到不同媒质分界面上时，一部分波被分界面反射，一部分波透过分界面。

均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面入射波反射波 介质分界面i E G i k G r E G i H G rH G rk G ozyx媒质1媒质2tE GtH G t k G 透射波入射方式：垂直入射、斜入射；媒质类型：理想导体、理想介质、导电媒质分析方法：本章内容6.1均匀平面波对分界面的垂直入射6.2 均匀平面波对多层介质分界平面的垂直入射6.3 均匀平面波对理想介质分界平面的斜入射6.4均匀平面波对理想导体表面的斜入射6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射本节内容6.1.1对导电媒质分界面的垂直入射6.1.2 对理想导体表面的垂直入射6.1.3 对理想介质分界面的垂直入射6.1.1 对导电媒质分界面的垂直入射111σεμ、、222σεμ、、沿x 方向极化的均匀平面波从媒质1 垂直入射到与导电媒质2 的分界平面上。

z < 0中，导电媒质1 的参数为z > 0中，导电媒质2 的参数为xz媒质1：媒质2：111,,σμε222,,σμεyiE G iH G ik G rE G rH G rk G tE G tH G tk G11c 11c121111j j j (1j )k γωμεσωμεωε===−121111c 1c1112111(1j )(1j )μμσηεεωεσηωε−−==−=−媒质1中的入射波：11i im im i 1c()e ()ez x z y E z e E E H z e γγη−−==G G G G 媒质1中的反射波：11r rm rm r 1c()e ()ezx z y E z e E E H z e γγη==−G G G G 媒质1中的合成波：11111i r im rm rm im 1i r 1c 1c()()()e e()()()e ez z x x z z y y E z E z E z e E e E E E H z H z H z e e γγγγηη−−=+=+=+=−G G G G G G G G G G媒质2中的透射波：12222c 22c 222j j j (1j )k σγωμεωμεωε===−121222222c 22c 222(1j )(1j )μμσσηηεεωεωε−−==−=−22tm t tm t 2c()e ,()ez z x y E E z e E H z e γγη−−==G G G G 在分界面z = 0 上，电场强度和磁场强度切向分量连续，即)0()0()0()0(2121H H E E ==⎧⎨⎩im rm tmim rm tm 1c2c11()E E E E E Eηη+=−=⎧⎨⎩定义分界面上的反射系数Γ为反射波电场的振幅与入射波电场振幅之比、透射系数τ为透射波电场的振幅与入射波电场振幅之比，则21221212,ηηηΓτηηηη−==++im rm tmim rm tm1c2c 11()E E E E E Eηη+=−=⎧⎨⎩tm 2c im 2c 1c2E E ητηη==+2c 1crm im 2c 1c E E ηηΓηη−==+⎧⎨⎩讨论：τΓ=+1Γ和τ是复数，表明反射波和透射波的振幅和相位与入射波都不同。

均匀平面电磁波1. 引言均匀平面电磁波是一种具有特定频率的电磁辐射，它在空间中以均匀、平面波的形式传播。

电磁波是由变化的电场和磁场相互作用而产生的，具有广泛的应用领域，如通信、雷达、无线电和光学等。

本文将介绍均匀平面电磁波的定义、性质以及其在实际应用中的重要性。

2. 定义均匀平面电磁波是指在空间中以均匀且平行于波前传播的电磁辐射。

它具有以下特点： - 波动方向与传播方向垂直； - 电场和磁场强度在空间中保持恒定； - 波动速度等于光速。

3. 公式表示根据麦克斯韦方程组，可以得到均匀平面电磁波的数学表达式：E⃗=E0⃗⃗⃗⃗ sin(ωt−k⃗⋅r )B⃗ =k⃗ω×E⃗其中，E⃗和B⃗ 分别表示电场和磁场的矢量，E0⃗⃗⃗⃗ 表示电场的最大振幅，ω表示角频率，k⃗表示波矢，r表示位置矢量。

根据上述公式可以看出，均匀平面电磁波是一种正弦函数形式的波动。

电场和磁场之间存在相位差，并且沿着传播方向呈现出周期性变化。

4. 性质4.1 极化状态均匀平面电磁波可以具有不同的极化状态，包括线偏振、圆偏振和不偏振三种情况。

- 线偏振：电场方向在一个平面内振动，可以沿着任意方向进行观测。

- 圆偏振：电场方向在一个平面内以圆轨迹进行振动。

- 不偏振：电场方向在各个方向都有均匀分布，无特定的偏振状态。

4.2 传播特性均匀平面电磁波在空间中以光速传播。

由于其传播速度恒定且与介质无关，因此不会发生衍射和折射现象。

这使得电磁波在通信、雷达等领域中具有重要意义。

4.3 能量传输均匀平面电磁波通过电场和磁场之间的相互作用传输能量。

其能量密度与电场和磁场强度的平方成正比，即U∝E2。

能量的传输方向与波动方向相同。

4.4 反射和折射当均匀平面电磁波遇到边界时，会发生反射和折射现象。

根据入射角和介质的折射率，可以计算出反射角和折射角。

5. 应用均匀平面电磁波在现代科技中具有广泛的应用。

- 通信：无线电、移动通信、卫星通信等都是基于均匀平面电磁波的传输原理。

电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第6章习题解答(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第6章习题解答已知空气中存在电磁波的电场强度为 ()80cos 6π102πy E e E t z =⨯+V /m试问：此波是否为均匀平面波传播方向是什么求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H 。

解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。

电场强度瞬时式可以写成复矢量j 0e kz y E e E -=。

该式的电场幅度为0E ，相位和方向均不变，且0z E e ⋅=⇒z E e ⊥，此波为均匀平面波。

传播方向为沿着z -方向。

由时间相位86π10t t ω=⨯ ⇒ 86π10ω=⨯ 波的频率Hz 1038⨯=f 波数2πk =波长2π 1 m k λ== 相速p 310 m/s v kω==⨯ 由于是均匀平面波，因此磁场为j 0w w1() e kz z x E H e E e Z Z -=-⨯=有一频率为600MHz 的均匀平面波在无界理想介质(r r 4,1εμ==)中沿x +方向传播。

已知电场只有y 分量，初相位为零，且010t t ==s 时，1x =m 处的电场强度值为800kV /m 。

试写出E 和H 的瞬时表达式。

解：根据题意，角频率812π10ω=⨯，r r 0028πk cωωεμεμεμ====，因此 80cos(12π108π)y E e E t x =⨯-由s 10=t ，m 1=x 处的电场强度值为kV/m 800，可以得到kV/m 8000=E8800cos(12π108π) kV/m y E e t x =⨯-根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为j8π800e kV/m x y E e -=波阻抗为()0r w r 060π ΩZ μμμεεε===。

第5章均匀平面波在无界空间中的传播在上一章中，我们从麦克斯韦方程岀发，导岀了电场强度E和磁场强度H所满足的波动方程，本章我们将讨论电磁波的传播规律与特点。

我们从最简单的均匀平而波着手，所谓均匀平而波是指电磁波的场矢量只沿着它的传播方向变化，在与波传播方向垂直的无限大平而内，电场强度E和磁场强度H的方向、振幅和相位都保持不变。

例如沿直角坐标系的z方向传播的均匀平而波，在久和〉'所构成的横平而上无变化，如图5丄1所示。

图5.1.1均匀平面波均匀平而波是电磁波的一种理想情况，它的特性及讨论方法简单，但又能表征电磁波重要的和主要的性质。

虽然这种均匀平而波实际上并不存在，但讨论这种均匀平面波是具有实际意义的。

因为在距离波源足够远的地方，呈球而的波阵而上的一小部分就可以近似看作一个均匀平而波。

本章首先讨论在无界理想介质中均匀平而波的传播特点和各项参数的物理意义，然后讨论有耗媒质中均匀平面波的传播特点，最后讨论各向异性媒质中均匀平而波的传播特点。

5. 1理想介质中的均匀平面波5.1.1理想介质中的均匀平面波函数假设所讨论的区域为无源区，即Q = 0、7=0,且充满线性、各向同性的均匀理想介质，现在我们来讨论均匀平而波在这种理想介质中的传播特点。

首先考虑一种简单的情况，假设我们选用的直角坐标系中均匀平面波沿z方向传播，则电场强度E和磁场强度H都不是x和丁的函数，即dE dE八&H dH ndx dy dx dy同时，由=0和=0,有dE, n dH, A—=0,——=0 dz. dz再根据E：和的波动方程，可得到耳=0, H；=0这表明沿Z方向传播的均匀平而波的电场强度E和磁场强度H都没有沿传播方向的分量，• 1 •• 2即电场强度E 和磁场强度H 都与波的传播方向垂直，这种波又称为横电磁波(TEM 波)。

对于沿Z 方向传播的均匀平面波，电场强度E 和磁场强度H 的分量&•、£和比、H 、. 满足标量亥姆霍兹方程• 2 >7 +(5」」) dz 2 r—+k 2E=O(5.1.2) j2 TJ一 +k 2H=O (5.13)dz 2x一 +k 2H v =O (5.1.4)昉上述四个方程都是二阶常微分方程，它们具有相同的形式，因而它们的解的形式也相同。

· 1 ·.图 6.1.1 均匀平面波垂直入射到两种不同媒质的分界平面第6章 均匀平面波的反射与透射我们已经讨论了均匀平面波在无界均匀媒质中的传播特性。

实际上，电磁波的传播过程中经常会遇到不同的媒质的分界面，这时部分电磁能量被分界面反射，形成反射波；而另一部分电磁能量将透过分界面继续传播，形成透射波。

这一章中，我们将讨论均匀平面波对介质分界面的垂直入射和斜入射以及对理想导体表面的垂直入射和斜入射。

6.1 均匀平面波对分界平面的垂直入射6.1.1 对导电媒质分界面的垂直入射如图6.1.1所示，0z <的半空间充满参数为1ε、1μ和1σ的导电媒质1，0z >的半空间充满参数为2ε、2μ和2σ的导电媒质2，均匀平面波从媒质1垂直入射到0z =的分界平面上。

为简化讨论但又不失一般性，假定入射波是沿x 方向的线极化波。

这时，媒质1中的入射波电场和磁场分别为1()z i x im z E e γ-=E e(6.1.1)11111()()z i z i y im c cz z E e γηη-=⨯=H e E e (6.1.2)其中1j j γ==· 2 ·.11211)c j σηωε-==-媒质1中的反射波电场和磁场分别为1()z r x rm z E e γ=E e (6.1.3)11111()()z r z r y rm c cz z E e γηη=-⨯=-H e E e (6.1.4)于是，媒质1中的合成波电场和磁场分别为111()()()[]z z i r x im rm z z z E e E e γγ-=+=+E E E e (6.1.5)11111()()()[]z z i r y im rm cz z z E e E e γγη-=+=-H H H e (6.1.6)媒质2中只有透射波，其电场和磁场分别为22()()z t x tm z z E e γ-==E E e (6.1.7)222211()()()z t z t y tm c cz z z E e γηη-==⨯=H H e E e (6.1.8)其中2j j γ==12222)c j σηωε-==-根据边界条件，在0z =的分界平面上，应有12x x E E =、12y y H H =。

电磁场与电磁波课后答案-郭辉萍版1-6章第一章 习题解答1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =xa +2y a -3zaB= -4ya +zaC=5xa -2za求：⑴矢量A 的单位矢量Aa ； ⑵矢量A 和B 的夹角ABθ；⑶A ·B 和A ⨯B⑷A ·（B ⨯C ）和（A ⨯B ）·C ； ⑸A ⨯（B ⨯C ）和（A ⨯B ）⨯C 解：⑴Aa =A A=149++=（xa +2y a -3za ）14⑵cos ABθ=A ·B /ABAB θ=135.5o⑶A ·B =-11, A ⨯B=-10xa-y a -4za⑷A ·（B ⨯C ）=-42 （A ⨯B ）·C =-42⑸A ⨯（B ⨯C ）=55xa -44y a -11za（A ⨯B ）⨯C =2xa -40y a +5za1.3有一个二维矢量场F(r)=xa （-y ）+ya (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。

解：由dx/(-y)=dy/x,得2x +2y =c1.6求数量场ψ=ln （2x +2y +2z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。

解：等值面方程为ln （2x +2y +2z ）=c则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2x +2y +2z =141.9求标量场ψ（x,y,z ）=62x 3y +ze 在点P （2，-1，0）的梯度。

解：由ψ∇=xaxψ∂∂+yayψ∂∂+zazψ∂∂=12x 3yxa +182x2y ya +zeza 得ψ∇=-24xa +72y a +za1.10 在圆柱体2x +2y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: ⑴求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为A=x a 32x +y a （3y+z ）+za (3z -x)⑵验证散度定理。

第六章 平面电磁波 1.在εr=2, μr=1的理想介质中,频率为f =150MHz 的均匀平面波沿y 方向传播,y=0处,E =zˆ10V/m,求E , E (y,t), H ,H (y,t) ,S c,υp.解： f =150MHz )/(102318s m cv rr p ⨯===εμμε)(2m f cfv rr p ===εμλπλπ22==kE =zˆ10yj e π2-Z=120π/2H ==⨯Z E y/ˆx ˆ2/12πyje π2-E (y,t)= zˆ102cos(2π*150*106t-2πy) H (y,t)= xˆ/6πcos(2π*150*106t-2πy) Sc=*H E ⨯=yˆ52/6π2.在真空中H =xˆx H =x ˆ0H zj e π2求E ,E (z,t), λ, f ,Z, S c.解：由πλπ22==k 得λ=1m ，s m cf /1038⨯==λ真空中 Z=120πE =k H Z ˆ⨯=z j e H z x ππ20120)ˆ(ˆ-⨯=yˆ120π0H z j e π2 Sc=-zˆ120π0H 2)21032cos(1202ˆ),(80z t H x t z E πππ+⨯⨯⨯=3.在理想介质中E (x,t)= y ˆ80π2cos(10*107πt+2πx)H (x,t)= -zˆ2cos(10*107πt+2πx)求: f , εr, μr,λ.解： 由ππ710102⨯=f 得 f =7105⨯Hzλ=k π2=1m,m fc 60==λ 由:rr εμλλ0=，从而 60==λλεμr r及 波阻抗 πεμπ80120=⨯==rr H EZ 得： εr=9 ,μr=44.均匀平面电磁波在真空中沿kˆ=1/2(yˆ+z ˆ)方向传播, 0E =10x ˆ,求E ,E (y,z,t),H ,H (y,z,t), Sc.解：设λ已知，则k=2π/λ,E =0E r j e ∙-=xˆ10)(/2z y j e +-λπH =1/Z*⨯kˆE =2/(24π)(yˆ-z ˆ))(/2z y j e +-λπE (y,z,t)= xˆ102cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) H (y,z,t)= 1/(12π)(yˆ-z ˆ)cos(2πc/λt-2π/λ(y+z)) Sc=*H E⨯=5/(62π)(yˆ+z ˆ)5.证明电磁波E =5(xˆ+3y ˆ))3(y x j e --πH =5/120πzˆ )3(y x j e --π为均匀平面波.证明：由E =5(xˆ+3y ˆ))3(y x j e --π)3()cos cos cos (y x z y x k r k -=++=⋅πγβα即 π3=x k ，π-=y k ，πππ2)()3(22222=-+=++=z y x k k k k2/1cos ,2/3cos -===βαkk xkˆ=3/2x ˆ-1/2y ˆ E ∙kˆ=0 ，H ∙k ˆ=0 又kˆ的方向不变，等相面为k ˆ与垂直的面，显然为平面。

例1 均匀平面波从自由空间垂直入射到某介质（参数为ε、0μ）平面时，在自由空间形成驻波。

设驻波比为，介质平面上为驻波电场的最小值点，求介质的介电常数。

分析 根据已知的驻波比和介质平面上为驻波电场的最小值点，可以确定反射系数的值，再由反射系数的值，即可求得介质的介电常数。

解： 由驻波比为max min 1 2.71E S E ρρ+===- 此题中ρ为反射系数Γ1.73.7ρ=由于介质平面上为驻波电场的最小值点，所以反射系数应为负数，即1.73.7ρ=-p234 2121 1.73.7ηηρηη-==-+0127.217.214.52εμηηη===即=7.210εμ即得200(2.7)7.3εεε==评注 均匀平面波垂直入射到理想介质分界平面上，当反射系数为正时，分界平面上为合成波电场振幅的最大值点；当反射系数为负时，分界平面上为合成波电场振幅的最小值点。

P234例2一均匀平面波沿z +方向传播，其电场强度矢量为100sin()200cos()/x y E e t z e t z V m ωβωβ=-+-应用麦克斯韦方程求相伴的磁场H ；若在传播方向上0=z 处，放置一无限大的理想导体平板，求0<z 区域中的合成波的1E 和1H ；求理想导体板表面的电流密度。

分析 本题要求用麦克斯韦方程求相伴的磁场，可先将所给电场写成复数形式，然后用复数形式的麦克斯韦方程求出磁场。

解 为了运算方便，用复数表示（1）(100200)j zi x y j e β-=-+E e e 代入麦克斯韦方程HE 0ϖμj -=⨯∇1()0xy z i i ixiyz j x y z E E ωμ⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥=∇⨯=⎢⎥-∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎣⎦e e e H E01()iyx x y E E j z z ωμ∂∂=-+-∂∂e e 01(200100)j zx yj e βη-=--e e写成瞬时表达式(,)Re[()]j t i i z t z e ω=H H 01[200cos()100cos()]2x y t z t z πωβωβη=--+--e e（2）设反射波的电场为()()y x j j j zr x rx y ry z E e E e e φφβ=+E e e由理想导体表面的边界条件0[]0z i r z =-⨯+=e E E(100)(200)0y x j j x rx y ry j E e E e φφ-+++=e e由此得100,2rx x E πφ=-=-，200,0ry y E φ=-=故(100200)j zr x y j e β=-E e e反射波的磁场为 011()()(200100)j zr z r x y z j e βηη=-⨯=--H e E e e在0<z 区域的合成波(200400)sin 1(400200)cos i r x y i r x y j z j zββη=+=--=+=--E E E e e H H H e e 11（3）理想导体表面的电流密度为002200400[]0.53 1.06S z z x yjx y j eπηη=-=-⨯=-+=+J e H e e e e 1评注 先将场量的瞬时形式写成复数形式，然后用复数形式的麦克斯韦方程求解，可避免对时间的积分运算。

6.2 自由空间中一均匀平面波的磁场强度为)cos()(0x wt H a a H z y π-+= m A /求：（1）波的传播方向；（2）波长和频率；（3）电场强度; （4）瞬时坡印廷矢量。

解：)cos()(0x wt H a a H z y π-+=m A /(1) 波沿+x 方向传播(2) 由题意得：k=π rad/m ， 波长m k 22==πλ ， 频率Hz c f 8105.1⨯==λ （3）)cos(120)(0x wt H a a a H E z y x ππη--=⨯= m v / （4）)(cos 24020x wt H a H E S x ππ-=⨯= 2/m w 6.3无耗媒质的相对介电常数4=r ε，相对磁导率1=r μ，一平面电磁波沿+z 方向传播，其电场强度的表达式为)106cos(80z t E a E y β-⨯=求：（1）电磁波的相速；（2）波阻抗和β；（3）磁场强度的瞬时表达式；（4）平均坡印廷矢量。

解：（1）s m cv r r p /105.118⨯===εμμε（2）)(6000Ω===πεεμμεμηrr ， m r a d c w w r r /4===εμμεβ （3）)4106cos(60180z t E a E a H x z -⨯-=⨯=πη m A / （4）π120]Re[2120*E a H E S z av =⨯= 2/m w6.4一均匀平面波从海水表面（x=0）沿+x 方向向海水中传播。

在x=0处，电场强度为m v t a E y /)10cos(1007π =，若海水的80=r ε，1=r μ，m s /4=γ。

求：（1）衰减常数、相位常数、波阻抗、相位速度、波长、趋肤深度；（2）写出海水中的电场强度表达式；（3）电场强度的振幅衰减到表面值的1%时，波传播的距离；（4）当x=0.8m 时，电场和磁场得表达式；（5）如果电磁波的频率变为f=50kHz ，重复（3）的计算。