第六章 平面电磁波

一维电磁波，设电场仅为z的函数：
∂2Ex ∂z 2
−1 υ2
∂2Ex ∂t 2
=0
此方程的通解为
Ex ( z, t)
=
f
(t
−
z υ
)
+
f
(t
+
z υ
)
f ( t- z / v ) f ( t- z / v )
图 7-1 向+z方向传播的波
1
无界媒质中，一般没有反射波存在，只有单一行进方向的波。 假设平面波沿+z方向传播，只有Ex(z, t)分量，方程式的解
旋圆极化波 其它情况是椭圆极化波。
例1：试求下列均匀平面波的极化方式和传播方向。
(1) E = ex Em sin (ωt − kz ) + ey Em cos (ωt − kz )
(2) E = ex E0e− jkz − ey jE0e− jkz
(3)
E
=
ex
Em
sin
⎛⎜⎝ ωt
−
kz
+
π 4
入射波和反射波的形式
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
+
E e' j(ωt+kz) 0
自由空间：
∂Ex = ∂z
Ex
=
E e j(ωt−kz) 0
− jkE0e j(ωt−kz) = −μ
∂H ∂t
y
= − jωμH y
Hy =
E0
e = E e j(ωt−kz)
0 j(ωt−kz)
μ /ε
η
η具有阻抗的量纲，单位为欧姆(Ω)，与媒质参数有关，称为媒
(3) 其它情况下，比如，取
Eym / Exm = 2, ϕx − ϕy = ϕ = π / 2
Ex (0,t ) = Exm cos (ωt + ϕx )
则：
Ey
(
0,
t
)
=
2Exm
cos
⎛ ⎜⎝
ωt
+
ϕx
−
π 2
⎞ ⎟⎠
=
2Exm
sin
(ωt
+
ϕx
)
⎛ ⎜ ⎝
Ex (0,t )
Exm
⎞2 ⎟ ⎠
(3) 与电磁波传播方向垂直的单位面积上通过的平均功率。
解： (1)
vp =
1= με
c = 3×108 = 108 m / s
μrε r
9
λ = vp = 1m f
k = ω με = ω = 2π vp
rad / m
η = μ = η ur = 120π 1 = 40π Ω
ε
ε 0 r
9
(2) H
•两个彼此正交，时间相位相差90o，幅度相等的线极化波，
图7-3 理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分布
2
正弦均匀平面电磁波的等相位面方程为
ωt − kz = cons（t. 常数）
相速度：
υp
=
dz dt
=
ω k
=
1 με
均匀介质中，传播速度为 常数，非色散波。
c = 1/ μ0ε0 ≈ 3 ×108 m / s
群速度：
υg
=
dω dk
空 间 相 位 kz 变 化 2π 所 经 过 的 距 离 称 为 波 长 ， 以 λ 表 示 。 有
ϕx −ϕy = π / 2
α = (ωt +ϕx )
y
α
x
y E
传播方向 x
λ /2
y
x
0
z
矢端轨迹是圆，则该电磁波称为圆极化波
矢端的旋转方向与电磁波传播方向成右手螺旋关系， (沿着传播方向观察）称为右旋圆极化波
4
ϕx −ϕy = −π / 2 α = − (ωt + ϕx )
y x
α
矢端的旋转方向与电磁波传播方向成左手螺旋关系， 称为左旋圆极化波
=
Re[ S ] 已知无界理想媒质(ε=9ε0, μ=μ0，σ=0)中正弦均 匀平面电磁波的频率f=108 Hz， 电场强度
( ) E
=
ex
4e−
jkz
+
−
ey 3e
jkz +
jπ 3
V /m
试求：
(1) 均匀平面电磁波的相速度vp、波长λ、相移常数k和波阻抗 η；
(2) 电场强度和磁场强度的瞬时值表达式；
cos(2π
×108t
−
2πz
+
π) 3
+
ey
1 10π
cos
2π ×108t −2πz
(V /m)
（3）复坡印廷矢量：
S
=
1 2
E
× H*
=
1 2
⎡ ⎢ex 4e− jkz ⎢⎣
+
e
y
3e
−
j⎛⎜⎝
kz
−π 3
⎞ ⎟⎠
⎤ ⎥
×
⎡ ⎢
−e
x
⎥⎦ ⎢⎣
3 40π
e j⎛⎜⎝
kz
−π 3
⎞ ⎟⎠
+
ey
1 10π
+
⎛ ⎜ ⎝
Ey (0,t )
2Exm
⎞2 ⎟ ⎠
=
1
矢端轨迹是椭圆，则该电磁波称为椭圆极化波；
2. 极化的判断
1)沿+z方向传播的均匀平面波：
找出x,y分量的振幅和初相位， 若等相或反相则是线极化波 若振幅相等，若 Ex 分量超前 Ey 90度，则是右
旋圆极化波 若振幅相等，若 Ex 分量落后 Ey 90度，则是左
§6.9 电磁波极化特性的工程应用
§6.1 无耗媒质中的平面电磁波
无耗媒质意味着描述媒质电磁特性的电磁参数满足如下条件：
σ=0, ε、μ为 实常数。无 源意味着无外加场源，即ρ=0， J无=0耗。媒质中齐次波动方程的均匀平面波解
∇× H = ε ∂E ∂t
∇× E = − ∂B ∂t
∇⋅B =0
∇⋅D =0
E = Ex2 (0,t ) + Ey2 (0,t ) = Ex2m + Ey2m cos (ωt +ϕ )
合成电场与+x的夹角为
α
=
⎛ arctan ⎜
⎝
Ey Ex
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ arctan ⎜
⎝
Eym Exm
⎞ ⎟ ⎠
=
常数
若 ϕx − ϕy = ±π ，平面z = 0 上，合成电场的模为
E=
∇×∇ ×
E
= ∇×
(−μ
∂H ∂t
)
=
−μ
∂ ∂t
∇
×
H
∇×H = ε ∂E ∂t
∇×∇×
E
=
∇(∇ ⋅ E)
− ∇2 E
=
−με
∂2 E ∂t 2
∇2 E
−
με
∂2 E ∂t 2
=
0
∇⋅D = 0
∇2 H
− με
∂2 H ∂t 2
=0
∇2 E
−
με
∂2 E ∂t 2
=
0
反映了交变电磁场的相互关系及与源的关系，揭示电磁场运动规
E = exEx ( z)
x
z y 图 7-2 均匀平面电磁波的传播
§6.2 均匀平面波的传播特性
E = ex Ex H = e y H y TEM 波
∂2Ex ∂z 2
−1 υ2
∂2Ex ∂t 2
=0
∂2Ex ∂z 2
+ k2Ex
=0
k2=ω2με
亥姆霍兹方程
Ex = E0e− jkz + E0' e jkz
Ex (0,t ) = Em cos (ωt + ϕx )
Ey
(
0,
t
)
=
Em
cos
⎛ ⎜⎝
ωt
+
ϕx
∓
π 2
⎞ ⎟⎠
=
±
Em
sin
(ωt
+
ϕx
)
合成电场的模为：E = Ex2 (0,t ) + Ey2 (0,t ) = Em
合成电场与+x的夹角为
α = arctan ⎡⎣± tan (ωt +ϕx )⎤⎦ = ± (ωt +ϕx )
• 两个彼此正交，时间相位相同的极化波，其合成仍为 线极化波。 cosθ，sin θ是什么？
E = ex E0 cosθ + e y E0 sinθ = ex Ex0 + e y Ey0
•线极化波可以由旋转方向相反的两个相同的圆极化波
( ) 构成。 EU.L = ex + jey + (ex − jey ) （2）圆极化波的构成
可见，表示沿 +z 方向传播的波。
电场与磁场的关系
E( z,t ) = exE0 cos(ωt − kz +ϕx )
H
(
z,t
)
=
ey
1 η
E0
cos
(ωt
−
kz
+
ϕx
)
电场强度、磁场强度和传播方向相互垂直，且
E × H = ez
电场强度和磁场强度的振幅比
E H =η
电场和磁场同步（相位一致）
5
3. 极化波的合成与分解