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八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列变形中不正确的是（）A．由a＞b得b＜aB．若a＞b，则ac2＞bc2（c为有理数）C．由﹣a＞﹣b得b＞aD．由﹣x＜y得x＞﹣2y3．（3分）已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后点A的对应点的坐标为（﹣2，5），则点B的对应点的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣1）C．（5，3）D．（5，﹣1）4．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+4相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2＜ax+4的解集为（）A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜36．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．64二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）7．（3分）要使分式无意义，则x的取值范围是．8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C 与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．10．（3分）已知m+n＝3，则m2﹣n2+6n＝．11．（3分）在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为．12．（3分）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）因式分解：m3﹣m；（2）解不等式组：．14．（6分）先化简，再从﹣2＜x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．15．（6分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD 求证：（1）△ABC≌△BAD；（2）OA＝OB．16．（6分）小明解方程﹣＝1的过程如下：解：方程两边乘x，得1﹣（x﹣2）＝1．①去括号，得1﹣x﹣2＝1．②移项，得﹣x＝1﹣1+2．③合并同类项，得﹣x＝2．④解得x＝﹣2．⑤所以，原分式方程的解为x＝﹣2．⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．17．（6分）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于点C成中心对称的格点三角形A1B1C；（2）将图2中的△ABC绕着点C按逆时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形A2B2C．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式，假分数可以化成1+（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．解决下列问题：（1）分式是（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式；（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；（3）若分式的值为m，则m的取值范围是（直接写出答案）．19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．20．（8分）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x ﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？22．（9分）疫情复学返校之前，为方便快速筛查体温异常学生，某校准备购买A，B两种型号的额温枪，已知每支A型额温枪比每支B型额温枪贵50元，买1支A型额温枪和2支B型额温枪共500元．（1）每支A型、B型额温枪的价格各是多少元？（2）该校欲购进A，B型额温枪共100支，且A型额温枪的数量不少于B型额温枪的数量，购买的总金额不超过17600元，则共有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若购买A型额温枪m支，写出购买总费用w（元）与m的表达式，并求出w的最小值．六．（本大题共12分）23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），D（6，4），将线段AD平移得到BC，使B（0，b），且a、b满足|a﹣2|+＝0，延长BC交x轴于点E．（1）填空：点A（，），点B（，），∠DAE＝°；（2）求点C和点E的坐标；（3）设点P是x轴上的一动点（不与点A、E重合），且P A＞AE，探究∠APC与∠PCB 的数量关系？写出你的结论并证明．。
辽宁省沈阳市和平区峥嵘中学2021-2022学年八年级下学期第二次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．观察如图所示的图形，绕着它的中心旋转120°后能与自身重合有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（）A ．2+x=x ﹣1B ．2﹣x=1C ．2+x=1﹣x D ．2﹣x=x ﹣13．若分式3a ba 中的,ab 的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值()A ．是原来的3倍B ．是原来的127C ．是原来的19D ．是原来的134．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，将四边形ABCD 沿AB 方向平移得到四边形A 'B 'C 'D '，BC 与C 'D '相交于点E ，若BC ＝8，CE ＝3，C 'E ＝2，则阴影部分的面积为（）A ．B ．13C ．D ．265．已知在正方形的网格中，每个小方格的边长都相等，A ，B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，则以A ，B 为顶点的网格平行四边形的个数为()A ．6B ．8C ．10D ．126．新能源汽车环保节能，越来越受到消费者的喜爱.各种品牌相继投放市场.一汽贸公司经销某品牌新能源汽车.去年销售总额为5000万元，今年1~5月份，每辆车的销售价格比去年降低1万元.销售数量与去年一整年的相同.销售总额比去年一整年的少20%，今年1~5月份每辆车的销售价格是多少万元?设今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元.根据题意，列方程正确的是()A ．50005000(120%)1x x-=+B ．50005000(120%)1x x +=+C ．50005000(120%)1x x-=-D ．50005000(120%)1x x+=-7．如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，过点O 作EF BC ∥交AB 于E ，交AC 于F ，过点O 作OD AC ⊥于D ，下列四个结论：①EF BE CF =+；②1902BOC A ∠=+∠︒；③点O 到ABC 各边的距离相等；④设,OD m AE AF n =+=，则AEF S mn =△．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④8．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ＝AF ，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE +DF ＝EF ；③当∠DAF ＝15°时，△AEF 为等边三角形；④当∠EAF ＝60°时，12ABE CEF S S =△△．其中正确的是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④二、填空题9．若分式222x-+的值为0，则x 的值是______．10．若不等式组01x m x m ->⎧⎨-<⎩的解集中每一个x 值均不在25x ≤≤的范围内，则m 的取值范围是______．11．在平行四边形ABCD 中，∠A ＝30°，AD ＝BD ＝4，则平行四边形ABCD 的面积等于______________.12．如图，过边长为5的等边ABC 的边AB 上一点P ，作PE AC ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为_____．13．如图，正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1，点F 、G 分别在边,BC CD 上，P 为AE 的中点，连接PG ，则PG 的长为_________.三、解答题14．在A ，B 两地间仅有一条长为360千米的笔直公路，若甲，乙两车分别从A 、B 两地同时出发，匀速前往终点B ，A 两地，乙车速度是甲车速度的34倍，乙车比甲车晚到90分钟，求乙车每小时行驶多少千米？15．如图，ABC 和BDE △都是等腰直角三角形，90ACB DBE ∠=∠=︒，连接CD ，以CA ，CD 为邻边作CAFD Y ，连接CE ，BF ．（1）如图1，当D 在BC 边上时，请直接写出CE 与BF 的关系；（2）如图2，将图1中的BDE △绕点B 顺时针旋转到图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不存在，请说明理由；（3）若3AC =，2BD =，将图1中的BDE △绕点B 顺时针旋转一周，当BD 与直线BC 夹角为30°时，请直接写出CE 的值．16．如图①，点E 为正方形ABCD 内一点，∠AEB ＝90°，将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，得到△CBE '（点A 的对应点为点C ）．延长AE 交CE '于点F ，连接DE ．猜想证明：(1)四边形BE 'FE 的形状是______；(2)如图②，若DA ＝DE ，请猜想线段CF 与FE 的数量关系并加以证明；(3)如图①，若AB ＝15，CF ＝3，求DE 的长．参考答案：1．B【分析】根据旋转的性质，对题中图形进行分析，判定正确选项．【详解】解∶①旋转120°后，图形可以与原来的位置重合，故正确；②旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误；③旋转120°后，图形无法与原来的位置重合，故错误；④旋转120°后，图形与原来的位置重合，故正确．故选∶B ．【点睛】本题考查图形的旋转与重合，理解旋转图形的定义是解决本题的关键．2．D【详解】解：方程的两边同乘（x ﹣1），即可得2﹣x=x ﹣1．故选：D ．3．C【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【详解】原式3333a 3b a b 1a b(3a)9a 9a +++===⨯；故选C ．【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4．B【分析】利用平移的性质得到B ′C ′＝BC ＝8，BC ∥B ′C ′，CD ∥C ′D ′，S 梯形ABCD ＝S 梯形A ′B ′C ′D ′，然后根据S 阴影部分＝S 梯形BB ′C ′E 进行计算．【详解】解：∵四边形ABCD 沿AB 方向平移得到四边形A 'B 'C 'D '，∴B ′C ′＝BC ＝8，BC ∥B ′C ′，CD ∥C ′D ′，S 梯形ABCD ＝S 梯形A ′B ′C ′D ′，∴C ′D ′⊥BE ，∴S 阴影部分＝S 梯形BB ′C ′E ＝12（8﹣3+8）×2＝13．故选：B ．【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．5．D【详解】分析:根据平行四边形的定义:两组对边平行的四边形是平行四边形,显然图中以A 、B 为顶点的网格平行四边形的个数为12个，分以AB 为边和以AB 为对角线两种思路求解.详解:如图所示,根据平行四边形的定义,则以AB 为边的网格平行四边形有6个,以AB 为对角线的网格平行四边形有6个,则共有12个.故选D.点睛:本题考查了平行四边形的判定,此题要能够根据平行四边形的定义,分别以AB 为边或对角线找到所有的平行四边形.6．A【分析】首先根据所设今年每辆车的价格，可表示出去年的价格，同样根据销售总额的关系可表示出今年的销售总额，然后再根据去年和今年1~5月份销售汽车的数量相同建立方程即可得解.【详解】∵今年1~5月份每辆车的销售价格为x 万元，∴去年每辆车的销售价格为（x+1）万元，则有()5000120%50001x x-=+故选A.【点睛】此题主要考查分式方程的应用，解题的关键是找出题中去年和今年的关系.7．A【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和即可对②进行判断；根据平行线的性质和角平分线的定义可得,EBO EOB FCO COF ∠=∠∠=∠，再根据等角对等边即得,BE EO OF CF ==，进而可对①进行判断；过O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，可得ON OD OM m ===，可得12AEF AOE AOF S S S mn =+=即可对④进行判断；根据角平分线的性质即可对③进行判断．【详解】解：∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴11,,18022OBC ABC OCB ACB A ABC ACB ∠=∠∠=∠∠+∠+∠=︒，∴1902OBC OCB A ∠+∠=︒-∠，∴()1180902BOC OBC OCB A ∠=︒-∠+∠=︒+∠；故②正确；∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴,OBC OBE OCB OCF ∠=∠∠=∠，∵EF BC ∥，∴,OBC EOB OCB FOC ∠=∠∠=∠，∴,EOB OBE FOC OCF ∠=∠∠=∠，∴,BE OE CF OF ==，∴EF OE OF BE CF =+=+，故①正确；过点O 作OM AB ⊥于M ，作ON BC ⊥于N ，连接OA ，∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴ON OD OM m ===，∴()11112222AEF AOE AOF S S S AE OM AF OD OD AE AF mn =+=⋅+⋅=⋅+=△△△；故④错误；∵在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线相交于点O ，∴点O 到ABC 各边的距离相等，故③正确．故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理和角平分线的性质，属于基础题型，熟练掌握角平分线的性质等基本知识是解题关键．8．C【分析】①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE ＝∠DAF ，BE ＝DF ，由正方形的性质就可以得出EC ＝FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，②设BC ＝x ，CE ＝y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE +DF 与EF 关系不确定；③当∠DAF ＝15°时，可计算出∠EAF ＝60°，即可判断△EAF 为等边三角形，④当∠EAF＝60°时，设EC ＝x ，BE ＝y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出CEF S △和ABE S ，再通过比较大小就可以得出结论．【详解】解：①四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AFAB AD =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE ＝DF ，∵BC ＝CD ，∴BC ﹣BE ＝CD ﹣DF ，即CE ＝CF ，∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF ．故①正确；②设BC ＝a ，CE ＝y ，则BE =DF =a -y ，∴BE +DF ＝2（a ﹣y ），EF y ，∴BE +DF 与EF 关系不确定，只有当y ＝（2）a 时成立，故②错误；③当∠DAF ＝15°时，∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，∴∠DAF ＝∠BAE ＝15°，∴∠EAF ＝90°﹣2×15°＝60°，又∵AE ＝AF∴△AEF 为等边三角形．故③正确；④当∠EAF ＝60°时，则△AEF 是等边三角形，设EC ＝x ，BE ＝y ，则CF =x ，∴AB =BC =x +y ，22222EF CE CF x =+=，∴222AE x =，∵222AB BE AE +=，即()2222x y y x =++，∴()22x y x y =+，∵21122CEF S CE CF x =⋅=V ，()12ABE AB B y S E x y =⋅=+ ，∴12ABE CEF S S =△△．故④正确．综上所述，正确的有①③④，故选：C ．【点睛】本题属于四边形综合题，是中考填空题或选择题的压轴题，考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键．9．2【分析】根据分式值为0的条件解答即可．【详解】∵分式222xx x-+的值为0，∴22020x x x ⎧-=⎨+≠⎩，∴202x x x =±⎧⎨≠≠-⎩，，∴2x =．故答案为：2．【点睛】本题考查分式值为0的条件，解一元二次方程．掌握分式值为0的条件：分子为0，分母不为0是解题关键．10．1m ≤或5m ≥【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解来确定不等式组的解集，再结合解集中任意一个x 的值都不在25x ≤≤的范围内可得答案．【详解】解：01x m x m ->⎧⎨-<⎩①②，解不等式①，得x >m ，解不等式②，得1x m <+，所以不等式组的解集是1m x m <<+，不等式组01x m x m ->⎧⎨-<⎩的解集中每一个x 值均不在25x ≤≤的范围内，12∴+≤或5mm≥，m≥，解得：1m£或5m≥，即m的取值范围是1m£或5m≥．故答案为：1m£或5【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，如图1，点E在AB上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，2=，∴AB=AE+BE=8，∴平行四边形ABCD的面积为8⨯=如图2，点E在AB的延长线上，∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=AE=ADcos30°=6，在Rt△DBE中，2=，∴AB=AE-BE=4，∴平行四边形ABCD的面积为4⨯=故答案为【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.12．2.5【分析】过点P 作PF BC ∥交AC 于点F ，根据题意可证APF 是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明AE FE =，根据全等三角形判定定理可证PFD QCD ≌△△，DF DC =，进而证明12DE AC =，计算求值即可．【详解】解：过点P 作PF BC ∥交AC 于点F，∵PF BC ∥，ABC 是等边三角形，∴60,60APF B A ︒︒∠=∠=∠=，∴APF 是等边三角形，∴PF PA =，∵PE AC ⊥，∴AE FE =；∵PA CQ =，∴PF CQ =，∵PF BC ∥，∴∠=∠PFD QCD ，在FPD △和QCD 中，PDF QDC PFD QCD PF QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴PFD QCD ≌△△，∴DF DC =，∴12DF FC =，12EF AF =，∵,DF EF DE FC AF AC +=+=，∴()11112222DE FC AF FC AF AC =+=+=，∵5AC =，∴115 2.522DE AC ==⨯=，故答案为：2.5【点睛】本题考查了平行线性质、等边三角形性质与判定、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键．13【分析】连接AC ,根据正方形的性质可得A 、E 、C 三点共线，连接FG 交AC 于点M ，由正方形的性质求和勾股定理可求得EC 和FG ，AC 的长度,从而求得AE ,因为的中点，可得PE 和AP ,再由正方形的性质可得GM 和EM ,FG ，在Rt △PGM 中，求解即可．【详解】解，如下图，连接AC ，连接FG 与AC 交于点M∵四边形ABCD 和四边形EFCG 是正方形，且点F 、G 分别在边,BC CD 上∴A 、E 、C 三点共线，90,90ABC EFC ∠=∠= ，EC FG ⊥,EC FG=在Rt ABC 中，90,3ABC AB BC ∠=== 由勾股定理得：222223318AC AB BC =+=+=∵AC ＞0∴AC =在Rt EFC 中，90,1EFC EF FC ∠=== 由勾股定理得：22222112EC EF FC =+=+=∵EC ＞0∴EC =∴AE AC EC =-=又∵P 是AE 的中点，M 是EC 的中点∴12PM AC ==又∵1122GM FG EC ==在Rt PGM 中，由勾股定理得：222PG PM GM =+即：22222PG ⎛⎛=+ ⎝⎭⎝⎭=5∵0PG >∴PG =【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键．14．乙车速度为60千米/时【分析】设甲车速度为x 千米/时，则乙车的速度是34x 千米/时，根据“乙车比甲车晚到90分钟”列出方程并解答．【详解】解：设甲车速度为x 千米/时，则乙车的速度是34x 千米/时，依题意得：360903603604x x +=，解得：80x =，经检验：80x =是原方程的解，∴3604x =，答：乙车速度为60千米/时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．15．（1）CE BF =，CE BF ⊥；（2）成立，证明见解析；（3【分析】（1）证明△BEC ≌△DBF （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠BCE=∠DFB ，则可得到结论；（2）延长FD 交BC 于点G ，证明△CBE ≌△△FDB （SAS ），由全等三角形的性质得出CE=BF ，∠ECB=∠BFG ，则可得出结论；（3）分两种情况画出图形，由勾股定理可求出答案；【详解】（1）CE BF =，CE BF ⊥；如图，设CE与BF相交于点M，∵△ABC和△BDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DBE=90°，∴AC=BC，DE=DB，∵四边形CAFD是平行四边形，∴CA=DF=BC，CA∥DF，∠ACB=∠FDB，∴∠CBE=∠FDB=90°，∴△BEC≌△DBF（SAS），∴CE=BF，∠BCE=∠DFB，∵∠DFB+∠DBF=90°，∴∠BCE+∠DBF==90°，∴∠CMB=90°，⊥．∴CE BF（2）成立证明：如图，延长FD交BC于点G．四边形ACDF是平行四边形，=，∴，AC FD//AC FDDGB ACB∴∠=∠=︒，90∴∠=∠+∠，FDB DGB DBG∴∠=︒+∠，FDB DBG90，∠=︒DBE90∴∠=︒+∠，90CBE DBGFDB CBE ∠=∠，ABC 是等腰直角三角形，AC BC ∴=，又AC DF = ，BC DF ∴=，BD BE = ，CBE FDB ∴V V ≌，CE BF ∴=，ECB BFG ∠=∠，90BFG FBG ∠+∠=︒Q ，90ECB FBG ∴∠+∠=︒，CE BF ∴⊥．（3）如（2）题图，由（2）知∠DGB=90°，BF=CE ，∵∠DBC=30°，BD=2，∴DG=1，，∵AC=3，AC=DF ，∴FG=DF+DG=3+1=4，∴BF =，∴，如图所示，延长CB 交DF 于点M ，∵AC∥DF，AC⊥BC，∴BM⊥DF，∴∠BMF=∠BMD=90°，∵∠MBD=30°，BD=2，∴DM=1，，∵AC=DF=3，∴FM=DF-DM=3-1=2，∴BF==，∴，∴CE【点睛】本题是四边形几何变换综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；16．(1)正方形(2)CF＝FE'(3)【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF ＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形；（2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝12AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝12CE′，可证得结论；（3）过点D 作DG ⊥AE 于点G ，由旋转及四边形BE ′FE 是正方形可得如下关系：AE ＝CE ′＝FE ′+CF ＝FE ′+3＝BE +3，在Rt △BAE 中根据勾股定理求出BE 、AE 的长，由（1）可知，△ADG ≌△BAE ，得到DG ＝BE ，AG ＝BE ，再由勾股定理求出DE 的长．【详解】（1）四边形BE ′FE 是正方形．理由如下：由旋转得，∠E ′＝∠AEB ＝90°，∠EBE ′＝90°，∵∠BEF ＝180°﹣∠AEB ＝90°，∴四边形BE ′FE 是矩形，由旋转得，BE ′＝BE ，∴四边形BE ′FE 是正方形．（2）CF ＝FE '，证明：如图2，过点D 作DG ⊥AE 于点G ，则∠DGA ＝∠AEB ＝90°，∵DA ＝DE ，∴AG ＝12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA ＝AB ，∠DAB ＝90°，∴∠BAE +∠DAG ＝90°，∵∠ADG +∠DAG ＝90°，∴∠ADG ＝∠BAE ，在△ADG 和△BAE 中ADG BAE AGD AEB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△BAE （AA S ），∴AG ＝BE ；∵四边形BE ′FE 是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋转得，AE＝CE′，∴12AE＝12CE′，∴FE′＝12AE＝12CE′，∴CF＝FE'．（3）如图3，过点D作DG⊥AE于点G，∵BE＝FE′，CF＝3，∴AE＝CE′＝FE′+CF＝FE′+3＝BE+3，∵AE2+BE2＝AB2，且AB＝15，∴(BE+3)2+BE2＝(15)2，解得，BE＝9或BE＝﹣12（不符合题意，舍去），∴AE＝9+3＝12，由（2）得，△ADG≌△BAE，∴DG＝AE＝12，AG＝BE＝9，∴GE＝AE﹣AG＝12﹣9＝3，∵∠DGE＝90°，∴DE＝【点睛】此题考查了正方形的性质与判定、旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形．。
福建省 八年级下学期第二次月考数学试卷一、选择题（每题3分，共30分）1、下列计算错误的是（ ） A. B.C. D.2、Rt △的两边长分别为3和4，则第三边的长是（ ）A.5B.25C.D.5或 3、直线y=－5x+3经过的象限是（ ）A.一、二、三B.二、三、四C.一、二、四D.一、三、四4、函数y=mx+n 与y=nx 的大致图象是（ ）5、点A （－4，y 1），B （2，y 2）都在直线y=－x －1上，则y 1与y 2的大小关系为（ ）A. y 1＞y 2B. y 1＝y 2C. y 1＜y 2D. 无法确定6、正比例函数y=kx （k ≠0）经过不同象限的两点A （2，m ），B （n,3）则一定成立的有（） A.m ＞0,n ＞0 B.m ＞0,n ＜0 C.m ＜0,n ＜0 D.m ＜0,n ＞07、直线y=x －3向上平移m 个单位后与y=2x+4的交点在第二象限，则m 的取值范围为（）A.5＜m ＜7B.3＜m ＜4C.m ＞7D.m ＜48、如图t 1:y=x+3与t 2:y=ax+b 相交于点p （m,4），则关于x 的不等式x+3≤ax+b 的解为（ ）A.x ≥4B.x ＜mC.x ≥mD.x ≤19、对于y=k 2x(k ≠0）的图象下列说法不正确的是（ ） A.是一条直线 B.过点（ ，k ）C.经过一、三象限或二、四象限D.y 随x 增大而增大27714=⨯23060=÷a a a 8259=+3223=-77k 110、甲、乙从A 出发，骑车沿同一条路行驶至B ，他们离出发地的距离s （km ）和时间t(h)间的函数图象如图所示，据图中信息得下列说法①甲、乙都行驶了20km②乙全程共用1.5h③甲、乙相遇后，甲的速度小于乙的速度④甲途中休息了0.5h其中正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每题2分，共14分）11、一次函数y=－3x+1经过点（a ，1），（－2，b ），则a=_________,b=_________.12、直线y=2x+k 与y=6x －2的交点的横坐标为2，则k=____，交点为（_______）.13、一次函数y=mx+|m －1|图象，经过点（0，2），且y 随x 增大而增大，则 m=________.14、已知y 与2X+1成正比例，且x=5时，y=－2，则x=1时，y=_______.15、直线y=－2x+m －3的图象经过x 轴的正半轴，则m 的取值3范围为______.16、函数 中自变量的取值范围是_______.17、如图，将矩形ABCD 沿AE 向上折叠，B 恰好落在CD 边上F 处，如△AFD 的周长为9，△ECF 周长为3，则矩形ABCD 周长为_______.312-++=x x y班级___________姓名______________座号________………………………………………………………密…………………………………………封…………………………………………线…………………第二学期第二次月考 八年级数学答题卷命题：吴洪春 审核：刘泉明一、选择题（每题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题（每题2分，共14分）11、_________,_________. 12、________，（________） 13、________.14、_________. 15、_________. 16、________. 17、________.三、计算题（共56分）18、计算（共8分） （1） （2）19、在一次函数y=（2a －4）·x －(1－a)中，当a 为何值时： ①y 随x 的增大而增大（3分）②图象与y 轴交点在x 轴上方（3分）③图象经过第二象限（3分）20、直线y=x ＋3与x 轴，y 轴交于点A 、B ，求：①求：S △ABO （5分）②如y=kx 经过二、四象限，且与AB 交于点C ，当y=kx 恰好把S △ABO 分成2:1的两部分时，直接写出C 的坐标（4分）()()168224+--()()632·632-+21、（10分）已知雅美服装厂现有A 种布料70米，B 种布料52米，•现计划用 这两种布料生产M 、N 两种型号的时装共80套．已知做一套M 型号的时装需用A 种布料1.1米，B 种布料0.4米，可获利50元；做一套N 型号的时装需用A 种布料0.6米，B 种布料0.•9米，可获利45元．设生产M 型号的时装套数为x ，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y 元．①求y （元）与x （套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围(6分)；②当M 型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是 多？（4分）22、直线 ,y 轴交于点A ，点B ，y 轴上有另一点C （0，4），动点M 从A 以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
A D CB 初二数学第二学期第二次月考试卷 一、 选择题（每题3分，共计30分）1.在下列图形中，即是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 2．若分式32x -有意义，则x 的取值范围是 A ．x ≠2 B ．x=2 C ．x>2 D ．x<2 3．下列约分正确的是A ．326x x x = B ．0=++y x y x C ．x xy x y x 12=++ D ．214222=y x xy 4．计算：xy y y x x 222-+-，结果为A ．1B ．－1C ．y x +2D ．y x +5. 当x 取何值时，分式242+-x x 的值为0.A.x=-2B.x=2C.x=±2D.x=06．计算n m mn m n 2222⋅÷-的结果是A ．n -B ．22nm - C ．3n m -D ．4n m-7．某厂去年产值是m 万元，今年产值是n 万元（m ＜n ），则今年的产值比去年的产值增加的百分比是A ．%100⨯-n n m B ．%100⨯-m m n C ．%100)1(⨯+m n D ．%10010⨯-mmn 8．如果m 为整数，那么使分式13++m m 的值为整数的m 的值有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案9． 如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）10、几名同学租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x 人，则所列方程为【 】 A ．32180180=+-x x B ．31802180=-+x x C ．32180180=--x x D ．31802180=--xx 二、 填空题（每题3分，共计30分） 11.计算：a 2·a 4=_________.12.分解因式：ax+ay=______________.13．平行四边形ABCD 中，∠A=500，则∠B=____。
上海市张江集团学校八年级（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每空2分，共38分）1．（2分）一个多边形每个内角都为108°，这个多边形是五边形．【解答】解：∵多边形每个内角都为108°，∴多边形每个外角都为180°﹣108°=72°，∴边数=360°÷72°=5．故答案为：五．2．（2分）平行四边形ABCD的对角线交于点O，△ABC的面积为9，则平行四边形面积为18 ．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴S△ABC=S△CDA=9，=S△ABC+S△CDA=18．∴S▱ABCD故答案为：18．3．（2分）O是正方形ABCD内一点，若△OAD是正三角形，则∠DCO= 75°．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∵△OAD是正三角形，∴OD=AD，∠ADO=60°，∴OD=CD，∠CDO=90°﹣60°=30°，∴∠DOC=∠DCO（等边对等角），在△OCD中，∠DCO=（180°﹣30°）=75°．故答案为：75°．4．（2分）矩形ABCD的周长为56，对角线交于点O，△OAB比△OBC周长小4，则AB= 12 ．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，∵矩形ABCD的周长为56，∴2AB+2BC=56，∴AB+BC=28①，∵△OAB比△OBC周长小4，∴（OC+0B+BC）﹣（OA+OB+AB）=4，即BC﹣AB=4②，由①②组成方程组，解得：BC=16，AB=12，故答案为：12．5．（2分）若梯形中位线长为24，它被一条对角线分为长度比为1：5的两部分，则其两底长度分别为8，40 ．【解答】解：∵EF=24，EO：FO=1：5，∴EO=4，FO=20，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴EF∥AD∥BC，∵AE=BE，∴DO=BO，∵DF=CF，∴EO=AD，FO=BC，∴AD=2EO=8，BC=2FO=40．故答案为：8，40．6．（2分）在边长为12的正方形ABCD中，E、F分别是AB、AD中点，连接CE，取CE中点G，那么FG= 9 ．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为边长是12的正方形，E为AB的中点，∴AE∥DC，AE=6，DC=12，∴四边形ADCE为梯形，又∵F是AD中点，G为CE的中点，∴FG为梯形ADCE的中位线，∴FG=（AE+DC）=（6+12）=9．故答案为9．7．（2分）已知直角梯形的一条腰与一条对角线相等，且互相垂直，则其上底与下底之比为1：2 ．【解答】解：∵BD=CD，BD⊥DC，∴∠C=∠DBC=45°，由勾股定理得：BC=BD，∵∠ABC=90°=∠A，∴∠ABD=90°﹣45°=45°，∴∠ADB=90°﹣45°=45°=∠ABD，∴AD=AB，由勾股定理得：BD=AD，即====1：2，故答案为：1：2．8．（2分）如图，边长为3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转30°后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是．【解答】解：连接CH．∵四边形ABCD，四边形EFCG都是正方形，且正方形ABCD绕点C旋转后得到正方形EFCG，∴∠F=∠D=90°，∴△CFH与△CDH都是直角三角形，在Rt△CFH与Rt△CDH中，∵，∴△CFH≌△CDH（HL）．∴∠DCH=∠DCF=（90°﹣30°）=30°．在Rt△CDH中，CD=3，∴DH=tan∠DCH×CD=．故答案为：．9．（2分）梯形的两腰分别是4和6，上底为2，则下底x的取值范围是4＜x＜12 ．【解答】解：过D作DE∥AB交BC于E，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=2，AB=DE=6，CE=x﹣2，在△DEC中，由三角形的三边关系定理得：6﹣4＜x﹣2＜6+4，解得：4＜x＜12．故答案为：4＜x＜12．10．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC，∠BCD，E在AD上，BE=24，CE=7，则平行四边形的周长为75 ．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°，又∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴（∠ABC+∠DCB）=90°，即可得∠EBC+∠ECB=90°，△EBC是直角三角形，在RT△BCE中，BC==25，∵AD∥BC，∴∠DEC=∠ECB，（内错角相等）又∵∠ECD=∠ECB，（已知）∴∠DEC=∠ECD，∴DE=CD，同理AB=AE，AB+CD=AE+DE=AD=BC=25，∴平行四边形ABCD周长=BC+AD+AB+CD=25+25+25=75，故答案为：75．11．（2分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折至△AGE，那么△AGE与四边形AECD重叠部分的面积是2﹣2 ．【解答】解：在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，故AE=，由折叠易得△ABG为等腰直角三角形，∴S△ABG=BA•AG=2，S△ABE=1，∴CG=2BE﹣BC=2﹣2，∵AB∥CD，∴∠OCG=∠B=45°，又由折叠的性质知，∠G=∠B=45°，∴CO=OG=2﹣．∴S△COG=3﹣2，∴重叠部分的面积为2﹣1﹣（3﹣2）=2﹣2．12．（2分）有向线段，的夹角为直角，且，=8，则= 10 ．【解答】解：如图，+=，∵有向线段，的夹角为直角，∴∠OBC=90°，∵=6，=8，∴==10，∴==10．故答案为：10．13．化简：= ．【解答】解：=++=+=．故答案为：．14．（2分）化简：= ．【解答】解：=﹣+=+=．故答案为：．15．（4分）现有两组牌，如果每组三张，它们的牌面数字分别都是1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张，两张牌牌面数字之和为 4 的概率最大，这个概率是．【解答】解：画树状图如下：共有9种情况，两张牌的牌面数字和等于4的牌有3种最多，概率就最大，∴P（两张牌的牌面数字和等于4）==．故答案为：4，．16．（4分）在“Alfred Hitchcock”中，任取一个字母，取到字母“c”的概率是，取到“f”的概率是．【解答】解：∵在“Alfred Hitchcock”中有15个字母，而字母“c”有3个，∴在“Alfred Hitchcock”中，任取一个字母，取到字母“c”的概率是=；又字母“f”有1个，∴在“Alfred Hitchcock”中，任取一个字母，取到“f”的概率是．故答案为：；．17．（2分）在1～2012中，任取两个自然数a与b，那么|a+b|﹣|a﹣b|是奇数的概率是0 ．【解答】解：∵在1～2012中，任取两个自然数a与b，∴若a＞b，则|a+b|﹣|a﹣b|=a+b﹣a+b=2b，若a＜b，则|a+b|﹣|a﹣b|=a+b+a﹣b=2a，∴|a+b|﹣|a﹣b|是偶数，∴|a+b|﹣|a﹣b|是奇数的概率是：0．故答案为：0．二、选择题：（每题3分，共12分）18．（3分）点D、E、F分别是△ABC三边中点，且S△DEF=3，则△ABC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．15【解答】解：如图，∵点D、E、F分别是△ABC三边中点，∴DE=BC，EF=AB，DF=AC，∴===，∴△DEF∽△ABC，∵S△DEF=3，∴==（）2，解得S△ABC=12．故选A．19．（3分）矩形ABCD中，R，P分别是边DC，BC上的点，点E、F分别是AP、RP 的中点，当P在BC上由B向C移动而R不动时，EF的长（）A．逐渐增大 B．不改变C．逐渐减小 D．不能确定【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：∵R在CD上不动，∴AR值不变，∵点E、F分别是AP、RP的中点，∴EF=AR，∴不管P怎样移动，EF的值永远等于AR，即不改变．故选B．20．（3分）已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，∵△ABC周长为1，∴第2012个三角形的周长为1：22011．故选C．21．（3分）设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任取一只，是二等品的概率等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵现有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，从中任意取1只，可能出现12种结果，是二等品的有3种可能，∴二等品的概率==．故选：C．三、解答题：22．如图，，是以点O为起点的两个非零向量，且，在图中作，，并求的模长．【解答】解：如图1：过点A作=，连接OC，则=，即为所求；如图2，作=，过点A作=，连接DC，则=，即为所求；连接AB，则=﹣，∵，∴OA=OB=AB=，∴∠AOB=60°，∵=，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠C=∠COB，∵OA=OB，∴OA=OC，∴∠C=∠AOC，∴∠AOC=∠COB=∠AOB=30°，∴OD⊥AB，∴OD=OA•cos∠AOD=×=，CD=AC•cos∠C=×=，∴OC=3，∴的模长为3．23．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE（1）求证：四边形OGCH是平行四边形．（2）当点C在上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度．【解答】解：（1）连接OC交DE于M，∵CE⊥OB，CD⊥OA，∠BOA=90°，∴∠CEO=∠BOA=∠CDO=90°，∴四边形CEOD是矩形，∴OM=CM，EM=DM，∵EH=DG，∴EM﹣EH=DM﹣DG，即HM=GM，∴四边形OGCH是平行四边形．（2）DG不变．在矩形ODCE中，∵DE=OC=3，∵DG=GH=EH，∴DG=DE=OC=1，答：DG的长不变，DG=1．24．如图，P为矩形ABCD内一点，四边形BCPQ为平行四边形，E、F、G、H分别是AP、PB、BQ、QA的中点，求证：EG=FH．【解答】证明：连接EH，EF，FG，GH．∵F，G分别是BP，BQ的中点，∴FG∥PQ且FG=PQ，同理，EH∥PQ，FH=PQ，AB∥HG．∴FG∥EH，且FG=EH，∴四边形EFGH是平行四边形．∵PQ∥BC∥FG，∴∠AMF=∠ABC=90°，∵GH∥AB，∴∠HGF=∠AMF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形，∴EG=FH．25．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F，（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），试猜想AE，CF，EF之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：AE + CF = EF （不需证明）（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上问的结论分别是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，那么这三条线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）解：如图1，AE+CF=EF，理由：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS）；∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE=∠CBF=30°，∴AE=BE，CF=BF；∵∠MBN=60°，BE=BF，∴△BEF为等边三角形；∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；故答案为：AE，CF，EF；（2）如图2，（1）中结论成立证明：延长FC到H，使CH=AE，连接BH，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCH=90°，∵在△BCH和△BAE中，∴△BCH≌△BAE（SAS），∴BH=BE，∠CBH=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=120°﹣60°=60°，∴∠HBC+∠CBF=60°，∴∠HBF=60°=∠MBN，在△HBF和△EBF中∵，∴△HBF≌△EBF（SAS），∴HF=EF，∵HF=HC+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．图3中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF，证明：在AE上截取AQ=CF，连接BQ，∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠A=∠BCF=90°，在△BCF和△BAQ中，∴△BCF≌△BAQ（SAS），∴BF=BQ，∠CBF=∠ABQ，∵∠MBN=60°=∠CBF+∠CBE，∴∠CBE+∠ABQ=60°，∵∠ABC=120°，∴∠QBE=120°﹣60°=60°=∠MBN，在△FBE和△QBE中，∴△FBE≌△QBE（SAS），∴EF=QE，∵AE=QE+AQ=EF+CF，∴AE=EF+CF，即（1）中的结论不成立，线段AE、CF，EF的数量关系是AE=EF+CF．26．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为垂直，数量关系为相等．②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由．【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD …（2分）故答案为：垂直、相等．②成立，理由如下：…（3分）∵∠FAD=∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD与△CAF中，∵∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，∴∠BCF=90°∴CF⊥BD …（7分）（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分）则∵∠ACB=45°∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC，AD=AF，∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC，∴∠GAD=∠FAC，∴△GAD≌△CAF（SAS）…（10分）∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°∴CF⊥BC …（12分）。
2021-2022学年八年级数学下册第二次月考测试题（附答案）一、选择题（共30分）1．把a2﹣a分解因式，正确的是（）A．a（a﹣1）B．a（a+1）C．a（a2﹣1）D．a（1﹣a）2．如图，数轴上所表示的不等式的解集是（）A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≤23．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD＝AC，∠B＝25°，则∠ACB的度数为（）A．105°B．100°C．95°D．90°5．要使分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＝1B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣16．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（）A．12B．15C．18D．217．若（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，则a必须满足（）A．a＜0B．a＞﹣3C．a＜﹣3D．a＞38．如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C＝30°，AC∥EF，则∠1＝（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+b＞kx+3的解集是（）A．x＞0B．x＞1C．x＜1D．x＜010．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A．B．3C．4D．5二、填空题（共24分）11．分解因式：ab2﹣9a＝．12．若一个多边形的每一个内角都是150°，则它是边形．13．如图所示，△DEF是由△ABC通过平移得到的，且点B，E，C，F在同一条直线上，若BF＝14，EC＝8，则从△ABC到△DEF的平移距离为．14．若分式有意义，则x的取值范围为．15．平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，写出一个能使四边形AECF 一定为平行四边形的条件．（用题目中的已知字母表示）16．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是（填序号）．三、计算题（共18分）17．解方程：．18．解不等式组并把解集在数轴上表示出来．19．先化简：，再选一个你喜欢的a的值代入求值．四、解答题（共48分）20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于原点对称的△A1B1C1；（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2B2C2，并写出A2的坐标．21．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．（1）求BD的长；（2）求证：BF＝EF．22．如图：在Rt△ABC中，∠A＝90°，过B作BH∥AC．（1）按尺规作图要求作BC的垂直平分线，交AC于E，交BH于D，（保留作图痕迹，不写作法），连接BE、CD．（2）求证：四边形BECD是平行四边形．23．为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液．已知每瓶B型消毒液比A型贵2元，用56元购A型消毒液与72元购B型消毒液的瓶数相同．（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用．24．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．（1）求证：∠OBE＝∠ADO；（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，①求证：△EFG是等腰三角形；②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（5，1），B（1，1），C（0，5）．直线m平行于x轴且经过C，D，E三点．直线l的关系式为y＝﹣2x+b．（1）若△ABD是以AB为底的等腰三角形，且直线l过点D，求b的值；（2）若b＝9，直线l与▱ABDE的边DE相交时，求点E的横坐标n的取值范围；（3）若点F为▱ABDE的对角线BE与DA的交点，当直线l经过点F时，求点D的横坐标q与b之间的函数关系式．参考答案与试题解析一、选择题（共30分）1．解：a2﹣a＝a（a﹣1）．故选：A．2．解：∵2处是实心圆点且折线向右，∴不等式的解集是x≥2．故选：A．3．解：A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．解：由题意可得：MN垂直平分BC，则DC＝BD，故∠DCB＝∠DBC＝25°，则∠CDA＝25°+25°＝50°，∵CD＝AC，∴∠A＝∠CDA＝50°，∴∠ACB＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故选：A．5．解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0．解得；x≠1．故选：B．6．解：由折叠可得，∠ACD＝∠ACE＝90°，∴∠BAC＝90°，又∵∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝6，由折叠可得，∠E＝∠D＝∠B＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为6×3＝18，故选：C．7．解：∵（a+3）x＞a+3的解集为x＜1，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3．故选：C．8．解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．9．解：当x＞1时，x+b＞kx+3，即不等式x+b＞kx+3的解集为x＞1．故选：B．10．解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵S△ABC＝•BC•AD＝10，∴AD＝＝5，∴BM+MD长度的最小值为5．二、填空题（共24分）11．解：原式＝a（b2﹣9）＝a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．12．解：360÷30＝12，则它是12边形．13．解：∵△DEF是由△ABC通过平移得到，∴BE＝CF，∴BE＝BF﹣EC，∵BF＝14，EC＝8，∴BE＝14﹣8＝3．故答案为：3．14．解：∵分式有意义，∴x2﹣4≠0，∴x≠±2．故答案为：x≠±2．15．解：连接AC交BD于点O，如图：在平行四边形ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO，∴△AOE≌COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AECF为平行四边形；故答案为：AE∥CF．16．解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°，∵∠AOB＝120°，∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°，∵∠MPN+∠AOB＝180°，∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°，∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN，∴∠MPE＝∠NPF，∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∵∠MEP＝∠NFP＝90°，∴△MEP≌△NFP（ASA），∴PM＝PN，ME＝NF，故①正确；∵OP＝OP，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴OE＝OF，∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，∵OP平分∠AOB，∴∠EOP＝∠AOB＝60°，∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°，∴PO＝2OE，∴OM+ON＝OP，故②正确；∵△MEP≌△NFP，∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积，∴四边形PMON的面积保持不变，故③正确；∵PM＝PN，∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，∵MN的长度是变化的，∴△PMN的周长是变化的，故④错误；所以，说法正确的是：①②③，故答案为：①②③．三、计算题（共18分）17．解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1）得（x+1）2﹣6＝（x+1）（x﹣1）（2分）整理，得2x＝4x＝2（4分）检验，把x＝2代入（x+1）（x﹣1）＝3≠0．所以，原方程的根是x＝2．（5分）18．解：解不等式x+4≤3（x+2），得：x≥﹣1，解不等式3x﹣3＜2x，得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3，将不等式的解集表示在数轴上如下：19．解：原式＝[﹣]•＝•＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝﹣1．四、解答题（共48分）20．解：（1）如图，△A1B1C1；即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标（﹣2，2）．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BCD＝60°，AB＝BC＝AC＝6，又∵AB＝6，点D为AC的中点，∴CD＝3，BC⊥CD，∴BD＝＝＝3；（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴∠CBD＝，又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，又∵∠BCD＝60°，∴∠E＝，∴∠CBD＝∠E，∴BD＝DE，又∵DF⊥BC，垂足为F．∴BF＝EF．22．（1）解：如图，直线DE为所求；（2）证明：DE交BC于F，如图，∵DE垂直平分BC，∴BF＝CF，EB＝EC，又∵BH∥AC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．23．解：（1）设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元，得，解得．答：A型消毒液的单价是7元；B型消毒液的单价是9元．（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90﹣a）瓶，费用为w元，依题意可得：w＝7a+9（90﹣a）＝﹣2a+810，∵k＝﹣2＜0，∴w随a的增大而减小．∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，∴90﹣a≥a．解得a≤67 ，∴当a＝67时，w取得最小值，此时w＝﹣2×67+810＝676，90﹣a＝23．答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶；最低费用为676元．24．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，∴BC＝BO，∵E是CO中点，∴∠OBE＝∠OBC，∴∠OBE＝∠ADO；（2）①证明：∵BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝CD∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；②解：由①得EF∥AB，∵EF⊥EG，∴EG⊥AB，∵G是AB的中点，∴AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，∴BE＝AE＝3x，在Rt△BEC中，BC＝10，∴EC2+BE2＝BC2，即x2+（3x）2＝102，解得x＝，∴AC＝，BE＝，∴S▱ABCD＝2S△ABC＝．25．解：（1）∵A（5，1），B（1，1），DA＝DB，∴D（3，5），将x＝3，y＝5代入y＝﹣2x+b，∴b＝11；（2）∵四边形ABDE为平行四边形，∴DE＝AB＝4，∵E（n，5），∴D（n﹣4，5），当5＝﹣2x+9时，x＝2，∵直线y＝﹣2x+9与边DE有交点，∴2≤n≤6；（3）∵四边形ABDE为平行四边形，∴DF＝F A，∵D（q，5），A（5，1），∴，即，将，y＝3代入y＝﹣2x+b，∴q＝b﹣8．。
2022-2023学年江苏省南通市如东县八年级（下）第二次月考数学试卷1. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )A. 2，3，4B. 6，8，10C. 5，11，12D. 7，9，112. 已知在▱ABCD中，∠B+∠D=200∘，则∠B的度数为( )A. 100∘B. 160∘C. 80∘D. 60∘3. 一次函数y=2x+1的图象经过的象限是( )A. 一、二、三B. 一、二、四C. 一、三、四D. 二、三、四4. 学校甲、乙两支国旗护卫队队员的平均身高均为1.7米，要想知道哪支国旗护卫队队员的身高更为整齐，通常需要比较他们身高的( )A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5. 一次函数y=−4x+2的图象经过点(a,2)，则a的值为( )3A. −1B. 0C. 1D. 26. 关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为( )A. 7B. 8C. 9D. 107. 如图，已知一次函数y=mx+n的图象经过点P(−2,3)，则关于x的不等式mx+n<3的解集为( )A. x>−3B. x<−3C. x>−2D. x<−28. 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根，且满足4a−2b+c=0，则( )A. b=aB. c=2aC. a(x+2)2=0D. −a(x−2)2=09. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，E，F是对角线AC上两点，AE=CF，过点E，F分别作AC的垂线，与边BC分别交于点G，H.若BG=1，CH=4，则EG+FH=( )A. 6B. 5C. 4D. 310. 已知y关于x的一次函数y=k(x−a)+a2−a+1，当a≤x≤a+2时，−2≤y≤3，则k的值等于( )A. −32B. 32C. −52D. ±5211. 在平面直角坐标系中，点(2,3)关于原点对称的点的坐标为______.12. 已知正比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值可以是______(写出一个即可).13. 一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则x=______ .14. 小明的期中数学成绩为80分，期末数学成绩为90分，将期中和期末按照4：6的比例计算，得到总评成绩，则小明的数学总评成绩为______分．15. 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，AB=3，AD=4，则EF的长等于______.16. 南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积为八百六十四平方步，宽和长共六十步，问宽和长各几步？若设宽为x步，则根据题意可列方程为______.17. 若m，n是方程x2−2x−1=0的两个实数根，则2m2+4n2−4n+2022的值为______ .18. 如图，过菱形ABCD的顶点D作DE⊥AB，垂足为E，F为BC延长线上一点，连接EF，分别与菱形的边AD，CD相交于点G，H，DG=CF，O为BD的中点，连接OE，OH.若DH= 1,DE=√ 3，则△OEH的周长等于______.19. 解方程：(1)x2−4x−1=0；(2)x(3x+1)=2(3x+1).20. 为增强学生的防疫意识，学校拟选拔一支代表队参加市级防疫知识竞赛，甲、乙两支预选队(每队各10人)参加了学校举行的选拔赛，选拔赛满分为100分．现对甲、乙两支预选队的竞赛成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a.甲队10名学生的竞赛成绩是：92，84，92，92，96，84，92，100，82，96b.甲、乙两队学生竞赛成绩统计表：组别甲队乙队平均分9187中位数m85众数n93方差31.430(1)在甲、乙两队学生竞赛成绩统计表中，m=______，n=______；(2)学校准备从甲，乙两支预选队中选取成绩前10名(包括第10名)的学生组成代表队参加市级比赛，小聪的成绩正好是甲乙两队中某一队成绩的中位数，但他却落选了，请判断小聪所属的队伍，并说明理由．21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过原点，且与直线l2：y=−x+3交于点A(m,2)，直线l2与y轴交于点B.(1)求直线l1的函数解析式；(2)点P(0,n)在y轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别与直线l1，l2交于点M，N.若MN=2OB，求n的值.22. 为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年平均增长率；(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照(1)中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗？请通过计算说明．23. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AO=CO，BO=DO，BD平分∠ABC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)E为OB上一点，连接CE，若OE=1,CE=√ 5,BC=2√ 5，求菱形ABCD的面积．24. 学校体育器材室拟购进甲、乙两种实心球．某公司给出这两种实心球的销售方法为：甲种实心球的销售y(单位：元)与销售量x(单位：个)的函数关系如图所示；乙种实心球20元/个．(1)求y与x之间的函数关系；(2)若学校体育器材室拟购买这两种实心球共100个，且每种均不少于45个，请设计最省钱的方案，并说明理由．25. 如图，在正方形ABCD中，AB=4，E为BD上的动点，连接AE并延长交正方形ABCD 的边于点F，将AF绕点A逆时针旋转90∘得到AG，点E的对应点为点H.(1)连接DH ，求证：△ABE ≌△ADH ； (2)当AG =5时，求BF 的长；(3)连接BH ，请直接写出BH +AH 的最小值．26. 定义：形如y ={kx +b(x ≥0)kx −b(x <0)的函数称为正比例函数y =kx(k ≠0)的“分移函数”，其中b 叫“分移值”.例如，函数y =2x 的“分移函数”为y ={2x +1(x ≥0)2x −1(x <0)其中“分移值”为1.(1)已知点(1,2k)在y =kx(k ≠0)的“分移函数”y ={kx +b(x ≥0)kx −b(x <0)的图象上，则k =______ ；(2)已知点P(2,1−m)，P 2(−3,2m +1)在函数y =2x 的“分移函数”的图象上，求m 的值； (3)已知矩形ABCD 顶点坐标为A(1,0)，B(1,2)，C(−2,2)，D(−2,0).函数y =kx 的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形ABCD 有两个交点，直接写出k 的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：A.∵22+32≠42，∴不能组成直角三角形，不符合题意；B.∵62+82=102，∴能组成直角三角形，符合题意；C.∵52+112≠122，∴不能组成直角三角形，不符合题意；D.∵72+92≠112，∴不能组成直角三角形，不符合题意．故选：B.根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，从而可以解答本题．本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．2.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠B+∠D=200∘，∴∠B=∠D=100∘，故选：A.根据平行四边形的对角相等，即可得出∠B的度数．本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等．3.【答案】A【解析】解：在一次函数y=2x+1中，k=2>0，b=1>0，∴一次函数图象经过第一、二、三象限，故选：A.根据一次函数的系数即可确定图象．本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：要想知道哪支仪仗队队员的身高更为整齐，通常需要比较他们身高的方差，故选：D.根据方差的意义求解即可．本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5.【答案】Bx+2的图象经过点(a,2)，【解析】解：∵一次函数y=−43a+2，∴2=−43解得a=0.故选：B.把点(a,2)代入一次函数解析式，求出a的值即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−6x+m=0有两个相等的实数根，∴Δ=36−4m=0，解得：m=9.故选：C.根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出m的值即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．7.【答案】C【解析】解：一次函数y=mx+n的图象经过点P(−2,3)，当mx+n<3时，x>−2，所以，关于x的不等式mx+n<3的解集为x>−2，故选：C.一次函数y=mx+n的图象经过点P(−2,3)，根据函数的图象即可写出不等式的解集．本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足4a−2b+c=0，∴x=−2是方程ax2+bx+c=0的解，又∵有两个相等的实数根，∴a(x+2)2=0(a≠0).故选：C.由一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足4a−2b+c=0可得出x=−2是方程ax2+bx+ c=0的解，进而可得出a(x+2)2=0(a≠0)，此题得解．本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程满足的条件，找出方程的解是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：延长GE，交AD于点P，过点G作GQ⊥AD于点Q，∴∠GQA=90∘，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90∘，AD//BC，∴四边形ABGQ是矩形，∴AQ=BG=1，GQ=AB=4，∵AD//BC，∴∠CAD=∠ACB，∵GE⊥AC，HF⊥AC，∴∠GEC=∠HFC=90∘，∴∠AEP=∠HFC，∵AE=CF，∴△AEP≌△CFH(ASA)，∴PE=HF，AP=CH=4，∴PQ=AP−AQ=4−1=3，∵GP2=GQ2+PQ2，∴GP=√ GQ2+PQ2=5，∴GE+HF=5，故选：B.延长GE，交AD于点P，过点G作GQ⊥AD于点Q，得AQ=BG=1，GQ=AB=5，再根据全等三角形的判定与性质得AP=CF=4，求出PQ的长，最后由勾股定理可得结论．此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．10.【答案】D【解析】解：当k >0时，y 随x 的增大而增大， ∴当x =a 时，y =−2，当x =a +2时，y =3，代入一次函数解析式y =k(x −a)+a 2−a +1得：{a 2−a +1=−22k +a 2−a +1=3，∴2k −2=3， 解得k =52；当k <0时，y 随x 的增大而减小，∴当x =a 时，y =3，当x =a +2时，y =−2，代入一次函数解析式y =kx +b 得：{a 2−a +1=32k +a 2−a +1=−2，∴2k +3=−2解得k =−52. 故选：D.由一次函数的性质，分k >0和k <0时两种情况讨论求解．此题考查一次函数的性质，要注意根据一次函数图象的性质要分情况讨论．11.【答案】(−2,−3)【解析】解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， 故点(2,3)关于原点对称的点的坐标是(−2,−3)， 故答案为：(−2,−3).根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案． 本题考查了关于原点对称的点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．12.【答案】−1(答案不唯一)【解析】解：∵正比例函数y =kx(k 为常数，且k ≠0)的图象经过第二、四象限， ∴k <0， ∴k 可以等于−1.故答案为：−1(答案不唯一).先根据正比例函数y =kx(k 为常数，且k ≠0)的图象经过第二、四象限得出k 的取值范围，进而可得出结论．本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解答此题的关键．13.【答案】4(2+0+1+x+3)=2，【解析】解：根据题意得：15解得：x=4.故答案为：4.根据平均数等于数据的总和除以数据的个数，即可求解．本题主要考查了求平均数，熟练掌握平均数等于数据的总和除以数据的个数是解题的关键．14.【答案】86=86(分)，【解析】解：根据题意，小明的数学总评成绩为80×4+90×64+6故答案为：86.根据加权平均数的计算公式计算可得．本题考查了加权平均数，掌握平均数的计算公式是本题的关键．15.【答案】2【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=3，同理可得CD=DF=3，∴EF=AE+DF−AD=2，故答案为：2.由平行四边形的性质可得AD//BC，由平行线的性质和角平分线的定义可得AB=AE=3，CD= DF=3，即可求解．本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．16.【答案】x(60−x)=864【解析】解：设宽为x步，依题意，得：x(60−x)=864，故答案为：x(60−x)=864.根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17.【答案】2036【解析】解：∵m，n是方程x2−2x−1=0的两个实数根，∴m2−2m−1=0，n2−2n−1=0，m+n=2，∴m2=2m+1，n2=2n+1，∴2m2+4n2−4n+2022=2(2m+1)+4(2n+1)−4n+2022=4m+2+8n+4−4n+2022=4(m+n)+2028=4×2+2028=2036，故答案为：2036.由m，n是方程x2−2x−1=0的两个实数根可得：m2=2m+1，n2=2n+1，m+n=2，代入所求式子即可得到答案．本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的概念，解题的关键是整体思想的应用．18.【答案】3+√ 3【解析】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，O为BD的中点，∴OB=OD，AB//CD，AD//BC，AC⊥BD，AB=AD=CD，∴∠DGH=∠F，∠GDH=∠HCF，在△DGH和△CFH中，{∠DGH=∠FDG=CF∠GDH=∠HCF，∴△DGH≌△CFH(ASA)，∴DH=CH=1，∴CD=2DH=2，∴AB=AD=CD=2，∵AC⊥BD，∴∠COD=90∘，∴OH=12CD=DH=1，∴∠DOH=∠ODH，∵DE⊥AB，∴∠BED=90∘，∵AB//CD，∴∠CDE+∠BED=180∘，∴∠CDE=90∘，在Rt△DEH中，由勾股定理得：EH=√ DH2+DE2=√ 12+(√ 3)2=2，在Rt△DEA中，由勾股定理得：AE=√ AD2−DE2=√ 22−(√ 3)2=1，∴BE=AB+AE=2+1=3，在Rt△BED中，由勾股定理得：BD=√ BE2+DE2=√ 32+(√ 3)2=2√ 3，∵OB=OD，∴OE=12BD=12×2√ 3=√ 3，∴△OEH的周长=OH+EH+OE=1+2+√ 3=3+√ 3.本题考查菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)x2−4x−1=0，x2−4x=1，x2−4x+4=1+4，(x−2)2=5，x−2=±√ 5，x−2=√ 5，或x−2=−√ 5，x1=2+√ 5，x2=2−√ 5；(2)x(3x+1)=2(3x+1)，x(3x+1)−2(3x+1)=0，(3x+1)(x−2)=0，3x+1=0或x−2=0，x1=−13，x2=2.【解析】(1)利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；(2)利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答．本题考查了解一元二次方程-配方法，解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．20.【答案】(1)92；92；(2)小聪应该属于乙队．理由：∵甲队的中位数为92分高于乙队的中位数85分，∵小聪的成绩正好是本队成绩的中位数，却不是甲、乙两队成绩的前10名，∴小聪应该属于乙队．【解析】解：(1)将甲队10名学生的竞赛成绩重新排列为：82，84，84，92，92，92，92，96，96，100，=92，n=92，所以这组数据的中位数m=92+922故答案为：92、92；(2)见答案．(1)根据中位数和众数的定义求解即可；(2)根据中位数的意义求解即可．此题考查了中位数，众数以及方差，解题的关键是根据图表得出解题所需数据及中位数的定义和意义．21.【答案】解：(1)把点A的坐标(m,2)代入函数y=−x+3得：2=−m+3，解得：m=1，所以点A的坐标是(1,2)，设直线l1的表达式为：y=kx(k≠0)，把点A的坐标代入得：2=k，解得：k=2.所以直线l1的表达式为：y=2x；(2)y=−x+3中，当y=0，−x+3=0，解得：x=3，所以点B的坐标是(3,0)，即OB=3，∵MN//x轴，∴设M(n2,n)，则N(3−n,n)，∵MN=2OB，∴3−n−n2=±6，解得：n=6或n=−2.【解析】(1)设直线l1的表达式为：y=kx(k≠0)，再把A点的坐标代入y=−x+3，求出m，再把A点的坐标(1,2)代入y=kx即可；(2)求出OB=3，设M(n2,n)，N(3−n,n)，求出MN=|3−n−n2|，再根据MN=2OB求出答案即可．本题考查了一次函数的性质，两直线相交与平行问题，用待定系数法求一次函数的图象等知识点，能求出点A、B的坐标是解此题的关键．22.【答案】解：(1)设这两年藏书的年平均增长率为x，依题意得：5(1+x)2=7.2，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去).答：这两年藏书的年平均增长率为20%.(2)7.2×(1+20%)=8.64(万册)，∵8.64>8.6，∴按照(1)中藏书的年平均增长率，上述目标能实现．【解析】(1)设这两年藏书的年平均增长率为x，利用该校图书馆2021年底的藏书量=该校图书馆2019年底的藏书量×(1+这两年藏书的年平均增长率)2，即可得出关于x的方程，解之取其正值即可得出结论；(2)利用该校图书馆2022年底的藏书量=该校图书馆2021年底的藏书量×(1+藏书的年平均增长率)，即可求出该校图书馆2022年底的藏书量，将其与8.6万册比较后即可得出结论．23.【答案】(1)证明：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC ，∴∠ADB =∠CBD ，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠CBD ，∴∠ADB =∠ABD ，∴AB =AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形；(2)解：由(1)可知，四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠BOC =90∘，∴CO =√ CE 2−OE 2=√ (√ 5)2−12=2，∴AC =2CO =4，在Rt △BOC 中，由勾股定理得：BO =√ BC 2−CO 2=√ (2√ 5)2−22=4，∴BD =2BO =8，∴菱形ABCD 的面积=12AC ⋅BD =12×4×8=16. 【解析】(1)先证四边形ABCD 是平行四边形，得AD//BC ，再证∠ADB =∠ABD ，得AB =AD ，即可得出结论；(2)由菱形的性质和勾股定理得CO =2，则AC =2CO =4，再由勾股定理得BO =4，则BD =2BO =8，然后由菱形面积公式计算即可．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)当0≤x ≤40时，设y =kx ，把(40,1200)代入得，k =30，所以y =30x ；当x >40时，设y =ax +b ，把(40,1200)和(50,1460)代入得，{40a +b =120050a +b =1460， 解得{a =26b =160， 即y =26x +160，所以y 与x 的关系式为y ={30x(0≤x ≤40)26x +160(x >40)；(2)设总费用为w元，购进甲实心球x个，则{x≥45100−x≥45∴45≤x≤55由题意得，w=26x+160+20(100−x)=6x+2160，∵k>0，w随x的增大而增大，∴当x=45时，w最少=6×45+2160=2430，此时乙种实心球是55个，答：购买甲种实心球45个，乙种实心球55个，才能使总费用最少，最少是2430元．【解析】(1)分别利用待定系数法求出关系式即可；(2)设总费用为w元，根据题意求出w关于x的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键．25.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠BAD=∠ABC=90∘，根据旋转的性质可知，∠EAH=90∘，AH=AE，∴∠HAD+∠DAE=∠BAE+∠DAE=90∘，∴∠HAD=∠BAE，在△ABE和△ADH中{AB=AD∠BAE=∠HADAE=AH，∴△ABE≌△ADH(SAS)；(2)根据旋转的性质可知，AF=AG=5，在Rt△ABF中，AB=4，∠ABC=90∘，根据勾股定理可得：BF=√ AF2−AB2=√ 52−42=3；(3)BH+AH最小值为4√ 5.【解析】(1)见答案；(2)见答案；(3)解：如图，过点D作DP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90∘，BD平分∠ABC和∠ADC，∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=45∘，根据解析(1)可知，△ABE≌△ADH，∴∠BDH=∠ADB+∠ADH=∠ADB+∠ABD=45∘+45∘=90∘，∴HD⊥BD，∵DP⊥BD，∴点H在PD上，延长BD到点M，使DM=BD，连接HM，∵HD⊥BM，DM=BD，∴MH=BH，∴此时BH+AH=AH+MH，当A，H，M在同一条直线上时，AH+MH最小，就是AM的长，即BH+AH的最小值为AM的长，过点M作MN⊥AD交AD的延长线于点N，在△ABD和△NMD中，{∠BAD=∠MND ∠ADB=∠NDM BD=DM，∴△ABD≌△NMD(AAS)，∴MN=AB=4，ND=AD=4，∴AN=8，∴AM=√ AN2+MN2=√ 82+42=4√ 5，所以BH+AH最小值为4√ 5.此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线推出BH+AH的最小值是解题的关键．26.【答案】b【解析】解：(1)将点(1,2k)代入y =kx +b ，得k +b =2k ，解得k =b ，故答案为：b ；(2)根据题意，将点P 1(2,1−m)代入y =2x +b ，得4+b =1−m ①，将点P 2(−3,2m +1)代入y =2x −b ，得−6−b =2m +1②，①+②得−2=m +2，∴m =−4；(3)∵函数y =kx 的“分移函数”的“分移值”为3，∴y ={kx +3(x ≥0)kx −3(x <0)， 当k >0时，函数图象与矩形ABCD 没有交点，当k <0时，当函数图象经过点B 时，如图所示：此时函数图象与矩形ABCD 有一个交点，将点B(1,2)代入y =kx +3，得k +3=2，解得k =−1，当函数图象经过点D 时，此时函数图象与矩形ABCD 有三个交点，将点D(−2,0)代入y =kx −3，得−2k −3=0，解得k =−32，∴当函数图象与矩形ABCD有两个交点时，k的取值范围是−3<k<−1.2(1)待定系数法求解析式即可；(2)将点P1(2,1−m)，P2(−3,2m+1)代入函数y=2x的“分移函数”的解析式，可得关于m和b 的二元一次方程组，求解即可；(3)根据函数y=kx的“分移函数”图象与矩形ABCD的性质，通过计算函数图象分别过点B和过点D时k的值，即可确定图象与矩形ABCD有两个交点时k的取值范围．本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图象和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键．。
125aABCDEG八年级数学下学期第二次月考试卷（时间：120分钟 ，满分：150分）一、选择题（每题4分，共32分）1．下列各式中，31-x 、12+a b 、πy x +2、21--m 、a +21、22)()(y x y x +-、x 12-、115-分式个数有（ ）.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：73．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13;(3)8、15、17; (4)4、5、6,其中能构成直角三角形的有( )A.四组B.三组C.二组D.一组 4．下列说法中，正确的是（ ）．A ．等腰梯形的对角线互相垂直B ．菱形的对角线相等C ．矩形的对角线互相垂直;D ．正方形的对角线互相垂直且相等5． 顺次连结矩形各边中点所得的四边形是（ ）.A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 以上都不对 6．已知矩形的两条对角线的夹角为60︒，两条对角线的和为4，则矩形的周长为（ ）2+4+4+ 7．如图，□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 是BC 的中点． 若OE=3 cm ，则AB 的长为 ( )A ：3 cmB ：6 cmC ：9 cmD ：12 cm 8、．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分．．．．a 的 长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A 、1213a ≤≤B ，1215a ≤≤C 、512a ≤≤D 、513a ≤≤ 二、填空题（每小题4分，共32分） 9．化简：x yx y y x+=++ 10.一角硬币的直径约为0.022m ，用科学记数法表示为 ___m11．当x= 时，分式x211-无意义． 12．如图，平行四边形ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是_______ （只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）13．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =120°，两底分别是15c m 和49c m ， 则等腰梯形的腰长为______c m ．14．若反比例函数m y x=-的图象经过点(32)--，，则m = ．15.如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处， 若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC 的长为 ．16．如图所示，正方形ABCD 的面积为16，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为 三、解答题(共86分) 17、(8分)先化简，再求值：23331111x x x x x -÷-+--，其中x=2。
河北省唐山市第二十六中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题一、单选题1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．33y x =-+B ．0.5y x =-C ．(3)y x π=-D ．33y x =- 2．下列各曲线表示的y 与x 的关系中，y 不是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．若一次函数2y x b =+的图象经过点()2,3，则b 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．5D ．74．直线4y kx =-经过点(−2，2)，则该直线的解析式是( )A ．34y x =--B ．4y x =--C ．4y x =-D ．34y x =- 5．一辆汽车以50 km/h 的速度行驶，行驶的路程s km 与行驶的时间t h 之间的关系式为s ＝50 t ，其中变量是（ ）A ．速度与路程B ．速度与时间C ．路程与时间D ．三者均为变量 6．函数23y x=-中自变量x 的取值范围是（ ） A ． 3x > B ． 3x < C ． 3x ≠ D ． 3x ≠-7．点()12,A y 和()21,B y 都在直线2y x =-上，则1y 与2y 的关系是（ ）A ．12y y ≥B ．12y y ≤C ．12y y <D ．12y y > 8．将直线21y x =+向下平移n 个单位长度得到新直线21y x =-，则n 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．29．如图，已知直线3y x b =+与2y ax =-的交点的横坐标为，根据图象有下列3个结论：①0a >；②0b <；③2x >-是不等式 32x b ax +>-的解集其中正确的个数是（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．310．已知一次函数0.52y x =-+，当14x ≤<时，y 的最大值是（ ）A ．1.5B ．2C ．2.5D ．6-11．点P(x ，y)在第一象限内，且x ＋y ＝6，点A 的坐标为(4，0)，设△OPA 的面积为S ，则下列图象中，能正确反映面积S 与x 之间的函数关系式的图象是( )A ．B ．C ．D ．12．如图，以水平轴为x 轴，竖直轴为y 轴，直线2y x =+所在平面直角坐标系的原点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q13．定义运算*为：a*b=(0)(0)ab b ab b >⎧⎨-⎩…如：1*（-2）=-1×（-2）=2，则函数y=2*x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 14．已知关于x 的一次函数y ＝（2﹣m ）x +2+m 的图象上两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞2B ．m ＞﹣2C ．m ＜2D ．m ＜﹣215．如图1，已知点E ，F ，G ，H 是矩形ABCD 各边的中点，AB ＝2.4，BC ＝3.4．动点M 从点A 出发，沿A →B →C →D →A 匀速运动，到点A 停止，设点M 运动的路程为x ，点M 到四边形EFGH 的某一个顶点的距离为y ，如果表示y 关于x 的函数关系的图象如图2所示，那么四边形EFGH 的这个顶点是（ ）A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H二、填空题16．若点（﹣3，y 1）、（2，y 2）都在函数y ＝﹣4x +b 的图象上，y 1y 2（填“＞”、“＜”、“＝”）．17．函数y =的自变量x 取值范围是 . 18．某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）之间的函数关系如图所示，当总用水量为2500米3时，该经济作物种植时间是天．19．当直线()223y k x k =-+-经过第二、三、四象限时，则k 的取值范围是．三、解答题20．某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时)之间的函数关系如图所示．回答下列问题：(1)机动车行驶几小时后，在途中加油站加油？(2)求加油前油箱剩余油量Q 与行驶时间t 的函数关系，并求自变量t 的取值范围；(3)中途加油多少升？(4)如果加油站距目的地还有320千米，车速为60千米/时，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．21．某小区为了绿化环境，计划分两次购进A ，B 两种花卉，第一次分别购进A ，B 两种花卉30株和15株，共花费675元；第二次分别购进A ，B 两种花12株和5株，共花费265元（两次购进A ，B 两种花卉的价格均相同）．(1)A ，B 两种花卉每株的价格分别是多少元？(2)若购买A ，B 两种花卉共30株，总费用为W 元，购买A 花m 株，且A 种花不少于10株． ①请写出W 与m 之间的函数关系式．②求出总费用W 的最小值．22．如图，在平面直角坐标系在中，A ，B 两点的坐标分别为()1,0，()2,2．计算：求直线AB 的解析式；尝试：直线AB 与直线l 关于x 轴对称，求直线l 的解析式；发现：观察直线AB 和直线l ，两条直线在系数上有什么规律？猜想：若直线a 为()0y mx n m =+≠，则直线a 与x 轴对称的直线b 的解析式是______； 验证：证明你的猜想．23．学完《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：如图，在ABC V 中，10AB AC ==，12BC =，//AD BC ，CD AD ⊥，BD 和AC 相交于点P ．求BPC △的面积．小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P 的坐标，从而可求得BPC △的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题．24．暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．设某学生暑期健身x （次），按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =．其函数图象如图所示．(1)1k =______，它的实际意义是_______；b =______，它的实际意义是_______；(2)求2k 的值；(3)八年级学生小明计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用更少？请说明理由．。
2023学年第二学期第二阶段素养提升活动（初二年级数学）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 下列各式中，是分式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式．【详解】解：A ．是整式，不符合题意；B ．是分式，符合题意；C ．是整式，不符合题意；D ．是整式，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查的是分式的定义，掌握分式的定义是解题关键．2. 若，则下列各式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的性质．不等式的性质①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此求解即可．【详解】解：A 、，，故本选项不符合题意，B 、，，故本选项不符合题意，C 、，，故本选项符合题意，D 、，，故本选项不符合题意，2π31x -3b12y +A B 2π31x -3b 12y +a b <33a b +>+33a b ->-77a b ->-99a b >a b < 33a b ∴+<+a b < 33a b -<-∴a b < 77a b ∴->-a b < ∴99a b <故选：C ．3. 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）A. B. C D. 【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，可得答案．【详解】解：A 、，属于整式乘法；B 、，属于因式分解；C 、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不属于因式分解；D 、，等式左边不是多项式，不属于因式分解；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4. 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且，添加下列条件后仍不能判断四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】A 、由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；B 、由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；C 、由AB CD 可得出∠BAO =∠DCO 、∠ABO =∠CDO ，结合OA =OC 可证出△ABO ≌△CDO （AAS ），根据全等三角形的性质可得出AB =CD ，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得出四边形ABCD 是平行四边形；D 、由AB CD 、AD =BC 无法证出四边形ABCD 是平行四边形．此题得解．【详解】解：A 、∵AB CD 、AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；.()()2111a a a +-=-()2422x y x y -=-()2111x x x x -+=-+2323623x y x y =⋅()()2111a a a +-=-()2422x y x y -=-()2111x x x x -+=-+2323623x y x y =⋅AB CD ∥AB CD=AD BC ∥OA OC =AD BC=∥∥∥B 、∵AB CD 、AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形；C 、∵AB CD ，∴∠BAO =∠DCO ，∠ABO =∠CDO ．在△ABO 和△CDO 中，，∴△ABO ≌△CDO （AAS ），∴AB =CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；D 、由AB CD 、AD =BC ，则四边形ABCD 可能是平行四边形，也可能是等腰梯形．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质，逐一分析四个选项给定条件能否证明四边形ABCD 是平行四边形是解题的关键．5. 把分式中的m 和n 都扩大3倍，那么分式的值（ ）A. 扩大为原来的9倍 B. 扩大为原来的3倍C. 不变D. 缩小为原来的【答案】B【解析】【分析】此题考查了利用分式的基本性质判断分式值的变化，正确掌握分式的计算法则是解题的关键．将m 和n 都扩大3倍进行计算，与原分式比较即可．【详解】解：由题意得，，∴分式的值扩大为原来的3倍．故选：B ．6. 已知a ，b ，c 为三边，且满足，则是（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】将已知式子因式分解为，得到，则有，即可判断三角形的形状．本题主要考查等腰三角形的判定和因式分解 ，熟练掌握因式分解是解题的关键．【详解】，∥∥∥BAO DCO ABO CDO OA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∥mn m n+13()3393333m n mn mn m n m n m n⋅==+++ABC 2ab b bc ac -=-ABC ()()0a b b c -+=0a b -=a b =2ab b bc ac -=-20ab b ac bc -+-=∵a ，b ，c 为三边∴∴∴是等腰三角形．故选：C ．7. 已知x ＝2是方程的解，则k 的值为（ ）A. ﹣2B. 2C. 1D. ﹣1【答案】A 【解析】【分析】将x =2代入方程，求出k 的值即可．【详解】解：∵x ＝2是方程的解∴，解得k =﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了方程的解，掌握方程解的概念是解题的关键．8. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E ，交于点F ，连接．若，，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两()()0b a bc a b -+-=()()0a b b c -+=ABC 0b c +≠0a b -=a b∴=ABC 1133k x x -=--1133k x x -=--112332k -=--ABC BD ABC ∠BC BC BD CF 48A ∠=︒28ECF ∠=︒ADB ∠152︒132︒124︒104︒个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：是的垂直平分线，，，平分，，，故选：D ．9. 5・12汶川大地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天施工效率比原计划提高1倍，结果提前4天开通了列车．设原计划每天修米，所列方程正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要求的未知量是工作效率，有工作路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前4天开通了列车”；等量关系为：原来所用的时间实际所用的时间．【详解】解：原来所用的时间为：，实际所用的时间为：．故所列方程为：．故选：B ．【点睛】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．10. 已知，且，求的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式的变形法FB FC =28FBC ECF ∠=∠=︒ABDFBC ∠=∠EF BCFB FC ∴=28FBC ECF ∴∠=∠=︒BD Q ABC ∠28ABD FBC ∴∠=∠=︒1801804828104ADB A ABD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒x 12012042x x +=12012042x x =-12012041x x =-+12012041x x -=+-4=120x 1202x12012042x x=-01a <<18a a +=1a a--±±则，利用完全平方公式进行变形计算即可得到答案．【详解】解：∵∴∴∴∴∵∴∴故选：B ．二、填空题（本大题共7个小题，每小题4分，共28分）．11. 因式分解：______．【答案】【解析】【分析】先提公因式，再用平方差公式分解．【详解】解：【点睛】本题考查因式分解，掌握因式分解方法是关键．12. 若分式的值为0，则=______．【答案】1【解析】【分析】分式的值为0，即是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【详解】解：∵，∴，∴．18a a +=22211=2+64a a a a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭22162a a +=22211262260a a a a ⎛⎫-=-+=-= ⎪⎝⎭1a a-==±01a <<10a a-<1a a -=-39a a -=()()33a a a +-()3299(3)(3)a a a a a a a -=-=+-11x x -+x 101x x -=+10x -=10x +≠1x =故答案为：1【点睛】本题考查分式的值为0的条件，关键在于理解值为0的条件．13.若＝，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】由＝，可设a=5k ，则b=2k ，将它们代入，就是即可求出其值．【详解】解：由＝，设a ＝5k ，b ＝2k ，把a ＝5k ，b ＝2k 代入得，故答案为：．【点睛】本题考查比例的性质及代数式求值，根据比例的基本性质设出a=5k ，b=13k ，可使计算简便．14. 若关于x 的分式方程有增根，则a 的值为__________．【答案】5【解析】【分析】根据分式方程增根的定义可以得解．【详解】解：原方程两边同时乘以（x -5）得：x -3（x -5）=a ，由题意，x =5，∴a =5，故答案为：5 ．【点睛】本题考查分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程增根的意义及产生根源是解题关键．15. 如图，将△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A 1P 1B ，连接PP 1.若BP ＝2，则线段PP 1的长为________．b a 25a b a b-+37b a 25b a 25523=527a b k k a b k k --=++37355x a x x -=--【答案】【解析】【详解】分析：由△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A 1P1B 1，根据旋转的性质得到BP=BP 1，∠PBP1=90°，即△BPP 1为等腰直角三角形，得到PP 1BP ，由此得到PP 1的长．详解：∵△APB 绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到△A 1P 1B 1，∴BP =BP 1，∠PBP 1=90°，∴△BPP 1为等腰直角三角形，∴PP 1BP ．故答案为．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等腰直角三角形的性质．16. 如图，在直角三角形中，，平分，交于点D ，若，，则的面积为 __________【答案】8【解析】【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D 作于E ，由角平分线上的点到角两边的距离相等得到，据此根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：如图所示，过点D 作于E ，∵，，平分，∴，∵，∴，故答案为：8．ABC 90A ∠=︒BD ABC ∠AC 2AD =8BC =BCD △DE BC ⊥2DE AD ==DE BC ⊥DE BC ⊥90A ∠=︒BD ABC ∠2DE AD ==8BC =1128822BCD S BC DE =⋅=⨯⨯=△17. 如图，在中，，，以为边作正方形，求最大值______．【答案】##【解析】【分析】此题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系的应用等知识，过点A 作且，连接，，根据题意证明出，得到，得到当取得最大值时，取得最大值，当点F ，C ，B 三点共线时，有最大值，即的长度，然后利用勾股定理求出【详解】如图所示，过点A 作且，连接，，∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴当取得最大值时，取得最大值，的ABC 4AC =6BC =AB ADEB CD 6+6+AF AC ⊥AF AC =FB CD ()SAS AFB ACD ≌BF CD =BF CD BF FC BC +FC ==AF AC ⊥AF AC =FB CD ADEB AD AB =90DAB ∠=︒AF AC ⊥90FAC BAD ∠=︒=∠FAB CAD ∠=∠AF AC =()SAS AFB ACD ≌BF CD =BF CD∵，∴，∴当点F ，C ，B 三点共线时，有最大值，即的长度，∵，，∴∴，∴的最大值为，即的最大值．故答案为：．三、解答题（一）（18题6分，19-21每题8分，共30分）．18. 已知，，求的值．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了因式分解应用，解题的关键是将分解为，然后整体代入求值即可．【详解】解：∵，，∴．19. （1）解方程：．（2）先化简，再求值：，其中x 值为（1）中方程的值．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本题考查了解分式方程，分式化简求值，（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；的4AF AC ==BF CF BC ≤+BF FC BC +4AF AC ==AF AC ⊥FC ==6FC BC +=BF 6+CD 6+6+2a b +=5ab =-32232a b a b ab ++20-32232a b a b ab ++()2ab a b +2a b +=5ab =-32232a b a b ab ++()222ab a ab b =++()2ab a b =+252=-⨯20=-43322x x x-=--23224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭9x =-28x +10-（2）先通分算括号内的，把除化为乘，化简后将代入计算即可．【详解】（1）去分母得，解得检验：将代入∴原方程的解为；（2）∵∴原式．20. 北京时间2023年12月18日23时59分，位于甘肃东南部的积石山发生6.2级地震，造成重大人员伤亡和财产损失，“一方有难，八方支援”，我县某中学决定捐款采购一批棉衣和棉被等物资支援灾区，已知棉衣的单价比棉被的单价贵50元，且用1000元购买棉衣的数量与用800元购买棉被的数量相同．（1）求棉衣的单价；（2）该中学准备购买棉衣、棉被共100件，且购买总费用不超过22000元，求最多可以购买多少件棉衣．【答案】（1）棉衣的单价为250元（2）最多可以购买40件棉衣【解析】【分析】本题主要考查了分式的应用以及一元一次不等式的应用．（1）设棉衣的单价为元，根据题意列出分式方程求解即可．9x =-43322x x x-=--()4323x x --=-9x =-9x =-292110x -=--=-≠9x =-23224x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭()()222322444x x x x x x x x ⎡⎤+-=-÷⎢⎥---⎣⎦22222362444x x x x x x x x ⎛⎫+-=-÷ ⎪---⎝⎭()()()()2222822x x x x x x x +-+=⋅+-()()()()()242222x x x x x x x++-=⋅+-28x =+9x =-()2829810x =+=⨯-+=-x（2）设可以购买件棉衣，根据题意，列出一元一次不等式求解即可得出答案．【小问1详解】解：设棉衣单价为元，根据题意，得,解得，经检验：是原分式方程的解答：棉衣单价为250元；【小问2详解】设可以购买件棉衣，根据题意，得解得答：最多可以购买40件棉衣．21. 如图，已知E ，F 是平行四边形对角线上的点，．（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得与的关系，与的关系，根据补角的性质，可得与的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；（2）根据全等三角形的性质，可得与的大小关系，根据平行线的性质，与的位置关系，可得根据平行四边形的判定，可得答案．【小问1详解】解：证明：四边形是平行四边形，，，．，的的m x 100080050x x =-250x =250x =m ()()2502505010022000m m +--≤40m ≤ABCD BD 12∠=∠BE DF =AECF DC AB FDC ∠EBA ∠AEB ∠CFD ∠AE CF AE CF ABCD AB CD ∴=AB CD ∥FDC EBA ∴∠=∠12∠=∠．在和中，，，；【小问2详解】证明：，．，，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，（1）利用了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了平行四边形的判定：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．四、解答题（二）（22、23题10分，24题12分，共32分）．22. 数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图所示的长方形纸条，其中，．然后在纸条上任意画一条线段，将纸片沿折叠，与交于点，得到．如图所示：【基础回顾】（1）在图中，若，；（直接写出答案）【操作探究】AEB CFD ∴∠=∠ABE CDF ABE CDF AEB DFC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ABE CDF ∴ ≌BE DF ∴=ABE CDF ≌AE CF ∴=12∠=∠ AE CF ∴∥∴AECF ①ABCD 2AD BC ==10AB CD ==MN MN MB DN K MNK △②②152∠=︒______MKN ∠︒＝（2）改变折痕位置，始终是______三角形，请说明理由；（3）爱动脑筋的小明在研究的面积时，发现边上的高始终是个不变的值．根据这一发现，他很快研究出的面积最小值为，此时的大小可以为______；【拓展延伸】（4）小明继续动手操作进行折纸，发现了面积存在最大值，请你求出这个最大值．【答案】（1）；（2）等腰 ，理由见解析；（3）或；（4）．【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质求出的度数，再根据平角求出的度数，最后根据平行线的性质即可求解；（2）利用翻折变换的性质以及两直线平行内错角相等得出；（3）利用当的面积最小值为时，，则可证明，，从而即可求出；（4）分情况一：将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合；情况二：将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为两种情况讨论求解．【小问1详解】如图，由折叠性质可知，，∴，∵四边形是长方形，∴，∴，故答案为：；MN MNK △MNK △KN KMN △21∠MNK △76︒45︒135︒5.2KMN ∠AMK ∠KM KN =KMN △22KN BC ==MK DK ⊥DK N K ''⊥1∠B D K D AC AC 1152NMK ∠=∠=︒1801180525276AMK NMK ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒DN AM ∥76MKN AMK ∠=∠=︒76︒【小问2详解】等 腰，理由：∵四边形是矩形，∴，∴．∵将纸片沿折叠，∴，∴，∴为等腰三角形；【小问3详解】如图2，当的面积最小值为 时，，∴，∵，，∴同理：故答案为：或；【小问4详解】分两种情况：情况一：如图，将矩形纸片对折，使点与重合，此时点也与重合，设，则，由勾股定理得，ABCD AM DN ∥1KNM ∠=∠MN 1KMN ∠=∠KNM KMN ∠=∠KMN △KMN △22KN BC ==KN B M '⊥NMB KMN ∠=∠90KMB ∠=︒145NMB ∠=∠=︒1135N MB '∠=∠=︒45︒135︒3B D K D MK MB x ==10AM x =-()222210x x +-=解得．∴，∴．情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线对折，此时折痕即为，设，则，同理可得：，∵，∴．综上：的面积最大值为．【点睛】此题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积计算，解题的关键是注意分类思想的运用．23. 阅读下列材料，理解其含义并解决下列问题：【阅读材料1】如果两个正数a ，b ，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号，它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具．【实例剖析1】已知，求式子的最小值．解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有．一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式：如：，这样的分式就是真分式，假5.2x = 5.2MD ND ==12 5.2 5.22MNK MND S S ==⨯⨯= AC AC MK AK CK x ===10DK x =- 5.2MK NK ==2MD =12 5.2 5.22MNK S =⨯⨯= MNK △ 5.20a >0b >2a b +≥a b =0x >4y x x =+a x =4b x =2a b +≥424y x x =+===4x x=2x =11x x -+21x x -31x +221x x +分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：；．【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：（1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______；（2）假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x 的值有______；（3）已知，当x 取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？【答案】（1）3，6；（2），4； （3）当时，分式取到最大值，最大值为．【解析】【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；（2）将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x 的值；（3）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案．【小问1详解】解：令，则有，得，当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6；故答案为：3，6；【小问2详解】，74314+3141(1)221111x x x x x -+-==-+++22(1)1(1)(1)11111111x x x x x x x x x x -+-+==+=++-----0x >x =9x x+64x x ++64x x ++1x >2125x x x --+214x ++3x =2125x x x --+149,a x b x==a b +≥96x x +≥=9x x=3x =()42621444x x x x x +++==++++x为整数，且为整数，或或或，解得：或或或，则满足条件的整数x 的值有4个，故答案为：，4；【小问3详解】解：，，，当且当时，即时，式子有最小值为4，当时，分式取到最大值，最大值为．【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键．24. 如图，长方形与长方形全等点B ，C ，D 和点C ，G ，F 分别在同一条直线上，其中，．连接对角线，．24x +42x ∴+=42x +=-41x +=41x +=-2x =-6x =-3x =-5x =-214x ++2125x x x --+21214x x x -=-++()2114x x -=-+1411x x =-+-1x >Q 4141x x ∴-+≥=-411x x -=-3x =411x x -+-3x =2125x x x --+14ABCG CDEF 4AB CD ==8BC DE ==AC CE（1）在图①中，连接，直接判断形状是______；直接写出的值______；（2）如图②，将图①中的长方形绕点C 逆时针旋转，当平分时，求此时点E 到直线的距离．（3）如图③，将图①中的长方形绕点C 逆时针旋转到某一个位置，连接，连接并延长交于点M ，取的中点N ，连接，直接写出长的最小值______；【答案】（1）等腰直角三角形，（2（3）【解析】【分析】（1）由矩形与矩形全等得，然后证明出，再由勾股定理得，；（2）由平分结合等腰三角形“三线合一”得：，，再由等面积法得点到直线（3）过点作的平行线交的延长线于，连接，先证明得，再由中位线定理得，再由在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：得的最小值为，故的最小值为．【小问1详解】矩形与矩形全等，，，，，，∴是等腰直角三角形，，，；【小问2详解】AE ACE △AE CDEF CF ACE ∠AC CDEF AE DG AE AG MN MN 2-ABCG CDEF AC CE =90ACE ∠=︒AC ==AE ==CF ACE ∠CF AE ⊥4AF EF ==E AC E AG DG H EG HME GMA ≌AM ME =12MN GE =CDEF C GE CE CG GE CE CG -≤≤+GE 4MN 2- ABCG CDEF AC CE ∴=ACB ECF ∠=∠90ACB ACG ∠+∠=︒ 90ECF ACG ∴∠+∠=︒90ACE ∴∠=︒ACE △222AE AC CE ∴=+ AC ==AE ∴=当平分时，，由等腰三角形“三线合一”得：，，设点到直线的距离为，则由等面积法：，此时点到直线【小问3详解】如图，过点作的平行线交的延长线于，连接，，，，，，，，，，，在与中，，，，的中点为，CF ACE ∠AC CE = CF AE ⊥4AF EF ==∴E AC d 1122ACE S EF CF AC d =⋅=⋅ d ∴=∴E AC E AG DG H EG HE AG ∥H MGA ∴∠=∠CG CD = CGD CDG ∴∠=∠90AGC CDE ∠=∠=︒ 90MGA CGD ∴∠+∠=︒90CDG HDE ∠+∠=︒MGA HDE ∴∠=∠HDE H ∴∠=∠HE ED AG ∴==HME GMA HME GMA H MGA HE AG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)HME GMA ∴ ≌AM ME ∴=AG N，，在矩形绕点逆时针旋转过程中的范围为：，，的最小值为，的最小值为．【点睛】本题是矩形旋转变换综合题，主要考查了矩形的性质、旋转的性质、矩形全等的性质、全等三角形的判定与性质、等面积法求高、中位线定理，过点E 作的平行线交的延长线于H 、构造是本题的关键．12MN GE ∴=MN GE ∥ CDEF C GE CE CG GE CE CG -≤≤+44GE ∴-≤≤+GE∴4MN∴2-AG DG HME GMA ≌。
