第1节 不等关系与不等式

第1节不等关系与不等式
【选题明细表】
一、选择题
1.(2013泰安模拟)如果a>b,则下列各式正确的是( D )
(A)a·lg x>b·lg x (B)ax2>bx2
(C)a2>b2(D)a·2x>b·2x
解析:∵a>b,2x>0,∴a·2x>b·2x.故选D.
2.(2013山东省德州市期末联考)设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b ≥2”的( A )
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
解析:若a≥1,b≥1,则a+b≥2.当a=5,b=时有a+b≥2成立,但b<1,所以“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的充分而不必要条件.故选A.
3.(2013潍坊模拟)若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是( B )
(A)-,(B)-,0
(C)0,(D)-,0
解析:∵-<α<β<π,
∴-<α<π,-π<-β<,
∴-<α-β<,
又α-β<0,∴-<α-β<0.故选B.
4.若a<b<0,则以下结论正确的是( C )
(A)a2<ab<b2(B)a2<b2<ab
(C)a2>ab>b2(D)a2>b2>ab
解析:法一由a<b<0得
即
所以a2>ab>b2.
故选C.
法二由a<b<0得a-b<0,
则a2-ab=a(a-b)>0,
即a2>ab,ab-b2=b(a-b)>0,即ab>b2,
因此a2>ab>b2.故选C.
5.(2013南平模拟)如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是( C )
(A)ab>ac (B)c(b-a)>0
(C)cb2<ab2(D)ac(a-c)<0
解析:由条件知a>0,c<0,则选项A、B、D一定正确,当b=0时,选项C 不正确.故选C.
6.(2013浙江龙泉市模拟)如果a<b<0,那么,下列不等式中正确的是( D )
(A)<(B)a2<b2
(C)>(D)<
解析:法一由a<b<0,所以>0,a<b两边同乘以得:<,故选项A错;由a<b<0,得-a>-b>0,两边平方得:a2>b2,故选项B错;由a<b<0,得
a-b<0,所以a(a-b)>0,若>成立,则>成立,即a>a-b成立,也
就是b>0成立,与已知矛盾,故选项C错;由a<b<0得<<0,所以
->->0,
则=-2<-2=,故选项D正确.
法二∵a<b<0,故可取a=-3,b=-2,
∴=->-=,故选项A错;a2=9,b2=4,
∴a2>b2,故选项B错;
a-1=-1,∴=-1<-=,故选项C错;
=,=,
∴<,故选项D正确.
故选D.
7.(2013年高考新课标全国卷Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( D )
(A)c>b>a (B)b>c>a
(C)a>c>b (D)a>b>c
解析:∵1<log23<log25<log27,
∴>>>0,
即log32>log52>log72,
a=log3(3×2)=1+log32,b=log510=1+log52,
c=log714=1+log72,
∴a>b>c.故选D.
二、填空题
8.已知a+b>0,则+与+的大小关系是.
解析:+-=+
=(a-b)
=.
∵a+b>0,(a-b)2≥0,
∴≥0.
∴+≥+.
答案:+≥+
9.已知存在实数a满足ab2>a>ab,则实数b的取值范围是. 解析:∵ab2>a>ab,
∴a≠0,
当a>0时,b2>1>b,
即
解得b<-1;
当a<0时,b2<1<b,
即无解.
综上可得b<-1. 答案:(-∞,-1)
10.(2013南昌一模)现给出三个不等式:①a 2+1>2a;②a 2+b 2>2a-b-;③+
>+
.其中恒成立的不等式共有 个.
解析:①∵a 2+1-2a=(a-1)2≥0,故①不恒成立; ②∵a 2+b 2-2a+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,
∴a 2+b 2>2a-b-恒成立. ③∵(+)2=17+2,(+
)2=17+2
,
又∵>
,
∴17+2>17+2, ∴+>+
,成立.
答案:2
11.(2013滨州模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x 克,B 杯中有浓度为b 的盐水y 克,其中A 杯中的盐水更咸一些.若将A,B 两杯盐水混合在一起,其咸淡的程度可用不等式表示为 .
解析:依题意知混合后盐水的咸淡程度m 应满足b<m<a,又m=,
所以混合后的咸淡程度用不等式表示为:
b<
<a.
答案:b<<a
12.(2013南京一模)给出下列四个命题:
①若a>b>0,则>;
②若a>b>0,则a->b-;
③若a>b>0,则>;
④设a,b是互不相等的正数,则|a-b|+≥2.
其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上).
解析:①作差可得-=,而a>b>0,则<0,①是假命题.②a>b>0,则<,
进而可得->-,所以可得a->b-,②是真命题;③
-===<0,③是假命题;④当a-b<0时此式不
成立,④是假命题.
答案:②
三、解答题
13.已知某学生共有10元钱,打算购买单价分别为0.6元和 0.7元的铅笔和练习本,根据需要,铅笔至少买7枝,练习本至少买6本.写出满足条件的不等式.
解:设铅笔买x枝,练习本买y本(x,y∈N*),总钱数为
0.6x+0.7y,且不大于10,
∴
14.若α,β满足试求α+3β的取值范围.
解:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
由
解得
∴α+3β=-(α+β)+2(α+2β),
∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,
∴两式相加,得1≤α+3β≤7.
15.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往.甲车队说:“如果领队买一张全票,其余人可享受7.5折优惠.”乙车队说:“你们属团体票,按原价的8折优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的,试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠.
解:设该单位职工有n人(n∈N*),全票价为x元,坐甲车需花y1元,坐乙车需花y2元,
则y1=x+x·(n-1)=x+xn,y2=nx.
所以y1-y2=x+xn-nx
=x-nx
=x.
当n=5时,y1=y2;当n>5时,y1<y2;
当n<5时,y1>y2.
因此当单位去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,甲车队更优惠;少于5人时,乙车队更优惠.。