不等关系与不等式

课题： 3．1 不等关系与不等式(1)说课稿

教材：人教A版必修（5）

湖州新世纪外国语学校 钱月萍

各位评委、各位老师:大家好！

我叫钱月萍,来自湖州新世纪外国语学校。今天我说课的内容是《不等关系与不等式》（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程和教学评价五个方面逐一加以分析和说明。

一、教材分析

1、教材所处地位、作用

不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系.在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用.

2、教学目标

根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标：

知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。

过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法

情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯.

3、重点与难点

根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是：

教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值，并初步掌握作差比较法。

而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。

二、学情分析

教学应走在发展的前面，教学创造着最近发展区，我认为对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。所以我对学生的学情作了如下分析

精编文档 课题： 3．1 不等关系与不等式(1)说课稿

教材：人教A版必修（5）

各位评委、各位老师:大家好！

我叫。。。。。,来自.。。。。今天我说课的内容是《不等关系与不等式》（第一课时）。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程和教学评价五个方面逐一加以分析和说明。

一、教材分析

1、教材所处地位、作用

不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系.在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的地位。而本节课是本章的起始课，学好本节课是学习本章的基础。通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用.

2、教学目标

根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标：

知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。

过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法

情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯.

3、重点与难点

根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是：

教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值，并初步掌握作差比较法。

而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。

二、学情分析

教学应走在发展的前面，教学创造着最近发展区，我认为对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。所以我对学生的学情作了如下分析

不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式

知识讲解1．不等关系与不等式

【不等关系与不等式】

不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与

就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它

是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．

【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比

较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．

③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．

推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲

不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|

B．

C．

D．

例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>c

B．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a

例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）

①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2

A．0B．1C．2D．3

不等式比较大小

知识讲解1．不等式比较大小

【知识点的知识】

不等式大小比较的常用方法

（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；

（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；

（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；

（6）利用函数的单调性；

（7）寻找中间量或放缩法；

（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．

【典型例题分析】

方法一：作差法

典例1：若a＜0，b＜0，则p

＝与q＝a+b的大小关系为（）A．p＜qB．p≤qC．p＞qD．p≥q

解：p﹣q

＝﹣a﹣b

＝＝（b2﹣a2）＝

，

∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0，

1 基本不等式

一、基础知识

基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．

平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a、b，有2abab，且等号当且仅当ab时成立.

证明：对于正数a、b，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明

2abab，

即

20abab.

由

22ababab.

上式显然成立，且只有当ab时，原不等式两边才相等.

常用不等式：对于任意的正数a、b，有22abab，且等号当且仅当ab时成立.

三角不等式：对于任意的实数a、b，有abab，且等号当且仅当0ab时成立.

证明：为证明abab，只需证明

22abab，

即222222aabbaabb，也即22abab，这是显然的，且等号当且仅当a、b同号，即0ab时成立.

二、拓展知识

基本不等式：如果a，b，cR，那么3333abcabc（当且仅当abc时取“”）

证明：33333223333abcabcabcabababc

223abcababccababc 2 22223abcaabbacbccab

222abcabcabbcac

22212abcabacbc

a，b，cR，222102abcabacbc

从而3333abcabc

推论：如果a，b，cR，那么33abcabc（当且仅当abc时取“”）

基本不等式：1212nnaaaaaan，*nN，iaR，1in.

证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略；

柯西不等式：222222211221212nnnnabababaaabbb

,1,2,,iiabRin，等号当且仅当120naaa或iibka时成立（k为常数，1,2,,in）

证明：构造二次函数

2221122nnfxaxbaxbaxb

2222222121122122nnnnaaaxabababxbbb