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13_高阶与分数低阶统计量信号处理

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胡广书《现代信号处理教程》第一章

胡广书《现代信号处理教程》第一章

1. 傅里叶变换在时间、频率“定位”的不足
如果我们想求一个信号，如 x(t ) ，在某一个频 率，如 0 处的值，则
X ( j0 ) x(t )e j 0t d t


需要
t ~
；
反之，如果我们想求某一个时刻，如 t 0
处的值，需要 ~
1 x(t0 ) 2
a: 是尺度定标常数，决定频率中心及带宽; b: 是位移，决定分析位置； (t ) : 又称为基本小波或母小波。
方法四、信号的子带分解
将信号的频谱均匀或非均匀地分解成若干部分， 每一个部分都对应一个时间信号，我们称它们为 原信号的子带信号 。
H0 ( z)
x ( n)

x0 (n)
M
v0 (n)
“分辨率（resolution）”是信号处理中的基本概念， 能作出辨别的时域或频域的最小间隔（又称最小分辨
细胞）。频率分辨率是通过一个频域的窗函数来观察 频谱时所看到的频率的宽度，时间分辨率是通过一个 时域的窗函数来观察信号时所看到的时间的宽度。显 然，这样的窗函数越窄，相应的分辨率就越好。分辨
能力的好坏一是取决于信号的特点，二是取决于信号
（二）多抽样率信号处理； （三）小波变换； （四）高阶统计量分析； （五）独立分量分析（ICA）； （六）压缩感知理论（CS）；
现代信号处理这十多年来的新进展
一、Hilbert－Huang变换 二、信号的稀疏表达 （sparse representations） －1998；
－1998；
三、压缩感知 （ compressed sensing，CS） －2006
g ( , ) 1 then
Cohen类分布变成Wigner-Ville分布

振动信号处理

振动信号处理

3) 通过谐波分量间的相位关系，可检测和表征时间序 列中的非线性，以及辨识非线性系统。
4) 检测和表征信号中的循环平稳性以及分析和处理循环平 稳信号。 高阶循环统计量能自动抑制任何平稳（高斯与非高斯）噪 声的影响。
2。确知信号的矩谱分析
2.1确定性信号的能量与功率 设 {X(k)})(k=0;±1,…为实确知信号,其瞬时功率为 !X(k)!2，总能量为:
➢由于频率与周期成反比，因此反映信号高频成份需要用窄时窗，而 反映信号低频成份需要用宽时窗
6.5时频分布的一般理论
更一般的方法是讨论二维的时频分布方法： 1.几个基本概念 （1）信号的能量
（2）时频分布的基本性质
希望时频分布所具有的性质： ➢时频分布必须是实的（最好是正的）一种能量的表示方式，所以为实的。 ➢时频分布关于时间t和频率f的积分为信号的总能量
第五章时频分析基础及短时傅利叶变换
所谓时变，是指信号的统计特性是随时间变化的。由于平稳信 号只不过是非平稳信号的最简单的例子，所以本章要着重讨论的信 号分析方法对任何信号都是适用的。这类分析方法统称为时频分析 方法，它是在时间—频率域而不是仅在时域或仅在频域上对信号进 行分桥的
6.1非平稳信号的研究领域 傅里叶变换及其反变换建立了时域(信号x(t))和领域(谱x(f))之间的—对一(射)关系。
双谱的性质
(1) 双谱满足以下对称性
(2) 零均值高斯信号的高阶谱(阶数大于2) 等于零。 因此双谱很适宜于分析淹没在高斯噪声中的非高斯信号, 理 论上可以完全抑制噪声, 提取有用信息。 (3) 双谱保留了信号的相位信息, 可以用来描述非线性相位耦合。 使用中常将双谱做归一化处理得到双相干谱
双相干谱的物理意义为: 频率X1 与X2 二次相位耦合产 生的能量在X1+ X2 处总能量中所占的比例。双相干谱 函数的平方, 值在0 与1 之间, 定量描述了二次耦合的程 度。当双相干谱函数的平方值为1时, 表示X1+ X2 处的 能量全部来自X1 与X2 间的相位耦合; 当其值为0 时, 表 示不存在相位耦合。

随机过程高阶统计量方法

随机过程高阶统计量方法

随机过程高阶统计量方法一、概述高阶统计量(Higher-order Statistics)是指比二阶统计量更高阶的随机变量或随机过程的统计量。

二阶统计量有：随机变量（矢量）：方差、协方差（相关矩）、二阶矩。

随机过程：自相关函数、功率谱、互相关函数、互功率谱、自协方差函数等。

高阶统计量有：随机变量（矢量）：高阶矩(Higher-order Moment) ，高阶累积量(Higher-order Cumulant) 从统计学的角度，对正态分布的随机变量（矢量），用一阶和二阶统计量就可以完备地表示其统计特征。

如对一个高斯分布的随机矢量，知道了其数学期望和协方差矩阵，就可以知道它的联合概率密度函数。

对一个高斯随机过程，知道了均值和自相关函数（或自协方差函数），就可以知道它的概率结构，即知道它的整个统计特征。

但是，对不服从高斯分布的随机变量（矢量）或随机过程，一阶和二阶统计量不能完备地表示其统计特征。

或者说，信息没有全部包含在一、二阶统计量中，更高阶的统计量中也包含了大量有用的信息。

高阶统计量信号处理方法，就是从非高斯信号的高阶统计量中提取信号的有用信息，特别是从一、二阶统计量中无法提取的信息的方法。

从这个角度来说，高阶统计量方法不仅是对基于相关函数或功率谱的随机信号处理方法的重要补充，而且可以为二阶统计量方法无法解决的许多信号处理问题提供手段。

可以毫不夸张地说，凡是使用功率谱或相关函数进行过分析与处理，而又未得到满意结果的任何问题，都值得重新试用高阶统计量方法。

高阶统计量的概念于1889 年提出。

高阶统计量的研究始于六十年代初，主要是数学家和统计学家们在做基础理论的研究，以及针对光学、流体动力学、地球物理、信号处理等领域特定问题的应用研究。

直到八十年代中、后期，在信号处理和系统理论领域才掀起了高阶统计量方法的研究热潮。

高阶统计量方法已在雷达、声纳、通信、海洋学、电磁学、等离子体物理、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体动力学等领域的信号处理问题中获得应用。

高阶统计量PPT课件

高阶统计量PPT课件

x4 (t) x2 (t)
3
高斯信号： 零峰度 亚高斯信号: 负峰度 超高斯信号： 正峰度
16
高阶累积量和多谱的性质
❖ 主要性质 (8个性质)
最重要的性质如下:
➢ 和的累积量等于累积量之和，累积量因此得名。 ➢ 随机信号通过线性系统后的累积量等于该随机信号
的累积量与线性系统冲激响应累积量的卷积 ➢信号的高阶累积量能够决定信号模型的冲激响应h(n)，
• 解决办法
－当用单谱估计AR模型时，只要把不稳定极点替换为其
倒数极点(反演技术)即可，这是因为
S2,x (z) A1(z) A1(z 1) S2,x (z 1)
－当用多谱估计AR模型时,不能作这种替换. 以双谱为例
S3,x (z1, z2 ) A1(z1 ) A1(z2 ) A1(z11z21)
即用信号模型的输出信号(即观测到的信号)y(n)的高 阶累积量就能决定h(n)。
17
高阶累积量和多谱的性质
❖ 主要性质(续)
➢ 确定性序列的多谱: 确定性序列{h(1),…,h(k)}的k阶累量
Ck,h (1,..., k1) h(n)h(n 1)...h(n k1)
(7)
n
其 k 阶谱为
k 1
x
c4
4
m4 3m22
4
m4 3 4 4
m4
4
3
10
高阶谱
功率谱的缺点：px ( f ) X ( f ) 2 X ( f ) X *( f ) 由功率谱只能恢复 X ( f ),不可能恢复 X ( f ) 基于自相关函数的辨识系统，无法辨识非最小相位系统
“模型的多重性” “自相关函数等价性” “功率谱等价性”
谱来衡量，亦也可以用多谱的平坦度来衡量。说明如下：

分数阶微积分在信号处理中的应用

分数阶微积分在信号处理中的应用

分数阶微积分在信号处理中的应用引言：信号处理是一门研究如何对信号进行采集、处理和分析的学科，它在现代科学和工程中有着广泛的应用。

而分数阶微积分作为一种新兴的数学工具，近年来在信号处理领域得到了越来越多的关注和应用。

本文将从分数阶微积分的基本概念入手，探讨分数阶微积分在信号处理中的应用。

一、分数阶微积分的基本概念分数阶微积分是传统微积分的一种扩展，它将传统的整数阶导数和积分推广到了非整数阶。

在分数阶微积分中，导数和积分的阶数可以是任意实数，甚至是复数。

这使得分数阶微积分能够更好地描述一些复杂的现象，如非平稳信号、非线性系统等。

二、分数阶微积分在信号处理中的应用1. 信号去噪信号处理中常常需要对信号进行去噪处理，以提取出信号中的有用信息。

传统的去噪方法主要基于整数阶微积分理论，如小波变换、滤波器等。

然而，这些方法在处理非平稳信号时存在一定的局限性。

而分数阶微积分提供了一种新的思路，可以更好地处理非平稳信号的去噪问题。

通过引入分数阶导数，可以更准确地描述信号中的高频成分，从而实现更精确的去噪效果。

2. 信号压缩信号压缩是信号处理中的一个重要任务，它可以将信号的冗余信息去除，从而减少存储和传输的开销。

传统的信号压缩方法主要基于整数阶微积分理论，如离散余弦变换（DCT）、小波变换等。

然而，这些方法往往无法很好地处理非平稳信号的压缩问题。

而分数阶微积分提供了一种新的思路，可以更好地处理非平稳信号的压缩问题。

通过引入分数阶导数，可以更准确地描述信号中的非平稳性质，从而实现更高效的信号压缩。

3. 信号分析信号分析是信号处理中的一个重要任务，它可以从信号中提取出有用的信息，以帮助我们理解和解释信号的特性。

传统的信号分析方法主要基于整数阶微积分理论，如傅里叶变换、小波变换等。

然而，这些方法往往无法很好地处理非平稳信号的分析问题。

而分数阶微积分提供了一种新的思路，可以更好地处理非平稳信号的分析问题。

通过引入分数阶导数，可以更准确地描述信号中的非平稳性质，从而实现更精确的信号分析。

数字信号处理

数字信号处理
大部分信号的初始形态是事物的运动变化，为了测量它们和处理它们，先要用传感器把它们的特征转换成电 信号，等到这些电信号处理完后，再把它们转变为我们能看见、能听见或能利用的形态。
数字信号处理前后需要一些辅助电路，它们和数字信号处理器构成一个系统。图1是典型的数字信号处理系统， 它由7个单元组成。
图1数字信号处理系统 初始信号代表某种事物的运动变换，它经信号转换单元可变为电信号。例如声波， 它经过麦克风后就变为电信号。又如压力，它经压力传感器后变为电信号。电信号可视为许多频率的正弦波的组 合。
为了勘探地下深处所储藏的石油和天然气以及其他矿藏，通常采用地震勘探方法来探测地层结构和岩性。这 种方法的基本原理是在一选定的地点施加人为的激震，如用爆炸方法产生一振动波向地下传播,遇到地层分界面即 产生反射波,在距离振源一定远的地方放置一列感受器，接收到达地面的反射波。从反射波的延迟时间和强度来判 断地层的深度和结构。感受器所接收到的地震记录是比较复杂的，需要处理才能进行地质解释。处理的方法很多， 有反褶积法，同态滤波法等，这是一个尚在努力研究的问题。
处理器
DSP芯片，也称数字信号处理器，是一种特别适合于进行数字信号处理运算的微处理器，其主要应用是实时 快速地实现各种数字信号处理算法。根据数字信号处理的要求，DSP芯片一般具有如下主要特点：
（1）在一个指令周期内可完成一次乘法和一次加法； （2）程序和数据空间分开，可以同时访问指令和数据； （3）片内具有快速RAM，通常可通过独立的数据总线在两块中同时访问； （4）具有低开销或无开销循环及跳转的硬件支持； （5）快速的中断处理和硬件I/O支持； （6）具有在单周期内操作的多个硬件产生器； （7）可以并行执行多个操作； （8）支持流水线操作，使取指、译码和执行等操作可以重叠执行。 当然，与通用微处理器相比，DSP芯片的其他通用功能相对较弱些

15_高阶统计量与分数低阶统计量信号处理


2014-6-17
大连理工大学
9
• 信号的双谱和三谱
– 信号的双谱和三谱分别是信号的三阶累积量和四阶 累积量的二维和三维傅里叶变换：
C3 (w1 , w2 )
k1 k2

c (k , k ) exp[ j(k w k w )]
3 1 2 1 1 2 2
4 1 2 3 1 1 2 2
• 由性质4得出一重要结论：若一个非高斯信号是在与 之独立的加性高斯有色噪声中被观测，则观测过程 中的高阶累计量将与非高斯信号的高阶累积量恒等。
– 性质5：若随机变量 {xi } 一子集与其余部独立，则
cum( x1, x2 ,
cum( x1, x2 ,
2014-6-17
, xk ) 0
, xk ) cum( x1, x2 , , xk )
2014-6-17
大连理工大学
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– 高斯随机变量的第二特征函数是第一特征函数的自 然对数 () ln () 22 / 2 – 高斯变量的各阶累积量，即
c1 0, c2 2 , , ck 0, k 3,4,.....
– 综上所述，任意高斯随机过程的二阶矩和二阶累积 量相等，均等于其方差；
– 不存在二阶和高阶统计量； – 因此常规的基于二阶统计量的信号处理算法退化； – 常用分数低阶统计量的方法进行信号处理。
2014-6-17
大连理工大学
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• 分数低阶统计量
– 统计矩从0阶一直延伸至无穷，最常用的是一阶和 二阶统计量； – （0,2）阶的统计量称为分数低阶统计量； – 有多种分数低阶统计量，例如共变、分数阶相关、 分数阶协方差等； – 分数低阶统计量适合于Alpha稳定分布信号处理。

信号处理的分数阶微积分原理

信号处理的分数阶微积分原理一、分数阶微积分的基本概念与性质分数阶微积分是传统整数阶微积分的推广，它将微积分的概念扩展到了非整数阶。

分数阶导数和分数阶积分是分数阶微积分的两个核心概念。

与整数阶微积分不同的是，分数阶微积分中的导数和积分可以是非整数阶的。

二、分数阶微积分在信号处理中的应用1. 分数阶微分滤波分数阶微分具有更好的边缘保持能力和频率选择性，因此在信号处理中常用于边缘检测、图像增强等方面。

通过对信号进行分数阶微分操作，可以提取信号的高频细节信息，从而实现对信号的增强和滤波。

2. 分数阶积分变换分数阶积分变换可以对信号进行平滑和去噪处理。

分数阶积分可以使信号的低频部分得到增强，同时抑制高频噪声。

因此，在信号处理中常用于信号去噪、信号平滑等方面。

分数阶积分变换还可以用于信号的特征提取，如边缘检测、纹理分析等。

3. 分数阶微分方程建模分数阶微分方程是描述分数阶导数的数学模型。

在信号处理中，分数阶微分方程可以用于对信号的生成、建模和预测。

通过建立适当的分数阶微分方程模型，可以更准确地描述信号的动态特性，并对信号进行预测和控制。

4. 分数阶小波变换小波变换是一种时频分析方法，可以将信号分解为不同尺度和频率的成分。

分数阶小波变换是对传统小波变换的改进，通过引入分数阶微分的概念，可以更好地捕捉信号的局部特征。

在信号处理中，分数阶小波变换可以用于信号的压缩、特征提取等方面。

三、分数阶微积分在实际应用中的例子1. 分数阶微分在图像处理中的应用分数阶微分可以对图像进行边缘检测和纹理分析。

通过对图像进行分数阶微分操作，可以提取图像的边缘和纹理信息，从而实现对图像的分割和识别。

2. 分数阶积分在语音信号处理中的应用语音信号中包含丰富的频谱和时域信息。

通过对语音信号进行分数阶积分变换，可以提取语音信号的频谱特征和时域特征，从而实现语音信号的识别和分析。

3. 分数阶微分方程在金融数据分析中的应用金融数据中包含着丰富的时间序列信息。

对心电图（ECG）的谱估计

数字信号处课程小论文题目：功率谱估计方法与实现的研究——对心电信号（ECG）谱估计的研究摘要：心血管疾病是威胁人类生命的最主要疾病之一, 而心电图(ECG)是诊断心血管疾病的主要依据。

对其的特征分析一直是医学信号处理的热点，本文针对心电信号的谱估计做了一些分析讨论，首先是对来自MIT-BIH数据库的心电信号进行了预处理，然后分析了其AR 模型的阶次问题，最后是在MATLAB中，用Burg算法实现了ECG信号的谱估计。

实验结果显示，心电信号的谱能够反应隐藏在心电信号中的疾病问题。

关键词：心电信号谱估计频谱心电图 Burg算法目录一、课题研究背景与意义 (3)1 心电图（ECG）及其谱估计简介 (3)2 功率谱估计简介 (4)3 功率谱估计国内外的研究历史和现状 (5)3.1 基于二阶统计量的功率谱估计的方法 (5)3.1.1 经典功率谱估计方法的原理和算法 (6)3.1.2 现代功率谱估计方法的原理和算法 (7)3.2 基于高阶统计量(HOS)的谱估计方法 (9)3.2.1 非参数估计法 (10)3.2.2 参数模型估计法 (10)3.3 基于分数低阶统计量(FLOS)的谱估计方法 (11)4 总结 (12)5 参考文献 (12)二、心电图谱估计问题的基本方法和技术 (14)1 心电图谱估计研究的现状与意义 (14)2 MIT-BIH 心电图数据库 (15)3 AR模型功率谱估计的有关方法 (15)3.1自相关法 (17)3.2 Burg算法 (18)3.3 改进的协方差方法 (19)3.4 总结概述 (21)4 本文主要的研究内容 (21)三、MATLAB实验与讨论 (22)1 MIT/BIH 心电图数据的读取 (22)2 心电信号的简单预处理 (23)3 AR模型阶次的选取 (24)4 Burg算法的实现 (30)5 心电图谱估计的实现 (32)6 实验结果与分析 (34)四、结束语 (36)参考文献： (36)附件： (38)一、课题研究背景与意义1 心电图（ECG）及其谱估计简介心脏是人体循环系统中的重要器官。

高阶统计量及在阵列信号处理中的应用

高阶统计量及在阵列信号处理中的应用作者：姚泽昊贾瑛卓来源：《电子技术与软件工程》2018年第02期摘要在阵列信号处理方面，通常采用传统MUSIC方法进行信号波达方向估计。

但是在处理非高斯信号时，信号中含有高斯色噪声，采用传统方法难以进行波达方向准确估计。

结合这一问题，本文对高阶统计量及在阵列信号处理中的应用问题展开了分析，发现采用高阶统计量可以有效解决非高斯信号处理问题。

【关键词】高阶统计量阵列信号处理高斯色噪声1 高阶统计量的概念分析对于概率密度f（x）来讲，随机变量x拥有两个特征函数，同时拥有k阶矩、k阶累量。

在随机过程中{x（n）}中，随机变量则拥有r阶矩、r阶累量。

所谓的高阶谱，则是将随机过程k阶累量（k-1）维傅里叶变换当成是随机过程的k阶谱。

在k阶谱定义上，之所以采用k阶累量，主要是由于其能避免高斯有色噪声印象，采用高阶矩容易受到高斯噪声影响。

其次，在独立统计的随机过程之和计算中，总累量为两个随机过程累量之和。

采用该种方法进行加性信号处理，可以轻松完成累量计算。

2 高阶统计量及在阵列信号处理中的应用2.1 阵列信号波达方向估计问题在阵列信号处理方面，需要完成远场信号波达方向估计，以完成信号空间谱估计。

在对波达方向进行估计时，可以采用两大类方法，即参数化方法和基于空间谱方法。

采用参数化方法，需搜索感兴趣参数。

比如采用极大似然法，就能进行参数搜索，以至于导致计算量不断增加。

采用空间谱分析方法，需完成由空间方位构成的谱函数构造，然后通过搜索谱峰完成信号波动方向检测。

2.2 基于四阶累积量的MUSIC方法在阵列信号处理上，过去通常假设噪声或信号服从高斯分布，所以只需要利用二阶统计量就能完成信号处理。

但在实际生活中，多数信号为非高斯分布，比如存在色噪声的非理想均匀线性阵列信号。

针对该类信号，还要采用基于四阶累积量的MUSIC方法，以达到抑制色噪声的目的。

采用该方法，可以借助四阶累积量实现阵列扩展，采用的方法与传统协方差MUSIC 方法相似，但是需要利用四阶累积量噪声子空间完成空间谱函数构造。

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C4 (w1 , w2 , w3 )
k1 k2 k3
c (k , k , k ) exp[ j(k w k w

k3w3 )]
2016/6/2
大连理工大学
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• Alpha稳定分布
– 是广义的高斯分布;
– 是唯一的一类构成独立同分布（i.i.d.）随机变量之 和的极限分布；
mon(1 x1 , 2 x2 ,, k xk ) i mon( x1 , x2 ,, xk )
i 1 k k
cum(1 x1 , 2 x2 ,, k xk ) i cum( x1 , x2 ,, xk )
i 1
2016/6/2
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– 性质2：矩和累积量关于他们的变元是对称的，即：
则上式变成单变量E{x(t ) x(t 1 ) x(t k 1 )}
2016/6/2
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15
• 2. 高阶累积量的定义
– 随机信号 x (t ) 的 k 阶累积量表示为：
ck (1,, k 1 ) cum[ x(t ), x(t 1 ),, x(t k 1 )]
归零化峰度>0
归零化峰度=0
归零化峰度<0
2016/6/2
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21
• 矩和累积量的关系
– 高阶矩和高阶累积量可以互相转换：
– （1）用高阶矩表示高阶累积量：
c( I )
q p 1 I p I

( 1)
q 1
( q 1)! m( I p )
p 1
q
– （2）用高阶累积量表示高阶矩：
2016/6/2
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• 双谱的性质
① 双谱一般是复数，可表示为幅值与相位的乘积
B(1, 2 ) B(1, 2 ) e j (1 ,2 )
② 对称性：
B(1, 2 ) B(2 , 1 )
③ 周期性： 双周期函数，两周期均为 2 。
B(1, 2 ) B(1 2π, 2 2π)
2016/6/2 大连理工大学 19
• 4. 非高斯信号
• 非高斯信号的定义
– 概率密度函数为非高斯函数的信号称为非高斯信号； – 非高斯信号一定存在某个高阶累积量不为0。
• 斜度(skewness)的概念
– 实信号 x(t ) 的斜度定义为： –
Sx E{x3 (t )}
– 斜度是衡量一个随机信号偏离对称分布的歪斜程度。
2016/6/2
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13
§13.2 高阶矩与高阶累积量
• 1. 高阶矩的定义
– 令 x1 (t ), x2 (t ),, xk (t ) 是k个连续的随机变量，则这 k个变量的 k 阶矩表示为
m1,1,,1 E x1 (t ) x2 (t ) xk (t )
特别地，令
x1 (t ) x(t ), x2 (t ) x(t 1 ),, xk (t ) x(t k 1 )
– 不存在二阶和高阶统计量； – 因此常规的基于二阶统计量的信号处理算法退化； – 常用分数低阶统计量的方法进行信号处理。
2016/6/2
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• 分数低阶统计量
– 统计矩从0阶一直延伸至无穷，最常用的是一阶和 二阶统计量； – （0,2）阶的统计量称为分数低阶统计量； – 有多种分数低阶统计量，例如共变、分数阶相关、 分数阶协方差等； – 分数低阶统计量适合于Alpha稳定分布信号处理。
• 便于计算分析。
– 但是实际应用中，大部分随机信号是非高斯分布的； – 若采用高斯分布来描述，会使所设计的信号处理系 统退化。
2016/6/2
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5
• 非高斯信号分析与处理成为信号处理领 域的热点研究问题
– 科学技术的发展提出了这种需要；
– 数学、信号处理和计算机技术的发展，提供了这种 可能。
2016/6/2 大连理工大学 9
• 高阶矩与高阶统计量
– 在非高斯信号处理中，一些信号的二阶统计量无法 描述信号的特征，需要采用高阶统计量。例如三阶 和四阶统计量：
c3 (k1, k2 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 )]
c4 (k1 , k2 , k3 ) E[ x(n) x(n k1 ) x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k1)]E[ x(n k2 ) x(n k3 )] E[ x(n) x(n k2 )]E[ x(n k1 ) x(n k3 )]E[ x(n k1 ) x(n k2 )]
2016/6/2
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10
• 信号的双谱和三谱
– 信号的双谱和三谱分别是信号的三阶累积量和四阶 累积量的二维和三维傅里叶变换：
C3 (w1 , w2 )
k1 k2

c (k , k ) exp[ j(k w k w )]
3 1 2 1 1 2 2
4 1 2 3 1 1 2 2
– 说明：上式是定义式，一般不用于计算。
2016/6/2
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• 3. 高斯信号的高阶矩和高阶累积量
– 设 x (t ) 是高斯随机变量，均值为0，方差为 2 ，其 概率密度函数表达式为
f ( x)
2 1 e 2 2 x2
– 则第一特征函数为
() f ( x)e dx e
mon( x1,, xi yi ,, xk ) mon( x1,, xi ,, xk ) mon( x1,, yi ,, xk ) cum( x1,, xi yi ,, xk ) cum( x1,, xi ,, xk ) cum( x1,, yi ,, xk )
j x

2 2 / 2
– 随机变量x的各阶原点矩可表示为
k d ( ) k (k ) k mk ( j)k ( j) (0) E { x } k d 0
2016/6/2
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– 对第一特征函数求各阶导，并且将 0 带入所得 的各阶导数表达式，得高斯随机变量的高阶矩计算 结果，即
大连理工大学硕士研究生校管课程
信号处理与数据分析
Part V 现代信号处理简介
电子信息与电气工程学部 邱天爽 2015年12月
2016/6/2 大连理工大学 1
大连理工大学硕士研究生校管课程
信号分析与数据处理
第13章
高阶与分数低阶统计量信号处理
电子信息与电气工程学部 邱天爽
2015年12月
2016/6/2 大连理工大学 2
2016/6/2
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• 2. 矩与统计量的概念
– 根据上图，二阶矩以上的统计矩称为高阶矩或高阶 统计量，其范围为 (2, ) ，一般取整数阶。
– 二阶矩以下的统计矩称为分数低阶矩，或分数低阶 统计量，其范围为（0,2），可以取这个范围内的任 何值。
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• 二阶矩与二阶统计量
m1 0, m2 2 , m3 0, m4 3 4
– 根据 ( ) 各阶导数的规律，高斯随机变量的任意高 阶矩可表示为
0, k为奇数 mk k 1 3 ( k 1) , k为偶数
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– 高斯随机变量的第二特征函数是第一特征函数的自 然对数 () ln () 22 / 2 – 高斯变量的各阶累积量，即
m( I )
p 1 q p 1 I p I
c( I
q
p
)
I p 的矩和累计量。
– 式中： 和 m( I p )
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C( I p ) 分别表示符号集
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• 矩和累积量的性质
– 设 mon( x1, x2 ,, xk ) 和 cum( x1, x2 ,, xk ) 分别表示k个随 机变量 x1, x2 ,, xk 的k阶矩和累积量 – 性质1：设 i 为常数，xi 为随机变量，其中 i=1,2,3,…,k，则：
内容概要
• §13.1 • §13.2 概述 高阶矩与高阶累积量
• §13.3
• §13.4
高阶谱与高阶谱估计
Alpha稳定分布与分数低阶统计量
• §13.5
非高斯信号处理应用
§13.1 概述
• 1. 高斯分布与非高斯分布
– 传统信号处理中，通常假定随机信号与噪声服从高 斯分布： • 服从中心极限定理（大量随机变量之和趋于高斯 分布）；
c1 0, c2 2 , , ck 0, k 3,4,.....
– 综上所述，任意高斯随机过程的二阶矩和二阶累积 量相等，均等于其方差；
– 奇数阶矩恒为0，偶数阶矩不为0；3阶及以上各阶 累积量恒为0。 – 由此看出，高阶累积量对于高斯随机过程是“盲 的”，即高阶累积量适用于处理非高斯信号。
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• 二阶矩与二阶统计量（续）
–
RX (m) 与其傅里叶变换即功率谱密度函数
Px ( w)
m


Rx (m)e jwm
– 一起构成基于二阶或二阶统计量的统计信号建模、 分析和处理的基础。 – 在过去的半个世纪中，自相关函数和功率谱密度函 数为信号处理提供了许多重要的概念和结构，例如 随机信号的频域表示，自适应滤波和线性预测理论 等。
– 主要包括相关与功率谱等概念方法；
– 在最优信号处理方面，基于二阶矩的最小均方误差 准则，往往是重要的选择；
– 设 X (n) {x(n)} 表示具有零均值的广义平稳离散随机 信号。 – 在不引起混乱的情况下，以x(n)来表示同样的离散 随机信号。x(n)的二阶统计矩（自相关序列）定义 为