高阶谱分析

第3章 线性系统中的高阶累积量与高阶谱SISO 单入单出系统3.1 输入为高斯白噪声情况分析设()v k 是方差为2v σ的高斯白噪声，附加噪声)(k n 是方差为2n σ的高斯白噪声，且)(k v 与)(k n 统计独立。

)(k z 为系统输出。

)(∙r 和)(∙s 分别表示相关函数和功率谱。

则 ∑∞=++=+=022)()()()()()(i nvn y z k k i h i h k r k r k r δσσ(3.1)222)()(n v z H S σωσω+= (3.2)[])()()()(2k h k n z n v E k r v vz σ=+= (3.3) 系统函数)()(k h Z H −−→−反变换 证： 1° ∑+=mz k m z m z k r )()()()()()(m n m y m z +=[][]{})()()()()(k m n k m y m n m y E k r z ++++=∴ [][])()()()(k m n m n E k m y m y E +++= )()(k r k r n y += [])()()(k m y m y E k r y +=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∴∑∑l i y l k m v l h i m v i h E k r )()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=∑∑i l l k m v i m v l h i h E )()()()(2()()()l k ii E h i h k i v m i -=⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦∑= []∑-+=ii m v E i k h i h )()()(2∑+=iv i k h i h )()(2σ[]2()()()()n n r k E n m n m k k σδ=+=∑++=+=∴in v n y z k i k h i h k r k r k r )()()()()()(22δσσ2° ()()j k z z kS r k e ωω-=∑∑∑-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=k k j i n v e k i k h i h ωδσσ)()()(22k j k n k k j i v e k e i k h i h ωωδσσ--∑∑∑+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=)()()(222()2()()j i j k i v n i k h i e h k i e ωωσσ--+⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑222)(n v H σωσ+=功率谱是相位盲，不含有相位信息。

第1章 高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。

其中)(x f 为概率密度函数。

离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。

例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e e x j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则 2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。

2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e eE n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。

例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ (1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k k k )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。

高阶谱分析Higher-Order Spectra Analysis第一章 绪论在过去的30多年中，由于系统理论、统计学、数值分析、计算机科学和集成电路技术等领域思想与方法的结合使信号处理特别是数字信号处理有了巨大的发展。

传统信号处理的主要特点是研究线性的（Linear）、因果的(Causal)、最小相位的(Minimum phase)、高斯分布的(Gaussian)、平稳的(Stationary)和整数维(Integer dimensional)的信号分析与综合。

现代信号处理的特点是注重研究非线性的(Non-linear)、非因果的(Non-causal)、非最小相位(Non-minimum phase)信号与系统，以及非高斯的(Non-Gaussian)、非平稳的(Non-stationary)和分形(Fractional)（非整数维）信号和非白色(Color)的加性(Additive)噪声。

信号处理的目的：处理有限个数据样本，并从中提取隐藏在这些数据中的重要信息。

研究途径：通常是通过研究和建立描述数据特性的数学模型（算法实现：软件和硬件）并应用于真实数据的处理。

图1-1 信号处理流程图评价信号处理技术（算法）考虑的主要因素包括：1．估计质量（quality of the estimate）2．计算复杂度（computational complexity）3．数据吞吐率（data throughput rate）4．实现成本（cost of implementation）5．有线字长效应（finite word-length effects）6．结构特性（structural properties）实际应用中，常需要在这些因素之间进行折中考虑。

1.1 功率谱（Power Spectrum ）功率谱密度（PSD: Power Spectrum Density ）是数字信号处理中的一种常用技术。