下载文档原格式
0引言睡眠是一项非常重要的生命过程，但至今人们对其了解甚少。
关于睡眠的研究最早在20世纪30年代，德国精神病学家Berger[1]发现人在睡眠和清醒期（wakefulness，W）的脑电（electroencephalogram，EEG）活动呈现不同的节律。
1953年，Aserinsky等[2]发现了快速眼动（rapid eye movement，REM）睡眠与非快速眼动（non-rapid eye movement，NREM）睡眠。
1968年，Rechtschaffen和Kales[3]提出R&K睡眠分期标准，将NREM期细分为S1、S2、S3、S44个阶段。
S1、S2阶段为浅度睡眠期（light sleep，LS），S3、S4阶段为慢波睡眠期（slow-wave sleep，SWS）。
2007年美国睡眠医学学会（American Academy of Sleep Medicine，AASM）将基于脑电信号特征提取的睡眠分期方法研究刘戈1，刘洪运2，石金龙2，王国静2，胡敏露2，王卫东2*（1.解放军总医院海南医院，海南三亚572013；2.解放军总医院医学创新研究部，北京100853）基金项目:国家自然科学基金资助项目（61701540）；国家重点研发计划项目子课题（2016YFC1305703）；军队重大科研项目子课题（AWS14R010）作者简介:刘戈（1992—），女，硕士，助理工程师，主要从事基于人工智能的生理信号分析方面的研究工作，E-mail：****************。
通信作者:王卫东，E-mail：*****************R&K 金标准中的S1、S2期相应更改为N1（NREM 1）、N2（NREM 2）期，S3、S4期合并为N3（NREM 3）期。
睡眠分期标准如图1所示。
近年来，基于单通道EEG 、多通道EEG 、心电（electrocardiogram ，ECG ）、眼电（electro-oculogram ，EOG ）、肌电（electromyogram ，EMG ）和呼吸等生理信号提取特征并使用分类器进行睡眠分期研究的国内外学者越来越多。
1.什么是白噪声？答：白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。
白噪声或白杂讯，是一种功率频谱密度为常数的随机信号或随机过程。
换句话说，此信号在各个频段上的功率是一样的，由于白光是由各种频率（颜色）的单色光混合而成，因而此信号的这种具有平坦功率谱的性质被称作是“白色的”，此信号也因此被称作白噪声。
相对的，其他不具有这一性质的噪声信号被称为有色噪声。
理想的白噪声具有无限带宽，因而其能量是无限大，这在现实世界是不可能存在的。
实际上，我们常常将有限带宽的平整讯号视为白噪音，因为这让我们在数学分析上更加方便。
然而，白噪声在数学处理上比较方便，因此它是系统分析的有力工具。
一般，只要一个噪声过程所具有的频谱宽度远远大于它所作用系统的带宽，并且在该带宽中其频谱密度基本上可以作为常数来考虑，就可以把它作为白噪声来处理。
例如，热噪声和散弹噪声在很宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，通常可以认为它们是白噪声。
高斯白噪声的概念——."白"指功率谱恒定;高斯指幅度取各种值时的概率p (x)是高斯函数高斯噪声——n维分布都服从高斯分布的噪声高斯分布——也称正态分布，又称常态分布。
对于随机变量X，记为N（μ，σ2），分别为高斯分布的期望和方差。
当有确定值时，p(x)也就确定了，特别当μ=0，σ2=1时，X的分布为标准正态分布。
2.matlab中白噪声和有色噪声怎么表示？答：假设V和W是2个n维噪声序列，其中V表示白噪声，W表示有色噪声，在MATLAB中表示方法为：V=randn(m,n)W = filter(b,1,V);b为滤波器系数。
3. 什么叫单边功率谱和双边功率谱？他们如何计算?答：单边功率谱密度(N0)主要用在复数信号中，双边功率谱密度(N0/2)主要用在实信号中。
单边功率谱适于基带分析，在基带中是0中频。
如果信号通过了调制，将原中频搬移到了高频段，原来的负频部分就成了正频，利用双边功率谱进行分析。
高阶统计量及在阵列信号处理中的应用作者：姚泽昊贾瑛卓来源：《电子技术与软件工程》2018年第02期摘要在阵列信号处理方面，通常采用传统MUSIC方法进行信号波达方向估计。
但是在处理非高斯信号时，信号中含有高斯色噪声，采用传统方法难以进行波达方向准确估计。
结合这一问题，本文对高阶统计量及在阵列信号处理中的应用问题展开了分析，发现采用高阶统计量可以有效解决非高斯信号处理问题。
【关键词】高阶统计量阵列信号处理高斯色噪声1 高阶统计量的概念分析对于概率密度f（x）来讲，随机变量x拥有两个特征函数，同时拥有k阶矩、k阶累量。
在随机过程中{x（n）}中，随机变量则拥有r阶矩、r阶累量。
所谓的高阶谱，则是将随机过程k阶累量（k-1）维傅里叶变换当成是随机过程的k阶谱。
在k阶谱定义上，之所以采用k阶累量，主要是由于其能避免高斯有色噪声印象，采用高阶矩容易受到高斯噪声影响。
其次，在独立统计的随机过程之和计算中，总累量为两个随机过程累量之和。
采用该种方法进行加性信号处理，可以轻松完成累量计算。
2 高阶统计量及在阵列信号处理中的应用2.1 阵列信号波达方向估计问题在阵列信号处理方面，需要完成远场信号波达方向估计，以完成信号空间谱估计。
在对波达方向进行估计时，可以采用两大类方法，即参数化方法和基于空间谱方法。
采用参数化方法，需搜索感兴趣参数。
比如采用极大似然法，就能进行参数搜索，以至于导致计算量不断增加。
采用空间谱分析方法，需完成由空间方位构成的谱函数构造，然后通过搜索谱峰完成信号波动方向检测。
2.2 基于四阶累积量的MUSIC方法在阵列信号处理上，过去通常假设噪声或信号服从高斯分布，所以只需要利用二阶统计量就能完成信号处理。
但在实际生活中，多数信号为非高斯分布，比如存在色噪声的非理想均匀线性阵列信号。
针对该类信号，还要采用基于四阶累积量的MUSIC方法，以达到抑制色噪声的目的。
采用该方法，可以借助四阶累积量实现阵列扩展，采用的方法与传统协方差MUSIC 方法相似，但是需要利用四阶累积量噪声子空间完成空间谱函数构造。
高阶统计量方法及应用研究高阶统计量方法是近几年国内外信号处理领域内的一个前沿课题,它包含了二阶统计量没有的大量丰富信息,广泛应用于所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中。
凡是使用功率谱或相关函数进行分析与处理,而又未得到满意结果的任何问题都值得重新使用高阶统计量方法。
高阶统计量的发展与应用是信号处理领域近年来一个十分重要的发展,是现代信号处理的核心内容之一。
1 国内外研究应用现状及发展趋势高阶统计量方法是近几年国内外信号处理领域内的一个前沿课题。
高阶统计量广泛应用于所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中。
其研究内容包括高阶统计量、非参数化高阶谱分析、因果和非因果非最小相位系统的辨识、自适应估计和滤波、信号重构、信号检测、谐波恢复、多元时间序列分析、时变非高斯信号的时频分析、阵列处理、循环平稳时间序列分析以及其他专题(时延估计、盲反卷积和盲均衡、多维高斯信号)。
在信号处理领域,人们常常习惯于假设信号或噪声服从高斯分布,从而仅用二阶统计量便可提取信息,进行参数辨识以及各种处理。
但是,高斯分布只是许多分布类型中的一种,非高斯信号才是更普遍的信号。
对非高斯信号来说,二阶统计量只是其中一种信息,它不包含相位信息,因此对非最小相位系统的辨识而言,二阶统计量便显得无能为力。
在实际工作中,常常面临大量非高斯、非最小相位、非因果、非平稳信号的处理问题。
利用高阶统计量辨识解决这些问题的主要手段,高阶统计量提供了前所未有的十分丰富的信息,使我们可辨识非因果、非最小相位、非线性系统可以抑制高斯或非高斯的有色噪声可以抽取不同于高斯信号的多种信号特征可以分析与处理循环平稳信号等等。
高阶统计量是现代信号处理的核心内容之一。
人们对高阶统计量的研究已有近几十年的历史,虽然早在年代初许多领域的研究人员就开始了对高阶统计量的研究,但是真正的研究高潮却是在年代后期,经过短短几年的迅速发展,高阶统计量已在雷达、声纳、通信、海洋学、天文学、电磁学、等离子体、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体动力学等领域获得了广泛的应用。
第1章 高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF eeE x j xj xj )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。
其中)(x f 为概率密度函数。
离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。
例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e ex j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。
2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e e E n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式 或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。
例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --==x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21exp )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ(1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k kk )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。
随机变量x 的k 阶中心矩定义为⎰∞∞--=-=dx x p x x E k kk )()(])[(ηημ (1.2)由式(1.2)可见，10=μ,01=μ,22σμ=。
若),,2,1(n k m k =存在，则x 的特征函数)(ωΦ可按泰勒级数展开，即)()(!1)(1n k nk kO j k m ωωω++=Φ∑= (1.3) 并且k m 与)(ωΦ的k 阶导数之间的关系为n k j d d j m k k kk kk ≤Φ-=Φ-==),0()()()(0ωωω (1.4)(2) 高阶累积量定义x 的第二特征函数)(ωψ按泰勒级数展开，有)()(!)(ln )(1n k nk kO j k c ωωωω+=Φ=ψ∑= (1.5) 并且k c 与)(ωψ的k 阶导数之间的关系为n k j d d j d d jc kk kk k k k kk ≤ψ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡Φ===),0()()(1)(ln 100ωωωωωω (1.6)k c 称为随机变量x 的k 阶累积量，实际上由1)0(=Φ及)(ωΦ的连续性，存在0 δ，使δω 时，0)(≠Φω，故第二特征函数)(ln )(ωωΦ=ψ对δω 有意义且单值（只考虑对数函数的主值），)(ln ωΦ的前n 阶导数在0=ω处存在，故k c 也存在。
(3) 二者关系下面推导k c 与k m 之间的关系。
形式地在式(2.3)与式(2.5)中令∞→n ，并利用⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=Φ∑∑∞=∞=k k k kk k j k c j k m )(!exp )(!1)(11ωωω+⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∑∑∞=∞=∞=nk k k k k k k k k j k c n j k c j k c )(!!1)(!!21)(!11211ωωω(1.7)比较上式中各),2,1()( =k j k ω同幂项系数，得k 阶累积量与k 阶矩的关系如下：η===][11x E m c22222122]])[[(])[(][μ=-=-=-=x E x E x E x E m m c33323312133]])[[(])[(2)][(][3][23μ=-=+-=+-=x E x E x E x E x E x E m m m m c4441221312244]])[[(61243μ=-≠-+--=x E x E m m m m m m m c若0][==ηx E ，则 011==m c ][222x E m c ==][333x E m c == 2242244])[(3][3x E x E m m c -=-= 由上可见，当随机变量x 的均值为零时，其前三阶累积量与前三阶矩相同，而四阶累积量与相应的高阶矩不相同。
2. 多个随机变量情形 (1) 高阶矩给定n 维随机变量),,,(21n x x x ，其联合特征函数为)]([exp ),,,(221121n n n x x x j E ωωωωωω+++=Φ (1.8)其第二联合特征函数为),,,(ln ),,,(2121n n ωωωωωω Φ=ψ (1.9)可见，联合特征函数),,,(21n ωωω Φ就是随机变量),,,(21n x x x 的联合概率密度函数),,,(21n x x x p 的n 维付里叶变换。
对式(1.8)与(1.9)分别按泰勒级数展开，则阶数n k k k r +++= 21的联合矩可用联合特征函数),,,(21n ωωω Φ定义为21212121212121),,,()(][====⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂Φ∂-==n n n nk n k k n r rk nk k k k k j x x x E m ωωωωωωωωω (1.10) (2) 高阶累积量同样地，阶数n k k k r +++= 21的联合累积量可用第二联合特征函数),,,(21n ωωω ψ定义为2121021212121212121),,,(ln )(),,,()(========∂∂∂Φ∂-=∂∂∂ψ∂-=n n n n nk nk k n r rk nk k n rk k k j j c ωωωωωωωωωωωωωωωωωω (1.11)(3) 二者关系联合累积量n k k k c 21可用联合矩n k k k m 21的多项式来表示，但其一般表达式相当复杂，这里不加详述，仅给出二阶、三阶和四阶联合累积量与其对应阶次的联合矩之间的关系。
设321,,x x x 和4x 均为零均值随机变量，则][),(212111x x E x x cum c == (1.12a)][),,(321321111x x x E x x x cum c == (1.12b)),,,(43211111x x x x cum c =][][][][][][][3241423143214321x x E x x E x x E x x E x x E x x E x x x x E ---= (1.12c) 对于非零均值随机变量，则式(1.12)中用][i i x E x -代替i x 即可。
与单个变量情形类似，前三阶联合累积量与前三阶联合矩相同，而四阶及高于四阶的联合累积量则与相应阶次的联合矩不同。
注意，式(1.12)中采用)(∙cum 表示联合累积量的方法在以后将时常用到。
3. 平稳随机过程的高阶累积量设)}({n x 为零均值k 阶平稳随机过程，则该过程的k 阶累积量),,,(121,-k x k m m m c 定义为随机变量)}(,),(),({11-++k m n x m n x n x 的k 阶联合累积量，即))(,),(),((),,,(11121,--++=k k x k m n x m n x n x cum m m m c (1.13) 而该过程的k 阶矩),,,(121,-k x k m m m m 则定义为随机变量)}(,),(),({11-++k m n x m n x n x 的k 阶联合矩，即))(,),(),((),,,(11121,--++=k k x k m n x m n x n x mom m m m m (1.14)这里，)(∙mom表示联合矩。
由于)}({n x 是k 阶平稳的，故)}({n x 的k 阶累积量和k 阶矩仅仅是时延121,,,-k m m m 的函数，而与时刻n 无关，其二阶、三阶和四阶累积量分别为)]()([)(,2m n x n x E m c x += (1.15a) )]()()([),(2121,3m n x m n x n x E m m c x ++= (1.15b))()()]()()()([),,,(32,21,2321321,4m m c m c m n x m n x m n x n x E m m m c x x x --+++=)()()()(21,23,213,22,2m m c m c m m c m c x x x x ----(1.15c)可以看出，)}({n x 的二阶累积量正好就是其自相关函数，三阶累积量也正好等于其三阶矩，而)}({n x 的四阶累积量则与其四阶矩不一样，为了得到四阶累积量，必须同时知道四阶矩和自相关函数。
1.3 高阶累积量的性质高阶累积量具有下列重要特性：(1) 设),,2,1(k i i =λ为常数，),,2,1(k i x i =为随机变量，则 ),,(),,(1111k ki i k k x x cum x x cum ∏==λλλ(2) 累积量关于变量对称，即),,,(),,(211k i i i k x x x cum x x cum =其中),,(1k i i 为),,1(k 中的任意一种排列。
