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第1章 高阶统计量的定义与性质1.1 准备知识1. 随机变量的特征函数若随机变量x 的分布函数为)(x F ，则称⎰⎰∞∞-∞∞-===Φdx x f e x dF e e E x j x j x j )()(][)(ωωωω为x 的特征函数。
其中)(x f 为概率密度函数。
离散情况：}{,][)(k k k kx j x j x x p p p e e E k ====Φ∑ωωω特征函数)(ωΦ是概率密度)(x f 的付里叶变换。
例：设x ~),(2σa N ，则特征函数为dx e e x j a x ⎰∞∞---=Φωσσπω222/)(21)(令σ2/)(a x z -=，则dz e aj z j z⎰∞∞-++-=Φωσωπω221)(根据公式：AB AC CxBx AxeAdx e 222--∞∞--±-=⎰π，则 2221)(σωωω-=Φa j e若0=a ，则2221)(σωω-=Φe。
2. 多维随机变量的特征函数设随机变量n x x x ,,,21 联合概率分布函数为),,,(21n x x x F ，则联合特征函数为),,,(][),,,(21)()(2122112211n x x x j x x x j n x x x dF e eE n n n n ⎰⎰∞∞-+++∞∞-+++==Φωωωωωωωωω令T n x x x ],,,[21 =x ,T n ],,,[21ωωω =ω，则⎰=ΦdX f e Tj )()(x ωx ω 矩阵形式或 n n x jn dx dx x x f eknk k ,,),,(),,,(11211⎰⎰∞∞-∞∞-∑=Φ=ωωωω 标量形式其中，),,,()(21n x x x f f =x 为联合概率密度函数。
例：设n 维高斯随机变量为T n x x x ],,,[21 =x ,T n a a a ],,,[21 =a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n c c c c c c2111211c )])([(],cov[k k i i k i ik a x a x E x x c --== x 的概率密度为⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=)()(21exp )2(1)(2/12/a x c a x cx T n P π x 的特征函数为⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φc ωωωa ωT T j 21ex p )( 矩阵形式其中，T n ],,,[21ωωω =ω,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=Φ∑∑∑===n i nj j i ij ni i i n C a j 1112121exp ),,,(ωωωωωω 标量形式 3. 随机变量的第二特征函数定义：特征函数的对数为第二特征函数为 )(ln )(ωωΦ=ψ (1) 单变量高斯随机过程的第二特征函数 22221ln )(22σωωωσωω-==ψ-a j e a j(2) 多变量情形j n i i nji ij i ni i n C a j ωωωωωω∑∑∑===-=ψ1112121),,,(1.2 高阶矩与高阶累积量定义1. 单个随机变量情形 (1) 高阶矩定义随机变量x 的k 阶矩定义为⎰∞∞-==dx x p x x E m k k k )(][ (1.1)显然10=m ，][1x E m ==η。
随机过程高阶统计量方法一、概述高阶统计量(Higher-order Statistics)是指比二阶统计量更高阶的随机变量或随机过程的统计量。
二阶统计量有：随机变量（矢量）：方差、协方差（相关矩）、二阶矩。
随机过程：自相关函数、功率谱、互相关函数、互功率谱、自协方差函数等。
高阶统计量有：随机变量（矢量）：高阶矩(Higher-order Moment) ，高阶累积量(Higher-order Cumulant) 从统计学的角度，对正态分布的随机变量（矢量），用一阶和二阶统计量就可以完备地表示其统计特征。
如对一个高斯分布的随机矢量，知道了其数学期望和协方差矩阵，就可以知道它的联合概率密度函数。
对一个高斯随机过程，知道了均值和自相关函数（或自协方差函数），就可以知道它的概率结构，即知道它的整个统计特征。
但是，对不服从高斯分布的随机变量（矢量）或随机过程，一阶和二阶统计量不能完备地表示其统计特征。
或者说，信息没有全部包含在一、二阶统计量中，更高阶的统计量中也包含了大量有用的信息。
高阶统计量信号处理方法，就是从非高斯信号的高阶统计量中提取信号的有用信息，特别是从一、二阶统计量中无法提取的信息的方法。
从这个角度来说，高阶统计量方法不仅是对基于相关函数或功率谱的随机信号处理方法的重要补充，而且可以为二阶统计量方法无法解决的许多信号处理问题提供手段。
可以毫不夸张地说，凡是使用功率谱或相关函数进行过分析与处理，而又未得到满意结果的任何问题，都值得重新试用高阶统计量方法。
高阶统计量的概念于1889 年提出。
高阶统计量的研究始于六十年代初，主要是数学家和统计学家们在做基础理论的研究，以及针对光学、流体动力学、地球物理、信号处理等领域特定问题的应用研究。
直到八十年代中、后期，在信号处理和系统理论领域才掀起了高阶统计量方法的研究热潮。
高阶统计量方法已在雷达、声纳、通信、海洋学、电磁学、等离子体物理、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体动力学等领域的信号处理问题中获得应用。
基于高阶统计量的BCG信号特性分析王子民;王曼;刘振丙;伍锡如【摘要】为了实现对心脏活动的非接触、无感觉检测分析,使用PVDF压电薄膜传感器,开发了心冲击图信号(脉搏信号-心电信号)综合采集设备.提出用高阶统计量来分析BCG信号,保留了BCG信号的相位信息.设备采集21名健康成年人运动前、后信号进行了信号差异性的对比分析,结果表明,运动前、后信号高阶统计量特征有显著差异,该方法能够区分不同状态下的BCG信号.【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》【年(卷),期】2018(038)005【总页数】8页(P373-380)【关键词】BCG信号;信号处理;高阶统计量;双谱分析【作者】王子民;王曼;刘振丙;伍锡如【作者单位】桂林电子科技大学计算机与信息安全学院 ,广西桂林 541004;桂林电子科技大学广西自动检测技术与仪器重点实验室 ,广西桂林 541004;桂林电子科技大学广西信息科学实验中心 ,广西桂林 541004;桂林电子科技大学电子工程与自动化学院 ,广西桂林 541004;桂林电子科技大学计算机与信息安全学院 ,广西桂林 541004;桂林电子科技大学电子工程与自动化学院 ,广西桂林 541004;桂林电子科技大学广西信息科学实验中心 ,广西桂林 541004【正文语种】中文【中图分类】TP391.4随着社会发展，由于工作压力增大，肥胖和环境污染，人们容易出现突发心脏问题，在过去的15年中，心脏病死亡人数占据各大疾病死亡人数之首，这越来越引起人们对心脏健康的重视。
95%的心脏病突发状况都发生在医院外，若能在早期采取保护措施，检测评估心脏功能和心脏活动的相对变化，提前预警，可降低心血管系统相关的疾病风险，因此人们对心脏日常监护的需求不断提高，医院以外的持续心脏监测技术呈现出其巨大的潜力，人们期望在日常生活中通过便捷的方式监测心脏活动，进而达到疾病预防的目的。
心脏搏动时血液从血管中喷射过程中会引起皮肤表面振动，对这种周期性微小振动进行检测并处理后，可得到心冲击图(ballistocardiogram,简称BCG)信号，BCG信号反映了心脏的力学特性[1]，相较于心电图(electrocardiogram，简称ECG)信号，它不需要在体表贴附电极，也不需要专业医护人员来操作，是一种非接触式、无创、无感觉的心脏监护方法[2]，在家庭医疗和日常监护上有突出的优势。
2004-10-632004-10-62004-10-6Where is the phase?Channel 12004-10-6channel 22004-10-6channel 32004-10-6Same Amplitude2004-10-6Different Phasechannel 12004-10-6Channel 22004-10-6channel 32004-10-6Same Auto-correlation2004-10-6Different TOM(Channel1)2004-10-6Different TOM(Channel 2)2004-10-6Different TOM(Channel 3)2004-10-6Amplitude of TOM2004-10-6Phase of TOM (Channel 1)2004-10-6Phase of TOM (Wavelet2)2004-10-6Phase of TOM (Wavelet3)2004-10-6Same cross-correlationDifferent TOCMTOCM of x1 and x2TOCM of y1 and y22004-10-6222004-10-6232004-10-6242004-10-6252004-10-6262004-10-6高阶统计量和二阶统计量对于非高斯信号，仅用二阶统计量来描述是不够的，因为其高阶统计量并不为零。
信道估计中，信道的二阶统计量丢失了相位信息，而高阶统计量保留了相位信息。
高阶统计量高阶矩高阶累计量高阶矩谱高阶累计量谱2004-10-62004-10-6312004-10-632高阶矩和高阶累计量关系高阶矩2004-10-634 2004-10-6352004-10-62004-10-6372004-10-6确定性信号的高阶谱2004-10-62004-10-6422004-10-6432004-10-6442004-10-645累计量投影性质2004-10-647三阶累计量支撑域信道的阶数决定其高阶累计量的支撑域。
高阶累积量在信号处理中的作用高阶累积量在信号处理中的作用，听起来好像个高深莫测的学问，其实它就像是信号世界中的调皮小精灵，悄悄地在每个数据背后舞动。
想象一下，咱们平时听到的音乐、看到的图像，背后全是信号在默默运作。
信号处理可不是无聊的数字游戏，它像是一场精彩的魔术表演，技术和艺术交织在一起，让生活变得更美好。
高阶累积量，听上去很复杂，其实说白了就是在观察信号时，我们不仅仅看它的基本形状，还要深挖一下，看看它内在的复杂性。
就像是翻开一本书，光看封面不够，得翻到里面，读读字句，才能发现故事的真谛。
常规的统计方法像是简单的食谱，只能告诉你材料是什么，但高阶累积量则是给你提供了烹饪的秘密技巧，让你的菜肴味道更加丰富。
这就好比在夏天喝的那杯冰镇饮料，不仅仅是水和冰块的组合，还得加点柠檬汁，来点薄荷，才能让人瞬间清凉透心。
在信号处理中，噪声就像是扰人的苍蝇，时不时地飞来打扰我们的美好时光。
高阶累积量帮助我们识别这些噪声，像个无敌的“苍蝇拍”，一拍就打掉。
你想啊，当我们听音乐的时候，总希望能享受到清晰动人的旋律，而不是被噪声搅和得七零八落。
高阶累积量能够帮助我们提取信号的更深层次的特征，把好东西留住，把坏东西赶走。
就像是在果园里，仔细挑选那些最甜的水果，绝对不能错过。
再说说非高斯性，听起来就像个难缠的怪兽，其实它就是信号中那些不按常理出牌的部分。
生活中有太多意外发生，信号处理也不例外。
高阶累积量就是为了处理这些非高斯性，像个聪明的侦探，发现那些隐藏的线索。
比如，你在海滩上捡到一块漂亮的贝壳，别人可能只看到沙子，而你却能一眼认出它的独特之处。
更有趣的是，高阶累积量在图像处理中的作用，简直是给图像加了层“滤镜”。
拍个照，光影、色彩、纹理，都是信号，而高阶累积量则帮助我们更清晰地看出图像背后的故事。
谁说信号处理就得枯燥无味？想象一下，用高阶累积量分析一张风景照片，能发现那阳光照射的角度、树影的形状，每一个细节都能通过数据变得生动。
高阶统计量及在阵列信号处理中的应用作者：姚泽昊贾瑛卓来源：《电子技术与软件工程》2018年第02期摘要在阵列信号处理方面，通常采用传统MUSIC方法进行信号波达方向估计。
但是在处理非高斯信号时，信号中含有高斯色噪声，采用传统方法难以进行波达方向准确估计。
结合这一问题，本文对高阶统计量及在阵列信号处理中的应用问题展开了分析，发现采用高阶统计量可以有效解决非高斯信号处理问题。
【关键词】高阶统计量阵列信号处理高斯色噪声1 高阶统计量的概念分析对于概率密度f（x）来讲，随机变量x拥有两个特征函数，同时拥有k阶矩、k阶累量。
在随机过程中{x（n）}中，随机变量则拥有r阶矩、r阶累量。
所谓的高阶谱，则是将随机过程k阶累量（k-1）维傅里叶变换当成是随机过程的k阶谱。
在k阶谱定义上，之所以采用k阶累量，主要是由于其能避免高斯有色噪声印象，采用高阶矩容易受到高斯噪声影响。
其次，在独立统计的随机过程之和计算中，总累量为两个随机过程累量之和。
采用该种方法进行加性信号处理，可以轻松完成累量计算。
2 高阶统计量及在阵列信号处理中的应用2.1 阵列信号波达方向估计问题在阵列信号处理方面，需要完成远场信号波达方向估计，以完成信号空间谱估计。
在对波达方向进行估计时，可以采用两大类方法，即参数化方法和基于空间谱方法。
采用参数化方法，需搜索感兴趣参数。
比如采用极大似然法，就能进行参数搜索，以至于导致计算量不断增加。
采用空间谱分析方法，需完成由空间方位构成的谱函数构造，然后通过搜索谱峰完成信号波动方向检测。
2.2 基于四阶累积量的MUSIC方法在阵列信号处理上，过去通常假设噪声或信号服从高斯分布，所以只需要利用二阶统计量就能完成信号处理。
但在实际生活中，多数信号为非高斯分布，比如存在色噪声的非理想均匀线性阵列信号。
针对该类信号，还要采用基于四阶累积量的MUSIC方法，以达到抑制色噪声的目的。
采用该方法，可以借助四阶累积量实现阵列扩展，采用的方法与传统协方差MUSIC 方法相似，但是需要利用四阶累积量噪声子空间完成空间谱函数构造。
高阶统计量方法及应用研究高阶统计量方法是近几年国内外信号处理领域内的一个前沿课题,它包含了二阶统计量没有的大量丰富信息,广泛应用于所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中。
凡是使用功率谱或相关函数进行分析与处理,而又未得到满意结果的任何问题都值得重新使用高阶统计量方法。
高阶统计量的发展与应用是信号处理领域近年来一个十分重要的发展,是现代信号处理的核心内容之一。
1 国内外研究应用现状及发展趋势高阶统计量方法是近几年国内外信号处理领域内的一个前沿课题。
高阶统计量广泛应用于所有需要考虑非高斯性、非最小相位、有色噪声、非线性或循环平稳性的各类问题中。
其研究内容包括高阶统计量、非参数化高阶谱分析、因果和非因果非最小相位系统的辨识、自适应估计和滤波、信号重构、信号检测、谐波恢复、多元时间序列分析、时变非高斯信号的时频分析、阵列处理、循环平稳时间序列分析以及其他专题(时延估计、盲反卷积和盲均衡、多维高斯信号)。
在信号处理领域,人们常常习惯于假设信号或噪声服从高斯分布,从而仅用二阶统计量便可提取信息,进行参数辨识以及各种处理。
但是,高斯分布只是许多分布类型中的一种,非高斯信号才是更普遍的信号。
对非高斯信号来说,二阶统计量只是其中一种信息,它不包含相位信息,因此对非最小相位系统的辨识而言,二阶统计量便显得无能为力。
在实际工作中,常常面临大量非高斯、非最小相位、非因果、非平稳信号的处理问题。
利用高阶统计量辨识解决这些问题的主要手段,高阶统计量提供了前所未有的十分丰富的信息,使我们可辨识非因果、非最小相位、非线性系统可以抑制高斯或非高斯的有色噪声可以抽取不同于高斯信号的多种信号特征可以分析与处理循环平稳信号等等。
高阶统计量是现代信号处理的核心内容之一。
人们对高阶统计量的研究已有近几十年的历史,虽然早在年代初许多领域的研究人员就开始了对高阶统计量的研究,但是真正的研究高潮却是在年代后期,经过短短几年的迅速发展,高阶统计量已在雷达、声纳、通信、海洋学、天文学、电磁学、等离子体、结晶学、地球物理、生物医学、故障诊断、振动分析、流体动力学等领域获得了广泛的应用。
