第十二讲-数列大题讲解_13

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高中数学第三章数列考试内容:数列．等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公式．等比数列及其通项公式．等比数列前n项和公式．考试要求：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题．（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,井能解决简单的实际问题．§03. 数列知识要点1. ⑴等差、等Array比数列：⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a （2≥n ） ③b kn a n +=（k n ,为常数）.⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )①注①：i. acb =，是a 、b 、c 成等比的双非条件，即acb =、b 、c 等比数列。

ii 。

acb =(ac ＞0)→为a 、b 、c 等比数列的充分不必要.iii. ac b ±=→为a 、b 、c 等比数列的必要不充分。

2021年{某某}小学小学数学学习资料教师：年级：日期：第十二讲因数倍数1.如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的，b就叫做a的。

2.整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是而且没有，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a.3.因为任何整数都能被整除，所以任何整数都是1的倍数，1是任何整数的因数。

4.因为0能被任何不是零的整数整除，所以0是的整数的倍数，任何不是零的整数也都是0的因数。

（为了方便，我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指不是零的自然数。

）5.一个数最小的因数是，最大的因数是；一个数的因数的个数是有限的。

6.一个数最小的倍数是，没有的倍数；一个数的倍数的个数是无限的。

7.个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除，能被2整除的的数叫做，如2，4，6，8，10，12…..不能被2整除的数叫做，如1，3，5，7，9….8.个位上是的数，都能被5整除；一个数的能被3整除，这个数就能被3整除。

9.如果一个数能被4整除，那么这个数就能被4整除；如果一个数的被9整除，那么这个数就能被9整除。

10.一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数就叫做。

11.一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数就叫做。

12.如果一个自然数的因数是质数，这个因数就叫做这个自然数的。

13.每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式；把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做。

14.用短除法分解质因数时，先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的开始）去除，得出的商如果是，就把除数和商写成相乘的形式，得出的商如果是，就照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止。

然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。

15.几个数公有的因数，叫做这几个数的；其中最大的一个，叫做这几个数的。

16.公因数只有1的两个数，叫做。

如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就只有。

17.如果较小的数是较大数的因数，那么它们的就是较小的那个数。

第十二讲数列大题讲解一【考点提示】1.数列的通项和前n项和公式：(1)________________________________________________________________________________ ___________________________________(2)________________________________________________________________________________ ___________________________________2.数列与方程、函数、不等式的交汇问题。

着重考查放缩法、综合法与分析法的应用：___________________________________________________________________________________ _____________________________________________.3.数列与平面向量的交汇等问题：___________________________________________________________________________________ _____________________________________________.二【典例分析】1.等差、等比数列的基本运算例1（2012山东高考)已知等差数列{a n}的前5项和为105，且a10＝2a5.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{a n}中不大于72m的项的个数记为b m，求数列{b m}的前m项和S m.例2 (2012·重庆高考)已知{a n}为等差数列，且a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.(1)求{a n}的通项公式；(2)记{a n}的前n项和为S n，若a1，a k，S k＋2成等比数列，求正整数k的值．2.等差、等比数列的判定与证明例3（2012·陕西高考)设{a n}是公比不为1的等比数列，其前n项和为S n，且a5，a3，a4成等差数列．(1)求数列{a n}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，S k＋2，S k，S k＋1成等差数列．例4 已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝4a n－3(n∈N*)．(1)证明：数列{a n}是等比数列；(2)若数列{b n}满足b n＋1＝a n＋b n(n∈N*)，且b1＝2，求数列{b n}的通项公式．例5 (2012·广东高考)设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．3.数列的有关范围问题例6 已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n 3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．例7 (2012年广州两校联考)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)．(1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列；(2)求证：{a n －3n}是等比数列并求数列{a n }的通项公式；(3)设3n b n ＝n (3n －a n )，且|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |<m 对于n ∈N *恒成立，求m 的取值范围．例8 (2012·日照一模)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，a 3是a 1，a 7的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，若T n ≤1λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值．4.数列求和问题例9 (2012·天津高考)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．例10 已知x ，f x2，3(x ≥0)成等差数列．又数列{a n }(a n >0)中，a 1＝3，此数列的前n 项和为S n ，对于所有大于1的正整数n 都有S n ＝f (S n －1)．(1)求数列{a n }的第n ＋1项；(2)若b n 是1a n ＋1，1a n 的等比中项，且T n 为{b n }的前n 项和，求T n .例11 （2012·湖北高考)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．5.数列与不等式例12 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n ，(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c ＝a 2·b ，证明：当且仅当n ≥3时，c <c .例13 (2011广东)设b＞0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝nba n－1a n－1＋n－1(n≥2)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1.例14 (2012年高考广东卷)设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n＝a n＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n<32.。

《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。

2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。

3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。

二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。

2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。

3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。

4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。

5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。

2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。

2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。

3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。

五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。

2. 第二课时：等比数列的应用举例。

3. 第三课时：数列的求和公式及应用。

4. 第四课时：数列的通项公式的应用。

5. 第五课时：数列在函数中的应用。

6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。

六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。

2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。

3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。

七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。

2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。

3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。

八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。

第十二讲 排序不等式与切比雪夫不等式一、 知识概要 1.排序不等式定理1 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，12,,n i i i L L 与12,,n j j j L L 是1,2,3n L 的任意的两个排列，则:11221122nni j o j i j n n a b a b a b a b a b a b ++≤++L L 11221211nni j o j i j n n n a b a b a b a b a b a b -++≥+++L L可以简单的理解为：反序和≤乱序和≤同序和.2.切比雪夫不等式定理2 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≤≤≤L L ，则：111()()n nnk kk kk k k a ba bnnn===≤∑∑∑.定理3 设12n a a a ≤≤≤L L ，12n b b b ≥≥≥L L ，则：111()()nnnkkk kk k k a ba bnnn===≥∑∑∑.3.幂平均不等式定理4 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≤L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).定理5 设正实数12,,,n a a a L L ,且0αβ<< ,则111212()()n n a a a a a a n nαααββββα++++++≥L L(等号成立当且仅当12n a a a ===L L ).二、解题指导例1.设,,,a b c d 满足1ab bc cd da +++=的非负实数， 求证：333313a b c d b c d a c d b a d b a c +++≥++++++++.例2.已知,,a b c R +∈，1abc =,证明:33311132()()()a b c b a c c a b ++≥+++.例3.设123,,,(2)n x x x x n ≥L 都是正实数，且11ni i x ==∑，求证：1nni =≥.例4.设正实数12,,n a a a L 满足121n a a a +++=L ，证明：1212231222223311()()1n n a a a na a a a a a n a a a a a a ++++++≥++++L L .例5.设0(1,2,3,,)i x i n >=L ，求证：12331212312()nnx x x x x x x x nn n x x x x x x x +++⋅≥L L L .三、习题演练1.用排序不等式证明下列不等式： （1）3333a b c abc ++≥； （2）222222b c c a a b abc a b c++≥++；（3）3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++.2.设,,0a b c >，1111111a b b c c a ++=++++++，求证：a b c ab bc ac ++≥++.3.设,,0a b c >，求证：888333111a b c a b c a b c ++++≤.4.设,,0x y z >，满足1x y z ++=，≥5.将1,2,3n L 这n 个正整数任意排列可以得到!n 个不同的数列，问其中是否存在4个数列： 123,,,,n a a a a L ，12,,,n b b b L 123,,,n c c c c L K ，23,,,n d d d d L K 使得 11221122332()n n n n a b a b a b c d c d c d c d +++=++++L L .6.设0(1,2,3,)k p a q k n <≤≤=L ，试求：111()()nnk i i kf a a ===∑∑的最大值与最小值.。

数列史上最全求通项公式10种方法并配大量习题及答案求数列通项公式的方法有很多种。

这个问题通常是高考试卷的第一问，如果无法解决或没有思路，那么即使后面的问题可以解决，也是无济于事的。

下面我们逐个讲解这些重要的方法。

递推公式法是指利用an=Sn−Sn−1的形式，其中Sn表示数列的前n项和。

这种方法有两种类型。

第一种类型是题目中给出的是Sn=f(n)的形式，要将n改成n-1，包括角标，这样加上题中给出的式子就得到两个式子，两式子做差，即可整理出通项公式。

但是需要注意的是，求出的通项公式一定要检验是否需要写成分段的形式，即验证一下a1和S1是否相等，若不相等，则需要写成分段的形式。

第二种类型是a(n-1),an和a(n+1)与S(n-1),Sn和S(n+1)同时存在于一个等式中，我们的思路是将n改写成n-1，又得到另一个式子，这两个式子做差，在做差相减的过程中，要将等式的一端通过移项等措施处理为零，这样整理,容易得出我们想要的关系式。

累加法（迭、叠加法）是在教材上推导等差数列通项公式和前n项和公式的时候使用的一种方法。

其实这个方法不仅仅适用于等差数列，它的使用范围是非常广泛的。

只要适合an=an-1+f(n)的形式，都可以使用累加法。

基本的书写步骤是将an-an-1=f(n)展开，然后累加，得到an-a1=f(2)+f(3)+f(4)+。

+f(n)。

因此重点就是会求后边这部分累加式子的和，而这部分累加的式子，绝大部分都是三种情况之一，要么是一个等差数列的前n-1项的和，要么是一个等比数列的前n-1项的和，要么就是能够在累加过程能够中消掉，比如使用裂项相消法等。

累乘法的使用条件是，凡是适合an=an-1*f(n)形式的求通项公式问题，都可以使用累乘法。

它的基本书写步骤格式是：an=a1*f(2)*f(3)*。

*f(n)。

以上是数列通项公式的三种求法。

2.改写每段话：首先，我们来看等式左右两边的乘积。

左边相乘得到的总是1，右边相乘得到的是f(2)乘以f(3)乘以f(4)一直到f(n)。

第十二讲 等差数列在今天这节课中，我们来学习等差数列在实际解题过程中的综合运用.这节课主要以等差数列的综合运用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，建议教师在本节课系统讲解一下. 知识点：1、等差数列在计算题中的综合运用.2、等差数列在数表中的综合运用.分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.[复习一]你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？快快举手，多多赢得小印章！（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用S n 来表示 .（3） 三个重要的公式：你还记得吗教学目标想 挑 战 吗 ？盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差， 1(1)n a a n d =+-⨯递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，1(1)n a a n d =--⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯> ② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n a a >若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a >若）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法. ③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，1()2n n s a a n =+⨯÷ 对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手： （思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .[复习2]（1）3、5、7、9、11、13、15、…… ，这个数列有多少项？它的第102项是多少？（2）已知等差数列2、5、8、11、14 … ，问47是其中第几项？（3）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）= 205 ；（2）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 …、47 ，那么这个数列有：n=（47-2）÷3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；（3）要求第16项，必须知道首项和公差.第10项－第4项=（10－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第16项=首项+15×公差=93 .专题精讲（一）等差数列在计算中的综合运用【例1】（1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；（3）61+692+6993+69994+699995+6999996分析：（1）同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100，l+3+5+…+974-99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：2-l，4-3，6-5，…，100-99，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式=(2-1)+((4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50 （2）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680；（3）原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=7777731[评注]以上都是些常见的数列求和问题，以后我们遇到的题都是和这些题的类型相似的，我们应该熟练掌握他们的计算方法．【例2】（1）从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？（2）1至100各数，所有不能被9整除的自然数的和是多少？分析：（1）因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．（2）在1至100中，被9整除的数的和是：9+18+27+…+99=9×(1+2+3+…+11)=9×66=594；1至100各数之和是：1+2+3+…+100=5050；所以在1至100的各数中，所有不能被9整除的数的和是：5050—594=4456．[前铺一]求100以内除以3余2的所有数的和.分析：100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项，（98－2）÷3+1=33 ，再利用公式求和 (2+98)× 33÷2=1650 .[前铺二]在1～100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1～100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9×1，最大的数是99=9×11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11-1+1=11项，所以，所求数的和是：9+18+27+……+99=（9+99）×11÷2=594.【例3】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，… 偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数， 第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数 ，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .[前铺一]已知数列2，4，6，8，……，问这个数列中第2000个数是多少？分析：根据等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-⨯，第2000个数为：2+（2000-1）×2=4000。

小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。

选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。

台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。

由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。

观众的情绪也影响着两位分数统计者。

只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。

等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。

小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。

于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。

你可以试一试。

”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。

第十二讲 数列大题讲解（2）1.数列放缩法的应用例 1 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，都有，且满足23331212()n n a a a a a a +++=++.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）当01λ<<时，设1(1)(),(1)2n n n n b a c a λλ=-+=+，数列1{}n nb c 的前n 项和n T ，求证：9143n n T n ->+.例2 数列{}n a 满足121,5a a ==，当2n ≥时，1156n n n a a a +-=-.（1）证明：数列1{3}n n a a +-为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）试比较n a 与221n +的大小，并说明理由.例3 已知数列{}n b 是等差数列，且112101,145b b b b =++=.（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n a 的通项1log (1)n a na b =+，记n S 是数列{}n a 的前n 项和.证明：1log 3a n n b S +>（其中1a >）.例4 已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，数列{}n b 中(61)n n b n a =-. （1）求数列{}n b 前n 项和n T ；（2）猜测n T 与223132n n-的大小关系，并证明你的结论.例5 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，11a =，且127,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的前n 项和为n S ； （2）设(1,*)1n n S nb n n N n -=>∈-，且12b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：11642918(1,*)(9)nn n n b T b n n N n b -+-+>>∈+.2. 数列新型题例1 已知等差数列{}n a （*n N ∈）中，12947,232,37n n a a a a a a +>=+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若将数列{}n a 中的项重新组合，得到新数列{}n b ，具体方法如下：11223345674891015,,,,,b a b a a b a a a a b a a a a ==+=+++=++++依次类推，第n 项nb 是{}n a 中相应的12n -项的和，求数列1{2}4nn b -⋅的前n 项和n T .3.奇偶分类数列例1 已知数列{}n a 满足：1221,2222n n n n a n a n a n +⎧+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为正奇数，为正偶数（1）数列{}n a 是否为等差数列或等比数列？说明理由； （2）求证数列{}2nna 是等差数列，并求2{}n a 的通项公式； （3）设21n nb a -=，求数列{}n b 的前n 项和n S .例2 .已知数列1}{1=a a n 中，且k k k a a )1(122-+=-， k k k a a 3212+=+， 其中k=1,2,3,…….（1）求35,a a ；（2）求{}n a 的通项公式.例3【2011年合肥一模文】已知以1为首项的数列{}n a 满足：11()2n n na n a a n ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数（为偶数） （1）写出234,,a a a ，并求出{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 前n 项和n S ，求数列{}n S 前n 项和n T .例4【2012年合肥六中最后一卷理】已知数列{}n a 满足1=2a ，前n 项和为n S ，1-1()--2n n n pa n n a a n n ++⎧=⎨⎩为奇数（为偶数）（1）若{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥，求{}n b 前n 项和n T ； （2）若等比数列{}n c 满足2=n n c a ，求p 的值； （3）当1=2p 时，问是否存在*n N ∈，使得212(-10)1n n S c +=，若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由.4.数列综合题21.（本小题满分14分）已知曲线C :1xy = ，过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点111(,)n n n A x y +++，其中7111=x （1）求n x 与1n x +之间的关系式；（2）求证：数列}3121{+-n x 是等比数列；（3）求证：23123(1)(1)(1)(1)1(*)n n x x x x n -+-+-+-<∈N21.解：（1）直线方程为),(),(21111+++-+-=-n n n n n n y x A x x x y y 因为直线过点， 2)(2111)(2111111+=⇒-+-=-⇒-+-=-∴+++++n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x y y ． ……………………4分（2）设,3121+-=n n x a 由（1）得 n n n n n n a x x x x a 2)3121(231221312111-=+--=+-+=+-=++又}3121{,021+-≠-=n x a 故是等比数列； ……………………8分（3）由（2）得31)2(12)2(--+=⇒-=n n nn x a31)1(212)1()1(⋅--+⋅-=-∴n n n n n x ……………………10分当n 为偶数时，则11111112222912312222)1()1(-------⋅+<-⋅+⋅+=-+-n n n n n n n n n n nn n x x n n 21211+=-2312321111(1)(1)(1)...(1) (112222)n n n n x x x x ∴-+-+-++-<+++=-<； ………12分当n 为奇数时，则23123(1)(1)(1)...(1)1(1)n nn n x x x x x -+-+-++-<+-而11)1(1,031212<-=-+>+-=n n n n n x x x 所以 1)1(...)1()1()1(33221<-++-+-+-∴n n x x x x综上所述，当*n ∈N 时，23123(1)(1)(1)(1)1n n x x x x -+-+-+-<成立． ………14分21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：232121...2nn a a a a n n λλλ-++++=+（其中常数*0,n N λ>∈）．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求证：当4λ=时，数列{}n a 中的任何三项都不可能成等比数列；（Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和．求证：若任意*n N ∈，(1)3n n S a λλ-+≥21．解：（Ⅰ）当n ＝1时，a 1＝3．当n ≥2时，因为a 1＋a 2λ＋a 3λ2＋…＋a nλn －1＝n 2＋2n ， ①所以a 1＋a 2λ＋ a 3λ2＋…＋a n －1λn －2＝(n －1)2＋2(n －1)． ②① －②得a nλn －1＝2n ＋1，所以a n ＝(2n ＋1)·λn －1（n ≥2，n ∈N *）．……………… 3分又 a 1＝3也适合上式， 所以a n ＝(2n ＋1)·λn －1(n ∈N *)． …………………… 4分（Ⅱ）当λ＝4时，a n ＝(2n ＋1)·4n －1．（反证法）假设存在a r ，a s ，a t 成等比数列， 则[(2r ＋1)·4r －1]· [(2t ＋1) ·4t －1]＝(2s ＋1)2 ·42s －2．整理得(2r ＋1) (2t ＋1) 4 r ＋t －2s＝(2s ＋1)2．由奇偶性知r ＋t －2s ＝0．所以(2r ＋1) (2t ＋1)＝(r ＋t ＋1)2，即(r －t )2＝0．这与r ≠t 矛盾，故不存在这样的正整数r ，s ，t ，使得a r ，a s ，a t 成等比数列． ……… 8分 （Ⅲ）S n ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)λn －1．当λ＝1时，S n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ． ………… 10分 当λ≠1时，S n ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)λn －1，λS n ＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n －1)λn －1＋(2n ＋1)λn．(1－λ)S n ＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn －1)－(2n ＋1)λn＝3＋2×λ(1－λn －1)1－λ－(2n ＋1)λn．①当λ＝1时，左＝(1－λ)S n ＋λa n ＝a n ＝2n ＋1≥3，结论显然成立； ②当λ≠1时，左＝(1－λ)S n ＋λa n ＝3＋2×λ(1－λn －1)1－λ－(2n ＋1)λn＋λa n＝3＋2×λ(1－λn －1) 1－λ而0λ>，1λ-和11n λ--同号，故λ(1－λn －1) 1－λ≥0∴ (1)3n n S a λλ-+≥对任意*n N ∈都成立 ………… 14分20（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列}{n a 的前n 项和n S 满足：),2)(1(6,11++=>n n n a a S S 且.*N n ∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列n b n n T a b n记满足,1)12(}{=-为数列}{n b 的前n 项和，求证： ).3(log 122+<+n n a T解：（1）当n=1时，有).2)(1(6111++=a a a解得.2),,1(11111=>==a S a a 或舍去矛盾与 1分当2≥n 时，有⎩⎨⎧++=++=---)2)(1(6),2)(1(6111n n n n n n a a S a a S 两式相减得.0)3)((),(36111212=--+-+-=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即3分 由题设.3,03,0111=-=-->+---n n n n n n a a a a a a 即从而故数列}{n a 是首项为2，公差为3的等差数列.133)1(2-=⋅-+=n n a n 6分（2）由.133log ,1)12)(13(,1)12(2-==--=-n n b n a n bb n n n 得 7分 ).133895623(log 221-⨯⨯⨯⨯=+++=n nb b b T n n而)23(log 1)133895623(log 2)3(log 12222+<+-⨯⨯⨯⨯⇔+<+n n na T n n 223)133895623(2+<-⨯⨯⨯⨯⇔n n n123)133895623(22<+-⨯⨯⨯⨯⇔n n n 9分令.23)133895623(22+-⨯⨯⨯⨯=n n n c n则.1102199189)23)(53()33(2)1(3)23()2333(22221<++++=+++=+++++=+n n n n n n n n n n n c c n n 而}{,,01n n n n c c c c <>+所以是单调递减数列． 11分所以，.123)133895623(2.1109213)23(2221<+-⨯⨯⨯⨯=<=+⨯=≤n n n c c c n n 所以从而)3(log 122+<+nn a T 成立．【蚌埠二中最后一卷】21、（本小题满分14分）已知2()(1)f x x =-，()10(1)g x x =-，数列{n a }满足1a ＝2，1()()()n n n n a a g a f a +-+＝0，9(2)(1)10n n b n a =+-（1）求证：数列{n a －1}是等比数列；（2）当n 取何值时，n b 取最大值，并求出最大值；（3）若m m t b ＜11m m t b++对任意*m N ∈恒成立，求实数t 的取值范围。

第十二 讲分组与配对一、计算中的分组与配对 【复习回顾】1.等差数列（1）求和公式（2）通项公式（3）求项数（4）中项定理2.平方差公式()()b a b a b a +×−=−22【配对相加】（1）1+2+3++200=(1+200)+(2+199)+L+(100+101)=201×100 =20100=(1+199)+(2+198)+L+(99+101)+100 =200（29） 1+2+3++199+100 =199900=(0.1+0.9)+(0.3+0.7)+0.5+(0.11+0.19（3） 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0)+(0.13+0.17)+0.15 =1+1+0.5+0.3+0.15+0.17+.3+0.150.19 =3.25（4）求下列数表的和.（方法：横排等差数列求和 / 分组配对，平均数）1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 1 2 3 4 5+5 5 5 5 5 51 2 3 4 5+10 1 2 3 4 5 2 或 5 5 5 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 51 2 3 4⨯⨯ 5+155 5 5 5 51 2 3 4 5+205 5 5 5 51+9即：(1+2+3+4+5)5+5+10+15+20 5 6 7 8 9 即：225【分组相减】要弄清分了几组⨯(20-19)+(（1） 20-19+18-17)+L+(18-17+...4-3+2-1 =2-1) =110 =10⨯=(2-（2） (1)+(42+4+6+8+..-3)+(6-5)+.+50)-(1+3+5+7+...+4L+(50-49)9) =125 =25.⨯=1+(3-（3） (1+2)+(5-43+5+7+...+41)-)+(7-6)+L+(41-(2+4+640) +8+=1...+2140) =21⨯=1+(3-2)+(（4） 1-2+3-45-4)+L+(31-+5-6+...230)=19-30+3116=16. ⨯=(20+19-18-17)+（5） 20+19-18-17+(16+15-14-13)+16+15-14-13+...+4+3-2-1.+(4+3-2-1) =45.. =20.=(1-2-（6） 1-3+4)+(2-3+4+5-6-7+5-6-7+8)+8+...+97-98-99+100..+(97-98-99+100). =0. ⋅⋅⋅⨯÷222222222222222=1+(3-2)+(5-4)++(63-62) =1+2+3+4（7） (1+3+5+...+6++62+63 3)-(2+=(1+634+6+...+62) .)632.. =2016.⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯2（8） 10099-9998+9897-9796+...+43-32+21 ...=99(100-98)+97(98-96)++3(4-2)+21 =992+972++32+12 =(99+97++1).....2 =502 =.5000【等差数列中的应用】（1）一个数列有30项，前10项的和为123，前20项的和为250，求这个数列的和.项间项项项前10：123，中10：250-123=127，即后10：127+4=131所以：30和：123+127+131=381（2）一个数列有30项，前10项的和为20，前30项的和为90，求这个数列的公差.项间项项⨯前10:20，中10:20+D，后10:20+2D 即：20+20+D+20+2D =90D =10又， 1010d =Dd =0.1二、计数的分组与配对1：用1、2、3组成多少个无重复的三位数？和是多少？个数个现举两⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯o o 33123/132/213/231/312/321，即6种.（A =321=6）123+132+213+231+312+321=1332.每字在位/十位/百位均出次，(100+10+1)2+(200+20+2)2+(300+30+3)2枚=1112+22221：2：+3332位置原理对组为⨯⨯⨯o 3 ： =(1+2+3)1112=1332123和321配，和444，即4443=分1332.2：用1、2、3、4组成多少个无重复的三位数？和是多少？个①个数②个数③个个数个数个数为数为数⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯o 34A =432=24()若1在百位，共有321=6，即1在百位需要被加6次若1在十位，共有321=6，即1在十位需要被加6次若1在位，共有321=6，即1在位需要被加6次即：字1的和 1116同理，字2的和 ：1：222求和位置原理6，：字组为数为对为⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯o 3的和 3336，字4的和 4446 即所求的和：1116+2226+3336+4446=(1+2+3+4)1116=6660123和432配，和555， 2即 55512=6分 ：660.三、组合中的分组与配对1：从1~30中选出若干个数，使得任意两个数的差不等于2，至多选几个数？个数为组选个选让选个个组举邻两数选个个组÷⨯o o ：1,2,3,4,5,6,7,8,9,L每4一，304=7L2，即 72+2=16()：要求差不等于2，那我就它等于2然后不. （ 1,3,5,7,L,29）共15，（2,4,6,8,L30）共15 每中相至多1，即 8+8=1612 分(枚).2：从1~32中选出若干个数，使得任意两个数的差不等于3，至多选几个数？个数为组选个选让选个个个组邻两数选个举组个÷⨯o o ：1,2,3,4,5,6,7,8,9,L每6一，326=5L2，即 53+2=17() ：要求差不等于3，那我就它等于3然后不. （ 1,4,7,L,31）共11，（2,5,8,L32）共11，（3,6,9,枚分L30）共10 每中相至多1，即 6+6+52=17(1).四、数论中的分组与配对1：从1~100种选出2个不同的数，使得这两个数的和是奇数，有多少种选法？个⨯奇=奇+偶，奇偶各有50，乘法原理，共有5050=2500（种）2：从1~15中选出3个不同的数，使得这三个数的和恰好是3的倍数，有多少种选法？数①选个个个选数数数②数质个⨯⨯333555111555：1,4,7,10,133余0/3余1/3余2：：2,5,8,1利用余的性：余的可加性余1的C +C +C 1,14余1、余2、余3各一：：余2的C C C 余3,6,9,12,15相加，等于10 的55种.五、应用题中的分组与配对甲有鸡兔共5只，乙的鸡和甲的兔一样多，乙的兔和甲的鸡一样多，甲乙鸡兔关一笼，共有脚多少只？ 解：鸡甲兔+甲=5（只）甲兔+乙兔=5（只） 鸡乙兔+乙=5（只）鸡鸡甲+乙=5（只）鸡甲兔=乙鸡甲=乙兔腿共有：()4×5+2×5=30只。

第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。

假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。

当级数收敛时, 称差值为级数余项。

显然。

【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。

三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。

注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。

注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。

〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。

【例】取，，而。

〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。

〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。

推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。

注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。

【例】，但发散。

【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。

逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。

【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。

注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。

事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。

【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。

【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。

第十二讲游戏必胜的策略我国古代有一个“田忌赛马”的故事；齐王经常要求将军田忌和他赛马。

规定各从自己的马中选上等马、中等马、下等马各一匹，进行三场比赛，每场各出一匹马。

每胜一场可得一千金。

田忌的这三个等级的马都不如齐王的好。

但田忌的上等马要优于齐王的中等马，田忌的中等马要优于齐王的下等马。

田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，叫田忌用下等马对齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马。

结果，田忌先负一场然后连胜两场，反而赢了一千金。

这个故事是对策的一个典型例子。

他告诉我们：在竞争时，要认真分析研究、寻求并制定尽可能好的方案。

利用它取得尽可能大的胜利，或在胜利无望的时候，也不至于输得太惨。

这种思想在20世纪形成了对策论这门新兴学科。

下面我们就根据这个理论来想一想对策：例1、两个人轮流数数，每个人每次可以数1个、2个、3个，但不能不数。

例如第一个数1、2，第二个接着往下数3，也可以数3、4，还可以数3、4、5,。

如此继续下去，谁先数到100，谁就算胜。

请试一试，怎样才能获胜？分析：要抢到100，必须抢到96.这时另一个人只能数97或97、98或数97、98、99，无法数到100。

如何才能抢到96呢？有必须抢到92.以此类推，得到一列数92、88、84、 (4)只要抢到这些数中的任何一个，然后当对方报a个数时（1≤a≤3）时，就报（4-a）个数，这样就能抢到这个数列中的上一个数，直到抢到100.但无论第一个人报什么数，第二个人都可以抢到4n（n=1、2…）因此第二个人就有必胜的策略。

只有在第二个人产生错误时，第一个人才能获胜。

思考：如果将100改为101或99，其他条件都不变，先数的人能否获胜呢？（是否还是抢4呢？）例2、有两堆火柴，一堆16跟，一堆11跟。

甲乙两人轮流从中拿走1根或几根甚至一堆，但每次只能在某一堆中拿火柴，谁拿走最后一根谁取胜，问甲如何才能取胜？分析：这是另一类对策游戏。

我们先考虑特殊情况。

第十二讲 等差数列在今天这节课中，我们来学习等差数列在实际解题过程中的综合运用.这节课主要以等差数列的综合运用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，建议教师在本节课系统讲解一下. 知识点：1、等差数列在计算题中的综合运用.2、等差数列在数表中的综合运用.分析：通过审题可知，各个名次获奖的人数正好构成 一个等差数列：1，2，3，…，15，根据求和公式，获奖总人数为：(1+15)×15÷2=120(人).[复习一]你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？快快举手，多多赢得小印章！（1） 先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2） 首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用S n 来表示 .（3） 三个重要的公式：你还记得吗教学目标想挑 战 吗 ？育才小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人，你能快速计算出得奖的一共有多少人吗？① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差， 1(1)n a a n d =+-⨯递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，1(1)n a a n d =--⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯> ② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n a a >若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a >若）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法. ③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，1()2n n s a a n =+⨯÷ 对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手： （思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .[复习二]（1）5、8、11、14、17、20、…… ，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？（2）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.（3）一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第99项=5+3×（201-1）=605，对于数列5，8，11，……，65，一共有：n=（65-5）÷3+1=21，即65是第21项. （2）要求第16项，必须知道首项和公差.第10项－第4项=（10－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第16项=首项+15×公差=93 .（3）根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8×7=56.专题精讲（一）等差数列在计算中的综合运用【例1】（1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；（3）1000+999-998+997+996-995+…+106+105-104+103+102-101.（4）72+793+7994+79995+799996分析：（1）同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100，l+3+5+…+97+99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：2-l，4-3，6-5，…，100-99，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式=(2-1)+(4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50.（2）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680.（3）本题也可以按照上题的方法做，但我们还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：1000+1+997+1+…+106+1+103+1．这是1000+997+…+106+103和1+1+…+1+1的组合，分别计算结果即可：原式=(1000+103)×300÷2+1×300=165750 .（4）原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)=888880-(8+7+6+5+4)=888850[评注]以上都是些常见的数列求和问题，以后我们遇到的题都是和这些题的类型相似的，我们应该熟练掌握他们的计算方法．【例2】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=(1+100)×100÷2=5050，9+18+27+…+99=(9+99)×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了[前铺] 在1～100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1～100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9×1，最大的数是99=9×11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11-1+1=11项，所以，所求数的和是：9+18+27+……+99=（9+99）×11÷2=594.[拓展]从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？分析：（1）因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．【例3】 已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，… 偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数， 第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数 ，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .[前铺一]已知数列2，4，6，8，……，问这个数列中第2000个数是多少？分析：根据等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-⨯，第2000个数为：2+（2000-1）×2=4000.（教师在这个数列中插入1，3，5，7，…，变为前铺二）[前铺二]已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7……，问2008是这个数列的第多少项？分析：偶数项的排列规律是：1、3、5、7，… 奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…可以看出两个数列都是等差数列.由于2008是偶数，所以在奇数项数列中，它的项数是：（2008-2）÷2+1=1004，所以在整个数列中，2008的项数是1004×2-1=2007，所以2008是这个数列的第2007项.[拓展]求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项. 分析：前100项的和=（3＋150）×50÷2＋（2+100）×50÷2=255×25=6375 ， 100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项 ； 111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项 ； 同样，120是原数列的第80项和第119项 .【例4】 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）. 加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.【例5】从1到50这50个连续自然数中，取两不同的数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？分析：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.…若a=25，则b=26，27，…50，共25种.若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，…50，共23种.…若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×（1+2+3+…+24）+25=625.【例6】如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色.如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中a1＝1，d＝2，a n＝15，所以n＝（15－1）÷2＋1＝8，所以，白色方格数是：1＋2＋3＋…＋8＝（1＋8）×8÷2＝36，黑色方格数是：1＋2＋3＋…＋7＝（1＋7）×7÷2＝28.[巩固]用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？分析：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8， (1)所以最底层立方体数目为：(10+1)×10÷2=55．要学会正确的读图．【例7】在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍.如果最大的三角形共有8层，问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：层 1 2 3 4 5 6 7 8小三角形数 1 3 5 7 9 11 13 15火柴数 3 6 9 12 15 18 21 24由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.（1）最大三角形面积为：（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（平方厘米）.（2）火柴棍的数目为：3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.[前铺]一只小虫沿笔直的树干跳着上行，每跳一次升高4厘米.它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落脚点，那么它的第100个落脚点离地面多少厘米？分析：由下往上依次用①、②、③、…表示小虫的落脚点，见下表首项（即起始高度）为10，公差是4.到第100落脚点时，已跳了99次，因此，第100落脚点的高度为：10＋4×（100-1）＝406（厘米）.[数学小笑话]一个财主请来家庭教师给儿子教写字，第一天老师教了一个“一”字，第二天教了个“二”字，第三天教了个“三”字，这时那位儿子要求父亲把教师辞退，说他已经无师自通了.财主很高兴，让儿子给一位姓万的先生写信，儿子自信满满的拿着一摞纸到了书房，写了一上午都没有出来，财主等不及就到了书房，看见儿子正卖力的在纸上画线，地上已经有好多已经画满线的纸，财主很生气，说道：“我让你写信，你怎么偷懒啊？”儿子很委屈，回答道：“我在写信啊，谁让这个人姓万呢，我写了一上午，还差三百横呢！”原来儿子以为“万”字就是画一万横，结果一上午连一个姓也没有写出来.（二）等差数列在数表中的综合运用【例8】（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.序号等式1 1 ＋2 ＋ 3= 63 3 ＋ 5 ＋ 7= 155 5 ＋ 8 ＋ 11= 247 7 ＋ 11 ＋ 15= 33∶∶∶∶∶（）（）＋（）＋7983=（）分析：可以这样想：（1）表中各竖行排列的规律是什么？（等差数列）（2）表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.第一个括号：（7983-3）÷4＋1=1996 ，1＋（1996-1）×2=3991 ；第二个括号：1＋（1996-1）×2=3991 ；第三个括号：根据等差数列通项公式：2＋（1996-1）×3=5987 或 3991+1996=5987 ；第四个括号：根据等差数列通项公式：6＋（1996-1）×9=17961 或 5987×3=17961 .【例9】自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............分析：从两个方面考虑：（1）先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，….这是一个公差为2的等差数列.第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解.而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数.（2）从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，….第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数.59行所排数的个数就是1，3，5，7，…，中的第59项.所以，第59行所用数的个数为：1＋2×（59-1）＝117（个），从第一行排到第59行所用数的总个数为：（1＋117）×59÷2=3481（个），到第60行第5数共用去数的个数为：3481＋5＝3486（个），第60行第5个数是数列1，3，5，7，…中第3486项，为：1＋2×（3486-1）＝6971[巩固]观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是2n，那么，第20行最左边的数是几？第20行所有数字的和是多少？分析:通过观察可以看出，每一行最左边的数等于上一行最右边的数加1，所以第20行最左边的数等于192＋1=362；每一行的数字个数为：1，3，5，7，9，……，可以看出成等差数列，所以第20行的数字个数为：1+（20-1）×2=39，每一行的数字都成公差为1的等差数列，所以第20行所有数字的和是：（362＋400）×39÷2=14559 .【例10】将自然数如下排列，12671516...3581417...491318...1012...11......在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？分析：不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如下图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.把三角阵与左图作比较，可以发现：①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.专题展望本讲主要讲了等差数列在实际解题过程中的综合运用，在以后的学习中我们还会学习到关于等差数列的更多知识，希望同学们再接再厉，加油！练习十二1.（例1）巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996分析:原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=77777312.（例2）100到200之间不能被3整除的数之和是多少？分析:考虑能被3整除的各数之和102＋105＋…＋198 ;然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.3.（例5）明明在玩棋子，他想把35枚棋子放到8个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意2个盒子里的棋子数目都不一样，明明能办到吗?如果能，他该怎么放?如果不能，说说为什么?分析：因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有l枚棋子.同时，任意2个盒中的棋子数不一样，所以8个盒中共有的棋子数至少为：1+2+3+4+5+6+7+8=36(枚).题目中只给了35枚棋子，所以，明明不能办到.4.（例7）某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手.参加宴会的一共有多少人？分析:经试验：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.5.（例9）把自然数依次排成“三角形阵”，如图9－3.第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207排在第几排第几个数？（3）第13排各数的和是多少？分析：（1）122，144（2）第十五排的第11个数（3）3925.数学故事从前有一个非常聪明的数学家，他能用数学知识为人们解决许多常见的生活问题，受到人们的爱戴．可是国王嫉贤妒能，总想找借口把年轻的数学家除掉，但一直没有如愿．那时国王正在修一个豪华的宫殿，将要落成的一天，国王看着漂亮的宫殿忽然想到一个为难数学家的好办法，于是派人把数学家找来，说有难事请他帮忙．数学家来到皇宫拜见国王，国王见到数学家心中就有气，他脸露一丝坏笑，说：“听说你很有能耐，什么难题都难不倒你，并以此得到了我臣民的拥护，能有你这样的臣民我应该很高兴，但我怕你是欺世盗名之徒，骗取我臣民的忠心，所以我要考考你，假如你能过关，我就相信你，并保证永远不会再为难你，否则，就将你永远赶出我的国家!”数学家被迫答应了．国王的问题是：新建的皇宫给国王的每一位妃子都建了一个寝宫，国王为了区分不同的妃子在哪个寝宫，决定在每个寝宫门口挂上数目不同的中国结．办法是在第一个门口中间挂上一个，在第二个门口除了中间的一个再分别在两侧各挂上一个，在第三个门口除了第二个门口的三个再在两侧各挂上一个……如此类推，国王共有50个妃子，问一共需要多少个中国结?国王不许数学家到宫门口去试，只许他用脑子想，要是一小时内没有结果就算失败．国王出完题之后命人看住数学家，不让他出去，自己想到后宫去休息一会儿．可还没等到他跨出门口就被数学家叫住了，数学家已经得出了答案：2500个中国结．国王半信半疑，急忙命人去试一下．试了半天，终于试完了，果然是2500个!国王被迫让数学家离开了，可是事后百思不得其解，数学家是怎样知道答案的呢?但碍于面子他宁死不向数学家请教，只是终日冥思苦想，再也没有心思害人了．但他最终也没想明白是怎么回事，终于积劳成疾，命不久矣．临死前他终于忍不住命人把数学家请来，客气地说：“我以前终日与你为难，最终还是难不住你，这些日子我一直对你算出中国结数目的事不解，不知道你如何能那么快得出答案，你能告诉我吗?”见国王时日无多，数学家恭敬地说：“是这样的，我把每个门口的中国结数目列在一起，想成一列数，它们相邻两个的差都是2，我称这样的数列为等差数列，第50个门口是99个，与第一个门口的一个合成100个，第49个门口是97个，与第二个门口的3个合成100个，……如此类推，一共可以合成25个100，合起来共是2500个中国结．”国王听完满意地点了点头，传出命令：“封数学家为全国最聪明的人……”说完永远闭上了双眼．。

第12讲漫画释义四年级秋季等差数列进阶四年级春季统筹与最优化五年级暑假分组与配对五年级秋季几何计数进阶五年级春季从反面情况考虑高斯求和；分组配对思想；计算，数论，计数等问题中的分组与配对知识站牌我国历史上有许多以弱胜强的著名战例,齐魏马陵之战就是其中之一．公元前344年,魏国大举进攻韩国,齐王派田忌和孙膑率兵救援韩国．孙膑并不直接出兵韩国,却采取了“围魏救赵”的策略,驱军直逼魏国的都城．魏将庞涓不得不回师迎战齐军．魏军一路追击齐军,庞涓看见齐军宿营地的灶一天天在减少,根据灶的数目可以推算出齐军的数目,断定齐军已经严重减员．便轻骑冒进,猛打穷追．殊不知这原来是孙膑的“增兵减灶”之计,结果庞涓中了齐军的埋伏,全军覆灭．如果不是孙膑制造假象设下陷阱,庞涓的思想是正确的．例如若一口灶供10人造饭,齐军有3万灶,便可推知齐军有30万人．生活中,我们习惯将牙刷与牙膏放在一起、将菜刀和砧板放在一起、将茶具和茶叶放在一起,当我们要使用这些东西的时候就会非常方便；而在数学中,我们习惯把1和9加到一起,把3和7加到一起,把2和5先相乘,那么计算起来也会非常便捷．其实上面这些例子体现了我们数学中一个非常重要的思想——分组与配对．之前学习等差数列的时候,我们曾经介绍过高斯将1至100按照（1,100）,（2,99）,…,（50,51）分成50组,每组相加都为101,再通过50×101=5050来得出1＋2＋…＋100的和,高斯其实就是利用了分组配对的思想快速解决了复杂的计算．1.掌握分组与配对的思想2.灵活运用分组与配对,解决计算,计数,应用题等问题．1.计算中将一些和、差、积是整十、整百、整千……的数分成一组一组优先计算可以提高我们计算的速度以及准确度．2.在一些数论或者组合问题中,将一些具有相同特征的对象分到一组一起考虑可以让思路更加清晰．模块1：例1-3：计算中的分组配对．模块2：例4：计数中的分组配对．模块3：例5：应用题中的分组配对．例题思路经典精讲教学目标课堂引入第12讲(1)计算：(1+3+5+7+...+21)-(2+4+6+ (20)(2)计算：20+19-18-17+16+15-14-13+…+4+3-2-1(学案对应：学案1)【分析】(1)法1：原式=2(121)11(220)1011111011(1110)1122+⨯+⨯-=-⨯=⨯-=法2：原式=1+(3-2)+(5-4)+(7-6)+…+(21-20)=11×1=11(2)法1：原式=(20+19-18-17)+(16+15-14-13)+…+(4+3-2-1)=5×4=20法2：原式=20+(19-18-17+16)+(15-14-13+12)+…+4）+(3-2-1+0)=20+0+0+…+0=20想想练练：13467910121366676970+++++++++++++ 【分析】可以把这个数列拆分为两个数列14710136770+++++++ 和369126669++++++ ,对它们分别求和：原式1702423692321680=+⨯÷++⨯÷=（）（）.【铺垫】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？(1)3456767778+++++++=(2)13579799++++++=(3)471013404346+++++++=【分析】⑴算式中的等差数列一共有76项,所以：34567677783787623078+++++++=+⨯÷= （）⑵算式中的等差数列一共有50项,所以：13579799(199)5022500++++++=+⨯÷= ⑶算式中的等差数列一共有15项,所以：471013404346446152375+++++++=+⨯÷= （）【巩固】计算：100+99+98+…+51-50-…-3-2-1【分析】原式=(100-50)+(99-49)+(98-48)+…+(51-1)=50×50=2500下列数阵中有100个数,它们的和是多少？1112131920121314202113141521222021222829(学案对应：学案2)【分析】法1：用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然后把所得的和相加．（比较慢,这里不再写具体过程）法2：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列,利用等差数列求和计算．首项1112201120102155=+++=+⨯÷= （）,末项2021292029102245=+++=+⨯÷= （）或者155********=+-⨯=（）．这100个数之和1552451022000=+⨯÷=（）．按列算同上．法3：从右上到左下的对角线上的数都是20,沿此对角线对折,上下重叠的两数之和都是40,所以这100个数的平均数是20,这100个数之和201002000=⨯=．【拓展】如下图所示的表中有55个数,那么它们的和等于多少？例2171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【分析】法1：用基本公式算所给数列的和,可以一行行算,或者一列列算,然后把所得的和相加．（比较慢,这里不写具体过程）法2：先算出1到65的自然数和,再减去数列6,12,18, ,60的和：16565266010221453301815+⨯÷-+⨯÷=-=（）（）法3：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列,利用等差数列和=中间项⨯项数．⑴第6列作为中间项,求和再乘以项数：3132333435111815++++⨯=（）⑵第3行为中间数列,求和再乘以项数：3915212733394551576351815++++++++++⨯=（）法4：分组与配对．(1,65),(2,64),…,(32,34),(33),每组的平均数均为33,因此和33551815=⨯=．将自然数1,2,3,…,100依次无间隔地写成一个多位数：12345…99100,求这个多位数的所有数字之和．(学案对应：学案3)【分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法．分组如下：(1,98),(2,97),(3,96),…,(49,50),(99),(100)．这样前50组每组的数字和均为18,最后一组和为1,数字之和为50×18+1=901【拓展】将自然数1,2,3,…,2013依次无间隔地写成一个多位数：12345…20122013,求这个多位数的所有数字之和.【分析】求数字和时,凑“9”是个关键的想法．此题中可将数分成两部分,1-1999和2000-2013.1-1999分组如下：(1,1998),(2,1997),(3,1996),…,(999,1000),(1999)．数字和为28×1000=280002000-2013可枚举或分组计算：数字和为14×2+1+2+3+…+9+1+2+3+4=83.综上,所有数字和为28000+83=28083高斯的恩人在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅和舅舅弗利德里希（Friederich ）。

数学分析第十二章数项级数级数的重排第十二讲数学分析第十二章数项级数相应地称级数()1k n n u ∞=∑为级数(5)的重12.(7)n v v v ++++ 记作:()f n k n →称为正整数列的重排, →()(){}:{}n n k n k n u F u u u 按映射所得到的数列称为我们把正整数列{1,2,…,n , …}到它自身的一一映射1.级数的重排相应地对于数列原数列的重排..排(),n k n v u =为叙述上的方便,记()1k n n u ∞=∑即将级数12(5)n u u u ++++数学分析第十二章数项级数定理12.13第一步设级数(5)是正项级数, 部分和. =+++12m mv v v σ 表示级数(7)的第m 个部分和. ≤≤(1)k v k m ki u 的重排, 所以每一应等于某一(1).k m ≤≤记12max{,,,},m n i i i = *证只要对正项级数证明了定理的结论,对绝对收敛级数就容易证明定理是成立的.所得到的级数(7)绝对收敛且和也为S .设级数(5)绝对收敛, 且其和等于S , 则任意重排后用S n 表示它的第n 个用因为级数(7)为级数(5)数学分析第十二章数项级数即级数(7)收敛, 且其和≤.S σ由于级数(5)也可看作级数(7)的重排,所以也有S σ，≤.S σ=从而得到这就证明了对正项级数定理成立. 第二步证明(7)绝对收敛.且绝对收敛,∑nv收敛, 则对于任何,m .m n n S σ≤都存在，使,lim S S n n =∞→由于,,m m S σ≤所以对任何正整数都有设级数(5)是一般项级数则由级数(6)收敛第一步结论, 可得即级数(7)是绝对收敛的.数学分析第十二章数项级数0,0,0;n n n n u p u q ≥=≥=当时0,0,0.n n n n n u p q u u 当时从而<===-≥要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 第三步证明绝对收敛级数(7)的和也等于S .一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 根据第所以先为此令,2n nn u u p +=. (8)2n n n u u q -=0,n n p u ≤≤0, (9)n n q u ≤≤,n n n p q u +=. (10)n n n p q u -=∑∑,n n p q 知都是收敛的正项级数. 因此由级数(5)绝对收敛, 及(9)式,数学分析第十二章数项级数==-∑∑∑.n n n S u p q 对于级数(5)重排后所得到的级数(7), ''=-∑∑∑,nnnv p q ''∑∑∑∑,,nnnnp q p q 显然分别是正项级数的重排,办法, 把它表示为两个收敛的正项级数之差其和不变, 从而有''=-=-=∑∑∑∑∑.nnnnnv p q p qS 也可按(8)式的数学分析第十二章数项级数注定理12.13只对绝对收敛级数成立. 数重排后得到的新级数不一定收敛,不一定收敛于原来的和.当重排后, 既可以得到发散级数,设其和为A , 即+-=-+-+-+-+=∑111111111(1)1.2345678n A n 1,2乘以常数后有例如级数()1111n n n ∞+=-∑条件收敛,条件收敛级即使收敛, 也更进一步, 条件收敛级数适也可以收敛于任何事先指定的数.数学分析第十二章数项级数+-=-+-+=∑1111111(1).224682n A n +-++-+=1111131.325742A 将上述两个级数相加, 得到的是(2)的重排:我们也可以重排(2)使其发散(可参考《数学分析学习指导书(下册)》）.。

第十二讲 等差数列（二）1、等差数列中常用的计算公式：等差数列的求和公式：和=（首项+末项）⨯项数÷2字母公式：2)(1÷⨯+=n a a S n n末项=首项+（项数1-）⨯公差，字母公式：d n a a n ⨯-+=)1(1项数=（末项-首项）÷公差1+，字母公式：1)(1+÷-=d a a n n首项=末项－（项数－1）×公差 字母公式：1n a a (n 1)d =--⨯公差=（末项－首项）÷（项数－1）字母公式：n 1d (a a )(n 1)=-÷-2、等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一 项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半，即中间项 =和÷项数。

奇数项等差数列求和公式为：和=中间项×项数【例1】等差数列：3，10，17，24，……，73（1）公差是多少？（2）数列共有多少项？（3）按照这样的顺序，第18项是多少？【答案】（1）7；（2）11；（3）122。

【解析】（1）公差为10－3=7；（2）项数=（末项－首项）÷公差+1=（73－3）÷5+1=11（项）（3）第18项为3+（18－1）×7=122。

【例2】一个等差数列共有13项，每一项都比它前面一项大2，并且首项为23，求末项是多少？【答案】47。

【解析】此数列是首项为23，项数为13，公差为2的等差数列。

则根据末项公式得：末项=首项+（项数－1）×公差=23+（13－1）×2=47。

【例3】在数字1和73之间插入5个数，使这些数构成等差数列，求这个等差数列的公差是多少？【答案】12。

【解析】 首项是1，末项是73，项数是5+2=7（项），公差=（73－1）÷（7－1）=12。

【例4】一个等差数列的第五项是17，第九项是29，求公差是多少？求首项是多少？【答案】3；5。

第十二讲面试技巧及简便运算面谈方式分两类，一类学科知识面谈，另一类是谈话式面谈。

多数学校采用学科知识面谈，育才实验学校采用的谈话式面谈。

黄埔广附学校面谈情况【面谈形式】群面（2 个考官，8-16 个学生一组）【面谈流程】家长与学生 8:30 开始进入学校，在多媒体教室休息。

按照面谈组别，分组进入点名区，再进入候谈区。

每场提前 5 分钟由老师带到面谈室。

1、先逐个进行自我介绍；2、开放性问题逐个回答：有无住宿的经历，在广附住宿能不能适应，班上担任什么职务，觉得自己做的好不好，如何好，如何不好等。

3、学科考察，老师读题，学生举手抢答，语数英各 2 道题，如有答错，其他同学有补答机会。

【面谈内容】语文面试题多为文学常识、古诗词等，如：1、大珠小珠落玉盘，“大珠小珠”是指什么乐器？2、“司空见惯”的“司空”是什么意思？3、易安居士、柳泉居士、东坡居士分别指的是谁？4、铁公鸡、主心骨分别是什么意思？5、“四书”指的是什么？“五经”指的是什么？英语面试题有：1、What do you often do on holiday？2、What is your hobby？3、Which school do you come from?等等数学题多为计算口答题，如：1、两个圆的半径比是 2:3，请问周长比是多少？2、比较 2554/2555 与 2555/2556 哪个大？备注：考官还会问得出结果的原因和具体心算过程。

二中应元学校面谈情况【面谈形式】群面（第一轮 2 名老师对多位学生，第二轮三位老师对一名学生）【面谈流程】学生按照指定时间凭身份证和受理号前来参加面谈，面谈每轮时间约 40 分钟。

每个问题会选十几个举手的同学回答，一轮下来会选 50 人次的学生回答问题。

【面谈内容】语文：课外阅读理解（根据短文回答问题）数学：奥数题（简便计算，应用题）英语：短文阅读理解（快速熟悉短文内容并记忆，回答问题，考察速记）其他：从学生的爱好入手，例如喜欢什么体育运动、喜欢什么图书、记忆最深的名言、为什么喜欢这个学校、喜欢广州的菜肴、去哪里旅游、这几年最深刻的事等二中苏元学校面谈情况【面试形式】群面（15 人一个团队，彼此之间相互认识。