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作者：于椅上作品编号：785632589421G 101 创作日期：2020年12月20日实用文库汇编之数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n （2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列{}n a 的前n 项的和,14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n n nT S =，1,2,3,n =，证明：132nii T =<∑. 解: (Ⅰ)由 S n =43a n －13×2n+1+23, n=1,2,3，… , ① 得 a 1=S 1= 43a 1－13×4+23所以a 1=2再由①有 S n －1=43a n －1－13×2n +23, n=2,3，4,…将①和②相减得: a n =S n －S n －1= 43(a n －a n －1)－13×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: a n +2n =4(a n －1+2n －1),n=2,3, … , 因而数列{ a n +2n }是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : a n +2n =4×4n －1= 4n , n=1,2,3, …, 因而a n =4n －2n , n=1,2,3, …,(Ⅱ)将a n =4n －2n 代入①得 S n = 43×(4n －2n )－13×2n+1 + 23 = 13×(2n+1－1)(2n+1－2)= 23×(2n+1－1)(2n －1)T n = 2n Sn = 32×2n (2n+1－1)(2n －1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)所以, 1ni i T =∑=321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 1121n +-) < 32二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列{}n a 中，112a =-，前n 项的和为n S ，且798,,S S S 成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{}n b 前n 项的和为n T ，证明：13n T <．解：∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-．∴n n a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．（利用等比数列前n 项和的模拟公式n n S Aq A =-猜想） ∴nn b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ． 真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 滿足12111*444(1)()n n b b b b n a n N ---=+∈，证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：*122311...()232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈. （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈（II ）证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+12(...)42.n n k k k n nk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列（III ）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)n n a a a na a a +∴+++<111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k kk a k n a +++-==-=-≥-=--+-1222311111111...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴+++≥-+++=-->-*122311...().232n n a a a n nn N a a a +∴-<+++<∈ 2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n n n a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=-+n n n n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22nn n a a S +=. (1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2)<⋅⋅⋅< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121n n S n n n S S S =+=+++>++练习：1.（08南京一模22题）设函数213()44f x x bx =+-，已知不论,αβ为何实数，恒有(cos )0f α≤且(2sin )0f β-≥.对于正数列{}n a ，其前n 项和()n n S f a =，*()n N ∈.(Ⅰ) 求实数b 的值；（II ）求数列{}n a 的通项公式；1,1nn N a +=∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 和16的大小并证明之.解：(Ⅰ) 12b =（利用函数值域夹逼性）；（II ）21n a n =+； （Ⅲ）∵21111(22)22123n c n n n ⎛⎫=<- ⎪+++⎝⎭，∴1231111+23236n n T c c c c n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅<-< ⎪+⎝⎭…2.（04全国）已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足：n n n a S )1(2-+=，1≥n（1）写出数列}{n a 的前三项1a ，2a ，3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8711154<+++m a a a 分析：⑴由递推公式易求：a 1=1,a 2=0,a 3=2；⑵由已知得：1112(1)2(1)n n n n n n n a S S a a ---=-=+----（n>1） 化简得：1122(1)n n n a a --=+-2)1(2)1(11---=---n n n n a a ,]32)1([232)1(11+--=+---n n n n a a 故数列{32)1(+-nn a }是以321+-a 为首项, 公比为2-的等比数列. 故1)2)(31(32)1(---=+-n nn a ∴22[2(1)]3n nn a -=-- ∴数列{n a }的通项公式为：22[2(1)]3n n n a -=--. ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
数列和不等问题(教师版)•先求和后放缩(主要是先裂项求和，再放缩处理) 例1正数数列 a 詁勺前n 项的和S n ，满足2 S ； -a n 1，试求:(1)数列；a n 1的通项公式;AA(2)设b n ——，数列h n ［的前n 项的和为B n ，求证：B n ：：：—a n an +2 3解：(1)由已知得 4S n =(a n J)2 , n_2 时，4S n ^-(a n j 1)2，作差得：4a n 二a ； • 2a n -a ；丄-2a n 」，所以(a n a nJ )(a n -a n 」-2)=0，又因为、a n ｛为正数数列，所以 a n - a n 丄=2，即：a n :■是公差为2的等差数列，由 2 S^a 1 1，得厲=1，所以a n = 2n -1111-(3 —)，所以 2 2n -1 2n 14 1 2 彳得 a 1=S 1= 3*1 — "3X 4+"3 所以a 〔=2 3334 1将①和②相减得:a n =S — s —1= -(a n — a n -1) — -X (2n+13 3因而数列｛ a n +2n｝是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即： ,,因而 a n =4 — 2 , n=1,2,3,,,4 n n 1 n+1 3X (4 — 2 ) — 2 + 2 1 n+1 n+13 = - X (2 — 1)(2 —2)2丁 (2n+1— 1)(2 n — 1) 3 2—-X 2n+1+3, n=1,2,3 ,,,①B n J(1 一1 !一! 2 3 3 5 2n -1 2n 1 2 2(2n 1) 2真题演练1: (06全国 1卷理科22题)设数列「a n ?的前n 项的和，& =4a n-- 2nd3 32-,n =1,2,3—(I)求首项 a i 与通项 a n ; (n)设 T n, S nnn =1,2,3，二3,证明：v T iid ：再由①有S 4 —1 =§a n — 1 — 1 23X 2n+3, n=2,3 , 4,, 2n Tn =恳 2n3 2X (2 n+1— 1)(2 n — 1) 31=2 X (22n+1— 11n 所以，'、 i =11 i+1_ 3」 1T = 2二(2—1 — 2^—1)=i 332(21— 11 2n 1 -13 )<3⑵b n1 1a n a n 1 (2n -1)(2n 1)4Sn =3a整理得：a n +2n=4(a n — ：+2n —：),n=2,3, a n +2n =4X 4n —：= 4n ,n=1,2,3, —2n ), n=2,3. (n )将a n =4n — 2n代入①得 S n =二.先放缩再求和1 •放缩后成等比数列，再求和例2.等比数列3中，a1 V ，前n 项的和为S ，且成等差数列.2设b n 二主—，数列4/前n 项的和为1 — a n真题演练2: （06福建卷理科22题）已知数列 订「满足a^1,3nd =2a n 1（ N *）.(I )求数列 曲的通项公式；(II )若数列 和[滿足4b ^44b2^' 4bn ^ -(a n - 1)bn (n ・N *)，证明：数列〈b n ?是等差数列; (川)证明： ° _1 ：：：色■电■…，-a ^ ::: n (n ・ N *).2 3 a2a3an + 2» *(I )解：a n 1—2a n 1(n N ),-a n1 1=2(a n 1), ：a n 1是以a 「1 = 2为首项，2为公比的等比数列 .a n 1 =2n .即 a n =22 -1(n N *).(II )证法一：；4k ^44k24...4kn4 =(a n 1)kn ..4E % +••*“)■» =2nk n2[(b b 2 ... b n )-n]= nb n ,① 2[(b 1 b 2 ... bn b n1)-(n 1)]=(n 1)b n1.②②—①，得 2(0 1 -1)=(n 1)b n1 - nbh,1T n'证明：「2解：T A 9 -A 7 =a 8 89,A 8 _ A 9a8' a 9V 9，二公比 q88（利用等比数列前 二 B n fb nb n11_(_1)nn 项和的模拟公式 4nS n 1 _(-2)n1<3 2n=Aq n - A 猜想)1 13 2 3 223 21 11 1 2(^2?)T — 2 1(1 1)3，2n ；即(n -1)bn 1 -nb n 2 =0, nb n 2 -(n 1)0 1 2=0. ③—④，得nb h .2-2nb h 1 nb n =0,d 2-20 10 =0,. 0 2 - g 1二 0 1 - 0 (□N *),.血？是等差数列故得 a n 1 -a n -32n 43 •放缩后成等差数列，再求和 例4.已知各项均为正数的数列 ｛a n ｝的前n 项和为& ,且a 2（山）证明:a kk .2 -1 k .2 -1a ia ? a 3k..a k 2-1-1 ak 12k -12(21) 1 ,k =1,2,..., n,2—— --------------------------------- ---------- — --------------------------------------- 二_ ——2 2(2k 1 -1) 2 3.2k2—2一2 321 1 1.k ，k= 1,2，...,n,a na ? a 3n 1 111、 n 11、 n 1-厂3（2戸…歹）匕一3（12）厂亍a ? a 3.电a n 1n *□ N).2 •放缩后为“差比”数列，再求和 例3•已知数列｛a n ｝满足：a, =1 ,an 1= (1尹)a n ( n ~ 1,2,3 ).求证：a n1a n-3证明：因为 a n 1 = (1-斗）a n ，所以a n d 与a n 同号，又因为a^ ^1 0，所以a n 0 ,2即 a n 1 - a n0，即a n d ■ a n .所以数列｛a n ｝为递增数列，所以a . — a1 =1,即 a n 1 " a n1累加得：a n ~^1 -2+——222nJ令S nn _•亍，两式相减得:1 n -1 —，所以Sn =2 nJn 2 22心，所以 an -32n -，a n二2S n.解：（1）在条件中，令 n=1，得 al - a^2S^2a 1,； a 1 0 . 1，又由条件 a 2 - a n = 2S n 有a 41 ■ a n 1 = 2S n 勺，上述两式相减，注意到 a n “ = S n j - S n 得(a n 1 a n )(a n 1 _a n _ 5 = 0a n 0 a n 1 a n 0二 a n 1「a n = 1所以，a n =1 1 (n -1) = n ，S n =练习：13 1. （08南京一模22题）设函数f （x ） x 2 bx，已知不论:J 为何实数，恒有f （cos 「）岂0且4 4f （2-si n 0.对于正数列，其前n 项和^乂仁內），（n • N *）.（I ）求实数b 的值；（II ）求数列＜a n ?的通项公式; —,n • N .，且数列；的前n 项和为T n ，试比较T n 和1的大小并证明之1 a n61解：（I ） b（利用函数值域夹逼性）；（II ） a n =2n ，1；24 （04全国）已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足：S n =2a n ・（T ）n ， n_1（1）写出数列｛a n ｝的前三项a 1，a 2，a ? ； （ 2）求数列｛a .｝的通项公式;⑴求证: S n：：：2 2a n an 14⑵求证:n(n 1) 22 2所以2 2a n ' a n 14(2)因为 n v Jn(n +1) < n +1，所以 2 <、 <2 \：n(n+1) n+1所以2「n(n 1)2n n(n 1) 2 2、2S n 2（川）若,C n（出） C n—丄」 ・(2n 2)22 2n 1 2n 31 M二—工 5丄J 2n 36二数列｛ a n ｝的通项公式为: a n 心十1）n ].⑶观察要证的不等式，左边很复杂,111 3「1 = 亠 亠•亠a4 a5 用等比数列的前1a m =2[22 - n 项公式求和，由于-1 1 13 - 2 2 1 2 1 23，1 13歹，因此，可将 先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以真题演练1：(06全国1卷理科22题)设数列的前项的和,，（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：. 解: (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… , ①得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n),n=2,3, …整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, … , 因而数列{ an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n－1= 4n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …,(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得 Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1)Tn= = × = ×( － )所以, = － ) = ×( －) <二．先放缩再求和1．放缩后成等比数列，再求和例2．等比数列中，，前n项的和为，且成等差数列．设，数列前项的和为，证明：．解：∵，，，∴公比．∴．．（利用等比数列前n项和的模拟公式猜想）∴．真题演练2：(06福建卷理科22题)已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列滿足，证明：数列是等差数列；（Ⅲ）证明：.（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列即（II）证法一：①②②－①，得即③－④，得即是等差数列（III）证明：2．放缩后为“差比”数列，再求和例3．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3．放缩后成等差数列，再求和例4．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；练习：1.（08南京一模22题）设函数，已知不论为何实数，恒有且.对于正数列，其前n项和，.(Ⅰ) 求实数b的值；（II）求数列的通项公式；（Ⅲ）若，且数列的前n项和为，试比较和的大小并证明之.解：(Ⅰ) （利用函数值域夹逼性）；（II）；（Ⅲ）∵，∴2.（04全国）已知数列的前项和满足：，（1）写出数列的前三项，，；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对任意的整数，有分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：（n>1）化简得：,故数列{}是以为首项, 公比为的等比数列.故∴∴数列{}的通项公式为：.⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。
裂项与放缩是高考数列题常用技巧主要有以下3类应用1．裂项法求和2．裂项、放缩证明求和不等式3．放缩证明连乘不等式裂项法求和一个最简单的裂项求和的例子1111122334(1)n n ++++⋅⋅⋅⋅+L【例1】已知等差数列{}n a 满足：3577,26.a a a =+=设*21(),1n n b n N a =∈-求n b 的前 n 项和n T .【例2】设数列{}n a 为等差数列，且每一项都不为0，则对任意的*n N ∈，有1223111111.n n n n a a a a a a a a ++++=L裂项法求和小结回顾：1111223(1)n n +++⋅⋅⋅+L 1111335(21)(21)n n +++⋅⋅-⋅+L 12231111n n a a a a a a ++++L裂项、放缩法证明求和不等式【例3】证明：2221111112123n n-<+++<+L【例4】已知数列{}n a 与{}n b 满足1120;n n n n n b a a b a +++++= *3(1),,2n n b n N +-=∈ 且122,4a a ==，设21,n n k k S a ==∑求证：417.6n k k kS a =<∑和式不等式小结回顾：放缩去“凑”裂项形式12231111n n a a a a a a ++++L ★连乘不等式的证明【例5】求证：1321242n n -⋅⋅⋅<L【例6】等比数列{}n a 的前 n 项和为n S ，已知对任意的*n N ∈，点(,)n n S 均在函数x y b r =+（0 b >且1, b ≠, b r 均为常数）的图像上.(II)当2 b =时，记*22(log 1)(). n n b a n N =+∈求证：*1212111)n nb b b n N b b b +++⋅⋅⋅>∈L总结：1．裂项求和：111111()k k k k a a d a a ++=-∑∑ ★ 2．求和不等式：放缩à可裂项3．连乘不等式：·配上“错一位”的连乘式à可消去·选择“错位”方向课后作业【习题1】求和111144797100+++⋅⋅⋅L【习题2】求证:22221111111.5 2.5 3.5(0.5)n n ++++<-+L .【习题3】求证：2583114732n n -⋅⋅⋅⋅>-L 分析：考虑配上一个“错一位”的连乘式，发现还是消不掉，因此本题应当配上两个“错一位”的连乘式.答 案【习题1】解：111144797100111111111()()()3143473971001133(1)3100100+++⋅⋅⋅=-+-++-=-=L L 【习题2】 分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩211(0.5)(1)k k k <++. 证： 222211111.5 2.5 3.5(0.5)1111122334(1)11n n n n+++++<++++⋅⋅⋅+=-L L【习题3】 解：设2583114732n A n -=⋅⋅⋅⋅-L ，369325831n B n =⋅⋅⋅⋅-L ，4710313693n C n +=⋅⋅⋅⋅L ，则31A B C n ⋅⋅=+，由,,0A B C >知，只需证,A B A C >>就有A >证明对任意1,2,3,k n =L ，连乘式A 中的第k 项大于B 和C 的第k 项，只需要证:3133132313k k k k k k -+>>--此不等式的每项减去1，即11132313k k k>>--，显然成立，故原不等式成立。
数列放缩法常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，基本结构有4种：1.形如∑a i n i=1<k （k 为常数）2.形如∑a i n i=1<f (n )3.形如∏a i n i=1<k （k 为常数）4.形如∏a i ni=1<f (n )例1.求证：12+122+123+⋯+12n<1(n ∈N ∗)变式1求证：12+222+323+⋯+n 2n<2(n ∈N ∗)变式2求证：12+1+122+1+⋯+12n +1<1(n ∈N ∗)变式3求证：12+1+222+2+⋯+n2n+n<2(n∈N∗)例2.求证：11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)<12(n∈N∗)变式1求证：11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)≤13(n∈N∗)变式2求证：12×3+13×5+⋯+1(n+1)(2n+1)<512(n∈N∗)例3.求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<2(n∈N∗)变式1求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<74(n∈N∗)变式2求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<53(n∈N∗)变式3求证：1+132+152+⋯⋅1（2n−1）2<54(n∈N∗)例4.已知数列{a n}，a n=2n2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)ni=1<3变式.已知数列{a n}，a n=2n2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)ni=1<25 9例5. 求证：13−2+132−22+⋯+13n−2n<32(n∈N∗)变式.求证：13−2+132−2+⋯+13n−2<1714(n∈N∗)例6. 求证：2(√n+1−1)<1+√2+√3+⋯+√n<2√n(n∈N∗)变式.求证：1+√2+√3+⋯+√n<√2(√2n+1−1)(n∈N∗)例7. 求证：12×34×56⋯2n−12n<√12n+1(n ∈N ∗)变式.求证：(1+1)(1+14)(1+17)⋯(1+13n−2)>√3n +13(n ∈N ∗)常见放缩公式： 平方型：1n (n+1)<1n 2<1n (n−1) (n ≥2)1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)(n ≥2) 1n 2=44n 2<44n 2−1=2(12n −1−12n +1) 1(2n −1)2<14n (n −1)=14(1n −1−1n)(n ≥2)立方型：1n 3<1n (n 2−1)=12n (1n−1−1n+1)=12[1(n−1)n−1n (n+1)] (n ≥2)根式型：2(√n+1−√n)=2√n+1+√n<1√n=22√n<2√n+√n−1=2(√n−√n−1)1√n =2√22√2n<2√2√2n−1+√2n+1=√2(√2n+1−√2n−1) 1√n+2=22√n+2<2√n+2+√n=√n+2−√n1√n(n+1)<1√n+√n−1=√n−√n−1指数型：1a n−b n ≤1a n−1(a−b)(a>b≥1)证：1a n−b n =1a n−1[a−b⋅(ba)n−1]≤1a n−1[a−b⋅(ba)]=1a n−1(a−b)1a n−b≤1a n−1(a−b)(a>b≥1)证：1a n−b =1a n−1(a−ba n−1)≤1a n−1(a−ba0)=1a n−1(a−b)13n<13n−2≤13n−114n<14n−3≤14n−114n<14n−1≤13⋅4n−1奇偶型：2n−1 2n <2n−1√(2n−1)(2n+1)<√2n−12n+1。
数列放缩法常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，基本结构有4种：1.形如∑a i n i=1<k （k 为常数）2.形如∑a i n i=1<f (n )3.形如∏a i n i=1<k （k 为常数）4.形如∏a i ni=1<f (n )例1.求证：12+122+123+⋯+12n<1(n ∈N ∗)变式1求证：12+222+323+⋯+n 2n<2(n ∈N ∗)变式2求证：12+1+122+1+⋯+12n +1<1(n ∈N ∗)变式3求证：12+1+222+2+⋯+n2n+n<2(n∈N∗)例2.求证：11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)<12(n∈N∗)变式1求证：11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)≤13(n∈N∗)变式2求证：12×3+13×5+⋯+1(n+1)(2n+1)<512(n∈N∗)例3.求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<2(n∈N∗)变式1求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<74(n∈N∗)变式2求证：1+122+132+⋯⋅1+n2<53(n∈N∗)变式3求证：1+132+152+⋯⋅1（2n−1）2<54(n∈N∗)例4.已知数列{a n}，a n=2n2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)ni=1<3变式.已知数列{a n}，a n=2n2n−1(n∈N∗)求证：∑a i(a i−1)ni=1<25 9例5. 求证：13−2+132−22+⋯+13n−2n<32(n∈N∗)变式.求证：13−2+132−2+⋯+13n−2<1714(n∈N∗)例6. 求证：2(√n+1−1)<1+√2+√3+⋯+√n<2√n(n∈N∗)变式.求证：1+√2+√3+⋯+√n<√2(√2n+1−1)(n∈N∗)例7. 求证：12×34×56⋯2n−12n<√12n+1(n ∈N ∗)变式.求证：(1+1)(1+14)(1+17)⋯(1+13n−2)>√3n +13(n ∈N ∗)常见放缩公式： 平方型：1n (n+1)<1n 2<1n (n−1) (n ≥2)1n 2<1n 2−1=12(1n−1−1n+1)(n ≥2) 1n 2=44n 2<44n 2−1=2(12n −1−12n +1) 1(2n −1)2<14n (n −1)=14(1n −1−1n)(n ≥2)立方型：1n 3<1n (n 2−1)=12n (1n−1−1n+1)=12[1(n−1)n−1n (n+1)] (n ≥2)根式型：2(√n+1−√n)=2√n+1+√n<1√n=22√n<2√n+√n−1=2(√n−√n−1)1√n =2√22√2n<2√2√2n−1+√2n+1=√2(√2n+1−√2n−1) 1√n+2=22√n+2<2√n+2+√n=√n+2−√n1√n(n+1)<1√n+√n−1=√n−√n−1指数型：1a n−b n ≤1a n−1(a−b)(a>b≥1)证：1a n−b n =1a n−1[a−b⋅(ba)n−1]≤1a n−1[a−b⋅(ba)]=1a n−1(a−b)1a n−b≤1a n−1(a−b)(a>b≥1)证：1a n−b =1a n−1(a−ba n−1)≤1a n−1(a−ba0)=1a n−1(a−b)13n<13n−2≤13n−114n<14n−3≤14n−114n<14n−1≤13⋅4n−1奇偶型：2n−1 2n <2n−1√(2n−1)(2n+1)<√2n−12n+1。
高考数学备考之 放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k.解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k nk(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n n C T r rrn r(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n(2)求证:n n 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n nn n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}na 满足101a <<.1()n n af a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k ab +>.解析: 由数学归纳法可以证明{}na 是递增数列, 故 假设存在正整数k m ≤, 使bam≥, 则ba ak k ≥>+1,假设)(k m b a m≤<,则由101<<≤<b a am 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a am m m,∑=+-=-=km mm k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是ba b a b a k a ak =-+≥+>+)(|ln |11111m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nxx n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m nk m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立.n n n a 24-=,nnn a a a T +++=212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n nnn T -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n nnn T⎪⎭⎫⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n n n n从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n nn T T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明: nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .解析:先构造函数有xx x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111nn n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n 例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xxx f ln )(=,得到22ln ln nn n n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n nn ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln)1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ n nn n n n n n n函数构造形式:xx x x 11ln ,ln -><当然此题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<nin ABCFx S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n nin --==<⋅--⎰取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到:)1ln(113121+<++++n n 另一方面⎰->ni n ABDEx S 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n nin --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++FE D C BAn-inyxO例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和en <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(>+>++⇔>+->+x x x x x x x (加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n a a a n n +==+++证明2nae <.解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n nn a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。
数列常见裂项放缩公式1. 引言在数学中，数列裂项放缩是常见的一种技巧。
当我们需要证明一些数列的性质时，常常会用到这个技巧。
本文将介绍数列裂项放缩公式的定义、应用和一些例子，以帮助读者更好地理解和应用这个技巧。
2. 数列裂项放缩公式的定义数列裂项放缩是指利用数列中的一些项的性质，对数列进行变形，以求得更简单或更有用的形式。
数列裂项放缩可以分为以下几类：2.1 基本裂项公式假设有一个数列$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$，其中$i$为奇数，则有：$$a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}(a_i+a_{n-i+1})$$其中$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$表示$n$的整数部分。
2.2 迭加裂项公式假设有一个数列$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$和$b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n$，则有：$$\sum_{i=1}^na_i\cdotb_i=\frac{\sum_{i=1}^n(a_i+a_{i+1})\cdot(b_i+b_{i+1})-\sum_{i=1}^{n-1}(a_i+a_{i+1}+a_{i+2})\cdot b_{i+1}-a_1\cdot b_1-a_n\cdot b_n}{2}$$2.3 特殊数列裂项公式对于斐波那契数列$F_n$，有：$$F_{n+m}=F_{m+1}\cdot F_{n}+F_{m}\cdot F_{n-1}$$对于调和数列$H_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$，有：$$H_{2n}=H_{n}+\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}$$3. 数列裂项放缩公式的应用数列裂项放缩可以应用于很多数学问题，下面列举其中一些：3.1 证明不等式当我们需要证明一些不等式时，可以利用数列裂项放缩，将不等式中的一些项转化为其他已知的项，以便于求证。
实用文档高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩n2n5 1例1.(1)求k14k 21的值;(2)求证:k1k3. 2211解析:(1)因为4n21(2n1)(2n1)2n12n1,所以21n4k21112n12n1421111125n214n22n12n1(2)因为,所以k1k21 452n2n133 1121奇巧积累:(1)n24n24n212n2n1(2)Cn11Cn2n1)n(n)n(n1)n(n1) r1!11(3)r1Cnnrr!(nr)!r!r(r)1r2)1n11211)(n213n4)(n1n(5)2n(2n1)2n1n(6)( 1) 12(n1)11(7)(8)2n2n2n(2n) n1 (2n 3) 2n1111(9)k(n1k) n 1k k nn(n 1k)knk(10)(11)(12)n 1 112( 2n 1n )2 22n2n1 2n11 1(n1)! n!(n1)!(11)n n222n2n2n2n1 1(n2)(2n 1)2(2n 1)(2n 1) (2n 1)(2n2) (2n 1)(2n11) 2n1 12n111111n3n n 2n (n 1)(n1)n (n 1)n (n 1) n 1n111n1n 111n 1n 12nn 1n1(13)(14)2 n122n (31)2n33(2n1)2n2n12n12n32n13k2111nn1(n2) k!(k)!(k2)!(k1)!(k2)!n(n(15)1)文案大全实用文档21j212j2i j1( 15)j ij)(i212)i21j2n2)例2.(1)求证:32521)2(2n2(2n1) 1111(2)求证:416364n24n113135135(2n1)2n1(3)求证:22462462n2(1)1112(n)(4)求证：23111n11111解析:(1)因为(2n1)22n1)(2n1)2n12n1所以i(2i1)21()1()22n132n1,1111111( 2)416364n4(122n2)(11)13(2n1)1(3)先运用分式放缩法证明出后就可以得到答案1n进行裂项,n 22n 最12(n1n)211(4)首先nn,所以容易经过裂项得到2(n11)1n1232(2n12n1)22212n1112n再证nn 而由均值不等式知道这是显然成立的，2 211112( 2n 11)所以23n6n111例3.求证:(n1)(2n 1)9n21411214n 21 2n12n11 11 1125 解析:一方面:因为n 412 2n12n11所以k1k23533,111111 n另一方面:4922334 n(n1)n1n1n6n6n111 1当31(1)当1149n 2n时,nn (2n1)n时,(n)(2n1),6n11,当n2时,(n1)(2n1)49n2n 11所以综上有(n1)(2n1) 49例4.(2021年全国一卷)设函数f(x)xxlnx 数列a n 满足11a n1f (a n )..文案大全实用文档设b(a1，1)，整数k≥a1bb.a1lnb.证明:a k1解析:由数学归纳法可以证明an是递增数列,故假设存在正整数mk,使a m,那么a k1ak b,kmb(mk)a1a mb1am lna ma1lna ma1lnb0a k1a k a k lna ka1a m lnam假设,那么由知,m1kam lna mk(a1lnb)因为m1,于是ak1a1k|a1lnb|a1(ba1)b例5.n,mN,x1,S1m2m3m n m m1(m1)S(n1)m1.,求证:解析:首先可以证明:(1x)nnxm1n m1(n1)m1(n1)m1(n2)m11m1[k m1(k1)m1]1所以要证nm1(m1)S(n1)m1只要证:nn[ k m1(k1)m1](m1)km(n1)m11(n1)m1nm1nm1(n1)m12m11m1[(k1)m1k m1]k111[ k m1(k1)m1](m1)km[(k1)m1k m1]故只要证k1k11,即等价于k m1(k1)m1(m1)k m k1)m1km,即等价于1m11m11k(1)1k(1而正是成立的,所以原命题成立.例6.a n4n2n,Tn2na n,求证:T1T2T3na122.解析:Tn314(14n)2(12n)4 4422)1412341)2(12 Tn2n2n2n32n2n11n1n12n1)2(12n)4n1422n1432222321所以4n33n312(22n1)(2n1)22n12n11T 1T2T3313Tn3372n12n112从而2n (n2k1,k)1117.x1xn2k,k)x2x34x4x52(n11)(nN*)例n1(n求证4x2n x2n1 1文案大全实用文档证明:因为1111124x2n x2n14(2n1)(2n1)44n2144n22n2n,122) n1,所以2(n1 2n4x2n x2n12n nn1112(n11)(nN*)所以4x2 x3 4x4x5 4x2nx2n1 二、函数放缩ln2ln3ln 4ln3n3n5n6(nN*).例8.求证：2343n6解析:先构造函数有lnxlnx1ln2ln3ln4ln3n n111x11x,从而2343n3133n)11111111111caus e233n234567892n2n1n533993n13n15n669182723n13n6 ln2ln3ln4ln3n15n n5n6所以2343n 362,ln 2ln3lnn2n2n1(n)例9.求证:(1)23n2(n1)解析:构造函数f(x)lnxlnnlnn2lnn21111x得到nn2再进行裂项n2n2n(n1)求和后可以得到答,,,案函数构造形式:lnxx1,lnn1(2)11ln(n1)111例10.求证:232n解析:提示:ln(n1)lnn2nn1nnln2 n11nn1函数构造形式:lnxx,lnxy当然此题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数f(x)1ED x,F CA Bilnx|nlnn ln(ni)n-iSABC F首先x,从而,i文案大全实用文档1lnnln (n1),取i1有,n11 l n3 l n211ln(n1)lnn ,相加后可以得到:所以有2 l n2,3 ,⋯,nlnnln(n1),n111ln (n1)3n1S ABD E1,从而有nii另一方面ii1l nn ln(n1),取i1有,n1l nx|nlnnl n(ni)n所以有ln(n1)1 11 1 11 l n(n1)112n,所以上有2 3n 1 2例11.求:1 1)(11)(11)e和1 )(11) (11解析构造函数后即可明2!3!n!98132n.:2n3ln[n (n1)1]3例12.求:(112)1 23)[1 n (n 1)] 解析 2:,以得到答案l n(x1 )31ln(1x)3x)(加命)函数构造形式(x0)x1x1 ln2ln3ln4lnnn(n)(nN*,n1)例13.明:3451解析:构造函数f(x)ln(x1)(x)1(x1)求可以得到:,f'(x)112x''0有x2,x1x1,令f(x)0有1x2,令f(x)所以f(x)f(2)0,所以ln(x1)2,令xn21有,lnn2n21lnn n1n2ln3ln4lnnn(n1)(nN*,n)所以n12,所以345n14例14.a11,a n1(11n)a n.明a ne2.n2n1)a n111)a n解析:a n1(1n(n1)n(n1),11lna n1ln(1n(n1)2n)lna n然后两取自然数,可以得到文案大全实用文档然后运用ln(1)x和裂项可以得到答案)放缩思路：a nlna n1ln(11lna n(1n2n2n a nn2n nlna n11 22n。
