2019届高考数学专题12数列求和

高中数学数列的求和公式及相关题目解析在高中数学中，数列是一个非常重要的概念，它是数学中的一种序列，由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的求和是数学中常见的问题之一，本文将介绍数列的求和公式及相关题目解析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。

一、等差数列的求和公式及相关题目解析1. 等差数列的求和公式等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

对于等差数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则等差数列的求和公式为：Sn = (n/2)[2a1 + (n-1)d]其中，n为项数，a1为首项，d为公差。

2. 题目解析例题1：已知等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=3，d=4，n=10，可以得到：S10 = (10/2)[2*3 + (10-1)*4] = 5[6 + 9*4] = 5[6 + 36] = 5*42 = 210因此，前10项的和为210。

例题2：已知等差数列的首项为-2，公差为5，前n项和为100，求n的值。

解析：根据等差数列的求和公式，代入a1=-2，d=5，Sn=100，可以得到：100 = (n/2)[2*(-2) + (n-1)*5] = (n/2)[-4 + 5n - 5] = (n/2)(5n - 9)化简得到5n^2 - 9n - 200 = 0，解这个二次方程可以得到n≈13.2或n≈-3.8。

由于n必须是正整数，所以n≈13.2不符合题意。

因此，n≈-3.8也不符合题意。

综上所述，n的值为13。

二、等比数列的求和公式及相关题目解析1. 等比数列的求和公式等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

对于等比数列，我们可以使用求和公式来快速计算其前n项的和。

设等比数列的首项为a1，公比为r，前n项和为Sn，则等比数列的求和公式为：Sn = a1(1 - r^n)/(1 - r)其中，n为项数，a1为首项，r为公比。

数列求和【考点梳理】1．公式法(1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(2)裂项时常用的三种变形：①1n n ＋＝1n －1n ＋1； ②1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解．5．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.【考点突破】考点一、公式法求和【例1】已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2＋a 4＝10得1＋d ＋1＋3d ＝10， 所以d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)由(1)知a 5＝9.设{b n }的公比为q ，由b 1＝1，b 2·b 4＝a 5得qq 3＝9，所以q 2＝3，所以{b 2n －1}是以b 1＝1为首项，q ′＝q 2＝3为公比的等比数列，所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1＝1·（1－3n ）1－3＝3n －12. 【类题通法】1.数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项.2.通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式；(2)若T 3＝21，求S 3.[解析] (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)， 故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.考点二、分组转化求和【例2】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和.[解析] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n ).记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2， B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.【类题通法】1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.【对点训练】已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解析] (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝93＝3，所以b 1＝b 2q ＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1(n ＝1,2,3，…). 设等差数列{a n }的公差为d .因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2.所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1. 因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和 S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n ＋2n －2＋1－3n 1－3＝n 2＋3n－12. 考点三、裂项相消法求和 【例3】已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解析] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×92d ＝10a 1＋45d ＝100， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)b n ＝1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 【类题通法】1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.【对点训练】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3.(1)求a n ；(2)设b n ＝1S n，求数列{b n }的前n 项和为T n . [解析] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 考点四、错位相减法求和【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1的等差数列，且a 2＝3，a 3＝5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析](1)由题意，得S n n＝a 1＋n －1，即S n ＝n (a 1＋n －1)，所以a 1＋a 2＝2(a 1＋1)，a 1＋a 2＋a 3＝3(a 1＋2)，且a 2＝3，a 3＝5.解得a 1＝1，所以S n ＝n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，n ＝1时也满足.故a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)·3n ，所以T n ＝1×3＋3×32＋…＋(2n －1)·3n ， 则3T n ＝1×32＋3×33＋…＋(2n －1)·3n ＋1. ∴T n －3T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1， 则－2T n ＝3＋2×32－3n ×31－3－(2n －1)·3n ＋1＝3n ＋1－6＋(1－2n )·3n ＋1 ＝(2－2n )·3n ＋1－6，故T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3.【类题通法】 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和.2.在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式.【对点训练】已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n n a a ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋12－d ＝6，5a 1＋12－d ＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝2，a 1＋2d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝1.∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)得b n ＝2n n a a ＝n 2n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，① ①式两边同乘12， 得 12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n 2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n .。

高中数学数列求和技巧及应用数列是高中数学中的重要内容，求和是数列的一个基本运算。

在解决数列求和问题时，我们需要掌握一些技巧和方法，以便更快更准确地求解。

本文将介绍几种常用的数列求和技巧，并通过具体的例子进行说明，帮助读者更好地理解和应用。

一、等差数列求和技巧等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

对于等差数列的求和问题，我们可以利用求和公式来简化计算。

求和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1为首项，an为末项，n为项数。

举例说明：求等差数列1，3，5，7，9的前10项和。

首先确定a1 = 1，an = 9，n = 10，代入求和公式得到：Sn = (1 + 9) * 10 / 2 = 50因此，等差数列1，3，5，7，9的前10项和为50。

这个例子展示了等差数列求和的基本思路，通过找到首项、末项和项数，代入求和公式即可得到结果。

二、等比数列求和技巧等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

对于等比数列的求和问题，我们可以利用求和公式来简化计算。

求和公式：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1为首项，q为公比，n为项数。

举例说明：求等比数列2，4，8，16，32的前5项和。

首先确定a1 = 2，q = 2，n = 5，代入求和公式得到：Sn = 2 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 62因此，等比数列2，4，8，16，32的前5项和为62。

这个例子展示了等比数列求和的基本思路，通过找到首项、公比和项数，代入求和公式即可得到结果。

三、特殊数列求和技巧除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。

下面我们将介绍两种常见的特殊数列求和技巧。

1. 平方数列求和技巧平方数列是指数列中每一项都是某个正整数的平方的数列。

对于平方数列的求和问题，我们可以利用平方和公式来简化计算。

裂项相消法的八种类型一、 等差型:设等差数列｛a n ｝的各项不为零，公差为ｄ，则 1an ∙a n+1=1d (1a n−1an+1)常见题型如下：1.11×2+12×3+⋯+1n×(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1 2.1１×３＋1３×５＋⋯++1（２ｎ－１）（+２ｎ＋１）+=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)3.+1１×4＋14×7++＋⋯++＋+1（3ｎ－１）（+3ｎ＋2）+=13(1−14)+13(14−17)+⋯+13(13n−1−13n+2)=13(1−13n+2)4.+11×3+12×4+⋯+1n×(n+2)=12(1−13)+12(12−14)+⋯+12(1n −1n+2)=12(1+12−1n+1−1n+2)5.(−1)n 4n(2n−1)(2n+1)=(−1)n (12n−1+12n+1)该类型的特点是分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的√n +√n +1=√n +1−√n√2n+1+√2n−1=12(√2n +1−√2n −1)3.()n k n kkn n -+=++11练习：求{(n+1)√n+n √n+1}的前n 项和解：a n =(n+1)√n+n √n+1=(n+1)√n−n √n+1(n+1)2n−n 2(n+1)=√n−√n+1.得 S n =+(1−√2)+(√2−√3)⋯+(√n−√n+1)=1−√n+1.三、指数型：根据指数的运算方法（a-1）a n ＝a n+1−a n ，因 此 一 般 地 有(a−1)a n(a n +b )(a n+1+b)=1a n +b −1a n+1+b1. 4n (4n －1)(4n ＋1－1)＝13⎪⎭⎫⎝⎛---+1411411n n2.2n22n+1−3×2n +1=2n(2n+1−1)(2n −1)=12n −1−12n+1−1利用对数的运算法则log a MN =log M −log N ，+log aa n+1a n=log a a n+1−log a a n例1.各项都是正数的等比数列{}n a 满足a n ≠1(n ∈N ∗)，当n ≥2时，证明：1lg a 1lg a 2+1lg a2lg a 3+⋯1lg an−1lg a n=n−1lg a1lg a n.分析设等比数列{}n a 的公比为q （q 0>），由a na n+1=q ，得q a a n n lg lg lg 1=--，从而，1lg a n−1lg a n=1lg q (1lg a n−1−1lg a n)，因此， 左边==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--)lg 1lg 1()lg 1lg 1()lg 1lg 1(lg 113221n n a a a a a a q =-=-⋅=-⋅=-111121lg lg 1lg lg lg )1(lg 1lg lg lg lg lg 1)lg 1lg 1(lg 1a a n a a q n a a a a a q a a q n n n n n 例2：lgn+1n=lg (n +1)−lgn五、等差数列和指数混合型、等差数列和等差数列(裂项难度较大)1.n+2n(n+1)⋅12n=2(n+1)−nn(n+1)⋅12n=1n⋅2n−1−1(n+1)2n 2.1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]3.+(2n)2(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)例1.已知数列{a n}的通项公式为a n=3n−4n(n+1)(n+2)，求它的前n项和S n。

一．【学习目标】1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．二．【知识要点】求数列前n项和的基本方法(1)公式法数列{a n}为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．若{a n}为等差数列，则S n＝（a1＋a n）n2＝____________________．若{a n}为等比数列，其公比为q，则当q＝1时，S n＝_________({a n}为常数列)；当q≠1时，S n＝______________＝_________(2)裂项相消求和法数列{a n}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．(3)倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．(4)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．(5)分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如a n＝(－1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.三．【方法总结】1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.2.数列求和实质就是求数列{S n }的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练.练习3. 已知函数，则的值为 _____．【答案】2.裂项求和例2. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若，则5S 等于（ ）16 56 130【答案】【解析】选练习1.数列的前项的和为（ ）1- 1-【答案】【解析】故数列的前10项的和为选练习6.数列{}n a 满足11a =，且对于任意的*n N ∈都有，则等于（ ）20162017403220172017201840342018【答案】D练习7.设数列{}n a 满足，且，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则( )【答案】 【解析】构造，则，由题意可得，故数列{}n b 是为首项为公差的等差数列， 故，故以上个式子相加可得，解得，∴，∴，∴20172018则．故答案为：．练习8. 已知幂函数()a f x x =的图象过点()4,2，令（*n N ∈），记数列{}n a 的前n项和为n S ，则2018S =（ ）11 1 1【答案】故选：.练习9. 已知数列{}n a 的首项为9，且，若，则数列{}n b 的前n项和n S =__________．【答案】2119101n --练习10.设数列{}n a 的前项为n S ，点,n S n n⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()*n N ∈均在函数32y x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式。

高考数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的一个重要知识点，也是高考数学中经常考察的内容之一。

掌握了数列求和的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决问题，提高解题效率。

下面将对数列求和的相关知识进行总结和归纳。

一、等差数列的求和等差数列是高中数学中最基本的数列之一，求和公式为Sn = n* (a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n 项。

例题1：已知某等差数列的首项为2，公差为3，求前10项的和。

解题思路：首先根据等差数列的公式an = a1 + (n - 1) * d，计算出第10项的值为2 + (10 - 1) * 3 = 29。

然后利用等差数列的求和公式Sn = n * (a1 + an) / 2，代入n=10，a1=2，an=29，计算出前10项的和为10 * (2 + 29) / 2 = 155。

二、等比数列的求和等比数列是高中数学中另一个重要的数列，求和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。

例题2：已知某等比数列的首项为1，公比为2，求前5项的和。

解题思路：首先根据等比数列的公式an = a1 * q^(n - 1)，计算出第5项的值为1 * 2^(5 - 1) = 16。

然后利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入n=5，a1=1，q=2，计算出前5项的和为1 * (1 - 2^5) / (1 - 2) = 31。

三、一般数列的求和对于一般的数列，如果找不到明显的规律或者确定不了数列的类型，可以采用递推法求和。

例题3：已知数列{an}满足a1 = 1，an = an-1 + 2，求前5项的和。

解题思路：根据数列的递推关系an = an-1 + 2，可以得出第2项a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3，第3项a3 = a2 + 2 = 3 + 2 = 5，以此类推，可以求得前5项依次为1，3，5，7，9。

培优点十二 数列求和1．错位相减法例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=， 4410S b -=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=+++，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+．【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则3441127327a b a d b q +=⇒++=，34411104610S b a d b q -=⇒+-=， 即332322786210d q d q ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得：32d q =⎧⎨=⎩， 31n a n ∴=-，2n n b =．（2）()()231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，①()()23+1231234222n n T n n =-⋅+-⋅++⋅，②-②①得()()()()123124213123222222312321n n n n n T n n -++-∴=--⋅+++++⋅=--⋅+⋅-()10223112n n =⋅---，∴所证恒等式左边()102231n n =⋅--，右边()210231102nn n a b n =-+=--+⋅，即左边=右边，所以不等式得证．2．裂项相消法例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()()21nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121n n T +=--．【解析】（1）2n ≥时，()22133163n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦， 当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+，∵{}n b 为等比数列31232512b b b b ∴==，28b ∴=， 设{}n b 的公比为q ，则21328,8b b b b q q q q====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+⇒-+=-+，解得2q =或12q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=⋅=．（2）()()()()()()111112211222121212121n n nn n n n n n c +++++===-------， 112231111111212121212121n n n n T c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111212121n n ++=-=----．一、单选题1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10 B ．14 C ．15 D ．17【答案】C【解析】∵()199599182a a S a +===，∴52a =，∴()()()154230240222n n n n a a n a a n S -+++====，15n =，故选C ．2．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ）对点增分集训A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ， 由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-， 二次函数的对称轴为358754n ==.，开口向下， 又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值．故选C ． 3．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足：11x =，且对于任意n *∈N ，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．7554B ．7549C ．7546D ．7539【答案】A【解析】由题意可知：()13f =，()35f =，()56f =，()61f =，()13f =，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则11x =，23x =，35x =，46x =，511x x ==， 则数列{}n x 是周期为4的周期数列，由于201545033=⨯+，且123415x x x x +++=，故()122015503151357554x x x ++⋅⋅⋅+=⨯+++=．故选A ．4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =，则4534155a S a =⎧⎨==⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++， 解得10m =．故答案为10．故选C ．5．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是（ ） A ．11S a B ．88S a C ．55S a D ．99S a 【答案】C 【解析】由于()19959902a a S a +==>，()()110105610502a a S a a +==+<，∴可得50a >，60a <，这样110S a >，220Sa >，，550S a >，660S a <，，990S a <，而125S S S <<<，125a a a >>>，∴在11S a ，22S a ，，99S a 中最大的是55S a ．故选C ．6．设数列(){}1n-的前n 项和为nS ，则对任意正整数n ，nS=（ ）A ．()112nn ⎡⎤--⎣⎦ B ．()1112n --+C ．()112n-+D ．()112n--【答案】D【解析】∵数列(){}1n-是首项与公比均为1-的等比数列．∴其前n 项和为()()()()11111112nn n S ⎡⎤-----⎣⎦=--=．故选D ．7．已知数列{}n a 满足11a =，()()121211n n n a n a +-=++，()()12212141n nn n a n a b n +--+=-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，若n m T >恒成立，则m 的最小值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．12【答案】D【解析】由题意知，12121n n n a ab n n +=-+-，由()()121211n n n a n a +-=++，得()()111112121212122121n n a a n n n n n n +⎛⎫-==- ⎪+--+-+⎝⎭， ∴12111111111112133521212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=⨯-< ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭， ∴12n T <恒成立，12m ≥，故m 最小值为12，故选D ． 8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1nn a n =-⋅，则2018S =（ ） A ．2018 B ．1009 C ．2019 D ．1010【答案】B【解析】由题意，数列{}n a 满足()1nn a n =-⋅，∴2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+--+()()()1234201720181009=-++-+++-+=，故选B ．9．已知数列{}n a 中，()12321n n a a a a n *+++⋅⋅⋅+=-∈N ，则2222123n a a a a +++⋅⋅⋅+等于（ ） A ．()1413n- B ．()1213n- C ．41n -D ．()221n -【答案】A【解析】设()12321n n n S a a a a n *=+++⋅⋅⋅+=-∈N ，由1112,,n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，解得12n n a -=，令214n n n b a -==，故()22221231413nn a a a a +++⋅⋅=⋅+-．故选A ． 10．已知函数()223sin 2n f n n -⎛⎫=π ⎪⎝⎭，且()n a f n =，则123200a a a a ++++=（ ）A ．20100B ．20500C ．40100D ．10050【答案】A【解析】()n a f n =，当n 为偶数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=⎪⎝⎭， 当n 为奇数时，()2223sin 2n f n n n -⎛⎫=π=-⎪⎝⎭， 故222221232001234199200a a a a ++++=-+-++--()()()()211220019920019912319920020100=-+++-+=+++++=．故选A ．11．已知数列{}n a 满足：112a =，21a =，()112n n n a a a n n *+-=+∈≥N ,，则132435111a a a a a a ++201820201a a +⋅⋅⋅+的整数部分为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】1111111111111111n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+⇒-=⇒=⇒-=111111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+⎛⎫⇒=-=- ⎪⎝⎭， ∴原式1223201820192019202020192020111112a a a a a a a a a a =-++-=-，当3n ≥时，()201920202019202011121,2n a a a a a >⇒>⇒-∈，∴整数部分为1，故选B ．12．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]122-=-．，[]121=．．已知数列{}n a 满足[]2log n a n =，其前n 项和为n S ，若0n 是满足2018n S >的最小整数，则0n 的值为（ ） A ．305 B ．306 C ．315 D ．316【答案】D【解析】由题意，[]2log n a n =，当1n =时，可得10a =，（1项） 当1222n ≤<时，可得231a a ==，（2项） 当2322n ≤<时，可得4572a a a ====，（4项） 当3422n ≤<时，可得89153a a a ====，（8项） 当4522n ≤<时，可得1617314a a a ====，（16项）当122n n n +≤<时，可得12212n n n a a a n ++====，（2n 项）则前n 项和为1234122232422n n S n =⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，234512122232422n n S n +=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减得2341222222n n n S n +-=+++++-⋅，∴()1112222122018n n n n S n n +++=⋅-+=-+>，此时8n ≥，当8n =时，对应的项为83162a a =，即0316n ≥，故选D ．二、填空题13．已知数列{}n a 满足()()112nn n a a n n ---=≥，记n S 为{}n a 的前n 项和，则40S =__________．【答案】440【解析】由()()112nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，有2212k k a a k --=， ① 当21n k =-时，有212221k k a a k --+=-， ② 当21n k =+时，有21221k k a a k ++=+， ③ +①②有22241k k a a k -+=-，-③①有21211k k a a +-+=，则()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++()109110715231071084402⨯=⨯++++=+⨯+⨯=． 故答案为440．14．13S =++=，210S =++++=，321S =++++++=，，则n S =__________．【答案】()21n n +，()n *∈N【解析】第一个等式，起始数为1，项数为2234121=-=-，113S =⨯， 第二个等式，起始数为2，项数为2259432=-=-，225S =⨯， 第三个等式，起始数为3，项数为22716943=-=-，337S =⨯，第n 个等式，起始数为n ，项数为()22121n n n +-=+，()21n S n n =+，()n *∈N ，故答案为()21n S n n =+，()n *∈N ．15．已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________； 【答案】2018【解析】∵()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ⎛⎫⎛⎫+-=+-++-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112sin sin 222a a ⎛⎫⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ① 则201820171201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ② +①②得1201822018403620192019S ff ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴2018S =．故答案为2018． 16．定义12nnp p p +++为n 个正整数1p ，2p ，，n p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n ，又5n n a b =，则12231011111b b b b b b +++=_________； 【答案】1021【解析】∵数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为15n， ∴15n n S n=，解得25n S n =，∴115a S ==， 当2n ≥时，()()221551105n n n a S S n n n -⎡⎤=-=--=-⎣⎦， 当1n =时，上式成立，则105n a n =-， ∴215nn a b n ==-，()()111111212222121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 则1223101111111111111111011233557192122121b b b b b b ⎛⎫⎛⎫+++=⨯-+-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为1021．三、解答题17．正项等差数列{}n a 中，已知0n a >，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又()()52513100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=， ∴()1121n a a n d n =+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，∴2q =，∴152n n b -=⋅；（2）∵()21535272212n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦， ()2325325272212nn T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯⎣⎦，两式相减得()][()215[322222221251221]n n nn T n n --=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯=--，则()52121nn T n ⎡⎤=-+⎣⎦．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2632n nn S a a =++，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对n *∀∈N ，2(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）22183n T n n =-．【解析】（1）2632n nn S a a =++，n *∈N ， 当2n ≥时，()221116663232n n n n n n n a S S a a a a ---=-=++-++，化为()()1130n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴13n n a a --=，当1n =时，2111632a a a =++，且12a <，解得11a =．∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为3．∴()13132n a n n =+-=-；（2）22(1)(1)(32)n n n nb a n =-=--． ∴()22212(65)(62)31273621n n b b n n n n -+=--+-=-=-，∴{}n b 的前2n 项的和()()22136122136211832n n n T n n n n n +=+++-=⨯-=-．。

高中数学中的数列求和知识点总结数列求和是高中数学中的重要概念和技巧之一，它涉及到数列的性质和求和方法的应用。

本文将对高中数学中的数列求和知识点进行总结，包括求和公式、数列性质与求和、递推数列求和和常用数列求和等内容。

1. 求和公式求和公式是数列求和的基础，它们可以帮助我们简化求和过程并得到准确的结果。

常见的求和公式包括等差数列求和公式和等比数列求和公式。

（1）等差数列求和公式对于等差数列 {an}，其通项公式为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差，n 为项数。

等差数列的求和公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2。

其中 Sn 表示前 n 项的和。

（2）等比数列求和公式对于等比数列 {an}，其通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中 a1 为首项，q 为公比，n 为项数。

等比数列的求和公式分为两种情况：当 |q| < 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = a1 / (1-q)。

当 |q| > 1 时，等比数列的求和公式为 Sn = (a1 - anq) / (1-q)。

2. 数列性质与求和数列性质与求和是数列求和中较为重要的内容之一。

在求解数列求和问题时，熟练掌握数列的性质对于简化计算和解题过程非常有帮助。

（1）数列的首项与末项一个数列 {an} 的首项为 a1，末项为 an。

在使用求和公式时，需要准确确定数列的首项和末项。

（2）逆序求和对于满足一定条件的数列，其求和式可以通过逆序求和的方式得到更简洁的结果。

例如，等差数列 {an} 的求和式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，而逆序求和的方式是 Sn = (an + a1) * n / 2。

（3）奇数项和与偶数项和有些数列的求和问题可以通过分别求解奇数项和与偶数项和来得到最终结果。

例如，等差数列 {an} 的奇数项和为 So = (a1 + an) * (n/2)，偶数项和为 Se = an * (n/2)。