专题六数列
第十七讲 递推数列与数列求和
答案部分
1．C 【解析】∵113
n n a a +=-，∴{}n a 是等比数列
又243a =-，∴14a =，∴()1010101413313113
S -⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-+
，故选C ．
2．D 【解析】【法1】有题设知
21a a -=1，① 32a a +=3 ② 43a a -=5 ③ 54a a +=7，65a a -=9，
76a a +=11，87a a -=13，98a a +=15，109a a -=17，1110a a +=19，121121a a -=，
……
∴②－①得13a a +=2，③+②得42a a +=8，同理可得57a a +=2，68a a +=24，911a a +=2，1012a a +=40，…，
∴13a a +，57a a +，911a a +，…，是各项均为2的常数列，24a a +，68a a +，1012a a +，…
是首项为8，公差为16的等差数列， ∴{n a }的前60项和为1
1521581615142
⨯+⨯+⨯⨯⨯=1830. 【法2】可证明：
14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+
11234151514
1010151618302
b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+
⨯= 【法3】不妨设11a =，得23572,1a a a a ====⋅⋅⋅=，466,10a a ==，所以当n 为奇数时，1n a =，当n 为偶数时，构成以2a 为首项，以4为公差的等差数列，所以得
601830S =
3．A 【解析】法一：分别求出前10项相加即可得出结论；
法二：12349103a a a a a a +=+=⋅⋅⋅=+=，故1210a a a ++⋅⋅⋅+=3515⨯=．故选A. 4．6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，
∴2(12)
12612
n n S -=
=-，∴264n =，∴6n ． 5．27【解析】∵11a =，11(2)2n n a a n -=+
≥，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1
2的等差数列，所以前9项和9981
92722
S ⨯=+⨯=．
6．2011
【解析】由题意得：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+
(1)
1212
n n n n +=+-+
++=
所以101111220
2(),2(1),11111
n n n S S a n n n n =-=-==+++．
7．12
【解析】将82a =代入111n n a a +=
-，可求得712a =；再将71
2
a =代入111n n a a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入11
1n n
a a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以171
2
a a ==． 8．【解析】当n =1时，1a =1S =
121
33a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=122
33
n n a a --，即n a =12n a --，
∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1
(2)
n --.
9．（1）1
16
-
，（2）10011(1)32-
【解析】(1)∵1
(1)2
n
n n n S a =--
． 3n =时，a 1＋a 2＋a 3＝－a 3－1
8 ①
4n =时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 4－116，∴a 1＋a 2＋a 3＝－1
16. ②
由①②知a 3＝－1
16．
(2)1n >时，1
1111(1)
()2n n n n S a ----=--，∴11(1)(1)()2n n n n n n a a a -=-+-+
当n 为奇数时，1
111
()
2
2
n n n a a +-=-； 当n 为偶数时，11()2
n
n a -=-．
故1
1(),21(),2
n n n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，11,20,n n n S n +⎧-
⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数
∴12100246100
1111
(
)2222S S S ++⋅⋅⋅+=-+++⋅⋅⋅+ 10010010011
(1)
111142(1)(1)1323214
-=-=--=--．
10．1830【名师解析】可证明：
14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+，
1123410b a a a a =+++=⇒151514
10151618302
S ⨯=⨯+
⨯=． 11．3018【解析】因为cos 2n π的周期为4；由cos 12
n n a n π
=+n N *∈
∴12346a a a a +++=，56786a a a a +++=，… ∴ 201250363018S =⨯=
12．4【解析】由题意得11
22(4)()(1)(14)()33
22(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩
，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，
13．【解析】(1)设等比数列{}n b 的公比为q ，由11b =，322b b =+，可得2
20q q --=．
因为0q >，可得2q =，故1
2
n n b -=．所以122112
n
n n T -=
=--． 设等差数列{}n a 的公差为d ．由435b a a =+，可得134a d +=． 由5462b a a =+，可得131316,a d += 从而11,1a d ==， 故n a n =，所以(1)
2n n n S +=． (2)由(1)，知13112(222)2 2.n n n T T T n n ++++=++
+-=--
由12()4n n n n S T T T a b +++
+=+可得
1
1(1)2222
n n n n n n ++++--=+， 整理得2
340n n --=，解得1n =-（舍），或4n =．所以n 的值为4．
