2019_2020学年高中数学课时分层作业19双曲线的简单性质含解析北师大版选修2_1

3．2 双曲线的简单性质学习目标 1.了解双曲线的简单性质(对称性、范围、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中a ，b ，c ，e 间的关系．知识点一 双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线知识点二 双曲线的离心率双曲线的焦距与实轴长的比c a ，叫作双曲线的离心率，记为e ＝c a，其取值范围是(1，＋∞)．e 越大，双曲线的张口越大． 知识点三 双曲线的相关概念1．双曲线的对称中心叫作双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，它的渐近线方程是y ＝±x .1．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．( × ) 2．双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔．( √ )3．双曲线x 2－y 2＝m (m ≠0)的离心率为2，渐近线方程为y ＝±x .( √ ) 4．平行于渐近线的直线与双曲线相交，且只有一个交点．( √ ) 5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e ＝ 2.( √ )题型一 由双曲线方程研究其简单性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c ，渐近线解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .引申探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)， 离心率e ＝c a＝m ＋nm＝1＋n m，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟 由双曲线的方程研究简单性质的解题步骤。

3.3.2 双曲线的简单性质[基础达标]1．双曲线x 2－y23＝－1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±33x D ．y ＝±3x解析：选D.方程化为y23－x 2＝1，a ＝3，b ＝1.∴渐近线方程为y ＝±3x .2.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A.x28－y224＝1 B ．x212－y24＝1C.x224－y28＝1 D ．x24－y212＝1 解析：选D.焦点在x 轴上.b a＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2， ∴a 2＝4，b 2＝12.故选D.3.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝3，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±22x B ．y ＝±3x C ．y ＝±2xD ．y ＝±x解析：选C.∵e ＝3，∴e 2＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋(b a )2＝3，∴ba＝2，又焦点在x 轴，∴渐近线方程为y ＝±2x .4.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( )A.1＋22B ．1＋32C ．1＋2D ．1＋3解析：选B.由题意知AB ＝BC ＝2c ，又∠ABC ＝120°，过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则 |AC |＝2CD ＝2×BC sin 60°＝23c ，由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ， ∴e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12.5.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19 B ．14 C.13D ．12解析：选A.由题意得1＋p 2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4. ∴M (1，4)，双曲线左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a ，由题意41＋a ＝1a，∴a ＝19.6.双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝ba x ＝b a<2， ∴e 2＝c2a2＝1＋(b a)2<5， 又e >1，∴e ∈(1，5)． 答案：(1，5)7.过点(0，1)且斜率为1的直线交双曲线x 2－y24＝1于A ，B 两点，则|AB |＝________．解析：直线的方程为y －1＝x ，即y ＝x ＋1，代入x 2－y24＝1整理得3x 2－2x －5＝0， ∴x 1＝－1，x 2＝53，|AB |＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋1|1＋53|＝823. 答案：8238.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．解析：双曲线的一个顶点为(a ，0)，它到渐近线x －3y ＝0的距离为|a|1＋（3）2＝1，∴a ＝2，又b a＝33∴b ＝33a ＝233.故双曲线方程为x24－y243＝1. 答案：x24－y243＝19.(1)求与双曲线x29－y216＝1有共同渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线的方程．(2)已知双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，求双曲线的方程．解：(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3，23)代入，得99－1216＝λ，解得λ＝14.所以所求双曲线方程为4x29－y24＝1. (2)法一：椭圆方程可化为x264＋y216＝1，易得焦点是(±43，0)．设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)，其渐近线方程是y ＝±b a x ，则b a ＝33.代入a 2＋b 2＝c 2＝48，解得a 2＝36，b 2＝12.所以所求双曲线方程为x236－y212＝1.法二：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条渐近线方程为x ＋3y ＝0.已知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x2λ－y2λ3＝1.由椭圆方程x264＋y216＝1知c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48.因为双曲线与椭圆共焦点，所以λ＋λ3＝48，则λ＝36.所以所求双曲线方程为x236－y212＝1.10.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x23－y 2＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1得 (1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k2）＝36（1－k2）>0，即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)－91－3k2＋2k 62k 1－3k2＋2＝3k2＋73k2－1. 于是3k2＋73k2－1>2，即－3k2＋93k2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1. 故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [能力提升]1.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b2a2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c2a2＝1＋b2a2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A. 2.若点O 和点F (－2，0)分别是双曲线x2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．解析：因为F (－2，0)是已知双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝4，即a 2＝3，所以双曲线方程为x23－y 2＝1，设点P (x 0，y 0)(x 0≥3)，则有x203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 20＝x203－1(x 0≥3)，易知FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 0(x 0＋2)＋x203－1＝4x203＋2x 0－1，此二次函数的图像的对称轴为x 0＝－34，因为x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)．答案：[3＋23，＋∞)3.设F 1，F 2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，A 1，A 2分别为这个双曲线的左、右顶点，P 为双曲线右支上的任意一点，求证：以A 1A 2为直径的圆既与以PF 2为直径的圆外切，又与以PF 1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A 2为直径的圆的圆心为O ，半径为a ，令M ，N 分别是PF 2，PF 1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM |＝12|PF 1|.又根据双曲线的定义，得|PF 1|＝2a ＋|PF 2|，从而有|OM |＝12(2a ＋|PF 2|)＝a ＋12|PF 2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 2为直径的圆外切．同理，得|ON |＝12|PF 2|＝12(|PF 1|－2a )＝12|PF 1|－a .这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A 1A 2为直径的圆与以PF 1为直径的圆内切．4．已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2. ∵点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x24－y212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为 (3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－k2≠0Δ＝（－2km ）2－4（3－k2）（－m2－12）>0.① x 1＋x 2＝2km 3－k2，x 1x 2＝－m2－123－k2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， 即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0， ∴(1＋k 2)－m2－123－k2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k2（k2－3）2.当k ＝0时，|PQ |2＝24＋384k2（k2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直x 轴时，|PQ |2>24， 所以|OP |2＋|OQ |2的最小值是24.。

2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.3双曲线的简单性质1课时作业北师大版选修一、选择题1．[xx·福建高考]双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. 12 B.22C. 1D. 2解析：本题主要考查双曲线的性质和点到直线的距离公式．双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，顶点坐标为(±1,0)，故顶点到渐近线的距离为22，故选B. 答案：B2．[x x·甘肃省兰州一中期末考试]以直线3x ±y ＝0为渐近线，一个焦点坐标为F (0,2)的双曲线方程是( )A. x 23－y 2＝－1B. x 2－y 23＝1C. x 23－y 2＝1D. x 2－y 23＝－1解析：本题主要考查双曲线的简单几何性质及其标准方程的求法．一个焦点坐标为(0,2)，说明双曲线的焦点在y 轴上．因为渐近线方程为3x ±y ＝0，所以可设双曲线方程为y 2－3x 2＝λ(λ>0)，即y 2λ－x 2λ3＝1,22＝λ＋λ3＝4，解得λ＝3，所以双曲线方程为x 2－y 23＝－1，故选D.答案：D3．双曲线的渐近线为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是( )A.54 B ．2 C.54或53D.52或153解析：若双曲线焦点在x 轴上，∴b a ＝34.∴e ＝1＋b 2a2＝1＋916＝2516＝54. 若双曲线的焦点在y 轴上，∴a b ＝34，b a ＝43. ∴e ＝1＋b 2a2＝1＋169＝259＝53. 答案：C4．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D ．3解析：设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，焦点F (－c,0)，将x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b 2＝1可得y 2＝b 4a 2，所以|AB |＝2×b 2a＝2×2a .∴b 2＝2a 2，c 2＝a 2＋b 2＝3a 2，∴e ＝c a＝ 3. 答案：B 二、填空题5．[xx·北京高考]设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：∵与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线方程为y 24－x 2＝k ，将点(2,2)代入，得k ＝－3，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为x 23－y 212＝0，即y ＝±2x .答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x6．已知点(2,3)在双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上，C 的焦距为4，则它的离心率为________．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a ，b 的等式，即4a 2－9b2＝1.考虑到焦距为4，可得到一个关于c 的等式，2c ＝4，即c ＝2.再加上a 2＋b 2＝c 2，可以解出a ＝1，b ＝3，c ＝2，所以离心率e ＝2.答案：27．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5.∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线．设其方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)， 则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32， ∴曲线C 2的方程为x 216－y 29＝1.答案：x 216－y 29＝1三、解答题8．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)一个顶点是(0,6)，且离心率是1.5；(2)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3，23)．解：(1)∵顶点为(0,6)，设所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∴a ＝6.又∵e ＝1.5，∴c ＝a ×e ＝6×1.5＝9，b 2＝c 2－a 2＝45. 故所求的双曲线方程为y 236－x 245＝1.(2)解：法一：双曲线x 29－y 216＝1的渐近线为y ＝±43x ，令x ＝－3，y ＝±4，因23<4，故点(－3,23)在射线y ＝－43x (x ≤0)及x 轴负半轴之间∴双曲线焦点在x 轴上．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，(a >0，b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝43，－2a2－32b2＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴双曲线方程为x 294－y 24＝1.法二：设双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，∴－29－3216＝λ.∴λ＝14，∴双曲线方程为x 294－y24＝1.9．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2.∴s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b2＝2abc.由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2.∵e ＝c a，∴5e 2－1≥2e 2， ∴25(e 2－1)≥4e 4， 即4e 4－25e 2＋25≤0， ∴54≤e 2≤5(e >1)． ∴52≤e ≤5， 即e 的取值范围为[52，5]．2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.4双曲线的简单性质2课时作业北师大版选修一、选择题1. [xx·山东高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A. x 28＋y 22＝1B. x 212＋y 26＝1C. x 216＋y 24＝1 D. x 220＋y 25＝1 解析：由题知双曲线的渐近线为y ＝±x ，它与椭圆的四个交点是对称的，以这四个交点为顶点的四边形是正方形，其面积为16，可知点(2,2)在椭圆C 上，即满足4a 2＋4b2＝1又∵e ＝c a ＝32故而b 2＝5，a 2＝20. ∴椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.答案：D2. 设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的左，右焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为1时，PF 1→·PF 2→的值为( )A. 0B. 1C. 12D. 2解析：不妨设P 在第一象限， 12·2c ·y P ＝1， ∴y P ＝55， ∴P (2305，55)，∴PF 1→＝(－5－2305，－55)，PF 2→＝(5－2305，－55)， ∴PF 1→·PF 2→＝0，故选A. 答案：A3. [xx·广东高考]若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A. 离心率相等B. 虚半轴长相等C. 实半轴长相等D. 焦距相等解析：由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.答案：D4. 如右图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则双曲线的离心率e 的范围是( )A. (1＋2，＋∞)B. (1,1＋2)C. (1，3)D. (3，22)解析：令x ＝－c ，可求得点B 的纵坐标为b 2a ，由双曲线的对称性可知△ABF 2为等腰三角形，∴△ABF 2是锐角三角形⇔∠BF 2A 为锐角⇔∠BF 2F 1<45°⇔tan ∠BF 2F 1<1⇔b 22ac <1，即b 2<2ac ，∴c 2－2ac －a 2<0，即e 2－2e －1<0，解之得1<e <1＋2，∴选B.答案：B 二、填空题5. 椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)被称为一对“情侣”曲线，设C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 21＋e 22＝________.解析：∵a >b >0，∴e 21＝a 2－b 2a 2，e 22＝a 2＋b 2a2，∴e 21＋e 22＝2. 答案：26. 设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上，双曲线两焦点为F 1、F 2，|PF 1| ＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 2|＝23a ，又∵|PF 2|≥c －a ， ∴23a ≥c －a ，则e ＝c a ≤53， 又e >1，∴1<e ≤53.答案：(1，53]7. P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是双曲线的焦点，其离心率e ＝54，且∠F 1PF 2＝90°，若△F 1PF 2的面积为9，则a ＋b ＝________.解析：e ＝c a ＝54，设a ＝4k ，c ＝5k (k >0)，则b ＝3k ，由题意得，|PF 1|2＋|PF 2|2＝100k 2①，12|PF 1||PF 2|＝9 ②，(|PF 1|－|PF 2|)2＝64k 2 ③，由①②③得100k 2－36＝64k 2，解得k ＝1，∴a ＋b ＝7k ＝7.答案：7 三、解答题8. 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1,0)，点P 在双曲线的右支上，点M (m,0)到直线AP 的距离为1.若直线AP 的斜率为k ，且|k |∈[33，3]，求实数m 的取值范围． 解：如图，由条件得直线AP 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.因为点M 到直线AP 的距离为1，即|mk －k |k 2＋1＝1，∴|m －1|＝k 2＋1|k |＝1＋1k2.∵|k |∈[33，3]，∴233≤|m －1|≤2， 解得233＋1≤m ≤3或－1≤m ≤1－233，∴实数m 的取值范围是[－1,1－233]∪[1＋233，3]．9. “神舟”六号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A 处发现P 的方位角．解：因为|PC |＝|PB |，所以P 在线段BC 的垂直平分线上，又因为|PB |－|PA |＝4，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，以线段AB 的中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，正东方向为x 轴正方向建立直角坐标系，如图所示，则A (3,0)，B (－3,0)，C (－5,23)．所以双曲线方程为x 24－y 25＝1(x >0)，BC 的垂直平分线方程为x －3y ＋7＝0.联立两方程解得x ＝8，y ＝53，所以P (8,53)，k PA ＝tan ∠PAx ＝3，所以∠PAx ＝60°，所以P 点在A 点的北偏东30°方向．。

课时分层作业(九) 双曲线及其标准方程(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知M (－2,0)，N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的左支C ．一条射线D ．双曲线的右支C [本题容易犯片面性错误，从而根据双曲线的定义而得出错误结果．由于|PM |－|PN |＝4，恰好等于这两个定点间的距离，故其轨迹是一条射线．]2．已知双曲线中心在原点且一个焦点F 2(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 2的中点坐标为(0,2)，则该双曲线方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 B [易知点P 的坐标为(5，4)，把点P 的坐标代入选项中的方程只有B 适合．]3．已知P 是双曲线x 24－y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．1或5B ．6C ．7D ．9 C [由题意a ＝2，∴||PF 1|－|PF 2||＝4.∴|PF 2|＝7.]4．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点Q (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 22－y 2＝1 B.x 24－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 A [∵c 2＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，b 2＝1，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1.] 5．F 1，F 2是椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点，P 是两曲线的一个公共点，则cos∠F 1PF 2等于( )A.14B.13C.110D.19B [不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，|PF 1|－|PF 2|＝23， ①由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝26. ②由①②可得，|PF 1|＝6＋3，|PF 2|＝6－3，∵|F 1F 2|＝4，∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝13.] 二、填空题6．双曲线5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(2,0)，那么k ＝________.[解析] 方程可化为x 2－y 2－5k＝1， ∴1－5k ＝2，解得k ＝－53. [答案] －537．设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1,0)，则C 的方程为________．[解析] 由题意，设双曲线的方程为x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)，又∵1＋b 2＝(2)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.[答案] x 2－y 2＝18．已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为______．[解析] 设右焦点为F ′，由题意知F ′(4,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝4，∴|PF |＋|PA |＝4＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，即需满足P 、F ′、A 三点共线，最小值为4＋|F ′A |＝4＋9＋16＝9.[答案] 9三、解答题9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，|F 1F 2|＝10，P 为双曲线上一点，|PF 1|＝2|PF 2|，PF 1⊥PF 2，求此双曲线的方程．[解] ∵|F 1F 2|＝10，∴2c ＝10，c ＝5.又∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ，且|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .在Rt△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，∴4a 2＋16a 2＝100.∴a 2＝5.则b 2＝c 2－a 2＝20.故所求的双曲线方程为x 25－y 220＝1. 10．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．[解] 设动圆M 的半径为r ，由于动圆与圆C 1相外切，所以|MC 1|＝r ＋2，又动圆与圆C 2相内切，所以有|MC 2|＝r －2，于是|MC 1|－|MC 2|＝(r ＋2)－(r －2)＝22，且22<|C 1C 2|，因此动圆圆心M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支．设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则有2a ＝22，即a ＝2， 又c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝16－2＝14，于是动圆圆心的轨迹方程为x 22－y 214＝1(x ≥2)． [能力提升练]1．已知F 1、F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线的右支上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5 D.37＋2 5C [如图所示，连接F 1P 交双曲线右支于点A 0.∵|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－25，∴要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值．当A 落在A 0处时，|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|最小，最小值为37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为37－2 5.]2．若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－74，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞ B [由a 2＋1＝4，得a ＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设点P (x 0，y 0)，则x 203－y 20＝1，即y 20＝x 203－1. OP →·FP →＝x 0(x 0＋2)＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1 ＝43⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋342－74，∵x 0≥3， 故OP →·FP →的取值范围是[3＋23，＋∞)，故选B.]3．若方程x 22－m ＋y 2|m |－3＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________________． [解析] 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m >0，|m |－3<0或⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m <0，|m |－3>0，解得－3<m <2或m >3.所以实数m 的取值范围是(－3,2)∪(3，＋∞)．[答案] (－3,2)∪(3，＋∞)4．若点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是________．[解析] 连接PC 2并延长交C 2于点Q 0，连接PC 3交C 3于点R 0(图略)．|PQ |－|PR |≤|PQ 0|－|PR 0|＝(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝2a ＋2＝10.[答案] 105．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k ∈R ，试就k 的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．[解] (1)当k ＝0时，方程变为y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程变为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k <0时，方程变为y 24－x 2－4k＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线． (4)当0<k <1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆；(5)当k >1时，方程变为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆．。

课时跟踪训练(十九) 双曲线的简单性质1．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22xD ．y ＝±12x2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14B ．－4C ．4D.143．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )A. 6B. 3C. 2D.335．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率为e ，e ∈(1,2)，则k 的取值范围是________．6．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．7．根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52.8．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点 P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0； (3)在(2)的条件下，求△F 1MF 2的面积．答 案1．选C 由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2； 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .2．选A 双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m.由题意b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.3．选B 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2·2c ，a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝2.∵双曲线的焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.4．选B 由题意，得|F 1F 2|＝2c ，|MF 2|＝233c ，|MF 1|＝433c . 由双曲线定义得|MF 1|－|MF 2|＝233c ＝2a ， 所以e ＝ca＝ 3.5．解析：由题意知k <0，且a ＝2，c ＝4－k ， ∴1<4－k2<2，解得－12<k <0. 答案：(－12,0)6．解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4,2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝17．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝2，∴c 2a 2＝2即a 2＝b 2. ①又过点P (3，－5)有：9a 2－5b 2＝1， ②由①②得：a 2＝b 2＝4， 双曲线方程为x 24－y 24＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．同理有：a 2＝b 2， ③ 5a 2－9b 2＝1， ④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(不合题意，舍去)．综上所述，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知长半轴a 1＝3，短半轴b 1＝2，半焦距c 1＝a 21－b 21＝5，所以焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点也为(－5，0)和(5，0)， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题设条件及双曲线的性质，有 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，c a ＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.即双曲线方程为x 24－y 2＝1.8．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1―→·MF 2―→＝0. 法二：∵1MF ＝(－3－23，－m )，2MF ＝(23－3，－m )， ∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴1MF ·2MF ＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.。

课时分层作业(十九)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1A [∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ，∴3－a ＝32，解得a ＝－4.] 2．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，2)C ．(1，2)D ．(1，2)C [由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1a .∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2.∵a >1，∴0<1a2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.故选C.]3．如图，双曲线C ：x 29－y 210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( )A ．3B ．6C ．4D ．8B [设F 2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P 1F 1|＝|P 2F 2|，∴|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝6.]4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 B [右焦点为F (3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，选B.]5．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A [e 21＝c 21a 2＝a 2－b 2a 2，e 22＝c 22a 2＝a 2＋b 2a2，∴e 21·e 22＝a 4－b 4a 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 4＝34，∴b a ＝22，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，即x ±2y ＝0.] 二、填空题6．已知(2，0)是双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一个焦点，则b ＝________．3 [由题意知c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.]7．设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点．若C 上存在点P 使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．5 [不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )．由中点坐标公式可知P (c ，2b )．又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca＝ 5.] 8．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)的离心率为2，则它的一个焦点到其中一条渐近线的距离为________．23 [由双曲线方程知a ＝2，又e ＝c a＝2，所以c ＝4， 所以b ＝c 2－a 2＝12＝2 3.所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ＝3x ，一个焦点为F (4，0)． 焦点F 到渐近线y ＝3x 的距离d ＝431＋（3）2＝2 3.]三、解答题9．已知双曲线C ：x 24－y 2＝1，P 为C 上的任意点，设点A 的坐标为(3，0)，求|PA |的最小值．[解] 设P 点的坐标为(x ，y )， 则|PA |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x 24－1＝54⎝⎛⎭⎪⎫x －1252＋45，根据双曲线的范围知|x |≥2， ∴当x ＝125时，|PA |2的最小值为45，即|PA |的最小值为255.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； [解] (1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：法一：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23.∵点(3，m )在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3， 故kMF 1·kMF 2＝－1，∴MF 1⊥MF 2，∴MF 1·MF 2＝0. 法二：∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.[能力提升练]1．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋12D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，不妨设一个焦点为F (c ，0)，虚轴端点为B (0，b )，则k FB ＝－b c .又渐近线的斜率为±b a ，所以由直线垂直关系得⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ·ba＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫－ba显然不符合，即b 2＝ac ，又c 2－a 2＝b 2，所以c 2－a 2＝ac ，两边同除以a 2，整理得e 2－e－1＝0，解得e ＝5＋12或e ＝1－52(舍去)．]2．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 D [根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b2，y A＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.]3．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．2 [由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．]4．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．126 [设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线上时最小，过AF 1的直线方程为x－3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.]5．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长．(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． [解] (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0. 设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（x 1－x 2）2＝2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2（1－a 2）>0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2∪(2，＋∞)．。

课时分层作业(十) 双曲线的简单性质(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 B [设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a2＝1(a ＞0)．∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1.]2．若双曲线x 2＋ky 2＝1的离心率是2，则实数k 的值是( ) A ．－3 B.13 C ．3D ．－13D [双曲线x 2＋ky 2＝1可化为x 21－y 2－1k＝1，故离心率e ＝1－1k1＝2，解得k ＝－13.]3．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 B [由顶点在y 轴上得该双曲线焦点位于y 轴，排除A 、D ，B 项，a ＝2，b ＝2，c ＝22，∴2a ＋2b ＝2·2c 符合题意．]4．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．6 A [双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式及渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3.]5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形B [双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．]二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________. [解析] ∵2a ＝2,2b ＝2－1m，∴－1m＝2，∴m ＝－14.[答案] －147．若双曲线中心在原点，焦点在y 轴，离心率e ＝135，则其渐近线方程为________．[解析] 由于焦点在y 轴，则渐近线方程为y ＝±a bx .而e ＝c a ＝135，则b 2a 2＝c 2a 2－1＝14425，b a ＝125，∴渐近线方程为y ＝±512x .[答案] y ＝±512x8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为边作等边△MF 1F 2.若双曲线恰好平分三角形的另两边，则双曲线的离心率为________．[解析] 如图，点N 为MF 2的中点，且在双曲线上，利用双曲线的定义即可求解．|F 1N |＝3c ，|NF 2|＝c . 又∵|NF 1|－|NF 2|＝2a ， 即3c －c ＝2a .∴e ＝c a＝23－1＝3＋1.[答案] 3＋1三、解答题9．求适合下列条件的双曲线标准方程： (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(2)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)的双曲线方程． [解] (1)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y29＝λ(λ≠0)，当λ>0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94；当λ<0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1和y 29－x 24＝1.(2)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，将点(2，－2)代入双曲线方程， 得λ＝222－(－2)2＝－2.∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．[解] 椭圆D 的两个焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，∴渐近线方程为bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0,5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.[能力提升练]1．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2 θ＝1的公共点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3A [由根与系数的关系，得a ＋b ＝－tan θ，ab ＝0，则a ，b 中必有一个为0，另一个为－tan θ.不妨设A (0,0)，B (－tan θ，tan 2θ)，则直线AB 的方程为y ＝－x tan θ.根据双曲线的标准方程，得双曲线的渐近线方程为y ＝±x tan θ，显然直线AB 是双曲线的一条渐近线，所以直线与双曲线没有公共点．]2．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12 D.5＋12D [设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝b a x ，而k BF ＝－b c，∴b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1，整理得b 2＝ac .∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0， 解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D.]3．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 面积为________．[解析] A (3,0)，F (5,0)，取过F 平行于渐近线y ＝43x 的直线，则方程为y ＝43(x －5)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43(x －5)，x 29－y 216＝1，得B ⎝⎛⎭⎪⎫175，－3215.∴△AFB 的面积S ＝12(5－3)×3215＝3215.[答案]32154．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为________．[解析] 由题设条件可得，2bc＝3，所以b 2c 2＝34，所以c 2－a 2c 2＝34，所以c 2a2＝4，所以e ＝2. [答案] 25．已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．[解] 双曲线方程可化为x 21－y 23＝1，c 2＝a 2＋b 2＝4，∴c ＝2.∴F 2(2,0)，又l 的斜率为1. ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0. 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， ∵x 1·x 2＝－72<0，∴A 、B 两点不位于双曲线的同一支上． ∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72，∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·(－2)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝6.。

3.2 双曲线的简单性质1．结合双曲线的图形掌握双曲线的简单几何性质．(重点))2．感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，体会数形结合思想．(难点阅读教材P80“练习以下”～P82“例3”以上的部分，完成下列问题．续表1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)双曲线是轴对称图形．( )(2)双曲线的离心率越大，它的开口越小．( ) (3)双曲线x24－y29＝1的虚轴长为4.( )【解析】 (1)双曲线关于x 轴，y 轴对称． (2)双曲线的离心率越大，它的开口越大． (3)x24－y29＝1中b ＝3，∴虚轴长为2b ＝6.【答案】 (1)√ (2)× (3)×2．双曲线2x 2－y 2＝－8的实轴长是( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4【解析】 双曲线标准方程为y28－x24＝1故实轴长为2a ＝4 2. 【答案】 B3．双曲线x 2－y 2＝3的离心率为________． 【解析】 x 2－y 2＝3可化为x23－y23＝1， ∴a ＝b ＝3，c 2＝a 2＋b 2＝6， ∴e ＝c a ＝63＝ 2.【答案】24．求双曲线x216－y29＝1的焦点坐标，实轴长、虚轴长、离心率．【导学号：32550087】【解】 ∵a 2＝16，b 2＝9，∴c 2＝16＋9＝25， ∴焦点坐标为(5,0)，(－5,0)，实轴长2a ＝8，虚轴长2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝54.预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________(1)若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线25－9－k ＝1与曲线25－k －9＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等【自主解答】 ∵0＜k ＜9，∴x225－y29－k ＝1的实轴长为10，虚轴长为29－k ，焦距为234－k ，离心率34k 5. x225－k －y29＝1的实轴长为225－k ，虚轴长为6，焦距为234－k ，离心率34－k25－k . ∴焦距相等． 【答案】 A(2)已知双曲线C ：x24－y 2＝1，P 为双曲线上任意一点，设点A 的坐标为(3,0)，求|PA |的最小值为________．【自主解答】 设点P 的坐标为(x ，y )，则|PA |2＝(x －3)2＋y 2＝(x －3)2＋x24－1＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1252＋45，根据双曲线的范围知：|x |≥2，∴当x ＝125时，|PA |2的最小值为45，即|PA |的最小值为255.【答案】255(3)双曲线4x 2－y 2＝4的顶点坐标为________，离心率为________，渐近线方程为________．【自主解答】 将4x 2－y 2＝4变形为x 2－y24＝1，∴a ＝1，b ＝2，c ＝5，∴顶点坐标为(－1,0)，(1,0)，e ＝ca ＝5，渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x .【答案】 (－1,0)，(1,0)5 y ＝±2x1．由双曲线方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这是依据方程求参数，a ，b ，c 值的关键．2．写顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程时，需先由方程确定焦点所在的坐标轴，否则易出错，需注意双曲线方程与渐近线方程的对应关系．(1)顶点在x 轴上，焦距为10，离心率是54；(2)焦点在y 轴上，一条渐近线为y ＝34x ，实轴长为12；(3)离心率e ＝2，且过点(－5,3)．【精彩点拨】 (1)由已知2c ＝10，e ＝c a ＝54求出a ，c 的值，代入b 2＝c 2－a 2可求得b 2，即得方程；(2)由已知得a b ＝34，2a ＝12，求出a ，b 即可；(3)设出两种双曲线方程，利用待定系数法求解．【自主解答】 (1)由双曲线的顶点在x 轴上，可设所求的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由焦距2c ＝10，e ＝c a ＝54，得c ＝5，a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9.所以，所求双曲线的标准方程为x216－y29＝1.(2)由双曲线的焦点在y 轴上，可设所求的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因此，2a ＝12，a b ＝34，解得a ＝6，b ＝8，则a 2＝36，b 2＝64.故所求双曲线的标准方程为y236－x264＝1.(3)因为e ＝c a＝2，所以c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝a 2.当焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x2a2－y2a2＝1，把点(－5,3)代入，得a 2＝16，所以所求双曲线的标准方程为x216－y216＝1；当焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程为y2a2－x2a2＝1，把点(－5,3)代入，得a 2＝－16，不合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x216－y216＝1.1．求双曲线方程，关键是求a ，b 的值，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程ax ±by ＝0，可设双曲线方程为a 2x 2－b 2y 2＝λ.1．将本例(2)中“焦点在y 轴上”去掉，其他不变． 【解】 ∵渐近线方程为y ＝34x ，∴不妨设双曲线的方程为x216λ－y29λ＝1， 又∵a ＝6，当λ＞0时，16λ＝36，∴λ＝94，∴双曲线方程为x236－y2814＝1，当λ＜0时，－9λ＝36，∴λ＝－4， 双曲线方程为y236－x264＝1，∴双曲线的标准方程为x236－y2814＝1或y236－x264＝1.(1)已知双曲线x2a2－3＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝( )A ．2B ．62C.52D ．1【精彩点拨】 直接列出离心率e 的等式即可． 【自主解答】 由已知得e ＝a2＋3a＝2，且a ＞0解得a ＝1. 【答案】 D(2)设F 1，F 2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2 B ．15 C ．4D ．17【精彩点拨】 由定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，故4a 2＝b 2－3ab ，结合c 2＝a 2＋b 2，即可求出e . 【自主解答】 由双曲线的定义知，(|PF 1|－|PF 2|)2＝4a 2，所以4a 2＝b 2－3ab ，即b2a2－3·b a ＝4，解得b a ＝4(－1舍去)．因为双曲线的离心率e ＝ca ＝1＋b2a2， 所以e ＝17.故选D. 【答案】 D1．解决本题的关键是探寻a 与c 的关系．2．求双曲线的离心率的常见方法：一是依据条件求出a ，c ，再计算e ＝ca ；二是依据条件提供的信息建立关于参数a ，b ，c 的等式，进而转化为关于离心率e 的方程，再解出e 的值．2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B ．43 C.54D ．32【解析】 由题意得，b a ＝43，则e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53. 【答案】 A探究1 【提示】 在双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中，令y ＝0，可得x ＝±a ，因此双曲线与x 轴有两个交点；而令x ＝0，方程没有实数根，说明双曲线与y 轴没有交点．为了方便画图，把点B 1(0，－b )，B 2(0，b )也画在y 轴上，称线段B 1B 2为双曲线的虚轴．此处应注意：双曲线有两个顶点，而椭圆有四个顶点． 探究2 如何确定双曲线的形状？【提示】 (1)双曲线共有两个焦点、两个顶点、两个虚轴端点六个特殊点，注意双曲线的焦点一定在双曲线的实轴所在的直线上．(2)直线x ＝±a ，y ＝±b 或x ＝±b ，y ＝±a 围成的矩形中，双曲线的渐近线即为两条对角线所在的直线．依据上述两点，可画出双曲线的大致形状．探究3 如何用几何图形解释c 2＝a 2＋b 2？a ，b ，c 在双曲线中分别表示哪些线段的长？【提示】 由于c 2＝a 2＋b 2，a ，b ，c 就是图中Rt △OAB 的三边长，它们从另一个角度反映了参数a ，b ，c 的几何意义．探究4 双曲线的渐近线具有什么特点？【提示】 双曲线的渐近线是两条直线．随着x 和y 趋向无穷大，双曲线的各支将与渐近线无限接近，但永远没有交点．由双曲线的渐近线方程只能确定a 与b 的比值，无法确定双曲线的焦点在哪一条坐标轴上．在圆锥曲线中，渐近线是双曲线特有的性质．探究5 双曲线的渐近线与双曲线的标准方程有什么关系？【提示】 (1)为了便于记忆，根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程时，可以把双曲线的标准方程x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)中等号右边的“1”改成“0”，然后分解因式即可得到渐近线的方程x a ±yb ＝0. (2)与双曲线x2a2－y2b2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)；若已知双曲线的渐近线方程x a ±y b ＝0或y ＝±b a x ，则双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．当λ＞0时，焦点在x 轴上；当λ＜0时，焦点在y 轴上．(3)双曲线确定时，渐近线唯一确定；渐近线确定时，双曲线并不唯一确定．求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .(2)经过点M (－3,23)，且与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线．【精彩点拨】 (1)因焦点的位置不确定，应分类讨论求解；(2)与双曲线x29－y216＝1有相同渐近线的双曲线方程可设为x29－y216＝λ(λ≠0)，从而达到简便运算的效果．【自主解答】 (1)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x29－4y281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y29－x24＝1.(2)法一：双曲线x29－y216＝1的渐近线方程为y ＝±43x ，当焦点在x 轴上时，设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝439a2－12b2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＝94b2＝4.∴所求双曲线的标准方程为x294－y24＝1； 当焦点在y 轴上时，设所求双曲线方程为y2a2－x2b2＝1(a >0，b >0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝4312a2－9b2＝1此方程组无解．综上可知，双曲线的标准方程为x294－y24＝1.法二：设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)， ∵双曲线经过点M (－3,23)， ∴λ＝－9－316＝14. 故双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.求解双曲线标准方程的难点是设双曲线方程，常用的技巧如下：①与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，若λ＞0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ＜0，则表示焦点在y 轴上的双曲线．②与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相等离心率的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ＞0)或y2a2－x2b2＝λ(λ＞0)．③与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同焦点的双曲线方程可设为x2a2＋λ－y2b2－λ＝1(－a 2＜λ＜b 2)．④已知渐近线方程y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．3．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则离心率为( )A.54 B ．52 C.53或54D ．52或153【解析】 当焦点在x 轴上时，b a ＝34，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54； 当焦点在y 轴上时，a b ＝43，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＝53.故选C. 【答案】 C1．双曲线y24－x29＝1的顶点坐标为( )A ．(0,2)(0，－2)B ．(3,0)(－3,0)C ．(0,2)(0，－2)(3,0)(－3,0)D ．(0,2)(3,0)【解析】 由双曲线的标准方程知焦点在y 轴上，则顶点在y 轴上，且a 2＝4，则a ＝2， 从而顶点坐标为(0,2)，(0，－2)． 【答案】 A图3­3­42．如图3­3­4，双曲线C ：x29－y210＝1的左焦点为F 1，双曲线上的点P 1与P 2关于y 轴对称，则|P 2F 1|－|P 1F 1|的值是( )A ．3B ．6C ．4D ．8【解析】 设F 2为右焦点，由双曲线的对称性知，|P 1F 1|＝|P 2F 2|， ∴|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝6. 【答案】 B3．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )【导学号：32550088】A.14 B ．13 C.24D ．23【解析】 ∵双曲线的离心率为2，∴ca ＝2，∴a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ |AF1|－|AF2|＝2a ，|F1A|＝2|F2A|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝4a ，∴cos ∠AF 2F 1＝|AF2|2＋|F1F2|2－|AF1|22|AF2||F1F2|＝4a2＋16a2－16a22×2a×4a ＝4a216a2＝14，选A. 【答案】 A4．设F 1，F 2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝3|AF 2|，则双曲线的离心率为________．【解析】 设|AF 2|＝x ，|AF 1|＝3x ，则2a ＝|AF 1|－|AF 2|＝2x,2c ＝|AF1|2＋|AF2|2＝10x .∴离心率e ＝c a ＝10x 2x ＝102. 【答案】102 5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)和椭圆x216＋y211＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，求双曲线的方程．【解】 椭圆x216＋y211＝1的焦点坐标为(5，0)(－5，0)，离心率为54， ∴双曲线x2a2－y2b2＝1的c ＝5， e ＝2×54＝52，∴a ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线的标准方程为x24－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)__________________________________________________________。

2019-2020年高中数学（北师大版）选修1-1教案：第2章教材解读：双曲线一、知识精讲1、正确理解双曲线的定义一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a<|F1F2|，因为当2a=|F1F2|时，其轨迹是以F1和F2为端点的两条射线，而当2a> |F1F2|时，其轨迹不存在。

2、准确把握双曲线的标准方程（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。

（2）两种双曲线的异同：①相同点：形状、大小相同，都有a>0，b＞0，c=a+b；②不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的系数为正。

（4）与椭圆标准方程的不同：①双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“－”号；②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线和来说，如果x 项为正的，则焦点在x轴上；x项的分母是a；如果y项为正的，则焦点在y轴上；y项的分母是a，a不一定大于b，这和椭圆有明显的不同。

③双曲线有两个顶点，离心率e>1；而椭圆有四个顶点，离心率e<1；椭圆标准方程中a=b+ c，而双曲线中c=a+b。

3、对双曲线的简单几何性质的加强理解（1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上；椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据。

同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当e 从接近1逐渐增大时，的值就从接近于0逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大。

（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。

因为y=±x±＝0－＝0，所以把标准方程－＝1（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。

3.2 双曲线的简单性质课时目标了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质．1．双曲线的简单几何性质2.(1)(2)双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的两个顶点为A 1(－a,0)、A 2(a ，0)．设B 1(0，－b)、B 2(0，b)，线段A 1A 2叫做双曲线的________，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的半实轴长，线段B 1B 2叫做双曲线的________，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的半虚轴长．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线方程为y ＝±x.(3)当双曲线的离心率e 由小变大时，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得________，原因是b a ＝e 2－1，当e 增大时，b a也增大，渐近线的斜率的绝对值________．一、选择题1．下列曲线中离心率为62的是( ) A .x 22－y 24＝1 B .x 24－y22＝1 C .x 24－y 26＝1 D .x 24－y210＝1 2．双曲线x 225－y24＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±25xB ．y ＝±52x C ．y ＝±425x D ．y ＝±254x3．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的方程为( )A ．2x 2－4y 2＝1B ．2x 2－4y 2＝2C ．2y 2－4x 2＝1D ．2y 2－4x 2＝34．设双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x 5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A .43B .53C ．2D .73二、填空题7．两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b ，则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率e ＝______.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且a ＝10，c －b ＝6，则顶点A 运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线x 29－y216＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，23)的双曲线方程为__________． 三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫154，3，且一条渐近线为4x ＋3y ＝0； (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为π3.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2； (3)求△F 1MF 2的面积．能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.3＋12D.5＋1213．F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝123，又离心率为2，求双曲线的方程．3．2 双曲线的简单性质 知识梳理作业设计1．B [∵e＝62，∴e 2＝c 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，故选B .]2．A3．C [由于椭圆4x 2＋y 2＝1的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，±32，则双曲线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±32，又由渐近线方程为y ＝2x ，得a b ＝2，即a 2＝2b 2，又由⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝a 2＋b 2，得a 2＝12，b 2＝14，又由于焦点在y 轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x 2＝1.]4．C [由题意知，2b ＝2,2c ＝23，则b ＝1，c ＝3，a ＝2；双曲线的渐近线方程为y ＝±22x.]5．C [点(2，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x 轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．] 6．B [||PF 1|－|PF 2||＝2a ，即3|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a3≥c－a ，即2a≥3c－3a ，即5a≥3c，则c a ≤53.] 7.133解析 a ＋b ＝5，ab ＝6，解得a ，b 的值为2或3.又a>b ，∴a＝3，b ＝2.∴c＝13，从而e ＝c a ＝133.8.x 29－y216＝1(x>3) 解析 以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A 点的轨迹是双曲线的右支，其方程为x 29－y216＝1(x>3)．9.x 294－y24＝1 解析 ∵所求双曲线与双曲线x 29－y216＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为x 29－y216＝λ (λ≠0)．∵点(－3,23)在双曲线上， ∴λ＝－329－23216＝14.∴所求双曲线的方程为x 294－y24＝1.10．解 (1)因直线x ＝154与渐近线4x ＋3y ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫154，－5，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y2b2＝1，由⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1542a2－32b 2＝1，b 2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16.故所求的双曲线方程为x 29－y216＝1.(2)设F 1、F 2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x 轴上． 因为PF 1⊥PF 2，且|OP|＝6，所以2c ＝|F 1F 2|＝2|OP|＝12，所以c ＝6. 又P 与两顶点连线夹角为π3，所以a ＝|OP |·tan π6＝23，所以b 2＝c 2－a 2＝24.故所求的双曲线方程为x 212－y224＝1.11．(1)解 ∵e＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 易知F 1(－23，0)、F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m23，∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m 2＝6，m 2＝3，故kMF 1·kMF 2＝－1， ∴MF 1⊥MF 2.(3)解 △F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， F 1F 2上的高h ＝|m|＝3， ∴S△F 1MF 2＝6.12.D [设双曲线方程为x 2a2－y 2b2＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax ， 而k BF ＝－b c ，∴b a ·(－bc )＝－1，整理得b 2＝ac. ∴c 2－a 2－ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52或e ＝1－52(舍去)，故选D .]13．解 设双曲线方程为x 2a 2－y2b 2＝1.∵|F 1F 2|＝2c ，而e ＝ca＝2.由双曲线定义得||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝c. 由余弦定理得(2c)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|(1－cos 60°)．∴4c 2＝c 2＋|PF 1||PF 2|.又∵S△PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝123，∴|PF 1||PF 2|＝48.∴3c 2＝48，c 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝12.∴所求双曲线方程为x 24－y212＝1.。

3．2 双曲线的简单性质一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．22C ．4D ．42考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 C 解析 将双曲线化成标准形式为x 24－y 28＝1，得2a ＝4. 2．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 渐近线与离心率的关系 答案 B解析 由e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝3，得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2. 故渐近线方程为y ＝±2x ，故选B.3．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为( ) A.2B.32C.3D.62考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 C解析 不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，则∠PF 1F 2是△PF 1F 2的最小内角，且为30°，∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 30°，∴(2a )2＝(4a )2＋(2c )2－2×4a ×2c ×32，化为e 2－23e ＋3＝0，解得e ＝ 3.4．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－a x ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4.5．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距求方程答案 D解析 ∵等轴双曲线的一个焦点为F 1(－6,0)，∴c ＝6，∴2a 2＝36，a 2＝18，∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为()A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的渐近线方程答案 C 解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 7．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( ) A.103 B.52C.5D.343考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )，而渐近线方程是y ＝±b ax ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a －b ，－bc a －b ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝b a x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac a ＋b ，bc a ＋b ， AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2， AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ，由AB →＝－3AF →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋b ，－bc a ＋b ， 则2abc a 2－b 2＝－3·bc a ＋b， 即b ＝53a ， 则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝c a ＝343，故选D. 二、填空题8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±x ，且经过点(2，1)，则该双曲线的方程为________．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程答案 x 2－y 2＝1解析 ∵双曲线的渐近线方程是y ＝±x ，∴a ＝b ，∴双曲线的方程为x 2－y 2＝a 2， 又双曲线经过点(2，1)，代入方程可得a 2＝1，故该双曲线的方程是x 2－y 2＝1.9．已知双曲线y 2－x 2m＝1(m ＞0)的离心率e ∈(1,2)，则m 的取值范围是________． 考点 双曲线的离心率与渐近线题点 双曲线离心率的取值范围答案 (0,3)解析 由双曲线y 2－x 2m ＝1(m ＞0)知，a ＝1，b ＝m ， 所以e ＝c a ＝1＋m ，又e ∈(1,2)，所以1＜1＋m ＜2，解得0＜m ＜3. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，由F 2向双曲线C 的一条渐近线作垂线，垂足为H ，若△F 1HF 2的面积为b 2，则双曲线C 的渐近线方程为________．考点 双曲线的简单性质 题点 由双曲线方程求a ，b ，c 及渐近线答案 y ＝±x解析 设过F 2(c,0)与渐近线bx －ay ＝0垂直的直线为l ，则l 的方程为y ＝－a b(x －c )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ bx －ay ＝0，y ＝－a b (x －c )的解即为H 点的坐标， 可得H ⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c .又△F 1HF 2的面积为b 2，所以12F HF S ＝12×2c ×ab c＝b 2，解得a ＝b ， 所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .11．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F (－c,0)(c ＞0)作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为________． 考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线离心率答案 102解析 如图，设双曲线的右焦点为M ，连接PM .∵OE ⊥PF ，∴在Rt △OEF 中，|EF |＝c 2－a 24. 又OE →＝12(OF →＋OP →)， ∴E 是PF 的中点，∴|PF |＝2|EF |＝2c 2－a 24，|PM |＝2|OE |＝a .由双曲线的定义知，|PF |－|PM |＝2a ，∴2c 2－a 24－a ＝2a ， ∴e ＝c a ＝102.三、解答题12．已知双曲线的一条渐近线为x ＋3y ＝0，且与椭圆x 2＋4y 2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程．考点 由双曲线的简单性质求方程题点 已知双曲线的焦距、渐近线求双曲线的方程解 椭圆方程为x 264＋y 216＝1，可知椭圆的焦距为8 3. ①当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝48，b a ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝36，b 2＝12. ∴双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1； ②当双曲线的焦点在y 轴上时， 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝48，a b ＝33， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝36. ∴双曲线的标准方程为y 212－x 236＝1. 由①②可知，双曲线的标准方程为x 236－y 212＝1或y 212－x 236＝1. 13．已知点A (0,1)，点P 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上．(1)当|P A |最小时，求点P 的坐标；(2)过点A 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若△OMN 的面积为23，求直线l 的方程．考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)设P (x ，y )，则|P A |＝x 2＋(y －1)2 ＝2＋2y 2＋(y －1)2＝3⎝⎛⎭⎫y －132＋83， 当y ＝13时，|P A |最小， 故所求点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫±253，13. (2)由题知直线l 的斜率存在，故可设l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与双曲线方程联立得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，则Δ＝16(1－k 2)＞0且－41－2k 2＜0，即k 2＜12. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 1－2k 2，x 1x 2＝－41－2k2， ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41－k 21－2k 2， S △OMN ＝12×1×|x 1－x 2|＝12·41－k 21－2k 2＝23， 解得k 2＝14或k 2＝23(舍去)，即k ＝±12， ∴l 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.四、探究与拓展14．已知F 1，F 2分别是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A.2 B.32C.3D ．2考点 双曲线的简单性质题点 求双曲线的离心率答案 A 解析 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a. 又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13， 即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义，得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a， 所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝c a ＝ 2. 15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)，直线l ：x ＋y ＝1，双曲线C 与直线l 有两个不同的交点A ，B ，直线l 与y 轴的交点为P .(1)求离心率e 的取值范围；(2)若P A →＝512PB →，求a 的值． 考点 双曲线的简单性质题点 由双曲线方程研究其他问题解 (1)由双曲线C 与直线l 相交于两个不同的点，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两个不同的解， 消去y 并整理，得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，Δ＝4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0， 解得－2＜a ＜2且a ≠±1.又∵a ＞0，∴0＜a ＜2且a ≠1.∵双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， ∵0＜a ＜2且a ≠1，∴e ＞62且e ≠2， ∴双曲线C 的离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62， 2∪(2，＋∞)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得P (0,1)． ∵P A →＝512PB →， ∴(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)， 由此可得x 1＝512x 2. ∵x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，∴x 1＋x 2＝1712x 2＝－2a 21－a 2， x 1x 2＝512x 22＝－2a 21－a2， 消去x 2得－2a 21－a 2＝28960，即a 2＝289169. 又∵a ＞0，∴a ＝1713.。