12月28日 正、余弦定理在平面几何中的应用试题君之每日一题君高二数学(理)人教版(上学期期末复习)

正弦定理和余弦定理及应用（练习题）1、在△ABC 中，若C B A 222sin sin sin <+，则△ABC 的形状是（ ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、不能确定2、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，已知c b 58=，B C 2=，则=C cos （ ）A 、257B 、257-C 、257±D 、2524 3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ）4、在△ABC 中，若41cos 72-==+=B c b a ，，，则=b ． 5、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，若))((c b a c b a ++-+ ab =，则角C= ．6、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，，且53c o s =A ，135cos =B ， ==c b ，则3 ．7、已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列（即b c a b 22==，），则其最大角的余弦值为 ．8、在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若075=∠CAB ，060=∠CBA ，则A 、C 两点之间的距离为 千米．9、在△ABC 中，已知BC BA AC AB →∙→=→∙→3．（1）求证：A B tan 3tan =；（2）若55cos =C ，求A 的值．10、已知c b a ，，分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，-+C a C a sin 3cos 0=-c b（1）求A ；（2）若2=a ，△ABC 的面积为3，求c b ，．11、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为c b a ，，．已知4π=A ，sin(ba B c c =+-+)4sin()4ππ．（1）求证：2π=-C B ;（2）若2=a ，求△ABC 的面积．12、某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西030且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里每小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里每小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里每小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．正弦定理和余弦定理及应用（答案）1、C2、A3、C4、45、32π 6、514 7、42- 8、69、（1）略 （2）A=04510、（1）3π （2）2=c ，2=b 11、（1）略 （2）21 12、（1）330 （2）航行方向为北偏东030，航行速度为30海里每小时。

高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中,角、、的对边分别为、、,且,.（1）求的值；（2) 设函数,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，可知，又，代入余弦定理即可求的值；（2）由(1)得，，由两角和的正弦即可.（1）因为，所以，又，所以(2)由(1)得，所以.【考点】余弦定理，两角和的正弦3.在中,角所对的边分别为,已知,,,求.【答案】【解析】该题为在中求余弦,而三角形中求边或是求角一般都使用正弦定理以及余弦定理解决；本题中，已知两边以及一角，所以使用余弦定理求第三边 ,再根据三边，利用余弦定理求.试题解析：由余弦定理得：，∴，.【考点】余弦定理.4.在中，，则（）．A．B．C．D．【解析】，因为，所以。

【考点】余弦定理。

5.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。

质点的最短路线为线段，在中，，所以。

故C正确。

【考点】1余弦定理；2转化思想。

6.已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．（1）求；（2）若，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】(1)利用两角和与差的余弦公式,得出,从而得出得值,进一步得出的值.(2) 先利用余弦定理求出的值,然后利用三角形面积公式得出的面积.试题解析：(1)2分又6分(2)由余弦定理得 9分即:11分14分【考点】余弦定理及三角形面积公式.7.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（）A．B．C．D．【解析】设中间角为, 则【考点】解斜三角形，余弦定理.8.的内角的对边分别为．若成等比数列，且，则( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为成比数列，所以有，且，由余弦定理推论，故正确答案是C.【考点】1.余弦定理；2.等比数列.9.△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

高二数学余弦定理试题答案及解析1.在中，若，则的形状是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A．【解析】由，结合正弦定理可得，，由余弦定理可得，所以．所以是钝角三角形．【考点】余弦定理的应用；三角形的形状判断．2.在中，分别是角所对的边，且满足．(1) 求的大小；(2) 设向量，求的最小值．【答案】(1) ；（2）．【解析】（1）利用余弦定理可求得的值，从而求得；（2）利用向量的坐标运算可求得，从而可求得的最小值．(1)∵，∴．又∵，∴．（2），∵，∴．∴当时，取得最小值为．【考点】1、余弦定理；2、平面向量的坐标运算；3、二次函数的值域．3.已知中的对边分别为若且，则( )A．2B．4＋C．4—D．【答案】A【解析】解三角形问题，已知两边一角，求第三边，可用余弦定理.因为，，所以【考点】余弦定理4.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。

质点的最短路线为线段，在中，，所以。

故C正确。

【考点】1余弦定理；2转化思想。

5.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.6.若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当三边能构成三角形时。

所以最长边为，若三角形为钝角三角形则边长为的边所对的角的余弦值小于0即，整理得，解得或。

所以B正确。

【考点】1三角形两边之和大于第三遍；2余弦定理。

7.中，在边上，且，，，，则的长等于．【答案】【解析】在中，,.在中,由余弦定理:=.【考点】1余弦定理；2、勾股定理；三角形内角和定理.8.△ABC中, ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c.若,∠C=, 则边 c 的值等于（）A．5B．13C．D．【答案】C【解析】利用余弦定理可得:故选C【考点】解三角形,余弦定理的应用.9.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】1200.【解析】因为=3，，=4.又因为.所以在三角形中..故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.【考点】1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.10.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理11.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79B．69C．5D．-5【答案】D【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．由余弦定理知,根据向量数量积的定义知．【考点】余弦定理和向量的数量积12.在中，下列关系式不一定成立的是（）。

余弦定理在立体几何中的妙用1.引言1.1 概述余弦定理是立体几何中一项非常重要且妙用广泛的定理，它是三角形中的一个关键定理。

通过利用余弦定理，我们可以解决各种与三角形有关的问题，如计算边长、角度，判断三角形的形状等。

此外，余弦定理还能够拓展到解决立体几何问题中，为我们提供了解决空间中的各种几何难题的有力工具。

在本文中，我们将分析余弦定理的定义和公式，并重点讨论它在解决立体几何问题中的应用。

通过具体的例子和推导过程，我们将展示余弦定理的实际运用，并探讨其背后的原理和逻辑。

在接下来的章节中，我们将首先介绍余弦定理的定义和公式，以便读者了解其基本概念和数学表达方式。

然后，我们将探讨余弦定理在三角形中的应用，并通过实际问题进行演示和解答。

最后，我们将详细讨论余弦定理在解决立体几何问题中的妙用，并总结其优势和适用范围。

通过本文的阅读，读者将能够深入了解余弦定理在立体几何中的妙用，掌握利用余弦定理解决各类几何问题的方法和技巧。

希望本文能够为读者提供灵感和启示，帮助读者更好地应用余弦定理解决实际问题，进一步提升他们在几何学领域的知识和能力。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：文章结构部分主要介绍了本文的整体结构，帮助读者了解文章的大致内容安排。

本文主要分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分概述了本文的主题和目的。

本文通过讨论余弦定理在立体几何中的应用，旨在探讨余弦定理在解决立体几何问题中的妙用。

引言部分也简要介绍了本文的结构，包含了概述、文章结构和目的三个小节。

正文部分是本文的主要内容，主要分为两个小节进行阐述。

首先是2.1节，介绍了余弦定理的定义和公式。

该部分将详细介绍余弦定理的概念和公式表达，为后续的应用部分做好准备。

接着是2.2节，重点探讨了余弦定理在三角形中的应用。

通过具体的例子和推理，阐述了余弦定理在解决三角形内角、边长关系等问题中的作用。

结论部分总结了本文的主要观点和内容，给出了余弦定理在解决立体几何问题中的妙用。

人教版高中数学必修5正弦定理和余弦定理测试题及答案一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，那么c 等于( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2．在△ABC 中，假设BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，那么角A 等于( )(A)60° (B)30° (C)60°或120° (D)30°或150°3．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么那个三角形是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形 (C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，若是A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2 (C)1∶4∶9 (D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，那么b ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝23，c ＝4，那么A ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设2cos B cos C ＝1－cos A ，那么△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝3，b ＝4，B ＝60°，那么c ＝________.10．在△ABC 中，假设tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，那么 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边别离是a ，b ，c ，假设a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC .12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13.(1)求角B的大小；(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.13．如图，△OAB的极点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.14．在△ABC中，已知BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－23x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积.参考答案一、选择题1． C 2．B 3．D 4． B 5．B提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，因此C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形；当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形.5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，因此A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°， 由正弦定理Cc B b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ， 因此a ∶b ∶c ＝1∶3∶2.二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C .9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，依照正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°.12．(1)60°；(2)AD ＝7.13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-， 同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ，∴A＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，因此A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21)＝10. 因此AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.。

高二数学余弦定理试题答案及解析1.△ABC的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，又∵，∴，∴.【考点】余弦定理的变式.2.在中，，则（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为，所以。

【考点】余弦定理。

3.若2x，2x+1，3x+3是钝角三角形的三边，则实数x的取值范围是 ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】当三边能构成三角形时。

所以最长边为，若三角形为钝角三角形则边长为的边所对的角的余弦值小于0即，整理得，解得或。

所以B正确。

【考点】1三角形两边之和大于第三遍；2余弦定理。

4.中，在边上，且，，，，则的长等于．【答案】【解析】在中，,.在中,由余弦定理:=.【考点】1余弦定理；2、勾股定理；三角形内角和定理.5.在锐角三角形中，边、是方程的两根，角、满足，求角的度数，边的长度及的面积.【答案】，，【解析】由以及为锐角三角形，可以求出角，根据一元二次方程根与系数之间的关系可得到，，再由余弦定理可以求出，最后用三角形面积公式求出的面积.试题解析:由，得,为锐角三角形，,,又是方程的两根，，，，..【考点】解三角形，余弦定理，三角形面积公式6.在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则的值为( )A．79B．69C．5D．-5【答案】D【解析】本题容易误将看作是向量与的夹角．由余弦定理知,根据向量数量积的定义知．【考点】余弦定理和向量的数量积7.某人向东方向走了x千米，然后向右转，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是。

【答案】4【解析】根据题意画出相应的图形，由邻补角定义求出∠ABC的度数，利用余弦定理列出关系式，将AB，BC及cos∠ABC的值代入得到关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值。

解：根据题意画出相应的图形，如图所示：在△ABC中，AB=x千米，BC=3千米，AC=千米，∠ABC=180°-120°=60°，由余弦定理得： =，即（x-4）（x+1）=0，解得：x=4或x=-1（舍去），则x的值为4千米．故答案为：4千米【考点】余弦定理点评：此题考查了余弦定理，利用了数形结合的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8.△ABC中B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为。

微考点：正余弦定理在平面几何中的应用【必备知识】1．正弦定理：如图所示，在ABC ∆中，A asin ＝B b sin =Cc sin ＝R 2（其中R 为ABC ∆外接圆半径）． 2．余弦定理：222a b c =+-2cos bc A ；222b c a =+-2cos ca B ；222c a b =+-2cos ab C ．222cos 2b c a A bc +-=；222cos 2c a b B ca +-=；222cos 2a b c C ab+-=．3．面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ca B ∆===．4．余弦定理的正弦形式：将2sin a R A =，2sin B R B =，2sin c R C =代入余弦定理，得①222sin sin sin A B C ＝＋－2sin sin cos B C A ； ②222sin sin sin B A C ＝＋－2sin sin cos A C B ；③222sin sin sin C A B ＝＋－2sin sin cos A B C ．【考题示例】技巧一：几何量转化到同一个三角形中利用正余弦定理 【例1】（1）【2016年全国卷Ⅲ】在ABC △中，π4B ，BC 边上的高等于13BC ,则sin A （ ） A ．310B ．1010C ．55D ．31010（2）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，BD 的垂直平分线过点A ，且满足2CD AB =，25cos 5CAD ∠=，则ADC ∠的大小为＿＿＿＿＿＿．【思维导图】（1）【在ACD ∆中用AD 表示CD →用AD 表示结合勾股定理表示AC →在ABC ∆中利用正弦定理求sin A ；（2）由条件确定出,CD AD 间的比例关系→利用同角三角函数关系求得sin CAD ∠→在ACD ∆中，利用正弦定理求得ADC ∠．【解析】（1）设BC 边上的高线为AD ，则3,2BC AD DC AD ==，所以225AC AD DC AD =+．由正弦定理，知sin sin AC BCB A =，53sin 22AD AD A =，解得310sin 10A =，故选D ．（2）∵BD 的垂直平分线过点A ，∴AB AD =，则22CD AD ==，∴2CDAD=ACD ∆中，()0,CAD ∠π∈，25cos 5CAD ∠=，∴5sin 5CAD ∠=．在ACD ∆中，由正弦定理，sin sin CDDCA A C DD A =∠∠得，∴sin 10sin 10AD DCA DCA CD ∠∠==．∵DCA CAD ∠<∠，∴DCA ∠为锐角，∴310cos 10DCA ∠=，则()2cos cos 2ADC ACD CAD ∠=-∠+∠=-，∴34ADC π∠=．【方法提炼】此类题型主要是将所求几何量与已知的几何量集中某个三角形中，如果这些几何量比较散时，则须通过利用相关的知识和方法将上述几何量转移到同一个三角形中，然后选择正弦定理或余弦定理进行计算．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，点D 在AC 边上，且3AD DC =，7AB =，3ADB π∠=，6C π∠=，则DC 的值为＿＿＿＿＿＿．1．【解析】由题意，知366DBC ADB C πππ∠=∠-∠=-=，故DBC C ∠=∠，DB DC =．设DC x =，则DB x =，3DA x =．在ADB ∆中，由余弦定理2222cos AB DA DB DA DB ADB =+-⋅⋅∠，即()2221732372x x x x x =+-⋅⋅⋅=，解得1x =，1DC =． 2．如图，在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，且满足3AD BD =，2AD AC BD BC +=+=，2CD =，则cos A =（ ）A ．13 B 2 C ．14D ．02．D 【解析】设,BD x =则3AD x =，23,2AC x BC x =-=-，易知cos cos ADC BDC ∠=-∠，由余弦定理可得222292232222322x x x x xx+--+--=⨯⨯⨯⨯，解得13x =，故1,1AD AC ==,222cos 02AD AC CD A AD AC+-∴==⨯⨯，故选D ． 3．如图，在直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，4BC =，P 是ABC ∆内的一点，满足PB PC ⊥，PB PC =，则PA =＿＿＿＿＿＿．3．25【解析】由PB PC ⊥，PB PC =，知PBC ∆为等腰直角三角形，则由4BC =，得4PCB π∠=，2PC =．又90ACB ∠=︒，∴4PCA π∠=，于是在PAC ∆中，由余弦定理得2222cos 20PA AC PC AC PC PCA =-⋅∠=＋，∴52PA =.技巧二：从一个三角形到另一个三角形先后利用正余弦定理【例2】【2018年全国新课标I 卷】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC ．【思路导图】（1）在ABD ∆根据正弦定理直接求得sin ABD ∠→利用同角三角函数基本关系求cos ADB ∠；（2）根据（1）的结论，利用角互余求得cos BDC ∠→在BCD ∆中利用余弦定理求BC ． 【解析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠． 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以23cos 5ADB ∠=. （2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=． 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以5BC =．【方法提炼】此类题型根据已知平面图形中的几何量与所求量的分布规律，不可能在同一个三角形中求得所求量时，考虑从已知几何量比较集中的三角形开始，首先求得相关几何量后，再转移到另一个涉及到所求几何量的三角形中进行求解．【变式训练】1．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知24c b ==，2cos c C b =，,AD AE 分别是BAC ∠的中线与角平分线，则AD =＿＿＿＿＿＿．1．【解析】因为24c b ==，所以1cos 24b Cc ==．在ABC ∆中由余弦定理得22224161cos 244a b c a C ab a +-+-===，所以4a =，即4BC =，∴在ACD ∆中，2CD =，2AC =，又余弦定理，得2222cos 6AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠=，所以6AD =．2．如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，4sin 5ACB ∠=，72AC =，2cos 10ADB ∠=-，若ABD∆的面积为7，则AB =＿＿＿＿＿＿．2．37【解析】在ADC ∆中由正弦定理，得()sin sin sin sin sin sin AC C AC ACB AC ACBAD ADC ADB ADBπ⋅∠⋅∠⋅∠===∠-∠∠＝222cos ADB ∠=，∴72sin ADB ∠=，于是由1sin 72ABD S AD BD ADB ∆=⋅∠=，解得5BD =．在ADB ∆中，由余弦定理得222cos 37AB AD BD AD BD ADB +-⋅⋅∠=3．在ABC ∆中， 6AB =，3B π=，D 是BC 边上一点，且36AD =23CD =AC 的长为＿＿＿＿＿＿．3．102【解析】在ABC ∆中由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠∠，∴2sin ADB ∠=，又∵()0,ADB π∠∈，∴344ADB ππ∠=或．∵AD AB >，∴B ADB ∠>∠，∴4ADB π∠=，∴34ADC π∠=，于是在ACD ∆中，由余弦定理可知2222cos 102AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，∴102AC =技巧三：在两个三角形中同时利用正余弦定理【例3】如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则AC =_________．【思维导图】设BD x =→分别在ABD ∆与BCD ∆中同时利用余弦定理用x 分别表示出ADB ∠，CDB ∠的余弦值→利用这两个角的关系建立方程进行求解．【解析】设BD x =，则AB x =．在ABD ∆中，由余弦定理得22211cos 22x x ADB x x +-∠==．在BCD ∆中，由余弦定理得 22244cos 248x xCDB x +-∠==⋅⋅．∵ADB CDB ∠=∠，∴cos cos ADB CDB ∠=∠，即128xx =，解得2x =，即2BD =． 【方法提炼】此类题型通常是平面图形中已知几何量比较均衡分布在两个三角形中，同时所求几何题通常是这两个三角形的公共边或公共角，解答时通常是在两个三角形中利用正弦定理或余弦定理，建立方程进行求解．【变式训练】1．如图，已知ABC ∆中，2A π=，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，点D 在边BC 上， 1AD =，且2,2BD DC BAD DAC =∠=∠，则sin sin BC=__________．1．3【解析】在ABC ∆中，由,22A BAD DAC π=∠=∠，可得,36BAD DAC ππ∠=∠=．设DC x =，则2BD x =，在DAC ∆中，由正弦定理得sin sin AD CDC DAC=∠，所以sin 1sin 2AD DAC C CD x ⋅∠==；在DAB ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB DAB=∠，所以sin 3sin 4AD DAB B BD x ⋅∠==，故3sin 341sin 22B x C x==．2．如图，在四边形ACBD 中，1cos 7CAD ∠=-，且ABC ∆为正三角形，4CD =，3BD =，求ABD ∆周长为＿＿＿＿＿＿．2．273+【解析】因为1cos 7CAD ∠=-，所以43sin 7CAD ∠=，所以cos BAD ∠cos 3CAD π⎛⎫=∠- ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33CAD CAD ππ=∠+∠1114=．设AB AC BC x ===，AD y =，在ACD ∆和ABD ∆中由余弦定理得2222222 2AC AD AC ADcos CAD CD AB AD AB ADcos BAD BD+-⋅∠=+-⋅∠=⎧⎨⎩，代入得222221671137x y xy x y xy ⎧++=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，解得7 7x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或7 7x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（舍），即7AB AD ==，故ABD ∆周长为273+．【巩固练习】1．如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2,7BC CD AD ==，则sin BAD ∠的值为＿＿＿＿＿＿．1．321【解析】因为ABC ∆是等边三角形，且2BC CD =，所以2,120AC CD ACD =∠=︒．在ACD ∆中，由余弦定理得2222cos AD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠，所以22744cos120CD CD CD CD =+-⋅︒，解得1CD =，∴33BD CD ==．在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin BD ADBAD B =∠∠，所以sin 3321sin 3147BD B BAD AD ∠∠===.2．如图，在ABC ∆中，线段AB 上的点D 满足33AB AD AC ==，3CB CD =，则sin sin2AB=__________．2．97【解析】设AC x CD y ==，，则33AB x BC y ==，，∴在ACD ∆中，由余弦定理，得222222992*2*cos 3*x x y x x y x x x A x+-+-==，化简得2232x y =，sin22sin cos sin sin B B BA A=222992**32*3*x x x y y x x +-=＝2228927x y y +=8317*27239+=，故sin 9sin27A B =．3．在ABC ∆中，30B ∠=︒，5AC =，D 是AB 边上一点，2CD =，ACD ∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC =__________．3．【解析】由题意，利用面积公式得152sin 22ACDSACD =∠=，解得sin 5ACD ∠=，∴ 5os c ACD ∠=，由余弦定理得到5AD =，由正弦定理,254sin sin 5A A =⇒=．又因为sin sin BC ACA B=，sin 85sin AC A BC B ==． 4．如图，ACD ∆是等边三角形，ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，BD 交AC 于,2E AB =，则AE =＿＿＿＿＿＿． 4．62【解析】因为9060150BCD ∠=︒+︒=︒，CB AC CD ==，所以15CBE ∠=︒，所以()62cos cos 4530CBE +∠=︒-︒=.在ABE∆中，2AB =，由正弦定理()()2sin 4515sin 9015AE =︒-︒︒+︒，故122sin30262cos15624AE ⨯︒===︒+5．如图，在ABC ∆中，内角,,A B C 对应的边为,,a b c ，60A =︒，D 是边BC 的中点，记sin sin ABD m BAD ∠=∠，则当m 取得最大值时，tan ACD ∠的值等于＿＿＿＿＿＿．5．3【解析】在ABC ∆中，由余弦定理，得222222cos60a b c bc b c bc bc =+-︒=+-≥．又D 是边BC的中点，∴()12AD AB AC =+,所以()22214AD b c bc =++，则在ABD ∆中，由正弦定理，得2sin sin AD ADABD t BAD BD BC ∠===∠，所以2222222223AD b c bc bc a t BC a a ⎛⎫+++===≤ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当b c =时取等号，此时，ABC ∆为正三角形，所以当t 取最大值时，tan 3ACD ∠=． 6．如图，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()sin 2sin A A B =+，且57sin 16B =．若D 是BC 边上的一点，3cos 4ADB ∠=，则BD DC的值为＿＿＿＿＿＿．．6．【解析】（1）因为()sin 2sin 2sin A A B C =+=，所以由正弦定理得2a c =，又因为3cos 4ADB ∠=，所以7sin ADB ∠=ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD AB B ADB =∠，所以54AD c =．又由由余弦定理得2225532444c c c BD BD ⎛⎫=+-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，所以32BD c =或38c ．因为D 是BC 边上的一点，且由图知32BD c =，因为2a c =，所以12CD c =，所以3BDDC=． 7．在梯形ABCD 中，AB CD ，2CD =，120ADC ∠=︒，57cos CAD ∠=． （1）求AC 的长；（2）求梯形ABCD 的高．7．【解析】（1）在ACD 中，∵57cos CAD ∠=，∴21sin CAD ∠=由正弦定理得sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即32sin 227sin 2114CD ADC AC CAD ⨯∠===∠． （2）在ACD ∆中，由余弦定理得：2222cos120AC AD CD AD CD =+⋅⋅⋅︒， 整理得22240AD AD +-=解得4AD =．过点D 作DE AB ⊥于E ，则DE 为梯形ABCD 的高． ∵ABCD ，120ADC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒．在直角ADE 中，sin6023DE AD =⋅︒=，即梯形ABCD 的高为23． 8．如图所示，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，,23C AM π∠==．（1）若4A π∠=，求AB ；（2）若7BM ABC =∆，求的面积S ．8．【解析】（1）由题意得,在中，由正弦定理得，.（2）在中，由余弦定理得,,解得3BC =或1BC =-（舍去）。

正弦定理和余弦定理的应用典型例题：例1. （2012年上海市理5分）在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 ▲A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 【答案】C 。

【考点】正弦定理和余弦定理的运用。

【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C Rc B R b A R a ===代入得到222a b c +<。

由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<。

∴C 为钝角，即该三角形为钝角三角形。

故选C 。

例2. （2012年广东省文5分）在ABC ∆中，若°60A ∠=，°45B ∠=，32BC =，则=AC 【 】A ． 43B ． 23C ． 3D ． 32【答案】B 。

【考点】正弦定理的应用。

【解析】由正弦定理得sin sin BC ACA B=，即0032sin 60sin 45AC =，解得=23AC 。

故选B 。

例3. （2012年湖北省文5分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若三边的长为连续的三个正整数，且>>A B C ，320cos =b a A ，则sin :sin :sin A B C 为【 】 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 【答案】D 。

【考点】正弦定理和余弦定理的应用。

【解析】∵,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，∴a b c >>。

∴2,1=+=+a c b c ①。

又∵已知320cos =b a A ，∴3cos 20bA a=②。

由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③。

则由②③可得2223202b b c a a bc+-=④。

联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b 。

正弦定理练习题1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．262．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 63．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定 解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. &5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 C ．26．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或328．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2 C. 39．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. ！11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .！19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理练习题[1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( )A ．6B ．2 6C ．3 6D ．46 2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2 3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( )A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( )或5π6 或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对 ；6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4 8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( )B ．2 3 或2 3 D ．29．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. &13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．{19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．-正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )D ．26解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) `A ．4 2B ．4 3C ．4 6解析：选＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A ＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) `A ．1 C ．2解析：选＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba ，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A ， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )或 3 或32 —解析：选＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )B ．2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C ，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2. &9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C ，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. !解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ， 代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ， 所以sin A ＝2sin B ·cos C ， 即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ， &化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 6`14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2.答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3. 答案：23 ?16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解． 答案：0 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， —由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， %即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， {∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C 得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5. 】20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C .当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B ，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)． 故边b 的长为215.余弦定理]1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于( ) A ．6 B ．26 C ．3 6 D ．46 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝ 42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，则c 等于( )D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C:＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，则∠A 等于( ) A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32， ∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°. 4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则∠B 的值为( ) ；或5π6或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，则a cos B ＋b cos A 等于( ) A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c ＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 )C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定 解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，则c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．已知锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选△ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A .＝12×4×1×sin A ，∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，则a 为( ) B ．23 或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 、解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝ 1＋4－2×1×2×12＝ 3. 答案：310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数． 解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得 ：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，若a ＝4，b ＝5，S ＝53，则边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4， 设a ＝2k (k ＞0)，则b ＝3k ，c ＝4k ， [cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k2＋4k 2－3k 22×2k ×4k＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)． 答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223.又S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3. 答案：23；14．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5 ＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19. 答案：－19 15．已知△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，则角C ＝________. -解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45° 16．(2011年广州调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为________． 解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，则⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4，∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78.答案：78[17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12.又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2. ∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12)＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝(23)2－2＝10， ∴AB ＝10. ~18．已知△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)若△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数． 解：(1)由题意及正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ， 两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12， 所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A ，得AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5.(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝255， 于是sin A ＝1－cos 2A ＝55.从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝cos 2 A －sin 2 A ＝35.所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝cb .由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b . 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b . 又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ， 因此△ABC 为等边三角形．。

第一章 解三角形精做02 余弦定理1．在ABC △中，已知sin 2B －sin 2C －sin 2A A sin C ，求B 的度数． 【答案】B ＝150°．【解析】因为sin 2B －sin 2C －sin 2A A sin C ，由正弦定理，得b 2－c 2－a 2，由余弦定理，得222cos =2c a b B ca +-=， 又0°＜B ＜180°，∴B ＝150°．2．已知ab ＝40，a ＋b ＝13，C 为60°，求这个三角形的各边长．【答案】三角形三边长为a ＝5 cm ，b ＝8 cm ，c ＝7 cm 或a ＝8 cm ，b ＝5 cm ，c ＝7 cm ．3．在ABC △中，BC =a ，AC =b ，且a ，b 是方程x 2－＋2=0的两根，2cos （A ＋B ）=1． （1）求角C 的度数； （2）求AB 的长．【答案】（1）23π；（2 【解析】（1）∵cos C =cos[π－（A ＋B ）]=－cos （A ＋B ）=－12，且C ∈（0，π），∴C ＝23π．（2）∵a ，b 是方程x 2－＋2＝0的两根，∴2a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos C ＝（a ＋b ）2－ab ＝10，∴AB4．ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ． （1）求ba的值；（2）若c 2＝b 22，求B ．【答案】（1（2）45°．【解析】（1）由正弦定理，得a sin B ＝b sin A ，所以b sin 2A ＋b cos 2A ，所以ba（2）由余弦定理及c 2＝b 22，可得cos B =由（1）知b 2＝2a 2，故c 2＝(2a 2，所以cos 2B ＝12．又cos B >0，故cos B B ＝45°． 5．如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．【答案】【解析】设BD ＝x ，在ABD △中，由余弦定理得 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD ·cos ∠BDA ，即142＝102＋x 2−20x cos60°，∴x 2−10x －96＝0，∴x ＝16（x ＝−6舍去），即BD ＝16．在BCD △中，由正弦定理，得,sin sin BC BDCDB BCD=∠∠∴16sin(9060)sin135BC ︒-︒==︒6．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos B ． （1）求角B 的大小；（2）若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【答案】（1）π3；（2）a =c =7．在ABC △中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断ABC △的形状． 【答案】ABC △是正三角形．【解析】方法1：由正弦定理可得2sin B ＝sin A ＋sin C ， ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°，A ＝120°－C ， 将其代入上式，得2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ， 展开整理，得32sin C ＋12cos C ＝1，∴sin(C ＋30°)＝1，∴C ＋30°＝90°． ∴C ＝60°，故A ＝60°， ∴ABC △是正三角形．方法2：由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵B ＝60°，2a cb +=， ∴222()2cos 602a c a c ac +=+-∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∵B ＝60°，∴a ＝b ＝c ，∴ABC △为正三角形．8．设ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C +12c =b ． （1）求角A 的大小；（2）若a b =5，求c 的值． 【答案】（1）60︒；（2）1或4．（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21=25+c 2−5c ，即c 2−5c +4=0， 解得c =1或c =4， 经检验，1和4都是解， 所以c 的值是1或4．9．设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,1,2.b c A B === （1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值．【答案】（1）（2 【解析】（1）因为2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，由正、余弦定理得22222a c b a b ac+-=⋅．因为3,1b c ==，所以212,a a ==（2）由余弦定理，得22291121cos 263b c a A bc +-+-===-．由于0A <<π，所以sin 3A ===．故sin()sin cos cos sin 444A A A πππ+=+14()32326=⨯+-⨯=． 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B =79． （1）求a ，c 的值； （2）求sin （A －B ）的值．【答案】（1）a ＝3，c ＝3；（2）27． 【解析】（1）由余弦定理，得b 2＝a 2+c 2−2ac cos B ， 得b 2＝（a ＋c ）2−2ac （1＋cos B ），又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3．（2）在ABC △中，sin B 9=．由正弦定理，得sin A ＝sin 3a Bb =因为a ＝c ，所以A 为锐角．所以cos A 13=．因此sin （A －B ）＝sin A cos B －cos A sin B ． 11．在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos()cos sin()A B B A B ---⋅sin()A C +35=-．（1）求sin A 的值；（2）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．【答案】（1）45；（2）2．（2）由正弦定理，有sin sin a b A B =，所以sin sin b A B a ==由题意，知,a b >则,A B >故4B π=．根据余弦定理，有2223525()5c c =+-⨯⨯-，解得1c =或7c =-（负值舍去）．故向量BA 在BC 方向上的投影为||cos BA B =12．（2015江苏）在△ABC 中，已知AB=2，AC =3， A =60°． （1）求BC 的长； （2）求sin2C 的值．【答案】（1（2 【解析】（1）由余弦定理知，22212cos 4922372BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以BC = （2）由正弦定理知，,sin sin AB BC C A =所以21sin sin 7AB C A BC =⋅==因为AB <BC ，所以C 为锐角，则cos C ===所以sin 22sin cos 2C C C =⋅==13．（2016北京）在△ABC 中，222+=+a c b ． （1）求B ∠的大小；（2cos cos A C +的最大值． 【答案】（1）π4；（2）1． 【解析】（1）由余弦定理及题设得22222cos 222==-+=ac ac ac b c a B ． 又因为0πB <∠<，所以π4B ∠=．14．（2017天津文）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知s i n 4s i n a A b B =，222)ac a b c =--．（1）求cos A 的值； （2）求sin(2)B A -的值．【答案】（1）-（2）． 【思路分析】（1）首先根据正弦定理sin sin a bA B=得到2a b =，再根据余弦定理即可求得cos A 的值；（2）根据（1）的结论和条件，由cos A 求得sin A ，然后根据sin 4sin a A b B =求得sin B ，再求cos B ，然后由二倍角公式求sin 2,cos 2B B ，最后代入sin(2)B A -的展开式即可． 【解析】（1）由sin 4sin a A b B =及sin sin a bA B=，得2a b =．由222)ac a b c =--及余弦定理，得2225cos 25b c aA bcac +-===-． （2）由（1）可得sin A =sin 4sin a A b B =，得sin sin 4a A B b == 由（1）知A为钝角，所以cos B == 于是4sin 22sin cos 5B B B ==，23cos 212sin 5B B =-=，故43sin(2)sin 2cos cos 2sin (55B A B A B A -=-=⨯-= 【名师点睛】（1）利用正弦定理进行“边转角”可寻求角的关系，利用“角转边”可寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系可求角，利用两角和差的三角公式及二倍角公式可求三角函数值；（2）利用正、余弦定理解三角形是高考的高频考点，常与三角形内角和定理、三角形面积公式等相结合，利用正、余弦定理进行解题．KS5U15．（2017天津理）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =． （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．【答案】（1）b =sin 13A =；（2）26． 【思路分析】（1）先根据同角三角函数的基本关系求出cos B ，再根据余弦定理求b 的值，最后根据正弦定理可求sin A 的值；（2）先求出cos A 的值，然后根据二倍角公式、两角和的正弦公式可求πsin(2)4A +的值．（2）由（1）及a c <，得cos A =， 所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2coscos 2sin 444A A A +=+=16．（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．【答案】（1）16；（2）20．【思路分析】（1）转化为直角三角形ACM 中，利用相似性质求解AP 1；（2）转化到三角形EGN 中，先利用直角梯形性质求角1EGG ∠，再利用正弦定理求角ENG ∠，最后根据直角三角形求高，即为l 没入水中部分的长度．【解析】（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处．因为17,40A C A M==，所以30MC =，从而3sin 4MAC =∠， 如图，AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足，则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO 1⊥平面EFGH ，所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG ． 同理，平面E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1． 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处． 过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，则GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而140GG ===． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=． 于是4s i3s555NEα=π∠．记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)。

高二数学正弦定理与余弦定理试题1.在△ABC中，下列各式正确的是（）A. ＝B.asinC＝csinBC.asin(A＋B)＝csinAD.c2＝a2＋b2－2abcos(A＋B)【答案】C【解析】因为，所以asin(A＋B)＝csinA即，故选C。

【考点】本题主要考查正弦定理，诱导公式，三角形内角和定理。

点评：简单题，将正弦定理与选项结合考查。

2.已知三角形的三边长分别为a、b、，则这个三角形的最大角是（）A．135°B．120°C．60°D．90°【答案】B【解析】∵一个三角形的三边分别是a、b、，∴为最大边．由余弦定理可得a2+b2+ab=a2+b2-2abcosθ，∴cosθ=-，故此三角形中的最大角为θ=120°，故选B。

【考点】本题主要考查余弦定理的应用，三角形中大边对大角点评：根据题意判断为最大边，是解题的关键。

3.海上有A、B两个小岛相距10 nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A岛和C 岛成75°角的视角，则B、C间的距离是（）A.5nmileB.10nmileC. nmileD.5nmile【答案】D【解析】解：∠C=180°-60°-75°=45°根据正弦定理得，∴BC==5nmile，故选D。

【考点】本题主要考查正弦定理，三角形内角和定理。

点评：寻求应用正弦定理的条件。

4.欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽.（精确到0.01 m）【答案】河宽94.64米.【解析】由题意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°在△ABC中，由正弦定理＝∴ BC＝＝＝＝40S△ABC＝AB·BCsinB＝AB·h∴h＝BCsinB＝40×＝60＋20≈94.64∴河宽94.64米.【考点】本题主要考查正弦定理、三角形内角和定理。

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高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理应用举例习题及详解一、选择题1．(2010·广东六校)两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )km。

( ）A．a B.错误!aC．2a D。

错误!a[答案] D[解析］依题意得∠ACB＝120°.由余弦定理cos120°＝错误!∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos120°＝a2＋a2－2a2错误!＝3a2∴AB＝错误!a.故选D.2．(文）(2010·广东佛山顺德区质检)在△ABC中,“sin A〉错误!”是“∠A>错误!”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A［解析] 在△ABC中，若sin A〉错误!，则∠A>错误!，反之∠A>错误!时,不一定有sin A>错误!，如A＝错误!时，sin A＝sin错误!＝sin错误!＝错误!。

(理）在△ABC中，角A、B所对的边长为a、b，则“a＝b"是“a cos A＝b cos B”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件［答案] A［解析] 当a＝b时，A＝B，∴a cos A＝b cos B;当a cos A＝b cos B时，由正弦定理得sin A·cos A＝sin B·cos B,∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝错误!.则a＝b或a2＋b2＝c2.所以“a＝b”⇒“a cos A＝b cos B”,“a cos A＝b cos B"⇒/ “a＝b”，故选A。

12月25日 利用正、余弦定理解三角形高考频度：★★★★★ 难易程度：★★★☆☆典例在线（1）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a b <且2sin a B b =，则A =A ．6π B ．3π C ．56πD ．6π或56π（2）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222()tan a c b B ac +-=，则B =A ．6πB ．3πC ．6π或56πD ．3π或23π【参考答案】（1）A ；（2）C ．【名师点睛】（1）正弦定理的简单应用常出现在选择题或填空题中，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．学霸推荐1．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 2cos a C c A =，且1tan 3A =，则B =________________．2．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）已知6b =，4cos 5B =，4C π=，求c 的大小； （2）已知33a =，3b =，6C π=，求A 的大小．3．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32sin0ac A -=． （1）求角C 的大小；（2）若2c =，求a b +的最大值．2．【答案】（1）52；（2）23π． 【解析】（1）因为4cos 05B =>，所以在ABC △中02B π<<，所以3sin 5B =，由正弦定理sin sin b c B C =可得26sin 2523sin 5b Cc B⨯===． （2）因为33a =，3b =，6C π=，所以由余弦定理可得22232cos 279233392c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3c =，又3b =，所以b c =，所以6B C π==，所以2()3A B C π=π-+=． 3．【答案】（1）3π；（2）4． 【解析】（1）由32sin 0a c A -=及正弦定理，可得3sin 2sin sin 0A C A -=， 即3sin 2sin sin A C A =，又sin 0A ≠，所以3sin 2C =， 因为ABC △是锐角三角形，所以3C π=．。

高二数学余弦定理试题答案及解析1.△ABC的内角的对边分别为，若成等比数列，且，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】∵，，成等比数列，∴，又∵，∴，∴.【考点】余弦定理的变式.2.在△中，角的对边分别为，若，则( ) A．B．C．D．【答案】C.【解析】将展开有，根据余弦定理有，所以.【考点】余弦定理.3.如图，正三棱锥S—ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（）A．2B．3C．D．【答案】C【解析】沿将棱锥剪开另一点用表示，则。

质点的最短路线为线段，在中，，所以。

故C正确。

【考点】1余弦定理；2转化思想。

4.如图所示，已知两座灯塔A、Ｂ与海洋观测站Ｃ的距离都等于，灯塔A在观测站Ｃ的北偏东，灯塔Ｂ在观测站Ｃ的南偏东,则灯塔A与灯塔Ｂ的距离为（）A． B． C．Ｄ．【答案】C【解析】如图可知，根据余弦定理可得，故选C.【考点】1.余弦定理的应用；2.解斜三角形.5.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】1200.【解析】因为=3，，=4.又因为.所以在三角形中..故填1200.本题是椭圆的定义与解三角形知识的应用.【考点】1.椭圆的定义.2.余弦定理用于解三角形.6.在△中，三边、、所对的角分别为、、，若，则角的大小为．【答案】【解析】利用余弦定理变形得到.又因为所以所以【考点】余弦定理7.已知函数（1）求的最小正周期和值域；（2）在中，角所对的边分别是，若且，试判断的形状.【答案】﹙1﹚ ;﹙2﹚为等边三角形.【解析】﹙1﹚ 4分所以 6分﹙2﹚由，有，所以因为，所以,即. 8分由余弦定理及，所以. 10分所以所以. 所以为等边三角形. 12分【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。

点评：中档题，本题是综合性较强的一道应用问题，涉及余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式，三角函数的图象和性质。

12月28日 正、余弦定理在平面几何中的应用 高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆典例在线如图，在ABC △中，点D 在边BC 上，4CAD π∠=，72AC =，2cos 10ADB ∠=-． （1）求sin C ∠的值；（2）若ABD △的面积为7，求AB 的长．【参考答案】（1）45；（2）37． 【试题解析】（1）因为2cos 10ADB ∠=-，所以72sin 10ADB ∠=， 又4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-， 所以722224sin sin()sin coscos sin 4441021025C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠-∠=⨯+⨯=．【名师点睛】（1）几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题．解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中． （2）在三角形的面积公式中111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===是最常用的，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．（3）此类问题求解时，一般有如下思路：①把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形中利用正弦、余弦定理求解；②寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．（4）做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解题．学霸推荐1．在ABC △中，已知120BAC ∠=︒，AD 为角A 的平分线，2AC =，4AB =，则AD 的长是 A ．43B ．43或2 C ．1或2D ．832．如图，在四边形ABCD 中，ABD △，BCD △分别是以AD BD 和为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则AC =________________．1．【答案】A【解析】如图，由题可得60DAC DAB ∠=∠=︒，因为2AC =，4AB =，ACD ABD ABC S S S +=△△△，所以1313132424222222AD AD ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯，解得43AD =，故选A ．2．【答案】26所以在BCD △中，1cos 4CDB ∠=，所以27cos 2cos 18ADC COB ∠=∠-=-， 在ACD △中，2222272cos 41241248AC AD DC AD DC ADC =+-⋅⋅∠=++⨯⨯⨯=，所以26AC =．。