人教版高中数学高二-高考中的正、余弦定理

考点16正、余弦定理及解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.一、正弦定理 1．正弦定理在ABC △中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c ==A B C.正弦定理对任意三角形都成立． 2．常见变形 （1）sin sin sin ,,,sin sin ,sin sin ,sin sin ;sin sin sin A a C c B ba Bb A a Cc A b C c B B b A a C c====== （2）;sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b a c b c a b cA B C A B A C B C A B C+++++======+++++ （3）::sin :sin :sin ;a b c A B C = （4）正弦定理的推广：===2sin sin sin a b c R A B C，其中R 为ABC △的外接圆的半径. 3．解决的问题（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角； （2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．4．在ABC △中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况二、余弦定理 1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即2222222222cos ,2cos 2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-，2．余弦定理的推论从余弦定理，可以得到它的推论：222222222cos ,cos ,cos 222b c a c a b a b c A B C bc ca ab+-+-+-===. 3．解决的问题（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角． 4．利用余弦定理解三角形的步骤三、解三角形的实际应用1．三角形的面积公式设ABC△的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.（1）12S ah= (h为BC边上的高)；（2）111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===；（3）1()2S r a b c=++(r为三角形的内切圆半径)．2．三角形的高的公式h A=b sin C=c sin B，h B=c sin A=a sin C，h C=a sin B=b sin A．3．测量中的术语（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．（3）方向角相对于某一正方向的水平角.①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；③南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．4．解三角形实际应用题的步骤考向一利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理求边和角的方法：（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．常见结论：（1）三角形的内角和定理：在ABC △中，π A B C ++=，其变式有：πA B C +=-，π222A B C+=-等． （2）三角形中的三角函数关系：i in(s n s )A B C =+；()s os co c A B C =-+；sincos 22A B C +=；cos sin 22A B C+=.典例1在ABC △中，内角所对的边分别为，若，，则ca的值为A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】D【解析】由，结合正弦定理，可得， 即， 由于，所以，因为0＜A ＜π，所以． 又，由余弦定理可得， 即，所以. 故选D ．典例2已知ABC △的内角的对边分别为,且. （1）求；（2）若,线段的垂直平分线交于点,求的长. 【解析】（1）因为,所以. 由余弦定理得， 又，所以. （2）由（1）知,根据余弦定理可得， 所以.sin 2B =，解得.从而cos B =. 设的中垂线交于点, 因为在Rt BDE △中，，所以cos BE BD B ===， 因为为线段的中垂线，所以.1．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()2cos cos cos C a B b A c +=，1,3a b ==，则c = A ．3 B．CD2．在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长．考向二三角形形状的判断利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.典例3在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，满足3cos cos sin sin cos 2A C A CB ++=，且,,a b c 成等比数列.（1）求角B 的大小； （2）若2,2tan tan tan a c ba A C B+==,试判断三角形的形状.【解析】（1∵()cos cos B A C =-+，32sin sin 2A C ∴=,又22sin sin sin b ac B A C =⇒=,232sin 2B ∴=而,,a b c 成等比数列，所以b 不是最大， 故B 为锐角，所以60B =︒.（2）由2tan tan tan a c b A C B +=,利用正弦定理可得cos cos 2cos 1A C B +==,所以ABC △是等边三角形.3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin tan 1cos BC B=-．（1）求证：△ABC 为等腰三角形；（2）若△ABC 是钝角三角形，且面积为24a ，求2b ac的值．考向三与面积、范围有关的问题（1）求三角形面积的方法①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．（2）三角形中，已知面积求边、角的方法三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．△中，角的对边分别为，且．典例4 在ABC（1）求角；△面积的最大值．（2）若，求ABC【解析】（1）由已知和正弦定理得，，，解得．（2）由余弦定理得：，即，整理得：．∵（当且仅当取等号），∴，即，，△面积的最大值为．故ABC【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.△中，，是边上的一点.典例5在ABC（1）若，求的长；（2）若，求ABC △周长的取值范围. 【解析】（1）在ADC △中，AD ＝1，， 所以＝cos ∠DAC ＝1×2×cos∠DAC ＝3, 所以cos ∠DAC ＝.由余弦定理得2222cos CD AC AD AC AD DAC =+∠-⋅⋅＝12＋1－2×2×1×＝7， 所以CD ＝.（2）在ABC △中，由正弦定理得4sin sin sin sin 3AB BC AC C A B ====，，ππ0,sin 33A A ⎤⎛⎫<<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦.，故ABC △周长的取值范围为 .4．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22()13a b cab--=-．（1）求角C ； （2）若c b ==，求B 及ABC △的面积．5．已知,,a b c 分别是ABC △三个内角,,A B C 所对的边，且1cos 2a C cb +=. （1）求A ；（2）若1a =，求ABC △的周长L 的取值范围.考向四三角形中的几何计算几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.典例6 如图，在ABC △中，D 为AB 边上一点，且DA DC =，已知π4B =，1BC =.（1）若ABC △是锐角三角形，DC =，求角A 的大小； （2）若BCD △的面积为16，求AB 的长. 【解析】（1）在BCD △中，π4B =，1BC =，DC =由正弦定理得sin sin BC CDBDC B=∠，解得1sin 3BDC ⨯∠==所以π3BDC ∠=或2π3. 因为ABC △是锐角三角形，所以2π3BDC ∠=. 又DA DC =，所以π3A =. （2）由题意可得1π1sin 246BCD S BC BD =⋅⋅⋅=△，解得3BD =， 由余弦定理得222π2cos4CD BC BD BC BD =+-⋅⋅=251219329+-⨯⨯=，解得CD =，则AB AD BD CD BD =+=+=. 所以AB6．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos B +b =2c .（1）求角A 的大小；（2）若AC 边上的中线BD AB ⊥BD ，求BC 的长．考向五解三角形的实际应用解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A 处测得山顶P 在北偏东()1515BAC ︒∠=︒方向上，匀速向北航行20分钟到达B 处，测得山顶P 位于北偏东60︒方向上，此时测得山顶P 的仰角为60︒，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行10分钟到达D 处，问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向？【解析】（1）在BCP △中，tan 2PCPBC BC ∠=⇒=， 在ABC △中，由正弦定理得所以)21AB =，故船的航行速度是每小时)61千米.（2）在BCD △中，由余弦定理得CD =在BCD △中，由正弦定理得所以山顶位于D 处南偏东45︒方向.7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：90ACD ∠=︒，60ADC ∠=︒，15ACB ∠=︒，105BCE ∠=︒，45CEB ∠=︒，1DC CE ==百米．（1）求△CDE 的面积；（2）求A ，B 之间的距离的平方．考向六三角形中的综合问题1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“22,,a b ab a b ++”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.典例8在ABC △，向量(sin ,1)A =m ，(1,cos )B =n ，且⊥m n . （1）求A 的值；（2）若点D 在边BC 上，且3BD BC =ABC △的面积． 【解析】（1）由题意知sin cos 0A B +=⋅=m n ，πA B C ++=，所以5πsin cos()06A A +-=，πsin()06A -=.ππ2π(,)663A -∈-， 所以06A -=，即π6A =.（2）设||BD x =，由3BD BC =，得||3BC x =，由（1）知π6A C ==，所以||3BA x =在ABD △中，由余弦定理，得2222π(3)213)(33cos x x x x =+-⨯⨯，解得1x =， 所以3AB BC ==， 所以··sin 33sin 112π932234ABC S BA BC B ==⨯=⨯⨯△. 典例9ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .（1）若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； （2）若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . 因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， 所以sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． 所以cos B 的最小值为12.8．已知()()3sin ,cos ,cos ,cos ,x x x x x ==∈R m n ，设()f x =⋅m n ．（1）求()f x 的解析式并求出它的最小正周期T ；（2）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,2,()1a b c f A =+==，求△ABC 的面积．1．设△ABC 的内角所对边的长分别是，且，，，则的值为 A ．B ．4C ．D ．2．在ABC △中，，，则角的取值范围是 A ．π0,6⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭3．已知ABC △的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则ABC △是 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定4．ABC △中，2AB =，BC =1cos 4A =，则AB 边上的高等于A B ．34C D ．35．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒，这时船与灯塔的距离为A ．B ．kmC ．D ．6．已知ABC △的面积为，，则的最小值为 A ． B ． C ．D ．7．设ABC △的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么ABC △外接圆的半径为 A ．2 B ．4 C ．D ．18．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC 的面积为 A ．2B ．3C ．4D ．9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若向量(,)a c a b =+-p ，(,)b a c =-q ，且∥p q ，则角C =A ．π6 B ．π4 C ．π3D ．π210．若ABC △的三个内角所对的边分别是，，且，则A ．10B ．8C ．7D ．411．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且()22a b c =+-，则πsin 4C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．4D ．412．平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为A ．BC ．D ．13．已知△ABC A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若60A =︒，2b =，则c 的值为____________．14．在ABC △中，D 为BC 边上一点，若ABD △是等边三角形，且AC =ADC △的面积的最大值为.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD =___________m.16．已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若π,6,143C a b ==≤≤，则sin A 的取值范围为__________.17．在ABC △中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求； （2）求的值．18．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知π2A ≠，sin 26cos sin b A A B =. （1）求a 的值； （2）若π3A =，求△ABC 周长的取值范围.19．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，(cos ,sin )B A =n ，且∥m n ．（1）求角B 的大小；（2）若2b =，ABC △的面积为a c +的值．20．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60︒方向的B 处，且与岛屿A 相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上，此时到达C 处．（1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．21．在ABC △中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求()22sin cos A A C +-的范围．22．已知函数（1）当时，求的值域；（2）在ABC △中，若求ABC △的面积.23．如图所示，在平面内，四边形ABCD 的对角线交点位于四边形的内部，1,AB BC AC CD ===，AC CD ⊥，记ABC θ∠=．（1）若45θ=︒，求对角线BD 的长度（2）当θ变化时，求对角线BD 长度的最大值．1．（2019年高考全国Ⅰ卷文数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =14-，则bc= A ．6 B ．5 C ．4D ．32．（2018新课标全国Ⅲ文科）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3πC ．4πD ．6π3．（2018年高考全国Ⅱ文数）在ABC △中，cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =A ．BC D ．4．（2017新课标全国Ⅰ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C =A ．π12 B ．π6 C ．π4D ．π35．（2019年高考全国Ⅱ卷文数）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________.6．（2017新课标全国Ⅲ文科）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b ，c =3，则A =_________.7．（2018新课标全国Ⅰ文科）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则ABC △的面积为________．8．（2019年高考浙江卷）在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．9．（2018年高考浙江卷）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．10．（2018江苏）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．11．（2018年高考北京卷文数）若ABC △)222a c b +-，且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 12．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______．13．（2019年高考全国Ⅲ卷文数）ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC △为锐角三角形，且c =1，求ABC △面积的取值范围．14．（2019年高考北京卷文数）在ABC △中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值．15．（2019年高考天津卷文数）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值；（2）求sin 26πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（2019年高考江苏卷）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．17．（2017山东文科）在ABC △中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,3ABC S =△,求A 和a .1．【答案】C【解析】由题知()2cos cos cos C a B b A c +=， 由正弦定理得()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=，所以()2cos sin sin C A B C +=，即2cos sin sin C C C =， 所以在△ABC 中，1cos 2C =， 又因为2221cos ,1,322a b c C a b ab +-====，所以c =故选C.2．【解析】（1）由正弦定理可得在△ABD 中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在△ACD 中，sin sin AD CDC CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠， 则sin 2sin BD CCD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==， 设DC x =，则2BD x =，由余弦定理得222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =.则3BC x ==3．【解析】（1）由sin tan 1cos B C B =-得：sin sin cos 1cos C BC B=-，则()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =+=+，πA B C ++=，()()sin sin πsin B C A A ∴+=-=，sin sin C A ∴=，由正弦定理可知：c a =， 则△ABC 为等腰三角形.（2）由题意得：2211sin sin 224a S ac B a B ===，解得：1sin 2B =，∵△ABC 为钝角三角形，且a c =，B ∴为钝角，cos B ∴=由余弦定理得：(2222222cos 22b a c ac B a a =+-==+，2222b b ac a∴==+4．【解析】（1）由已知条件化简可得22()3a b c ab --=-，即222a b c ab +-=-，由余弦定理的推论，可得2221cos 22a b c C ab +-==-，2π(0,π),3C C ∈∴=．（2）2π3,3c b C ===，∴又π,,4b c B C B <∴<∴=，在ABC △中，1sin sin()sin cos cos sin ()22224A B C B C B C =+=+=-+=．113sin 2244ABC S bc A ∴===△． 5．【解析】（1）1cos 2a C cb +=，∴由正弦定理得1sin cos sin sin 2A C CB +=，又sin sin()sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，1sin cos sin 2C A C ∴=， sin 0C ≠，1cos 2A ∴=， 又0πA <<，π3A ∴=. （2）由正弦定理得sinsin a B b c A ===，]1sin)1sin sin()L a b c B C B A B∴=++=+=+++1π12cos12sin26B B B⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，π2πππ5π,0,,,33666A B B⎛⎫⎛⎫=∴∈∴+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π1sin,162B⎛⎫⎛⎤∴+∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则(2,3]L∈.故ABC△的周长L的取值范围是(2,3].6．【解析】（1）由2cos2a Bb c+=，及正弦定理可得：2sin cos sin2sinA B B C+=，则2sin cos sin2sin2sin()2sin cos2cos sinA B B C A B A B A B+==+=+，整理得sin2cos sinB A B=，因为(0,π)B∈，所以sin0B>，所以1cos2A=，又(0,π)A∈，所以π3A=．（2）在Rt△ABD中，2πsin sin3BDADA===，则1AB==，因为D为AC的中点，所以24ACAD==，在△ABC中，由余弦定理可得222π41241cos133BC=+-⨯⨯⨯=，所以BC=．7．【解析】（1）在△CDE中，3609015105150DCE∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴1111sin150112224△CDES CD CE=⋅⋅︒=⨯⨯⨯=（平方百米）.（2）如图，连接AB，根据题意知，在Rt△ACD中，tan1tan60AC DC ADC=⋅∠=⨯︒=（百米），在△BCE 中，180CBE BCE CEB ∠=︒-∠-∠1801054530=︒-︒-︒=︒，由正弦定理sin sin BC CE CEB CBE =∠∠，得1sin 21sin 2CE CEBBC CBE⋅∠===∠（百米），()cos15cos 6045cos60cos45sin60sin45︒=︒-︒=︒︒+︒︒=， 在△ABC 中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，则2322AB =+-=-8．【解析】（1）由,cos ),(cos ,cos ),x x x x x ==∈R m n ， 则()f x =⋅m n211π1cos cos 2cos 2sin(2)2262x x x x x x +=++=++， 故函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 故π1()sin(2)62f x x =++，最小正周期为π． （2）因为()1f A =，所以π1sin(2)162A ++=，所以π1sin(2)62A +=，又ππ13π2(,)666A +∈， 所以π5π266A +=，所以π3A =，又1,2a b c =+=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：221b c bc =+-， 所以2()31b c bc +-=， 所以1bc =，则1sin 2△ABC S bc A ==.1．【答案】C【解析】在△ABC 中，∵A ＝2B ，sin sin a b A B=，b ＝3，c ＝1，∴32sin cos sin a B B B=，整理得a ＝6cos B ，由余弦定理可得21962a a a+-=⨯，∴a =故选C ． 2．【答案】A 【解析】因为sin sin AB BCC A=，所以，所以， 又，则必为锐角，故. 3．【答案】A 【解析】∵，，∴， 可得，则，可得， ∵，∴，∴，解得.即ABC △是直角三角形. 故选A ． 4．【答案】A【解析】设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高为h ， 因为2c =，a =21104224b b =+-⨯⨯，化简得260b b --=，解得3b =.又sin 4A =，所以由11232242h ⨯⨯⨯=⨯，得4h =. 故选A. 5．【答案】B【解析】作出示意图如图所示，()15460km AC =⨯=，906030BAC ∠=︒-︒=︒，9015105ACB ∠=︒+︒=︒，则︒=∠45ABC .由正弦定理，可得sin sin AC BCABC BAC=∠∠，则)60sin 30km sin 45BC ︒==︒.所以这时船与灯塔的距离为. 故选B. 6．【答案】A【解析】由题意知ABC △的面积为，且，所以，即， 所以，当且仅当时取得等号， 所以的最小值为. 故选A ． 7．【答案】D【解析】因为，所以， 即，所以，所以，因为，所以由正弦定理可得ABC △的外接圆半径为1112sin 22a R A =⨯==. 故选D ．8．【答案】A【解析】由余弦定理得：222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a +-=+-，解得：a =，222cos22b c a A bc +-∴===，sin 2A ∴==，11sin 42222△ABC S bc A ∴==⨯=.故选A. 9．【答案】C【解析】222()()()∥a c a c b a b c a b ab ⇒+-=-⇒=+-p q ， 由余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+-⋅， 所以1πcos ,(0,π)23C C C =∈⇒=. 故选C ． 10．【答案】B【解析】由题意知,即，即， 由正弦定理和余弦定理得：，即， 即， 则. 故选B ． 11．【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵2222cos a b c ab C +-=，∴sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=，即π2sin 16C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π1sin 62C ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵0πC <<，∴ππ5π666C -<-<，∴ππ66C -=，即π3C =，则πππππππsin sin sin cos cos sin 4343434C ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224+⨯=， 故选D ． 12．【答案】B【解析】如图，因为，所以设， 又，， 所以由， 得，所以， 所以， 又，所以， 由余弦定理可得，， 可得，解得，故11sin6022△△四边形ABD CBD ABCD S S S AB BD BC BD =+=⋅+⋅︒11222=⨯⨯=故选B.13．1【解析】由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C==== 2sin 60a∴=，解得：3a =，由余弦定理可得：22222cos 429a b c bc A c c =+-=+-=，解得：1c =1-，1c ∴=.14．【答案】【解析】如图.在ACD △中，2222248cos 222AD DC AC AD DC ADC AD DC AD DC +-+-∠===-⋅⋅1，整理得22482AD DC AD DC AD DC +=-⋅≥⋅， ∴16AD DC ⋅≤，当且仅当AD =DC 时取等号，∴ADC △的面积1sin 2S AD DC ADC AD DC =⋅∠=⋅≤，∴ADC △的面积的最大值为 15．【答案】6100【解析】依题意，30=∠BAC ，105=∠ABC ，在ABC △中，由 180=∠+∠+∠ACB BAC ABC ， 得45=∠ACB ，因为600m AB =，所以由正弦定理可得30sin 45sin 600BC=，即2300=BC m.在Rt BCD △中，因为30=∠CBD ，BC =，所以230030tan CDBC CD ==， 所以6100=CD m.16．【答案】,131⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】∵π,6,143C a b ==≤≤， ∴由余弦定理可得：()22222366327=+-=+-=-+c a b ab b b b ， ∴()[]2232727,31=-+∈c b ，∴⎡∈⎣c ，由正弦定理sin sin a c A C =，可得6·sin 2sin ,131a C A cc c ⎡⎤===∈⎢⎥⎣⎦．故答案为⎤⎥⎣⎦．17．【解析】（1）在ABC △中，由余弦定理得，解得．（2）在ABC △中，由得， ∴，在ABC △sin 10B =， ∴， 又，故， ∴， ∴．18．【解析】（1）由sin 26cos sin b A A B =及二倍角公式得sin 3sin b A B =，又sin sin a bA B=即sin sin b A a B =，所以3a =. （2）由正弦定理得sin sin a B b B A ==，sin sin a Cc C A==，则△ABC的周长为：2π33sin()3a b c B C B B ++=++=++-3π3sin cos 36sin 226B B B ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 又因为2π(0,)3B ∈，所以ππ5π(,)666B +∈，则π1sin (,1]62B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.从而π36sin (6,9]6B ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭.因此△ABC 周长的取值范围是(]6,9.19．【解析】（1）∵∥m n，∴sin cos b A B =，由正弦定理，得sin sin cos B A A B =， ∵sin 0A >，∴sin B B =，即tan B =∵0πB <<，∴ （2122ac =⨯，解得4ac =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得221422a c ac =+-⨯2()3a c ac =+-2()12a c =+-， 故4a c +=．20．【解析】（1）依题意得，120BAC ∠=︒，18AB =，15230AC =⨯=，BCA α∠=．在ABC △中由余弦定理可得2222cos 1764BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠=， 所以42BC =，所以渔船甲的速度为212BC=海里/小时． （2）在ABC △中，18AB =，120BAC ∠=︒，BC =42，BCA α∠=，由正弦定理，得sin sin 120AB BCα=︒，所以18sin 1202sin 42AB BCα⋅︒===． 21．【解析】（1）由题意得，由正弦定理得， 即B C A 2sin )sin(=+，所以B B 2sin sin =． 又在ABC △中，则B B 2=或2πB B +=，因为0πB <<，所以π3B =. （2）因为π3B =，所以2π3AC +=.22π2sin cos()1cos 2cos(2)3A A C A A +-=-+-cos cos 2cos a C c A b B +=2sin cos 2cos sin 4sin cos R A C R A C R B B +=π1)3A=-.因为2π3A<<，ππ2π33A-<-<，所以πsin(2)123A-<-≤，所以()22sin cosA A C+-的范围是1,12⎛-+⎝．22．【解析】（1）当，即时，取得最大值3；当，即时，取得最小值，故的值域为.（2）设ABC△中所对的边分别为.即得又，即即易得23．【解析】（1）在ABC△中，∵1,45AB BC ABC==∠=︒，∴由余弦定理可得:2222cos1AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠=，∴1AC=，则ABC△为等腰直角三角形，∴135BCD∠=°，在△BCD中，1,135BC CD AC BCD===∠=︒，131cos2cos2212cos222A A A A A=--=-由余弦定理可得:2222cos 5BD BC CD CD BC BCD =+-⋅⋅∠=，∴BD =（2）在ABC △中，∵1,AB BC ABC θ==∠=，∴由余弦定理可得:2222cos 3AC AB BC AB BC ABC θ=+-⋅⋅∠=-， 又由正弦定理可得sin sin AB ACACB ABC=∠∠，即1sin ACB =∠∴sin ACB ∠=∴π()cos cos sin 2BCD ACB ACB ∠=+∠=-∠=在△BCD中，BC CD AC ===由余弦定理可得2222cos 5sin cos )BD BC CD CD BC BCD θθ=+-⋅⋅∠=+-=(π54in )s 4θ+-，∴当3π4θ=时，()2max9BD=，则max 3BD =．1．【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=. 故选A ．【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 的关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.2．【答案】C【解析】由题可知，所以，由余弦定理，得，因为，所以，故选C. 3．【答案】A【解析】因为cos25C =，所以cos C =22cos 2C −1=2×2(5−1=35-. 于是，在ABC △中，由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2−2AC × BC ×cos C =52+12−2×5×1×(35-)=32，所以AB =. 故选A.【名师点睛】本题主要考查二倍角公式、余弦定理，考查考生的运算求解力，考查的数学核心素养是数学运算.解三角形是近几年高考中的高频者点，将解三角形与其他知识巧妙地融合在一起，既体现了试题设计的亮点，又体现了对所学知识的交汇考查. 4．【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即πsin (sin cos )sin()04C A A C A +=+=，所以3π4A =．由正弦定理sin sin a c A C =得23πsin sin 4C =，即1sin 2C =， 因为c <a ，所以C<A ， 所以π6C =，故选B ． 【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 5．【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角． 6．【答案】75°【解析】由正弦定理sin sin b cB C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 7．【答案】【解析】根据题意，结合正弦定理可得，即，结合余弦定理可得，所以A 为锐角，且，从而求得，所以ABC △的面积为，故答案是. 8．【答案】5，10【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=，5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以5BD =. ππcos cos()cos cos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.9．【答案】7，3【解析】由正弦定理得sinsin a A b B =，所以πsin sin 37B == 由余弦定理得22222cos ,742,3a b c bc A c c c =+-∴=+-∴=（负值舍去）.【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sin B ，根据余弦定理解出c .10．【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线的性质和三角形的面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得ac a c =+，即111a c+=，因此1144(4)()559c a a c a c a c a c +=++=++≥+=，当且仅当23c a ==时取等号， 则4a c +的最小值为9.11．【答案】60︒，()2,+∞【解析】()2221sin 42ABC S a c b ac B =+-=△， 2222a c b ac +-∴=，即cos B =， sin πcos 3B B B ∴=∠=，则2π1sin cos sin sin 1132sin sin sin 2tan 2A A A c C a A A A A ⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∠为钝角，ππ,036B A ∠=∴<∠<，)1tan ,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭， 故()2,c a∈+∞. 故答案为60︒，()2,+∞.【名师点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角πA B C ++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.12【解析】取BC 中点E ，由题意：AE BC ⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，∴1cos ,sin 4DBC DBC ∠=-∠==∴1sin 2△BCD S BD BC DBC =⨯⨯⨯∠=． ∵2ABC BDC ∠=∠，∴21cos cos 22cos 14ABC BDC BDC ∠=∠=∠-=，解得cos BDC ∠=或cos BDC ∠=（舍去）． 综上可得，△BCD的面积为2，cos 4BDC ∠=． 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．13．【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=． 因为sin A ≠0，所以sin sin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B =． 因为cos 02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+． 由于ABC △为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，ABC △面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题.14．【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-． 因为2b c =+， 所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-．解得5c =．所以7b =．（2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin 14B C A +==． 【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b c B C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a c b B ac a a +-+-===-⋅⋅． （2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故717sin 2sin 2cos cos 2sin 666828216B B B πππ⎛⎫+=+=--⨯=- ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．16．【解析】（1）因为23,3a cb B ===， 由余弦定理222cos 2ac b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以3c =. （2）因为sin cos 2A B a b=，由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B B b b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-， 故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.17．【解析】因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6bc A =-，又3ABC S =△，所以sin 6bc A =，因此tan 1A =-，又0πA <<， 所以3π4A =，又3b =，所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得29823(2a =+-⨯⨯-，所以a =【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.。

6．4.3 余弦定理、正弦定理第1课时 余弦定理考点 学习目标核心素养 余弦定理 了解余弦定理的推导过程 逻辑推理 余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形 能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理 文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__Ab 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则∠A 为锐角．( )(5)在△ABC 中，若b 2＋c 2＜a 2，则△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝61，则角C 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°解析：选A.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C ＝120°，故选A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 等于( )A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，因为a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝32，故B ＝π6. 已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3. 答案： 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29D ．2 5(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A.2B. 3 C ．2D ．3【解析】 (1)因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A. (2)由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ， 因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， 所以b ＝2 2.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°(2)在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A.由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°＜B＜180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的最大内角的余弦值． 解：因为a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 不妨设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ， 显然a ＜b ＜c .所以△ABC 的最大内角为C ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋6k 2－（3＋1）2k 246k 2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 【解】 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2.所以A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.1．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解析：选D.在△ABC 中，因为A ＝60°，a 2＝bc ， 所以由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 所以bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，结合A ＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a sin A ，整理，得a ＝a sin A ，所以sin A ＝1.又A ∈(0，π)，所以A ＝π2.故△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B.因为(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab .① 又因为(a ＋b )2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．[A 基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.因为A 是锐角，所以cos A ＝15.又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以49＝b 2＋36－2×b ×6×15.解得b ＝5或b ＝－135.又因为b ＞0，所以b ＝5.3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B.由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝bc .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：347．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.答案：198．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.答案：6129．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.10．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解：由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 则x ＝7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D.由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5.12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是( )A ．(8，10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22×1×3＞0，a 2＋12－322×a ×1＞0，1＋3＞a ，1＋a ＞3，解得22＜a ＜10.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2－b 2＝ab >0，所以a 2>b 2，所以a >b .14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac . (1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值．解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac . 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58. (2)因为b ＝13，cos B ＝58， 由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ， 又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12. [C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.①因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12， 有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14.② 又0<a <1，于是有14≤b 2<1， 即有12≤b <1.。

⾼考专题正弦定理和余弦定理⾼考专题正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决⼀些简单的三⾓形度量问题.知识梳理1.正、余弦定理在△ABC 中，若⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三⾓形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)三⾓形中三边之⽐等于相应的三个内⾓之⽐.( )(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .( )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐⾓三⾓形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直⾓三⾓形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝⾓三⾓形.( ) (5)在三⾓形中，已知两边和⼀⾓就能求三⾓形的⾯积.( ) 解析 (1)三⾓形中三边之⽐等于相应的三个内⾓的正弦值之⽐. (3)已知三⾓时，不可求三边.(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三⾓形ABC 不⼀定为锐⾓三⾓形. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3? ????b ＝－13舍去，故选D. 答案 D3.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( )A.－12B.12C.－32D.32 解析由正弦定理知sin B 3cos B＝sin Asin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的⾯积为32，则BC 的长为( ) A.32 B.3 C.2 3D.2解析因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，所以BC ＝ 3. 答案 B5.在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三⾓形的形状为________. 解析由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三⾓形为等腰三⾓形或直⾓三⾓形. 答案等腰三⾓形或直⾓三⾓形6.已知钝⾓△ABC 的⾯积为12，AB ＝1，BC ＝2，则⾓B ＝________，AC ＝________.解析∵钝⾓△ABC 的⾯积为12，AB ＝1，BC ＝2，∴12＝12×1×2×sin B ，解得sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4，∵当B ＝π4时，由余弦定理可得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2×1×2×22＝1，此时，AB 2＋AC 2＝BC 2，可得A ＝π2，此△ABC 为直⾓三⾓形，与已知⽭盾，舍去.∴B ＝3π4，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2×1×2×22＝ 5. 答案3π45考点⼀利⽤正、余弦定理解三⾓形【例1】(1)在△ABC中，已知a＝2，b＝6，A＝45°，则满⾜条件的三⾓形有()A.1个B.2个C.0个D.⽆法确定(2)在△ABC中，已知sin A∶sin B＝2∶1，c2＝b2＋2bc，则三内⾓A，B，C 的度数依次是________.(3)设△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.解析(1)∵b sin A＝6×22＝3，∴b sin A∴满⾜条件的三⾓形有2个.(2)由题意知a＝2b，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即2b2＝b2＋c2－2bc cos A，⼜c2＝b2＋2bc，∴cos A＝22，∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°，sin B＝12，⼜B∈(0°，180°)，b＜a，∴B＝30°，∴C＝105°.(3)因为sin B＝12且B∈(0，π)，所以B＝π6或B＝5π6.⼜C＝π6，B＋C<π，所以B＝π6，A＝π－B－C＝2π3.⼜a＝3，由正弦定理得asin A＝bsin B，即3sin2π3＝bsinπ6，解得b＝1.答案(1)B(2)45°，30°，105°(3)1规律⽅法(1)判断三⾓形解的个数的两种⽅法①代数法：根据⼤边对⼤⾓的性质、三⾓形内⾓和公式、正弦函数的值域等判断.②⼏何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.(2)已知三⾓形的两边和其中⼀边的对⾓解三⾓形.可⽤正弦定理，也可⽤余弦定理.⽤正弦定理时，需判断其解的个数，⽤余弦定理时，可根据⼀元⼆次⽅程根的情况判断解的个数.【训练1】 (1)在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( ) A.1B.2C.4D.6(2)△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析 (1)a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ?13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去).(2)在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 (1)C (2)2113考点⼆利⽤正弦、余弦定理判定三⾓形的形状(典例迁移)【例2】 (经典母题)设△ABC 的内⾓A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A.锐⾓三⾓形 B.直⾓三⾓形 C.钝⾓三⾓形D.不确定解析由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝π2. 答案 B【迁移探究1】将本例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC ⼀定是( )A.直⾓三⾓形B.等腰三⾓形C.等腰直⾓三⾓形D.等边三⾓形解析法⼀由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π法⼆由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ?a 2＝b 2?a。

高中数学-打印版
精校版 阅读 建模 求解 做答
山东 王建
正、余弦定理解实际问题：首先用有关的线段、角表示实际问题中的量，这一步可谓理论联系实际；其次在错综复杂、纵横交织的多边形中，使用正、余弦定理解相关的斜三角形，从中获得与答案有关的线段的长；第三是求解做答．以上这一过程可概述为：阅读――建模――求解――作答．下面举例说明．
例 某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进 米以后，望
见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30，求塔高．
分析：依题意画出示意图（如图所示），某人刚开始在C 处，AB
为塔高，他沿CD 前进，40CD =米，此时45DBF ∠=，故从C 到D
所测塔的仰角，只有该人到B 的距离最小时，才最大，这是因为tan AB AEB BE ∠=．AB 为定值，欲求出塔高AB ，必须先求BE ；而欲求BE ，须先求BD （或BC ）．
解：在BDC △中，40CD =，30135BCD DBC ∠=∠=，．
由正弦定理，得
sin sin CD BD DBC DCB =∠∠． 40sin30202sin135
BD ∴==． 在BED Rt △中，1801353015BDE ∠=--=．
62sin1520210(31)BE DB -∴==⨯
=-． 在ABE Rt △中，30AEB ∠=， 10tan30(33)3
AB BE ∴==-（❍）． 评注：求解本题的关键在于由题意画出图形，本题的图是一个立体图，要求学生有一定的空间想象能力，而条件中的“沿途测得塔的最大仰角为30”这句话如何理解是个难点，要求学生在画图和实践中不断思索．图形画出之后，搞清图形中的已知量与所求量之间的关系，转化为解三角形的问题．。

人教版高二数学上册必修5第一章正弦定理和余弦定理知识点
人教版高二数学上册必修5第一章正弦定理和
余弦定理知识点
学习是劳动，是充满思想的劳动。

查字典数学网为大家整理了第一章正弦定理和余弦定理知识点，让我们一起学习，一起进步吧！
余弦定理定义及公式余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。

是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a=b+c-2bccosA
余弦定理证明
如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：将等式同乘以c得到：
运用同样的方式可以得到：
将两式相加：
向量证明
正弦定理和余弦定理正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
（1）已知三角形的两角与一边，解三角形
（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系
直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正。

（一）复习指导1 •掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.（二）基础知识1.三角形中的有关公式（1）内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！ 任意两角 和与第三个角总互补， 任意两半角和 与第三个角的半角总互余•锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余 弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方 •正弦定理和余弦定理 （2）正弦定理： a b sin A sin B a b c sin A si nB sinC ；）.注意：①正弦定理的一些变式: a b ii sin A ,sinB ,sinC2R 2R c2R ； iii a 2Rsin A,b 2Rsi nB,b 2RsinC ；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解（3）余弦定理：a 2b 2 2 2 2 2bccosA,cosA b ―』等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状 2bc (4)面积公式：S -ah a2 a 2 2 2 2 sin A cos B cos Asin B特别提醒：(1 )求解 labsinC r （a b c ）（其中r 为三角形内切圆半径） 2 sin C ，判断 ABC 的形状（答：直角三角形）。

三角形中的问题时，一定要注意A B C .女口 ABC 中，若这个特殊性： A B CA B C,sin （A B ） sinC,sincos- ；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运 用正弦定理、余弦定理实现边角互化。

2、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此 三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。

（三）解题方法指导例1.在厶ABC 中，a : b : c = 3 : 5 : 7 则其最大角为 _______例2.在厶ABC 中，有acosA=bcosB ，判断△ ABC 的形状. 例3.在厶ABC 中，/ A=60°面积为10J5，周长为20,求三条边的长.例4.在一条河的对岸有两个目标物 A , B ,但不能到达.在岸边选取相距 2.一 3里的C , D 两点，并测得 / ACB=75° / BCD =45° , / ADC =30° , / ADB=45° 且 A , B , C , D 在同一个平面内，求 A , B 之间的距离. C 2R （R 为三角形外接圆的半径 sin C例题解析例1解：因为三条边中c 边最大，则角 C 最大，根据余弦定理， cosC -，所以C2 3例 2 解：由正弦定理，a=2RsinA , b = 2RsinB ,代入有 2RsinAcosA=2RsinBcosB ,即 sin2A=sin2B ,所以 2A=2B 或2A=n- 2B .即A=B 或A B n，所以△ ABC 为等腰三角形或直角三角形. 2 例 3 解：因为 s ABC 1bcsin A 10 3，所以 bc=40，又 a + b + c=20, a 2=b 2+ c 2- 2bccosA ，解得三条边为 25, 7, 8.例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮 我们找到解题的思路.要求AB ,可以把AB 放到一个三角形中， 看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值. 解：中厶 ACD 中，/ ACD=120° , / ADC=30°所以/ DAC =30° ,所以 | AC | = | CD | =2 J3 ,在厶 BCD 中，/ BCD =45° , / CDB = 75°i BC |所以/ CBD=60° ,由正弦定理，——0sin 750在厶 ABC 中，/ BCA=75° ,根据余弦定理，| AB | 2= | AC | 2+l BC | 2-2 | AC |・| BC | • cos75° 求得I AB | 2=20 , | AB | 2,5D所以|BC| 竺空.6 2, o sin 60 |CD| sin 60。

高中数学-正余弦定理1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即RcC R bB R aA C R cB R b AR a R R Cc B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin =========变形有：为外接圆的半径2、三角形的面积公式：A bcB acC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆3、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即ab c b a C acb c a B bca cb A C ab b ac B ac c a b Abc c b a 2cos 2cos 2cos 变形有：cos 2cos 2cos 2222222222222222222-+=-+=-+=-+=-+=-+=4、判断三角形的形状：为锐角三角形为最大边：且,为直角角三角形为钝角三角形222222222ABC a c b a ABC c b a ABC c b a ∆+<∆+=∆+>5、三角形中有：形为正三角形成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A C B A CB AC B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+∆已知三角形两边a,b,这两边夹角C ，则S=12absinC ，即两夹边之积乘夹角的正弦值。

6、均值定理：对于任意两个正实数a、b，都有当且仅当a =b时，等号成立。

注：运用均值不等式求最值条件①，；②a 和b 的乘积ab 是一个定值（正数）；③等号成立条件。

相关重要不等式：①；②；③]微生筑梦。

2023高二数学知识点人教版（高二上册数学必修二知识点）高二数学重要学问点归纳正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注:R表示三角形的外圆半径余弦定理b2=a2 c2-2accosB留意:角B是边a和边c的夹角圆标准方程(x-a)2 (y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F=0注：D2 E2-4F>0抛物线标准方法y2=2pxy2=-2p2=2pyx2=-2py直棱柱侧面的S=ch斜棱柱侧面S=c”h正棱锥侧面的S=1/2ch”正棱面侧面积S=1/2(c c”)h”圆台侧面积S=1/2(c c”)l=pi(R r)l球的外表积S=4pir2圆柱侧面S=ch=2pih圆锥侧面S=1/2cl=pirl弧长公式l=ara圆心角弧度数r>0扇形面积公式s=1/2lr锥体体积公式V=1/3SH圆锥体体积公式V=1/3pir2h斜棱柱体积V=S”L注：其中,S”是直截面积，L是侧棱长柱体体积公式V=sh圆柱体V=pr2h乘法和因式分为a2-b2=(a b)(a-b)a3 b3=(a b)(a2-ab b2)a3-b3=(a-b(a2 ab b2)三角不等式|a b|≤|a| |b||a-b|≤|a| |b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|解决一元二次方程-b √(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2aX1根与系数的关系 X2=-b/aX1X2=c/a注:韦达定理判别式b2-4ac=0注:方程有两个相等的实根b2-4ac>0注:方程有两个不同的实根b2-4ac注:方程没有实根，有共轭复数根<0注：方程没有实根，有共轭复数根高二数学必修二学问点用样本的数字特征估量整体数字特征1、本均值：样品标准差：3.用样本估量整体时，假如抽样方法合理，样本可以反映整体信息，但样本获得的信息会有偏差。

正余弦定理学习点拨江苏 胡文彬正、余弦定理是应用很广泛的定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与代数产生联系，如求与三角形有关的量、判断三角形形状、证明三角形中有关的等式等，并为此提供重要依据．下面我们结合实例谈一谈复习正余弦定理这部分应从哪几方面加强学习．一、 重视数学思想方法的运用解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题过 程中要注意函数与方程思想的运用．例1 如图1所示，隔河看两目标A B ，，但不能到达，在岸边选取相距3千米的C D ，两点，并测得75454530ACB BCD ADB ADC ∠=∠=∠=∠=º，º，º，º（A B C D ，，，在同一平面内）．求两目标A B ，之间的距离． 分析：要求出A B ，之间的距离，可以在ACB △或ADB△中去找关系式．但不管在哪个三角形中，除AB 边是已知外其他两边都是未知的，需要借助其他三角形找出合适的关系式，从而求出另两边的值．解：在ACD △中， 30120ADC ACD ACB BCD ∠=∠=∠+∠=，，30CAD ADC ∴∠==∠，3AC CD ∴==．在BDC △中，18045(3045)60CBD ∠=--+=，由正弦定理可得：sin 7562sin 602CD BC +==·， 在ABC △中，由余弦定理得：2222cos AB AC BC ACBC BCA =+-∠··， 5AB ∴=（千米）．故A B ，之间的距离为5千米．二、 加强知识之间的联系学习本章知识要与初中学过的三角形的边、角关系联系起来．同时，要注意与三角函数、平面向量等知识联系起来，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力．例2 在ABC △中，已知222222sin sin sin 1cos 2sin sin sin 1cos 2A B C C A B C B+-+=-++． 求证：ABC △是等腰三角形或直角三角形．分析：从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定ABC △为等腰或直角 三角形两种情况．因此，应综合应用正余定理、三角形内角和定理、勾股定理，先进行化简，再讨论．证明：应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：222222222cos 2cos a b c C a b c B+-=-+， 再由余弦定理将其变形为：222cos cos 2cos cos ab C C ac B B=， 整理得：cos cos 0cos cos C b C B c B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由cos 0cos C B=，得90C =， 由cos 0cos b C c B -=，及依据正弦定理得：sin cos sin cos B C C B=， 即sin cos sin cos B B C C =．sin 2sin 2B C ∴=． 22B C ∴=或22180B C +=，即B C =或90B C +=．综上所述：ABC △是等腰三角形或直角三角形．三、 提高数学建模能力利用解三角形的知识解决相关的实际问题，关键是读懂题意，找出量与量之间的关系， 然后根据题意作出示意图，将实际问题转化为三角问题来解决．例3 在半径为R 的扇形OAB 中，圆心角60AOB ∠=，在扇形中有一个内接矩形， 求内接矩形的最大面积．分析：我们可以在扇形中按图 或者图 的方法得到矩形．然后分别求在这两种情况下，哪种方法得到的矩形面积最大．解：若按图2方式作一内接矩形，设PQ x MP y ==，，则矩形面积S xy =．连结ON ，令AON θ∠=，则sin y R θ=．对ONM △依据正弦定理有：sin(60)sin(60)x R θθ=--，x ∴=．故22S R ==当30θ=时，2max 6S R =； 若按如图3方式作一内接矩形，则可设PN x =，MN y AON θ=∠=，．连结ON ，则在OPN △中，有sin sin ON PN OPN θ=∠， 即sin 2sin sin150R x R θθ==·． 过O 作OH MN ⊥于H ，则122y NH NM ==． 又1302AOH AOB ∠=∠=，2sin(30)y R θ∴=-， 224sin sin(30)2cos 2(15)cos30S xy R R θθθ⎡⎤∴==-=--⎣⎦，当15θ=时，2max (2S R =．比较2(2R 与26R 的大小可知，所求矩形的最大面积为26R ．。

人教版高二数学必修第四册《正弦定理与余弦定理》说课稿一、引入1.1 学科背景介绍人教版高二数学必修第四册是高中数学课程的一部分，主要介绍三角函数、向量和几何相关的内容。

本次说课将着重介绍《正弦定理与余弦定理》的概念、公式及其应用。

1.2 教材内容概述本册教材的主要内容包括：•三角函数的概念与性质•三角函数的图像与变换•正弦定理与余弦定理•平面向量及其运算•平面向量的数量积及其应用•三角函数与复数本次说课将重点围绕《正弦定理与余弦定理》展开讲解。

二、教学目标2.1 知识和能力目标•理解正弦定理与余弦定理的概念和原理•掌握正弦定理与余弦定理的基本公式•运用正弦定理与余弦定理解决实际问题•培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力2.2 过程和方法目标•培养学生的自主学习能力和合作学习能力•培养学生的实践操作能力和逻辑推理能力•引导学生积极参与课堂讨论和解决问题的过程三、教学重点•正弦定理的概念与应用•余弦定理的概念与应用四、教学内容与方法4.1 正弦定理正弦定理是解决三角形中含有未知边或角的定理之一。

该定理表明，对于任意三角形ABC，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，则有：$\\frac{a}{sinA}=\\frac{b}{sinB}=\\frac{c}{sinC}$在教学过程中，我们可以通过以下方法进行讲解：方法一：演绎法 1. 利用教具或白板，绘制三角形ABC，并标明对应的边长和角度。

2. 利用正弦定理的公式，推导出公式的由来。

3. 引导学生通过具体的计算实例，加深对正弦定理的理解。

方法二：实例分析法 1. 通过实际问题，引导学生发现问题中隐藏的三角形，进而引出正弦定理的应用。

2. 通过多个实例讲解，让学生掌握应用正弦定理解决实际问题的方法和步骤。

4.2 余弦定理余弦定理是解决三角形中含有未知边或角的定理之一。

该定理表明，对于任意三角形ABC，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c，则有：$c^2=a^2+b^2-2ab \\cdot cosC$在教学过程中，我们可以通过以下方法进行讲解：方法一：几何解法 1. 利用教具或白板，绘制三角形ABC，并标明对应的边长和角度。