高中数学正余弦定理

正弦定理和余弦定理一：基础知识理解1 ．正弦定理分类内容定理＝＝＝2 R ( R 是△ ABC 外接圆的半径 )变形公式① a ＝ 2 R sin _ A ， b ＝ 2 R sin _ B ， c ＝ 2 R sin _ C ，② sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ，③ sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝解决的问题① 已知两角和任一边，求其他两边和另一角，② 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角2 ．余弦定理分类内容定理在△ ABC 中，有 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos _ A ；b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos _ B ； c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos _ C 变形公式cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝解决的问题① 已知三边，求各角；② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角3 ．三角形中常用的面积公式( 1 ) S ＝ ah ( h 表示边 a 上的高 )；( 2 ) S ＝ bc sin A ＝ ac sin B ＝ ab sin C ；( 3 ) S ＝ r ( a ＋ b ＋ c )( r 为三角形的内切圆半径 )．二：基础知识应用演练1 ．( 2012·广东高考 ) 在△ ABC 中，若∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°， BC ＝ 3 ，则 AC ＝()A ． 4B ． 22 ．在△ ABC 中， a ＝， b ＝ 1 ， c ＝ 2 ，则 A 等于 ()A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 75°3 ．( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 18 ， b ＝ 24 ， A ＝ 45°，则此三角形有 ()A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c .若 a ＝ 2 ， B ＝， c ＝ 2 ，则 b ＝ ________.5 ．△ ABC 中， B ＝ 120°， AC ＝ 7 ， AB ＝ 5 ，则△ ABC 的面积为________ ．解析：1 选B 由正弦定理得：＝，即＝，所以 AC ＝ × ＝2 .2 选C ∵ cos A ＝＝＝，又∵ 0°< A <180°，∴ A ＝60°.3 选B ∵ ＝，∴ sin B ＝ sin A ＝ sin 45°，∴ sinB ＝ .又∵ a < b ，∴ B 有两个．4 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ＝4＋12－2×2×2 × ＝4，所以 b ＝2.答案：25、解析：设 BC ＝ x ，由余弦定理得49＝25＋ x 2 －10 x cos 120°，整理得 x 2＋5 x －24＝0，即 x ＝3.因此 S △ ABC ＝ AB × BC ×sin B ＝ ×3×5× ＝ . 答案：小结： ( 1 ) 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ ABC 中，A > B ⇔ a > b ⇔ sin A >sin B .( 2 ) 在△ ABC 中，已知 a 、 b 和 A 时，解的情况如下：A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＝ b sin A b sin A < a < b a ≥ b a > b解的个数一解两解一解一解三、典型题型精讲（1）利用正弦、余弦定理解三角形[例1] ( 2012·浙江高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，且 b sin A ＝ a cos B .( 1 ) 求角 B 的大小； ( 2 ) 若 b ＝ 3 ， sin C ＝ 2sin A ，求 a ， c 的值．解析： ( 1 ) 由 b sin A ＝ a cos B 及正弦定理＝，得sinB ＝ cos B ，所以tan B ＝，所以 B ＝ .(2) 由 sin C ＝2sin A 及＝，得 c ＝ 2 a . 由 b ＝3 及余弦定理 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得 9＝ a 2 ＋ c 2 － ac . 所以 a ＝， c ＝2 .思考一下：在本例 ( 2 ) 的条件下，试求角 A 的大小．方法小结：1 ．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．2 ．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．试题变式演练 1 ．△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， a sin A sin B ＋ b cos 2 A ＝ a .( 1 ) 求；( 2 ) 若 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，求 B .解： ( 1 ) 由正弦定理得，sin 2 A sin B ＋sin B cos 2 A ＝ sin A ，即 sin B ( sin 2 A ＋cos 2 A ) ＝ sin A .故 sin B ＝ sin A ，所以＝ .( 2 ) 由余弦定理和 c 2 ＝ b 2 ＋ a 2 ，得 cos B ＝ .由 (1) 知 b 2 ＝ 2 a 2 ，故 c 2 ＝(2＋ ) a 2 . 可得 cos 2 B ＝，又 cos B >0，故 cos B ＝，所以 B ＝45°.（2）利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[例2] 在△ ABC 中 a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且2 a sin A ＝( 2 b ＋ c ) sin B ＋( 2 c ＋ b ) sin C .( 1 ) 求 A 的大小；( 2 ) 若sin B ＋ sin C ＝ 1 ，试判断△ ABC 的形状．[ 解析 ] ( 1 ) 由已知，根据正弦定理得 2 a 2 ＝ ( 2 b ＋ c ) · b ＋ ( 2 c ＋ b ) c ，即a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ＋ bc .由余弦定理得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 cos A ＝－，∵ 0< A <180°，∴ A ＝120°.(2) 由 (1) 得 sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ＋sin B sin C ＝又 sin B ＋sin C ＝1，解得 sin B ＝sin C ＝ .∵ 0°< B <60°，0°< C <60°，故 B ＝ C ，∴△ ABC 是等腰的钝角三角形．方法小结：依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法：( 1 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；( 2 ) 利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝π这个结论．[注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．试题变式演练 ( 2012·安徽名校模拟 ) 已知△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，向量 m ＝( 4 ，－ 1 )， n ＝，且m · n ＝ .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 b ＋ c ＝ 2 a ＝ 2 ，试判断△ ABC 的形状．解：( 1 ) ∵ m ＝ ( 4，－1 ) ， n ＝，∴ m · n ＝4cos 2 －cos 2 A ＝4·－ ( 2cos 2 A －1 ) ＝－2cos 2 A ＋2cos A ＋3.又∵ m · n ＝，∴ －2cos 2 A ＋2cos A ＋3＝，解得 cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A ＝ .(2) 在△ ABC 中， a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，且 a ＝，∴ ( ) 2 ＝b 2 ＋c 2 －2 bc ·＝ b 2 ＋ c 2 －bc . ①又∵ b ＋ c ＝2 ，∴ b ＝2 － c ，代入① 式整理得 c 2 － 2 c ＋3＝0，解得 c ＝，∴ b ＝，于是 a ＝ b ＝ c ＝，即△ ABC 为等边三角形．（3）与三角形面积有关的问题[例3] ( 2012·新课标全国卷 ) 已知 a ， b ， c 分别为△ ABC 三个内角 A ， B ，C 的对边， a cos C ＋ a sin C － b － c ＝ 0.( 1 ) 求 A ；( 2 ) 若 a ＝ 2 ，△ ABC 的面积为，求 b ， c .[ 解 ] ( 1 ) 由 a cos C ＋ a sin C － b － c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋ sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为 B ＝π－ A － C ，所以 sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ＝ . 又0＜ A ＜π，故 A ＝ .( 2 ) △ ABC 的面积 S ＝ bc sin A ＝，故 bc ＝4.而 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ，故 b 2 ＋ c 2 ＝8. 解得 b ＝ c ＝2.方法小结：1 ．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．2 ．在解决三角形问题中，面积公式 S ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B 最常用，因为公式中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用．试题变式演练 ( 2012·江西重点中学联考 ) 在△ ABC 中， cos 2 A ＝ cos 2 A －cos A .( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝ 3 ， sin B ＝ 2sin C ，求 S △ ABC .解： ( 1 ) 由已知得 ( 2cos 2 A －1 ) ＝cos 2 A －cos A ，则cos A ＝ .因为0< A <π，所以 A ＝ .( 2 ) 由＝，可得＝＝2，即 b ＝ 2 c .所以cos A ＝＝＝，解得 c ＝， b ＝2 ，所以 S △ ABC ＝ bc sin A ＝ ×2 × × ＝ .课后强化与提高练习（基础篇-必会题）1 ．在△ ABC 中， a 、 b 分别是角 A 、 B 所对的边，条件“ a < b ”是使“cosA >cosB ”成立的 ()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2 ．( 2012·泉州模拟 ) 在△ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 所对的边．若 A ＝， b ＝ 1 ，△ ABC 的面积为，则 a 的值为 ()A ． 1B ． 23 ．( 2013·“江南十校”联考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知 a ＝ 2 ， c ＝ 2 ， 1 ＋＝，则 C ＝()A ． 30°B ． 45°C ． 45°或135°D ． 60°4 ．( 2012·陕西高考 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对边的长分别为 a ， b ， c ，若 a 2 ＋ b 2 ＝ 2 c 2 ，则cos C 的最小值为 ()D ．－5 ．( 2012·上海高考 ) 在△ ABC 中，若sin 2 A ＋ sin 2 B <sin 2 C ，则△ ABC 的形状是 ()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定6 ．在△ ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .若 b ＝ 2 a sin B ，则角 A 的大小为________ ．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵ sin B ≠0，7 ．在△ ABC 中，若 a ＝ 3 ， b ＝， A ＝，则 C 的大小为________ ．8 ．( 2012·北京西城期末 ) 在△ ABC 中，三个内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ，b ，c .若 b ＝ 2 ， B ＝， sin C ＝，则 c ＝ ________ ； a ＝ ________.9 ．( 2012·北京高考 ) 在△ ABC 中，若 a ＝ 2 ， b ＋ c ＝ 7 ， cos B ＝－，则 b ＝ ________.10 ．△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a sin A ＋ c sin C －a sin C ＝b sin B .( 1 ) 求 B ；( 2 ) 若 A ＝ 75°， b ＝ 2 ，求 a ， c .11 ．( 2013·北京朝阳统考 ) 在锐角三角形 ABC 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ，C 所对的边，且满足 a － 2 b sin A ＝ 0.( 1 ) 求角 B 的大小；( 2 ) 若 a ＋ c ＝ 5 ，且 a > c ， b ＝，求 ·的值．12 ．( 2012·山东高考 ) 在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ，c ，已知sin B ( tan A ＋ tan C )＝ tan A tan C .( 1 ) 求证： a ， b ， c 成等比数列；( 2 ) 若 a ＝ 1 ， c ＝ 2 ，求△ ABC 的面积 S .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）1 ．( 2012·湖北高考 ) 设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若三边的长为连续的三个正整数，且 A > B > C ， 3 b ＝ 20 a cos A ，则sin A ∶ sin B ∶ sin C 为 ()A ．4 ∶ 3 ∶ 2B ．5 ∶ 6 ∶ 7C ．5 ∶ 4 ∶ 3D ．6 ∶ 5 ∶ 42 ．( 2012·长春调研 ) 在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知4sin 2 － cos 2 C ＝，且 a ＋ b ＝ 5 ， c ＝，则△ ABC 的面积为________ ．3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝ 0.( 1 ) 求角 A 的大小；( 2 ) 若 a ＝， S △ ABC ＝，试判断△ ABC 的形状，并说明理由．选做题1 ．已知 a ， b ， c 分别是△ ABC 的三个内角 A ， B ， C 所对的边．若 a ＝ 1 ，b ＝， A ＋ C ＝ 2 B ，则sin C ＝ ________.2 ．在△ ABC 中， a ＝ 2 b cos C ，则这个三角形一定是 ()A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3 ．在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知cos 2 C ＝－ .( 1 ) 求sin C 的值；( 2 ) 当 a ＝ 2 , 2sin A ＝ sin C 时，求 b 及 c 的长．4 ．设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且cos B ＝， b ＝ 2.( 1 ) 当 A ＝ 30°时，求 a 的值；( 2 ) 当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值．课后强化与提高练习（基础篇-必会题）解析1 解析：选C a < b ⇔ A < B ⇔ cos A >cos B .2 解析：选D 由已知得 bc sin A ＝ ×1× c ×sin ＝，解得 c ＝ 2 ，则由余弦定理可得 a 2 ＝ 4 ＋ 1 － 2×2×1×cos ＝3 ⇒ a ＝ .3 解析：选B 由1 ＋＝和正弦定理得 cos A sin B ＋sin A cos B＝2sin C cos A ，即 sin C ＝2sin C cos A ，所以 cos A ＝，则 A ＝60°. 由正弦定理得＝，则 sin C ＝，又 c < a ，则 C <60°，故 C ＝45°.4 解析：选 C 由余弦定理得 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝2 ab cos C ，又 c 2 ＝( a 2 ＋ b 2 )，得 2 ab cos C ＝ ( a 2 ＋ b 2 )，即 cos C ＝≥ ＝ .6 解析：选 C 由正弦定理得 a 2 ＋ b 2 < c 2 ，所以 cos C ＝<0，所以 C 是钝角，故△ ABC 是钝角三角形．∴ sin A ＝，∴ A ＝30°或 A ＝150°. 答案：30°或 150°7 解析：由正弦定理可知 sin B ＝＝＝，所以 B ＝或 ( 舍去 )，所以 C ＝π － A － B ＝π －－＝ . 答案：8 解析：根据正弦定理得＝，则 c ＝＝2 ，再由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，即 a 2 － 4 a －12＝0，( a ＋2)( a －6)＝0，解得 a ＝6 或 a ＝－2( 舍去 )．答案：2 69 解析：根据余弦定理代入 b 2 ＝4＋(7－ b ) 2 －2×2×(7－ b )× ，解得b ＝4. 答案：410 解：(1) 由正弦定理得 a 2 ＋ c 2 － ac ＝ b 2 . 由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋c 2 －2 ac cos B .故cos B ＝，因此 B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝ .故 a ＝ b × ＝＝1＋， c ＝ b × ＝2×＝ .1 1 解：(1) 因为 a －2 b sin A ＝0，所以 sin A －2sin B sin A ＝0，因为sin A ≠0，所以 sin B ＝ . 又 B 为锐角，所以 B ＝ .( 2 ) 由 ( 1 ) 可知， B ＝ .因为 b ＝ .根据余弦定理，得7＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos ，整理，得 ( a ＋ c ) 2 － 3 ac ＝7.由已知 a ＋ c ＝5，得 ac ＝6.又 a > c ，故 a ＝3， c ＝2.于是cos A ＝＝＝，所以 ·＝| |·| |cos A ＝ cb cos A＝2× × ＝1.12 解： ( 1 ) 证明：在△ ABC 中，由于sin B ( tan A ＋tan C ) ＝tan A tan C ，所以sin B ＝ ·，因此sin B ( sin A cos C ＋cos A sin C ) ＝sin A sin C ，所以 sin B sin( A ＋ C )＝sin A sin C .又 A ＋ B ＋ C ＝π ，所以 sin( A ＋ C )＝sin B ，因此 sin 2 B ＝sin A sin C .由正弦定理得 b 2 ＝ ac ，即 a ， b ， c 成等比数列．( 2 ) 因为 a ＝1， c ＝2，所以 b ＝，由余弦定理得cos B ＝＝＝，因为0< B <π，所以sin B ＝＝，故△ ABC 的面积 S ＝ ac sin B ＝ ×1×2× ＝ .课后强化与提高练习（提高篇-选做题）解析1 解析：选D 由题意可得 a > b > c ，且为连续正整数，设 c ＝ n ， b ＝ n ＋1，a ＝ n ＋2 ( n >1，且n ∈ N * ) ，则由余弦定理可得3 ( n ＋1 ) ＝20 ( n ＋2 ) ·，化简得7 n 2 －13 n －60＝0，n ∈ N * ，解得 n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶ sin B ∶ sin C ＝a ∶ b ∶ c ＝6 ∶ 5 ∶ 4.2 解析：因为4sin 2 －cos 2 C ＝，所以2[1－cos( A ＋ B )]－2cos 2 C ＋1＝，2＋2cos C －2cos 2 C ＋1＝，cos 2 C －cos C ＋＝0，解得cos C ＝ .根据余弦定理有cos C ＝＝，ab ＝ a 2 ＋ b 2 －7 , 3 ab ＝ a 2 ＋ b 2 ＋2 ab －7＝ ( a ＋ b ) 2 －7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ ABC 的面积 S △ ABC ＝ ab sin C ＝ ×6× ＝.答案：3 解： ( 1 ) 法一：由 ( 2 b － c ) cos A － a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0，∴ 2sin B cos A －sin( A ＋ C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0. ∵ 0< B < π ，∴ sin B ≠0，∴ cos A ＝. ∵ 0< A < π ，∴ A＝ .法二：由 (2 b － c )cos A － a cos C ＝0，及余弦定理，得 (2 b － c )·－ a ·＝0，整理，得 b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ bc ，∴ cos A ＝＝，∵ 0<A < π ，∴ A ＝ .(2) ∵ S △ ABC ＝ bc sin A ＝，即 bc sin ＝，∴ bc ＝3，①∵ a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 －2 bc cos A ， a ＝， A ＝，∴ b 2 ＋ c 2 ＝6，② 由①② 得 b ＝ c ＝，∴△ ABC 为等边三角形．选择题解析1 解析：在△ ABC 中， A ＋ C ＝2 B ，∴ B ＝60°. 又∵ sin A ＝＝，∴ A ＝30°或 150°( 舍 )，∴ C ＝90°，∴ sin C ＝1.答案：12 解析：选A 法一： ( 化边为角 ) 由正弦定理知：sin A ＝2sin B cos C ，又 A ＝π －( B ＋ C )，∴ sin A ＝sin( B ＋ C )＝2sin B cos C .∴ sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，∴ sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴ sin ( B － C ) ＝0.又∵ B 、 C 为三角形内角，∴ B ＝ C .法二： ( 化角为边 ) 由余弦定理知cos C ＝，∴ a ＝2 b ·＝，∴ a 2 ＝ a 2 ＋ b 2 － c 2 ，∴ b 2 ＝ c 2 ，∴ b ＝ c .3 解： ( 1 ) 因为cos 2 C ＝1－2sin 2 C ＝－，且0< C <π，所以sin C ＝ .( 2 ) 当 a ＝2 , 2sin A ＝sin C 时，由正弦定理＝，得 c ＝4.由cos 2 C ＝2cos 2 C －1＝－，及0< C <π得cos C ＝± .由余弦定理 c 2 ＝ a 2 ＋ b 2 －2 ab cos C ，得 b 2 ± b －12＝0，解得 b ＝或2 ，所以或4 解： ( 1 ) 因为cos B ＝，所以sin B ＝ .由正弦定理＝，可得＝，所以 a ＝ .( 2 ) 因为△ ABC 的面积 S ＝ ac ·sin B ，sin B ＝，所以 ac ＝3， ac ＝10.由余弦定理得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 －2 ac cos B ，得4＝ a 2 ＋ c 2 － ac ＝ a 2 ＋ c 2 －16，即 a 2 ＋ c 2 ＝20.所以 ( a ＋ c ) 2 － 2 ac ＝20， ( a ＋ c ) 2 ＝40.所以 a ＋ c ＝2 .。

§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。

3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。

高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式有哪些高中正余弦定理数学公式正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。

保持清醒。

高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。

2、提高解选择题的速度、填空题的准确度。

高考数学选择题是知识灵活运用，解题要求是只要结果、不要过程。

因此，逆代法、估算法、特例法、排除法、数形结合法。

尽显威力。

12个选择题，若能把握得好，容易的一分钟一题，难题也不超过五分钟。

由于选择题的特殊性，由此提出解选择题要求“快、准、巧”，忌讳“小题大做”。

填空题也是只要结果、不要过程，因此要力求“完整、严密”。

5．5 正弦定理、余弦定理要点透视：1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．（1）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；（2）sin A ＝2a R ，sin B ＝2b R ，sin C ＝2c R： （3）sin A ：sin B ：sin C ＝a ：b ：c ．可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a ，b ，c 换成2R sin A ，2R sin B ，2R sin C 来解题．2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．3．要注意利用△ABC 中 A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式sin( B ＋C )＝sin A ，cos (B ＋C )=－sin A ，sin 2B C +＝cos 2A 等，进行三角变换的运用．4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：（1）根据题意画出示意图．（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．（4）给出答案．活题精析：例1．( 2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD 的边长是AB ＝2，BC ＝6，CD =DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．解：如图所示，连BD ，四边形ABCD 的面积S =ABD CDB S S + =21AB ·AD ·sin A +21BC ·CD sin C ， ∵ A ＋C =180°，∴ sin A = sin C ，于是 S =21(2×4＋4×6)·sin A =16sin A ． 在△ABD 中，BD 2=AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ．在△CBD 中，BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ．又cos A =－cos C , ⇒cos A =－21, ∵ A ∈(0, π), ∴ A =32π, sin A =23. ∴ S =16×23=83. 例2．（2004春北京卷）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及sin b B c 的值。

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

三角函数正弦与余弦的学习，在数学中只要记住相关的公式即可。

日常考试正弦和余弦的相关题目一般不会很难，是很多数学基础不是很牢的同学拿分的好题目。

但对于有些同学来说还是很难拿分，那是为什么呢？首先，我们要了解下正弦定理的应用领域在解三角形中，有以下的应用领域：（1）已知三角形的两角与一边，解三角形（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦正弦定理在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（其中R为三角形外接圆的半径）其次，余弦的应用领域余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求x边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。

正弦定理的变形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC;(2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; 在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解是唯一的；已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及“大边对大角，大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题(3)相关结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)c/sinC=c/sinD=BD=2R（R为外接圆半径）（4）设R为三角外接圆半径，公式可扩展为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即当一内角为90°时，所对的边为外接圆的直径。

灵活运用正弦定理，还需要知道它的几个变形sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2RasinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA（5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a正弦、余弦典型例题1．在△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA 的值为2．已知α为锐角，且，则α 的度数是（） A．30° B．45° C．60° D．90°3．在△ABC中，若，∠A，∠B为锐角，则∠C的度数是（） A．75° B．90° C．105° D．x0°4．若∠A为锐角，且，则A=（） A．15° B．30° C．45° D．60°5.在△ABC中，AB＝AC＝2，AD⊥BC，垂足为D，且AD＝，E是AC中点，EF⊥BC，垂足为F，求sin∠EBF的值。

正余弦定理和解三角形的实际应用要求层次重难点正余弦定理 C 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题解三角形C(一) 知识内容1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a . (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2.(勾股定理) (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； (3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sin A ＝cos B ＝a c，cos A ＝sin B ＝b c，tan A ＝a b. 2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边. (1)三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π.(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.2sin sin sin a b cR A B C===.(R 为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3.三角形的面积公式：(1)S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)； 例题精讲高考要求板块一：正弦定理和余弦定理正余弦定理和解三角形(2) S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3) S △＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；(4) S △＝2R 2sin A sin B sin C .(R 为外接圆半径) (5) S △＝4abcR； (6) S △＝()()()s s a s b s c ---；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)(7) S △＝r ·s . 4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C . (1)角与角关系：A +B +C = π；(2)边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a -b < c ，b -c < a ，c -a > b ； (3)边与角关系：正余弦定理. 5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. 6.推论：正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b cA B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+-222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-7.三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-， sincos ,cos sin 2222B C A B C A++== (二)主要方法：1.通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.2.利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系 .(三)典例分析：【例1】 已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=， 3,5a b ==，则BAC ∠=（ ）A ．30B ．150-C ．150°D ． 30或150°【变式】 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．【变式】 ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出 这个最大值.【变式】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2-c 2=ac -bc ， 求∠A 的大小及sin b Bc的值.【变式】 已知在ABC ∆中，a =45o B =，c =.【变式】 已知：,3,5,7ABC a b c ∆===中求：ABC ∆中的最大角.【变式】 已知△ABC 中，AB =1，BC =2，则求角C 的取值范围.【例2】 在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【变式】 在△ABC 中，若cos cos a A b B =，试判断此三角形的形状.【变式】 在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则判断△ABC 的形状.【例3】 若△ABC 的三条长分别是3，4，6，求它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比.【例4】 已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.【例5】 在△ABC 中，BC =a ,AC =b ,a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A +B )=1求：(1)角C 的度数；(2)AB 的长度； (3)△ABC 的面积.【变式】 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆【变式】C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【教师选做】证明海伦公式<教师备案>1.海伦公式的变形形式：①②③④⑤2.海伦公式的其他证明方法证一 勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S △ABC =12aha 入手，运用勾股定理推导出海伦公式.证明：如图ha ⊥BC ，根据勾股定理，得: 222222a a x a y hb y hc x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩x =2222a c b a +-， y =2222a c b a-+∴ S △ABC =12aha=12a此时S △ABC 为变形④，故得证.证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha. 斯氏定理:△ABC 边BC 上任取一点D ， 若BD=u ，DC=v,AD=t.则t 2 = 22b u cv uv a+-证明：由证一可知， u =2222a b c a -+，v =2222a b c a+-∴2ah = t 2 =224222222422b a b b c c a c b c a -+++--42222()4a b c a --∴ S △ABC =12aha =12a= 此时为S △ABC 的变形⑤，故得证.证三：余弦定理 即本题所采用证法. 证四：恒等式分析：考虑运用S △ABC =r p ，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式.恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么tan 2A · tan 2B + tan 2A · tan 2C + tan 2B · tan 2C = 1证明：如图，tan 2A = r y ① tan 2B = rz ②tan 2C = rx ③根据恒等式，得：1111tan tan tan tan tan .tan222222A B C A B C ++=⋅ ①②③代入，得： 3x y z xyzr r++=∴r2(x+y+z) = xyz ④如图可知：a ＋b-c = (x+z)＋(x+y)-(z+y) = 2x∴x =2a b c +-,同理：y =2b c a +- z =2a cb +-zy BC代入④，得： r 2 ·2a b c ++=()()()8a b c b c a a c b +-+-+-两边同乘以2a b c++，得：r 2·2()4a b c ++=()()()()16a b c a b c b c a a c b +++-+-+-两边开方，得： r ·2a b c ++左边r ·2a b c++= r ·p= S △ABC 右边为海伦公式变形①，故得证.证五：半角定理半角定理：tan2Atan 2Btan 2C证明：根据tan 2A=r y ，∴y ①同理z ②× x ③①×②×③,得：xyz∵由证一，x =2b a c +-=2b a c++-c = p-c y =2b a c -+=2b a c ++-a = p-az =2a b c -+=2b ac ++-b = p-b∴∴∴S △ABC = r ·故得证. 3.海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广.由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设p=2a b c d+++,则S 四边形=现根据猜想进行证明.证明：如图，延长DA ，CB 交于点E. 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3,∴△EAB ～△ECDCzy B∴f a e +=e f c +=bdEAB ABCD S S ∆四边形=222b d b -解得： e =22()b ab cd d b +- ①f =22()b ad bcd b+- ②由于S 四边形ABCD =222d b b -S △EAB将①，②跟b =2222()b d b d b +-代入公式变形④，得：∴S 四边形ABCD =2224d b b -2222224()e b e b f -+-=2224d b b -42222222222222224222222222()()()()()4[()]()()()()b ab cd d b b ab cd b d b b ad bc d b d b d b d b +-+-+-+-----=2224d b b -{}422222222222244()()[()()()]()b ab cd d b ab cd d b ad bcd b +--++--+- =2214()d b -22222222224()()[{}{}{}]ab cd d b ab cd d b ad bc +--++--+=2214()d b -22222222442222224()()(2)ab cd d b a b c d d b d b a d b c +--+++--- =2214()d b -222222222222224()()[()()ab cd d b b a b d c d d b a c +--+--+--+ =2214()d b -222222222()[4()()]d b ab cd c d b a -+-+--=1422222222(22)(22)ab cd c d b a ab cd d b a c +++--+-++- =22221[()()][()()]4a c b d b d a c +--+-- =1()()()()4a b c d a b d c a d c b b d c a ++-++-++-++- =()()()()p a p b p c p d ----所以，海伦公式的推广得证.4.海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍.【例6】 如图，四边形ABCD 内接于圆O 中，S ABCD =433,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形.(一) 知识内容解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果板块二：正余弦定理的实际应用dcbaOCA已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两解，如两边和一个非两边夹角．大致可以把解斜三角形用下面的表格来概括：(二)典例分析【例7】 如图所示,已知在梯形ABCD 中(//AB CD )，CD =2,AC 60o BAD ∠=,求梯形的高DE .【变式】 在△ABC 中，已知4=AB ，7=AC ，BC 边上的中线27=AD ，那么求BC 为多少.【变式】 在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD =5，求sin A 的值.【变式】 已知△ABC 中,a 、b 、c 为角A 、B 、C 的对边，且a +c =2b ,A –B =60o ,求sin B 的值.【例8】 如图，A ,B ,C ,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC =0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01km≈1.414≈2.449)【变式】 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.D【变式】 某观测站C 在A 城的南偏西20°方向，由A 城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C 处测得距C 为31km 的公路上B 处有1人沿公路向A 城以v =5km/h 的速度走了4h 后到达D 处，此时测得C 、D 间距离为21km.问这人以v 的速度至少还要走多少h 才能到达A 城.【教师选做】利用正余弦定理证明三角恒等式【例9】 在△ABC 中， 求证：22cos cos a b A B -+ +22cos cos b c B C -+ +22cos cos c a C A-+=0.【例10】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c , 证明：222sin()sin a b A B C c --=.【例11】 在△ABC 中，记BC =a , CA =b , AB =c ， 若22299190a b c +-=，则cot cot cot C A B +为多少.<教师备案>规律方法总结：1.要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解.2.两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式.3.记住一些结论：π,,,A B C A B C ++=均为正角，1sin 2S ab C =等.4.余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ⋅=.5.余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量.。