下载文档原格式
江西省百所重点中学2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷（理科）有答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数i iiz 2135+--=的模为A. 3B. 4C. 5D. 242. 已知集合{}()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--==>-+=222ln 1|,032|x x x y x N x x x M ，则()N M C R ⋃为A. )2,3[-B. ]3,2(-C. ()2,1)1,3[⋃-D. )2,1[-3. 在样本的频率分布直方图中，一共有()3≥n n 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余1-n 个小矩形面积和的0.25，且样本容量为100，则第3组的频数为A. 15B. 20C. 24D. 304. 设等比数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，143=S ，且6,3,8321++a a a 依次成等差数列，则31a a ⋅等于A. 4B. 9C. 16D. 255. 设变量y x ,满足约束条件2202400x y x y x m +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则“2≥m ”是“目标函数y x z 23-=的最大值不小于5”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设抛物线y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF|等于A. 32B. 34C. 4D.38 7. 某程序框图如下图所示，若输出的57=S ，则判断框内填A. 4>kB. 5>kC. 6>kD. 7>k8. 某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有A. 484种B. 552种C. 560种D. 612种9. 如图，已知多面体ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面ABC ∥平面DEFG ，平面BEF ∥平面ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则下列说法中正确的个数为①EF ⊥平面AE ； ②AE ∥平面CF ；③在棱CG 中存在点M ，使得FM 与平面DEFG 所成的角为4π； ④多面体ABC-DEFG 的体积为5。
江西省百所重点中学2014届下学期高三年级模拟考试数学试卷（文科） 有答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i 是虚数单位，则复数223⎪⎭⎫⎝⎛-i i 的虚部是A. 1B. -1C. 22-D. 222. 已知集合{}3,2,1,0,1,2--=M ，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-==13ln |x x y x N ，则N M ⋂为A. {}2,1,0B. {}2,1,0,1-C. {}0,1,2--D. {}3,2,1,03. 在样本的频率分布直方图中，一共有()3≥n n 个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余n －1个小矩形面积和的0.25，且样本容量为100，则第3组的频数为A. 15B. 20C. 24D. 304. 在区间[]4,1-内任取一个数x ，则4122>-x x 的概率是A.21 B.31 C.52D.53 5. 设等比数列{}n a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，143=S ，且6,3,8321++a a a 依次成等差数列，则31a a ⋅等于A. 4B. 9C. 16D. 256. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+0042022m x y x y x ，则“2≥m ”是“目标函数y x z 23-=的最大值不小于5”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内填A. 4>kB. 5>kC. 6>kD. 7>k8. 已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ，其中()πϕ2,0∈，若()|6|⎪⎭⎫⎝⎛≤πf x f 对R x ∈恒成立，且⎪⎭⎫⎝⎛2πf ()πf <，则()x f 的单调递增区间是A. ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππ B. ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππC. ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππD. ()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ,2 9. 设21F F 、分别为双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足||||212F F PF =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为A. 2B.35 C. 3 D. 410. 如图是一块不规则的铁皮，已知AB ⊥BC ，OA ∥BC ，AB=BC=2OA=4，曲线段OC 是以点O 为顶点，且开口向右的抛物线的一段，现用这块铁皮截出一块矩形铁皮，其中矩形的一对邻边分别在AB 、BC 上，且一个顶点P 落在曲线段OC 上，设点P 到直线AB 的距离为2+t ，所截矩形铁皮的面积为S ，则函数()t f S =的图象大致是第II 卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2014年江西省百所重点中学高考数学模拟试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知i是虚数单位，则复数（）2的虚部是（）A.1B.-1C.-2D.2【答案】C【解析】解：复数（）2====-1-2i．∴复数（）2的虚部是：-2．故选：C．直接利用复数代数形式的混合运算化简复数为a+bi的形式，即可求出复数的虚部．本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念的应用，考查计算能力．2.已知集合M=（-2，-1，0，1，2，3}，N={x|y=}，则M∩N为（）A.{0，1，2}B.{-1，0，1，2}C.{-2，-1，0}D.{0，1，2，3}【答案】A【解析】解：∵集合M=（-2，-1，0，1，2，3}，N={x|y=}={x|＞＞}={x|-1＜x＜3}，∴M∩N={0，1，2}．故选：A．利用对数函数的定义域求出集合N，由此利用交集的定义能求出M∩N．本题考查集合的交集的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的定义域的合理运用．3.在样本的频率分布直方图中，一共有m（m≥3）个小矩形，第3个小矩形的面积等于其余m-1个小矩形面积之和的，且样本容量为100，则第3组的频数是（）A.0.2B.25C.20D.以上都不正确【答案】C【解析】解：设第三个小矩形的频率为x，则其余m-1个小矩形对应的频率为4x和为1，求出第3小组的频率，利用频率乘以样本容量得到第3小组的频数．解决频率分布直方图有关的问题，一定要注意频率等于纵坐标乘以组距；各个小矩形的面积是相应范围内的数据频率．4.在区间[-1，4]内任取一个数x，则≥的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：不等式≥，可化为x2-x-2≤0，则-1≤x≤2，∴所求概率为=故选：D．根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由不等式≥，则有-1≤x≤2，并求出构成的区域长度，再求出在区间[-1，4]上任取一个数x构成的区域长度，求两长度的比值即可．本题主要考查概率的建模和解模能力，本题是长度类型，思路是先求得试验的全部构成的长度和构成事件的区域长度，再求比值．5.设等比数列{a n}，S n是数列{a n}的前n项和，S3=14，且a l+8，3a2，a3+6依次成等差数列，则a l•a3等于（）A.4B.9C.16D.25【答案】C【解析】解：由求和公式可得S3=a1+a2+a3=14，①由等差中项可得a1+8+a3+6=6a2，②由①可得a1+a3=14-a2，代入②可得14-a2+14=6a2，化简可得7a2=28，解得a2=4，∴a1•a3==42=16．故选：C．由题意可得S3=a1+a2+a3=14，①a1+8+a3+6=6a2，②，可解得a2=4，而a1•a3=，计算可得．本题考查等比数列的性质，涉及等差中项的定义，属中档题．6.设变量x，y满足约束条件，则“m≥2”是“目标函数z=3x-2y的最大值不小于5”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件A【解析】解：作出不等式对应的可行域如图，当取点C（m，2-2m）时，z取最大值为7m-4，由7m-4≥5得m≥，故“m≥2”是“目标函数z=3x-2y的最大值不小于5”充分不必要条件，故选A．作出不等式组对应的平面区域，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．本题主要考查充分条件和必要条件的有意义，利用线性规划的知识是解决本题的关键．7.某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A.k＞4？B.k＞5？C.k＞6？D.k＞7？【答案】A【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S是否继续循环循环前11/第一圈24是第二圈311是第三圈426是第四圈557否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．8.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，且f（）＜f（π），则f（x）的单调递增区间是（）A.[kπ+，kπ+]（k∈Z）B.[kπ，kπ+]（k∈Z）C.[kπ-，kπ+]（k∈Z）D.[kπ-，kπ]（k∈Z）【答案】C【解析】解：由f（x）≤|f（）|⇒f（）=±1⇒sin（φ+）=±1，（1）又由f（）＜f（π）⇒sin（π+φ）＜sin（2π+φ）⇒2sinφ＞0，（2）∵φ∈（0，2π），由（1）（2）可得φ=，∴f（x）=sin（2x+），由2k，k∈Z得：f（x）的单调递增区间是[kπ-，kπ+]，k∈Z．于是可求得增区间为C．故选：C．通过函数的最值，以及不等式求出φ的值，推出函数的解析式，然后求出单调增区间即可．本题考查函数的解析式的求法，三角函数的单调性的判断，考查计算能力．9.设F1、F2分别为双曲线＞，＞的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得=；∴e====．故选：D．利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进查，属中档题．10.如图是一块不规则的铁皮，已知AB⊥BC，OA∥BC，AB=PC=2OA=4，曲线段OC是以点O为顶点，且开口向右的抛物线的一段，现用这块铁皮截出一块矩形铁皮，其中矩形的一对邻边分别在AB、BC上，且一个顶点P落在曲线段OC上，设点P到直线AB的距离为t+2，所截矩形铁皮的面积为S，则函数S=f（t）的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：以O为原点，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，令抛物线方程为y2=2px，（p＞0）∵AB⊥BC，OA∥BC，AB=PC=2OA=4，∴C（4，2），把C（4，2）代入抛物线方程，得p=，∴抛物线方程为y2=x，由题意得P（t2，t），（0≤t＜2），∴S=（4-t2）（2+t）=-t3-2t2+4t+8，∴S′=-3t2-4t+4，解S′=0，得t=，当t∈（0，）时，S′＞0；当t∈（，2）时，S′＜0，∴当t=时，S取最大值为．又当t=0时，y=8，故选：B．以O为原点，OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，由已知条件解得抛物线方程为y2=x，由题意得S=（4-t2）（2+t），由此利用导数性质能求出函数S=f（t）的大致图象．本题考查函数图象的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知＜＜，3sin2α=2cosα，则cos（α-π）= ______ ．【答案】解：∵＜＜，3sin2α=2cosα，∴6sinα•cosα=2cosα，解得sinα=，∴cosα=-．故cos（α-π）=cos（π-α）=-cosα=，故答案为．由条件利用二倍角公式求得sinα=，再利用同角三角函数的基本关系求出cosα的值，再利用诱导公式求出cos（α-π）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式和二倍角公式的应用，属于中档题．12.设f（x）=，，＜，则f（6）的值为______ ．【答案】7【解析】解：∵f（x）=，，＜，∴f（6）=f[f（6+5）]=f[f（11）]=f（11-3）=f（8）=f[f（8+5）]=f[f（13）]=f（10）=10-3=7．故答案为：7．利用函数递推关系式，化简f（6），转化到x∈[10，+∞），代入解析式求解函数的值．本题考查函数的递推关系式，函数的值的求法，基本知识的考查．13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是______ ．【答案】2+π【解析】解：由三视图知该几何体是2个相同的直三棱柱和半个圆柱组合而成，其中直三棱柱的底面积为、高为2，圆柱的底面半径为1、高为2，则该几何体的体积V=2××2+2×=2+π．故答案为：2+π由三视图知该几何体是2个相同的直三棱柱和半个圆柱组合而成，其中直三棱柱的底面积为、高为2，圆柱的底面半径为1、高为2，分别代入棱柱和圆柱的体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是14.设抛物线x 2=8y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的倾斜角等于60°，那么|PF|= ______ ． 【答案】【解析】解：在△APF 中，|PA|=|PF|，|AF|sin 60°=4， ∴|AF|= ，又∠PAF=∠PFA=30°，过P 作PB ⊥AF 于B ，则|PF|=°=°=．故答案为：．利用抛物线的定义，|PF|=|PA|，过P 作PB ⊥AF 于B ，由|PF|=°，即可得出结论． 本题考查抛物线的简单性质，考查转化思想，考查解三角形的能力，属于中档题．15.平面上的向量 ， 满足，且 ，若向量，则的 最大为 ______ ．【答案】【解析】解：向量， 满足，且 ∵向量设， ，则x 2+y 2=4则===当x =0时 为最大值 故答案为：设 ， ，则x 2+y 2=4，要求| |的最小值，可先表示| |= ，把已知向量 代入可转化为关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可求 求向量的模一般有两种情况：若已知向量的坐标，或向量起点和终点的坐标，则模时，主要是根据向量数量的数量积的性质进行计算，本题主要考查的是第二种方法的应用．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=1，数列{b n}满足b n+log2a n=0，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）由S n+a n=1，S n-1+a n-1=1，两式相减得S n-S n-1+a n-a n-1=0（n≥2），又由S n-S n-1=a n，可得a n=a n-1（n≥2），根据s1+a1=2a1=1，得a1=，所以a n=；（2）∵b n+log2a n=0，a n=，∴b n=-log2a n==n，∴==-，∴T n=1--+-+…+-=1-=【解析】（1）利用S n-S n-1=a n（n≥2），求通项公式；（2）利用裂项相消法求和==-．本题主要考查数列通项公式及数列前n项和的求法---公式法及裂项法，属中档题．17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2-b2=acsin B．（1）求角B的大小；（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．【答案】解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2-b2=2accos B，且a2+c2-b2=acsin B，∴2accos B=acsin B，∴tan B=，又∵0＜B＜π，∴B=；（2）∵A+B+C=π，∴C=π-A-B=-A，由正弦定理，得===2，∴c=2sin C=2sin（-A），∵＜A＜，∴＜-A＜．∴＜sin（-A）＜1，∴c∈（1，2）．【解析】（1）利用余弦定理列出关系式，与已知等式结合整理后求出tan B的值，根据B为三角形内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数；（2）由三角形内角和定理列出关系式，将B度数代入表示出C，根据b与sin B的值，利用正弦定理表示出c，根据A的范围利用正弦函数值域即可确定出c的范围．此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．18.某中学高三（10）班有女同学51名，男同学17名，“五四”期间该班班主任按分层抽样的分法组建了一个由4名同学组成的“团的知识”演讲比赛小组．（Ⅰ）演讲比赛中，该小组决定先选出两名同学演讲，选取方法是：先从小组里选出1名演讲，该同学演讲完后，再从小组内剩下的同学中选出一名同学演讲，求选中的两名同学恰有一名女同学的概率；（Ⅱ）演讲结束后，5位评委给出第一个演讲同学的成绩分别是：69、71、72、73、75分，给出第二个演讲同学的成绩分别是：70、71、71、73、75分，请问哪位同学的演讲成绩更稳定，并说明理由．【答案】解：（Ⅰ）由题意知：P==．设演讲比赛小组中有x名男同学，则6817=4x，∴x=1，∴演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．把3名女生和1名男生分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种．其中恰有一名女同学的情况有6种，所以选出的两名同学恰有一名女同学的概率为P==．（7分）（Ⅱ）-x1=51×（69+71+72+73+75）=72，-x2=51×（70+71+71+73+75）=72，=51×[（69-72）2+（71-72）2+（72-72）2+（73-72）2+（75-72）2]=4，=51×[（70-72）2+（71-72）2+（71-72）2+（73-72）2+（75-72）2]=3.2．因此第二个演讲的同学成绩更稳定．（12分）【解析】（Ⅰ）由题意推导出演讲小组中男同学有1人，女同学有3人．由此能求出选出的两名同学恰有一名女同学的概率．（Ⅱ）由已知条件分别求出两个演讲的同学的方差，由此能求出哪位同学的成绩更稳定．本题考查概率的求法，考查哪位同学的成绩更稳定的求法，是中档题，解题时要注意列举法的合理运用．19.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠ABC=60°，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a，点M在线段EF上．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当EM为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论．【答案】解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=a，∠ABC=60°∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA=∠DAC=30°，∠DCB=120∴∠ACB=90，∴AC⊥BC又∵平面ACF⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）当EM=时，AM∥平面BDF．在梯形ABCD中，设AC∩BD=N，连接FN，则CN：NA=1：2．∵EM=而EF=AC=，∴EM：FM=1：2．∴EM∥CN，EM=CN，∴四边形ANFM是平行四边形．∴AM∥NF．又NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF．∴AM∥平面BDF．【解析】（Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故应有EM：FM=1：2本题考查线面位置关系及判定，考查空间想象能力，计算能力，转化能力．20.已知A、D分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点和上顶点，点P是线段AD 的中点，点F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且|F1F2|=2，•=-．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS、BS与直线x=分别交于M、N两点，求|MN|的最小值．【答案】解：（1）由题意知：A（-a，0），D（0，b），2c=2，a2-b2=c2．（1分）∴P（-，），c=，F1（-，0），F2（，0），（2分）∴=（-+，-），=（+，-），=-3+=-，∴a2+b2=5．（4分）∴a2=4，b2=5，∴椭圆C的方程为．（6分）（2）由题意知直线AS的斜率k存在，且k＞0，∴直线AS的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，记S（x1，y1），则，，，∴直线BS的方程为，由，得M（，k），k＞0，由，得N（，-），k＞0．（10分）∴|MN|=|+|=+≥．∴|MN|的最小值为．（13分）【解析】（1）由题意知：A（-a，0），D（0，b），2c=2，a2-b2=c2．从而得到P（-，），c=，-3+=-，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线AS的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，直线BS的方程为，由此求出M（，k），N（，-），k＞0，从而能求出|MN|的最小值．本题考查椭圆方程的求法，考查线段长的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想和均值定理的合理运用．21.已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．（1）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值1，求a的值；（2）若函数G（x）=+ag（x）+在区间[1，+∞）上为单调函数，求a的取值范围．【答案】解：（1）∵F（x）=ax-ln x（x＞0），∴F′（x）=a-=（x＞0）．①当a≤0时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值．②当a＞0时，F′（x）=0⇒x=．对x∈（0，），F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上单调递减；对x∈（，+∞），F′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上递增，∴F（x）在x=处有极小值，即F（）=1-ln，∴1-ln=1⇒a=1，综上a=1；（2）由题意得G（x）=2x+-，函数G（x）在[1，+∞）上是单调函数，①若G（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则G′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥-2x2在[1，+∞）恒成立，设h（x）=-2x2，∵h（x）在[1，+∞）上递减，∴h（x）max=h（1）=0，∴a≥0；②若G（x）为[1，+∞）上的单调减函数，则G′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，即a≤-2x2在[1，+∞）上恒成立，不可能，∴a的范围是[0，+∞）．【解析】（1）∵F（x）=ax-ln x（x＞0），∴F′（x）=a-=（x＞0），讨论①当a≤0时，②当a＞0时的情况，从而求出a的值；（2）由题意得G（x）=2x+-，函数G（x）在[1，+∞）上是单调函数，分情况讨论①若G（x）为[1，+∞）上的单调增函数，则G′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，得a≥0；②若G（x）为[1，+∞）上的单调减函数，得a≤-2x2在[1，+∞）上恒成立，不可能，从而求出a的范围是[0，+∞）．本题考查了函数的单调性，导数的应用，求参数的范围，是一道综合题．。
2014年(全国卷II)(含答案)高考文科数学2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ）A. ∅B. {}2C. {0}D. {2}- 2.131i i +=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ）A ．p 是q 的充分必要条件B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ）A. 1B. 2C. 3D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n +D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）A.2717B.95C.2710 D.3111.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2,2⎡-⎣D.22⎡⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________.16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB .（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N .（1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-.（1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈. （1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数1()||||(0)f x x x a a a =++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ．考点：集合的运算．2．B【解析】 试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i i i ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件．4．A【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+． 【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和．6．C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图．7．C【解析】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==． 考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．8．D【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =．考点：程序框图．9．B【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122z y x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值．10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=． x yx-3y+3=0x+y-1=0x-y-1=0–1–2–3–41234–1–2–3–41234A O考点：线性规划．10．C【解析】 试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为03k tan 303==，故直线AB 的方程为33y (x )34=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++=168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．11．D【解析】 试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故02sin 452OA OM OM ==1≤，所以2OM ≤2012x +，解得011x -≤≤． x yA 11OM N考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 3=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 1366PA AB AD AB =⋅⋅=. 由34V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
2014届全国100所名校最新高考冲刺卷·文科综合政治部分参考答案(三)12．C解答本题分为三步：先计算去年生产一件A商品的价值为3000÷50=60(元)。
然后计算今年A 商品的价值：甲企业生产的总件数为50×(1+20％)=60(万件)；今年甲企业的价值总量是3000X(1—20％)一2400(万元)，所以今年一件A商品的价值为2400--60=40(元)。
最后计算今年A 商品社会劳动生产率提高的幅度。
假设今年A商品社会劳动生产率改变的幅度为X，则有60--(1+X)一40，解得X一50％。
故C符合题意。
23．C“战争起源于人之思想”夸大了意识的作用．实质是主观唯心主义，A、B、D不选；“务需于人之思想中筑，起保卫和平之屏障”启示人们要正确发挥意识的能动作用，C符合题意。
38．(1)①推进文化创意和设计服务等新型、高端服务业发展，促进与实体经济深度融合，优化产业结构；培育国民经济新的增长点．提升国家文化软实力和产业竞争力；增强我国自主创新能力，促进经济结构调整和发展方式转变；带动就业，满足多样化消费需求，提高人民生活质量。
(每点2分，共8分。
考生如有其他答案，言之有理可酌情给分)②推动消费者转变消费观念，扩大文化消费规模；提高居民收入水平，增强居民的文化消费能力；培育文化创意和设计服务人才．提供适应市场需求的文化创新与设计的产品。
(每点2分，共6分。
考生如有其他答案．言之有理可酌情给分)(2)①科学技术的进步是推动文化发展的重要因素。
②大众传媒具有文化传递、沟通、共享的强大功能，是现代文化传播的重要手段。
③传统建筑是凝固的艺术，是展现传统文化的重要标声。
④文化与经济相互交融。
⑤旅游是文化传播的重要途径。
(每点3分，答出任意4点得12分。
考生如有其他答案，言之有理可酌情给分)39．(1)①矛盾具有普遍性和客观性。
要敢于面对和采取正确措施解决互联网金融存在的失误和风险。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。
2014年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知复数，则z在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：===，则此复数在复平面上对应的点为（，），在第四象限，故选D．由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以2-i，再进行计算求出此复数对应的点得坐标，即可得到答案．本题考查复数代数形式的乘除运算和复数的几何意义，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭复数，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握．2.已知全集U={-2，-1，0，1，2，3}，M{-1，0，1，3}，N{-2，0，2，3}，则（∁U M）∩N为（）A.{-1，1}B.{-2}C.{-2，2}D.{-2，0，2}【答案】C【解析】解：∵U={-2，-1，0，1，2，3}，M{-1，0，1，3}，∴∁U M={-2，2}，又N={-2，0，2，3}，∴（∁U M）∩N={-2，2}，故选C．依题意，可求得∁U M={-2，2}，从而可求得（∁U M）∩N．本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．3.下列说法正确的是（）A.命题“存在x∈R，x2+x+2013＞0”的否定是“任意x∈R，x2+x+2013＜0”B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C.函数f（x）=在其定义域上是减函数D.给定命题p、q，若“p且q”是真命题，则￢p是假命题【答案】D【解析】解：对于A，命题“存在x∈R，x2+x+2013＞0”的否定是“任意x∈R，x2+x+2013≥0”，∴A错误；对于B，两个三角形面积相等，不能得出这两个三角形全等，∴必要条件不成立，∴B错误；对于C，函数f（x）=在其定义域的两个区间（-∞，0）和（0，+∞）上分别是减函数，∴C错误；对于D，给定命题p、q，若“p且q”是真命题，∴p、q都是真命题，∴￢p是假命题，∴D正确．故选：D．A中，写出命题p的否定￢p，判定A错误；B中，由两三角形面积相等，不能推出两三角形全等，判定B错误；C中，函数f（x）在其定义域的两个区间上分别是减函数，判定C错误；D中，由“p且q”是真命题，得出p、q都是真命题，从而得￢p是假命题，判定D正确．本题通过命题真假的判定，考查了命题的否定、充分与必要条件，函数的单调以及复合命题的真假性问题，是综合性题目．4.已知函数f（x）=cosωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=sin（ωx+）的图象，只要将y=f（x）的图象（）A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=cosωx（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，∴由得ω=2，∴函数f（x）=cos2x，g（x）=sin（2x+）∴要得到函数g（x）=sin（2x+）的图象，由于sin（2x+）=cos（2x+-）=cos（2x-），得到函数g（x）=cos（2x-）即可，∴需要把函数f（x）=cos2x图象向右平移个单位长度，故选B．根据最小正周期为π，可以求出ω的值，然后再利用图象平移求解．本题考查了余弦型函数的性质、诱导公式及图象变换，关键是用诱导公式把两个函数的名称化成一致的．5.一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是（）A.2πB.4πC.8πD.16π【答案】C【解析】解：由三视图知：几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为2，底面为等腰直角三角形，如图：SA⊥平面ABC，SA=2，AC的中点为D，在等腰直角三角形SAC中，取O为SC的中点，∴OS=OC=OA=OB，∴O为三棱锥外接球的球心，R=，∴外接球的表面积S=4π×=8π．故选：C．几何体为三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为等腰直角三角形，取O为SC的中点，可证OS=OC=OA=OB，由此求得外接球的半径，代入球的表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，判断几何体的特征性质及数据所对应的几何量是关键．6.方程（x2+y2-2x）=0表示的曲线是（）A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线【答案】D【解析】解：由题意，（x2+y2-2x）=0可化为x+y-3=0或x2+y2-2x=0（x+y-3≥0）∵x+y-3=0在x2+y2-2x=0的上方，∴x2+y2-2x=0（x+y-3≥0）不成立，∴x+y-3=0，∴方程（x2+y2-2x）=0表示的曲线是一条直线．故选：D．将方程等价变形，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．7.已知函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f（x）=2|x|-1，则函数F（x）=f（x）-|lgx|的零点个数是（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】解：∵函数F（x）=f（x）-|lgx|的零点，即为函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象的交点，又∵函数y=f（x）是周期为2的周期函数，且当x∈[-1，1]时，f（x）=2|x|-1，在同一坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，如下图所示：由图可知：两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象共有10个交点，故函数F（x）=f（x）-|lgx|有10个零点，故选：B．在坐标系中画出两个函数y1=|lgx|，y2=f（x）的图象，分析两个图象交点的个数，进而可得函数F（x）=f（x）-|lgx|的零点个数．本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．8.已知函数y=f（x）对任意的x∈R满足2x f′（x）-2x f（x）ln2＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A.2f（-2）＜f（-1）B.2f（1）＞f（2）C.4f（-2）＞f（0）D.2f（0）＞f（1）【答案】A【解析】解：构造函数g（x）=，则g′（x）=′，∵x∈R满足2x f′（x）-2x f（x）ln2＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在R上单调递增，则g（-2）＜g（-1），g（1）＜g（2），g（-2）＜g（0），g（0）＜g（1），即＜，＜，＜，＜，即2f（-2）＜f（-1），2f（1）＜f（2），4f（-2）＜f（0），2f（0）＜f（1），故A正确．故选：A．根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．9.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF的动点，FM=x，过点M、直线AB的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V（x），则函数V（x）的大致图象是（）A. B. C.D.【答案】C【解析】解：如图：（1）当＜＜时，过点M、直线AB作平面交CC1，DD1于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，此时，截面下面那部分是三棱矩ADQ-BCP，∵FM=CM1=x，如图：B1C=，△BB1M1∽△PM1C，由相似比得，，，∴CP=，∴三棱矩ADQ-BCP的体积V（x）=S△BCP•AB==；（2）当＜＜时，过点M、直线AB作平面交B1C1，A1D1于点P、Q，则四边形ABPQ为矩形，此时，截面下面那部分是四棱矩ADQA1-BCPB1，∵FM=x，由相似比知C1P=，∴四棱矩ADQA1-BCPB1的体积V（x）==．＜∴V（X）=．＜＜由解析式，知V（x）的图象为C．故选：C．本题关键是理解，体积V（x）的变化是随变x的变化而怎样变化的，可以找列出V关于x的关系式，利用相似比就可以找到它们的关系，从而得到答案，当然此题也可以从体积的变化快慢来理解得到答案．本题考查空间相象能力，函数思想，关键是要求理解变量与变量之间的关系．属于较难题．10.过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2-，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：设右焦点为F′，则∵=2-，∴+=2，∴E是PF的中点，∴PF′=2OE=a，∴PF=3a，∵OE⊥PF，∴PF′⊥PF，∴（3a）2+a2=4c2，∴e==，故选：C．设右焦点为F′，由=2-，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.若不等式x2+2x+2＞|a-2|对于一切实数x均成立，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（1，3）【解析】解：∵函数y=x2+2x+2的最小值为1，∴不等式x2+2x+2＞|a-2|对于一切实数x均成立，则|a-2|＜1，∴1＜a＜3，∴实数a的取值范围是（1，3）．故答案为：（1，3）．构造函数y=x2+2x+2，由二次函数的性质，可以求出函数的最小值，根据不等式x2+2x+2＞|a-2|对于一切实数x均成立，可得|a-2|＜1，即可得到a的取值范围，进而得到答案．本题考查的知识点函数恒成立问题，其中根据二次函数的性质得到函数y=x2+2x+2的最小值是解答本题的关键．12.已知角α（-π＜α＜0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则cos（+α）的值是______ ．【答案】【解析】解：角α（-π＜α＜0）的终边与单位圆交点的横坐标是，则角α（-π＜α＜0）的终边与单位圆交点的纵坐标是-，∴cosα=，sinα=-，则cos（+α）=-sinα=，故答案为：．由题意可得角α的终边与单位圆交点的纵坐标是-，由此求得cosα和sinα的值，再根据cos（+α）=-sinα，计算求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于中档题．13.如果执行如图的程序框图，那么输出的值是______ ．【答案】-【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求S=cos+cos+cosπ+…+cos的值，∵跳出循环的n值为2014，∴输出S=cos+cos+cosπ+…+cos，又cos+cos+cos+cos+cos+cos=0，∴输出S=cos+cos+cosπ+cos=--1=-．故答案为：-．的功能是求S=cos+cos+cosπ+…+cos的值，根据条件判断跳出循环的n值，利用余弦函数的周期性求输出S的值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．14.观察下列等式23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，…，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m等于______ ．【答案】10【解析】解：由题意可得第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和，设第n行的最后一个数为a n，则有a2-a1=11-5=6=2×（1+2）=1×2+4，a3-a2=19-11=8=2×（2+2）=2×2+4，a4-a3=29-19=10=2×（3+2）=3×2+4，…a n-a n-1=2（n-1+2）=（n-1）×2+4，以上（n-1）个式子相加可得a n-a1=n2+3n-4故a n=n2+3n+1，即n2+3n+1=109解得n=9．∴m=n+1=9+1=10故答案为：10．可得规律：第n行的左边是m3，右边是m个连续奇数的和，设第n行的最后一个数为a n，累加可得a n，本题考查类比推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．15.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y=f（x），则对函数y=f（x）有下列判断：①函数y=f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x-2）；③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数．其中判断正确的序号是______ ．【答案】①②④【解析】解：当-2≤x≤-1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当-1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①根据图象的对称性可知函数y=f（x）是偶函数，∴①正确．②由图象即分析可知函数的周期是4．∴②正确．③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递增，∴③错误．④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确．故答案为：①②④．根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.某公司生产产品A，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工他们生产产品A为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算甲生产一件产品A，给工厂带来盈利不小于30元的概率；（2）若甲一天能生产20件产品A，乙一天能生产15件产品A，估计甲乙两人一天生产的35件产品A中三等品的件数．【答案】解：（1）甲生产一件产品A，三等品的件数为3+7=10，此时给工厂带来盈利小于30元的概率为，则给工厂带来盈利不小于30元的概率为P=1-=．（2）估计甲一天生产的20件产品A中有20×=2件三等品，估计乙一天生产的15件产品A中有15×=3件三等品，所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A中共有5件三等品．【解析】（1）根据古典概型的概率公式进行求解即可．（2）根据条件求出甲乙两人一天内生产的三等品的件数即可得到结论．本题主要考查统计与概率的应用，比较基础．17.已知公比不为1的等比数列{a n}的首项a1=，前n项和为S n，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列．（1）求等比数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N+，在a n与a n+1之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）∵a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，∴2（a5+S5）=（a4+S4）+（a6+S6）…（2分）即2a6-3a5+a4=0，∴2q2-3q+1=0，∵q≠1，∴，…（4分）所以等比数列{a n}的通项公式为；…（6分）（2），…（9分）∴数列{b n}为等比数列，∴．…（12分）【解析】（1）根据a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，列出方程，求出公比，得到通项公式；（2）由等差数列的性质求出，利用等比数列的前n项和公式求出数列{b n}的前n项和T n．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式及性质的应用，属于一道中档题．18.如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2．（1）求五棱锥A′-BCDFE的体积；（2）在线段A′C上是否存在一点M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求A′M；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）连接AC，设AC∩EF=H，由ABCD是正方形，AE=AF=4，得H是EF的中点，且EF⊥AH，EF⊥CH，从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，∴EF⊥平面A′HC，从而平面A′HC⊥平面ABCD，…（2分）过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD．…（4分）∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，得到：A′H=2，CH=4，∴cos∠A′HC==，∴HO=A′H•cos∠A′HC=，A′O=，∴五棱锥A′-BCDFE的体积V=×（62-×4×4）×=；…（6分）（2）线段A′C上存在一点M，使得BM∥平面A′EF，A′M=．…（7分）证明：∵A′M==A′C，HO=HC，∴OM∥A′H，∴OM∥平面A′EF，…（9分）又BD∥EF，∴BD∥平面A′EF，…（10分）∴平面MBD∥平面A′EF，…（11分）由BM在平面MBD内，∴BM∥平面A′EF．…（12分）【解析】（1）连接AC，设AC∩EF=H，由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱锥A′-BCDFE的体积．（2）线段A′C上存在一点M，使得BM∥平面A′EF，A′M=．证明平面MBD∥平面A′EF，即可得出结论．本题考查五棱锥的体积的求法，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．19.如图已知△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，点M是边BC上的动点，动点N满足∠MAN=30°（点A，M，N按逆时针方向排列）．（1）若=2，求BN的长；（2）若•=3，求△ABN面积的最大值．【答案】解：（1）由=2，得点N在射线AC上，AN=4，BN2=1+16-2×1×4×cos120°=21，即BN=；（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，∵△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，∴°=°，得：AM=，又∠MAN=30°，=3，∴AM•AN•cos30°=3，即，∴△ABN的面积S=°=，即S==+．（其中：sinφ=，cosφ=（其中φ为锐角），∴当2x-φ=90°时，△ABN的面积最大，最大值是．【解析】（1）由=2，得点N在射线AC上，AN=4，再利用余弦定理即可得出；（2）设∠BAM=x，则∠CAM=120°-x，由于△ABC的面积等于△ABM与△ACM面积的和，可得AM=，已知∠MAN=30°，=3，利用数量积可得：，可得△ABN的面积S=°，再利用倍角公式、两角和差的正弦公式及其单调性即可得出．本题综合考查了余弦定理、两角和差的正弦余弦公式、倍角公式、三角形的面积公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，左、右顶点分别为A，B，过点F 且倾斜角为的直线l交椭圆于C，D两点，椭圆C的离心率为，•-•=-．（1）求椭圆C的方程；（2）若P1，P2是椭圆上不同两点，P1，P2⊥x轴，圆R过点P1，P2，且椭圆上任意一点都不在圆R内，则称圆R为该椭圆的内切圆．问椭圆C是否存在过点F的内切圆？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）因为离心率为，所以a=2b，c=，所以椭圆方程可化为：，直线l的方程为y=x+，…（2分）由方程组，得：，即，…（4分）设C（x1，y1），D（x2，y2），则，…（5分）又=（x1+a，y1）•（x2+a，y2）-（x1-a，y1）•（x2-a，y2）=2a（x1+x2），∴4b•（-）=-，解得b=1，∴椭圆方程是．…（7分）（2）由椭圆的对称性，可以设P1（m，n），P2（m，-n），点R在x轴上，设点R（t，0），则圆R的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点R距离的最小值是|P1R|，设点M（x，y）是椭圆C上任意一点，则|MR|2=（x-t）2+y2=，…（9分）当x=m时，|MR|2最小，∴m=-=，①…（10分）又圆R过点F，所以（-）2=（m-t）2+n2，②…（11分）点P1在椭圆上，∴，③…（12分）由①②③解得：t=-或t=-，又t=-时，m=＜，不合题意，综上：椭圆C存在符合条件的内切圆，点R的坐标是（-，）．…（13分）【解析】（1）由离心率为，得a=2b，c=，直线l的方程为y=x+，由方程组，得，由此利用已知条件能求出椭圆方程．（2）由椭圆的对称性，设P1（m，n），P2（m，-n），点R在x轴上，设点R（t，0），圆R的方程为：（x-t）2+y2=（m-t）2+n2，由此利用内切圆定义结合已知条件能求出椭圆C存在符合条件的内切圆，点R的坐标是（-，）．本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的内切圆是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=sinx-ax-bxcosx（a∈R，b∈R）．（1）若b=0，讨论函数f（x）在区（0，π）上的单调性；（2）若a=2b且a≥，对任意的x＞0，试比较f（x）与0的大小．【答案】解：（1）b=0时，f（x）=sinx-ax，则f′（x）=cosx-a，当a≥1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递减；当a≤-1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（0，π）上单调递增；当-1＜a＜1时，存在θ∈（0，π），使得cosθ=a，即f（θ）=0，①x∈（0，θ）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，θ）上单调递增，②x∈（θ，π）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（θ，π）上单调递减．（2）a=2b时，f（x）=sinx-x（2+cosx），猜测f（x）＜0恒成立，证明：f（x）＜0等价于＜，令g（x）=，则g（x）==-+，当，即a≥时，g′（x）≤0，g（x）在区间（0，+∞）上单调递减，所以当x＞0时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜0恒成立．【解析】（1）问中，分a≥1，a≤-1，-1＜a＜1进行讨论；（2）中引进新函数g（x），将问题转化为求新函数的单调性问题．本题属于利用导数求函数的单调性问题，解题过程中用到了分类讨论思想，转化思想．。
仿真模拟(二)【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)题号12345678910答案一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合S＝{1,2}，集合T＝{a}，∅表示空集，如果S∪T＝S，那么a的值是( ) A．∅B．1C．2 D．1或22．如图，在边长为a的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m，n，则图形Ω面积的估计值为( )A.manB.namC.ma2nD.na2m3．一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为( )A．2 B．3C.12 D.134．已知a，b是平面向量，若a⊥(a－2b)，b⊥(b－2a)，则a与b的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是半径为2的半圆，俯视图是半径为2的圆，则该几何体的体积等于( )A.4π3B.8π3C.16π3 D. 32π36．已知常数a ，b ，c 都是实数，f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx －34的导函数为f ′(x )，f ′(x )≤0的解集为{x |－2≤x ≤3}，若f (x )的极小值等于－115，则a 的值是( )A ．－8122 B.13C ．2D ．57．已知⊙P 的半径等于6，圆心是抛物线y 2＝8x 的焦点，经过点M (1，－2)的直线l 将⊙P 分成两段弧，当优弧与劣弧之差最大时，直线l 的方程为( )A ．x ＋2y ＋3＝0B ．x －2y －5＝0C ．2x ＋y ＝0D ．2x －y －5＝08．已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则f x 2－f x 1x 2－x 1＜0.如果f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝34，4f (log 18x )＞3，那么x 的取值X 围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 9．已知函数①f (x )＝x 2；②f (x )＝e x；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝cos x ．其中对于f (x )定义域内的任意一个x 1都存在唯一的x 2，使f (x 1)f (x 2)＝1成立的函数是( )A ．①B ．②C ．②③D ．③④10．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有a n ＋T ＝a n 成立，则称数列{a n }为周期数列，周期为T .已知数列{a n }满足a 1＝m (m ＞0)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n －1，a n ＞1，1a n，0＜a n ≤1，则下列结论中错误的是( )A ．若m ＝45，则a 5＝3B ．若a 3＝2，则m 可以取3个不同的值C ．若m ＝2，则数列{a n }是周期为3的数列D ．∃m ∈Q 且m ≥2，使得数列{a n }是周期数列第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)题 号 第Ⅰ卷 第Ⅱ卷二 16 17 18 19 20 21 总 分 得 分二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．已知sin α－3cos α＝0，则sin 2αcos 2α－sin 2α＝________. 12．如果执行下列程序框图，那么输出的S ＝________.13．一次射击训练，某小组的成绩只有7环、8环、9环三种情况，且该小组的平均成绩为8.15环，设该小组成绩为7环的有x 人，成绩为8环、9环的人数情况见下表：环数(环) 8 9 人数(人)78那么x ＝________.14．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，c b ＝12＋3，则tan B 的值等于________．15．已知F 1，F 2是双曲线x 2a2－y 2＝1的两个焦点，点P 在此双曲线上，PF 1→·PF 2→＝0，如果点P 到x 轴的距离等于55，那么该双曲线的离心率等于________． 三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3＋3cos ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．17．(本小题满分12分)某高校组织自主招生考试，其有2 000名学生报名参加了笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[195,205)，第二组[205,215)，……，第八组[265,275)．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)从这2 000名学生中，任取1人，求这个人的分数在255～265之间的概率约是多少？ (2)求这2 000名学生的平均分数；(3)若计划按成绩取1 000名学生进入面试环节，试估计应将分数线定为多少？18．(本小题满分12分)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E、F分别为棱PC，CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面APD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)在棱PC上是否存在一点M，使得M到P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．19．(本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{a n}，a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知数列{b n}的通项公式是b n＝2n－1，集合A＝{a1，a2，…，a n，…}，B＝{b1，b2，b3，…，b n，…}．将集合A∩B中的元素按从小到大的顺序排成一个新的数列{}，求数列{}的前n项和S n.20．(本小题满分13分)已知f (x )＝x 2－2x －ln(x ＋1)2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若函数F (x )＝f (x )－x 2＋3x ＋a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2上只有一个零点，某某数a 的取值X 围．21．(本小题满分14分)过椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B两点，F 1为其左焦点，已知△AF 1B 的周长为8，椭圆的离心率为32. (1)求椭圆Γ的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ，Q ，且OP →⊥OQ →？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．详解答案仿真模拟(二)一、选择题1．D 依题意得T ⊆S ，因此a ＝1或a ＝2，故选D.2．C 由几何概率的意义可知，图形Ω面积的估计值为m n ×a 2＝ma 2n，故选C.3．A 记题中的等比数列的公比为q .依题意有S 6＝9S 3，∴S 6－S 3＝8S 3，∴S 6－S 3S 3＝8，即q 3＝8，得q ＝2，故选A.4．B 记向量a ，b 的夹角为θ.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·a －2b ＝0，b ·b －2a ＝0，即|a |2＝|b |2＝2a ·b＝2|b |2cos θ，cos θ＝12，θ＝π3，即向量a ，b 的夹角为θ＝π3，故选B.5．C 依题意得，该几何体是一个半球，其体积等于12×43π×23＝16π3，故选C.6．C 依题意得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≤0的解集是[－2,3]，于是有3a ＞0，－2＋3＝－2b 3a ，－2×3＝c 3a ，解得b ＝－3a2，c ＝－18a ，函数f (x )在x ＝3处取得极小值，于是有f (3)＝27a ＋9b ＋3c －34＝－115，－812a ＝－81，a ＝2，故选C.7．A 依题意得，要使两弧之差最大，注意到这两弧的和一定，因此就要使其中的一弧长最小，此时所求直线必与MP 垂直，又点P (2,0)，因此直线MP 的斜率等于2，因此所求的直线方程是y ＋2＝－12(x －1)，即x ＋2y ＋3＝0，故选A.8．B 依题意得，函数f (x )在[0，＋∞)上是减函数，不等式4f (log 18x )＞3等价于f (log18x )>34，f (|log 18x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，|log 18x |＜13，即－13＜log 18x ＜13，由此解得12＜x ＜2，故选B.9．B 对①，当x 1＝0时，x 2不存在；对②，任意的x 1，存在唯一一个x 2(x 2＝－x 1)使得f (x 1)f (x 2)＝1成立；对③，当x 1＝1时，x 2不存在；对④，当x 1＝π2时，x 2不存在．10．D 对于A ，当a 1＝m ＝45时，a 2＝54，a 3＝a 2－1＝14，a 4＝4，a 5＝3，因此选项A 正确．对于B ，当a 3＝2时，若a 2＞1，则a 3＝a 2－1＝2，a 2＝3，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m －1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜m ≤1，1m＝3，由此解得m ＝4或m ＝13；若0＜a 2≤1，则a 3＝1a 2＝2，a 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1，m －1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧0＜m ≤1，1m ＝12，由此解得m ＝32，因此m 的可能值是13，32，4，选项B 正确．对于C ，当m ＝2时，a 1＝2，a 2＝2－1，a 3＝2＋1，a 4＝2，a 5＝2－1，a 6＝2＋1，…，此时数列{a n }是以3为周期的数列，因此选项C 正确．综上所述，故选D.二、填空题11．解析： sin α＝3cos α⇒tan α＝3，则2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.答案： －3412．解析： 依题意，执行题中的程序框图，最后输出的S ＝2×(1＋2＋3＋…＋20)＝2×20×1＋202＝420.答案： 42013．解析： 依题意得7x ＋8×7＋9×8＝(x ＋7＋8)×8.15，由此解得x ＝5. 答案： 514．解析： 依题意得b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ＝bc ，cos A ＝12，A ＝60°.c b ＝sin C sin B ＝sin B ＋60°sin B ＝12＋32·1tan B ＝12＋3，因此tan B ＝12.答案：1215．解析： 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，(|PF 1|2＋|PF 2|2)－(|PF 1|－|PF 2|)2＝2|PF 1|·|PF 2|＝4c 2－4a 2＝4b 2，|PF 1|·|PF 2|＝2b 2＝2.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|×55，因此|F 1F 2|＝25，a ＝52－1＝2，该双曲线的离心率是|F 1F 2|2a ＝52.答案：52三、解答题16．解析： (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵函数f (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得π3≤x ＋π3≤56π，∴当x ＋π3＝π2，即x ＝π6时，g (x )取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2＝2；当x ＋π3＝5π6，即x ＝π2时，g (x )取得最小值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin5π6＝1. 17．解析： (1)设第i (i ＝1,2，…，8)组的频率为f i ，则由频率分布图知f 7＝1－(0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008)×10＝0.12，∴这个人的分数在255～265之间的概率约是0.12.(2)这 2 000名学生的平均分数为200×0.04＋210×0.1＋220×0.1＋230×0.2＋240×0.2＋250×0.16＋260×0.12＋270×0.08＝237.8.(3)从第一组到第四组，频率为0.04＋0.1＋0.1＋0.2＝0.44，而0.5－0.44＝0.06，将第五组[235,245)，按以下比例分割：0.060.2－0.06＝37，∴中位数为235＋3＝238，∴应将分数线定为238分．18．解析： (1)证明：因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，所以PO ⊥平面ADC ，所以PO ⊥AC .因为AB ＝BC ，所以O 是AC 的中点， 所以OE ∥PA . 同理OF ∥AD .又OE ∩OF ＝O ，PA ∩AD ＝A ， 所以平面OEF ∥平面PDA . (2)证明：因为OF ∥AD ，AD ⊥CD ， 所以OF ⊥CD .又PO ⊥平面ADC ，CD ⊂平面ADC ， 所以PO ⊥CD .又OF ∩PO ＝O ，所以CD ⊥平面POF . (3)存在，事实上记点E 为M 即可． 因为CD ⊥平面POF ，PF ⊂平面POF ， 所以CD ⊥PF .又E 为PC 的中点，所以EF ＝12PC ，同理，在直角三角形POC 中，EP ＝EC ＝OE ＝12PC ，所以点E 到四个点P ，O ，C ，F 的距离相等． 19．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d . 由题意(a 4－2)2＝a 2a 6得(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )． 解得d ＝3或者d ＝0.因为公差d 不为0，所以d ＝3. 故a n ＝3n －2.(2)由题意知数列{}是数列{a n }与数列{b n }的公共项，令2n －1＝3m －2， 则2n＝2·2n －1＝6m －4＝3(2m －1)－1不是数列{}的项，2n ＋1＝2n －1·22＝12m －8＝3(4m－2)－2是数列{}的项．所以{}是以a 1＝b 1＝1为首项，4为公比的等比数列，即 ＝4n －1，故S n ＝1－4n1－4＝4n－13.20．解析： (1)f (x )的定义域为{x |x ≠－1}． ∵f (x )＝x 2－2x －ln(x ＋1)2，∴f ′(x )＝2x －2－2x ＋1＝2x 2－2x ＋1，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠－1，f ′x ＞0得－2＜x ＜－1或x ＞2，∴f (x )的单调递增区间是(－2，－1)和(2，＋∞)．(2)由已知得F (x )＝x －ln(x ＋1)2＋a ，且x ≠－1， ∴F ′(x )＝1－2x ＋1＝x －1x ＋1. ∴当x ＜－1或x ＞1时，F ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，F ′(x )＜0.∴当－12＜x ＜1时，F ′(x )＜0，此时，F (x )单调递减； 当1＜x ＜2时，F ′(x )＞0，此时，F (x )单调递增．∵F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋2ln 2＋a ＞a ，F (2)＝2－2ln 3＋a ＜a ， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＞F (2)． ∴F (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2上只有一个零点⇔⎩⎪⎨⎪⎧ F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥0，F 2＜0或F (1)＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≥0，F 2＜0得12－2ln 2≤a ＜2ln 3－2； 由F (1)＝0得a ＝2ln 2－1.∴实数a 的取值X 围为12－2ln 2≤a ＜2ln 3－2或a ＝2ln 2－1. 21．解析： (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝8，c a ＝32，解得⎩⎨⎧ a ＝2，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆Γ的方程为x 24＋y 2＝1. (2)假设满足条件的圆存在，其方程为x 2＋y 2＝r 2(0＜r ＜1)． 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋t ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得(1＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt 1＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－41＋4k2.① ∵OP →⊥OQ →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝kx 1＋t ，y 2＝kx 2＋t ，∴x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝0.②将①代入②得1＋k 24t 2－41＋4k 2－8k 2t 21＋4k 2＋t 2＝0， 即t 2＝45(1＋k 2)． ∵直线PQ 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，∴r ＝|t |1＋k 2＝451＋k 21＋k 2＝255∈(0,1)， ∴存在圆x 2＋y 2＝45满足条件． 当直线PQ 的斜率不存在时，也适合x 2＋y 2＝45. 综上所述，存在圆心在原点的圆x 2＋y 2＝45满足条件．。
绝密★启用前2014南昌市高三第二次模拟考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答．若在试题卷上作答，答案无效．3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数12i+在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．已知全集{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1,3M =-，{}2,0,2,3N =-，则(∁U M )N 为 A ． {}1,1- B ．{}2- C ．{}2,2- D ．{}2,0,2- 3．下列说法正确的是A ．命题“存在x ∈R ，220130x x ++>”的否定是“任意x ∈R ，220130x x ++<” B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．函数1()f x x=在其定义域上是减函数 D ．给定命题p q 、，若“p 且q ”是真命题，则p ⌝是假命题4．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度5．一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上， 球O 的表面积是A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π6．方程22(20x y x +-=表示的曲线是2正(主)视图左(侧)视图俯视图A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线 7．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是A ．9B ．10C ．11D ．12 8．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20x x f x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是 A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >9．如图：正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,A B CD 的中点，点M 是EF 的动点，FM x =，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为()V x ，则函数()V x 的大致图像是10．过双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点(,0)(0)F c c ->，作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若2OP OE OF =-，则双曲线的离心率为AB．5C ．2D绝密★启用前AB CD12014届南昌市高三第一次模拟考试文科数学 第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若不等式2222x x a ++>-对于一切实数x 均成立，则实数a 的取值范围是______． 12．已知角α(0)πα-<<的终边与单位圆交点的横坐标是13，则c o s ()2πα+的值是___．13．如果执行如图的程序框图，那么输出的值是__________．143333235,37911,413151719,52123252729,=+=++=+++=++++，若类似上面各式方法将3m 分拆得到的等式右边最后一个数是109，则正整数m 等于____．15．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动,点B 恰好经过原点.设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有(2)(2)f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是 .三、解答题：本大题共6个题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （本小题满分12分）某公司生产产品A ，产品质量按测试指标分为：指标大于或等于90为一等品，大于或等于80小于90为二等品，小于80为三等品，生产一件一等品可盈利50元，生产一件二等品可盈利30元，生产一件三等品亏损10元．现随机抽查熟练工人甲和新工人乙生产的这种产品各100件进行检测，检测结果统计如下： 们生产产品A 为一等品、二等品、三等品的概率．（1）计算甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率；（2）若甲一天能生产20件产品A ，乙一天能生产15件产品A ，估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中三等品的件数. 17．（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列{}n a 的首项112a =，前n 项和为n S ，且445566,,a S a S a S +++成等差数列．（1）求等比数列{}n a 的通项公式；（2）对n +∈N ，在n a 与1n a +之间插入3n 个数，使这32n+个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为n b ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图，已知正方形ABCD 的边长为6,点,E F 分别在边,AB AD 上,4AE AF ==,现将△AEF 沿线段EF 折起到△'A EF位置，使得'A C =（1）求五棱锥'A BCDFE -的体积；（2）在线段'A C 上是否存在一点M ,使得//BM 平面'A EF ？若存在，求'A M ；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分12分）如图已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=︒，点M 是边BC 上的动点，动点N满足30MAN ∠=︒（点,,A M N 按逆时针方向排列）． （1）若2AN AC =，求BN 的长；（2）若3AM AN ⋅=，求△ABN 面积的最大值． 20．（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,左、右顶点分别为,A B ,过点F 且倾斜角为4π的直线l 交椭圆于,C D 两点,椭圆CAC AD BC BD ⋅-⋅=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若12,P P 是椭圆上不同两点，12,P P x ⊥轴，圆R 过点12,P P ，且椭圆上任意一点都不在圆R 内，则称圆R 为该椭圆的内切圆．问椭圆C 是否存在过点F 的内切圆？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数()sin cos f x x ax bx x =--(,)a b ∈∈R R . （1）若0b =，讨论函数()f x 在区间(0,)π上的单调性； （2）若2a b =且23a ≥，对任意的0x >，试比较()f x 与0的大小．2014届南昌市高三二模考试文科数学参考答案ABCD F A 'ABCN二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11. (1,3) 12．313．32- 14． 10 15．①②④三、解答题：本大题共6个题，共75分．16．解：（1）甲生产一件产品A ，给工厂带来盈利不小于30元的概率为：11911010P =-=……………………………………………………………………………6分 （2）估计甲一天生产的20件产品A 中有120210⨯=件三等品，………………………8分 估计乙一天生产的15件产品A 中有215310⨯=件三等品，……………………………10分 所以估计甲乙两人一天生产的35件产品A 中共有5件三等品.………………………12分17．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =；………………………………………………6分 （2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分 133()39322[()1]344212n n n T +-==--．………………………………………………………12分18．解（1）连接AC ，设AC EF H ⋂=， 由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A H EF CH EF ⊥⊥， 所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，…………………………… 2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ，则'A O ⊥平面ABCD ………………3分 因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==， 得到：'A H CH ==ABCD EF A 'O H所以1cos '2A HC ∠==，所以'cos ''HO A H A HC A O =⋅∠==所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)32v =⨯-⨯⨯=………………6分（2）线段'A C 上存在点M ，使得'//A M 平面'A EF ，'A M =7分证明：'A M =1'4A C =，14HO HC =， 所以//'OM A H ，所以//OM 平面'A EF ，……………………………………………9分又//BD EF ，所以//BD 平面'A EF ，…………………………………………………10分 所以平面//MBD 平面'A EF ， …………………………………………………………11分 由BM 在平面MBD 内，所以//BM 平面'A EF .……………………………………12分 19．解：（1）由2AN AC =，得点N 在射线AC 上， 4AN =，2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =5分 （2）设BA M x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：AM =，………………………………………………………7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin AN x x =+，所以△ABN 的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)44444S x x x φ=-+=-+ ………………………10分（其中：sinφφφ==为锐角），所以当290x φ-=︒时，△ABN 的面积最大，最大值是4．………………12分20．解：（1）因为离心率为2，所以2,a b c ==，所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l 的方程为y x =，………………2分由方程组222214x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b +=,即22580x b ++=,…4分设1122(,),(,)C x y D x y，则12x x +=，………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BC BD x a y x a y x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，所以4()b ⋅=，所以1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分 （2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点R 在x 轴上，设点(,0)R t ， 则圆R 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点R 距离的最小值是1||PR ， 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214MR x t y x tx t =-+=-++,…9分 当x m =时，2||MR 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分 又圆R 过点F，所以222()()t m t n =-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上，所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：t =或t =又t =时，2m =<-，不合，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点R的坐标是(．……………………13分 21.解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，……………………2分 当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………3分 当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；……………… 4分 当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，(0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增， ……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，猜测()0f x <恒成立，……………7分证明：()0f x <等价于sin 2cos 2x ax x <+， 记sin ()2cos 2x ag x x x =-+，则222cos 1111'()3()(2cos )22cos 323x a a g x x x +=-=---+++，……………………………10分 当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间(0,)+∞上单调递减，……………12分所以当0x >时，()(0)0g x g <=，即()0f x <恒成立；……………………………14分。
2014年江西省赣州市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知函数z=（i是虚数单位）．则复数z对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合M={y|y=2cosx}．N={x|≤0}．则集合M∩N=（）A.{x|-2≤x≤-1}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|-1≤x＜2}D.{x|-1＜x≤2}3.若函数f（x）=cos2x-（x∈R），则f（x）是（）A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数D.最小正周期为π的偶函数4.已知等比数列{a n}的公比为2，且a1+a3=5，则a2+a4的值为（）A.10B.15C.20D.255.下列命题中真命题是（）A.相关系数r（|r|≤1），|r|值越小，变量之间的线性相关程度越高B.“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R．均有x2+x+1＜0”C.命题“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”的逆命题为假命题D.“b=0”是“函数f（x）=ax2+bx+c是偶函数”的充要条件6.过点P（1，）作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长|AB|=（）A. B.2 C. D.47.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.8.某商场举办新年购物抽奖活动．先将160名顾客随机编号为001，002，003，…，160．采用系统抽样的方法抽取幸运顾客．已知抽取的幸运顾客中最小的两个编号为007，023．那么抽取的幸运顾客中最大编号应该是（）A.151B.150C.143D.1429.设椭圆＞＞的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（）A.必在圆x2+y2=2内B.必在圆x2+y2=2上C.必在圆x2+y2=2外D.以上三种情形都有可能10.如图，AB、CD分别是单位圈O的两条直径，MN是单位圈O上的一条动弦．且MN∥AB；当MN从C点出发，沿x轴正方向平行移动到D点的过程中，记的弧长为u．直线MN、直线AB与圈O所围成的平面区域的面积为S（u）．则函数S（u）的大致图象是（）A. B. C. D.二、解答题(本大题共11小题，共100.0分)11.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=＞．则f（1）的值为______ ．12.已知=2，=3，=4，…，若=6（a，t均为正实数）．类比以上等式，可推测a，t的值，则t+a= ______ ．13.执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么，那么输出的p的值是______ ．14.记集合A={（x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x+y-2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2．若在区域Ω1内任取一点M（x，y）．则点M落在区域Ω2的概率为______ ．15.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°，过点AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N．则的最大值为______ ．16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足b（b-c）=a2-c2．且•≥0．（1）求A的值；（2）若a=，求b-c的取值范围．17.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80mg/100ml（不含80）之间，属于酒后贺车；在80mg/100ml（含80）以上时，属醉酒贺车，对于酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员公安机关将给予不同程度的处罚．某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中，依法检查了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒贺车的驾驶员20人，图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数；（2）从血液酒精浓度在[70，90）范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．18.已知数列{a n}的前n项和为S n，并且满足a1=2，na n+1=S n+n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设T n为数列的前n项和，求T n．19.如图，在四棱维S-ABCD中，底面ABCD是正方形．SA⊥底面ABCD，SA=AD=1．点M是SD的中点．AN⊥SC，交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求三棱维D-ACM的体积．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且直线y=x+是抛物线y2=4x的一条切线．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的左顶点A的l交y轴于Q．与椭圆交于R，过原点O且平行于l的射线交椭圆于S．求证：|AQ|，|OS|，|AR|成等比数列．21.已知函数f（x）=lnx-ax2+bx．（1）当b=a-1时，讨论f（x）的单调性；（2）当a=0时，若函数f（x）有两个不同的零点．求b的取值范围；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）为函数f（x）的图象上的两点，记k为直线AB的斜率，x0=．求证f′（x0）＜k．。
17解：（1） Q2700,35.02000⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∴=a a 分 Q 50050700806702000=----=+c b ……4分应在C 组抽取样本个数是902000500360=⨯个……6分20．（1）设(,)Q x y ，则||34(3)QF x x ++=>-34(3)x x ++=>-化简得(]24(3,0)y x x =-∈-。
所以动点Q 的轨迹C 为抛物线24y x =-位于直线3x =-右侧的部分……………………………………………………………4分（2）因为1()2FP FA FB =+，所以P 为AB 的中点；又因为0EP AB ⋅=，且(,0)E OE x =，所以点E 为线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点。
由题意可知，直线l 与x 轴不垂直，所以不妨设直线l 的方程为(1)y k x =-，由(]()2(1)43,0y k x y x x =-⎧⎪⎨=-∈-⎪⎩得(]()2222(42)03,0k x k x k x +-+=∈-（*）设2222()(42)f x k x k x k =+-+，要使直线l 与曲线C 有两个不同的交点， 只需22422(42)4042302(3)0(0)0k k k k f f ⎧∆=-->⎪-⎪⎪-<<⎨-⎪->⎪>⎪⎩解得2314k <<…………………………………………6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则由（*）式得，212224k x x k -+=，所以线段AB 中点P 的坐标为122212P x x x k +==-，2(1)P p y k x k=-=-…………………………..8分 则直线EP 的方程为2212(1)y x k k k+=--+，令0y =，得E 的横坐标为 221E x k =--……………………………………………………………...10分 因为2314k <<，所以1133E x -<<-，即E x 的取值范围是11,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭………..11分 （3）不可能。
江西省吉安市2014届高三第二次模拟考试数学（文）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中）1．若=a+bi，（a，b∈R），则（a，b）为（）A．（，）B．（﹣，）C．（1，1）D．（1，﹣1）2．若A=[x|x2﹣2x＜0]，B=[x|≤1]，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，2）D． [1，2）3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A． f（x）=x•tanx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x2+ D． f（x）=x3•cosx4．已知点A、O、B为平面内不共线的三点，若A i（i=1，2，3，…，n）是该平面内的任一点，且有•=•，则点A i（i=1，2，3，…，n）在（）A．过A点的抛物线上B．过A点的直线上C．过A点的圆心的圆上D．过A点的椭圆上5．以椭圆+=1（a＞b＞0）的长轴A1A2为一边向外作一等边三角形A1A2P，若随圆B6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（）A． 18B． 36C．45D．547．（对于任意实数a，b，c，定义Г（a，b，c）满足Г（a，b，c）=Г（b，c，a）=Г（c，a，b）关系式，则称Г（a，b，c）具有轮换对称关系，给出如下四个式子：①Г（a，b，c）=a+b+c；②Г（a，b，c）=a2﹣b2+c2；③Г（x，y，z）=xy+yz+zx；④Г（A，B，C）=2sinAsinBsinC+cos（﹣A）sin（π﹣B）sinC（A、B、C是△ABC的内角）其中具有轮换对称关系的个数是（）A． 1 B． 2 C．3 D．48．已知等差数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且a n=2n+λ，若数列{S n}为递增数列，则实数λ的取值范围为（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．（﹣4，+∞）D． [﹣4，+∞）9．已知函数f（x）=a﹣2bx+1（a＞0，a≠1）在区间（﹣∞，2]单调递减，且2a+b≤5，则的取值范围为（）A．[，3] B．[，3）C．[，2] D．（，2] 10．如图，已知线段AB=，当点A在以原点O为圆心的单位圆上运动时，点B在x轴上滑动，设∠AOB=θ，记S（θ）为三角形AOB的面积，则S（θ）在[﹣，0）∪（0，]上的大致图象是（）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上）11．（5分）（2014•吉安二模）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有本点（x i，y i）（i=1，2，3，…，n）都在直线2x+y﹣1=0上，则这组样本数据的样本相关系数r为_________．12．（5分）（2014•吉安二模）函数y=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[0，]上的图象如图所示，则ω=_________．13．（5分）（2014•吉安二模）过曲线y=x3上的点（1，）作曲线的切线m，则该切线m 与圆O：x2+y2=1相交的弦长为_________．14．（5分）（2014•吉安二模）下列命题中：（1）f（x）=x+（0＜x＜1）的最小值为2；（2）“﹣1＜x＜2”是“x＞﹣2”的充分不必要条件；（3）在平面直角坐标系xOy中，记不等式组所表示的平面区域为D，在映射T：的作用下，区域D内的点（x，y）对应的象为点（u，v）．因此在映射T的作用下，点（﹣1，1）的原象是（﹣2，0）；（4）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边长，则f（x）为“可构造三角形函数”，据些定义可知函数f（x）=2，（x∈R）是“可构造三角表函数”，其中正确的命题有_________（请把所有正确的命题的序号都填在横线上）15．（5分）（2014•吉安二模）已知f（x）=|x﹣1|+|x+m|（m∈R），g（x）=2x﹣1，若m＞﹣1，x∈[﹣m，1]，不等式f（x）＜g（x）恒成立，则实数m的取值范围是_________．三、解答题（共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）16．（12分）（2014•吉安二模）如图，A（，），B（﹣，），C（﹣，﹣），D（，﹣），从这4点中随机取2点．（1）求这两点与原点O（0，0）共线的概率；（2）求这两点与原点O（0，0）恰好构成直角三角形的概率．17．（12分）（2014•吉安二模）在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinB=3csinA，c=2，且c，a﹣1，b+2依次成等比数列．（1）求a的大小；（2）求cos（A+）的值．18．（12分）（2014•吉安二模）已知{a n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S n，{b n}是公比为q的等比数列，且a1=b1=3，a3=b2﹣2，S4=b3﹣3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=（a n﹣1）•b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2014•吉安二模）如图所示的四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为a（a ＞0）的菱形，∠ABC=60°，点P在底面的射影O在DA的延长线上，且OC过边AB的中点E．（1）证明：BD⊥平面POB；（2）若PO=，求三棱锥O﹣PAC的体积．20．（13分）（2014•吉安二模）设点A（3，），B（4，），C（﹣3，﹣），D（5，0），其中三点在双曲线﹣=1，（a＞0，b＞0）上，另一点在直线l上．（1）求双曲线方程；（2）设直线l的斜率存在且为k，它与双曲线的同一支分别交于两点E、F（F点在上方，E 点在下方），M、N分别为双曲线的左、右顶点，求满足条件S△MDF=4S△DNE的k的值．21．（14分）（2014•吉安二模）设函数f（x）=lnx+e x，g（x）=e x+x2﹣ax（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数）（1）当a=，设F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的单调区间；（2）定义：若函数φ（x）在定义域为[m，n]（m＜n）上的值域为[m，n]，则称区间[m，n]为函数φ（x）的“同域区间”，在（1）的条件下，证明：函数F（x）在区间（0，2）内存在“同域区间”；（3）当a＞1时，对于区间（2，3）内任意两个不相等的实数x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|＞|g（x1）﹣g（x2）|成立，求a的取值范围．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数z 满足(1)2z i i +=（i 为虚数单位），则||z =（ ）.1A .2B C D 2.设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R A C B =( ).(3,0)A - .(3,1)B -- .(3,1]C -- .(3,3)D - 3．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）1.18A 1.9B 1.6C 1.12D4. 已知函数2,0()()2,0x x a x f x a R x -⎧⋅≥=∈⎨<⎩，若[(1)]1f f -=，则=a （ ）1.4A 1.2B .1C .2D 5.在在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若35a b =，则2222sin sin sin B A A-的值为（ ）1.9A - 1.3B .1C 7.2D6.下列叙述中正确的是 （ ）.A 若,,a b c R ∈，则2"0"ax bx c ++≥的充分条件是2"40"b ac -≤ .B 若,,a b c R ∈，则22""ab cb >的充要条件是""a c >.C 命题“对任意x R ∈，有20x ≥”的否定是“存在x R ∈，有20x ≥”.D l 是一条直线，,αβ是两个不同的平面，若,l l αβ⊥⊥，则//αβ7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）A.成绩B.视力C.智商D.阅读量8.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.9C.10D.119.过双曲线12222=-by a x C ：的右定点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过为坐标原点），两点（、O O A ，则双曲线C 的方程为（ ）A.112422=-y x B.19722=-y x C.18822=-y x D.141222=-y x 10.在同意直角坐标系中，函数)(22222R a a x ax x a y ax ax y ∈++-=+-=与的图像不可能的是（ ）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若曲线P x x y 上点ln =处的切线平行于直线P y x 则点,012=+-的坐标 是_______.12.已知单位向量=-==||,23,31cos ,,2121a e e a e e则若向量且的夹角为αα_______.13. 在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值， 则d 的取值范围_________.14. 设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于 B A ，两点，B F 1与y 轴交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________. 15. R y x ∈，，若211≤-+-++y x y x ，则y x +的取值范围为__________. 三、解答题：本大题共6小题，学 科网共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，其中 ()πθ，，0∈∈R a .（1）求θ，a 的值； （2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=⎪⎭⎫⎝⎛ππαα，，2524f ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+3sin πα的值. 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和*∈-=N n nn S n ，232. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列.18.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )44()(22++=，其中0<a .（1）当4-=a 时，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 在区间]4,1[上的最小值为8，求a 的值.19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，111,BB B A BC AA ⊥⊥. （1）求证：111CC C A ⊥； （2）若7,3,2===BC AC AB ，问1AA 为何值时，三棱柱111C B A ABC -体积最大，并求此最大值。
江西高三模拟考试(文科)数学试卷附答案解析班级:___________姓名：___________考号：__________一、单选题1．设集合{}2560A x x x =--<和{}4,2,0,2,4B =--，则A B =（ ）A ．{}0,2B ．{}2,0-C ．2,0,2D ．{}0,2,42．复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，22z i =-+（i 为虚数单位），则复数12z z 的虚部为（ ）. A ．75B ．75-C ．7i 5D ．7i 5-3．在ABC ∆中AB =AC=1，B=30°，和ABC S ∆=，则C = A ．60或120B ．30C ．60D ．454．已知x 与y 的数据如表所示，根据表中数据，利用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为0.7 1.05y x =+，则m 的值是（ ）A ．3.8B ．3.85C ．3.9D ．4.05．已知tan 2x =，则sin cos 1x x +=（ ） A ．25B ．75C ．2D ．36．已知直线:210l x y k +++=被圆22:4C x y +=所截得的弦长为4，则k 为（ ） A ．1-B ．2-C ．0D ．27．若0a >，0b >且24a b +=，则4ab的最小值为（ ） A ．2B ．12C ．4D ．148．已知命题:p 已知实数,a b ，则0ab >是0a >且0b >的必要不充分条件，命题:q 在曲线cos y x =上存在 （ ） A ．p 是假命题 B ．q 是真命题 C ．()p q ∧⌝是真命题D ．()p q ⌝∧是真命题9．执行如图所示的程序框图，若输出i 的值为7，则框图中①处可以填入（ ）A ．7S >？B ．15S >？C ．21S >？D ．28S >？10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 椭圆C 在第一象限存在点M ，使得112=MF F F ，直线1F M 与y 轴交于点A ，且2F A 是21MF F ∠的角平分线，则椭圆C 的离心率为（ ）A B C ．12D 11．已知函数()()22e (e =--x xf x x x a ）有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1e -）B ．（0，2e -）C ．（0，1）D ．（0，e ）12．在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中E 是正方形BB 1C 1C 的中心，M 为C 1D 1的中点，过A 1M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1所得的截面面积为（ ）A ．B ．CD ．3二、填空题13．已知向量(),2AB m =，()1,3AC =和()4,2BD =--，若B ，C ，D 三点共线，则m =______．14．双曲线2219x y -=的渐近线方程为__________.15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____．16．已知过点(0,1)M 的直线与抛物线22(0)x py p =>交于不同的A ，B 两点，以A ，B 为切点的两条切线交于点N ，若0NA NB ⋅=，则p 的值为__________．三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n *=-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13log n n b a =，n C ={}n C 的前n 项和n T18．如图，三棱柱111ABC A B C 各棱长均为2，且13C CA π∠=.(1)求证1AC BC ⊥；(2)若1BC 与平面ABC 所成的角为6π，求三棱柱111ABC A B C 的体积. 19．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为(1)求该产品的次品率；(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为X ，求随机变量X 的分布列与期望()E X ． 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.21．已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当x>0时f (x )<0，且(1)2f =-. (1)判断()f x 的奇偶性；(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值；(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，求实数m 的取值范围.22．数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，极坐标方程()1cos a ρθ=+（0a >）表示的曲线为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形.以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.(1)求直线l 的极坐标方程和心形线的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为()2,0，若P 为心形线上的点，直线l 与心形线交于A ，B 两点（异于O 点），求ABP 的面积.23．已知函数()2|1|||(R)f x x x a a =-+-∈． (1)若()f x 的最小值为1，求a 的值；(2)若()||6f x a x <+恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析1．D【分析】求出集合A 中元素范围，然后求A B ⋂即可.【详解】{}{}256016A x x x x x =--<=-<<，又{}4,2,0,2,4B =--{}0,2,4A B ∴=.故选：D. 2．B【解析】根据题意，先得到113z i =+，再由复数的除法运算求出12z z ，即可得出其虚部. 【详解】因为复数1z 在复平面内对应的点为()1,3，所以113z i =+ 又22z i =-+所以()()()()1213213263171722241555i i z i i i i i z i i i +--+++--+===-=-=--+-+--+因此其虚部为75-.故选：B.【点睛】本题主要考查求复数的虚部，考查复数的除法运算，涉及复数的几何意义，属于基础题型. 3．C【分析】由三角形面积公式可得A ，进而可得解.【详解】在ABC ∆中AB 1AC =与30B =12ABC S AB ACsinA ∆=⋅=，可得1sinA =，所以90A = 所以18060C A B =--=【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，属于基础题. 4．D【分析】计算样本中心，将样本中心 710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭代入线性回归方程中即可求解. 【详解】因为()17234542x =⨯+++= ()1102.5 3.0 4.544m y m +=⨯+++=．所以样本中心为710,24m +⎛⎫⎪⎝⎭，将其代入回归方程0.7 1.05y x =+得1070.7 1.0542m +=⨯+，解得4m =． 故选：D ． 5．B【分析】利用同角三角函数的平方关系、商数关系，将目标式化为2tan 1tan 1xx ++，结合已知即可求值.【详解】222sin cos tan 27sin cos 1111sin cos tan 155x x x x x x x x +=+=+=+=++． 故选：B ． 6．A【分析】利用点线距离公式求弦心距，再由弦长与半径、弦心距的几何关系列方程求参数k . 【详解】设圆心()0,0到直线:210l x y k +++=的距离为d ，则由点到直线的距离公式得|1|d k ==+由题意得：42==1k =-．故选：A 7．A【分析】利用基本不等式可求出2ab ≤，即可得出所求. 【详解】0a > 0b >42a b ∴=+≥2a b =，即1,2a b ==时等号成立所以2ab ≤，则42ab≥，即4ab 的最小值为2.故选：A. 8．C【分析】首先判断命题,p q 的真假，再判断选项.【详解】00ab a >⇒> 且0b >，反过来0a >且00b ab >⇒>，所以0ab >是0a > 且0b >的必要不充分条件，所以命题p 是真命题cos y x =，[]sin 1,1y x '=-∈-根据导数的几何意义可知曲线cos y x =所以命题q是假命题根据复合命题的真假判断可知()p q ∧⌝是真命题. 故选：C 9．C故选：C. 10．B【分析】根据题意和椭圆定义可得到2MF ，AM 和a ，c 的关系式，再根据122MF F MF A ∽△△，可得到关于a ，c 的齐次式，进而可求得椭圆C 的离心率e ． 【详解】由题意得1122F M F F c == 又由椭圆定义得222MF a c =- 记12MF F θ∠=则212AF F MF A θ∠=∠= 121222F F M F MF MAF θ∠=∠=∠= 则2122AF AF a c ==- 所以42AM c a =- 故122MF F MF A ∽△△则2122MF AMF F MF = 则2a c c a c a c --=-，即222010c ac a e e e +-=⇔+-=⇒=（负值已舍）． 故选：B ． 11．A【分析】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a ，得到22e 0-=x x或e 0x x a -=，令()22e =-xg x x ，易知有一个零点，转化为则e 0x x a -=有两个根求解.【详解】令()()()22ee 0=--=xxf x x x a所以22e 0-=x x 或e 0x x a -=令()22e =-xg x x ，则()()2e '=-x g x x令()2(e )=-x h x x ，则()2(1)e '=-xh x当(,0)x ∈-∞时()0h x '>，h (x )在（－∞，0）上单调递增； 当,()0x ∈+∞时()0h x '<，h (x )在（0，＋∞）上单调递减 所以()(0)20h x h ≤=-<，即()0g x '< 所以g (x )在R 上单调递减，又()2110g e-=->，g （0）＝20-< 所以存在0(1,0)x ∈-使得()00g x =所以方程e 0x x a -=有两个异于0x 的实数根，则xxa e = 令()x x k x e =，则()1xx e xk -=' 当(,1)x ∞∈-时()0k x '>，k (x )在（－∞，1）上单调递增；当(1,)x ∈+∞时()0k x '<，k (x )在（1，＋∞）上单调递减，且()0k x >．所以()1()1k x k e≤= 所以()xxk x e =与y a =的部分图象大致如图所示由图知10a e<< 故选：A ． 12．B【解析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案.【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF所以MC ⊥平面DEF又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥．同理可证，DE NC ⊥ NC MC C =则DE ⊥平面1A MCN 所以平面1A MCN 即平面α四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形其对角线1AC = MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 13．1-【分析】根据给定条件，求出向量BC 坐标，再利用共线向量的坐标表示计算作答. 【详解】因为向量(),2AB m =，()1,3AC =则(1,1)BC AC AB m =-=-，而()4,2BD =-- 又B ，C ，D 三点共线，则有//BC BD ，因此2(1)4m --=-，解得1m =- 所以1m =-. 故答案为：-1 14．30x y ±-=【分析】根据焦点在横轴上双曲线的渐近线方程的形式直接求出双曲线2219x y -=的渐近线方程.【详解】通过双曲线方程可知双曲线的焦点在横轴上,3,1a b ==,所以双曲线2219x y -=的渐近线方程为：1303b y x y x x y a =±⇒=±⇒±-=. 故答案为30x y ±-=【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线方程,通过双曲线方程判断双曲线的焦点的位置是解题的关键. 15．163【分析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得函数图象关于6324x πππ+==对称 又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342Tππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=. 故答案为163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题． 16．2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,设直线AB 的方程为1y kx =+，利用“设而不求法”得到122x x p =-.利用导数求出两条切线斜率为1x p 和2x p，得到121x x p p ⋅=-,即可求出p =2.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ,且设直线AB 的方程为1y kx =+,代入抛物线的方程得2220x pkx p --=,则122x x p =-.又22x py =,得22x y p=,则x y p '=，所以两条切线斜率分别为1x p 和2x p .由0NA NB ⋅=,知NA NB ⊥,则121x x p p ⋅=-,所以221pp -=-,即p =2. 故答案为：2 17．(1)13n n a =(2)1n T =【分析】（1）由n a 与n S 关系可推导证得数列{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得n a ； （2）由（1）可推导得到,n n b C ，采用裂项相消法可求得n T . (1)当1n =时111221a S a =-=，解得：113a =；当2n ≥时1122211n n n n n a S S a a --=-=--+，即113n n a a -=∴数列{}n a 是以13为首项，13为公比的等比数列，1133nn n a ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭. (2)由（1）得：131log 3n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭n C ∴==11n T ∴=⋅⋅⋅=18．(1)证明见解析【分析】（1）通过线面垂直的性质定理证明线线垂直；（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，则进一步知平面1BDC ⊥平面ABC ，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则1C E ⊥平面ABC ，求出1C E 的大小即可求解.【详解】（1）证明：取AC 的中点D ，连接BD ，1C D 和1C A ，则BD AC ⊥因为12CC CA ==，13C CA π∠=所以1ACC △为等边三角形又D 为AC 的中点，所以1C D AC ⊥ 因为1C D BD D =，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以AC ⊥平面1BDC ，.又1BC ⊂平面1BDC ，所以1AC BC ⊥.（2）由（1）知AC ⊥平面1BDC ，又AC ⊂平面ABC ，所以平面1BDC ⊥平面ABC平面1BDC 平面ABC BD =，故过1C 作平面ABC 的垂线，垂足为E ，则E 一定在直线BD 上，因为1BC 与平面ABC 所成的角为6π，所以16C BD π∠= 由题意知1C D BD =，所以123C DB π∠=所以13BC == 所以113sin 62C E BC π==.（或：由题意知1C D BD =13C DE π∠=，所以113sin 32C E CD π===）所以11322sin 232ABC V S C E π=⋅=⨯⨯⨯⨯=△19．(1)14(2)分布列见解析，()34E X =【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率（2）由题意得X 0=，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出X 的分布列和数学期望．【详解】（1）产品正品的概率为：11131111011124P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以为次品的概率为31144-= （2）由题意得X 0=，1，2，3，且13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2133127(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 223319(2)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ X ∴的分布列如下：∴()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．(1)221124x y += (2)证明详见解析，定点坐标3122⎛⎫ ⎪⎝⎭，-【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得222,,a b c ，从而求得椭圆C 的方程.（2）根据直线MN 的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及·0AM AN =求得定点坐标.【详解】（1）由题意可得：22222911c aab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2221248a b c ===，， 故椭圆方程为221124x y +=. （2）设点()()1122,,,M x y N x y若直线MN 斜率存在时设直线MN 的方程为：y kx m =+代入椭圆方程消去y 并整理得：()2221363120k x kmx m +++-= 可得122613km x x k +=-+ 212231213m x x k -=+ 因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121233110x x y y --+--=根据1122,kx m y kx m y =+=+有()()()()221212121239110x x x x k x x k m x x m -++++-++-=整理可得： ()()()()22121213190k x x km k x x m ++--++-+= 所以()()()222223126131901313m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭ 整理化简得2299210k km m m ++--=则有()()321310k m k m +++-=得3210k m ++=或310k m +-=若3210k m ++=，则直线MN 的方程为：3122y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，恒过3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 若310k m +-=，则直线MN 的方程为：()31y k x =-+，过A 点，舍去.所以直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当直线MN 的斜率不存在时可得()11,N x y -由·0AM AN =得：()()()()121233110x x y y --+--=得()1221210x y -+-=()2211310x y -+-=，结合22111124x y += 解得：132x = 或23x =（舍去），此时直线MN 方程为32x =,过点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上，直线MN 过定点P 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 21．（1）奇函数（2）6（3）{2,m m 或者2}m <-【分析】（1）令x ＝y ＝0⇒f （0）＝0，再令y ＝﹣x ，⇒f （﹣x ）＝﹣f （x ）；（2）设x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，结合条件用单调性的定义证明函数f （x ）为R 上的增函数，从而得到()f x 在区间[-3,3]上的最大值；（3）根据函数f （x ）≤m 2﹣2am ﹣2对所有的x ∈[﹣1，1]，a ∈[﹣1，1]恒成立，说明f （x ）的最大值2小于右边，因此先将右边看作a 的函数，m 为参数系数，解不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】（1）取x=y=0，则f （0+0）=f （0）+f （0）；则f （0）=0；取y =﹣x ，则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x )∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数；（2）任取x 1，x 2∈（﹣∞，+∞）且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0；∴f （x2）+f (﹣x1）=f （x2﹣x1）＜0； ∴f （x2）＜﹣f （﹣x1）又∵f （x ）为奇函数∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x ∈[﹣3，3]，恒有f （x ）≤f （﹣3）而f （3）=f （2+1）=f （2）+f （1）=3f （1）=﹣2×3=﹣6； ∴f （﹣3）=﹣f （3）=6；∴f （x ）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）由（2）可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为()12f -=所以要使()222f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要()()2max 2212m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立令()[]22,1,1g a m am a =-∈-，则()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩即222020m m m m ⎧+>⎨->⎩解得22m m ><-，或者 所以实数m 的取值范围是{}2,2m m m <-或者【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．22．(1)极坐标方程为π3θ=或4π3θ=；()()222222x y ax a x y +-=+【分析】（1）先消去参数t 得到直线l 的普通方程，进而得到极坐标方程，由()1cos a ρθ=+，得到2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=求解.（2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+得到1a =，进而得到1cos ρθ=+，分别与直线l 的极坐标方程联立，求得A ，B 坐标求解.【详解】（1）解：消去参数t 得到直线l 的普通方程为y = 所以极坐标方程为π3θ=或4π3θ=； （π3θ=（ρ∈R 也正确）由()1cos a ρθ=+，得2cos a a ρρρθ=+，即22x y ax +=化简得心形线的直角坐标方程为()()222222x y ax a x y +-=+. （2）将()2,0代入方程()1cos a ρθ=+，得1a =∴1cos ρθ=+.由π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得3π,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 由4π,31cos ,θρθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩得14π,23B ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴13π112π2sin 2sin 223223ABP AOP BOP S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△23．(1)0或2(2)[)3,4【分析】（1）根据1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-结合取等条件即可得解；（2）把()||6f x a x <+恒成立，转化为()2160g x x x a a x =-+---<恒成立，分情况讨论去绝对值符号，从而可得出答案.【详解】（1）因为1()(1)1x a x x a x a -+-≥---=-，当且仅当()(1)0x a x --≤时取等号()2|1||||1||1||1|f x x x a x a a =-+-≥-+-≥-，当且仅当1x =时取等号 所以11a -=，解得0a =或2a =故a 的值为0或2；（2）令g()2|1|||6x x x a a x =-+---，由题意知()0g x <恒成立 当{1x x x ∈≥且}x a ≥时 ()()()g()21638x x x a ax a x a =-+---=---,要使得()0g x <恒成立则30,a -≤可得3,a ≥当3a ≥时()()()()()34,034,0118,138,a x a x a x a x g x a x a x a a x a x a ⎧-+-<⎪-++-≤<⎪=⎨-+-≤<⎪⎪---≥⎩因为()0g x <恒成立, 则max ()0g x <,由图像可知()max ()0g x g = 所以()g()g 040x a ≤=-<,所以4a < 综上可知实数a 的取值范围为[)3,4．。
