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分式方程及其应用（习题）例题示范例1：解分式方程：11322x x x-=---． 【过程书写】 1(1)3(2)1136242x x x x x x =----=-+-+==解： 检验：把x =2代入原方程，不成立∴x =2是原分式方程的增根∴原分式方程无解例2：八年级（1）班学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校120km ．一部分学生乘慢车先行，出发0.5h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度.【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】解：设慢车的速度为x km/h ，则快车的速度为1.2x km/h ，由题意得，1201200.51.2x x =- 解得，x =40经检验：x =40是原方程的解，且符合题意答：慢车的速度是40km/h ．巩固练习1. 下列关于x 的方程，其中不属于分式方程的是（ ）A ．1a b a x a ++=B ．xa b x b a +=-11 C ．b x a a x 1-=+ D ．1=-+++-nx m x m x n x2. 解分式方程2236111x x x +=+--分以下四步，其中错误的一步是（ ） A ．方程两边分式的最简公分母是(1)(1)x x -+B ．方程两边都乘以(1)(1)x x -+，得整式方程2(1)3(1)6x x -++=C ．解这个整式方程，得1x =D ．原方程的解为1x =3. 张老师和李老师同时从学校出发，骑行15千米去县城购买书籍．已知张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，则两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意可列方程为（ ）A ．1515112x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112x x -=-4. 若方程61(1)(1)1m x x x -=+--有增根，则m =_________．5. 如果解关于x 的分式方程1134x m x x +-=-+出现了增根，那么增根是___________．6. 解分式方程：（1）43(1)1x x x x +=--；（2）22(1)23422x x x x +=+--+；（3）23112x x x x -=+--；（4）11222x x x-=---．7. 某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800件投入市场．已知该服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2倍．A ，B 两车间共同完成一半的生产任务后，A 车间因出现故障而停产，剩下的全部由B 车间单独完成，结果前后共用了20天完成全部生产任务．则A ，B 两车间每天分别能加工多少件该款夏装？ 【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】8.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求．商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但是单价贵了4元．商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下150件按八折销售，很快售完．在这两笔生意中，商厦共盈利多少元？【思路分析】列表梳理信息：【过程书写】【参考答案】 巩固练习1. C2. D3. B4. 35.x=36.（1）x=2（2）43 x（3）无解（4）无解7.A车间每天能加工384件该款夏装B车间每天能加工320件该款夏装8.商厦共盈利90 260元。
北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册《分式方程的应用》这一章节主要让学生掌握分式方程的解法及其应用。
在此之前，学生已经学习了分式的基本概念、性质和运算，为本节课的学习打下了基础。
本节课的内容分为两个部分：一是分式方程的解法，二是分式方程在实际问题中的应用。
通过学习，学生能够掌握解分式方程的方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和性质有一定的了解。
但是，学生在解分式方程方面可能还存在一定的困难，特别是对于如何正确地去分母、化简方程等方面。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答。
三. 教学目标1.理解分式方程的概念，掌握解分式方程的方法。
2.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.掌握解分式方程的方法，特别是如何正确地去分母、化简方程。
2.将分式方程应用于实际问题，提高解决问题的能力。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式方程的解法。
2.通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高团队合作能力。
3.利用多媒体辅助教学，直观地展示分式方程的解法过程。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教案。
2.准备一些实际问题，用于引导学生应用分式方程解决问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。
从而引出本节课的主题——分式方程的应用。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示例，向学生介绍分式方程的概念和解法。
讲解过程中，重点强调如何去分母、化简方程。
同时，让学生跟随教师一起动手解题，加深对解题方法的理解。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决一些分式方程问题。
教师在旁边进行指导，解答学生的疑问。
此环节旨在让学生在实际操作中掌握解分式方程的方法。
第13课 分式方程的应用(1)——工程问题一、知识储备工程问题：=.（ ）工作时间（ ）列分式方程解应用题的步骤：①设未知数；②列方程；③解方程；④______________；⑤作答.二、新课学习1.某化肥厂由于采取了新技术，每天比原计划多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么该化肥厂原计划每天生产化肥多少吨？2.小王做90个零件所需要的时间与小李做120个零件所用的时间相同，又知每小时小王与小李两个人共做35个机器零件.求小王、小李每小时各做多少个零件？3.某文具厂计划加工3000套画图工具，为了尽快完成任务，实际每天加工画图工具的数量是原计划的1.2倍，结果提前4天完成任务，求该文具厂原计划每天加工这种画图工具的数量.4.某年，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务，间原计划每天修水渠多少米？5.张家界市为了治理城市污水污染，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道，铺设120米后，为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工作量是原计划的1.2倍，结果共用了27天完成了这一任务，求原计划每天铺设管道多少米？6.某服装厂准备加工380套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高10%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？7.某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现甲礼品的单价比乙礼品多40元，并且花费600元.购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等，求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？8.某工厂计划生产120件零件，由于采用新技术，每天比原计划多生产3件，因此提前2天完成计划，设原计划每天生产x件零件，则可列方程为（）A.12012023x x-=-B.12012023x x-=-C.12012023x x-=+D.12012023x x-=+9.开学初，某文化用品商店减价促销，全场8折.用60元购买规格相同的签字笔，折价后买到的数量刚好比按原价买到的数量多3支原来每支签字笔的价格是多少元？10.一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍，用这台机器收割10hm2小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1h，这台收割机每小时收割多少公顷小麦？11.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独做需要3个月完成，当甲队单独施工1个月后，乙队加入共同施工，又工作了半个月，总工程全部完成，求乙队单独施工需要多少个月能完成全部工程？12.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A，B两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用20天完成A，B两车间每天分别能加工多少件？第13课 分式方程的应用（1）——工程问题1.解：设原计划每天生产化肥x 吨.依题意，得1801203x x=+，解得6x = 经检验，6x =是方程的解.所以原计划每天生产化肥6吨. 2.解：设小王每小时做零件x 个，小李每小时做零件()35x -个.依题意，列方程9012035x x=-，解得15x =. 经检验，15x =是方程的解.所以小王每小时做零件15个，小李每小时做零件20个.3.解：设原计划每天加工这种画图工具x 套.依题意，列方程3000300041.2x x -=，解得125x =.经检验，125x =是方程的解.所以原计划每天加工这种画图工具125套.4.解：设原计划每天修水渠x 米.依题意36003600201.8x x⋅=，解得80x =. 经检验，80x =是方程的解，所以原计划每天修水渠80米.5.解：设原计划每天铺设管道x 米.依题意，有120300120271.2x x-+=，解得10x =， 经检验，10x =是方程的解，所以原计划每天铺设管道10米.6.解：设计划每天加工服装x 套.依题意，有16038016018(110%)x x -+=+，解得20x =， 经检验，20x =是方程的解，所以计划每天加工服装20套.7.解：设甲礼品单价为x 元，则之礼品单价为()40x -元.依题意，有60036040x x =-，解得 100x =，经检验， 100x =是方程的解，所以甲礼品单价为100元，乙礼品单价为60元.8.C9.解：设原来每支签字笔的价格是x 元.依题意，有606030.8x x-=，解得5x =， 经检验，5x =是方程的解，所以原来每支签字笔的价格是5元.10.解：设这台收割机每小时收割x 公顷小麦，依题意有，10010101150x x÷-=，解得5x =， 经检验，5x =是方程的解，所以这台收割机每小时收割5公顷小麦.11.解：设乙队单独施工需要x 个月能完成全部工程.依题意，有111111332x ⎛⎫⨯++⨯= ⎪⎝⎭，解得1x =.经检验，1x =是方程的解，所以乙队单独施工需要1个月能完成全部工程.12.解：设B 车间每天能加工x 件，则A 车间每天加工的数量是1.2x 件.依题意，44004400201.2x x x+=+，解得320x =， 经检验，320x =是方程的解，所以A 车间每天能加工384件，B 车间每天能加工320件。
八年级上册数学分式方程应用题讲解
分式方程的应用题是数学中的一个重要部分，它涉及到现实生活中的各种问题。
下面是一个关于分式方程应用题的示例，以及详细的解题步骤和讲解。
题目：某工程甲单独做45天完成，乙单独做30天完成，若甲先单独做10天后，乙再加入合作，问乙加入后几天完成？
分析：
1. 甲单独完成工程需要45天，所以甲一天可以完成 1/45 的工程。
2. 乙单独完成工程需要30天，所以乙一天可以完成 1/30 的工程。
3. 甲先单独做了10天，完成了10 × (1/45) = 10/45 = 2/9 的工程。
4. 剩下的工程量是 1 - 2/9 = 7/9。
5. 现在，甲和乙一起工作。
我们要找出他们一起工作了多少天来完成剩下的7/9 的工程。
用数学方程表示这个问题：
1) 甲一天完成的工程量是 1/45
2) 乙一天完成的工程量是 1/30
3) 甲先单独做了10天，完成了10 × (1/45) = 2/9 的工程
4) 剩下的工程量是 1 - 2/9 = 7/9
5) 设甲和乙一起工作了 t 天，则t × (1/45 + 1/30) = 7/9解这个方程，我们就可以找出 t 的值。
计算结果为： [{t: 14}]
所以，甲和乙一起工作需要：14天来完成剩下的工程。
初二数学 分式方程的应用 冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 掌握列分式方程解决实际问题的一般步骤，抓住题中的等量关系列出方程．2. 在列方程的过程中体会题中的数量关系，在解题过程中体会考虑问题时应注意考虑问题的全面性．二. 知识要点：1. 列分式方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意和题目中的已知量、未知量，并能找出表示问题全部含义的等量关系．（2）设未知数⎩⎪⎨⎪⎧直接设未知数，问什么设什么间接设未知数 ，用含未知量的代数式表示有关的未知量．（3）找相等关系，列出方程． （4）解方程：（其过程可以省略）（5）检验：检验时既要检验所求得的值是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即“双重检验”．（6）写出答案；不要忘记单位名称． 2. 列方程解应用题的常用方法（1）译式法：将题目中的关键性语言或数量间的关系译成代数式，然后根据代数式之间的内在联系找出等量关系．（2）线示法：用直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段的长度的内在联系，找出等量关系，列出方程．（3）列表法：把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系． （4）图示法：利用图示表示应用题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意． 3. 列分式方程解应用题常见的几个应用问题 （1）行程问题行程问题中的三量：速度、时间、路程中路程大多是已知的，所以设时间为未知数时，往往根据速度的数量关系列方程，如果设速度为未知数，往往根据时间的数量关系列方程．（2）工程问题工程问题中的数量有工作效率、工作时间和工作量，在用分式方程解应用题时，往往工作量是已知的，如果设工作效率为未知数，那么根据工作时间的数量关系列方程，反之也可以工作时间为未知数根据工作效率列方程．（3）数字问题①三个连续整数分别表示为x －1，x ，x ＋1； ②三个连续偶数分别表示为2x －2，2x ，2x ＋2； ③三个连续奇数分别表示为2x －3，2x －1，2x ＋1；④n 位数a 1a 2a 3…a n ＝a 1×10n －1＋a 2×10n －2＋…＋a n －1×10＋a n ． （4）利润问题利润问题常用的数量关系是利润＝售价－进价，利润率＝利润进价×100%．而用分式方程来解利润问题常常根据利润率之间的数量关系列方程．（5）几何图形问题解决这类问题的关键是要掌握各种几何图形的面积以及体积公式．三. 重点难点：重点是列分式方程解应用题；难点是审题，找准题目中的等量关系．四. 考点分析：列方程解应用题是中考的热点，题型以解答题为主．今后的中考题中，列分式方程解应用题仍然是必考内容，主要是考查可化为一元一次方程的分式方程的应用题．【典型例题】例1. 汽车比步行每小时快24千米，自行车比步行每小时快12千米，某人从A 地先步行4千米，然后乘汽车16千米到达B 地，又骑自行车返回A 地，往返所用时间相同，求此人步行速度．分析：若设步行速度为x 千米/时，则汽车的速度为（24＋x ）千米/时，题目中所用时间的数量关系是：去时步行4千米的时间加上乘汽车16千米的时间等于返回时骑自行车行驶20千米所用的时间．解：设步行速度为x 千米/时，根据题意，得 4x ＋16x ＋24＝20x ＋12， 解得x ＝8．经检验x ＝8是原方程的根，并且符合题意． 答：此人步行的速度是8千米/时．例2. 相邻的两个偶数的比是24∶25，求夹在这两个偶数之间的奇数． 分析：先根据题意确定这两个偶数，再求夹在这两个偶数之间的奇数． 解：设相邻的两个偶数分别为2x 和2x ＋2，由题意列方程，得 2x 2x ＋2＝2425， 解得x ＝24．经检验x ＝24是原方程的根，并且符合题意． 所以2x ＝48，2x ＋2＝50．所以夹在48和50之间的奇数为49． 答：所求的奇数为49．例3. 某项工程，原计划50人在若干天内完成，开工时由于采用新技术，工作效率提高了60%，现只派40人去工作，结果比原计划提前7天完成任务，求原计划工作多少天？分析：解此题的关键是准确利用代数式表示出每人每日的工作效率，等量关系是：原来每人的日工作效率×（1＋60%）＝现在每人的日工作效率．解：设原计划用x 天完成，则现在实际只用了（x －7）天，原来每人的日工作效率为150x，现在每人的日工作效率为140（x －7）．依题意列方程，得150x ×（1＋60%）＝140（x －7）．整理，得1.6×40（x －7）＝50x ． 所以x ＝32．经检验x ＝32是原方程的解． 答：原计划要工作32天．评析：列分式方程解应用题的步骤和列整式方程解应用题的步骤相同：①弄清题意；②设定未知数；③根据题目中的等量关系列出分式方程；④解分式方程；⑤检验并写出问题的答案，检验时既要检验得到的根是不是分式方程的增根，又要检验是否符合实际．例4. 太华商场买进一批运动衣用了10000元，每件按100元卖出，假如全部卖出这批运动衣，所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，那么这次买卖中，商场所得利润刚好是买进200件运动衣所用的款，试问这批运动衣有多少件？（只列方程）分析：本题主要等量关系是：所得利润＝200件运动衣的进价． 解：设买进的这批运动衣有x 件．由题意得：100x －10000＝10000x×200评析：并不是所有的分式方程都能化为一元一次方程．例5. 某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．（1）求第一批购进书包的单价是多少元？ （2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？ 分析：（1（2）求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的（2000＋6300）元，所得结果就是全部售出后的盈利．解：（1）设第一批购进书包的单价是x 元，根据题意得： 2000x ·3＝6300x ＋4， 解得x ＝80（元）（2）200080×（1＋3）×120－（2000＋6300）＝3700（元）答：（1）第一批购进书包的单价是80元．（2）全部售出后，商店共盈利3700元．例6. 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？l分析：，数量关系如下表：根据表格数据列出方程，求得甲、乙二人的速度，再求出时间，比较二人所用时间的长短便可以区分哪位同学获胜．解：设乙同学的速度为x 米/秒，则甲同学的速度为1.2x 米/秒，根据题意得： （601.2x ＋6）＋60x＝50， 解得x ＝2.5．经检验，x ＝2.5是方程的解，且符合题意．所以，甲同学所用的时间为：601.2x ＋6＝26（秒），乙同学所用的时间为：60x＝24（秒）．因为26＞24， 所以乙同学获胜．评析：注意正确理解题意，特别是甲所用的时间，他浪费了6秒钟，要重新开始，但这段时间要计算在内．【方法总结】1. 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根．一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意．原方程的增根和不符合题意的根都应舍去．2. 列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数．但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数．在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷．例：A ，B 两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A 地开往B 地，大汽车比小汽车早出发5小时，两车同时到达．已知大、小汽车速度的比为2∶5，求大、小两辆汽车从A 地到达B 地各用的时间．如果设直接未知数，即设小汽车从A 地到B 地需用时间为x 小时，则大汽车从A 地到B 地需（x ＋5）小时，依题意，列方程135x ＋5∶135x ＝2∶5．解这个分式方程，运算较繁琐．如果设间接未知数，即设速度为未知数，先求出大、小两辆汽车的速度，再分别求出它们从A 地到B 地的时间．设大车的速度是x 千米/时，则小车的速度是52x 千米/时，列方程135x－1352.5x ＝5．运算就简便多了．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9000kg 和15000kg ．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg ，若设第一块试验田每公顷的产量为xkg ，根据题意，可得方程（ ）A. ＝15000xB. ＝15000x －3000C.＝15000x ＋3000D.9000x －3000＝15000x2. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）A. 300x －2060＝3001.2xB. 300x －3001.2x ＝20C. 300x －300x ＋1.2x ＝2060D. 300x ＝3001.2x －2060*3. 某工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土恰好能由1个人全部运走，怎样调配劳动力才能使挖出来的土及时运走且不窝工？解决此问题，可设派x 人挖土，其他人运土，则下列方程正确的有（ ）① 72－x x ＝13 ② 72－x ＝x 3 ③ x ＋3x ＝72 ④ x 72－x＝3A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个二. 填空题1. 某食堂有煤m 吨，原计划每天烧煤a 吨，现在每天节约用煤b 吨，则可比原计划多烧__________天．2. 已知一个分数的分母比分子的4倍少1，把分子加上1后，所得分数的值为23．那么这个分数是__________．3. 当x ＝__________时，分式3x －2与2x ＋2的值相等．4. 已知2x －y 与x ＋y 的比是23，则xy＝__________．*5. 若在浓度为10%的a kg 盐水中加入食盐b kg ，则盐水的浓度为__________，若再蒸发掉b kg 水，则盐水的浓度为__________．*6. 上山和下山的路程均是s km ，某人上山的速度为a km /h ，下山的速度为b km /h ，则此人上山和下山的平均速度为__________km /h ．三. 解答题1. 购一年期债券，到期后本利共获2700元，如果债券年利率为12.5%，那么利息是多少元？2. 甲、乙两地相距360km，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从甲地到乙地的时间缩短了2h，试确定原来的平均车速．3. 某车间加工1200个零件后，采用了新工艺，工作效率是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用了10h，采用新工艺前、后每小时分别加工多少个零件？*4. 2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心，“一方有难，八方支援”．某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区人民，在加工了300顶帐篷后，由于救灾需要工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成了任务．求原来每天加工多少顶帐篷？**5. 注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路，填写表格，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填写表格，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．天津市奥林匹克中心体育场——“水滴”位于天津市西南部的奥林匹克中心内，某校九年级学生由距“水滴”10千米的学校出发前往参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度．（Ⅰ）设骑车同学的速度为x千米/时，利用速度、时间、路程之间的关系填写下表．（Ⅱ）列出方程（组），并求出问题的解．【试题答案】一. 选择题1. C2. A3. C二. 填空题1. m a －b －m a2. 133. －104. 545. 10a ＋100b a ＋b ％（提示：10%a ＋b a ＋b ＝10a ＋100b 100（a ＋b ）＝10a ＋100b 100（a ＋b ）×100%＝10a ＋100b a ＋b％）；10a ＋100ba ％ 6. 2ab a ＋b三. 解答题1. 设利息是x 元，则x2700－x＝12.5%．解得x ＝300．2. 设原来的平均车速为x km /h ，则360x －3601.5x ＝2．解得x ＝60．原来的平均车速为60km /h3. 设采用新工艺前每小时加工x 个零件，则采用新工艺后每小时加工1.5x 个零件，列方程得1200x －12001.5x ＝10，解得x ＝40，1.5x ＝60．则采用新工艺前、后每小时分别加工零件40个，60个．4. 设原来每天加工x 顶帐篷，则1500x －（300x ＋12001.5x）＝4，解得x ＝100．5. （Ⅰ）10x ，2x ，102x （Ⅱ）根据题意，列方程得10x ＝102x ＋13，解这个方程，得x ＝15．则骑车同学的速度是15千米/时．。
分式方程的应用——行程问题
1．为庆祝建党100周年，学校组织初二学生乘车前往距学校132千米的某革命根据地参观学习．二班因事耽搁，比一班晚半小时出发，为了赶上一班，平均车速是一班平均车速的1.2倍，结果和一班同时到达．求一班的平均车速是多少千米/时？
2．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通”“互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间的国道全长为220km，经过改修高速公路后，长度减少了20km，高速公路通后，一辆长途汽车的高速行驶速度比国道行驶速度提高了45km/h，从甲地到乙地的行驶时间减少了一半．
（1）求该长途汽车在国道上行驶的速度；
（2）若该高速公路规定长途汽车限速80km/h，那么该长途汽车从甲地到乙地是否超速？
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第24讲 分式方程及应用【板块一】 分式方程的解法题型一 基本题【例1】解下列分式方程：（1）252331x x x x x ++=++； （2）2242111x x x x x -+=-+.【练1】解下列分式方程：（1）311(1)(2)x x x x -=--+； （2）221424242x x x x --=+--.题型二 分离变量【例2】解下列分式方程：（1）24681357x x x x x x x x ++++-=-++++； （2）23241123x x x x --=+--.【练2】解下列分式方程：222232411221x x x x x x x x +-+++=+-++； （2）17282839x x x x x x x x ++++-=-++++；题型三 裂项法【例3】解方程：（1）()11111(1)(1)(2)(2009)2010x x x x x x x+++=------；（2）22221111413256712214x x x x x x x x x +++=-++++++++.【练3】（1）111120133557(21)(21)41n n ++++=⨯⨯⨯-+，求n 的值；（2）解关于x 的方程222111132567124x x x x x x x -+=+++++++.题型四 分组通分【例4】（1）解方程18272938x x x x x x x x +++++=+++++.【练4】解方程11113467x x x x -=-----，并猜想11112005200620072008x x x x -=-----的解.题型五 倒数型【例5】阅读并完成下列问题：方程1122x x +=的解是x 1=2，x 2=12；方程1103x x +=的解是x 1=3，x 2=13，观察上述方程及解，可猜想关于x 的方程①方程11x c x c +=+的解是___________________，请用上述方法解方程：315132x x x x -+=-.【练5】解方程：2344342334x x x x+-+=++-.题型六 增根问题【例6】（1）关于x 的方程322133x mx x x-++=---无解，求m 的值； （2）若关于x 的方程：22215111k k x x x x --+=-+-有增根x =1，求k 的值.针对练习11.解下列分式方程：（1）311(1)(2)x x x x -=++-； （2）213933y y y y +=--+；（3）28124x x x -=--； （4）1011x x x x --=+-；（5）16252736x x x xx x x x+++++=+++++；（6）596841922119968x x x xx x x x----+=+----.2.若关于x的方程212x ax+=--的解为正数，则a的取值范围是__________________________.3.若关于x的分式方程4155x ax x=---有增根，那么增根是_____________，这时a=_____________.4.若关于x的分式方程311x ax x--=-无解，则a=__________________.5.关于x的方程2122x ax-=-的解是非负数，求a的取值范围.6.k为何值时，关于x的方程123(2)(3)x x x kx x x x++-=-+-+的解为负数. 【板块二】分式方程的应用题型一工程问题【例7】武汉某道路改造工程，若由甲、乙两工程队合作20天可完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完成.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？（2）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，并且要求整个工期不能超过30天，问如何安排甲、乙工程队做这项工程使得花费最少？题型二行程问题【例8】一辆汽车开往距离出发地180km的目的地，出发后第1小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后按原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40min到达目的地.（1）求前1小时行驶的速度；（2）汽车出发时油箱有油7.5升，到达目的地时还剩4.3升油，若汽车提速后每小时耗油量比原来速度每小时耗油量多0.3升，问这辆汽车要回到出发地，是以原来速度省油还是提速后的速度省油？题型三利润问题【例9】某商店用2000元购进一批玩具，很快销售一空；商店又用3500元购进第二批该款玩具，购进时单价比第一批高25%，所购进数量比第一批多100个.（1）求第一批玩具购进时单价是多少？（2）若商店以每个12元的价格将这两批玩具全部售出，可以盈利多少元？题型四工作量问题【例10】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间和原计划生产450台机器所需时间相同.（1）现在平均每天生产多少台机器；（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成.1.甲、乙两个救援队向相距50千米某地震灾区运送救援物资，已知甲救援队的平均速度是乙救援队平均速度的2倍，乙救援队出发40分钟后，甲救援队才出发，结果甲救援队比乙救援队早到20分钟，若设乙救援队的平均速度为x千米/小时，则方程可列为（）A.5015023x x+=B.505012x x+=C.5015023x x-=D.505012x x-=2.甲，乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做6个所用的时间相等，设乙每小时作x个零件，依题意列方程为（）A.90606x x=+B.90606x x=-C.90606x x=+D.90606x x=-3.工程队要铺设一段全长2000米的管道，因天气原因需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米才能按时完成任务，原计划每天施工多少米？设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）A.20002000250x x-=+B.20002000250x x-=+C.20002000250x x-=-D.20002000250x x-=-4.武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元.（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？（3）甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费用不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数.（天数为整数）5.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合作3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成，试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由.6.武汉江汉一桥维修工程中，由甲、乙两个工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可知道：若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天，甲工程队单独做10天也恰好完成.请问：（2）又知甲工程队每天施工费为0.6万元，乙工程队每天施工费为0.35万元，要使该项目的施工费不超过22万元，则乙施工队最少施工多少天？7.A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度.8.某商场用24000元购入一批空调，然后以每台3000元的价格销售，因天气炎热，空调很快售完；商场又以52000元的价格再次购入该种型号的空调，数量是第一次购入的2倍，但购入的单价上调了200元，并以售价不变很快售完，问该商场在两次空调买卖中共赚了多少元？9.某书店老板去图书市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书，试问该老板这两次售书总体上赚多少元？10.小明准备从批发市场购进甲、乙两种小商品到夜市销售，已知每件甲种商品的进价比每件乙种商品的进价少2元，且用80元购进甲种商品的数量与用100元购进乙种商品的数量相同，设每件甲种商品进（1）每件乙种商品的进价为__________元，100元购进乙种商品的数量为_____________件（用含x的式子表示）；（2）求每件甲种商品，每件乙种商品的进价分别为多少元？（3）若小明本次购进甲种商品的数量比购进乙种商品的数量的3倍还少5个，他将这批小商品均按进价加价50%全部售出，共获利a（70＜a＜100）元，则a的值为_______________（直接写出结果）.。
