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人教版八年级数学上册解分式方程

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人教版数学八年级上册15.3解分式方程“五注意”

人教版数学八年级上册15.3解分式方程“五注意”

解分式方程 “五注意”大家都知道在解可化为 一元一次方程的分式方程时，当遇到分式方程的结构较为“复杂”，解题步骤较为“繁多”时，在求解的过程中，要注意以下几个方面，供同学们学习时参考．一、要注意检验例1．解方程：2236111x x x +=+-- 分析：解分式方程是通过转化为整式方程来解的，其中有可能产生增根，因此必须检验．解：方程两边同乘以(x+1)(x-1) 得2x-1+3(x+1)=6，整理得：5x=5，x=1检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，所以x=1是增根，所以原方程无解．二、要注意失根例2．解方程：1310414351x x x x -=----- 分析：去分母时，方程两边同除以（3x+1）容易造成失误，注意解方程不能同除以含未知数的整式． 解：方程两边分别通分得：3131(4)(3)(5)(1)x x x x x x ++=---- （1）若3x+1=0，即13x =，原方程显然成立． （2）若3x+1≠0，即13x ≠时，两边同除以（3x+1）得11(4)(3)(5)(1)x x x x =----， 所以(x-4)(x-3)=(x-5)(x-1),即x=7，经检验13x =或x=7都是原方程的根． 三、注意易漏乘例3．解方程：11455x x x+-=-- 分析：去分母时，右边的整式项“4”容易漏乘公分母（x-5），因此导致错误． 解：去分母，得(x+1)+1=4(x-5)，整理得：3x=22，所以223x =， 经检验223x =是原方程的根．四、注意易错符号例4．解方程：2116122312x x x x -=---- 分析：本题去分母时易有两处错误：方程左边一项12x -乘以3(x+2)(x-2)应等于-3(x+2)；方程右边第二项26312x x ---乘以公分母后应等于-(6-x)=-6+x ． 解：去分母，得-3(x+2)=3(x+2)-6+x ，整理得：7x+6=0，解之得：67x =- 经检验67x =-是原方程的根． 五、情绪焦虑思维受阻而失误例5．解方程：485761079x x x x x x x x ----+=+---- 分析：有的学生见到分式方程时往往急于去分母，从而使计算繁杂，此时，会产生焦虑情绪，无法继续完成．学生只要冷静观察、分析分母特点，消除焦虑心理，可以得到4282521,1,166101077x x x x x x x x x ---=+=+=+------，72199x x x -=+--，所以原方程可变为111167910x x x x -=-----，这时再通分，去分母就简单多了． 解：由111167910x x x x -=-----，得11(6)(7)(9)(10)x x x x --=----，所以 (x-6)(x-7)=(x-9)(x-10)，2213421990x x x x -+=-+，所以6x=48，x=8经检验x=8是原方程的根．。

人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)

人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：

人教版数学八年级上册第15章：分式方程的无解与增根

人教版数学八年级上册第15章：分式方程的无解与增根

例4、当a为何值时，关于 x的方程
2 x-
2
+
ax x2 -
4
=
x
3 +
2
①有增根； ②无解。
解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，
得2(x＋2)＋ax＝3(x－2)
整理得（a－1）x＝－10
②
（无（综把1解 2上x））＝。 所当当若则把解2述或aa原增得x，--＝－11分根，≠a2=20＝式为a或0代时＝即1方x－入，或－=a程22方=xa4代或1有＝＝或程入x时增2一6=②或．方(-根４a2中－-程1，或，)2②xa时得=＝中-，1a6，0＝原时无－方，解4程原，或无分原6．解式方，方程 程无解．
x2
课堂小结
复习完本课后你有哪些收获？
课后作业：
1、已知关于 x的方程
2x m x-2

3的解为正数，
则的范围是
2、若关于 x的方程
x x
k
1

x
k

1

1的解为负数，
则k的取值范围是
人教版 八年级上册 第十五章
分式方程的增根与无解
知识回顾:
解分式方程的一般步骤
分式方程 去分母 整式方程
一化
解整式方程
二解
目标
X=a
检验
三检验
a是分式 最简公分母不为０ 最简公分母为０ a不是分式
方程的解
方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程： 2 4x 3 x 2 x2 4 x 2
1）原方程去分母后的整式方程无解，
2）原方程去分母后的整式方程有解，但解 是增根。
关于分式方程的增根与无解问题 的一般步骤：

八年级数学人教版(上册)小专题(十七)分式方程的解法

八年级数学人教版(上册)小专题(十七)分式方程的解法

(7)2x＋ x 2－xx＋ －22＝xx22－－22x. 解：方程两边同乘 x(x－2)，得
(x－2)(2x＋2)－x(x＋2)＝x2－2.
解得 x＝－12. 检验：当 x＝－12时，x(x－2)≠0. ∴原分式方程的解是 x＝－12.
(8)xx2－－2x－1－x x＝1. 解：去分母，得 x－2＋x2＝x(x－1)， 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，x(x－1)＝0，
∴x＝1 不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
(5)(2020·陕西)x－x 2－x－3 2＝1. 解：去分母，得 x2－4x＋4－3x＝x2－2x.
解得 x＝45. 检验：当 x＝45时，x(x－2)≠0， ∴原分式方程的解是 x＝45.
(6)x－x 1－1＝（x－1）3（x＋2）. 解：去分母，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 去括号，得 x2＋2x－x2－2x＋x＋2＝3. 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0， ∴x＝1 不是原分式方程的解． ∴原分式方程无解．
(3)(2021·广西)x＋x 1＝3xx＋3＋1. 解：去分母得 3x＝x＋3x＋3， 解得 x＝－3. 检验：当 x＝－3 时，3(x＋1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－3.
(4)(2021·攀枝花)x－x 1－1＝x＋2 1. 解：去分母，得 x(x＋1)－(x2－1)＝2(x－1)， 去括号，得 x2＋x－x2＋1＝2x－2， 解得 x＝3. 检验：当 x＝3 时，(x＋1)(x－1)≠0. ∴原分式方程的解为 x＝3.
第十五章 分式
小专题(十七) 分式方程的解法
解下列方程： (1)2xx＋＋39－1＝x＋2 3. 解：去分母，得 2x＋9－(x＋3)＝2. 解得 x＝－4. 检验：当 x＝－4 时，x＋3≠0. ∴原分式方程的解为 x＝－4.

人教版八年级上册数学《 分式方程》(优质教案)

人教版八年级上册数学《 分式方程》(优质教案)

人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。

本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。

通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。

2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。

3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。

2.分式方程的解法及其应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。

2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。

3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。

同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。

3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。

人教版八年级上册数学精品教学课件 第1课时 分式方程及其解法3

人教版八年级上册数学精品教学课件 第1课时 分式方程及其解法3

8
8
x 2 2x 15 x 2 16x 48
x2
x2x159
x2
16x
48
2
经检验, x 9 是原方程的根
2
11 1 1 x 3 x 4 x 5 x 12
1 1 11 x 3 x 12 x 5 x 4
2x 9 0
x
2x
3x
9 12
x
2x 9
5x
4
x 9 2
x2 9x 36 x2 9x 9
经检验, x 9 是 2
原方程的根
例3 ：解方程 y 4 y 5 y 7 y 8 y5 y6 y8 y9
点拨： 此方程的特点是：各分式的分子与分母的次数相
同， 这样一般可将各分式拆成： 整式+分式 的形式。
解：1 1 1 1 1 1 1 1
y 5
y6
y 8
y9
1
1
1
y 1 y 2y01yy12y1,y2102yyy1121y,y220 20
下面的过程请同学们自己完成 相信你们能行
以下各方程能利用换元法进行换元吗？
x x2 1
x2 1 x
5 2
能 y 1 5 y2
( x )2 5( x ) 3 能 y2 5y 3
x 1
x 1
x2 x2
1 1
3(x2 1) x2 1
2x
0
不能
小结
有些分式方程用常规方法-----------去分母，是很复 杂 ，甚至无法求解，有时要采取其他的方法
①采取局部通分法,会使解法很简单.这种解 法称为 ——通 分 法
②各分式的分子、分母的次数相同，且相差 一定的数，可将各分式拆成几项的和。这种 解法称为 —— 拆 项 法

人教版八年级数学上册1分式方程

第十五章 分式
分式方程
课题引入
现在回到本章引言中的问题。
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
90
30+
=
60
.
30−
①
方程①的分母中含未知数，像这样分母中含未知数的方程叫做分式
方程。我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母
中。
思考
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，

s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,

+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,

八年级数学人教版(上册)15.3.1分式方程及其解法(共25张PPT)

0 ，方程 无意义
探究新知
在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中 出现的不适合于原方程的根 .
特征：增根使最简公分母为零 判断方法：验根时把整式方程的根代入最简公分母
交流讨论
问题1：产生 “ 增根 ” 的原因在哪里呢？
分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分 式方程一定要验根！
问题2：“ 方程有增根 ” 和 “ 方程无解 ” 一样吗？
否为零？
方程的解
例题解析
方程两边同乘以x(x-3)，得 2x=3(x-3)
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3) ≠0.
所以，原分式方程的解为x=9.
解得x=-2. 检验：当x=-2时，(x+2)(x-2) =0. 因此x=-2不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解.
x = -2 时， 分式方程 的分母为
当堂达标
C
C
C C
C
x=3是增根，原分式方程无解 .
去分母时，原方程的整式部分漏乘． 约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号． 忘记检验 . 注意去括号时前面的负号 .
例题解析
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与
你分享吗？
解分式方程的步骤
①去分母 ： 化分式方程为整式方程 . 即把分式方 程两边同乘以最简公分母 . ②解这个整式方程 . ③检验 ：把整式方程的解 ( 根 ) 代入最简公分母， 若结果为 0 ，则必须舍去，否则，它是原方程的 根. ④写结论 .
将x=0代入得3× (0-1)+6×0=0+k . 解得k=-3 . 将x=1代入得3× (1-1)+6×1=1+k . 解得k=5. 所以k=-3或k=5

人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件


（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）

初中数学人教版八年级上册分式方程的解法


一、探究实际问题
如果设江水流速为v km /h,则轮船顺流航行90km
90
60
所用时间为 30 v 逆流航行60km所用间 30 v ，
由方程
90 60 30 v 30 v
可解出v的值。
1、归纳分式方程的概念： 分母中含有未知数的方程。
2、巩固练习 下列各式哪些是分式方程？
(1)
90 60 30 v 30 v
（最简公分母为0）
2、本节课用到的数学思想： 化归思想 、程序化思想和建模思想
1.
2 4 x 1 x2 1
5
1
2.
0
x2 x x2 x
90
(3)
1
30 v
(5) x 1 1 2
哪些是整式方程？
(2)
30 v 30 v
90
60
(4) 90(30 v) 60(30 v)
(6) 5 7 x x2
(7)
1 x5
10 x2 25
(8)
5 1 0
x 3 x 1
二、探究分式方程的解法
1. 求探究实际问题的解
90 60 30 v 30 v
第十五章 分式
15.3 分式方程（第一课时）
1.了解分式方程的概念。 2.会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单
分式方程，体会化归思想和程序化思想。 3.了解需要对分式方程的解进行检验的原因。
利用去分母的方法解分式方程。
了解用去分母的方法解分式方程产生增根 的原因。
一、探究实际问题
问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30km /h,它以最大航速沿江顺流航行90km 所用时间，与以最大航速逆流航行60km所 用时间相等，江水的流速为多少？
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