江苏省昆山市锦溪中学九年级数学下册 第七章 锐角三角函数能力检测题 苏科版

苏科版九年级数学下册_第七章_锐角三角函数_单元检测试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知sin α=√32，且α是锐角，则α等于( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30° 2．已知飞机离水平地面的高度为5千米，在飞机上测得该水平地面上某观测目标A 的俯角为α，那么这时飞机与目标A 的距离为（ ）A ．5sin αB ．5sinαC ．5cos αD ．5cosα 3．某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏听偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan ∠ABP =（ ）A ．12B ．2C ．√55D ．2√554．设x 为锐角，且满足sin 3cos x x =，则sin cos x x ⋅等于（ ）A ．16 B ．15 C ．29 D ．3105．如图，ABC 中，90C ∠=，且2c a =，则sin B 的值为（ ）A ．12 B ． 2 C ．D ． 6．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是（）A ．35B ．34C ．43D ．457．cot β=，则锐角β等于（ ） A ． 0 B ． 30 C ． 45 D ． 608()101α+=，则锐角α的值是（ ） A ． 20 B ． 50 C ． 40 D ． 309．如图，一个山坡的垂直高度为300m ，坡长为500m ．问，这个山坡的坡度是多少（ ）A ．0.6B ．0.75C ．0.8D ．不能确定 10．根据图中的信息，经过估算，下列数值与tan α的值最接近的是（ ）A ．0.264 0B ．0.897 0C ．0.459 0D ．2.178 511．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tanα=，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是（ ）A ．144cmB ．180cmC ．240cmD ．360cm二、填空题 12．初三()1班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图），他们在离旗杆底部E点30米的D 处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为30，已知测角仪器高 1.4AD =米，则旗杆BE 的高为________米（结果保留根号）．13．已知不等臂跷跷板AB 长为3米，当AB 的一端点A 碰到地面时（如图1），AB 与地面的夹角为30∘；当AB 的另一端点B 碰到地面时（如图2），AB 与地面的夹角的正弦值为13，那么跷跷板AB 的支撑点O 到地面的距离OH =________米．14．一船向东航行，上午9时，在灯塔的西南20海里的B 处，上午11时到达这灯塔的正南方向C 处，则这船航行的速度是________海里/小时．15．在Rt ABC 中，90C ∠=，2AC =，1BC =，则tan B =________，sin A =________．16．如图，某部门计划在火车站A 和大学城B 之间修一条长为4公里的公路，经测量在火车站A 北偏东60度方向，B 西偏北45度方向C 处有一圆形公园，要想计划修筑的公路不会穿过公园，则公园半径最大为________．17．小强站在外滩黄浦江边观测对面的东方明珠电视塔，测得塔顶的仰角为α，塔底的俯角为β，如果王强离电视塔的距离为m 米，则电视塔的高度为________米（用所给字母表示）．18．如图，太阳光线与地面成60角，一棵倾斜的大树与地面成30角，这时测得大树在地面上的影长约为10m ，则大树的长约为________m （保留两个有效数字，下列数1.41≈ 1.73≈）．三、解答题19．计算题．（1）sin30cos45cos60sin45-- ()222(tan45)cos 302cos301--+．20．如图，△ABC 中，∠C =90∘，∠B =60∘，BC =6，求∠A 及b 、c ．21．已知：如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，60B ∠=．求：（1）ABC 的面积；（2）C ∠的余弦值．22．一段铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，路基顶宽为2.8m ，路基高为2m ，斜坡AB 的坡度i =0.1m ）23．某时刻，我军飞机发现敌机在北偏东60方向上，此时敌机正以300/m s 速度向北偏西60方逃逸，我军飞机向敌机发射一枚导弹，方向为北偏东15，5秒击中敌机，求AB ．24．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：≈1.4）25．如图，马路的两边CF ，DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A ，B 两点分别表示车站和超市．CD 与AB 所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A ，B 相距62米，67A ∠=，37B ∠=．（1）求CD 与AB 之间的距离；（2）某人从车站A 出发，沿折线A D C B →→→去超市B ．求他沿折线A D CB →→→到达超市比直接横穿马路多走多少米． （参考数据：12sin6713≈，5cos6713≈，12tan675≈，3sin375≈，4cos375≈，3tan374≈） 26．如图，已知楼房CD 旁边有一池塘，池塘中有一电线杆BE 高10米，在池塘边F 处测得电线杆顶端E 的仰角为45，楼房顶点D 的仰角为75，又在池塘对面的A 处，观测到A ，E ，D 在同一直线上时，测得电线杆顶端E的仰角为30． (注:tan75o（1）求池塘边A ，F 两点之间的距离；（2）求楼房CD的高．27．小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小i=的斜坡DE的D处，测得楼顶的移伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是1:2.5EF=米，动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60、45，斜坡高2CH=米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，CE=米，213≈相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程． 1.41≈ 1.73供选用，结果保留整数）参考答案1．B【解析】试题分析：本题只需要根据特殊角的三角函数值即可得出答案.sin60°=√32，则∝=60°. 2．A【解析】分析：已知直角三角形的一个锐角和锐角所对的直角边，求斜边，运用三角函数定义解答．详解：如图：BC为飞机离地面的高度，所以在Rt△ABC中，∠BAC=α，BC=5，则AB=sin BC BAC=5sinα．故选A．点睛：本题考查了的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．3．A【分析】根据题意知道北偏东30°与北偏西60°成直角，利用正切的定义求值即可．【详解】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里．∴PA＝20∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B处，∴∠APB＝90°BP＝60×23＝40∴tan∠ABP＝APBP ＝2040＝12.4．D【解析】【分析】将已知等式代入sin2x+cos2x=1中,求出与sin2x、cos2x的值,根据sinx与cosx同号,即可求出sinxcosx 的值.【详解】解:将sinx=3cosx 代入sin 2x+cos 2x=1中得:9cos 2x+cos 2x=1,即 cos 2x=110∴sin 2x=1-cos 2x=910， sinx 与cosx 同号,∴sinccosx>0,则 sinxcosx = 310 所以D 选项是正确的.【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 5．D【解析】【分析】利用勾股定理求出AC 的长 (用BC 表示) , 然后根据正弦函数的定义求比值即可.【详解】解：在△ABC 中,∠C=90o , 且c=2a,∴a,∴sin B=b c 故选D.【点睛】此题考查了三角函数的定义,在直角三角形中，角的正弦为对边比斜边.6．A【分析】根据图形找到对边和斜边即可解题.【详解】 解：由网格纸可知3sin α5=,【点睛】本题考查了三角函数的实际应用,属于简单题,熟悉三角函数的概念是解题关键.7．D【解析】【分析】根据锐角三角函数余切cot60o..【详解】解:cotβ=β为锐角,β=60o.所以D选项是正确的.【点睛】本题主要考查锐角三角函数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.8．B【解析】【分析】cot（α+10°）=1求出cot（α+10°）再根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】（α+10°）=1，∴cot（α+10°），又∵α为锐角，cot60°=3∴α+10°=60°，α=50°．故选B．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．9．B【解析】【分析】根据坡度的定义和已知条件求出水平的长度，列出算式,再进行计算即可. 【详解】解:山坡的垂直高度为300m,坡长为500m,∴.这个山坡的坡度是300400=0.75,所以B选项是正确的.【点睛】此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是坡度的定义,是一道基础题,关键是根据根据坡度的定义列出算式.10．C【解析】【分析】根据正切定义:锐角α的对边与邻边的比,结合图形可计算出tanα的值,进而可得答案. 【详解】解:由图可得:直线经过（1，2）点∴tanα=0.5，故C选项与tanα的值最接近，故选C.【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义,关键是掌握正切定义:锐角的对边与邻边的比.11．B【解析】试题分析：解：如图：根据题意可知：：△AFO∽△ABD，OF=EF=30cm∴，∴∴CD=72cm，∵tanα=∴∴AD==180cm．故选B．考点：解直角三角形的应用.12．+1.4【解析】分析：在Rt△ABC中，已知角的邻边求对边，可以用正切求BC，再加上CE即可．解答：解：根据题意：在Rt△ABC中，有BC=AC×tan30°则+1.4故答案为．13．35【解析】,试题分析：设OH=x米，在Rt△AOH中，∠A=30°,所以OA=2x，在Rt△BOH中，sinB=13所以OB=3x，所以AB=5x=3，所以x=3.5考点：解直角三角形.14．【解析】【分析】求速度，先求出BC 的距离．运用三角函数定义解答．【详解】∵20,45AB BAC =∠=，∴AC BC ==∵从B 到C 用时11−9=2时，∴速度为2=(海里/小时).故答案为【点睛】考查解直角三角形的应用-方向角问题，画出示意图，根据锐角三角函数求出,AC BC 的长度是解题的关键.15．2,【解析】【分析】先由勾股定理求出AB, 再利用锐角三角函数的定义求解.【详解】解: 在Rt △ABC 中,∠C=90o , AC=2,BC=1,∴.∴tanB=ACBC =21=2,sinA=BC AB .故答案为:2,. 【点睛】本题考查勾股定理及锐角三角函数的概念:在直角三角形中, 正弦等于对边比斜边; 余弦等于邻边比斜边; 正切等于对边比邻边.16．)21公里 【解析】【分析】过点C 作CH ⊥AB,H 是垂足.AH 与BH 都可以根据三角函数用CH 表示出来.根据AB 的长,得到一个关于CH 的方程,解出CH 的长,即为公园半径的最大值.【详解】解:如图,过C 作CH ⊥AB 于H,设CH=x,可得：∠CAB=30o ,∠CBH=45o .在Rt △ACH 中,tan ∠CAH=CH AH,∴AH=o tan 30CH x ， 在Rt △HBC 中,BH=CH=x,∴AH+HB=AB,∴x +x=4,解得x=2）.答:公园半径最大为2）公里.故答案为2）公里.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用,解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题,解决的方法就是作高线.17．m(tanα+tanβ)【解析】【分析】把所求线段合理分割为两个直角三角形的两条边,利用相应的三角函数求解即可.【详解】解:如图：设东方明珠电视塔为AB,外滩黄浦江边为CD.根据题意可得:在△EBC中,有BE=m⋅tanα.在△AEC中,有AE=m·tanβ.∴AB=m(tanα+tanβ).故答案:m(tanα+tanβ).【点睛】本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助其关系构造直角三角形并解直角三角形. 18．17【分析】画出示意图，过树梢向地面引垂线，利用60°的正弦值求出CD后，进而利用30°的正弦值即可求得AC长.【详解】解：∵太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，作∠CBD=60°，则C在地面的影子是点B，即AB是大树在地面的影长，∵∠CAB=30°，∠CBD=60°，∴∠ACB=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=10.作CD⊥AB于点D，∴sin∠CBD=sin60°=CD BC，∴CD=BC×sin∠CBD=10=在Rt △ACD 中，∠CAD=30°， ∴AC=2CD=2×=故答案为17.【点睛】本题考查锐角三角函数的运用，构造所求线段所在的直角三角形是难点.19．(1)1；（2）2． 【解析】【分析】解析(1)将sin30o =12,cos45o=2,cos60o =12,sin45=2代入运算即可; (2)将根号下面的式子配方,然后开平方,继而将tan45o =1,cos30o. 【详解】解：（1）原式11-==； （2）原式()311cos30cos302=--==． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键. 20．30°，6√3，12．【解析】试题分析：根据三角形的内角和为180°，已知∠C ，∠B ，BC 的值，则∠A=180°-∠B-∠C ，从而求出c ，b 代入数值进行求解即可．试题解析：在Rt △ABC 中，∠A=180°-90°-60°=30°，∵cosB=BCc ，∴c=BC cosB =6cos60°=12，b=BCtan60°=6√3．考点: 解直角三角形.21．（1）2. 【解析】分析：（1）首先作AH ⊥BC ，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，，即可求出答案；（2）利用Rt △ACH 中，CH=5，求出AC 进而求出∠C 的余弦值． 详解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，∴BH=3，∴S △ABC =12×8× （2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5．在Rt △ACH 中，∵CH=5，∴∴cosC=CH AC ==． 点睛：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键． 22．路基的下底宽约为9.7m ．【解析】【分析】分别过B 、 C 作梯形的高BE 、 CF,则BE=CF=2m,EF=BC=2.8m,由斜坡AB 的坡度,根据坡度的概念得到,可计算出AE,再根据等腰梯形的性质得m,利用AD=AE+EF+DF 计算即可.【详解】解：分别过B 、C 作梯形的高BE 、CF ，如图．∴2BE CF m ==， 2.8EF BC m ==，∵斜坡AB 的坡度i =∴:BE AE =，∴AE ==，又∵四边形为等腰梯形，∴DF AE ==，∴ 2.89.7AD m m =++≈．故路基的下底宽约为9.7m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题,注意掌握坡度的概念:斜坡的坡度等于斜坡的铅直高度与对应的水平距离的比值,即斜坡的坡度等于斜坡的坡角的正切.也考查了等腰梯形的性质.23．AB 的长为()750m ．【解析】【分析】首先根据题意画出图形,作BDLAC 于D.解RtA BCD,得出V6+V2=375(V6BD=BC.sinLC=1500x,再解RtABAD,求出AB=V2BD=750v3+750.【详解】 解：如图：作BD ⊥AC 于D ，在RT △BCD,∠BDC=90o ,∠C=75o ,BC=1500m,∴BD=BC ⋅sin ∠C=1500⨯4在Rt △BAD 中,∠BDA=90o ,∠BAD=45o ,∴⨯+750.答:AB 的长为+750)m.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题,理解方向角的定义,准确画出图形,再作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.24．云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【分析】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD ∆中，求得AD 的长；在Rt ACD ∆中，求得CD 的长，根据BC=CD-BD 即可求得BC 的长.【详解】过点A 作AM EF ⊥于点M ，AD BC ⊥于点D ，∵CN EF ⊥ ，∴90AMN MND ADN ∠=∠=∠=︒，∴四边形AMND 为矩形.∴ 2.5DN AM ==米.∴10.5 2.58BD BN DN =-=-=（米），由题意可知，45BAD ∠=︒，65CAD ∠=︒，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，在Rt ABD ∆中，tan BD BAD AD ∠=， ∴88tan tan45BD AD BAD ===∠︒（米）. 在Rt ACD ∆中，tan CD CAD AD∠=， ∴tan 8tan658 2.116.8CD AD CAD =⋅∠=︒≈⨯=（米）.∴16.888.89BC CD BD =-≈-=≈（米）.答：云梯需要继续上升的高度BC 约为9米.【点睛】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，添加辅助线，构造直角三角形，建立直角三角形模型是解决问题的关键．25．【解析】试题分析：（1）首先设CF=DE=x ，根据三角函数将AE 和BF 分别用含x 的代数式表示，根据AB=62米求出x 的值；（2）根据三角函数分别求出BC 和AD 的长度，然后计算出BC+CD+AD 的长度，然后与AB 的长度进行比较.试题解析：（1）设CF=x ，则DE=x ，EF=CD=20，则AE=tan 67DE =512x ，BF=tan 37CF =43x ，AB=BF+EF+AE=62 即43x+20+512x=62 解得：x=24 即CD 与AB 的距离为24米 （2）根据题意可得：BC=sin 37FC =2435=40（米） AD=sin 67DE =241213=26（米） 则AD+CD+BC=26+20+40=86（米） 86－62=24（米） 即多走24米.考点：三角函数的应用.26．AF 间的距离为(10+米，楼房CD 的高为(10+米．【解析】【分析】(1)分别解Rt △ABE 与Rt △BEF,可得AB 与BF 的大小.由AF=AB+BF 可得结果;(2)设CD=x.在Rt △FCD 中,可得CF 的值,根据相似三角形的性质,可得比例关系求解.【详解】解:如图：(1)在Rt △ABE 中,∠A=30o ,BE=10, ∴BE AB=3∴在Rt △EBF 中,∠BFE=45o ,∴BF=BE=10,∴(2)BE=10,∠A=30o ,∴设CD=x.则CF=o x tan 75∠EBA=∠DCA=90o ,∠A=30o ,∴△ABE~△ACD,由相似三角形的性质可得:AB AC BE CD=,10x 10=+,解得答:AF 间的距离为米,楼房CD 的高为)米.【点睛】本题考查俯角、仰角的定义,要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.27．铁塔高AM 约17米,过程见解析.【解析】试题分析：根据坡度求出EF的长度，从而得出GD的长度，然后根据Rt△DBG的三角函数求出BG的长度，根据Rt△DAN的三角函数求出AN的长度，最后根据AM=AN-MN得出答案. 试题解析：∵斜坡的坡度是i= = ，EF=2，∴FD=2.5 EF=2.5×2=5，∵CE=13，CE=GF，∴GD=GF+FD=CE+FD=13+5=18，在Rt△DBG中，∠GDB=45°，∴BG=GD=18，在Rt△DAN中，∠NAD=60°，∴ND=NG+GD=CH+GD=2+18=20，AN=ND•tan60°=20×=20，∴AM=AN-MN=AN-BG=20-18≈17（米）答：铁塔高AM约17米．点睛：本题主要考查的就是三角函数的在实际问题中的应用问题，属于简单题，对于大部分同学来说难度都不是很大.在解决这个问题时我们首先必须要理解坡度的定义，然后将所求的线段放入到已知的直角三角形中，然后根据三角函数来进行求线段的长度.同学们在解决这种问题的时候关键就是要明白三角函数中是哪两条边的比.。

第7章锐角三角函数及其应用单元测试一、选择题1.已知，下列各式正确的是30∘<α<60∘( )A. B. 22<cosα<3232<cosα<12C.D.12<cosα<3212<cosα<222.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东方向上，航行半小时60∘后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东方向30∘上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是( )A. 10分钟B. 15分钟C. 20分钟D. 25分钟3.中，已知，则的面积是△ABC ∠A =30∘，AB =2，AC =4△ABC ( )A. B. 4C. D. 243234.在中，若且，则等于△ABC sinA =12∠B =90∘‒∠A sinB ( )A.B. C. D. 11222325.如图，在中，，点分别在边上若△ABC ∠C =90∘D ，E AC ，AB .，则下列结论正确的是∠B =∠ADE ( )A. 和互为补角∠A ∠BB. 和互为补角∠B ∠ADEC. 和互为余角∠A ∠ADED. 和互为余角∠AED ∠DEB 6.若把三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角的正切值Rt △ABC ∠A ( )A. 扩大为原来的5倍B. 不变C. 缩小为原来的5倍D. 不能确定7.的值等于sin 60∘( )A.B. C. D. 122232338.直角三角形中，若各边的长度都扩大5倍，那么锐角的正弦∠A ( )A. 扩大5倍B. 缩小5倍C. 没有变化D. 不能确定9.的值等于2sin 45∘+4sin 30∘⋅cos 60∘( )A. B. 2 C. D. 52254二、填空题10.如图，斜坡AB 的坡度：3，该斜坡的水平距离i =1米，那么斜坡AB 的长等于______ 米AC =6.11.如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为，测得河对岸A 处的俯角为、B 、C 在同45∘30∘(A)m(0.1m).(一条直线上，则河的宽度AB约为______ 精确到参考数据：2≈1.41，3，1.73)AC，BD AC=16，BD=12 12.面积为48的四边形ABCD的对角线交于点O，若，则∠AOB=.______ 度Rt△ABC∠C=90∘AB=2AC tanA=13.在中，，若，则______ ．(0.001)sin55∘≈tan45∘23'≈14.利用计算器求值结果精确到：______ ；______．三、解答题.15.如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅把折叠椅完全平躺时如图2，长度MC=180AM=50厘米，厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，45∘AB//ME30∘AM与地面ME成角，，椅背BC与水平线成角，其中BP是躺椅30∘的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于．(1)(MB>BC)若点B恰好是MC的黄金分割点，人躺在上面才会比较舒适，求此.()时点C与地面的距离结果精确到1厘米(2)(1)午休结束后，老师会把AM和伸缩支架BP收起紧贴AB，在的条件下，求.()(伸缩支架BP可达到的最大值结果精确到1厘米参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)16.计算：．tan 45∘3tan 30∘‒2sin 45∘‒cos 230∘cot 30∘17.如图，海中有一个小岛P ，它的周围25海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东方向上，航行30海60∘里到达B 点，此时测得小岛P 在北偏东方向上．30∘求渔船在B 点时与小岛P 的距离？(1)如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．(2)18.如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，45∘在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为，30∘.()楼底D的俯角为求楼CD的高结果保留根号．19.计算(1)sin45∘+tan30∘cos60∘(2)tan60∘sin60∘‒tan30∘tan45∘【答案】1. C2. B3. D4. C5. C6. B7. C8. C 9. B10. 21011.15.312. 30或150 13.314. ；0.819 1.01315. 解：点B 是MC 的黄金分割点，(1)∵(MB >BC)，∴MBMC =5‒12≈0.6，BCMC =MC ‒AB MC≈1‒0.6≈0.4厘米，∵MC =180厘米，∴BC ≈0.4×180≈72厘米．CE =CD +DE =MA ⋅sin 45∘+BC ⋅sin 30∘=50×22+72×12≈71答：此时点C 与地面的距离约为71厘米．，且物理力学知识得知，(2)∵30∘<∠BPM ∠BPM <90∘()在其取值范围内为单调递增函数，∴sin∠BPM 又，∵BP =DEsin∠BPM当接近时，BP 最大，此时厘米．∴∠BPM 30∘BP =DE sin 30∘=MA ⋅sin 45∘sin 30∘≈70答：伸缩支架BP 可达到的最大值约为70厘米．16. 解：原式=13×33‒2×22‒(32)23=13‒2‒34=3+2‒34．=334+217. 解：分别在点A 和点B 的正北方向取点D 、画射线(1)E.BE ．根据题意得：，∠DAP =60∘，∠EBP =30∘，∴∠PAB =30∘，∠ABP =120∘，∴∠APB =∠PAB 海里；∴PB =AB =30()没有触礁危险．(2)理由：过点P 作与F ．PF ⊥AB ，∵∠PBF =90∘，∠EBP =60∘在直角中，∴△PBF ，PF =PB ⋅sin∠PBF =30×32=153，∵PF 2=675，252=625，∴PF >25没有触角危险．∴18. 解：延长过点A 的水平线交CD 于点E ，则有，AE ⊥CD 四边形ABDE 是矩形，米．AE =BD =39，∵∠CAE =45∘是等腰直角三角形，∴△AEC 米．∴CE =AE =39在中，，Rt △AED tan∠EAD =EDAE米，∴ED =39×tan 30∘=133米．∴CD =CE +ED =(39+133)答：楼CD 的高是米．(39+133)19. 解：原式，(1)=22+33⋅32=22+12原式．(2)=3⋅ 32‒33⋅1=32‒33。

《锐角三角函数》单元检测题 （检测时间：45分钟 满分：100分）家长签字 姓名_________ 得分__________ 一、选择题（每题3分，共30分）1．在Rt △ABC 中，各边都扩大5倍，则角A 的三角函数值（ ） A ．不变 B ．扩大5倍 C ．缩小5倍 D ．不能确定2．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cos α的值等于（ ）A ．12B ．2C ．2D ．13．Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=35，AC=6cm ，那么BC 等于（ ） A ．8cm B ．24186..555cmC cmD cm 4．菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么tan 2A 为（ ） A ．35B ．45C D 5．在△ABC 中，∠C=90°，tanA=125，△ABC 的周长为60，那么△ABC 的面积为（ ）A ．60B ．30C ．240D ．120 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，且22440c ac a -+=，则sinA+cosA的值为（ ）A ．11.222B C ; D7．如图1所示，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若BD：AD=1：4，则tan∠BCD的值是（）A．14 B．13C．12D．2(1) (2) (3)8．（2015•广东广州,第15题3分）如图2，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BE=9，BC=12，则cosC=（）A．32 B．23C．2 D．129．如图3，起重机的机身高AB为20m，吊杆AC的长为36m，•吊杆与水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（）A．（30+20）m和36tan30°m B．（36sin30°+20）m和36cos30°mC．36sin80°m和36cos30°m D．（36sin80°+20）m和36cos30°m10．如图4,小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8•米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为（）A．9米 B．28米 C．（7+3）米 D．（14+23）米(4) (5)(6)二、填空题（每题3分，共24分）11．在△ABC中，若│3│+3）=0，则∠C=_______度．，3C=_______．12．△ABC中，若CosA=2213．一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为________．14．Rt△ABC中，∠C=90°，b=6，若∠A的平分线长为3，则a=_____，∠A=_______．15．如图5所示，在△ABC中，∠A=30°，tanB=1，103AB的长为________．16．Rt △ABC 中，若sinA=45，AB=10，则BC=_______．17．在Rt △ABC 中，∠C=90°，在下列叙述中：①sinA+sinB ≥1 ②sin2A =cos2B C +；③sin sin A B=tanB ，其中正确的结论是______．（填序号）18. （2015•山东潍坊第16 题3分）观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图6，一人先在附近一楼房的底端A 点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B 点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°．已知楼房高AB 约是45m ，根据以上观测数据可求观光塔的高CD 是 m ． 三、解答题（共46分）19．计算下面各式：（每小题6分，共12分）（1）23tan 303cos 302sin 30︒︒-︒（2）002020222cos 60tan 45cos 45tan 30tan 60+++20．（12分）在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求：（1）tanC 的值；（2）sinA 的值．21．（10分）若一次函数y=x+b图像与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△OAB的周长为2+2（O为坐标原点），求b的值．22.（2015·湖南省衡阳市改编，12分）如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，求这个电视塔的高度AB（单位：米）．参考答案1．A 2．A 3．A 4．A 5．D 6．A 7．C 8．B 9．D 10．D11．90•° 12．75•° •13．34或1314．63 60° 15．3+3 16．8或40317．② 18．∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，∴∠ADB=30°，在Rt△ABD中，tan30°=，解得，=，∴AD=45，∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，∴在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=45×=135米．故答案为135米．19.（1）453（2）3420．（1）125（2）566521．b=±122.构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。

苏科版九年级下册数学第7章锐角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、sin60°的值等于（）A. B. C. D.2、如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（）A. B. C. D.3、如图：在等腰△ABC中，∠C=90º，AC=6，D 是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为（）A. B.2 C.1 D.4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）A. B. C. D.5、如图，Rt△ABC中，AB=3，∠B=40°，则AC=（）A.3cos50°B.3tan40°C.3sin50°D.6、在Rt ABC中，∠C=90°，，AC= ，则AB的长可以表示为（）A. B. C. D.7、下列运算正确的是（）A.sin60°=B.a 6÷a 2=a 3C.（﹣2）0=2D.（2a 2b）3=8a 6b 38、如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A.20米B.10 米C.15 米D.5 米9、如图，点，，在上，是的一条弦，则的值是（）A. B. C. D.10、如果∠A为锐角，sinA=，那么（）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60° D.60°＜∠A＜90°11、已知：△ABC中，∠BCA=90°，CD⊥AB于D，若AD=1，AB=3，那么的值是（）A. B. C. D.12、如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，且点E是AB的中点，则tan∠BFE的值是( ）A. B. C.2 D.13、下表是小红填写的实践活动报告的部分内容:设铁塔顶端到地面的高度为，根据以上条件，可以列出的方程为（）A. B. C.D.14、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值为（）A. B. C. D.15、如图，在△ABC中，∠C=90o， AC=3，BC=4，则sinB的值是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为________17、①sin2A+cos2A=________，②tanA•cotA=________．18、如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________.19、BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为________20、如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，已知BE＝3，BC＝3 ，则图中阴影部分的面积为________（结果保留π）.21、如图，在坡度为1：2.4的斜坡上有一棵与水平面垂直的树BC，在斜坡底部A处测得树顶C的仰角为30°，AB的长为65米，那么树高BC等于________米（保留根号）22、如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是________．23、如图，已知点A，B分别是反比例函数y（x＜0），y（x＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan∠BAO，则k的值为________．24、在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB边上的中线，BC＝8，CD＝5，则tan∠ACD＝ ________ .25、如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为________米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：+（）﹣2+| ﹣1|﹣2sin60°．27、校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：=1.73，=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．28、如图,在△ABC中,AC=1,AB=2,∠BAC=60°,求BC的长.29、如图是某小区的一个健身器材，已知BC=0.15m，AB=2.70m，∠BOD=70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）30、先化简，再求值：，其中．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、C2、A3、B4、B5、A6、A7、D9、A10、A11、D12、D13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

第二学期苏科版九年级数学下册第七章锐角三角函数单元检测试卷考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.在Rt△ABC中，∠A=Rt∠，AC=6，BC=8，则cosB=( )A.√74B.45C.34D.352.如图，为了测量学校操场上旗杆BC的高度，在距旗杆24米的A处用测倾器测得旗杆顶部的仰角为30∘，则旗杆的高度为（）A.8√3米B.12√3米C.16√3米D.24√3米3.α是锐角，且cosα=34，则（）A.0∘<α<30∘B.30∘<α<45∘C.45∘<α<60∘D.60∘<α<90∘4.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50∘方向，距离灯塔P为10海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向B处，那么海轮航行的距离AB的长是（）A.10海里B.10sin50∘海里C.10cos50∘海里D.10tan50∘海里5.在△ABC中，∠C=90∘，cosA=35，那么cotA等于（）A.35B.45C.34D.436.将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tan∠DAC的值为（）A.2√33B.3+√33C.4+√313D.2√2+137.水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6m，坝高DE=24m，斜坡AB的坡角是45∘，斜坡CD的坡比i=1:2，则坝底BC的长是( )m．精品 Word 可修改欢迎下载精品 Word 可修改 欢迎下载A.30+8√3B.30+24√3C.42D.788.在Rt △ABC 中，∠C =90∘，若cosB =45，则tanA 的值是（ ） A.35B.45C.34D.439.如图所示，CD 是平面镜，光线从A 点出发经CD 上的E 点反射后到达B 点，若入射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C ，D ，且AC =3，BD =6，CD =11，则tanα的值是（ ）A.13B.311C.911D.11910.在离地面高度8米处引两根拉线固定电线杆，两根拉线与电线杆在同一平面内，拉线与地面的夹角为60∘，则两根拉线与地面的交点间的距离为（ ）A.16米B.16√33米 C.4√3米 D.8√3米二、填空题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）11.如图，从点A 处观测B 点的仰角为37∘，则从点B 处观测A 点的俯角为________．12.某厂家心开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 所夹的锐角分别是8∘和10∘．大灯A 离地面的距离为lm ，则该车大灯照亮地面的宽度BC 是________m ．（不考虑其他因素）（参考数据：sin8∘=425，tan8∘=17，sin10∘=925，tan10∘=928）．13.如图，若某人在距离大厦BC 底端C 处200米远的A 地测得塔顶B 的仰角是30∘，则塔高BC ≈________米．（√3≈1.732，精确到0.1米）14.如图，在东西方向的马路A 处，测得草坪中的雕塑P 在北偏东60∘方向上，在与A 相距20米的马路B 处，测得P 在北偏东30∘方向上，则P 到马路的距离PC =________米（用根号表示）． 15.如图是某水库大坝的横断面，若坡面AB 的坡度i =1:1，则斜坡AB的坡角α=________度．16.从A处测得B处仰角α=18∘36′，那么从B处测得A处的俯角β=________．17.Rt△ABC中，∠C=90∘，cosA=√33，则sinB=________．18.如图，在一张圆桌（圆心为点O）的正上方点A处吊着一盏照明灯，实践证明，桌子边沿处的光的亮度与灯距离桌面的高度AO有关，且当sin∠ABO=√63时，桌子边沿处点B的光的亮度最大，设OB=60cm，则此时灯距离桌面的高度OA=________（结果精确到1cm）（参考数据：√2≈1.414；√3≈1.732；√5≈2.236）19.国际田联钻石联赛美国尤金站比赛中，百米跨栏飞人刘翔以12.87s的成绩打破世界记录并轻松夺冠．A、B两镜头同时拍下了刘翔冲刺时的画面（如图），从镜头B观测到刘翔的仰角为60∘，从镜头A观测到刘翔的仰角为30∘，若冲刺时的身高大约为1.88m，请计算A、B两镜头之间的距离为________．（结果保留两位小数，√2≈1.414，√3≈1.732）20.如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15∘方向的A出，若渔船沿北偏西75∘方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60∘方向上，则B、C之间的距离为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.计算：|cos30∘−1|+(−cot45∘)2014+sin60∘．22.如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，在点B处测得A在北偏东30∘方向上，在点C处测得点A在西北方向上，量得BC长为400米，请你求出该河段的宽度．（结果保留根号）精品 Word 可修改欢迎下载23.如图是某一过街天桥的示意图，天桥高CO为6米，坡道倾斜角∠CBO为45∘，在距B点5米处有一建筑物DE．为方便行人上下天桥，市政部门决定减少坡道的倾斜角，但要求建筑物与新坡角A处之间地面要留出不少于3米宽的人行道．(1)若将倾斜角改建为30∘（即∠CAO=30∘），则建筑物DE是否要拆除？（√3≈1.732）(2)若不拆除建筑物DE，则倾斜角最小能改到多少度（精确到1∘）？24.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔BC塔尖B的仰角为60∘，沿山坡AM走到D处测得塔尖B的仰角为30∘，已知AC为100米，山坡坡度i=1:3，C、A、E三点在同一直线上．求此人所在位置点D的铅直高度DE．（结果保留根号形式）25.游艇在湖面上以12千米/小时的速度向正东方向航行，在O处看到灯塔A在游艇北偏东60∘方向上，航行1小时到达B处，此时看到灯塔A在游艇北偏西30∘方向上．求灯塔A到航线OB的最短距离（答案可以含根号）．26.山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF=23∘，量得树干倾斜角∠BAC=38∘，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60∘，AD=4m．精品 Word 可修改欢迎下载(1)求∠DAC的度数；(2)求这棵大树折点C到坡面AE的距离．（结果精确到个位，参考数据：√2=1.4，√3=1.7，√6=2.4）答案1.A2.A3.B4.C5.C6.C7.D8.D9.D 10.B11.37∘12.1.4113.115.514.10√315.4516.18∘36′17.√3318.85cm19.2.17m20.30√221.解：|cos30∘−1|+(−cot45∘)2014+sin60∘．=|√32−1|+(−1)2014+√32=1−√32+1+√32=2．精品 Word 可修改欢迎下载22.解：过A作AH⊥BC于点H，设AH=x，由题意得：∠BAH=30∘，∠ACH=45∘，∴HC=AH=x，BH=√33x，∵BC=400米，∴√33x+x=400，解得：x=600−200√3，即河宽为(600−200√3)米．23.解：(1)当∠CAO=30∘时，在Rt△CAO中，∵CO=6m，tan∠CAO=COAO，∴AO=COtan∠CAO =6tan30∘=6√3(m)，在Rt△CBO中，∵∠CBO=45∘，∴BO=CO=6m，∵AO+3=6√3+3>11=OE，因此建筑物DE要拆除；(2)若不拆除建筑物DE，则OA最长可以是11−3=8m，在Rt△CAO中，∵CO=6m，tan∠CAO=COAO=68=0.75，∴∠CAO≈37∘，因此倾斜角最小能改到37∘．24.此人所在位置点D的铅直高度DE为300−100√33米．25.灯塔A到航线OB的最短距离为3√3千米．26.折点C距离坡面AE约为5米．精品 Word 可修改欢迎下载。

第7章锐角三角函数及其应用单元测试一、选择题1.已知，下列各式正确的是30∘<α<60∘( )A. B. 22<cosα<3232<cosα<12C.D.12<cosα<3212<cosα<222.如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A 处观测到灯塔M 在北偏东方向上，航行半60∘小时后到达B 处，此时观测到灯塔M 在北偏东方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是30∘( )A. 10分钟B. 15分钟C. 20分钟D. 25分钟3.中，已知，则的面积是△ABC ∠A =30∘，AB =2，AC =4△ABC ( )A. B. 4C. D. 243234.在中，若且，则等于△ABC sinA =12∠B =90∘−∠A sinB ( )A.B. C. D. 11222325.如图，在中，，点分别在边上若△ABC ∠C =90∘D ，E AC ，AB .，则下列结论正确的是∠B =∠ADE ( )A. 和互为补角∠A ∠BB. 和互为补角∠B ∠ADEC. 和互为余角∠A ∠ADED. 和互为余角∠AED ∠DEB 6.若把三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角的正切值Rt △ABC ∠A ( )A. 扩大为原来的5倍B. 不变C. 缩小为原来的5倍D. 不能确定7.的值等于sin 60∘( )A.B. C. D. 122232338.直角三角形中，若各边的长度都扩大5倍，那么锐角的正弦∠A ( )A. 扩大5倍B. 缩小5倍C. 没有变化D. 不能确定9.的值等于2sin 45∘+4sin 30∘⋅cos 60∘( )A. B. 2 C.D. 52254二、填空题10.如图，斜坡AB 的坡度：3，该斜坡的水平距离i =1米，那么斜坡AB 的长等于______ 米AC =6.11.如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21m 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为，测得河对岸A 处的俯角为、45∘30∘(A B 、C 在同一条直线上，则河的宽度AB 约为)______ 精确到参考数据：m(0.1m).(2≈1.41，3，1.73)12.面积为48的四边形ABCD 的对角线交于点O ，若，AC ，BD AC =16，BD =12则 ______ 度∠AOB =.Rt△ABC∠C=90∘AB=2AC tanA=13.在中，，若，则______ ．(0.001)sin55∘≈tan45∘23′≈14.利用计算器求值结果精确到：______ ；______ ．三、解答题.15.如图1，是午休时老师们所用的一种折叠椅把折叠椅完全平躺时如图2，长度MC=180AM=50厘米，厘米，B是CM上一点，现将躺椅如图3倾斜放置时，45∘AB//ME30∘AM与地面ME成角，，椅背BC与水平线成角，其中BP是30∘躺椅的伸缩支架，其与地面的夹角不得小于．(1)(MB>BC)若点B恰好是MC的黄金分割点，人躺在上面才会比较舒适，.()求此时点C与地面的距离结果精确到1厘米(2)(1)午休结束后，老师会把AM和伸缩支架BP收起紧贴AB，在的条件下，.()(求伸缩支架BP可达到的最大值结果精确到1厘米参考数据：2≈1.4，3≈1.7，5≈2.2)16.计算：．tan 45∘3tan 30∘−2sin 45∘−cos 230∘cot 30∘17.如图，海中有一个小岛P ，它的周围25海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东方向上，航60∘行30海里到达B 点，此时测得小岛P 在北偏东方30∘向上．求渔船在B 点时与小岛P 的距离？(1)如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．(2)18.如图，AB和CD是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角45∘30∘.(为，楼底D的俯角为求楼CD的高结果保留)根号．19.计算(1)sin45∘+tan30∘cos60∘(2)tan60∘sin60∘−tan30∘tan45∘【答案】1. C2. B3. D4. C5. C6. B7. C8. C 9. B10.21011. 15.312. 30或150 13. 314. ；0.819 1.01315. 解：点B 是MC 的黄金分割点，(1)∵(MB >BC)，∴MBMC =5−12≈0.6，BCMC =MC−AB MC≈1−0.6≈0.4厘米，∵MC =180厘米，∴BC ≈0.4×180≈72厘米．CE =CD +DE =MA ⋅sin 45∘+BC ⋅sin 30∘=50×22+72×12≈71答：此时点C 与地面的距离约为71厘米．，且物理力学知识得知，(2)∵30∘<∠BPM ∠BPM <90∘()在其取值范围内为单调递增函数，∴sin∠BPM 又，∵BP =DEsin∠BPM当接近时，BP 最大，此时厘米．∴∠BPM 30∘BP =DE sin 30∘=MA ⋅sin 45∘sin 30∘≈70答：伸缩支架BP 可达到的最大值约为70厘米．16. 解：原式=13×3−2×2−(32)23=13−2−34=3+2−34．=334+217. 解：分别在点A 和点B 的正北方向取点D 、画射(1)E.线BE ．根据题意得：，∠DAP =60∘，∠EBP =30∘，∴∠PAB =30∘，∠ABP =120∘，∴∠APB =∠PAB 海里；∴PB =AB =30()没有触礁危险．(2)理由：过点P 作与F ．PF ⊥AB ，∵∠PBF =90∘，∠EBP =60∘在直角中，∴△PBF ，PF =PB ⋅sin∠PBF =30×32=153，∵PF 2=675，252=625，∴PF >25没有触角危险．∴18. 解：延长过点A 的水平线交CD 于点E ，则有，四边形ABDE 是矩形，米．AE ⊥CD AE =BD =39，∵∠CAE =45∘是等腰直角三角形，∴△AEC 米．∴CE =AE =39在中，，Rt △AED tan∠EAD =EDAE米，∴ED =39×tan 30∘=133米．∴CD =CE +ED =(39+133)答：楼CD 的高是米．(39+133)19. 解：原式，(1)=22+33⋅32=22+12原式(2)=3⋅ 32−33⋅1=32−33。

苏科新版九年级下学期《第7章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题（共13小题）1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（）A．3B．2C．D．2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC＝，则的值为（）A．B．C．2D．34．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sin A的值为（）A．B．C．D．5．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定6．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．07．若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3＝0，则α等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知：一个等腰直角三角形腰长为a，三边上的高之积为P，一个等边三角形边长为a，三边上的高之积为Q，则P和Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．无法确定9．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE＝4，CE＝2，BC＝6，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，求tanα的取值范围（）A．≤tanα＜B．＜tanα＜C．tanα＝D．＜tanα＜310．如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是（）（精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73）A．125米B．105米C．85米D．65米11．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i＝1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC＝100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cos l2°≈0.98）A．200B．250C．300D．54012．如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A．（﹣1）小时B．（+1）小时C．2小时D．小时13．在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A．km B．km C．km D．km二．填空题（共15小题）14．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是．15．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为．16．已知tanα＝，那么sinα＝．（其中α为锐角）17．在Rt△ABC中，已知，则cosα＝．18．若tanα•tan50°＝1，则锐角α＝度．19．（tan70°）2009•（3tan20°）2009＝．20．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝；21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则sin＝．22．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为．B．用科学计算器计算：sin69°≈（精确到0.01）．23．先用计算器求：cos20°≈，cos40°≈，cos60°≈，cos80°≈，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来：．归纳：余弦值，角大值．24．在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，AC＝．26．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的倍．（结果保留两个有效数字）．27．如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶为10°，已知山坡的坡脚为15°，则树AB的高＝（精确到0.1m）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．28．如图，小车从4米高的A处沿斜坡滑到B处，若斜坡坡度为i＝1：2，则斜坡AB的水平宽度BC为米．三．解答题（共20小题）29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°（1）tan A与sin A，cos A之间有什么关系？并说明理由．（2）若＝，求tan A的值．31．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．32．求值：（1）tan30°•tan60°+cos230°﹣sin245°•tan45°；（2）2cos30°+tan45°﹣tan60°+（﹣1）0．33．计算：．34．计算：（1）1﹣2sin30°cos30°（2）．35．计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°36．计算：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|37．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中，a是方程x2+3x+1＝0的根．38．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．40．在△ABC中，∠B＝135°，AB＝，BC＝1．（1）求△ABC的面积；（2）求AC的长．41．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝67.5°．（Ⅰ）求sin A的值；（Ⅱ）求tan C的值．42．如图，△ABC中，AB＝12，BC＝15，AD⊥BC于点D，∠BAD＝30°，求tan C的值．43．如图，点P、M、Q在半径为1的⊙O上，根据已学知识和图中数据（0.97、0.26为近似数），解答下列问题：（1）sin60°＝；cos75°＝；（2）若MH⊥x轴，垂足为H，MH交OP于点N，求MN的长．（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）44．为了打通抚松到万良的最近公路，在一座小山的底部打通隧道．甲、乙两施工队按如图所示进行施工，甲施工队沿AC方向开山修路，乙施工队在这座小山的另一边E处沿射线CA方向同时施工．从AC上的一点B，取∠ABD＝155°，经测得BD＝1200m，∠D＝65°，求开挖点E与点B之间的距离（结果精确到1m）．【参考数据：sin65°＝0.906，cos65°＝0.423，tan65°＝2.145．】45．某市A，B两镇相距42千米，分别从A，B处测得某风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，15千米为半径的圆，tanα＝1.673，tanβ＝1.327．为了开发旅游，有关部门要设计修建连接A，B两市的县级公路．问连接A，B的两镇的县级公路是否穿过风景区，请说明理由．46．某市需要新建一批公交车候车厅，设计师设计了一种产品（如图①），产品示意图的侧面如图②所示，其中支柱DC长为2.1m，且支柱DC垂直于地面DC，顶棚横梁AE长为1.5m，BC为镶接柱，镶接柱与支柱的夹角∠BCD＝150°，与顶棚横梁的夹角∠ABC＝135°，要求使得横梁一端点E在支柱DC 的延长线上，此时经测量得镶接点B与点E的距离为0.35m（参考数据：≈1.41，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，结果精确到0.1m）．（1）求EC的长；（2）求点A到地面DG的距离．47．某机场为了方便旅客换乘，计划在一、二层之间安装电梯，截面设计图如图所示，已知两层AD与BC平行，层高AB为8米，A、D间水平距离为5米，∠ACB＝21.5°（1）通过计算说明身高2.4米的人在竖直站立的情况下，搭乘电梯在D处会不会碰到头部；（2）若采用中段加平台设计（如图虚线所示），已知平台MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均为1：2（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求平台MN的长度．（参考数据：sin21.5°＝，cos21.5°＝，tan21.5°＝）48．盱眙第一山景区为提高某景点的安全性，决定将到达景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面）（1）改善后的台阶坡面会加长多少？（就是问AD比AB长多少？）（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）（就是求BD的长）苏科新版九年级下学期《第7章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共13小题）1．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC＝CD＝2AD，E是CD上一点，∠ABE＝45°，则tan∠AEB的值等于（）A．3B．2C．D．【分析】过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．根据全等三角形及直角三角形的性质求出∠BNM两直角边的比，即可解答．【解答】解：过B作DC的平行线交DA的延长线于M，在DM的延长线上取MN＝CE．则四边形MDCB为正方形，易得△MNB≌△CEB，∴BE＝BN．∴∠NBE＝90°．∵∠ABE＝45°，∴∠ABE＝∠ABN，∴△NAB≌△EAB．设EC＝MN＝x，AD＝a，则AM＝a，DE＝2a﹣x，AE＝AN＝a+x，∵AD2+DE2＝AE2，∴a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，∴x＝a．∴tan∠AEB＝tan∠BNM＝＝3．故选：A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用数形结合解答．2．已知α，β是△ABC的两个角，且sinα，tanβ是方程2x2﹣3x+1＝0的两根，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形或钝角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【分析】先解出方程的两根，讨论sinα，tanβ的值．∵在三角形中，角的范围是（0，180°），∴sinα必大于0，此时只要考虑tanβ的值即可，若tanβ＞0，则β为锐角；tanβ小于0，则β为钝角．再把x的两个值分别代入sinα，tanβ中，可求出α，β的值，从而判断△ABC的形状．【解答】解：由2x2﹣3x+1＝0得：（2x﹣1）（x﹣1）＝0，∴x＝或x＝1．∴sinα＞0，tanβ＞0若sinα＝，tanβ＝1，则α＝30°，β＝45°，γ＝180°﹣30°﹣45°＝105°，∴△ABC为钝角三角形．若sinα＝1，tanβ＝，则α＝90°，β＜90°，△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题易在α，β上的取值出错，学生常常解出方程的两根后不知道如何判断，因此在解答时我们可对x的值分类讨论，从而判断出△ABC的形状．3．已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC＝，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据切线长定理先证明∠ACB＝90°，得直角三角形ABC；再由tan∠ABC＝＝，得两圆弦长的比；进一步求半径的比．【解答】解：如图，连接O2B，O1A，过点C作两圆的公切线CF，交于AB于点F，作O1E⊥AC，O2D⊥BC，由垂径定理可证得点E，点D分别是AC，BC的中点，由弦切角定理知，∠ABC＝∠FCB＝∠BO2C，∠BAC＝∠FCA＝∠AO1C，∵AO1∥O2B，∴∠AO1C+∠BO2C＝180°，∴∠FCB+∠FCA＝∠ACB＝90°，即△ACB是直角三角形，∴∠ABC＝∠BO2D＝∠ACO1，设∠ABC＝∠BO2D＝∠ACO1＝β，则有sinβ＝，cosβ＝，∴tanβ＝•＝•，∴（tanβ）2＝＝2．故选：C．【点评】本题综合性较强，综合了圆的有关知识，所以学生所学的知识要系统起来，不可单一．4．如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，＝，则sin A的值为（）A．B．C．D．【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解．【解答】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC则易证△ABE∽△ACD，∴＝，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝＝，设AD＝2a，则AC＝5a，根据勾股定理得到CD＝a，因而sin A＝＝．故选：B．【点评】求三角函数值的问题一般要转化为，直角三角形的边的比的问题，本题注意到△AED∽△ABC是解决本题的关键．5．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定【分析】cos A＝sin（90°﹣A），再根据余弦函数随角增大而减小进行分析．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．6．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．0【分析】将两式分别两边平方，利用sin2α+cos2α＝1，求出sinαcosα的值，解答即可．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．【点评】本题利用了同角的三角函数的关系sin2α+cos2α＝1来进行化简求值的．7．若0°＜α＜90°，且4sin2α﹣3＝0，则α等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据0°＜α＜90°可知α为锐角，再根据sin60°＝即可求解．【解答】解：0°＜α＜90°，4sin2α﹣3＝0，∴sinα＝．∴α＝60°．故选：C．【点评】解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．8．已知：一个等腰直角三角形腰长为a，三边上的高之积为P，一个等边三角形边长为a，三边上的高之积为Q，则P和Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．无法确定【分析】分别求得等腰直角三角形和等边三角形三边上的高的积，然后利用做差法比较两者的大小，从而求得结果．【解答】解：如左图，在△ABC中，AB＝AC＝a，∠A＝90°，过A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝a，∠A＝90°，∴BD＝DC＝a，∴P＝a×a×a＝a3，如右图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝a过A作AD⊥BC于点D，∵∠B＝60°BD＝DC＝a，∴AD＝a，同理，其它边上的高也与AD相等．∴Q＝（a）3＝a3，∵P﹣Q＝a3﹣a3＞0，∴P＞Q．故选：A．【点评】主要考查等腰直角三角形和等边三角形的性质，考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程．9．如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE＝4，CE＝2，BC＝6，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，求tanα的取值范围（）A．≤tanα＜B．＜tanα＜C．tanα＝D．＜tanα＜3【分析】根据球的运动轨迹可知四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，由于DE＝4，CE＝2，可得CF＝BC，再根据正切的定义即可得到tanα的取值范围．【解答】解：如图：∵DE＝4，CE＝2，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，∴CF＝BC＝2，∴在Rt△CEP中，tanα＝＝．故选：C．【点评】考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．10．如图，斜坡AB坡度为1：2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼EF，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼EF的高度是（）（精确到米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，≈1.73）A．125米B．105米C．85米D．65米【分析】首先证明四边形BGEH是矩形，由题意BG：AG＝1：2.4，在Rt△ABG中，根据AB＝52米，由勾股定理可得BG＝20米，AG＝48米，在Rt△BHF 中，可知tan77°＝，推出≈4.33，推出FH＝4.33BH，在Rt△AEF中，由∠CAF＝60°，可知EF＝AE，可得（48+BH）＝20+4.33BH，解方程求出BH即可解决问题．【解答】解：∵BG⊥AC，BH⊥EF，∴四边形BGEH是矩形，∴BH＝EG，BG＝EH，由题意BG：AG＝1：2.4，在Rt△ABG中，∵AB＝52米，由勾股定理可得BG＝20米，AG＝48米，在Rt△BHF中，∵∠DBF＝77°，∴tan77°＝，∴≈4.33，∴FH＝4.33BH，在△Rt△AEF中，∵∠CAF＝60°，∴EF＝AE，∴（48+BH）＝20+4.33BH，解得BH≈24.25，∴EF＝（48+BH）≈125米．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角、坡度问题、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i＝1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC＝100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cos l2°≈0.98）A．200B．250C．300D．540【分析】根据坡度的概念和俯角的概念解答即可．【解答】解：由题意得，∠EAC＝45°，EC＝100米，∴AC＝EC＝100米，∵BE的坡度为1：3，∴BC＝3EC＝300米，∴AB＝300+100＝400米，设DF＝x米，∵BE的坡度为1：3，∴BD＝3DF＝3x米，∵∠DAF＝12°，tan12°≈0.2，∴AD＝5DF＝5x米，则8x＝400，解得x＝50，∴AD＝250米．故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形、熟记锐角三角函数的定义、根据题意列出方程是解题的关键．12．如图，已知灯塔M方圆一定范围内有镭射辅助信号，一艘轮船在海上从南向北方向以一定的速度匀速航行，轮船在A处测得灯塔M在北偏东30°方向，行驶1小时后到达B处，此时刚好进入灯塔M的镭射信号区，测得灯塔M在北偏东45°方向，则轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（）A．（﹣1）小时B．（+1）小时C．2小时D．小时【分析】连接MC，过M点作MD⊥AC于D．根据三角函数的定义，在Rt△ADM 中可得AD＝MD，在Rt△BDM中可得BD＝MD，根据垂径定理可得BC ＝2MD，依此求出BC：AB的值即可求解．【解答】解：连接MC，过M点作MD⊥AC于D．在Rt△ADM中，∵∠MAD＝30°，∴AD＝MD，在Rt△BDM中，∵∠MBD＝45°，∴BD＝MD，∴BC＝2MD，∴BC：AB＝2MD：（﹣1）MD＝2：+1．故轮船通过灯塔M的镭射信号区的时间为（+1）小时．故选：B．【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，本题关键是得到AD＝MD，BC＝2MD．13．在一次夏令营活动中，小亮从位于A点的营地出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B地，然后再沿北偏西30°方向走了若干千米到达C地，测得A 地在C地南偏西30°方向，则A、C两地的距离为（）A．km B．km C．km D．km【分析】根据已知作图，由已知可得到△ABC是直角三角形，从而根据三角函数即可求得AC的长．【解答】解：如图．由题意可知，AB＝5km，∠2＝30°，∠EAB＝60°，∠3＝30°．∵EF∥PQ，∴∠1＝∠EAB＝60°又∵∠2＝30°，∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣60°﹣30°＝90°．∴△ABC是直角三角形．又∵MN∥PQ，∴∠4＝∠2＝30°．∴∠ACB＝∠4+∠3＝30°+30°＝60°．∴AC＝＝＝（km）．故选：A．【点评】本题是方向角问题在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是根据题意画出图形利用解直角三角形的相关知识解答．二．填空题（共15小题）14．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是10．【分析】根据正弦函数的定义得出sin A＝，即＝，即可得出AB的值．【解答】解：∵sin A＝，即＝，∴AB＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．15．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为3．【分析】根据点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，可以求得t的值．【解答】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，∴tanα＝＝．解得t＝3．故答案为：3．【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是明确锐角三角函数的定义和第一象限点的特点．16．已知tanα＝，那么sinα＝．（其中α为锐角）【分析】根据锐角三角函数的定义，设∠A＝α，放在直角三角形ACB中，设BC ＝4x，AC＝3x，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝＝，设BC＝4x，AC＝3x，由勾股定理得：AB＝＝5x，∴sinα＝sin∠A＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数等知识点，解此题的关键是把所求角放在直角三角形中，思路是根据锐角三角函数的定义和直角三角形求出即可．题目较好，难度不大．17．在Rt△ABC中，已知，则cosα＝．【分析】据三角函数的定义，＝，因而可以设a＝8，c＝17根据勾股定理可以求得b的长，然后利用余弦的定义即可求解．【解答】解：∵＝，∴设a＝8，c＝17，∴由勾股定理得到b＝15，∴cosα＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的定义，正确理解三角函数可以转化成直角三角形的边的比值，是解题的关键．18．若tanα•tan50°＝1，则锐角α＝40度．【分析】根据锐角三角函数的定义得出如果tanα•tan50°＝1，那么α+50°＝90°，即可求出答案．【解答】解：∵在△ACB中∠C＝90°，∠A＝α，∠B＝50°，∵tan A＝，tan B＝，∴tan A•tan B＝×＝1，∴∠A+∠B＝90°，∵tanα•tan50°＝1，∴α＝90°﹣50°＝40°．故答案为：40．【点评】本题主要考查对互余两角的三角函数的关系，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键．19．（tan70°）2009•（3tan20°）2009＝1．【分析】首先根据幂运算的性质：（ab）m＝a m b m，a m a n＝a m+n，进行整理；再根据互为余角的正切值互为倒数即可计算．【解答】解：（tan70°）2009•（3tan20°）2009＝（）2009（tan70°）2009•32009（tan20°）2009＝1．【点评】注意幂运算的性质和锐角三角函数性质的综合运用．20．计算：（﹣）2﹣2cos60°＝﹣；【分析】先算平方，特殊角的三角函数值，再算减法即可求解．【解答】解：（﹣）2﹣2cos60°＝﹣2×＝﹣1＝﹣．故答案为：﹣．【点评】考查了特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握60°的余弦值．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，则sin＝．【分析】根据在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，可以求得∠A正弦值，从而可以求得∠A的度数，进而可求得sin的值．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，∴sin A＝，∴∠A＝60°，∴sin＝sin30°＝，故答案为：．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．22．请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题记分．A．如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为π．B．用科学计算器计算：sin69°≈ 2.47（精确到0.01）．【分析】A．根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．B．直接使用科学计算器进行计算．【解答】解：A．∵AB＝BC，CD＝DE，∴＝，＝，∴+＝+，∴∠BOD＝90°，∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π．B．sin69°≈2.47．故答案是：π；2.47．【点评】A．考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．B．考查了计算器的使用．23．先用计算器求：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°≈0.5，cos80°≈0.1736，再按从大到小的顺序用“＞”把cos20°，cos40°，cos60°，cos80°连接起来：cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°．归纳：余弦值，角大值小．【分析】利用计算器分别计算各个三角函数值，然后根据角的增大，来观察余弦数值的变化．【解答】解：利用计算器可算出：cos20°≈0.9397，cos40°≈0.7660，cos60°＝0.5，cos80°≈0.1736，∴cos20°＞cos40°＞cos60°＞cos80°∴在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，即余弦值，角大值小．故答案是0.9397，0.7660，0.5，0.1736，小．【点评】本题考查了计算器求三角函数值，注意小数点后保留3位或4位有效数字．24．在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA＝＝5，∴cosα＝．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．25．在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，AC＝8．【分析】根据∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，根据三角函数可得BC的长，从而可以得到AC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，cos B＝，cos B＝，∴BC＝6．∴AC＝．故答案为：8．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确锐角三角函数指的是哪两条边的比值．26．根据爱因斯坦的相对论可知，任何物体的运动速度不能超过光速（3×105km/s），因为一个物体达到光速需要无穷多的能量，并且时光会倒流，这在现实中是不可能的．但我们可让一个虚拟物超光速运动，例如：直线l，m表示两条木棒相交成的锐角的度数为10°，它们分别以与自身垂直的方向向两侧平移时，它们的交点A也随着移动（如图箭头所示），如果两条直线的移动速度都是光速的0.2倍，则交点A的移动速度是光速的 2.3倍．（结果保留两个有效数字）．【分析】根据题意：设光速为tm/s，则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，根据平行四边形的性质和三角函数的定义，可求得A移动的距离约为2.3tm；故交点A的移动速度是光速的2.3倍．【解答】解：如图，根据题意设光速为tm/s，则一秒内，m与l移动的距离为0.2tm，过A'作CA'⊥AC于A'，在Rt△ACA'中，∠A'AC1＝10°÷2＝5°，A'C＝0.2tm，∴AA'＝CA'÷sin5°≈2.3，∴A移动的距离约为2.3tm；故交点A的移动速度是光速的2.3倍．【点评】本题考查图形的平移变换．注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行．27．如图，山脚下有一棵树AB，小强从点B沿山坡向上走50m到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶为10°，已知山坡的坡脚为15°，则树AB的高＝23.2m（精确到0.1m）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）．【分析】根据题意可以分别求得DP、AE的长，由CD＝1.5m，从而可以求得AB 的长，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，BD＝50m，CD＝1.5m，∠ACE＝10°，∠DBP＝15°，∴DP＝BD•sin15°≈50×0.26＝13m，BP＝BD•cos15°≈50×0.97＝48.5m，∵CE＝BP，∴AE＝CE•tan10°≈48.5×0.18＝8.73m，∴AB＝AE+CD+DP＝8.73+1.5+13＝23.23≈23.2m．故答案为：23.2m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确特殊角的三角函数，运用特殊角的三角函数解答问题，注意最后要精确到0.1m．28．如图，小车从4米高的A处沿斜坡滑到B处，若斜坡坡度为i＝1：2，则斜坡AB的水平宽度BC为8米．【分析】根据坡度定义直接解答即可．【解答】解：∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴BC＝4×2＝8m．故答案为：8．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉坡度坡角的定义是解题的关键．三．解答题（共20小题）29．在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知AC＝8，AB＝10，求∠B的三个三角函数值．【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，则sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．30．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°（1）tan A与sin A，cos A之间有什么关系？并说明理由．（2）若＝，求tan A的值．【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，分别表示出tan A与sin A，cos A的值，然后找出其中的关系即可；（2）分式的分子和分母同时除以cos2A，然后解关于tan A的方程即可．【解答】解：（1）∵tan A＝，sin A＝，cos A＝，∴tan A＝．（2）分式的分子、分母同时除以cos2A得：．整理得：3tan2A﹣5tan A﹣2＝0．解得：tan A＝2，或tan A＝﹣（舍去）．∴tan A的值为2．【点评】本题主要考查的是同角三角函数的关系，由三角函数的定义求得tan A ＝，然后得到关于tan A的方程是解题的关键．31．计算：tan30°cos60°+tan45°cos30°．【分析】根据特殊角的三角函数值可以计算出tan30°cos60°+tan45°cos30°的值．【解答】解：tan30°cos60°+tan45°cos30°＝＝＝．【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是明确特殊角的三角函数值．32．求值：（1）tan30°•tan60°+cos230°﹣sin245°•tan45°；（2）2cos30°+tan45°﹣tan60°+（﹣1）0．【分析】根据tan30°＝，tan60°＝，cos30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，a0＝1（a≠0），即可计算出（1）和（2）的值．【解答】解：（1）tan30°•tan60°+cos230°﹣sin245°•tan45°；＝＝1+＝；（2）2cos30°+tan45°﹣tan60°+（﹣1）0＝＝＝2．【点评】本题考查特殊角的三角函数值、零指数幂，解题的关键是明确特殊角的三角函数值、除0以外的任何数的零次方都等于1．33．计算：．【分析】把特殊角的三角函数值代入，根据二次根式的运算法则计算即可．【解答】解：原式＝＝﹣﹣2+．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值和二次根式的计算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．34．计算：（1）1﹣2sin30°cos30°（2）．【分析】把特殊角的三角函数值代入代数式，计算即可得到答案．【解答】解：（1）1﹣2sin30°cos30°＝1﹣2××＝；（2）＝﹣1＝0．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值的计算，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值并且正确进行计算．35．计算：2cos30°+sin45°﹣tan60°【分析】先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．【解答】解：原式＝，＝，＝．故答案为：．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．36．计算：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|【分析】分别根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的化简、特殊角的三角函数值及绝对值的性质计算出各数，再根据实数的运算法则进行计算．【解答】解：+×（）﹣1﹣|1﹣cos45°|，＝1+﹣1+，＝．故答案为：．【点评】本题考查的是实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解答此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．37．（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中，a是方程x2+3x+1＝0的根．【分析】（1）分别根据零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）先把已知代数式进行化简，再根据a是方程x2+3x+1＝0的根求出a的值，代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣9+1﹣4×，＝+2，＝﹣8；（4分）（2）原式＝[+]×（2分）＝（+）×＝＝（a2+3a），（4分）∵a是方程x2+3x+1＝0的根，∴a2+3a+1＝0，∴a2+3a＝﹣1，（5分）∴原式＝．（6分）故答案为：﹣8，﹣．【点评】本题考查的是实数的综合运算能力及代数求值，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算是解答此类题目的关键．38．已知三角函数值，求锐角（精确到1″）．（1）已知sinα＝0.5018，求锐角α；（2）已知tanθ＝5，求锐角θ．【分析】利用计算器进行计算即可，然后将结果化为度分秒的形式即可．【解答】（1）∵sinα＝0.5018，∴α≈30.1191°．∴a≈30°7′9″；（2）∵tanθ＝5，∴θ＝78.6900°≈78°41′24″．【点评】本题考查了计算器的用法，是基础题，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键．39．如图，在△ABC中，∠A＝30°，cos B＝，AC＝6．求AB的长．【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出AD，根据余弦的定义求出BD，计算即可．。