课时跟踪检测(十) 等比数列

课时跟踪检测（十）等比数列的概念及通项公式层级一　学业水平达标1．如果数列{a n}是等比数列，那么( )2nA．数列{a}是等比数列B．数列{2a n}是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列解析：选A　利用等比数列的定义验证即可．2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{a n}中，当a n＝64时，项数n等于( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选D　因为a n＝a1q n－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.3．若{a n}为等比数列，且2a4＝a6－a5，则公比为( )A．0B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2解析：选C　设等比数列的公比为q，由2a4＝a6－a5得，2a4＝a4q2－a4q，∵a4≠0，∴q2－q－2＝0，解得q＝－1或2.4．等比数列{a n}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若a m＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )A．9B．10C．11 D．12解析：选C　51∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a·q10＝－q10，a m＝a1q m－1＝－q m－1，∴－q10＝－q m－1，∴10＝m－1，∴m＝11.5．等比数列{a n}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则a n等于( )A．(－2)n－1B．－(－2n－1)C．(－2)n D．－(－2)n解析：选A　设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故a n＝(－2)n－1.26．已知{a n}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3等于________．22解析：由已知得a4＝a1q3，∴q3＝2，即q＝，2∴a3＝a1q2＝1×()2＝2.答案：27．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且a 1＋a 2＋a 3＝21，则该数列的通项公式a n ＝________.解析：由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝4n －1.答案：4n －18．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1)(n ≥2，n ∈N *)，这个数列的通项公式是________．解析：由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1；　①当n ≥3时，a n －1＝2S n －2， ②①－②整理得＝3(n ≥3)，anan －1∴a n ＝Error!答案：a n ＝Error!9．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解：设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16.设后三个数分别为，b ，bq ，则有bq ·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20，bq ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝＝25.20216即所求的四个数分别为12,16,20,25.10．已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1＝3(n ＋1)a n ，b n ＝(n ∈N *)．ann (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由．解：(1)由题得a n ＋1＝a n ，3(n ＋1)n将n ＝1代入，得a 2＝6a 1，而a 1＝2，∴a 2＝12，将n ＝2代入，得a 3＝a 2，∴a 3＝54，92∴b 1＝＝2，b 2＝＝6，b 3＝＝18.a 11a 22a 33(2){b n }是首项为2，公比为3的等比数列．由题得＝3×，即b n ＋1＝3b n ，an ＋1n ＋1ann 又∵b 1＝2，∴{b n }是首项为2，公比为3的等比数列．层级二　应试能力达标1．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋2，则a 2 019＝( )A ．32 019＋1 B ．32 019－1C ．32 019－2D ．32 019＋2解析：选B ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．∵a 1＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是首项，公比均为3的等比数列，∴a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1，∴a 2 019＝32 019－1.故选B.2．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，a 3，a 1成等差数列，则的值为( )12a 3＋a 4a 4＋a 5A. B.5＋125－12C.D.或1－525＋121－52解析：选B 设{a n }的公比为q (q >0，q ≠1)，根据题意可知a 3＝a 2＋a 1，∴q 2－q －1＝0，解得q ＝或q ＝(舍去)，则＝＝.故选5＋121－52a 3＋a 4a 4＋a 51q 5－12B.3．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，14，1214，，3438316…记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为( )A. B.11618C.D.51654解析：选C 第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a 51＝＋(5－1)×＝.又1414141454因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，54公比为的等比数列，所以a 53＝×2＝.1254(12)5164．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.解析：设公比为q ，则＝q 10＝，＝q 90＝(q 10)9＝9，故a 99＋a 100＝a 19＋a 20a 9＋a 10b a a 99＋a 100a 9＋a 10(ba )9(a 9＋a 10)＝.(b a )b 9a 8答案：b 9a 85．若等比数列{a n }{a n ∈R}对任意的正整数m ，n 满足a m ＋n ＝a m a n ，且a 3＝2，那么2a 12＝________.解析：令m ＝1，则a n ＋1＝a n a 1⇒a 1＝q ，a n ＝q n .因为a 3＝q 3＝2，所以a 12＝q 12＝64.2答案：646．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为________.120.51abc解析：由表格知，第一行构成以1为首项，为公差的等差数列，所以第一行第四个数12为，第五个数为3.第三列构成以2为首项，为公比的等比数列，所以a ＝.同理，521212b ＝，c ＝，所以a ＋b ＋c ＝1.516316答案：17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1.an ＋1an8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *.(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n .。

2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.3等比数列及其前n 项和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为( ) A ．10 B ．20 C ．100D ．200解析：a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100. 答案：C2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578D ．558解析：因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案：A3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6)，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.答案：A4．(xx 届太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.答案：B5．(xx 届莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 017解析：由已知条件知{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n ，b n ＝3n. 又c n ＝ba n ＝33n， 所以c 2 017＝33×2 017＝272 017.答案：D6．(xx 届海口市调研测试)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12 B ．1716 C ．2D ．17解析：设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.答案：B7．(xx 届衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2nD ．3n－1解析：因为数列{a n }为等比数列，a 1＝2，设其公比为q ，则a n ＝2qn －1，因为数列{a n ＋1}也是等比数列，所以(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2⇒a n ＋a n＋2＝2a n ＋1⇒a n (1＋q 2－2q )＝0⇒q ＝1，即a n ＝2，所以S n ＝2n ，故选C.答案：C8．(xx 届广州市五校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211. 答案：C9．由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________. 解析：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝log 2(a 1a 10)·(a 2a 9)·…·(a 5a 6)＝log 2(a 3a 8)5＝log 2225＝25.答案：2510．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：因为3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(a 1＋a 2)＝3a 1＋a 1＋a 2＋a 3.化简得a 3a 2＝3，即等比数列{a n }的公比q ＝3，故a n ＝1×3n －1＝3n －1.答案：3n －111．(xx 届南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n＋2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列， 所以a 5＋S 5－a 4－S 4＝a 6＋S 6－a 5－S 5， 即2a 6－3a 5＋a 4＝0， 所以2q 2－3q ＋1＝0， 因为q ≠1， 所以q ＝12，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝12n .(2)b n ＝a n ＋a n ＋12·3n＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，T n ＝34×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ＋11－32＝94⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)．已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1. (1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝81＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．∵4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2符合上式，∴4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 22a n ＋1－a n ＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．[能 力 提 升]1．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．解析：T 10＝T 20⇒a 11…a 20＝1⇒(a 15a 16)5＝1⇒a 15a 16＝1，又{a n }是正项递增等比数列，所以0<a 1<a 2<…<a 14<a 15<1<a 16<a 17<…，因此当T n 取最小值时，n 的值为15.答案：152．(xx 届山西吕梁质检)已知数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，则这个数列的前2 018项之积T 2 018等于________．解析：数列2,8,4，12，…，该数列的特点是从第2项起，每一项都等于它的前后两项之积，这个数列的前8项分别为2,8,4，12，18，14，2,8，易得从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项积为2×8×4×12×18×14＝1.又因为2 018＝336×6＋2，所以这个数列的前2 018项之积T 2 018＝1336×2×8＝16. 答案：163．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． ∵a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)，∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n，则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n)．又∵a 1－3＝2，∴a n －3n≠0，∴{a n －3n}是以2为首项，－2为公比的等比数列． ∴a n －3n＝2×(－2)n －1，即a n ＝2×(－2)n －1＋3n.2019-2020年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则 由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )， 代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(xx 届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项， 所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1， 所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1， 即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列， 通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立， 求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5， 所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6， 所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6， 即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n， 所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n 2n ＋2≤0， 所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 所以S n ＝2n 2－n ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)． 当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2， 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列， 故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ， 故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝ n n ＋12>n 22＝n2， 所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n 2＝ 1＋2＋…＋n 2＝S n 2. 又S n ＝ n n ＋12<n ＋122＝n ＋12， 所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12， 所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.。

课时跟踪检测(九)等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 2，a 18是方程x 2＋6x ＋4＝0的两根，则a 4a 16＋a 10＝()A ．6B ．2C ．2或6D ．－2－a 2·a 18＝－2，因此a 4·a 16＋a 10＝a 210＋a 10＝2，故选B.2．在正项等比数列{a n }中，a 2a 7＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 8＝()A ．2B ．4C ．6D ．83．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 6a 7＝81，则a 1a 9的值为()A ．9B ．－9C ．±9D ．184．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第5节的容积为()A ．2 B.6766C ．3D ．35．(多选)已知等比数列{a n }，则下面式子对任意正整数k 都成立的是()A ．a k ·a k ＋1>0B ．a k ·a k ＋2>0C ．a k ·a k ＋1·a k ＋2>0D ．a k ·a k ＋1·a k ＋2·a k ＋3>06．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝120，则a 5＋a 6＝______．7．在12和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为______．8．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝______．9．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a n >0，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 3a 7＝36，求a 3＋a 5的值；(2)若数列{a n }的前三项和为168，a 2－a 5＝42，求a 5，a 7的等比中项．10．(多选)设{a n }(n ∈N *)是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n 是其前n 项的积，且K 5＜K 6，K 6＝K 7＞K 8，则下列选项中成立的是()A ．0＜q ＜1B ．a 7＝1C ．K 9＞K 5D ．K 6与K 7均为K n 的最大值11．已知数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，若a 2a 7a 12＝33，b 1＋b 7＋b 13＝6π，则tan b 2＋b 12a 3a 11＝________．12．2020年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%.(1)哪一年两林场木材的总存量相等？(2)问两林场木材的总量到2024年能否翻一番？13．(2022·山师大附中高二月考)若数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，则称{a n }为“梦想数1b n －1b 1＝2，则b 4＝()A.281 B.227C.18D ．1414．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 6＝17，a 1a 8＝－38，且a 1＜a 8.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)调整数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3的顺序，使它们成为等比数列{b n }的前三项，求{b n }的通项公式．。

课时跟踪检测（三十五） 等比数列及其前n 项和[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(榆林名校联考)在等比数列{a n }中,a 1＝1,a 3＝2,则a 7＝( ) A ．－8 B ．8 C ．8或－8D ．16或－16解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a 1＝1,a 3＝2,∴q 2＝2,∴a 7＝a 3q 4＝2×22＝8。

故选B 。

2．(六安一中调研)已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1＋a 2b 2的值是( ) A 。

52或－52 B ．－52C 。

52D ．12解析：选C 由题意得a 1＋a 2＝5,b 22＝4,又b 2与第一项的符号相同,所以b 2＝2。

所以a 1＋a 2b 2＝52。

故选C 。

3．(湖北稳派教育联考)在各项均为正数的等比数列{a n }中,若a 5a 11＝4,a 6a 12＝8,则a 8a 9＝( ) A ．12 B ．4 2 C ．6 2D ．32解析：选B 由等比数列的性质得a 28＝a 5a 11＝4,a 29＝a 6a 12＝8,∵a n >0,∴a 8＝2,a 9＝22,∴a 8a 9＝42。

故选B 。

4．(成都模拟)设{a n }是公比为负数的等比数列,a 1＝2,a 3－4＝a 2,则a 3＝( ) A ．2 B ．－2 C ．8D ．－8解析：选A 法一：设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 1＝2,a 3－a 2＝a 1(q 2－q )＝4,所以q 2－q ＝2,解得q ＝2(舍去)或q ＝－1,所以a 3＝a 1q 2＝2,故选A 。

法二：若a 3＝2,则a 2＝2－4＝－2,此时q ＝－1,符合题意,故选A 。

5．(益阳、湘潭高三调研)已知等比数列{a n }中,a 5＝3,a 4a 7＝45,则a 7－a 9a 5－a 7的值为( ) A ．3 B ．5 C ．9D ．25解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45,所以q ＝5,所以a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25。

课时跟踪检测(十) 等比数列一、选择题1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( ) A.14B.12C.18 D ．12．已知一等比数列的前三项依次为x,2x ＋2,3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．83．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－44．若a ，b ，c 成等比数列，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0( )A ．必有两个不等实根B ．必有两个相等实根C ．必无实根D ．以上三种情况均有可能5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)nD ．－(－2)n二、填空题 6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则a 4＝________.8．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________．三、解答题9．数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，若b 2＝5，求b n .10．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．答 案课时跟踪检测(十)1．选A 原式＝2a 1＋a 2q 2(2a 1＋a 2)＝1q 2＝14. 2．选B 由x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4，∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4⎝⎛⎭⎫32n －1，由－4⎝⎛⎭⎫32n －1＝－1312，得n ＝4. 3．选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8.4．选C ∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ＞0.又∵Δ＝b 2－4ac ＝－3ac ＜0，∴方程无实数根．5．选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.6．解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .答案：(－2)n 或－2n7．解析：设公比为q ，则a 1q 2＝3，a 1q 9＝384，所以q 7＝128，q ＝2，故a 4＝a 3q ＝3×2＝6.答案：68．解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a n a n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －1 9．解：∵{a n }是等差数列，∴a 5＝a 1＋4d ，a 8＝a 1＋7d ，a 13＝a 1＋12d ，又a 5，a 8，a 13是等比数列{b n }中相邻的三项，∴a 28＝a 5a 13，即(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )·(a 1＋12d )， 解得d ＝2a 1.设等比数列{b n }的公比为q (q ≠0)，则q ＝a 8a 5＝53，又b 2＝b 1q ＝5，即53b 1＝5，解得b 1＝3， ∴b n ＝3·⎝⎛⎭⎫53n －1. 10．解：(1)法一：因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)．由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0.所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N *)．所以数列{a n ＋1}是等比数列． 法二：由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0.∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)， ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，即a n ＝2n －1.。

课时跟踪检测（十） 等比数列的性质层级一 学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3， 即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N ＋)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ②由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8， ∴q ＝±⎝⎛⎭⎪⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1418＝±142.10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 52＝36，a 3＋a 52＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n －2或a n ＝26－n.层级二 应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5 B ．1 C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230， ∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137， 而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. 解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－－3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18，数列中的a 3，a 7与a 5有怎样的关系？在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3·a n ＋3(n ＞3)成立吗？把3换成k ，即a 2n ＝a n －k a n ＋k ，这里的k 应满足怎样的条件？解：设这个数列的首项为a 1，公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝32，a 1＝163.所以a n ＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，则a 3＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，a 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫324， a 7＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫326，可知a 3a 7＝a 25. 在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3a n ＋3(n ＞3)一定成立．在等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －k ·a n ＋k 要成立， 只需满足n ＞k ＞0，且k ∈N ＋即可．。

课时跟踪检测（十）等比数列的概念及通项公式层级一学业水平达标1．2＋3和2－3的等比中项是( )A．1 B．－1C．±1 D．2解析：选C 设2＋3和2－3的等比中项为G，则G2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G＝±1.2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{a n}中，当a n＝64时，项数n等于( )A．4 B．5C．6 D．7解析：选D 因为a n＝a1q n－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.3．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1＝9d，若a k是a1与a2k的等比中项，则k等于( ) A．2 B．4C．6 D．8解析：选B ∵a n＝(n＋8)d，又∵a2k＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.4．等比数列{a n}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若a m＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于( )A．9 B．10C．11 D．12解析：选 C ∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝a51·q10＝－q10，a m＝a1q m －1＝－q m－1，∴－q10＝－q m－1，∴10＝m－1，∴m＝11.5．等比数列{a n}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则a n等于( )A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)C．(－2)n D．－(－2)n解析：选A 设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故a n＝(－2)n－1.6．等比数列{a n}中，a1＝－2，a3＝－8，则a n＝________.解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2.当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n；当q ＝2时，a n ＝a 1qn －1＝－2×2n －1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝________.解析：由题设a 1，12a 3,2a 2成等差数列可得a 1＋2a 2＝a 3，即q 2－2q －1＝0，所以q ＝2＋1，a 8＋a 9a 6＋a 7＝a 81＋q a 61＋q＝q 2＝3＋2 2. 答案：3＋2 28．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．解析：依题意设原来的三个数依次为a q，a ，aq . ∵a q·a ·aq ＝512，∴a ＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴⎝⎛⎭⎪⎫aq －2＋(aq －2)＝2a ， ∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4. ∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， ∴原来的三个数的和等于28. 答案：289．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解：设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有 (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16. 设后三个数分别为b q，b ，bq ，则有b q·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.10．已知递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，求a n .解：设等比数列{a n }的公比为q .依题意，知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， ∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＋4＝28， ∴a 3＝8，a 2＋a 4＝20，∴8q ＋8q ＝20，解得q ＝2或q ＝12(舍去)． 又a 1＝a 3q2＝2，∴a n ＝2n.层级二 应试能力达标1．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14 B.12 C.18D ．1解析：选A 原式＝2a 1＋a 2q 22a 1＋a 2＝1q 2＝14.2．在等比数列{a n }中，已知a 1＝13，a 5＝3，则a 3＝( )A ．1B ．3C ．±1D ．±3解析：选A 由a 5＝a 1·q 4＝3，所以q 4＝9，得q 2＝3，a 3＝a 1·q 2＝13×3＝1.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．607.5 B ．608 C ．607D ．159 解析：选C ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n －1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，14 12，14 34，38，316…记第i 行第j 列的数为a ij (i ，j ∈N *)，则a 53的值为( ) A.116 B.18 C.516D.54解析：选C 第一列构成首项为14，公差为14的等差数列，所以a 51＝14＋(5－1)×14＝54.又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为54，公比为12的等比数列，所以a 53＝54×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516. 5．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 解析：由a n ＝2S n －3得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1得a 1＝2a 1－3，∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.答案：a n ＝3·(－1)n －16．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＝6，若将a 1，a 4，a 5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，所求的数为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 3＝a 1＋2d ＝6，∴d ＝2，∴a 4＝8，a 5＝10，∵a 1＋m ，a 4＋m ，a 5＋m 成等比数列，∴(a 4＋m )2＝(a 1＋m )(a 5＋m )，即(8＋m )2＝(2＋m )(10＋m )，解得m ＝－11.答案：－117．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12. ∴数列{a n }是等比数列．8．已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，且a 2＝9，a 4＝81. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝log 3a n ，求证：数列{b n }是等差数列． 解：(1)求数列{a n }的公比为q ，∵a 2＝9，a 4＝81.则q 2＝a 4a 2＝819＝9，又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3， 故通项公式a n ＝a 2qn －2＝9×3n －2＝3n ，n ∈N *.(2)证明：由(1) 知a n ＝3n，∴b n ＝log 3a n ＝log 33n＝n ，∴b n ＋1－b n ＝(n ＋1)－n ＝1(常数)，n ∈N *，故数列{b n }是一个公差等于1的等差数列．。

2020年高二数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥棱台的结构特征课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台球及简单组合体的结构特征课时跟踪检测三中心投影与平行投影及空间几何体的三视图课时跟踪检测四空间几何体的直观图课时跟踪检测五柱体锥体台体的表面积与体积课时跟踪检测六球的体积和表面积课时跟踪检测七平面课时跟踪检测八空间中直线与直线之间的位置关系课时跟踪检测九空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系课时跟踪检测十直线与平面平面与平面平行的判定课时跟踪检测十一直线与平面平面与平面平行的性质课时跟踪检测十二直线与平面垂直的判定课时跟踪检测十三平面与平面垂直的判定课时跟踪检测十四直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课时跟踪检测十五倾斜角与斜率课时跟踪检测十六两条直线平行与垂直的判定课时跟踪检测十七直线的点斜式方程课时跟踪检测十八直线的两点式方程课时跟踪检测十九直线的一般式方程课时跟踪检测二十两条直线的交点坐标两点间的距离课时跟踪检测二十一点到直线的距离两条平行线间的距离课时跟踪检测二十二圆的标准方程课时跟踪检测二十三圆的一般方程课时跟踪检测二十四直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十五圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用课时跟踪检测二十六空间直角坐标系课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征一、题组对点训练对点练一棱柱的结构特征1．下面没有体对角线的一种几何体是( )A．三棱柱B．四棱柱C．五棱柱D．六棱柱解析：选A 三棱柱只有面对角线,没有体对角线．2．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．3．如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________．解析：由于倾斜角度较小,所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱．答案：四棱柱对点练二棱锥、棱台的结构特征4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有( )A．1个B．2个C．3个 D.4个解析：选D 三棱锥的每一个面均可作为底面,应选D.5．下面说法中,正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形解析：选B 由棱台的结构特点可知,A、C、D不正确．6．下列四个几何体为棱台的是( )解析：选C 棱台的底面为多边形,各个侧面为梯形,侧棱延长后又交于一点,只有C项满足这些要求．对点练三多面体的表面展开图7．下列图形中,不是三棱柱展开图的是( )解析：选C 本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱,故选C.8．如图所示,不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )A．①③B．②④C．③④ D.①②解析：选C 可选择阴影三角形作为底面进行折叠,发现①②可折成正四面体,③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体．9．如图,这是一个正方体的表面展开图,若把它再折回成正方体后,有下列命题：①点H与点C重合；②点D,M,R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．解析：将正方体的六个面分别用“前”“后”“左”“右”“上”“下”标记,若记面NPGF为“下”,面PSRN为“后”,则面PQHG,MNFE,EFCB,DEBA分别为“右”“左”“前”“上”．按各面的标记折成正方体,则点D,M,R重合；点G,C重合；点B,H重合；点A,S,Q重合．故②④正确,①③错误．答案：②④二、综合过关训练1．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )解析：选D A、B、C中底面边数与侧面个数不一致,故不能围成棱柱．2．以下有三个结论：①有两个面互相平行,其余各面都是四边形的多面体一定是棱柱；②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；③侧面都是矩形的棱柱是长方体．正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D.3解析：选A 由棱柱、棱锥定义知①②错；侧面都是矩形的棱柱可能是斜棱柱,故③错．3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图),则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )解析：选A 两个☆不能并列相邻,B、D错误；两个※不能并列相邻,C错误,故选A.也可通过实物制作检验来判定．4．下列说法正确的是( )A．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B错误；选项C错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D正确．5．若一个棱台共有21条棱,则这个棱台是________棱台．解析：由棱台的概念可知,棱台的上下底面为相似多边形,边数相同；侧面为梯形,侧面个数与底面多边形边数相同,可知该棱台为七棱台．答案：七6．如图所示平面图形沿虚线折起后,(1)为________,(2)为________,(3)为________．解析：结合棱柱、棱锥的概念可知,(1)是四棱柱,(2)是三棱锥,(3)是四棱锥．答案：四棱柱三棱锥四棱锥7．观察下列四张图片,结合所学知识说出这四个建筑物主要的结构特征．解：(1)是上海世博会中国馆,其主体结构是四棱台．(2)是法国卢浮宫,其主体结构是四棱锥．(3)是国家游泳中心“水立方”,其主体结构是四棱柱．(4)是美国五角大楼,其主体结构是五棱柱．8．如图在以O为顶点的三棱锥中,过O的三条棱两两夹角都是30°,在一条棱上取A、B 两点,OA＝4 cm,OB＝3 cm,以A、B为端点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在A、B两点间的最短绳长．解：作出三棱锥的侧面展开图,如图A、B两点间最短绳长就是线段AB的长度．在△AOB中,∠AOB＝30°×3＝90°,OA＝4 cm,OB＝3 cm,所以AB＝OA2＋OB2＝5 cm.所以此绳在A、B两点间的最短绳长为5 cm.课时跟踪检测（二）圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征一、题组对点训练对点练一旋转体的结构特征1．下列几何体中是旋转体的是( )①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．A．①和⑤B．①C．③和④ D.①和④解析：选D 根据旋转体的概念可知,①和④是旋转体．2．下面几何体的轴截面(过旋转轴的截面)是圆面的是( )A．圆柱B．圆锥C．球 D.圆台解析：选C 圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形,只有球的轴截面是圆面．3．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球,得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．解析：利用球的结构特征判断：①正确；②不正确,因为直径必过球心；③不正确,因为得到的是一个圆面．答案：①对点练二简单组合体4．下列几何体是简单组合体的是( )解析：选D A选项中的几何体是圆锥,B选项中的几何体是圆柱,C选项中的几何体是球,D选项中的几何体是一个圆台中挖去一个圆锥,是简单组合体．5．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是( ) A．两个圆锥拼接而成的组合体 B．一个圆台C．一个圆锥 D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D 如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．6．指出如图(1)(2)所示的图形是由哪些简单几何体构成的．解：分割图形,使它的每一部分都是简单几何体．图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体．对点练三有关几何体的计算7．用长为4,宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为( )A．8 B.8π C.4πD.2π解析：选B 由题意可知,假设围成的圆柱底面周长为4,高为2,设圆柱底面圆的半径为r,则2πr＝4,所以r＝2π,所以截面是长为2,宽为4π的矩形,所以截面面积为2×4π＝8π.同理,当围成的圆柱底面周长为2,高为4时,截面面积为8π.8．一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为________cm. 解析：h＝20 cos 30°＝103(cm)．答案：10 3二、综合过关训练1．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体解析：选B 圆旋转一周形成球,圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱,所以选B.2．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A．0 B．1 C．2 D.3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．3.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．4．两平行平面截半径为5的球,若截面面积分别为9 π和16 π,则这两个平面间的距离是( )A．1 B．7C．3或4 D.1或7解析：选D 如图(1)所示,若两个平行平面在球心同侧,则CD＝52－32－52－42＝1.如图(2)所示,若两个平行截面在球心两侧,则CD＝52－32＋52－42＝7.5．给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线,可能相交,也可能不相交；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体,其中说法正确的是________．解析：①正确,圆柱的底面是圆面；②正确,经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③不正确,圆台的母线延长一定相交于一点；④不正确,夹在圆柱的两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体．答案：①②6．已知圆锥的底面半径为1 cm,高为 2 cm,其内部有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________．解析：设正方体的棱长为a,则a2＝1－22a1,即a ＝22. 答案：22cm7.如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD <BC ,当梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周时,其他各边旋转围成了一个几何体,试描述该几何体的结构特征．解：如图所示,旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的简单组合体．8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径．解：圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面半径分别为x cm,3x cm,延长AA 1交OO 1的延长线于S ,在Rt △SOA 中,∠ASO ＝45°, 则∠SAO ＝45°,所以SO ＝AO ＝3x ,SO 1＝A 1O 1＝x , 所以OO 1＝2x .又S 轴截面＝12(6x ＋2x )·2x ＝392,所以x ＝7.所以圆台的高OO 1＝14 (cm), 母线长l ＝2OO 1＝142(cm), 两底面半径分别为7 cm,21 cm.课时跟踪检测（三） 中心投影与平行投影及空间几何体的三视图一、题组对点训练对点练一 平行投影和中心投影 1．直线的平行投影可能是( ) A ．点 B ．线段 C ．射线D.曲线解析：选A 直线的平行投影可能是直线也可能是点,故选A. 2．下列的四个图形中采用中心投影画法的是( )解析：选A 根据平行投影和中心投影的画法规则,B、C、D选项中的图形均为平行投影下的图形,而A选项中的图形采用的是中心投影画法．3.如图,E,F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的面ADD1A1和面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(把所有可能图形的序号都填上)．解析：图②是在平面DCC1D1或平面ABCD上的正投影；图③是在平面BCC1B1上的正投影．图①④均不符合．答案：②③对点练二简单几何体的三视图4．已知一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的组成为( )A．上面为棱台,下面为棱柱B．上面为圆台,下面为棱柱C．上面为圆台,下面为圆柱 D.上面为棱台,下面为圆柱解析：选C 结合三视图,易知该几何体上面为圆台,下面为圆柱．5．如图所示的几何体中,正视图与侧视图都是长方形的是________．解析：(2)的侧视图是三角形,(5)的正视图和侧视图都是等腰梯形,其余的都符合条件．答案：(1)(3)(4)6．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体,试画出它的三视图．解：三视图如图所示．对点练三 由三视图还原空间几何体7.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D.2解析：选B 先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M ,N 的位置如图①所示．圆柱的侧面展开图及M ,N 的位置(N 为OP 的四等分点)如图②所示,连接MN ,则图中MN 即为M 到N 的最短路径．∵ON ＝14×16＝4,OM ＝2,∴MN ＝OM 2＋ON 2＝ 22＋42＝2 5.8．如图是一个几何体的三视图,则可以判断此几何体是________．解析：由三视图可知,此几何体为一个正四棱锥． 答案：正四棱锥9．如图,图(1)、(2)、(3)是图(4)表示的几何体的三视图,其中图(1)是________,图(2)是________,图(3)是________(写出视图名称)．解析：由几何体的位置知,(1)为正视图,(2)为侧视图,(3)为俯视图．答案：正视图侧视图俯视图二、综合过关训练1．下列命题中正确的是( )A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的中点的平行投影仍是这条线段投影的中点解析：选D 矩形的平行投影可能是线段,平行四边形或矩形,梯形的平行投影可能是线段或梯形,两条相交直线的投影是两条相交直线或是一条直线．因此A、B、C均错,故D正确．2．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )解析：选B 依题意,侧视图中棱的方向从左上角到右下角,故选B.3.某个游戏环节,玩家需按墙上的空洞造型摆出相同姿势,才能穿墙而过,否则会被墙推入水池．类似地,有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞,则该几何体为( )解析：选A 由题意知,图中正方形、圆形、三角形对应某几何体的三视图,结合选项中给出的图形分析可知,A中几何体满足要求．故选A.4．在一个几何体的三视图中,正视图和侧视图是两个完全相同的图形,如图所示,则相应的俯视图可以为( )A．①②B．②③C．③④ D.②④解析：选D 若俯视图为图①,则该几何体的正视图的上方三角形应该没有高线,故俯视图不可能为图①,排除选项A；若俯视图为图③,则该几何体的侧视图的上方应该没有左边小三角形,故俯视图不可能为图③,排除选项B、C；若俯视图为图②,则该几何体是由上面是正四棱锥,下面是正方体组合而成的简单组合体；若俯视图为图④,则该几何体是由上面是正四棱锥,下面是圆柱组合而成的简单组合体．故选D.5．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示,则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知,几何体由7块小正方体木块搭成．答案：76．若一个正三棱柱(底面为正三角形,侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示,则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：侧视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长,尺寸23为俯视图正三角形的高,所以正三棱柱的底面边长为4.答案：2 47．某组合体的三视图如图所示,试画图说明此组合体的结构特征．解：该三视图表示的几何体是由一个四棱柱和一个四棱台拼接而成的组合体 (如图所示)．8.如图,在正四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1中,AB ＝1,AA 1＝2,点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点,求三棱锥P ­ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值．解：点P 是平面A 1B 1C 1D 1内的一个动点,则三棱锥P ­ABC 的正视图始终是一个底为1,高为2的三角形, 其面积S 1＝12×1×2＝1.当点P 在底面ABCD 内的投影点在△ABC 的内部或边界上时,其俯视图的面积最小, 最小面积S 2＝12×1×1＝12,所以三棱锥P ­ABC 的正视图与俯视图的面积的比值的最大值为S 1S 2＝2.课时跟踪检测（四） 空间几何体的直观图一、题组对点训练 对点练一 斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时,若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴,且∠A ＝90°,则在直观图中∠A ′＝( )A ．45°B ．135°C ．45°或135°D.90°解析：选C 在画直观图时,∠A ′的两边依然分别平行于x ′轴、y ′轴,而∠x ′O ′y ′＝45°或135°.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中的线段说法错误的是( ) A ．原来相交的仍相交 B ．原来垂直的仍垂直 C ．原来平行的仍平行 D ．原来共点的仍共点解析：选B 根据斜二测画法,原来垂直的未必垂直． 3．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是( ) A ．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B ．梯形的直观图是平行四边形 C ．正方形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：选D 由斜二测画法规则可知,平行于y 轴的线段长度减半,直角坐标系变成斜坐标系,而平行性没有改变,故只有选项D 正确．4．如图,已知等腰三角形ABC ,则如图所示的四个图中,可能是△ABC 的直观图的是 ( )A ．①②B ．②③C ．②④D.③④解析：选 D 原等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,③④两图分别是∠x ′O ′y ′成135°和45°的坐标系中的直观图．5．画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图．解：(1)过点C 作CE ⊥x 轴,垂足为E ,如图(1)所示,画出对应的x ′轴、y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)如图(2)所示,在x ′轴上取点B ′,E ′, 使得O ′B ′＝OB ,O ′E ′＝OE ； 在y ′轴上取一点D ,使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴,使E ′C ′＝12EC .(3)连接B ′C ′,C ′D ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(3)所示,四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图．对点练二 由直观图还原平面图形6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( )解析：选A 由直观图的画法可知,落在y 轴上的对角线的长为22,结合各选项可知选A.6．如图所示,△A ′B ′C ′是水平放置的△ABC 的直观图,则在△ABC 的三边及中线AD 中,最长的线段是( )A ．AB B ．AC C ．BCD.AD解析：选B 由直观图可知△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形,所以斜边AC 最长． 8.如图所示,Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图,直角边O ′B ′＝1,则这个平面图形的面积是( )A ．2 2B ．1 C. 2D.4 2解析：选C 在△AOB 中,OB ＝O ′B ′＝1,OA ＝2O ′A ′＝22,且∠AOB ＝90°,S △AOB ＝12OA ·OB ＝12×1×22＝ 2.二、综合过关训练1．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )A ．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB ．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC ．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD ．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.2.如图所示的正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32) cmD.(2＋23) cm解析：选B 直观图中,O ′B ′＝2,原图形中OC ＝AB ＝(22)2＋12＝3,OA ＝BC ＝1,∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D.1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ,如图所示,∠ABC ＝45°,AB ＝AD ＝1,DC ⊥BC ,则原平面图形的面积为________．解析：过A 作AE ⊥BC ,垂足为E .∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ,∴ADCE 是矩形,∴EC ＝AD ＝1.由∠ABC ＝45°,AB ＝AD ＝1知BE ＝22,∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋22,高为2, ∴原平面图形的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.答案：2＋227.如图,四边形A ′B ′C ′D ′是边长为1的正方形,且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形,并求出原图形的面积．解：画出平面直角坐标系xOy ,使点A 与O 重合, 在x 轴上取点C ,使AC ＝2, 再在y 轴上取点D ,使AD ＝2, 取AC 的中点E , 连接DE 并延长至点B , 使DE ＝EB ,连接DC ,CB ,BA ,则四边形ABCD 为正方形A ′B ′C ′D ′的原图形(也可以过点C 作BC ∥y 轴,且使CB ＝AD ＝2,然后连接AB ,DC ),如图所示．易知四边形ABCD 为平行四边形,∵AD ＝2,AC ＝2,∴S ▱ABCD ＝2×2＝2 2. 8．如图为一几何体的展开图：沿图中虚线将它们折叠起来,请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示．课时跟踪检测（五） 柱体、锥体、台体的表面积与体积一、题组对点训练对点练一 柱体、锥体、台体的侧面积与表面积 1．棱长为3的正方体的表面积为( ) A ．27 B ．64 C ．54D.36解析：选C 根据表面积的定义,组成正方体的面共6个,且每个都是边长为3的正方形．从而,其表面积为6×32＝54.2．若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( )A ．1∶2B ．1∶ 3C ．1∶ 5D.3∶2解析：选C 设圆锥底面半径为r ,则高h ＝2r ,∴其母线长l ＝5r .∴S 侧＝πrl ＝5πr 2,S 底＝πr 2.则S 底∶S 侧＝1∶ 5.3．已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A.81π4B ．16πC ．9πD.27π4解析：选A 如图,设球心为O ,半径为r ,则在Rt △AOF 中,(4－r )2＋(2)2＝r 2,解得r ＝94,所以该球的表面积为4πr 2＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫94 2＝81π4.4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84π,则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D.3解析：选A 设圆台较小底面半径为r ,则另一底面半径为3r .由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π,解得r ＝7.5．一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为________．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝2πr 2＝2π,S 侧＝2πr ·h ＝4π,所以S 表＝S 底＋S 侧＝6π.答案：6π对点练二 柱体、锥体、台体的体积6．某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A ．2B ．4C ．6D.8解析：选C 由几何体的三视图可知,该几何体是一个底面为直角梯形,高为2的直四棱柱,直角梯形的两底边长分别为1,2,高为2,∴该几何体的体积为V ＝12×(2＋1)×2×2＝6.7．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是________．解析：易知圆锥的母线长为2,设圆锥的底面半径为r ,则2πr ＝12×2π×2,∴r ＝1,则高h ＝ l 2－r 2＝ 3.∴V 圆锥＝13πr 2· h ＝13π×3＝3π3.答案：3π38．某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为2的正方形,正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等,则该几何体的体积是________．解析：几何体的直观图为正方体去掉以正方体中心为顶点,上底面为底面的四棱锥,其体积为2×2×2－13×1×22＝203.答案：203对点练三 求几何体体积的方法9.如图,在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,AB ＝4,AA 1＝6.若E ,F 分别是棱BB 1,CC 1上的点,则三棱锥A ­A 1EF 的体积是________．解析：因为在正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中,AA 1∥BB 1,AA 1⊂平面AA 1C 1C ,BB 1⊄平面AA 1C 1C ,所以BB 1∥平面AA 1C 1C ,从而点E 到平面AA 1C 1C 的距离就是点B 到平面AA 1C 1C 的距离,作BH ⊥AC ,垂足为点H ,由于△ABC 是正三角形且边长为4,所以BH ＝23,从而三棱锥A ­A 1EF 的体积VA ­A 1EF ＝VE ­A 1AF ＝13S △A 1AF ·BH ＝13×12×6×4×23＝8 3.答案：8 3 二、综合过关训练1．如图,ABC ­A ′B ′C ′是体积为1的棱柱,则四棱锥C ­AA ′B ′B 的体积是( )。

课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前n 项和一、基础练——练手感熟练度1．已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1a 5＝16，a 2＝2，则公比q ＝( ) A ．4 B.52 C ．2D.12解析：选C 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·a 1q 4＝16，a 1q ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，q ＝－2(舍去)，故选C.2．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：选C 由题意得，2a 5a 6＝18，∴a 5a 6＝9，∵a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10. 3．已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( ) A ．1 B ．5 C.3148D.1116解析：选D 由题意得a 1(1－q 3)1－q ＝3a 1q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍)，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝1－⎝⎛⎭⎫－1251－⎝⎛⎭⎫－12＝1116. 4．已知{a n }是公差为3的等差数列，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则{a n }的前10项和S 10＝( )A ．165B ．138C ．60D ．30解析：选A 由a 1，a 2，a 4成等比数列得a 22＝a 1a 4，即(a 1＋3)2＝a 1·(a 1＋9)，解得a 1＝3，则S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×3＋45×3＝165.故选A.5．已知等比数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且满足：a 1＋3a 3＝72，S 3＝72，则a 4＝( )A.14B.18C ．4D ．8解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0.∵a 1＋3a 3＝72，S 3＝72，∴a 1＋3a 1q 2＝72，a 1(1＋q ＋q 2)＝72，联立解得a 1＝2，q ＝12.则a 4＝2×⎝⎛⎭⎫123＝14.故选A.二、综合练——练思维敏锐度1．(2021·福州模拟)已知等比数列{a n }各项均为正数，满足a 1＋a 3＝3，a 3＋a 5＝6，则a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋a 4a 6＋a 5a 7＝( )A ．62B ．62 2C ．61D ．61 2解析：选A 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)， ∵a 1＋a 3＝3，a 3＋a 5＝6，∴a 1(1＋q 2)＝3，a 1(q 2＋q 4)＝6，联立解得a 1＝1，q 2＝2.∵a n ＋1a n ＋3a n a n ＋2＝q 2＝2，a 1a 3＝1×(1×2)＝2，∴{a n a n ＋2}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a 1a 3＋a 2a 4＋a 3a 5＋a 4a 6＋a 5a 7＝2(1－25)1－2＝62.故选A.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为2，则a 24＋a 26的最小值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵等比数列{a n }中，a 2与a 8的等比中项为2，∴a 4a 6＝a 2a 8＝2.则a 24＋a 26≥2a 4a 6＝4，当且仅当a 4＝a 6＝2时取等号．故选C.3．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，则数列{b a n }的前10项和为( )A.12(310－1) B.18(910－1) C.126(279－1) D.126(2710－1)解析：选D 由a n ＋1－a n ＝3，知数列{a n }为公差为3的等差数列，则a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2；由b n ＋1b n ＝3，知数列{b n }为公比为3的等比数列，则b n ＝3n －1.所以b a n ＝33n －3＝27n －1，则数列{ b a n }为首项为1，公比为27的等比数列，则数列{ b a n }的前10项和为1－27101－27＝126(2710－1)．故选D. 4．(2021·邵阳模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：选B 设S 2＝k (k ≠0)，S 4＝3k ，∵数列{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B.5．(多选)在公比为q 的等比数列{a n }中，S n 是数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝27a 2，则下列说法正确的是( )A ．q ＝3B ．数列{S n ＋2}是等比数列C ．S 5＝121D ．2lg a n ＝lg a n －2＋lg a n ＋2(n ≥3)解析：选ACD 因为a 1＝1，a 5＝27a 2，所以有a 1·q 4＝27a 1·q ⇒q 3＝27⇒q ＝3，因此选项A 正确；因为S n ＝1－3n 1－3＝12(3n －1)，所以S n ＋2＝12(3n ＋3)，因为S n ＋1＋2S n ＋2＝12(3n ＋1＋3)12(3n ＋3)＝1＋21＋31－n ≠常数，所以数列{S n ＋2}不是等比数列，故选项B 不正确；因为S 5＝12(35－1)＝121，所以选项C 正确；a n ＝a 1·q n －1＝3n －1>0，因为当n ≥3时，lg a n －2＋lg a n ＋2＝lg(a n －2·a n ＋2) ＝lg a 2n ＝2lg a n ，所以选项D 正确．6．已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得a m a n＝32，则1m ＋4n的最小值为( )A.34B.910C.32D.95解析：选A 设公比为q ，q >0.∵数列{a n }是正项等比数列，∴a 2a 8＝a 25＝16a 5， ∴a 5＝16，又a 3＋a 5＝20，∴a 3＝4， ∴q ＝2，∴a 1＝1，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∵a m a n ＝32，∴2m －12n －1＝210，即m ＋n ＝12， ∴1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝112⎝⎛⎭⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝⎛⎭⎫5＋2 n m ·4m n ＝34(m ，n ∈N *)， 当且仅当n ＝2m ，即m ＝4，n ＝8时“＝”成立， ∴1m ＋4n 的最小值为34，故选A.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A 法一：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8， 因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A. 法二：S n ＝2n ＋1＋λ＝2×2n ＋λ，易知q ≠1，因为{a n }是等比数列，所以S n ＝a 11－q －a 11－q q n ，据此可得λ＝－2.故选A.8．设数列{(n 2＋n )a n }是等比数列，且a 1＝16，a 2＝154，则数列{3n a n }的前15项和为( )A.1415 B.1516 C.1617D.1718解析：选B 等比数列{(n 2＋n )a n }的首项为2a 1＝13，第二项为6a 2＝19，故公比为13，所以(n 2＋n )a n ＝13·⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n，所以a n ＝13n (n 2＋n )，则3na n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，其前n 项和为1－1n ＋1，当n ＝15时，前15项和为1－116＝1516.9．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26D ．16解析：选B 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )， 解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.10．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若a 1＝－24，a 4＝－89，则当T n 取得最大值时，n 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝－24q 3＝－89，所以q 3＝127，q ＝13，易知此等比数列各项均为负数，则当n 为奇数时，T n 为负数，当n 为偶数时，T n 为正数，所以T n 取得最大值时，n 为偶数，排除B ；而T 2＝(－24)2×⎝⎛⎭⎫13＝24×8＝192，T 4＝(－24)4×⎝⎛⎭⎫136＝84×19＝849>192，T 6＝(－24)6×⎝⎛⎭⎫1315＝86×⎝⎛⎭⎫139＝8639＝849×8237<849，所以T 4最大．故选C.11．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)＝______；若b n >0，且b 5b 6＋b 4b 7＝4，则b 1b 2…b 10＝________.解析：因为数列{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝π， 所以3a 5＝π⇒a 5＝π3，所以cos(a 2＋a 8)＝cos(2a 5)＝cos 2π3＝－12.又因为数列{b n }为等比数列，b n >0，且b 5b 6＋b 4b 7＝4，所以2b 5b 6＝4⇒b 5b 6＝2，所以b 1b 2…b 10＝(b 5b 6)5＝25＝32. 答案：－123212．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________.解析：∵a 3a 9＝a 26，∴a 26＝2a 25，设等比数列{a n }的公比为q ，∴q 2＝2，由于q >0，解得q＝2，∴a 1＝a 2q ＝22.答案：2213．等比数列{a n }中，已知各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝________.解析：设{a n }的公比为q .由题意得a 1＋2a 2＝a 3，则a 1(1＋2q )＝a 1q 2，q 2－2q －1＝0，所以q ＝2＋82＝1＋2(舍负)，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝1q＝2－1.答案：2－114．在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：∵a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2， ∴(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)， 即a n ＋1＋1a n ＋1＝a n ＋2＋1a n ＋1＋1. ∵a 1＝2，a 2＝5，∴a 1＋1＝3，a 2＋1＝6，∴a 2＋1a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知，a n ＋1＝3·2n －1， ∴a n ＝3·2n －1－1，∴S n ＝3(1－2n )1－2－n ＝3·2n －n －3. 15．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.解：(1)设{a n}的公比为q.由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.解得q＝2或q＝12(舍去)．所以a1＝2.所以{a n}的通项公式为a n＝2n.(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，b m＝n.所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.16．(2021·青岛一模)设数列{}a n的前n项和为S n，a1＝1，________.给出下列三个条件：①：数列{}a n为等比数列，数列{S n＋a1}也为等比数列；②：点(S n，a n＋1)在直线y＝x＋1上；③：2n a1＋2n－1a2＋…＋2a n＝na n＋1.试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列{}a n的通项公式；(2)设b n＝1log2a n＋1·log2a n＋3，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)选条件①.因为数列{}S n＋a1为等比数列，所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)，设等比数列{a n}的公比为q，因为a1＝1，所以(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以a n＝a1q n－1＝2n－1(n∈N*)．选条件②.因为点(S n，a n＋1)在直线y＝x＋1上，所以a n＋1＝S n＋1(n∈N*)，所以a n＝S n－1＋1(n≥2)，两式相减得a n＋1－a n＝a n，a n＋1a n＝2(n≥2)，因为a 1＝1，a 2＝S 1＋1＝a 1＋1＝2，a 2a 1＝2也适合上式，所以数列{}a n 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)． 选条件③. 当n ≥2时，因为2n a 1＋2n －1a 2＋…＋2a n ＝na n ＋1(n ∈N *)，(ⅰ) 所以2n －1a 1＋2n －2a 2＋…＋2a n －1＝(n －1)a n ， 所以2n a 1＋2n －1a 2＋…＋22a n －1＝2(n －1)a n .(ⅱ)(ⅰ)－(ⅱ)得2a n ＝na n ＋1－2(n －1)a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，当n ＝1时，2a 1＝a 2，a 2a 1＝2也适合上式，所以数列{}a n 是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)得a n ＝2n －1(n ∈N *)， 所以b n ＝1log 2a n ＋1·log 2a n ＋3＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).。

课时跟踪检测(十) 数列求和1．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为( )A．2100－101 B．299－101C．2100－99 D．299－99解析：选A　由数列可知a n＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101.2．数列{a n}的通项公式是a n＝.若前n项和为10，则项数为( )A．11 B．99 C．120 D．121解析：选C　∵a n＝＝－，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.令－1＝10，得n＝120.3．已知数列{a n}的通项公式是a n＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于( ) A．15 B．12 C．－12 D．－15解析：选A　∵a n＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋...＋a10＝－1＋4－7＋10－ (25)28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.4．已知函数f(n)＝且a n＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于( )A．0 B．100 C．－100 D．10 200解析：选B　由题意可得，当n为奇数时，a n＝f(n)＋f(n＋1)＝n2－(n＋1)2＝－2n －1；当n为偶数时，a n＝f(n)＋f(n＋1)＝－n2＋(n＋1)2＝2n＋1.所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝[－2×(1＋3＋5＋…＋99)－50]＋[2×(2＋4＋6＋…＋100)＋50]＝100，故选B.5．已知函数y＝log a(x－1)＋3(a＞0，a≠1)的图象所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n}的第二项与第三项，若b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，则T10＝( )A. B． C．1 D．解析：选B　∵对数函数y＝log a x的图象过定点(1,0)，∴函数y＝log a(x－1)＋3的图象过定点(2,3)，则a2＝2，a3＝3，故a n＝n，∴b n＝＝－，∴T10＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选B.6．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n(n∈N*)，则S2 020＝________.解析：∵数列{a n}满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n，①∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，a n·a n－1＝2n－1，②①÷②得＝2.∴数列{a n}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 020＝＋＝3×21 010－3.答案：3×21 010－37．已知等比数列{a n}的公比q≠1，且a1＝1,3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为_ _______．解析：∵等比数列{a n}中，a1＝1,3a3＝2a2＋a4，∴3q2＝2q＋q3.又∵q≠1，∴q＝2，∴a n＝2n－1，∴＝2n－1，即是首项为，公比为的等比数列，∴数列的前4项和为＝.答案：8．已知a n＝2n－2，a＝b n，c n＝，则数列{c n}的前n项和S n＝________.解析：因为a＝(2n－2)2＝b n，所以b n＝－2n＋4，所以c n＝＝＝＝(－n＋2)·n－3，所以S n＝1·－2＋0·－1＋(－1)·0＋…＋(－n＋2)·n－3，①则S n＝1·－1＋0·0＋(－1)·1＋…＋(－n＋2)·n－2.②①－②得S n＝4－－(－n＋2)·n－2＝4－－(－n＋2)·n－2＝，整理得S n＝.答案：9．已知等比数列{a n}各项都是正数，S n为其前n项和，a3＝8，S3＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设{a n－b n}是首项为1，公差为3的等差数列，求数列{b n}的通项公式及其前n 项和T n.解：(1)等比数列{a n}中，a3＝8，S3＝14，可列方程组∵{a n}各项都是正数，∴q＞0，解得∴a n＝2n.(2)由题意知a n－b n＝3n－2，即2n－b n＝3n－2，∴b n＝2n－3n＋2.∴T n＝21＋22＋…＋2n－3×(1＋2＋…＋n)＋2n＝－3×＋2n＝2n＋1－n2＋－2.10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a6＝11，S10＝100.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝(－1)n，求数列{b n}的前n项和T n.解：(1)设该等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，根据题意可知解得所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1，所以数列{a n}的通项公式是a n＝2n－1.(2)由(1)得a n＝2n－1，所以b n＝(－1)n·＝(－1)n··，所以T n＝.当n为奇数时，T n＝；当n为偶数时，T n＝.所以T n＝－＋(－1)n.1．设数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10等于( )A．1 033 B．1 034 C．2 057 D．2 058解析：选A　由已知可得a n＝n＋1，b n＝2n－1，于是ab n＝b n＋1，因此ab1＋ab2＋…＋ab10＝(b1＋1)＋(b2＋1)＋…＋(b10＋1)＝b1＋b2＋…＋b10＋10＝20＋21＋…＋29＋10＝＋10＝1 033.2．已知S n为数列{a n}的前n项和，若a n(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，则S20＝( )A．31 B．122 C．324 D．484解析：选B　∵a n(4＋cos nπ)＝n(2－cos nπ)，∴当n＝2k－1(k∈N*)时，a n＝n；当n＝2k(k∈N*)时，a n＝.∴a n＝∴a1＝1，a2＝，a3＝3，a4＝，a5＝5，….∴S20＝(1＋3＋…＋19)＋＝＋×＝122.故选B.3．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为________．解析：当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋1＋a2k＝4k－1，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k－a2k－1＝4k－3，∴a2k＋1＋a2k－1＝2，∴a2k＋3＋a2k＋1＝2，∴a2k－1＝a2k＋3，∴a1＝a5＝…＝a61.∴a1＋a2＋a3＋…＋a60＝(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a60＋a61)＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝＝30×61＝1 830.答案：1 8304．从“①S n＝n；②S2＝a3，a4＝a1a2；③a1＝2，a4是a2，a8的等比数列”三个条件任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列的前n项和为S n，公差d不等于0，________，n∈N*.(1)求数列的通项公式；(2)若b n＝S2n＋1－S2n，数列的前n项和为W n，求W n.解：(1)选①，S n＝n＝n2＋n，令n＝1⇒a1＝1＋⇒a1＝2，∴S n＝n2＋n，当n≥2时，S n－1＝(n－1)2＋n－1，a n＝S n－S n－1＝2n，而a1＝2满足上式，∴a n＝2n.选②，由S2＝a3，a4＝a1a2可得解得a1＝d＝2，∴a n＝2＋2×(n－1)＝2n.选③，由a1＝2，a4是a2，a8的等比数列，得a＝a2a8，即(2＋3d)2＝(2＋d)(2＋7d)，解得d＝2，∴a n＝2＋2×(n－1)＝2n.(2)由(1)知a n＝2n，S n＝n2＋n，则b n＝(2n＋1)2＋2n＋1－(2n)2－2n＝3·22n＋2n，∴W n＝＋＝4(4n－1)＋2(2n－1)＝4n＋1＋2n＋1－6.5．在①a8＝2a4＋1，②4是a1，a3的等比中项，③S5＝4a1a2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：已知各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，S3＝a6－a1，且________．(1)求a n；(2)设数列的前n项和为T n，试比较T n与的大小，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n}的公差为d(d＞0)，由S3＝a6－a1，可得3a1＋3d＝5d，即3a1＝2d.选①a8＝2a4＋1，即有a1＋7d＝2a1＋6d＋1，即d＝a1＋1，由解得a1＝2，d＝3，则a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.选②4是a1，a3的等比中项，即有a1a3＝16，即a1(a1＋2d)＝16，由解得a1＝2，d＝3，则a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.选③S5＝4a1a2，即有5a1＋10d＝4a1(a1＋d)，由解得a1＝2，d＝3，则a n＝2＋3(n－1)＝3n－1.(2)由(1)知S n＝2n＋n(n－1)·3＝n2＋n，S n＋n＝n(n＋1)，＝·＝，则T n＝＝＝，＝，由－＝＜0，可得T n＜.。

课时跟踪检测（三十一） 等比数列及其前n 项和(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．(2018·云南11校跨区调研)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 9－S 6＝16，S 6＝12，S 12－S 9＝32，S 12＝32＋16＋12＝60.3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12D.12解析：选A 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.4．(2018·新乡调研)已知各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3－a 272＋a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 1·b 13＝( )A ．25B ．16C ．8D ．4解析：选B 由a 3－a 272＋a 11＝0，得2a 7－a 272＝0，a 7＝4，所以b 7＝4，b 1·b 13＝b 27＝16. 5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( )A ．4n －1B ．4n －1C ．2n －1D ．2n －1解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝5452＝12，所以S na n ＝1－q n(1－q )q n －1＝1－12n 12n＝2n －1.6．(2018·漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31D ．33解析：选D 设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1.∵S 3＝2，S 6＝18，∴1－q 31－q 6＝19，得q 3＝8，∴q ＝2， ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33. 7．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝3， ①a 10＝a 1q 9＝384， ②②÷①，得q 7＝128，即q ＝2， 把q ＝2代入①，得a 1＝34，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝34×2n －1＝3×2n －3.答案：3×2n －38．在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.答案：12,489．(2018·邢台摸底)若正项数列{a n }满足a 2＝12，a 6＝132，且a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则log 2a 4＝________.解析：由a n ＋1a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)可得数列{a n }是等比数列，所以a 24＝a 2a 6＝164，又a 4>0，则a 4＝18，故log 2a 4＝log 218＝－3.答案：－310．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0， 解得q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝12舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝2n. 答案：2nB 级——中档题目练通抓牢1．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10解析：选C 由题意得a 1＋a 3＋…＝85，a 2＋a 4＋…＝170，所以数列{a n }的公比q ＝2，由数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.2．(2018·福建模拟)已知递增的等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和S n <0，则( ) A ．a 1<0,0<q <1 B ．a 1<0，q >1 C ．a 1>0,0<q <1D ．a 1>0，q >1解析：选A ∵S n <0，∴a 1<0， 又数列{a n }为递增的等比数列， ∴a n ＋1>a n ，且|a n |>|a n ＋1|，∴－a n >－a n ＋1>0，则q ＝－a n ＋1－a n∈(0,1)，∴a 1<0,0<q <1.故选A.3．(2018·湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n－1 B.1－(－3)n 2C.1＋3n 2D.3n 2＋n 2解析：选A 由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n－3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1>0，∴a n －3a n －1＝0，即a na n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2×(3n －1)3－1＝3n －1.4．在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________. 解析：∵a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4－a 1＝15，a 1q 3－a 1q ＝6(q ≠1)两式相除得(q 2＋1)(q 2－1)q ·(q 2－1)＝156， 即2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12，当q ＝2时，a 1＝1； 当q ＝12时，a 1＝－16(舍去)．∴a 3＝1×22＝4. 答案：45．(2018·海口调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝12n (n ＝1,2,3，…)，则S 2n ＋3＝________.解析：依题意得S 2n ＋3＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2n ＋2＋a 2n ＋3)＝1＋14＋116＋…＋14n ＋1＝1－14n ＋21－14＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＋2.答案：43⎝⎛⎭⎫1－14n ＋26．(2018·兰州诊断性测试)在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)知a n ＝n ， ∴b n ＝2n，∴b n ＋1b n＝2，∴{b n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝4a n －p ，其中p 为非零常数． (1)求证：数列{a n }为等比数列； (2)若a 2＝43，求{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ＝1时，S 1＝4a 1－p ，得a 1＝p3≠0.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(4a n －p )－(4a n －1－p )＝4a n －4a n －1， 得3a n ＝4a n －1，即a n a n －1＝43，所以数列{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列．(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝p 3×⎝⎛⎭⎫43n －1，又a 2＝43，可知p ＝3，于是a n ＝⎝⎛⎭⎫43n －1. C 级——重难题目自主选做(2018·黄冈调研)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n·a n (n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2. 证明：(1)由题设得a n ＋1n ＋1＝12·a n n ， 又a 11＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝22－n ，a n ＝n ·22－n ＝4n 2n . (2)由(1)知b n ＝a n 4n －a n ＝4n 2n 4n －4n 2n＝12n －1，因为对任意n ∈N *,2n －1≥2n －1， 所以b n ≤12n －1.所以T n ≤1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n <2.。

2021年高中数学课时跟踪检测数列苏教版必修5层级一 学业水平达标1．数列0，13，12，35，23，…的通项公式为________．解析：数列可化为02，13，24，35，46，…观看可得：a n ＝n －1n ＋1. 答案：a n ＝n －1n ＋12．依照下列4个图形及相应点的个数的变化规律，试推测第n 个图形中有____________个点．解析：由图形可得，图形中的点数为1,4,9,16，… 则其通项公式为a n ＝n 2， 故第n 个图形中的点数为n 2. 答案：n 23．数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *)，则a 6＝________. 解析：由题意得a 3＝a 2＋a 1＝2，a 4＝a 3＋a 2＝3，a 5＝a 4＋a 3＝5，a 6＝a 5＋a 4＝8. 答案：84．数列{a n }中，a 1＝1，关于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5的值为________．解析：由a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2， ∴a 1a 2＝4，a 1a 2a 3＝9，∴a 3＝94，同理a 5＝2516.∴a 3＋a 5＝6116.答案：61165．已知数列{a n }满足a m ·n ＝a m ·a n (m ，n ∈N *)，且a 2＝3，则a 8＝________. 解析：由a m ·n ＝a m ·a n ，得a 4＝a 2·2＝a 2·a 2＝9，a 8＝a 2·4＝a 2·a 4＝3×9＝27.答案：276．数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ，则{a n }的第______项最小．解析：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－254.∵n ∈N *，∴当n ＝2或3时，a n 最小，∴{a n }的第2或3项最小．答案：2或37．下面五个结论：①数列若用图象表示，从图象上看差不多上一群孤立的点；②数列的项数是无限的；③数列的通项公式是唯独的；④数列不一定有通项公式；⑤将数列看做函数，其定义域是N *(或它的有限子集{1,2，…，n })．其中正确的是________(填序号)．解析：②中数列的项数也能够是有限的，③中数列的通项公式不唯独． 答案：①④⑤8．已知函数f (x )由下表定义：x 1 2 3 4 5 f (x )41352若a 1＝5，a n ＋1＝f (a n )(n ＝1,2，…)，则a 2 016＝________.解析：a 2＝f (a 1)＝f (5)＝2，a 3＝f (a 2)＝f (2)＝1，a 4＝f (a 3)＝f (1)＝4，a 5＝f (a 4)＝f (4)＝5，…，可知数列{a n }是循环数列周期为4，因此a 2 016＝a 4×504＝a 4＝4.答案：49．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)那个数列的第4项是多少？(2)150是不是那个数列的项？若是那个数列的项，它是第几项？ 解：(1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)是．令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是那个数列的第16项．10．已知函数f (x )＝2x －2－x，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．解：(1)因为f (x )＝2x－2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， 因此2log 2a n －2－log 2a n ＝－2n ，因此，a n －1a n＝－2n ，因此a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1. 因为a n >0，因此a n ＝n 2＋1－n .(2)证明：a n ＋1a n＝n ＋12＋1－n ＋1n 2＋1－n＝n 2＋1＋n n ＋12＋1＋n ＋1<1.因为a n >0，因此a n ＋1<a n ， 因此数列{a n }是递减数列．层级二 应试能力达标1．若数列{a n }满足a n ＋1＝4a n ＋34(n ∈N *)，且a 1＝1，则a 17＝________.解析：由a n ＋1＝4a n ＋34⇒a n ＋1－a n ＝34，a 17＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 17－a 16)＝1＋34×16＝13. 答案：132．若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1，且a 1＝1，则a 100＝________. 解析：由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1⇒a n a n －1＝n ＋1n －1，则a 100＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 100a 99＝1×31×42×…×10199＝5 050.答案：5 0503．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 016－3n ，则使a n ≥0成立的最大正整数n 的值为________．解析：由a n ＝2 016－3n ≥0，得n ≤2 0163＝672.∴n 的最大值为672. 答案：6724．已知无穷数列a n ＝12n 2－λn ＋1(n ∈N *)是单调递增数列，则λ的取值范畴是_______．解析：利用定义，a n ＋1－a n >0对n ∈N *恒成立得λ<32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 5．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q 且a 2＝6，那么a 10＝________. 解析：a 4＝a 2＋a 2＝12，a 6＝a 4＋a 2＝18，a 10＝a 6＋a 4＝30. 答案：306．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，则a 4＝________. 解析：当n ＝1时，a 2＝2a 1＋2＝2×2＋2＝6； 当n ＝2时，2a 3＝3a 2＋2＝3×6＋2＝20， ∴a 3＝10；当n ＝3时，3a 4＝4a 3＋2＝4×10＋2＝42， ∴a 4＝14. 答案：147．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n＋q (p ，q ∈R)，且a 1＝－12，a 2＝－34.(1)求{a n }的通项公式； (2)－255256是{a n }中的第几项？(3)该数列是递增数列依旧递减数列？ 解：(1)∵a n ＝p n＋q ， 又a 1＝－12，a 2＝－34，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1＝－255256，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －23n ＋1.(1)求证：0<a n <1.(2)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有许多列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． 解：(1)证明：因为a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1.又因为n ∈N *，因此3n ＋1>3， 因此0<33n ＋1<1，因此0<1－33n ＋1<1，即0<a n <1.(2)令13<a n <23，即13<1－33n ＋1<23.因此13<33n ＋1<23，因此92<3n ＋1<9，因此76<n <83.因为n ∈N *，因此n ＝2，即在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有1项，此项为第2项．。

课时跟踪检测（十）指数与指数函数、题点全面练=3 •20 = 3.0.故选D.法二：由图可知0v a v 1, f （x ）的图象可由函数y = a x 的图象向左平移得到，故一 b > 0,则b v 0.故选D.1. 6 12的化简结果为（3 A. 2 B.C. 4 D .解析:1 原式=32•1-12 61 1• 4 6 ・3 61 1 -一+ — 3 32.函数f (x ) =a x —b 的图象如图所示，其中中正确的是（A. a >1, b v 0B. a >1, b > 0C. 0v a v 1,0 v b v 1D .0v a v 1, b v 0 解析：选D 法一：由题图可知 0v a v 1,当 x = 0 时，b € (0,1)，故—b >0,得 b v3. 2化简4a 32 C aJ 23 b 3的结果为（）A.2a 3bB .8a TC.D .6ab解析：选C6ab —1豊故选C.bB. 0v a v b v 1D. 1 v a v ba ，b 为常数，则下列结论4.设x> 0，且1 v b x v a x,则()A. 0v b v a v 1C. 1 v b v a解析：选C因为1v b x，所以b0v b x,因为X>0,所以b> 1,因为b x v a x,所以J x> 1,因为x> 0,所以a> 1,所以a> b,所以1 v b v a.故选C.b4 2 15. 已知a= (i⑵3, b= 25, c= 93，贝U a, b, c的大小关系是()A. b v a v cB. a v b v cC. b v c v aD. c v a v b4 1 ^4 2 2 1 2解析：选 A a= ( 2) 3= 22X3= 2空,b= 25, c = 9可=3了,2由函数y = x3在(0 ,+s)上为增函数，得a v c,由函数y = 2x在R上为增函数，得a>b,综上得c>a>b.故选A.6. 函数f (x) = a x+ b- 1(其中0v a v 1，且0v b v 1)的图象一定不经过()A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：选C由0v a v 1可得函数y = a x的图象单调递减，且过第一、二象限，因为0 v b v 1，所以一1 v b- 1v 0,所以0v 1- b v 1,y= a x的图象向下平移1-b个单位即可得到y= a x+ b- 1的图象，所以y= a x+ b- 1的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限.故选 C.■x1 —2-, x>0,7. 已知函数f(x)=< x 则函数f (x)是()|2 —1, x v 0,A. 偶函数，在［0,+^)单调递增B. 偶函数，在［0,+^)单调递减C. 奇函数，且单调递增D. 奇函数，且单调递减解析：选C 易知f(0) = 0，当x>0 时，f(x) = 1-2-x, -f(x) = 2-x- 1,此时一x v 0, 则f( —x) = 2-x- 1 = -f (x);当x v 0 时，f (x) = 2x- 1,- f (x) = 1- 2x，此时一x >0,则f( - x) = 1-2-( - x)= 1-2x=- f(x).即函数f (x)是奇函数，且单调递增，故选 C.2、x&二次函数y=—x - 4x(x>- 2)与指数函数y=- 的交点有()A. 3个C. 1个B. 2个D. 0个. _ 2 2解析：选 C 因为二次函数 y =— x -4x =— (x — 2) + 4(x >- 2),=—1 时，y =- x 2- 4x = 3,在坐标系中画出y =— x 2-4x ( x >- 2)与y = 2 %的大致图象, ◎ 由图可得，两个函数图象的交点个数是 1.故选C. 结合指数函数的图象及选项可知 A 正确.故选A.99.已知函数 f (x ) = x - 4+ x —- , x € (0,4) x — I，当x = a 时，f (x )取得最小值 b ,则函数g (x ) =a |x +b|的图象为()解析：选A 因为x € (0,4)，所以x + 1 > 1,9 9所以 f (x )=x -4+不=x +1+石-5> 2当且仅当x =2时取等号，此时函数有最小值 所以 a = 2, b = 1,此时 g (x ) = 2lx +112x —1, x >- 1,曲)—1, X V - 1,此函数图象可以看作由函数 y = 空，x >0,E), X V 0 的图象向左平移1个单位得到.1,— J x —- 5 = 1,10•函数f(x) = £ j』+2x+1的单调递减区间为 ______________ .解析：设U=-x2+ 2x + 1,V y= 1 u在R上为减函数，•••函数f(x) = 1 —x2+2x+1的单调递减区间即为函数u=-x2+ 2x + 1的单调递增区间.2又u= —x + 2X+ 1的单调递增区间为(—g, 1], 「•f(x)的单调递减区间为(一g, 1].答案：(—g, 1]11.不等式12x2+axV 12x+a-2恒成立，则a的取值范围是2解析：由指数函数的性质知y= 1 x是减函数, 因为2宀“ V 22x+a-2恒成立, 所以x2+ ax> 2x + a—2恒成立,所以x2+ (a—2)x—a+ 2>0 恒成立, 所以△= (a—2)2—4( —a+ 2) V0,即(a —2)( a—2+ 4) V 0,即(a —2)( a+ 2) V0,故有一2 V a v 2,即a的取值范围是(一2,2). 答案：(一2,2)12.已知函数f(x)=(1)讨论f(x)的奇偶性；⑵求a的取值范围，使f(x) >0在定义域上恒成立. 解：(1)由于a —1工0,贝U a丰1,得X M0, 函数f (x)的定义域为{x| x M0}. 对于定义域内任意x，有1 1 3 =尸+2 x= f(x),•函数f(x)是偶函数.(2)由(1)知f(x)为偶函数，•••只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f (x) >0, (1 1、3 则尸+1x> 0，a>0,且a^ 1). f( —x)=1 1(又••• x > 0,「. a > 1. •••当 a € (1 ,+s )时，f (x ) >0.二、专项培优练(一)易错专练一一不丢怨枉分1 .设y = f (x )在(—g, 1］上有定义，对于给定的实数K ,定义f K (X )= f x , f x W K ,x +1x…给出函数f (x ) = 2 — 4，若对于任意x € ( —g, 1］，恒有f«x )K f x > K.=f (x )，则()A. K 的最大值为0B. K 的最小值为0C. K 的最大值为1D. K 的最小值为1解析：选D 根据题意可知，对于任意x € ( —g, 1］，恒有f«x ) = f (x )，贝U f (x ) w K在x wi 上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于 K 即可.令 2x = t ，则 t € (0,2］ , f (t ) = — t 2+ 2t =— (t — 1)2+ 1,可得 f (t )的最大值为 1 , • K > 1,故选 D.j,得 b v 4.由 2a v b , 得 b >2a >2, a v 号v 2,故 1 v a v 2,2 v b v 4.对于选项A 、B,由于b 2— 4( b — a ) = (b — 2)2+ 4(a — 1) >0恒成立，故 A 错误，B 正确; 对于选项C, D, a — (b — a ) = a + 2 1 — b + ，由于1 v a v 2,2 v b v 4,故该式的符号不确 定，故C 、D 错误.故选B.3.设a >0,且a z 1,函数y = a 2x + 2a x — 1在［—1,1］上的最大值是14,求实数a 的值.解：令 t = a x ( a >0,且 a z 1),则原函数化为 y = f (t ) = (t + 1)2— 2(t >0).①当 0v a v 1, x € ［ — 1,1］时，t = a x € |a , £ ,> 0，则 a x > 1.2.已知实数a ，b 满足》2a >b>j ,则()A. b v 2 b — aC. 解析：选B 由2> B. b >2 b — aD. a > b — a:得 a >1，由 2 a > bb> 4,得2，得>,故2a v b ,此时f(t)在a，1上为增函数.-a」所以f(t)max= f - = '+ 1 2— 2= 14.&丿'a丿所以「+ 1| = 16,解得a=—匸(舍去)或a=云.a 5 3②当a> 1 时，x€ [ —1,1] , t = a x€ I，a L」a」此时f(t)在1，a上是增函数.所以f(t)max= f(a) = (a+ 1)2—2= 14, 解得a= 3或a=—5(舍去).1 综上得a= 3或3.（二）交汇专练——融会巧迁移4.[与基本不等式交汇]设f (x) = e x,0 v a v b,若p= f ( ab) , q= ff b ，则下列关系式中正确的是（f aA. q= r v pB. p= r v qC. q= r > pD. p= r > qa +b —x解析：选 C ■/ 0v a v b, •••—厂 > ,ab,又f(x) = e 在(0 , +^)上为增函数，二f>f ( ab)，即q> p.又r = f a f b =a —b5.［与一元二次函数交汇］函数2 x+ 1在区间［—3,2］上的值域是解析：令t = 2 x,因为x€ ［—3,2］，所以故y = t2—t + 1 =1 3当t = 2时,y min= 4；当t = 8 时，y max= 57.故所求函数的值域为3,57答案:I3, 574',r =6.［与函数性质、不等式恒成立交汇 ］已知定义域为 R 的函数f (x ) =—21［b 是奇函数.2+ a(1)求a , b 的值；2 2⑵若对任意的t € R,不等式f (t — 2t ) + f (2t — k ) v 0恒成立，求k 的取值范围.解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数,—2 + 1从而有f (x ) = 2^—2 + 1又由 f (1) =— f ( — 1)知t+a (2)由(1)知 f (x ) = 2++^ — 2 + 2+1,由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2— 2t ) + f (2 t 2 —k ) v 0 等价于 f (t 2—2t ) v — f (2t 2— k ) = f ( — 2t 2+ k ).21从而△= 4 + 12k v 0,解得 k v — 3. 故k 的取值范围为所以f (0) = 0,即0，解得b = 1.1 —一+ 12 +因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得 t 2— 2t >— 2t 2 + k .即对一切 t € R 有 3t 2— 2t — k > 0,。

课时达标训练(十）等比数列［即时达标对点练］题组1 等比数列的判定与证明1.数列a,a,ａ,…，a,…（ａ∈R)必为(）A.等差数列但不是等比数列B．等比数列但不是等差数列C．既是等差数列,又是等比数列Ｄ.等差数列解析:选D a=0时为等差数列，a≠０时既是等比数列也是等差数列.2．已知数列错误!未定义书签。

的前ｎ项和为S n,Sｎ＝＼f（1,3)(ａn-1)（n∈Ｎ＊）．(1)求a1,ａ2;(2)求证:数列错误!未定义书签。

是等比数列．解：（1)由Ｓ１＝错误!未定义书签。

（a1－１),得ａ1=错误!(ａ1-１)．∴a1=－错误!。

又S2=错误!未定义书签。

(a2－１)，即a１＋a２＝＼f（1,３)（a2-1),得a２=＼f（1,４).（2)证明：当n≥2时，a n=Sｎ-Sｎ-1=错误!(a n－1)-错误!未定义书签。

（ａn-1-1),得错误!未定义书签。

=－＼f(1，2),又a１＝－错误!未定义书签。

,所以错误!未定义书签。

是首项为－错误!，公比为-错误!的等比数列.3.数列{a n}的前n项和记为S n,已知a１＝1,ａn+1=错误!未定义书签。

S n（ｎ＝１，2，3，…)．证明:(１)数列错误!是等比数列；（２）Ｓn＋1=4a n。

证明:(1）∵a n＋1=Sｎ＋1-S n,a n＋1=错误!未定义书签。

Sｎ,∴(ｎ+2)S n＝n(S n+１-Sｎ)．ﻬ整理,得ｎＳn＋１＝2(n+1)S n,∴＼ｆ(S n＋1,n+1)=２错误!未定义书签。

故错误!未定义书签。

是以２为公比的等比数列．（2)由(1）知＼ｆ（S n＋1,n＋1)=4·错误!（ｎ≥2)．于是Sｎ＋１＝４（n＋1)·错误!未定义书签。

=4a n(n≥2),又∵ａ2＝3S 1=3,故S ２＝a １＋a ２=4=４a １。

因此对于任意正整数ｎ≥1，都有Ｓn ＋1=4a n ．题组２ 等比数列的通项公式4．设a 1＝2，数列错误!未定义书签。

课时跟踪检测（六） 等比数列的概念与通项公式层级一 学业水平达标1．如果数列{a n }是等比数列，那么( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列{2a n }是等比数列C ．数列{lg a n }是等比数列D ．数列{na n }是等比数列解析：选A 利用等比数列的定义验证即可．2．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 解析：选B 98·⎝⎛⎭⎫23n －1＝13，∴⎝⎛⎭⎫23n －1＝827＝⎝⎛⎭⎫233，∴n ＝4. 3．若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为( ) A ．0 B ．1或－2C ．－1或2D ．－1或－2 解析：选C 设等比数列的公比为q ，由2a 4＝a 6－a 5得，2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∵a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝－1或2.4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243 解析：选A ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则a n 等于( )A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1) C ．(－2)n D ．－(－2)n 解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4＝－8a 1q ，又a 1≠0，q ≠0，所以q 3＝－8，q ＝－2，又a 5＞a 2，所以a 2＜0，a 5＞0，从而a 1＞0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)n －1.6．设a 1＝1，数列{2a n －1}是公比为－2的等比数列，则a 6＝________. 解析：∵2a 6－1＝(2a 1－1)·(－2)5＝－32，∴a 6＝－312.★答案★：－3127．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________.解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝48，3q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16，q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2. 由(±2)n －1＝16，得n ＝5.★答案★：58．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝________.解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2＝－8－2＝4，即q ＝±2. 当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×(－2)n －1＝(－2)n ；当q ＝2时，a n ＝a 1q n －1＝－2×2n －1＝－2n .★答案★：(－2)n 或－2n9．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827，证明{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n＝23，故数列{a n }是公比q ＝23的等比数列． 又a 2·a 5＝827，则a 1q ·a 1q 4＝827， 即a 21·⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233. 由于数列各项均为负数，则a 1＝－32. ∴a n ＝－32×⎝⎛⎭⎫23n －1＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. 10．已知等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，求a n . 解：设等比数列{a n }的公比为q .依题意，知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＋4＝28，∴a 3＝8，a 2＋a 4＝20，∴8q ＋8q ＝20，解得q ＝2或q ＝12. (1)当q ＝2时，又a 1＝a 3q 2＝2，∴a n ＝2n . (2)当q ＝12时，a 1＝a 3q 2＝32，∴a n ＝32·⎝⎛⎭⎫12n －1＝26－n . 层级二 应试能力达标 1.28是等比数列42，4,22…的( ) A ．第10项 B ．第11项C ．第12项D ．第13项解析：选B 由题意可知，该数列是以42为首项，22为公比的等比数列，因此通项公式为a n ＝42×⎝⎛⎭⎫22n －1，当28＝42×⎝⎛⎭⎫22n －1时，解得n ＝11，故选B. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则此数列的公比等于( ) A ．1 B ．2C ．－2D ．－1 解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，因为4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，解得q ＝2.3．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则a 12等于( )A ．32B ．34C ．66D ．64解析：选C 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C.4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12 解析：选C ∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 1(a 1q )·(a 1q 2)·(a 1q 3)·(a 1q 4)， ∴a 1q m －1＝a 51·q 10，且a 1＝1，∴q m －1＝q 10，∴m －1＝10，∴m ＝11.5．在等比数列{a n }中，a n >0，且a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，则该数列的公比q ＝________. 解析：由a n ＋2＝a n ＋a n ＋1 得：a n ·q 2＝a n ＋a n ·q .又a n ＞0，∴q ＞0.∴q 2－q －1＝0.∴q ＝1＋52⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝1－52舍去. ★答案★：1＋526．若a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，公比为2，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为________． 解析：由题意2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋a 24(2a 1＋a 2)＝14.★答案★：147．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1. ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n . ∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N ＋.(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1， 得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋. 又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n .。