高等数学1.5极限运算法则

1.极限法则：极限是一个数列取极限值的概念，它表示一个数包含在另一个数中时，前者的值趋于后者。

2.链式法则：链式法则是极限的一种计算方法，即从一个已知限的出发，由此推出另外一个极限。

3.运算法则：
（1）可积性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中乘以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相乘；
（2）可逆性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中除以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相除；
（3）可幂次性：假设对函数求极限，则取出的极限结果等于该函数的幂次方的极限。

课时授课计划课次序号：一、课题：§1.4 无穷小与无穷大§1.5 极限运算法则二、课型：新授课三、目的要求：1.理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小、无穷大以及有界量之间的关系；2.掌握极限的运算法则.四、教学重点：无穷小和无穷大的概念，极限的运算法则.教学难点：极限运算法则的应用.五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–4 4（1）；习题1–5 1（1）（5）（7）（14），3（2）八、授课记录：授课日期班次九、授课效果分析：复习1.两种变化趋势下函数极限的定义，左右极限（单侧极限）2.函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系.对于函数极限来说，有两种情形比较特殊：一种是极限为零，另一种是极限无穷不存在，我们分别称之为无穷小和无穷大.下面我们先介绍无穷小与无穷大，在此基础上，进一步介绍极限的运算法则.第四节无穷小与无穷大一、无穷小定义1 若limα（x）=0，则称α（x）为该极限过程中的一个无穷小．例1当x→2时，y=2x-4是无穷小，因为容易证明（2x-4）=0．当x→∞时，y=也是无穷小，因为=0．定理1(无穷小与函数极限的关系定理lim f（x）=A的充要条件是f（x）=A+(x，其中(x为该极限过程中的无穷小．证为方便起见，仅对x→x0的情形证明，其他极限过程可仿此进行．设f(x=A，记(x=f(x-A，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（x）-A｜＜ε，即｜(x｜＜ε．由极限定义可知，(x=0，即(x是x→x0时的无穷小，且f（x）=A+(x．反过来，若当x→x0时，(ξ是无穷小，则ε＞0，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜(ξ-0｜=｜(ξ｜＜ε，即｜f（ξ）-A｜＜ε，由极限定义可知，f（ξ）=A．二、无穷大在lim f（ξ）不存在的各种情形下，有一种较有规律，即当x→x0或x→∞时，｜f（ξ）｜无限增大的情形．例如，函数f（ξ）=，当x→1时，｜f（ξ）｜=无限增大，确切地说，M＞0（无论它多么大），总δ＞0，当x∈（1，δ）时，｜f（ξ）｜＞M，这就是我们要介绍的无穷大．定义2 若M＞0（无论它多么大），总δ＞0（或X＞0），当x∈（x0，δ）（或｜ξ｜＞X）时，｜f（ξ）｜＞M恒成立，则称f（ξ）当x→x0（或x→∞）时是一个无穷大．若用f（ξ）＞M代替上述定义中的｜f（ξ）｜＞M，则得到正无穷大的定义；若用f（ξ）＜-M代替｜f（ξ）｜＞M，则得到负无穷大的定义．某极限过程中的无穷大、正无穷大、负无穷大分别记作：．注（1）若,则称为曲线的垂直渐近线．（2）称一个函数为无穷大时,必须明确地指出自变量的变化趋势．对于一个函数,一般来说,自变量趋向不同会导致函数值的趋向不同．例如函数y=,当x→时,它是一个无穷大,而当x→时,它则是一个无穷小．（3）由无穷大的定义可知,在某一极限过程中的无穷大必是无界变量,但其逆命题不成立．例如, 当n→∞时,(1+(-1nn是无界变量,但它不是无穷大．例2=+∞，=-∞，=-∞,=+∞, =-∞．三、无穷小与无穷大的关系定理2在某极限过程中，若f（ξ）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（ξ）为无穷小，且f（ξ）≠0，则为无穷大．证我们仅对x→x0的情形证明，其他情形仿此可证．设f（ξ）=∞，则ε＞0，令M=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＞M=，即＜ε，故为x→x0时的无穷小．反之，若f（ξ）=0，且f（ξ）≠0，则M＞0，令ε=，则δ＞0，当x∈（x0，δ）时，｜f（ξ）｜＜ε=，即＞M，故为x→x0时的无穷大．第五节极限运算法则一、无穷小运算法则定理1在某一极限过程中，如果(x，(x是无穷小，则(x± (x也是无穷小．证我们只证x→x0的情形，其他情形的证明类似．由于x→x0时，(x，(x均为无穷小，故ε＞0，δ1＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ1时，｜(x｜＜，（1）δ2＞0，当0＜｜x-x0｜＜δ2时，｜(x｜＜，（2）取δ=min（δ1，δ2），则当0＜｜x-x0｜＜δ时，（1）、（2）两式同时成立，因此｜(x±(x｜≤｜(x｜+｜(x｜＜+=ε．由无穷小的定义可知，x→x0时，(x± (x为无穷小．推论在同一极限过程中的有限个无穷小的代数和仍为无穷小．定理2在某一极限过程中，若(x是无穷小，f（x）是有界变量，则(x f（x）仍是无穷小．证我们只证x→∞时的情形，其他情形证法类似．设f（x）为x→∞时的有界变量，则M＞0，当｜x｜＞X1＞0时，｜f（x）｜＜M，又因(x=0，则ε＞0，对来说，X2＞0，当｜x｜＞X2时，｜(x｜＜，取X=m ax{X1，X2}，则当｜x｜＞X时，有｜(x·f（x）｜=｜(x｜·｜f（x）｜＜·M =ε．这就证明了当x→∞时，(x f（x）是无穷小．例1求．解因为x∈（-∞，+∞），｜sin x｜≤1，且=0，故由定理2得sin x=0．推论在某一极限过程中，若C为常数，(x和(x是无穷小，则C(x，(x（x）均为无穷小．这是因为C和无穷小均为有界变量，由定理2即可得此推论．此推论可推广到有限个无穷小乘积的情形．定理3在某一极限过程中，如果(x是无穷小，f（x）以A为极限，且A≠0,则(x\f（x）仍为无穷小．证由定理2可知，我们只需证为该极限过程中的有界变量即可．我们仅对x→x0时进行证明，其他情形类似可证．因为f（x）=A，A≠0, 则对ε=，δ＞0，当x∈（x0，δ）时，有｜｜f（x）｜-｜A｜｜≤｜f（x）-A｜＜，从而＜｜f（x）｜＜，故＜=M, 即为时的有界变量．利用无穷小的性质及无穷小与函数极限的关系，我们可得极限四则运算法则．二、极限的四则运算法则定理4若，则(1 ;(2 ;(3 l= (．证我们仅证（2），（3）．因为，所以f（x）=A +(x，g（x）=B +β(x，其中，于是f(x g(x=［A+］［B+β(x］=AB+Aβ(x+B+β(x．由定理1及其推论可得, , ．故由第四节定理1及本节定理1可知．同理，对于式（3），只需证-是无穷小即可，因为-=-=，由定理1及其推论可知．由刚获证的式（2）可知．所以，其中为无穷小．最后由第四节中的定理１便得lim==（B≠0）．推论1 若存在，C为常数，则．这就是说，求极限时，常数因子可提到极限符号外面，因为．推论2 若存在，n∈N，则．例2 求．结论：多项式函数当极限为，而解===-2．例3求，其中m，n∈N．解由于分子分母的极限均为零，这种情形称为“”型，对此情形不能直接运用极限运算法则，通常应设法去掉分母中的“零因子”．===．例4求．解此极限仍属于“”型，可采用二次根式有理化的办法去掉分母中的“零因子”．====．例5求．解分子分母均为无穷大，这种情形称为“”型．对于它，我们也不能直接运用极限运算法则，通常应设法将其变形．==．结论当，例6求解====1例7求解====．例8设f(x=问b取何值时，存在．解由于==2，==b，由第三节定理１可知，要存在，必须=，因此b=2．三、复合函数极限运算法则定理5设函数由复合而成，如果，且在x0的一个去心邻域内，，又=A，则=A．该定理可运用函数极限的定义直接推出，故略去证明．例9求解因为=0，=1，故=1．例10 求．解因为=0，=0，故=0．课堂总结1.无穷小与无穷大的概念以及它们之间的关系；2.极限运算法则：无穷小运算法则、四则运算法则、复合函数极限运算法则．在计算极限时，应注意法则成立的条件，不要错误地运用以上法则．。

1.5极限运算法则一、无穷小的运算性质定理1：有限个无穷小的和是无穷小例如：当0→x 时，x 与x sin 都是无穷小，x +x sin 也是无穷小。

证明：考虑两个无穷小的和。

设：βα,是0x x →时的两个无穷小，而βαγ+=，对0>∀ε，α是当0x x →时的无穷小，01>∃δ，使得当10||0δ<-<x x 时，有εα<||，同理02>∃δ，使得当20||0δ<-<x x 时，有εβ<||。

取0},m i n {21>=δδδ，δ<-<||00x x 时，有εβαβαγ2||||||||<+≤+=。

定理2：有界函数与无穷小之积是无穷小。

例如：当∞→x 时，x 1是无穷小，x arctan 有界，则x1x arctan 也是无穷小。

证明：对0>∀ε，α是当0x x →时的无穷小，01>∃δ，使得当10||0δ<-<x x 时，有εα<||。

设)(x f 在)(x U o内有界，即0>∃M ，使得当20||0δ<-<x x 时，M x f ≤|)(|，取0},min{21>=δδδ，δ<-<||00x x 时，有εαM x f <|)(|。

推论1：常数个无穷小的乘积是无穷小。

推论2：有限个无穷小的成绩是无穷小。

二、若A x f =)(lim ，B x f =)(lim ，那么1. B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()([lim2. AB x g x f x g x f =⋅=⋅)(lim )(lim )]()([lim3. B A x g x f x g x f /)(lim /)(lim )](/)([lim ==证明：1.⇔=→A x f x x )(lim 0对于,0>∀ε当10||0δ<-<x x 时，ε<-|)(|A x f ⇔=→B x f x x )(lim 0对于,0>∀ε当20||0δ<-<x x 时，ε<-|)(|B x f 0},min{21>=δδδ，δ<-<||00x x 时，|)())()((|B A x g x f ±-± ε2|)(||)(|<-+-=B x g A x f ，即B A x g x f ±=±)]()([lim 。

高等数学考试教材目录第一章：函数与极限1.1 实数1.2 函数及其图像1.3 极限的概念与性质1.4 无穷小量与无穷大量1.5 极限运算法则1.6 极限存在准则1.7 两个重要极限1.8 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与几何意义2.2 导数的计算2.3 高阶导数与导数的应用2.4 微分的概念与计算2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 倒数的应用第三章：数列和数学归纳法3.1 数列的概念与性质3.2 数列极限的性质与判定3.3 数列的比较与夹逼定理3.4 无穷级数的概念与性质3.5 正项级数收敛的判定3.6 幂级数与函数展开第四章：微分中值定理与Taylor公式4.1 罗尔中值定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 函数的单调性与极值4.4 洛必达法则与函数的不定式4.5 泰勒公式与函数的不等式4.6 霍普夫定理与函数逼近第五章：不定积分与定积分5.1 不定积分的概念与性质5.2 常用的不定积分法5.3 定积分的概念与性质5.4 反常积分的概念与判定5.5 定积分的计算方法5.6 牛顿-莱布尼兹公式与定积分的应用第六章：重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 二重积分的应用6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 三重积分的应用6.7 曲线积分的概念与性质6.8 曲线积分的计算方法6.9 曲线积分的应用第七章：无穷级数7.1 数项级数的概念与性质7.2 正项级数的审敛法7.3 一般级数的审敛法7.4 幂级数的性质与收敛域7.5 幂级数的求和与展开第八章：常微分方程8.1 微分方程的基本概念8.2 一阶微分方程的解法8.3 可降阶的高阶微分方程8.4 二阶线性微分方程8.5 高阶微分方程的初值问题第九章：多元函数微分学9.1 多元函数的概念与极限9.2 偏导数与全微分9.3 隐函数与反函数的偏导数9.4 方向导数与梯度9.5 多元函数的极值与条件极值第十章：多元函数积分学10.1 二重积分的概念与性质10.2 极坐标下的二重积分10.3 三重积分的概念与性质10.4 柱坐标与球坐标下的三重积分10.5 重积分的变量替换10.6 曲线积分的概念与性质10.7 平面向量场的曲线积分以上是高等数学考试教材的目录，通过这些章节的学习，你将全面了解高等数学的各个重要概念与方法，并能够灵活运用于问题求解。

极限运算法则公式 极限运算法则公式是φ(x)>=ψ(x)，“极限”是数学中的分支—微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A 不断地逼近而“永远不能够重合到A ”。

“永远不能够等于A ，但是取等于A 已经足够取得高精度计算结果的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A 点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。

此变量永远趋近的值A 叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。

定理 设和（1）（2）（3）定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证：()A x f =lim ()B x g =lim ()()[]()()B A x g x f x g x f +=±=±lim lim lim ()()()()AB x g x f x g x f =⋅=lim lim lim ()()()()()0lim lim lim≠==B B A x g x f x g x f 内有界，在设函数),(100δx U u .0,0,0101M u x x M ≤<-<>>∃时恒有使得当则δδ,0时的无穷小是当又设x x →α.0,0,0202M x x εαδδε<<-<>∃>∀∴时恒有使得当例 求（1） （2）（3） （4）解（1）（2）商的法则不能用又因为由无穷小与无穷大的关系,得（3） },,m in{21δδδ=取恒有时则当,00δ<-<x x αα⋅=⋅u u M M ε⋅<,ε=.,0为无穷小时当α⋅→∴u x x 3221lim .35x x x x →--+2141lim .23x x x x →-+-2211lim .23x x x x →-+-3232235lim .741x x x x x →∞+++-)53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x 5lim lim 3)lim (2222→→→+-=x x x x x 52322+⋅-=,03≠=531lim 232+--∴→x x x x )53(lim 1lim lim 22232+--=→→→x x x x x x 3123-=.37=)32(lim 21-+→x x x ,0=1lim(41)x x →-,03≠=1432lim 21--+∴→x x x x .030==.3214lim 21∞=-+-→x x x x .,,1分母的极限都是零分子时→x )00(型(消去零因子法)（4）(无穷小因子分出法) 定理 （复合函数的极限运算法则） 设设，但在在点的某一去心邻域内，则复合函数当时的极限存在，且证 由可得，有又因为，即对上面的，有另一方面可设，故有.1后再求极限因子先约去不为零的无穷小-x )1)(3()1)(1(lim 321lim 1221-+-+=-+-→→x x x x x x x x x 31lim 1++=→x x x .21=.,,分母的极限都是无穷大分子时∞→x )(型∞∞.,,3再求极限分出无穷小去除分子分母先用x 332323147532lim 147532lim x x x x x x x x x x -+++=-+++∞→∞→.72=()()000lim ,lim u u x x f u A u x u →→==0x 0()u x u ≠(())f u x 0x x →00lim (())lim ()x x u u f u x f u A →→==0lim ()u u f u A →=00,0,:0r u u u rε∀>∃>∀<-<()f u A ε-<00lim ()x x u x u →=1010,0,:0r x x x δδ>∃>∀<-<0()u x u r -<2020ˆ0,min((),),()x U x u x u δδ∃>∀∈≠1200,min(,)0,:0x x x εδδδδ∀>∃=>∀<-<也就是(())f u x Aε-<lim(())x xf u x A →=。

高数第五节极限运算法则高数第五节极限运算法则是数学领域中最重要的一个概念，它在数学中的作用是非常重要的，它可以帮助人们更好地理解数据和推导出数学公式。

本文将对极限运算法则做一个概述，介绍极限运算法则的定义、性质和应用等。

一、极限运算法则的定义极限运算法则是一种常见的数学运算法则，它定义了当某个函数的变量接近某个值时，函数的变化趋势。

极限运算法则的定义可以分为三个部分。

首先，极限运算法则需要有一个函数f(x)，该函数的输入为x，输出为f(x)。

其次，极限运算法则需要有一个极限值a，令x接近于a，当x接近a时，函数f(x)的值就会接近某一个固定值，这个固定值就是函数f(x)在极限值a处的极限值。

最后，极限运算法则定义了在极限a处，函数f(x)的变化趋势。

二、极限运算法则的性质极限运算法则有两个重要性质：绝对极限性质和相对极限性质。

绝对极限性质，也称为绝对值极限，即函数f(x)在某一极限处的极限值的绝对值存在极限。

相对极限性质，也称为相对值极限，即函数f(x)在某一极限处的极限值的相对值存在极限。

三、极限运算法则的应用极限运算法则在数学中有着诸多应用，下面介绍几个典型的应用案例：（1）求极限极限运算法则可以用来求解函数的极限，例如：求函数f(x)=1/x在x=0处的极限，则可以利用极限运算法则推导出f(x)在x=0处的极限值为无穷大。

（2）求微分极限运算法则也可以用来求解函数的微分，例如：求函数f(x)=x^2在x=1处的导数，可以利用极限运算法则推导出f(x)在x=1处的导数值为2。

（3）求积分极限运算法则也可以用来求解函数的积分，例如：求函数f(x)=x在x=1到2之间的积分，可以利用极限运算法则推导出f(x)在x=1到2之间的积分值为3/2。

四、总结极限运算法则是一种重要的数学运算法则，它定义了当某个函数的变量接近某个值时，函数的变化趋势。

极限运算法则有两个重要性质：绝对极限性质和相对极限性质，它们都可以帮助我们更好地理解函数的变化趋势。