2热传导方程地初值问题

热传导方程的求解热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的数学模型。

求解热传导方程有多种方法，下面将介绍两种常用的求解方法。

一、分离变量法分离变量法是一种常见且简单的求解热传导方程的方法。

它基于热传导方程的偏微分方程特性，将变量分离并进行独立的求解。

1. 问题设定假设需要求解的热传导问题为一维情况，物体的长度为L，初始时刻温度分布为u(x,0)=f(x)，物体两端保持恒温边界条件u(0,t) = A，u(L,t) = B。

2. 分离变量假设u(x,t)可表示为u(x,t) = X(x)T(t)，将u(x,t)代入热传导方程中，可得到两个方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)，其中α为热扩散系数。

由于左侧只依赖于x，右侧只依赖于t，所以二者必须等于一个常数λ。

3. 求解分离后的方程将上述得到的分离变量方程代入边界条件，可得到两个常微分方程，分别是X''(x)/X(x) = λ 和T'(t)/αT(t) = -λ。

这两个常微分方程可以求解得到X(x)和T(t)。

4. 求解系数通过使用初始条件u(x, 0) = f(x)，可以求解出常数λ的值，进而求解出X(x)和T(t)。

5. 求解问题最终将X(x)和T(t)重新结合，即可得到热传导问题的解u(x, t)。

二、有限差分法有限差分法是一种数值求解热传导方程的常用方法，它通过将连续的空间和时间离散化，将偏微分方程转化为差分方程进行求解。

1. 空间和时间离散化将物体的空间进行网格划分，时间进行离散化，并在网格节点上计算温度的近似值。

2. 差分方程将热传导方程中的偏导数进行近似，得到差分方程。

例如，可以使用中心差分法来近似偏导数。

3. 迭代求解根据差分方程，通过迭代计算每个网格节点的温度值，直到达到收敛条件。

4. 求解问题最终，根据求解的温度值，在空间和时间通过插值或者线性拟合等方法得到热传导问题的解。

§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。

将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。

定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f mΛ则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeA A f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g xy i iyx ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈=Λ那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n=⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式.定理（反演公式）若)()()(1nn R L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRx i nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i i eAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dt u d 其中 ⎰+∞∞--=dx et x u t uxi λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=t t a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=tt a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （）由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则ta x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a ee t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]t a e t x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t g f ef t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x ux u at u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,202x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0,),,(222ϕ的解。

热传导热传导方程的推导与应用导语：热传导是物质内部由高温传递到低温的过程，其过程可通过热传导方程进行描述。

本文将对热传导方程的推导进行详细介绍，并探讨其在实际应用中的一些例子。

一、热传导方程的基本原理：热传导方程描述了热量在各种物质中的传导现象。

其基本原理是热量会沿着温度梯度从高温区域传递到低温区域，传递速度与温度变化率成正比。

二、热传导方程的推导：在推导热传导方程之前，需要明确一些基本概念，如热传导系数、热导率等。

假设我们有一个具有一维温度分布的物体，可以将其分割成无数个微小元素。

每个微小元素的长度为Δx，其温度为T，热传导系数为λ。

根据热传导定律，热流密度（单位面积内传导热量）与温度梯度成正比。

即，q = -λ * ∂T/∂x其中，q表示单位面积内的热流密度，负号表示热量从高温区域流向低温区域。

对上式进行微分得到：∂q/∂x = -λ * (∂²T/∂x²)根据物质的热容定律，热量的变化率与物质的热容、密度及温度变化率相关。

由此可得到：∂q/∂t = ρ * c * (∂T/∂t)将前两个方程相等并结合热容定律的方程，得到一维情况下的热传导方程：∂T/∂t = α * (∂²T/∂x²)其中，α = λ / (ρ * c)为热扩散系数。

三、热传导方程的应用：热传导方程在热学领域有着广泛的应用，下面将就几个常见的应用例子进行讨论。

1. 材料传热性能分析：热传导方程可以用于分析材料的传热性能。

通过测量材料表面的温度变化以及对应的时间，可以利用热传导方程推导出材料的热扩散系数，从而评估材料的传热性能。

2. 热传导问题的数值模拟：通过对热传导方程进行数值求解，可以模拟各种复杂的热传导问题。

例如，在工程中可以通过数值模拟分析建筑物、电子元器件等的热传导特性，以便提高其热管理性能。

3. 热传导传感器的设计与制造：热传导方程可以用于热传导传感器的设计与制造。

通过在传感器中设置温度传感器和热源，利用热传导方程计算传感器的响应特性，可以实现对温度变化的精确监测与测量。

热传导方程初边值问题介绍热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一类偏微分方程。

在实际生活和工程中，了解和解决热传导问题对于保护环境和优化工艺非常重要。

本文将详细介绍热传导方程的初边值问题及其解决方法。

初边值问题的定义初边值问题是指在给定一定空间区域和时间区域内，求解偏微分方程在这些区域内满足一定初值和边界条件的解。

对于热传导方程，我们通常关注的是物体内部的温度分布随时间的变化，因此需要给出初始时刻物体内各点的温度，并指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式。

热传导方程热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律，其一维形式为：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)代表了某一点(x,t)处的温度，α代表热扩散系数，t代表时间，x代表空间位置。

初边值条件为了求解热传导方程的初边值问题，我们需要给出一些初始条件和边界条件。

常见的初边值条件包括： - 初始条件：u(x,0)=f(x)，给出初始时刻物体内各点的温度分布，f(x)代表初始时刻的温度函数。

- 边界条件：u(a,t)=g(t)和u(b,t)=ℎ(t)，指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式，a和b分别为空间区域的起始和结束位置，g(t)和ℎ(t)为边界处的温度函数。

初边值条件的选择对于求解问题的精确性和适用范围具有重要影响。

解法针对热传导方程的初边值问题，我们可以通过数值方法或解析方法来求解。

下面介绍两种常见的解法。

球坐标系下的分离变量法对于某些具有球对称性的问题，可以采用球坐标系下的分离变量法来求解。

通过假设解具有分离变量形式u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)，将热传导方程分解成径向、角度和时间三个单变量函数的形式，然后带入原方程得到各个变量的微分方程。

最后通过求解单变量微分方程和利用边界条件，确定解的具体形式。

差分方法差分方法是一种常用的数值方法，通过将连续的空间和时间区域离散化，将热传导方程转化为有限差分方程组，并通过迭代求解来逼近真实的解。

§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具.可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数,且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。

将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。

定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具.3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m 则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质 3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeAA f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g x y i iyx⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21)()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈= 那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n =⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式. 定理（反演公式）若)()()(1nnR L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRxi nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换. 定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier 变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论：8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f =其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i ieAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dtu d 其中 ⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=tt a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=t t a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （） 由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则t a x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a e e t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]ta et x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t gf e f t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xuxu a t u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,22x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u atu ),()0,(0,),,(222ϕ的解。

热传导方程的解析解及应用热传导方程是描述物体内部热量传递的一种数学模型。

它在工程、物理学和数学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍热传导方程的解析解以及其在实际问题中的应用。

首先，我们来看一下热传导方程的基本形式。

热传导方程可以用偏微分方程的形式表示：∂u/∂t = α∇²u其中，u是温度的分布函数，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。

这个方程描述了温度随时间和空间的变化规律。

要解决这个方程，我们需要找到u 关于t和空间坐标的解析解。

解析解是指能够用已知的数学函数表达出来的解。

对于热传导方程，有一些特殊的边界条件和初始条件，可以得到一些已知的解析解。

例如，对于一个无限长的棒状物体，两端保持恒定的温度，我们可以得到如下的解析解：u(x, t) = T1 + (T2 - T1)erf(x/2√(αt))其中，x是空间坐标，T1和T2分别是两端的温度，erf是误差函数。

这个解析解表达了棒状物体内部温度随时间和空间的变化规律。

除了解析解，我们还可以使用数值方法来求解热传导方程。

数值方法通过将空间和时间离散化，将偏微分方程转化为代数方程组的形式，然后利用计算机进行求解。

数值方法的优势在于可以处理较为复杂的边界条件和几何形状。

然而，数值方法的精度和计算效率通常不如解析解。

热传导方程的解析解在实际问题中有着广泛的应用。

例如，在工程中，我们可以利用解析解来分析材料的热传导性能。

通过解析解，我们可以计算出材料内部温度的分布，进而评估材料的热稳定性和热传导性能。

这对于设计高效的散热系统和防止热损伤非常重要。

此外，热传导方程的解析解还可以应用于热传感器的设计和优化。

热传感器是一种用于测量温度变化的装置，常见的应用包括温度计和红外线热像仪。

通过解析解，我们可以计算出热传感器的响应时间、灵敏度和测量精度，从而指导热传感器的设计和制造。

总之，热传导方程的解析解及其应用是一个重要的研究领域。

解析解可以提供物理过程的详细信息，对于理解和优化热传导问题具有重要意义。

热传导方程的初边值问题热传导方程是研究物体在热传导过程中温度随时间和空间的变化规律的数学模型。

初边值问题是给定某个初始条件和边界条件，求解热传导方程的问题。

本文将讨论热传导方程的初边值问题，并介绍一些求解方法。

1. 热传导方程的基本概念热传导方程描述了物体内部的温度随时间和空间的变化规律。

它的数学表达式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0$$其中，$u$表示物体内每个点的温度，$a$代表物体的热传导系数，$\nabla^2u$表示温度的梯度。

这个方程可以描述一维、二维和三维的情况。

2. 初边值问题的基本概念在研究热传导方程时，通常需要解决初边值问题。

这个问题是在一定的时间范围内，在某些区域内确定某些温度和温度梯度的初始值和边界条件，然后根据热传导方程求解温度随时间和空间的变化规律。

初边值问题的形式可以表示为：$$\left \{\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0&\quad\Omega\times(0,T)\\&u(x,t)=u^0(x,t)&\quad\text{on }\ \partial\Omega\times(0,T)\\&u(x,0)=u_0(x)&\quad \text{in }\ \Omega\end {aligned}\right .$$其中，$\Omega$表示问题所在的区域，$T$表示时间范围，$u^0(x,t)$表示边界条件，$u_0(x)$表示初始条件。

3. 求解初边值问题的方法对于初边值问题，常见的求解方法有以下几种：（1）分离变量法分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法。

可以根据问题的对称性，将其解分解成一个时间函数和一个空间函数的乘积。

通过对每一部分采用不同的数学处理方法，最终得到问题的解。