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四章导热问题的数值解法

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4第四章导热问题的数值解法

4第四章导热问题的数值解法
每一个节点可以看作是以它为中心的一个小区域 的代表。它由相邻两节点连线的中垂线构成，这 个小区域称作元体或控制体。
基本概念：网格线、节点、步长、控制容 积
(m,n) N
n
y
y
x x
M m
（b）
（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程 如下： • 首先划分各节点的类型；
2. 数值解(numerical method): 用某种方式把微分方程化为关 于各个离散点(节点)的代数方程,通过解代数方程获得问题近 似解的方法。
连续——离散(任意情况)
一、 数值解法的实质
对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把 原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热 物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替， 通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程， 来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。
（5） 求解代数方程组
如前图所示，除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外， 其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方 程，则构成一个封闭的代数方程组。实际工程问题代数方 程的个数在103-106数量级，只有利用现代计算机才能迅 速获得所需要的解。 1）常物性、无内热源（或具有均匀的内热源）的导热 代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再 变化——线性代数方程组；
这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的 数值解。
二、 物理问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程
改进初场
是否收敛 否
是 解的分析

四章节导热问题数值解法

四章节导热问题数值解法

O(h2)
(h)
由式(b)和式(d)消去f (x) 得：
f (x)
f (x)
f
(
x

2h) h2

2
f
(x

h)

O(h2
)
(i)
由式(a)和式(b)消去f (x) 得： f (x) f (x h) f (x h) 2 f (x) O(h3) (j) h2
由(e)式～(j)式分别略去 h 、h2 及 h3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f (x) f (x h) f (x)
h
一阶导数向后差分： f (x) f (x) f (x h) h
一阶导数中心差分：
f (x) f (x h) f (x h) 2h
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
f (x)
fi ,
f (x h)
f i 1 ,
f (x h)
fi
……
1
x
函数 f（x）在点 x 的一、二阶导数的有限差分表达式分别为：
一阶导数向前差分：fi '
fi1 h
fi
一阶导数向后差分：fi '
fi fi1 h
一阶导数中心差分：fi '

第4章 热传导问题的数值解法

第4章 热传导问题的数值解法
相邻节点向中心节点导入的热量：
w
A t
x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
e
A
t x
Δy 1 tm1,n
Δx
tm,n
s
A
t y
Δx 1 tm,n1
Δy
tm,n
n
A
t y
Δx
1
tm,n1 Δy
tm,n
热平衡时：
w e s n 0
如果 Δx Δy ：
1 tm,n 4 (tm1,n tm1,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
tm1,n
tm,n
Δx 1!
t x
m,n
Δx 2 2!
2t x 2
m,n
tm1,n tm,n
Δx 1!
t
x m,n
Δx 2 2t 2! x2
m,n
两式相加：
tm1,n tm1,n 2tm,n
Δx
2 2t x 2
③ 内部角点
2
hx
3t
m,n
2
tm1,n
tm,n1
tm1,n
tm,n1
3x 2 m ,n 2
2hx
tf
hΔx Δx
1 h BiΔ ——网格 Bi 数
4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼近法
如果边界为曲线，或倾斜边界， 用阶梯形折线模拟真实边界。
4.3.3 求解代数方程的迭代法
求解代数方程组： 直接解法——高斯消元法，矩阵求逆； 迭代法——逐次逼近法。
) 1
2FoΔBiΔt
f
式中，网格毕渥数 BiΔ hΔx ，网格傅里叶数 FoΔ aΔ Δx2

导热问题的数值解法

导热问题的数值解法
3 1 2t 1 t t 2 3 4 tm1,n tm,n x x x 0 ( x ) 2 3 2! x m,n 3! x m,n x m,n
两式相加得:
2t tm1,n t m1,n 2tm,n ( 2 ) m,n x 2 0(x 4 ) x t m1,n tm1,n 2t m,n 2t 2 ( 2 ) m,n 0 ( x ) 2 x x 2 tm,n1 tm,n1 2tm,n t 同理 ( 2 ) m,n 2 y y
x x tm, 2 t (2 )t m,1 0 2 3) 对于第二类边界条件
t m1,1 tm1,1
x 0, 取 hx(t tm,1 ) 0 即可
x a 将hxt tm,1 换成q即可, 或取控制容积 , 用热力学定律仿上面方 法求解.
c
边界条件
y
b
t tb
q
0
t h
x a
2t 2t 0 2 2 y y t x0 0 x t xa q x t y0 h(t t ) y y b t tb
2. 区域离散化
有限差分法原理 finite difference 有限元法 finite element
2. 区域离散化 3. 建立节点物理量的代数方程 4. 设立迭代初场 5. 求解代数方程组
6. 解的分析
1. 数学描述
导热问题一般为:
无限长棱柱（如图）导热、 沿高度各截面的温度分布 相同，可简化为二维问题。
( const)
t (t ) 0 t f ( x, y.z )
w y

No.08 1013 4 导热问题的数值解法

No.08 1013 4 导热问题的数值解法

Φ +Φ +Φ +Φ = 0 下 左 右 上
(m,n+1)
∆y
(m-1,n) (m, n) (m+1,n)
(m-1,n)
(m+1,n)
∆y
(m,n-1)
(m,n-1)
y o
∆x
∆x
15
x
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时： 以二维、稳态、有内热源的导热问题为例，此时：
Φi = Φ +Φ +Φ ＋ 右 +Φg = 0 下 左 Φ 上
其节点方程为：
ti +1, j − 2ti , j + ti −1, j
∆x 2
& ti , j +1 − 2ti , j + ti , j −1 Φv ,i , j + + =0 2 ∆y λ
13
(2)热平衡法 (控制容积平衡法)
基本思想： 基本思想 对每个有限大小的控制容积应用能量守恒，从而获得
温度场的代数方程组。它从基本物理现象和基本定律出发，不必事 先建立控制方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。 能量守恒： 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热= 控制体内能的增量 流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热
即：
Φ i + Φ g = Φ st
单位： 单位 [ W ]
注意：
横坐 标节 点编 号 N
(m,n)
n
（m，n）
∆y
y x
纵坐 标节 点编 号
∆x
m
M
8
N
(m,n)
网格( 网格 grid )划分 划分
网格划分方法: 网格划分方法 方法1： 方法 ： 先确定节点， 先确定节点，后定界面 方法2： 方法 ： 先确定界面，后定节点 先确定界面， 均分网格: 均分网格

导热数值解法

导热数值解法

8
2. 节点温度差分方程组的求解方法
线性代数方程组的求解方法有消元法、矩阵求逆法、 迭代法等，这里仅简单介绍在导热的数值计算中常用 的迭代法中的两种： (1) 简单迭代法
(2) 高斯-塞德尔迭代法
9
(1) 简单迭代法 a1 1t1 a1 2 t 2 a 1 j t j a1n t n b1
（1）对实际导热问题的几何、物理性质进行分析， 做必要的、合理的简化，建立符合实际的物理模型。 （2）根据物理模型建立完整的数学模型，即给出 导热微分方程和单值性条件。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 （3）求解域离散化：用与坐标轴平行的网络线将所 涉及的空间和时间区域划分成有限个子区域，将网络线 的交点作为节点, 每个节点就代表以它为中心的子区域 （控制容积），节点温度就代表子区域的温度。
t i 1, j t i 1, j t i , j 1 t i , j 1 4 t i , j 0
可见，物体内每一个节点温度都等于相邻4个节点温度 的算术平均值。 2) 边界节点温度差分方程 对于具有第三类边界条件的边界 节点 ( i,j )所代表的控制容积，根据 其热平衡
2 B i 6 t i , j 2 B i t 0
7
绝热边界节点：
t i , j 1 t i , j 1 2 t i 1, j 4 t i , j 0
运用有限差分方法可以建立导热 物体所有内部节点和边界节点温度的 差分方程。求解这些差分方程构成一 个线性代数方程组就可以得节点温度 的数值。
y

t i 1, j t i , j
x x t i , j 1 t i , j
2 y

第四章热传导问题的数值解法

第四章热传导问题的数值解法
6
导热问题数值求解的基本思想
4.1.2 导热问题数值求解基本步骤
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是 解的分析
7
导热问题数值求解的基本思想
以下图所示的二维矩形域内的稳态、无内热源、常物性的导热问题 为例，对数值求解过程的六个步骤进一步说明。
i点的中心差分
35
内节点离散方程的建立方法
当给出一个导数的差分表达式时必须明确是对哪一点建立的； 上面的分析对柱坐标与极坐标都适用；
对于非均分网格，其中心差分表达式较复杂，适用于热平衡法。
36
内节点离散方程的建立方法
4.2.2 热平衡法
采用热平衡法时，对每个节点所代表的元体用傅里叶导热定律直 接写出其能量守恒表达式。此时把节点看成是元体的代表。
M
17
导热问题数பைடு நூலகம்求解的基本思想
建立控制方程及定解条件
确定节点（区域离散化）
设立温度场的迭代初值
建立节点物理量的代数方程
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
18
导热问题数值求解的基本思想
设立节点物理量的代数方程
节点上物理量的代数方程成为离散方程（discretization equation）。当△x=△y时，有
求解代数方程组
改进初场
否 是否收敛？
是
解的分析
20
导热问题数值求解的基本思想
设立迭代初场
代数方程组 的解法
直接解法 迭代解法
有限差分法
预设初场

第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)

第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)
（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
2012-5-9 2
§4-1 导热问题数值求解的基本思想 及内节点离散方程的建立
2012-5-9
3
一、数值解法的基本思想 用导热问题所涉及的空间和时间区域内有限个离散 称为节点 节点) 点(称为节点)的温度近似值来代替物体内实际连续的温 度分布， 度分布 ， 将连续温度分布函数的求解问题转化为各节 点温度值的求解问题， 点温度值的求解问题 ， 将导热微分方程的求解问题转 化为节点温度代数方程的求解问题。 化为节点温度代数方程的求解问题。 数值解法的基本内容与步骤: 数值解法的基本内容与步骤:

第4章 导热问题的数值解法共30页

第4章 导热问题的数值解法共30页

若取上面式右边的前三项，并将式①和式③相加 移项整理即得二阶导数的中心差分：
2t tm 1 ,n2 tm ,ntm 1 ,no( x2)
x2m ,n
x2
截断误差
同样可得：
未明确写出的级数余项中
的Δx的最低阶数为2
2t tm ,n 12tm ,ntm ,n 1o( y2)
y2m ,n
y2
28.05.2020 - 8 -
(3) 实验法: 是传热学的基本研究方法，a 适应性不好； b 费用昂贵
数值解法：有限差分法（finite-difference）、 有限元法（finite-element） 、 边界元法（boundary- element）、 分子动力学模拟（MD）
28.05.2020 - 2 -
第4章 导热问题的数值解法——§4-1 导热问题数值求解的基本思
2 例题条件
y
h3t f
W
t0
t2 x 2
t2 y 2
0
x 0, t t0
x H,
t x
h2 (t
tf)
h2t f
y 0,
t y
h1 (t
tf)
yW ,
t y
h3 (t
tf)
h1t f
Hx
二维矩形域内稳态无内热源，
常物性的导热问题
28.05.2020 - 4 -
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
第4章 导热问题的数值解法———§4-1 导热问题数值求解的基本思想
以二维、稳态、有内热源的导热问题为例 此时：
Φ 上 Φ 下 Φ 左 ＋ Φ 右 Φ v 0 左Ad dxtyd dxt

传热学60-第四章 导热问题的数值解法

传热学60-第四章 导热问题的数值解法

B (i,j 1)
第四章 导热问题的数值解法 9
根据傅里叶定律， L,R,T ,B各节点向P节点的导热量：
T (i,j 1)
LP RP BP LP
t i 1 , j t i , j ti 1 , j ti , j t i , j 1 t i , j ti , j 1 ti , j
tik 1 tik
的一阶导数采用向前差分，则

tik 1 2tik tik 1 a x 2
第四章 导热问题的数值解法 28
上式移项整理 k k 1 k k ti a ( t i 1 t i 1 ) ( 1 2 a )ti 2 2 x x
x
y 1 y 1 x 1 x 1
(i 1,j )
(i 1,j )
L
R
x
Z方向取单位长度 (i,j 1) B
y
y
第四章 导热问题的数值解法
10
若有内热源， v ,i , j 为P节点所在网格单元的内热源强度
则内热源发热量
在稳态导热下：
v , p v ,i , j x y 1
ti 1, j ti , j y x y 3 1 h(t f ti , j ) xy v ,i , j 0 x 2 2 4
第四章 导热问题的数值解法
19
不规则区域的处理
用阶梯形的折线来模拟真实边界
t2
t1
t2
t2
t2
t2
第四章 导热问题的数值解法 20
第四章 导热问题的数值解法
17
3.
内部角点
内部角点
P(i ,j ) ti ,j

第四章热传导热问题的数值解法

第四章热传导热问题的数值解法
数值求解的高斯-赛德尔(Gauss- Seidel)迭代法
4-1 导热问题数值求解的基本思想
4.1.1 数值求解的基本思想(见P162)： 把原来在时间、空间坐标系中连续的
物理量的场，用有限个离散点上的值的集 合来代替，通过求解按一定方法建立起来 的关于这些值的代数方程（组），来获得 离散点上被求物理量的值（其集合称为该 物理量的数值解）
t2(℃)
t3(℃)
0
0
5.675
3.769
4.545 (-1.13) 4.996 (1.227)
4.029 (-0.516) 5.061 (0.065)
3.979 (-0.05) 5.013 (-0.048)
3.994 (0.015) 5.000 (-0.013)
4.000 (0.006) 5.000 (0.000)
y
t4
t0
•
xy
0
x
△x=△y，且无内热源时，有
t1 t2 t3 t4 4t0 0
即：
t0
1 4
(t1
t2
t3
t4 )
一维问题 推广
三维问题
t0
1 2
(t1
t2
)
t0
1 6
(t1
t2
t3
t4
t5
t6)
一维问题 : t1 t2 2t0 0 二维问题 : t1 t2 t3 t4 4t0 0 三维问题 : t1 t2 t3 t4 t5 t6 6t0 0
流入控制体的总热流量＋控制体内热源生成热 ＝ 流出控制体的总热流量＋控制体内能的增量 注意：上面的公式对内部节点和边界节点均适用
如图, 以元体(m,n)为研究对象
(1) 元体(m,n)的能量守恒方程为：

第四章 导热问题的数值解法

第四章 导热问题的数值解法
t2 t3 t4' t4" 4t4 界条件处理方法
1、若 t1' ～ t4' 和 t1" ～ t4" ，即第Ⅰ类边界条件 （实际中常用）
则 可求出 t1 ～ t 4
t ，即第Ⅲ类边界条件 2、若 h ，
n ），热平衡（无内热源）： 如图，对于节点（ m ，
O(x 2 )
t ( x x, y ) t ( x x, y ) 2t ( x, y ) 2 O ( x ) 2 (x)
二阶中心差商
改变下标： t ( x, y ) t m ,n
t ( x x, y ) t ( x x, y ) tm1,n tm1,n
2、若令 x 有限值，且很小，应有
dt x
x 2 y y
x x

t ( x x, y ) t ( x, y ) O(x) x
一阶中心差商
t x 2
2

x, y
t x
t x x 2 x
y
x x 2 y
x

t ( x x, y ) t ( x, y ) t ( x, y ) t ( x x, y ) (x) 2
t y x y i
或
x
t x y x i
若 x y ，则都有
t
i
y
y
y
x
x
习题：4-3
（7/2）
第四章 导热问题的数值解法
§4-1 二维稳态导热的数值求解的基本思想 §4-2 二维稳态导热的离散方程组 （有限差分方程组，代数方程组）
4-1 二维稳态导热数值求解 的基本思想 一、问题提出

传热学课件第四章 导热问题数值解法基础

传热学课件第四章 导热问题数值解法基础

i , j
t x

t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x

t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节 建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对 流 h t f t1 A
k k


显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k

k 1
t1 /
k

△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k

t
t1
k

1 2

c

x
2
t1

k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y

y 2
x 2
1
BP

1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2

t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x

第4章_热传导问题的数值解法

第4章_热传导问题的数值解法

式中，Fo＝
a h x 网格傅里叶数， Bi 网格毕渥数 x 2
14
4.4.5 一维平板非稳态导热显式格式离散方程及稳定性分析 以第三类边界条件下厚度为2的大平板的数值计算问题作一归纳。如图4-10.
i＋1 i i i tn ＝Fo (t n 1 t n 1 ) (1 2 Fo t n ) 0 tn t0
i＋1 i i i i tn tn tn 1 t n 1 2t n a x 2 上式可改写为 i＋1 tn ＝
a i a i i ( t t ) ( 1 2 t ) n 1 n 1 2 2 n x x
求解非稳态导热方程就是从已知的初始温度分布出发，根据 边界条件以次求得以后各个时间层上的温度值，由上式可知， 一旦i时层上各节点的温度已知，可立即求得i+1时层上各节点 的温度，而不必联立方程，因而上式所代表的格式称为显式 差分格式。
4.2 内节点离散方程的建立方法 建立内节点离散方程的方法有： 泰勒级数展开法 热平衡法 考察图4-3。
5
4.2.1 泰勒级数展开法 以节点（m，n）处的二阶偏导数为例，对节点（m+1，n)及（m-1， n）分别写出函数t对（m，n）点的泰勒级数展开式：
t m1,n t m,n t m1,n t m,n t x t x 2t x 2 x m,n 2t x 2 x m,n x 2 3t 3 2 x x 2 3t 3 2 x x 3 (a) 6 x 3 (b) 6
9
（2）外部角点 如图4-5所示。节点（m，n）的离散方程为
y t m1,n t m,n y x x t m,n1 t m,n x y qw qw Φm,n 0 2 x 2 2 2 y 2 2

传热学-第4章-热传导问题的数值解珐

传热学-第4章-热传导问题的数值解珐

若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( 2 t m −1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 + 4 ∆2 x Φ m , n
λ
+
2 ∆ xq w
λ
)
2. 外部角点 控制容积的热平衡为： 控制容积的热平衡为：
∆y tm−1,n − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y ∆x + ∆y λ +λ + Φ m, n + qw = 0 ∆x 2 2 ∆y 4 2
4. 边界热流密度的三种情况
q （1）绝热边界： w = 0 ）绝热边界：
（2） qw 值不为零：代入给定的 qw 值。 ） 值不为零： （3）对流边界：qw = h(t f ）对流边界： 平直边界节点： 平直边界节点：
2( h∆x
− t m n = 2 t m − 1 , n + t m , n + 1 + t m , n −1 +
第一类边界条件 — 边界温度已知 m-1,n 第二类边界条件 需建立边界节点温度 ∆y 第三类边界条件 的差分方程 n 1. 位于平直边界上的节点
λ∆y
tm−1,n − tm,n ∆x +λ
m m,n+1
qw
m,n m,n-1
∆x
∆x tm,n+1 − tm,n ∆x tm,n−1 − tm,n ∆x∆y +λ + Φm,n + ∆yqw = 0 2 ∆y 2 ∆y 2
若步长∆x=∆y，有： ， 若步长
t m ,n = 1 ( t m −1 , n + t m , n −1 + 2
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n
x(1) i
aii1(bi
aijx（j0）)
iHale Waihona Puke ,2,,nj1 ji由(e)式～(j)式分别略去 h 、h 2 及 h 3 以上各项得一阶、二阶
导数向前、向后及中心差分公式为：
、
一阶导数向前差分：
f(x)f(xh)f(x)
h
一阶导数向后差分： f(x)f(x)f(xh) h
一阶导数中心差分：
f(x)f(xh)f(xh) 2h
二阶导数向前差分： f(x)f(x)f(xh 22 h)2f(xh)
传热学的基本研究方法，a 适应性不好；b 费用昂贵。
数值解法：有限差分法(finite-difference method)、有限元法 (finite element method)、 有限体积法(finite volume method)、 边界元法(boundary- element method)、离散元法(discrete element method)······
4.3.2 迭代法---逐步逼近求解方程的方法
分类：简单选代法和高斯一赛德尔迭代法
简单迭代法 ：
将方程 改写为
n
aijxj bi
j1
(i1,2,n)
n
xi aii1(bi aijxj ) i1,2,,n
j1
ji
假定初值为 x 1 (0 ),x 2 (0 ), ,x n (0 )
将其代入方程上式得
将整个区域划分步长为 x、y 的矩形有限差分网格，
p
节点 p (i, j )的坐标 (x，y)为：
xix y jy
i、j为整数
图4-3间距为Δx、Δy的矩形网格
节点P的温度t（x，y）和热源 qv(x, y)可表示为：
t(x ,y )P t(i x ,j y ) ti,j
q v(x ,y )P q v(i x ,j y ) q v,ji
t
x
t
tf
（e）
图4-4 对流边界节点
假想节点 [(i1),j] 那么，在节点(i，j)处的导热方程的有 限差分形式为：
ti 1 ,j t （ i 1 ） ,j ti,j 1 ti,j 1 4 ti,j l2q v,ji 0 （f）
再利用中心差分公式，边界条件(e)式的有限差分形式为：
t t (i1),j i1,j
再将第一个方程乘以 ai1 / a11分别与第i个方程相加（i＝2，…,n） 得一个新的n阶线性方程组
a11 a12
0
a(1) 22
a13
a(1) 23
a1n x1
a(1) 2n
x2
b1
b2(1)
0
a(1) 32
a(1) 33
a 3(1n)x3 b3 (1)
0
a(1) n2
传热（物理）问题的数值求解过程
建立控制方程及定解条件 区域离散化
建立节点物理量的代数方程 求解代数方程组
获得数值解并分析结果
4.1 有限差分法的基本原理
1、基本思想：
• 将求解区域离散、以节点网格代替物体，以 每个节点的温度作为未知量
• 在节点上用差分代替微分，将微分方程式近 似地变成差分方程式——线性的代数方程组
3 三种方法的特点 (1) 分析法
a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供 比较依据；
b 局限性很大，对复杂的问题无法求解； c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。
(2) 数值法
在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性 强，特别对于 复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。
(3) 实验法
函数f(xh)、f(xh) 、f(x2h) 、f(x2h) 在点x的泰勒 级数展开式分别为：
f(x h ) f(x ) h f(x ) h 2f(x ) h 3f(x ) (a)
2 !
3 !
f(x h ) f(x ) h f(x ) h 2f(x ) h 3f(x ) (b)
2 !
3 !
f(x 2 h ) f(x ) 2 h f(x ) 2 h 2 f(x ) 4 h 3f(x ) (c) 3
在节点P，温度对x和y的二阶导数的有限差分表达式：
2t x2
x2t2
ti1,j
2ti,j ti1,j (x)2
P
i,j
2t y2
y2t2
ti,j1(2 tyi,)j2ti,j1
P
i,j
将上式代入方程(a)中可得二维稳态导热方程的有限差分形式为：
ti 1 ,j 2 ti,j ti 1 ,j ( x )2
(2) 数值计算法: 把在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离 散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于 这些点上的物理量值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量 的值；并称之为数值解(numerical solution)
(3) 实验法: 在传热学基本理论的指导下，采用实验的方法对所研 究对象的传热过程进行实验研究，从而求得所求量的方法
f(x 2 h ) f(x ) 2 h f(x ) 2 h 2 f(x ) 4 h 3f(x ) 3
(d)
由式(a)得： f(x)f(xh)f(x)O(h)
(e)
h
由式(b)得：f(x)f(x)f(xh)O (h)
(f)
h
由式(a)与式(b)相减得：
f(x)f(xh)f(xh)O (h2) (g) 2h
a(1) n3
a(1) nn
xn
bn(1)
第一列中主元素以下的各元素都化为零
(2) 对n-1阶线性方程组
n
aij(1)xj bi(1)
j2
(i2,n)
进行消元，消元法同上，经过消元以后得另一个新的n阶线性方程组
a11 a12 a13 a1n x1 b1
0
a(1) 22
a(1) 23
a(1) 2n
b b
( n
( n
n
n
1
2 1
) )
回代步骤 从第n个方程可得
xn
bn( n1)
a
(n nn
1)
再将解得的 x n代入第n-1个方程解出 x n 1，再将x n ，x n 1
代人第n-2个方程解出x
最后可解得 x 1 。
n
2
。如此不断地回代，
以上的消元过程及回代过程都可编成计算机通用程序。
节点的节点方程。有多少个温度未知的节点就列 出多少个方程，将这些线性方程组成线性方程组。
3 求解线性方程组。便得到各节点的温度值。
计算精度取决于网格疏密程度。对于传热 和流体力学问题的求解，一般认为差分法优于 其他数值方法。
4.3 线性代数方程组的求解
4.3.1 直接法 高斯一约当消元法
对于n阶线性方程组
[2 ti 1 ,j ti,j 1 ti,j 1 4 ti,j] l2q v,j i 0
2. 两对流边界相交处的节点(i，j)
图4-4 对流边界节点
由于其处于两个边界上，则其边界条件为:
t
x
1t
1tf
xt 2t 2tf
在节点(i，j)处导热方程的有限差分形式可写为：
ti 1 ,j t （ i 1 ） ,j ti,j 1 ti, （ j 1 ） 4 ti,j l2q v,ji 0 (j)
n
aijxj bi
j1
用矩阵形式表示
(i1,2,n)
a11 a12 a1n x1 b1
a21
a22
a2n
x2
b2
an1
an2
ann
xn
bn
消元步骤：
(1) 首先使第一行主对角线上的元素a11为主元素——绝对值最大 的元素。如果主对角线上的元素不为主元素，那么可以利用换行的 方法把主元素调到主对角钱上来，使得其绝对值最大。
第四章 导热问题的数值解法
Numerical method for heat conduction
1 求解导热问题的三种基本方法：
(1) 理论分析法；(2) 数值计算法；(3) 实验法
2. 三种方法的基本求解过程:
(1)理论分析方法: 直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分， 获得解析解 (close solution)
ti,j 1 (2 ty i,)j2 ti,j 1q v,ji 0
如果假定正方形网格为xyl,则：
ti 1 ,j ti 1 ,j ti,j 1 ti,j 1 4 ti,j l2q v,ji 0
物理意义：节点热平衡
2 边界上节点的差分方程式 1. 对流边界节点(i，j)
边界面上的节点(i，j)满足下面的第三类边界条件：
fi1
式中：
f i
df dx
i
fi
d2 f dx 2
i
图4-2 有限差分表达 式的几何意义
向前和向后差分的误差比中心差分的误差高，中心差分应用较广。
4.2 稳态导热问题的差分表达式
1。内部节点的差分方程式
物理性质参数为常数的具有内热源的二维稳态导热方程：
2t 2t qv 0（a）
xix
x2 y2
2l ，
ti,j
tf
(g)
联立式(f)和式(g)，并消去t (i1), j 得
[2 ti 1 ,j ti,j 1 ti,j 1 (4 2 l)ti,j] (2 ltf l2q v,j) i 0
如果图中所示边界为绝热边界，则导热方程在节点(i，j)的有
限差分形式可直接在上式中令 0得到，即
fi fi1 h
一 阶 导 数 中 心 差 分 ： fi '
fi1 fi1 2h