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热传导方程初边值问题介绍热传导方程是描述物体内部温度分布随时间变化的一类偏微分方程。
在实际生活和工程中，了解和解决热传导问题对于保护环境和优化工艺非常重要。
本文将详细介绍热传导方程的初边值问题及其解决方法。
初边值问题的定义初边值问题是指在给定一定空间区域和时间区域内，求解偏微分方程在这些区域内满足一定初值和边界条件的解。
对于热传导方程，我们通常关注的是物体内部的温度分布随时间的变化，因此需要给出初始时刻物体内各点的温度，并指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式。
热传导方程热传导方程描述了物体内部温度分布随时间变化的规律，其一维形式为：∂u ∂t =α∂2u∂x2其中，u(x,t)代表了某一点(x,t)处的温度，α代表热扩散系数，t代表时间，x代表空间位置。
初边值条件为了求解热传导方程的初边值问题，我们需要给出一些初始条件和边界条件。
常见的初边值条件包括： - 初始条件：u(x,0)=f(x)，给出初始时刻物体内各点的温度分布，f(x)代表初始时刻的温度函数。
- 边界条件：u(a,t)=g(t)和u(b,t)=ℎ(t)，指定物体表面与周围介质之间的热量交换方式，a和b分别为空间区域的起始和结束位置，g(t)和ℎ(t)为边界处的温度函数。
初边值条件的选择对于求解问题的精确性和适用范围具有重要影响。
解法针对热传导方程的初边值问题，我们可以通过数值方法或解析方法来求解。
下面介绍两种常见的解法。
球坐标系下的分离变量法对于某些具有球对称性的问题，可以采用球坐标系下的分离变量法来求解。
通过假设解具有分离变量形式u(r,θ,ϕ,t)=R(r)Θ(θ)Φ(ϕ)T(t)，将热传导方程分解成径向、角度和时间三个单变量函数的形式，然后带入原方程得到各个变量的微分方程。
最后通过求解单变量微分方程和利用边界条件，确定解的具体形式。
差分方法差分方法是一种常用的数值方法，通过将连续的空间和时间区域离散化，将热传导方程转化为有限差分方程组，并通过迭代求解来逼近真实的解。
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
热传导方程的解析解及应用热传导方程是描述物体内部热量传递的一种数学模型。
它在工程、物理学和数学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍热传导方程的解析解以及其在实际问题中的应用。
首先，我们来看一下热传导方程的基本形式。
热传导方程可以用偏微分方程的形式表示：∂u/∂t = α∇²u其中，u是温度的分布函数，t是时间，α是热扩散系数，∇²是拉普拉斯算子。
这个方程描述了温度随时间和空间的变化规律。
要解决这个方程，我们需要找到u 关于t和空间坐标的解析解。
解析解是指能够用已知的数学函数表达出来的解。
对于热传导方程，有一些特殊的边界条件和初始条件，可以得到一些已知的解析解。
例如，对于一个无限长的棒状物体，两端保持恒定的温度，我们可以得到如下的解析解：u(x, t) = T1 + (T2 - T1)erf(x/2√(αt))其中，x是空间坐标，T1和T2分别是两端的温度，erf是误差函数。
这个解析解表达了棒状物体内部温度随时间和空间的变化规律。
除了解析解，我们还可以使用数值方法来求解热传导方程。
数值方法通过将空间和时间离散化，将偏微分方程转化为代数方程组的形式，然后利用计算机进行求解。
数值方法的优势在于可以处理较为复杂的边界条件和几何形状。
然而，数值方法的精度和计算效率通常不如解析解。
热传导方程的解析解在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在工程中，我们可以利用解析解来分析材料的热传导性能。
通过解析解，我们可以计算出材料内部温度的分布，进而评估材料的热稳定性和热传导性能。
这对于设计高效的散热系统和防止热损伤非常重要。
此外，热传导方程的解析解还可以应用于热传感器的设计和优化。
热传感器是一种用于测量温度变化的装置，常见的应用包括温度计和红外线热像仪。
通过解析解，我们可以计算出热传感器的响应时间、灵敏度和测量精度，从而指导热传感器的设计和制造。
总之，热传导方程的解析解及其应用是一个重要的研究领域。
解析解可以提供物理过程的详细信息，对于理解和优化热传导问题具有重要意义。
热传导方程的初边值问题热传导方程是研究物体在热传导过程中温度随时间和空间的变化规律的数学模型。
初边值问题是给定某个初始条件和边界条件，求解热传导方程的问题。
本文将讨论热传导方程的初边值问题，并介绍一些求解方法。
1. 热传导方程的基本概念热传导方程描述了物体内部的温度随时间和空间的变化规律。
它的数学表达式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0$$其中，$u$表示物体内每个点的温度，$a$代表物体的热传导系数，$\nabla^2u$表示温度的梯度。
这个方程可以描述一维、二维和三维的情况。
2. 初边值问题的基本概念在研究热传导方程时，通常需要解决初边值问题。
这个问题是在一定的时间范围内，在某些区域内确定某些温度和温度梯度的初始值和边界条件，然后根据热传导方程求解温度随时间和空间的变化规律。
初边值问题的形式可以表示为：$$\left \{\begin{aligned}&\frac{\partial u}{\partial t} - a^2\nabla^2u=0&\quad\Omega\times(0,T)\\&u(x,t)=u^0(x,t)&\quad\text{on }\ \partial\Omega\times(0,T)\\&u(x,0)=u_0(x)&\quad \text{in }\ \Omega\end {aligned}\right .$$其中，$\Omega$表示问题所在的区域，$T$表示时间范围，$u^0(x,t)$表示边界条件，$u_0(x)$表示初始条件。
3. 求解初边值问题的方法对于初边值问题，常见的求解方法有以下几种：（1）分离变量法分离变量法是一种常用的求解偏微分方程的方法。
可以根据问题的对称性，将其解分解成一个时间函数和一个空间函数的乘积。
通过对每一部分采用不同的数学处理方法，最终得到问题的解。
3这时可记2λμ=,此时关于X 的方程的解为:cos sin .X A x B x μμμμμ=+从而我们得到满足泛定方程的一系列解:()22cos sin .a tu T X A x B x eμμμμμμμμ−==+为了得到满足初始条件的解,需要把这一系列解叠加起来;由于此时μ的取值没有限制,可以取所有实数值从而需要求积分:()22cos sin a tu u d A x B x ed μμμμμμμμ∞∞−−∞−∞==+∫∫10例8.1 一个具有常初温0u 的细杆，已知它的一端保持温度为零，求杆上以后的温度分布。
解：该问题可以归结为求解如下定解问题：()()()()()200,0,0,0 0,,0 0.t xx u a u x t u t t u x u x =<<∞>=≥=<<∞12二维和三维情形传导和扩散通常是在三维情况中进行的，这时泛定方程应该包含三个空间变量：()223.t xx yy zz u a u u u a u =++=Δ 就像在特殊情况下可以得到一维传导和扩散问题一样，在某些情况下，我们也可以得到二维问题：()222.t xx yy u a u u a u =+=Δ 类似地，三维无界介质中的热传导问题可以归结为如下定解问题（Cauchy 问题）：()()23,,,,0,,t u a u u x y z x y z ϕ⎧=Δ⎪⎨=⎪⎩第九章Lapalce方程的Fourier 解1316讨论可知，该本征值问题在2,0,1,2,n n λ=="时有非平凡解：()cos sin n n n a n b n θθθΘ=+。
同时关于r 的方程变为：22'''-0r R rR n R +=。
该方程的通解为：-000ln ,.n nn n n R c d r R c r d r =+=+为得到满足边界条件的解，叠加这些特解得到：()()()0,,n n u l u l f θθθ∞===∑。
热传导方程初值问题解的若干性质邢家省;李争辉【摘要】研究热传导方程初值问题解的性质,利用求解公式给出了热传导方程的解是解析函数的直接证明,对初值连续可积条件下,给出齐次热传导方程初值问题解的存在性证明.【期刊名称】《聊城大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(023)003【总页数】4页(P6-8,39)【关键词】热传导方程;初值问题;解析函数【作者】邢家省;李争辉【作者单位】北京航空航天大学,数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191;北京航空航天大学,数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京,100191【正文语种】中文【中图分类】O175.29文献[1-5]指出热传导方程的解是解析函数,热传导的逆问题的不存在性亦用到这一结果.文献[2-8]中给出了齐次热传导方程边值问题解是解析函数的证明,然而其中的证明方法过程较为复杂.我们给出了一种直接且简单的证明方法,完善了热传导方程的理论证明.对齐次热传导方程初值问题利用Fourier变换,可得到形式解定理1[1-6]设φ(x)在(-∞,+∞)上连续且有界,则(2)式确定的函数上连续,且u(x,t)是问题(1)的唯一有界的古典解.定理2[1-6]设φ(x)在(-∞,+∞)上连续,且满足其中常数A,B,r>0,则(2)式确定的函数u(x,t)∈C((-∞,+∞)×[0,+∞)),u(x,t)∈C∞(R×(0, +∞)),且u(x,t)是问题(1)的古典解.定理3[1,2,8,12]设φ(x)∈C(-∞,+∞),且φ(x)有界,则对每一个t>0由(2)式所确定的函数u(x, t)是的整解析函数.证明设复数z∈C,考虑含复参变量的广义积分设|φ(x)|≤M,对任意t>0固定,存在δ>0,T>0使得δ<t<T.对任意r>0,容易知道积分在|z|≤r上是一致收敛的,令,显然{Un(z,t)}是解析函数列,且有{Un(z,t)}在|z|≤r上一致收敛于U(z,t),由一致收敛的解析函数列的性质定理,得U(z,t)关于|z|≤r是解析的,从而U(z,t)在整个复平面上是解析的,于是,对每一个t>0,初值问题的解u(x,t)是的是解析函数.定理4 设φ(x)∈C(-∞,+∞),且满足|φ(x)|≤A+Ber|x|,(-∞<x<+∞),其中常数A, B,r>0,则对每一个t>0由(2)式所确定的函数u(x,t)是问题(1)的古典解,且对每一个t>0,齐次热传导方程初值问题的解u(x,t)是x的整解析函数.在文献[12]中证明了,对热传导方程的解u(x,t),当t>0时,u(x,t)是(x,t)的解析函数.文献[8]中给出一例,在t≥0上,u(x,t)关于(x,t)非解析.例[8]热传导方程的柯西问题在坐标原点(0,0)的邻域中不存在解析解.证明用反证法.假设在坐标原点的邻域内问题(4)存在解析的解,把它代入方程,比较系数,得出:;由初值条件,得u2s+1,0=0,u0,0=1,u2s,0=(-1)s,(s≥0,k≥0);从而u2s+1,k=0,(s≥0,k≥0);u2s,k+1(k+1)=u2s+2,k(2s+2)(2s+1),(s≥0,k≥0);u2s,1=u 2s+2,0(2s+2)(2s+1)=(-1)(s+1)(2s +2)!/(2s)!,利用数学归纳法,可证得,系数ua1,a2具有如下形状:于是,但此时,这个级数在坐标原点无论怎样的邻域中都不收敛,因为它在任何一点(0,t),t≠0,级数是发散的.定理5[7]设函数f(x)在区间(-∞,+∞)内连续且绝对可积,则有积分满足热传导方程及初值条件证明[7]当.而,故积分在t>0,-∞<x<+∞上一致收敛,从而u(x,t)是t>0,-∞<x<+∞上的连续函数.考查下列几个积分先考查(5)式中的积分:由于对|x|≤x0,0<t0≤t≤t1(x0,t0,t1任意固定)当|y|>x0时,有而故当|y|>x0时,有|f(y)e-(y-x)2/4a2t(y-x)2/4a2t2|≤M|f(y)|,其中M是某常数. 于是,根据,由魏氏判别法知,(5)式中的积分在|x|≤x0,0<t0≤t≤t1上一致收敛.同理可证,(6)式中的积分和(7)式中的积分都在|x|≤x0,0<t0≤t≤t1上一致收敛.于是,在由积分所确定的函数可在积分号下求导,由x0,t0,t1得任意性知,即得u(x,t)满足方程下面证明利用,得任给ε>0,根据f(x)在点x的连续性,可取某δ>0,使得当|y-x|≤δ,恒有|f(y)-f(x)|<ε/3,我们有下面我们分别估计I1,I2,I3,从而有又有由此可知同理可证于是,存在η>0,使得当0<t<η时,成立|I3|<ε/3,|I1|<ε/3.由此,当0<t<η时,便有|u(x,t)-f(x)|<ε/3+ε/3+ε/3=ε,故(8)式成立.从证明过程中,我们还可以发现在(-∞,+∞)内是局部一致收敛的.若f(x)只在(-∞,+∞)上绝对可积,而无连续性条件,结论就有可能不成立了[7].【相关文献】[1]Smoller J.Shock Waves and Reaction Diffusion Equations[M].Sp ringer Verlag,1983.[2]魏光祖,袁忠信,王恩三,等.索伯列夫空间与偏微分方程[M].开封:河南大学出版社,1994.[3]陈祖墀.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2002.[4]谷超豪,李大潜.数学物理方程[M].北京:高等教育出版社,2002.[5]姜礼尚,陈亚浙.数学物理方程讲义[M].北京:高等教育出版社,1986.[6]王明新.数学物理方程[M].北京:清华大学出版社,2005.[7]费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解:六[M].济南:山东科学技术出版社,1980.[8]奥列尼克著.郭思旭译.偏微分方程讲义[M].北京:高等教育出版社,2008.[9]华罗庚.高等数学引论:三册[M].北京:科学出版社,2009.[10]邢家省,崔玉英.齐次热传导方程初边值问题的解是解析函数的证明[J].河南科学,2009,27(11);1 341-1 345.[11]邢家省,张愿章,郭秀兰.非齐次热传导方程初边值问题的形式级数解的收敛性[J].河南科学,2010,28(1):1-5.[12]John F.Partial Differential Equations[M].北京:世界图书出版公司北京公司,2009.。
热传导方程初边值问题热传导方程初边值问题引言•热传导方程是描述物质内部温度分布随时间变化的重要方程之一。
•初边值问题是研究热传导方程在给定初始条件和边界条件下的解的问题。
•本文将介绍热传导方程的基本概念以及求解初边值问题的方法。
热传导方程的基本概念•热传导方程描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。
•方程的形式为：∂u∂t =k⋅∂2u∂x2，其中u是温度分布函数，t是时间变量，x是空间变量，k是热传导系数。
•热传导方程的解依赖于初始条件和边界条件。
初边值问题的定义•初边值问题是指在给定初始条件和边界条件下求解热传导方程的解的问题。
•初始条件是指在t=0时刻的温度分布情况。
•边界条件是指在空间边界上温度的分布情况。
求解初边值问题的方法•求解初边值问题的方法多种多样，下面介绍两种常用的方法。
分离变量法•分离变量法是一种常用的求解热传导方程初边值问题的方法。
•首先将温度分布函数u(x,t)表示为两个变量x和t的乘积：u(x,t)=X(x)T(t)。
•然后将乘积形式的温度方程带入原方程，得到两个单独的方程：1 kX ∂2X∂x2=1T∂T∂t=−λ2。
•分别解这两个方程，得到X(x)和T(t)的表达式。
•最后将X(x)和T(t)相乘，即可得到最终的温度分布函数u(x,t)。
使用数值方法•当无法使用分离变量法求解热传导方程初边值问题时，可以使用数值方法进行求解。
•常见的数值方法包括有限差分法、有限元法等。
•有限差分法将连续的空间和时间离散化为网格点，通过近似求解差分方程得到温度分布。
•有限元法将连续的空间离散化为有限个单元，建立代表温度分布的函数空间，通过求解变分问题得到温度分布。
结论•热传导方程初边值问题在工程和科学研究中具有重要的应用价值。
•本文介绍了热传导方程的基本概念和求解初边值问题的方法。
•分离变量法和数值方法是常用的求解初边值问题的方法。
•进一步深入研究和应用这些方法，可以帮助我们更好地理解和解决热传导问题。
热传导方程的数值求解热传导方程是描述热传导现象的一种常见偏微分方程。
它在物理学、工程学以及其他领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将讨论热传导方程的数值求解方法。
通过数值求解，我们可以得到方程的近似解，从而更好地理解和分析热传导过程。
热传导方程的一般形式可以写作：$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$其中，$u$是温度分布随时间和空间变化的函数，$\alpha$是热扩散系数。
上式表示了温度分布随时间变化的速率与温度分布的曲率之间的关系。
要求解这个方程，并得到温度分布随时间变化的近似解，我们可以使用一些常见的数值方法。
其中，有限差分法是最常见的一种方法。
有限差分法是将求解区域离散化，将连续的空间和时间分割成有限的小区域。
通过在这些小区域上近似描述方程，我们可以用差分方程代替原方程，进而得到方程的数值解。
对于热传导方程，我们可以将时间和空间分割成一系列网格点。
在每个网格点上，我们可以用温度的数值逼近代替温度的连续函数值。
这样，我们可以得到在每个时间步长和空间步长上的温度逼近。
通过迭代计算，我们可以得到整个时间和空间范围内的温度近似解。
在具体的计算过程中，我们可以采用显式差分法或隐式差分法。
显式差分法是一种较为简单的方法，它根据当前时间步的温度逼近来计算下一个时间步的温度逼近。
然而，显式差分法需要满足一定的稳定性条件。
在一些情况下，显式差分法可能会导致数值解不稳定和发散。
为了克服这些限制，我们可以使用隐式差分法。
隐式差分法通过在时间步迭代过程中使用未知的时间步温度逼近，可以得到更加稳定的数值解。
然而，隐式差分法的计算复杂度较高，需要求解一个线性方程组。
除了有限差分法之外，还有其他的数值方法可以用于求解热传导方程。
例如，有限元法、辛方法等。
每种方法都有其优缺点和适用范围。
根据具体的问题和计算需求，选择适合的数值方法是至关重要的。
在实际求解过程中，还需要注意数值参数的选择。
例 4 周期初始温度散布求解热传导方程 u tu xx , (x , t 0) 给定初始温度散布u (x,0) 1 cos2 x,(x) 。
解 u(x,t)1 e 4t cos2 x .初始高斯温度散布u a 2 2u 0,(x, t 0)例 5 求解定解问题t x 2，u( x,0)e kx 2 ,(x)此中常数 k0 .( x s)2s)211eks 2( x 解 u( x,t )2a(s)e4a 2tdse4a 2tdst2atx )2 4 ka 2t2(4 ka 2t 1) s 2 2 xs x 2(4 ka 2t 1)( sx114 ka 2t 14 ka 2t 1e4 a 2 tdse4 a 2tds2a t2atk21(4 ka 2t 1)( s x)22xe22dse 4ka t 12a t 4a t4ka t 1kx 2e 4 ka 2t 11 11kx22.2a t(4 ka 2t 1)4ka 2t 1 e 4ka t 14a 2 t§3 初边值问题设长度为 l ,侧表面绝热的平均细杆,初始温度与细杆两头的温度已知 ,则杆上的温度散布u( x,t ) 知足以下初边值问题u t a 2 u xx f (x,t ), 0 x l ,0 t Tu(x,0)(x),0 xl ,u(0,t )g 1 (t ), u(l , t) g 2 (t),0 t T对于这样的问题 ,能够用分别变量法来求解.将边值齐次化令U ( x,t ) g1( t )x( t ) g1 ( t )g 2l再作变换V u U引入新的未知函数,易知它知足V t a 2V xx f ( x, t)U t ,0x l,0t TV (x,0)( x) U ( x,0),0x l ,V (0, t )0,V (l, t)0,0t T我们先考虑齐次方程,齐次界限的情况u t a 2 u xx0,0x l ,t0(3.1)u( x,0 )( x ),0x l ,(3.2)u( 0,t ) u( l ,t )0,t0(3.3)解设 u( x,t ) X ( x )T ( t ), 代入方程T ( t ) X ( x ) a 2 X ( x )T ( t ),T ( t )X ( x ) ,a 2T ( t )X ( x )这等式只有在两边均等于常数时才建立.令此常数为,则有Ta 2T 0,（）XX0,（）先考虑（） ,依据界限条件(3.3), X ( x )应该知足界限条件X(0) 0,X ( l )0（）情况 A：当0 时,方程（）的通解能够写成X ( x) C1e x C2e x ,要使它知足界限条件（） ,就一定C1 C20,C1e l C2 e l0,11l l0 ,因为e ele e l只好 C1 C20, 故在0 的状况得不到非平庸解.情况 B：X ( x ) C1 C 2 x,要知足界限条件（） , C10,C1lC 20, 即 C1C20 . X ( x ) 也只好恒等于零.情况 C：当0 时,方程（）的通解拥有以下形式：X ( x )C1 cos x C2 sin x,由界限条件 X( 0)0,知C10 ,再由 X ( l )C sin l , 可知为了使C 20,就一定2,sin l0,于是l k, ( k1,2,)k 22kl 2,( k1,2,)（）这样就找到了一族非零解X k ( x ) C k sin kx,( k1,2,)（）l称 X k ( x )C k sin kx 为常微分方程边值问题lX ( x )X ( x ), 0 x lX( 0)X ( l )0的固有函数（特点函数） .而k 222称为相应的固有值（或特点值）.将固有值k代入方程（）中 , lT a2k 222T 0,la 2k 22t可得T k ( t )B k e l 2（）于是获得一列可分别变量的特解a2 k2 2tku k ( x,t )A k e l 2sin x , ( k1,2 ,)（）l因为方程（）及界限条件（）都是齐次的 ,故可利用叠加原理结构级数形式的解u( x,t )u k ( x,t )A k e a2k t sin k x,（）此中k 22k2.l由（） ,为使在 t0 时 , u( x,t )取到初值( x ) ,应建立( x ) u( x,0 )A k sinkxk 1（）A k sinkx,k 1 l得出 A k2ll ( ) sinkd .（）0 l获得问题（）－（）的解u( x,t )A k e a 2 k t sink x,k 1k 222l(kd .此中k2, A kl) sinl 0l定理 若C 1 [ 0,l ], ( 0 )( l ) 0,则u( x,t )k 1A k e a 2k tsin k x,（）u ta 2 u xx 0, 0 x l ,t 0 ( 3.1) 是u( x,0 ) ( x ),0 x l ,(3.2 )u( 0,t )u( l ,t )0,t(3.3)的古典解（经典解） .证明 由C [ 0,l ], 得在 [0, l ] 上可积 .| A k | 2 l( k ||)sindll2 l ( ) | dMl|对随意0, 当 t时, 建立m n2M1 k( m n ) 2tmx n( A k e a k tsin k x)2e ak,（随意整数m, n0 ）又对随意 p0, 而级数k 1k pe a 2 k 收敛 ,m na 2k t因此x ( A k e在 0 x l , t上一致收敛 .m nm n n ( A k ea 2k tsin于是mx n u(x, t ) t mx k x) ，tk 1即级数 u( x,t )A k e a 2 k t sink x , 当 0x l ,t 时, 对于 x 及 t 拥有随意阶的连续偏k 1导数 , 而且求偏导与乞降能够互换 .因为级数的每一项都知足方程及界限条件, 进而函数 u( x, t) 在 t时 , 的确知足方程及界限条件 . 再由 0的随意性 , 得 u(x,t ) 在 t0 时知足方程及界限条件,且 u(x, t )C ([ 0,l ] ( 0,)).再证 lim u( x, t)( x 0 ), (0 x 0l )x x 0t 0由条件C 1[0,l ],(0)(l ),2| A k || l 0(x)sin k xdx |l|2lkll 0( x)cos kxdx | l | a k |l ka 2kt11 12A k esin k x C k a k C 2k 2ak,由 Bessel 不等式 ,知22a klk 1l 2(x) dx ,进而获得e a 2ktA k sink x 在 t 0,0xl 上一致收敛 ,A k sink x 在 0x l 上k 1k 1一致收敛于(x) ,进而得 u( x, t) 在 t 0,0 x l 上连续 .于是 lim u( x, t)limea 2k tA k sinkxA k sin k x 0(x 0 ), (0x 0l ) .xx 0x x 0t 0k 1 t 0k 13.1 初边值问题解的渐近性态定理 假定初始函数( x ) 知足C 1 [ 0,l ],( 0 )( l ) 0,则当 t趋于无量大时 ,问题（）－（）的独一的古典解指数衰减地趋于零 ,切实地说 ,当 t时 ,对全部 x [ 0,l ] ,a 2t此中 C 是一个与解无的正常数 .证明古典解是独一的 ,2u( x,t )A k e a k t sink x 是独一的古典解 ,此中k 1k 222k2A klll ( ) sinkd ,k 1,2, 0 l( x ) 在 [ 0,l ] 上有界 ,设 ( x ) M ,则有 | A k | 2l当 t1 时l k 2 l ( )sindlMd2Mlu( x,t )A k e a 2 k t2Me a 2k tk 1k 12Me a 21te a 2 ( k1 )t2Me a 2 1te a 2 (k 1 )k 1k1a 222Me a 21tl 2 kCe a 21te.k13.2 非齐次方程求解方法—齐次化原理考虑非齐次方程u t a 2u xx f ( x,t )u( x,0 ) 0, .u( 0,t ) u( l ,t )0 ,齐次化原理：若 w( x,t; ) 是下述问题w a 2 2 w , t , 0 x l t x 2 w( x,t ; )|t f ( x, )w( 0,t; ) w( l ,t ; ) 0 ,t的解（此中0 为参数） ,则u( x,t )t)d w( x,t ;u t a 2 u xx f ( x,t ) ,0 x l ,t是非齐次问题u( x,0 ) 0,的解 .u( 0,t )u( l ,t )0, t 0证明 明显 u( x,0 ) 0 ,u( 0,t )u( l ,t )0 ,utw( x,t ; t )t（ * ）w tdf ( x,t )tw d t22 ut22wu 22 uaa 2 d , 则 u 知足 a2 f ( x,t ) . u( x,t ) 是非齐次问题的解 . 20 xx tx此刻来求问题（ *）的解 .作变换 tt则问题（ * ）化为w a 2 2w 0, t0, 0 x lt x 2w |t 0 f ( x, )（** ）w( 0,t; )w( l ,t ; ) 0 ,t 0我们已知问题（ ** ）的解为w( x,t ;)B k ()e a 2k tsink x,k 1k 22) 2 l, ) sinkd .此中kl 2 , B k ( l f (l于是( , ; )B k( ) e a 2 k ( t)sinkx ,wx tk 1故 u( x,t )t w( x,t ;)dtB k (a 2 k ( t)sink x,是非齐次问题的解 .k 1 0)edu t a 2u xx f ( x , t ),初边值问题u ( x ,0 ) ( x ),的解为u ( 0 ,t )u ( l ,t )0 ,A k ea2kxt)ea2u( x,t )k tsinB k ( k( t )d sin k x,k 1k 1 0k 222 此中k2, A klll) sinkd , B k ( )2 lk ( lf ( , ) sind .ll3.3 非齐次初边值问题的特点函数睁开法u t a 2 u xx f ( x,t ), 0 x l ,0 t Tu( x,0 )( x ),xl ,u( 0,t ) u( l ,t ) 0 0 tT方法步骤把 u( x,t ) ,方程的非齐次项f ( x,t ) 和初值都依据特点函数系（）ksinx 睁开：u( x,t )T k ( t ) sinkx,k1lf ( x,t )f k ( t ) sinkx, k 1l( x )k sin kx,k 1l由特点函数系sinkx 在区间 [ 0,l ] 上的正交性 ,可得l2f k ( t )ll 0k f ( x,t ) sinxdx ,l2kll( x ) sinkxdx .l而函数 T k ( t ) 临时仍是未知的 .为确立 T k ( t ) ,把上述睁开式问题（）代入方程和初始条件 ,由特点函数系 sinkx 的齐备性 ,进而获得 T k ( t ) 合适以下微分方程和初始条件 .lT k ( t )a 2 ( k)2T k ( t ) sinkxf k ( t )sinkx,k 1llk 1lT k ( 0 ) sinkxksinkx,k 1lk 1l于是获得T k ( t ) a 2( k)2T k ( t ) f k ( t )lT k ( 0 ) k , k 1,2,从 0 到 t 积分a 2 ( kelT k ( t )2 k 2ta ()elT k ( t ))2t T k ( t ) T k ( 0 )a 2k ) 2 tt(kel2k ) 2 t a(el f k ( t )t a 2 ( k ) 2f k ( )eld2(k 2( t )a) f k ( )eld故非齐次初边值问题解u( x,t ) 的表达式为k ea2t)ea2u( x,t )ksink xf k ( ( t )d sink x,这与前方的结果一致 .能量衰减预计u t a 2u xx 0 , 0 x l , t 0 u( x,0 ) ( x ),0 x l , u( 0,t )u( l ,t ) 0t用 u 乘以方程两头 ,在 [ 0,l ] 上积分l( u t u a 2u xx u )dx 0,ludxl 1u 2 dx1 d l2 dx,u t2 t2 dt ua2la 2u x u 0la2lu x u x dx a2l2dx ,u xx udx0 u xd lu 2 dx2a 2 l u x 2 dx,dtxu( x,t )u x ( ,t )du( x,t )x lu x ( ,t ) d u x ( ,t ) d0 0l21 / 2l 1 / 2u x ( ,t ) d12d1 l21 / 2l2dxu x ( x,t ) ,2lu x 2du( x,t )l,l 2dxl ll u x 2 dx ,u l u x 2dx dx l20 0l 21 lu 2dxu x dxl 2 0于是d lu 2 dxdtd 2a 2t lu 2dxe l 20 dtl2( x,t )dx eu 02a 2 lu 2dx,l 20 ,2 a 2t l 2dx e l 2u2a 2tll 22u ( x,0 )dx el u 2 ( x,0 )dx 0 ,0 2a 2ltl 22( x )dx .定理 (Cauchy-Schwarz不等式 )b b 1b1设 f , g 在 [ a, b] 上可积，则有 f ( x)g( x) dx | ( f 2(x)dx)(g 2( x)dx) 2 。
§2热传导方程的初值问题一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）偏导数的多种记号xx x t u xuu x u u t u =∂∂=∂∂=∂∂22,,. 问题也可记为⎩⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0,,),(2ϕ.Fourier 变换我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可积，若积分⎰+∞∞-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。
将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{}∞<=+∞-∞=+∞-∞⎰+∞∞-dx x f f L L )(|),(),(1，称为可积函数空间.连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。
定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分),(ˆ)(21λπλf dx e x f x i =⎰+∞∞--有意义,称为Fourier 变换, )(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ⎰+∞∞--==dx e x f f Ff x i λπλλ)(21)(ˆ)(定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞∈C L f ,那么我们有),()(ˆ21limx f d e f NNx i N =⎰+-∞→λλπλ公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.通常将由积分)()(21x g d e g x i ∨+∞∞-=⎰λλπλ所定义的变换称为Fourier 逆变换.因此亦可写成()f f =∨ˆ即一个属于),(),(1+∞-∞⋂+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.在应用科学中经常把)(ˆλf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)定理 设),(+∞-∞∈L f ，⎰+∞∞--=dx e x f fx i λπλ)(21)(ˆ，则)(ˆλf 是有界连续函数,且 .0)(ˆlim =∞→λλf在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则(),ˆˆ22112211f f f f αααα+=+∧2.（微商性质）若),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 则.ˆf i dx df λ=⎪⎭⎫⎝⎛∧证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞→x f x ,事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x⎰'+=0)()0()(,因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有⎰±∞±±∞→'+==0)()0()(lim dt t f f a x f x又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .由0)(lim =∞→x f x ,利用分部积分公式⎰∞+∞--∧'=⎪⎭⎫⎝⎛dx e x f dx df x i λπ)(21⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰+∞∞--∞+∞--dx e i x f e x f x i xi ))(()(21λλλπ).(ˆ)(2λλπλλf i dx e x f i x i ==⎰+∞∞--附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(ˆ)(λλf d d ix xf =∧. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(ˆλf 是λ的连续可微函数,且有 []∧+∞∞---=-=⎰)()())((21)(ˆx xf i dx e ix x f f d d x i λπλλ附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()(+∞-∞⋂+∞-∞∈'L C x fx f x f m Λ则 ())1(,)(ˆ≥=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∧m f i dx fd m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f mΛ则[])1(,)(ˆ)(≥=∧m f d d i x f x mm mmλλ4．（平移性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])1()(ˆ)(≥=--∧m f e a x f a i λλ证明[])(ˆ)(21)(21)()(λππλλλf e dy e y f ya x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞+∞-+-+∞∞--∧==--=-⎰⎰5.（伸缩性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则[])0(,)(ˆ1)(≠=∧k kf k kx f λ证明 无妨设,0<k 由定义[])(ˆ11)(1211)(21)(21)(kf k dy ke yf k dy k ey f y kx dxe kxf kx f kyi kyi x i λπππλλλ=⎪⎭⎫⎝⎛-===⎰⎰⎰∞+∞--∞-∞+-+∞∞--∧6.（对称性质）若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(ˆ)(λλ-=∨f f 证明⎰+∞∞-∨=dx e x f f x i λπλ)(21)(⎰+∞∞---=dxe xf x i )()(21λπ.)(ˆλ-=f7.（卷积定理）若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ⎰+∞∞--=*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(ˆ)(ˆ2)(λλπλgf g f =*∧证明 由积分交换次序定理⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤dt dx t g t x f )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dt dx t x f t g )()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-⋅=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理()()()().ˆˆ2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππλλλλλλgf dy e y f dt e tg dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f yi t i t x i ti xi =⋅⋅=-=-=*⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞---∞+∞-∞+∞----+∞∞-+∞∞--∧下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.例1 设 ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=Ax A x x f ,0,1)(1,(其中常数0>A ).求)(ˆ1λf .解 由定义⎰⎰----==AAx i AAx i dx e dx e x f f λλππλ21)(21)(ˆ11AAx i e i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(2x x e x f x , 求)(ˆ2λf . ⎰+∞--=221)(ˆdx ee f xi x λπλ⎰+∞+-=)1(21dx e x i λπ∞++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0)1(1121x i e i λλπλπi +=1121.例3 设,)(3xex f -=求)(ˆ3λf⎰+∞∞---=dx e ef x i xλπλ21)(ˆ3⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e xi x i λλπ ⎪⎭⎫⎝⎛-++=λλπi i 11112121221λπ+=. 例4 设,)(24x e x f -=求)(ˆ4λf⎰+∞∞---=dx eef xi x λπλ221)(ˆ4⎰∞+∞---'⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx e i ex i x λλπ1212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ222121[]∧-=22x xe iλ)(ˆ24λλλf d d -= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(ˆ4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⎰∞+∞--2121)0(ˆ,)(ˆ2)(ˆ2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得44221)(ˆλλ-=ef .例5 设,)(25Ax e x f -=（0>A ）,求)(ˆ5λf .由性质5()()AeA A f A x A f x f f 44455221)(ˆ1)()()(ˆλλλ-∧∧====.例6 ),()(4622Bx f eex f B x Bx ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--(0>B )()446622)/1(ˆ/11()(ˆλλλB eB Bf Bx f f -∨===.()()⎰+∞∞-∨*=*λλπλd e g f x g f xi )(21)( ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλd e dy y g y f x i )()(21dy d e y g y f x i ⎰⎰+∞∞-+∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()(21dy d e y f e y g xy i iyx ⎰⎰+∞∞-+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λλπλ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,()()g f gfg f ⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛*∨∨∨∧∧ˆˆ22121πππ,于是()∧∧∧*=⋅g f g f π21,因为()gf g f ˆˆ2⋅=*∧π, 所以()()[]g f g f g f *=*=⋅∨∧∨ππ2121ˆˆ.最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识定义 设),(),,,()(21nn R L x x x f x f ∈=Λ那么积分())(ˆ)(21λπλf dx e x f nRx i n=⎰⋅-,有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(ˆλf 称为)(x f 的Fourier 变式.定理（反演公式）若)()()(1nn R L R C x f ⋂∈,则有())()(ˆ21limx f d e fNx i nN =⎰≤⋅∞→λλλλπ. ()⎰⋅∨=nRx i nd e g x g λλπλ)(21)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.定理表明()()f f f f ＝∧∨∨=,ˆ容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier变换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有)(ˆ)(ˆ1ii ni f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数221)(i Ax ni xA e ex f -=-∏==的Fourier 变式.事实上()AAx i i eAe42221λ-∧-=,()()AnAni Ax ni Ax ni eAe Ae ef i ii 4411122222121)(ˆλλλ--=∧-=∧-==∏=∏=⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=.Poisson 公式在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a tu ),()0,(0,),,(222ϕ （）在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,⎰+∞∞--=dx e t x u t ux i λπλ),(21),(ˆ ,利用性质1和性质2,得到⎪⎩⎪⎨⎧==+=),(ˆˆ),,(ˆˆˆ022λϕλλt u t f ua dt u d 其中 ⎰+∞∞--=dx et x u t uxi λπλ),(21),(ˆ,⎰+∞∞--=dx e x x i λϕπλϕ)(21)(ˆ[]∧=),(),(ˆt x f t f λ.解之得⎰---+=t t a t a d e f e t u 0)(2222),(ˆˆ),(ˆττλϕλτλλ,现在对上式两边求反演,由反演公式,得()()⎰∨--∨-+=tt a ta d e f e t x u 0)(2222),(ˆˆ),(ττλϕτλλ （）由(),21422AAx e Aeiλ-∧-=取t a A 241=则ta x t a e ta e 2222241211λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 即t a x t a ee t a 22224121λ-∧-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛, 令224121),(x ta eta t x g -=,[]t a e t x g 22),(λ-∧=,从而有()()g g e ta *21ˆˆˆ22ϕπϕϕλ==∨∨- ⎰+∞∞--=ξξξϕπd x g )()(21⎰∞+∞---=ξξϕπξd t ata x 224)()(21 （）同理我们有()()g f t g f ef t a *21),(ˆ),(ˆ),(ˆ)(22πτλτλτλτλ=-=∨∨-- ⎰∞+∞-----=ξτξτπτξd e f t a t a x )(4)(22),()(21（）于是得⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=ξτπτξτξξϕπτξξd et a f d d t at x u t a x t ta x )(4)(04)(2222)(21),()(21),(在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ϕ,且)(x ϕ有界,则⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(在),0(+∞⨯R 上连续,且在),0(+∞⨯R 上具有任意阶的连续偏导数，),(t x u 是问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x xu a t u ),()0,(0,,0222ϕ的解,即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00x t x u x x t ϕ=→→+. ⎰∞+∞---=ξξϕπξd et at x u ta x 224)()(21),(⎰+∞∞--+-=ηηϕπξηηd e t a x ta x 2)2(12/)(特别说明：当)(x ϕ连续,)(x ϕ是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ϕ无界时，也可以是解）.例1 求解⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=xux u at u t sin ,0222解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2-=是解. 2、⎰+∞∞--+=ηηϕπηd e t a x t x u 2)2(1),(⎰+∞∞--+=ηηπηd e t a x 2)2sin(1()⎰+∞∞---+=ηηηπηηd e t a x e t ax 222sin cos 2cos sin 1⎰+∞∞--=ηηπηd et a x 22cos sin 1⎰+∞∞---=ηπηηd e e x t ai 22212sin442212sin t a e x -=442212sin t a e x -=x e t a sin 2-=, ()42221λη-∧-=e e .例2求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=∂∂=x ux u at u t cos ,0222的解x e t x u t a cos ),(2-=.例3求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧+===1,202x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2221),(++= 2. []⎰+∞∞--++=ηηπηd e t a x t x u 21)2(1),(2[]⎰+∞∞--+++=ηηηπηd e t a t ax x 21441222t a x 2221++=从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.⎪⎩⎪⎨⎧++===1cos ,22x x u u a u t xx t 定理 设)(x ϕ在),(+∞-∞上连续且有界，),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ⨯+∞-∞上连续且有界，令 ⎰∞+∞---=ξξϕπξd etat x u ta x 224)()(21),(⎰⎰∞+∞-----+ξττξτπτξd e t f d a t a x t )(4)(0221),(21，其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ϕ=+→→；(,)u x t 问题⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-=>+∞<<∞-=∂∂-∂∂x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0,),,(222ϕ的解。
