邗江中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(文)

江苏省邗江中学2014-2015学年度第二学期高二数学期中试卷〔文科班卷〕一、填空题：1、集合A ={1，2，3，4}，B ={3，4，5，6}，如此=⋂B A ▲.2、函数f (x )＝)1ln(-x 的定义域为▲.3、假设“1-<x 〞是“a x <〞成立的必要条件，如此a 的最大值是▲.4、函数⎩⎨⎧≤>=0,30,log )(2x x x x f x ，如此)]0([(f f =▲. 5、R x a x x f ∈+=,)(3是奇函数，如此a =▲.6、假设命题p ：]2,1[∈∀x ，12+≤x a 是真命题，如此实数a 的取值范围是▲.7、假设6.06.0=a ，7.06.0=b ，7.02.1=c ，如此a ，b ，c 的大小关系为▲.8、函数]2,1[,32)(2-∈--=x x x x f 的最大值为▲.9、曲线34313+=x y 在点〔2，4〕处的切线方程为▲. 10、假设函数ax x x x f +-=232)(在1=x 处取得极值，如此=a ▲.11、函数x x y ln -=的单调增区间为▲.12、函数22log (1) (0)()2 (0)x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，假设函数()()g x f x m =-有3个不同零点，如此实数m 的取值范围▲.13、函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0,)2(0,1)(2x e a x ax x f x 为R 上的单调函数，如此实数a 的取值范围是▲. 14、函数1()()e x a f x a x=-∈R ．假设存在实数m ，n ，使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，如此a 的取值范围是▲.二、解答题：15、全集U=R ，函数)3lg(21)(x x x f -++=的定义域为集合A ，集合B=}2|{a x x <<-〔1〕求集合A ；〔2〕假设B A ⊆，求a 的取值范围。

ADCB第（10）题2014-2015学年度第二学期邗江中学某某班高二年级期中数学试题一、填空题〔本大题共14小题，每一小题5分，共70分〕1、计算：310cosπ=。

2、假设复数iim -+12,(R m ∈i 是虚数单位〕为纯虚数，如此m =。

3、某人5 次上班途中所花的时间〔单位：分钟〕分别为x ，9,11,10,8。

这组数据的平均数为10，如此其方差为。

4、等比数列{}n a 的各项均为正数，假设31=a ，前三项的和为21 ，如此=++654a a a 。

5、设Q P 和是两个集合，定义集合}{Qx P x x Q P ∉∈=-且,|，假设{}4,3,2,1=P ，}R x x x Q ∈<⎩⎨⎧+=,221|，如此=-Q P 。

6、根据如下列图的伪代码，可知输出的结果I 为。

7、扇形的周长为cm 8，如此该扇形面积的最大值为2cm 。

8、过椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的左顶点A 作斜率为1的直线，与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B 。

假设MB AM =，如此该椭圆的离心率为。

9、假设方程5||||lg +-=x x 在区间))(1,(z k k k ∈+上有解，如此所有满足条件的k 的值的和为。

10、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A 、B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75方向，与A 相距23海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西 60方向，与B 相距5海里的C 处，如此A1C 1B1BC A D第（11）题ADCBM N第（13）题第15题乒乓球4133羽毛球5蓝球22两艘船之间的距离为 海里。

11、如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，D 为棱1AA 的中点，假设截面D BC 1∆是面积为6的直角三角形，如此此三棱柱的体积为。

12、设p ：函数||2)(a x x f -=在区间),4(+∞上单调递增；12log :<a q ，如果命题“┐p 〞与q 都是真命题，那么实数a 的取值范围是。

江苏省扬州中学2014-2015学年高二下学期期中考试 （文）（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.若全集,U R =集合{}20M x x x =-≥，则U C M = .2.已知幂函数()f x 过点，则(4)f 的值为 .3. 若函数2(1)21f x x x +=-+，则函数()f x 的解析式为 .4.已知函数221,1(),1x x f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若((0))4f f a =，则实数a = .5.函数221xx y =+的值域为 .6.观察下列等式：11111131111,11,1...,1...2,. (22323722315)>++>++++>++++>由此猜测第n 个等式为 .. 7. 设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数是 .8.函数22log 6y x x =+-的零点所在的区间是1(,)22k k +，则正整数k 的值为 .9.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当3-1x -≤≤时，2()(2)f x x =-+；当 13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)...(2014)f f f f ++++= .10.已知537log 10,log 6,log 14a b c ===，则,,a b c 按照由小到大的顺序排列为 . 11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且2()4(0)f x x x x =->，则不等式()f x x >的解集是 .12.下列命题正确的序号是 ①命题“若a b >，则22a b >”的否命题是真命题； ②若命题1:01p x >-“”，则；1:01p x ⌝≤-“”； ③若p 是q 的充分不必要条件，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件；④方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±.13.已知函数43201234012340()(,,,,,0)f x a x a x a x a x a a a a a a R a =++++∈≠且的四个零点构成公差为d 的等差数列，则()f x '的所有零点中最大值与最小值之差为 .14.已知32()(0)x ax x ax a λ=+-≠，若存在实数1,2a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦，使得函数()()()x x x μλλ'=+,[1,]x b ∈-在1x =-处取得最小值，则实数b 的最大值为 .二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（本小题14分）记函数()f x 的定义域为A ，函数[]()lg (1)(2)g x x a a x =---(1)a <的定义域为B(1)求A 、B ； (2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.16．(本小题14分)设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域为R ，命题q ：不等式 39x x a -<对一切实数均成立.(1)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)如果命题“p 或q ”为真命题，且“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围.17.(本小题14分)如图，在ABC ∆的区域内割出一块四边形绿化区域BCED ，其中090=∠=∠D C ，3==BD BC ，1CE DE ==，现准备经过DB 上一点P 和EC 上一点Q 铺设水管PQ ，且PQ 将四边形BCED 分成面积相等的两部分. 设x DP =，y EQ =．(1)求,x y 的等量关系式；(2)求水管PQ 长的最小值．18.(本小题16分)已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，使得对任意的实数x ，有()()f x T Tf x +=成立. (1)证明：2()f x x =不属于集合M ；(2)设()f x M ∈，且2T =.已知当12x <<时，()f x x lnx =+，求当32x -<<-时，()f x 的 解析式.19.(本小题16分)已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数. (1)求k 的值；(2)设函数24()log (2),3x g x a a =⋅-其中0a >.若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.20.(本小题16分)已知函数()ln f x x =，2()()(,)g x f x ax bx a b R =++∈.其中函数()y g x =的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x 轴.(1)确定,a b 的等量关系式；(2)若0a ≥，试讨论函数()y g x =的单调性；(3)设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于点1122(,),(,)A x y B x y (12x x <)， 求证：2111k x x <<.答案1. {}01x x << 2.123. 2()(2)f x x =- 4.2 5. (0,1) 6. 1111 (23212)n n ++++>- 7. 13i - 8. 4 9. 33710. ,,c a b 11. (5,0)(5,)-+∞ 12.①③ 131415. 解：(1)由题意得：(1)(1)0x x +-≥,即(][),11,A =-∞-+∞………3分由(1)(2)0x a a x --⋅->, 得(1)(2)0x a x a --⋅-<.∵1a <,∴12a a +>, ∴(2,1)B a a =+. …………… 7分 (2)∵B A ⊆, ∴21a ≥或11a +≤-, …………… 10分 即a ≥21或2a ≤- .而1a <,∴211a ≤<或2a ≤-, 故当B A ⊆时, 实数a 的取值范围是1(,2],12⎡⎫-∞-⎪⎢⎣⎭……………14分 16. 解:(1)若命题p 为真命题，则20,16aax x x R -+>∈恒成立. 若0a =，则0x ->，0x ∴<，不符合题意…………..3分 若0a ≠，20021104a a a a >⎧>⎧⎪⇒⇒>⎨⎨<-<⎩⎪⎩则△0；………….7分(2)若命题q 为真命题，则1394x x a a -<⇒>……9分 “p 或q ”为真命题且“p 且q ”为假命题，∴ p ，q 一真一假…………10分 p 真q 假”，a 无解；②“p 假q 真”，1(,2]4a ∈. 综上1(,2]4a ∈………….14分17．解：（1）如图，AD=3，AE=2.则S △ADE = S △BDE = S △BCE∴S △APQ =3，即1(2)4x y +=∴(2)4x y +=3…………………………………7分（2）APQ ∆中，2222cos30PQ AP AQ AP AQ =+-⋅⋅︒ =223342)334()3(22≥⨯⨯-+++x x ·12381234-=- ………………………………10分当且仅当22)334()3(+=+x x ，即时3324-=x ，33221238min -=-=PQ …………………………………………14分18.(1) 证明：假设()M f x ∈，则()()f x T Tf x +=，即22()x T Tx +=对任意的x 恒成立，即22(1)20T x Tx T -++=对任意的x 恒成立. 210200T T T ⎧-=⎪∴=⎨⎪=⎩ ，T ∴无解. ………8分假设错误，所以2()f x x =不属于集合M . (2) 由题意，(2)2()f x f x += .32,142x x -<<-∴<+<.(4)4ln(4)f x x x ∴+=+++.114(4)()(2)(4)2444x ln x f x f x f x ++∴=+=+=+.…….16分19．解：(1)由题意()()f x f x -=对任意x R ∈恒成立，即22log (41)log (41)x x kx kx -+-=++恒成立，即22log (41)2log (41)x x x kx kx +--=++恒成立，即2(1)0k x +=对任意x R ∈恒成立，1k ∴=-………..7分(2)4203x a a ⋅->由，得定义域为24(log,)3+∞.因为函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3x x x a a +-=⋅-在24(log,)3+∞上只有一解. 即方程414223x x x a a +=⋅-在24(log,)3+∞上只有一解. 令42(,)3x t =∈+∞，则方程24(1)103a t at ---=(*)在4(,)3+∞上只有一解……………..9分 记24()(1)13h t a t at =---，对称轴23(1)at a =-①当1a =时，34(,)43t =-∉+∞，不合题意；②当01a <<时，对称轴203(1)at a =<-，()h t 在(0,)+∞上递减，且(0)10h =-<，∴(*)在4(,)3+∞上无解；③当1a >时，对称轴t =203(1)a a >-，只需4161625()(1)103999h a a =---=-<，此恒成立,1a ∴>.综上1a >………………16分 （其它解法酌情给分） 20.解： 2()ln g x x ax bx =++，1()2g x ax b x'=++. (1)由题意，(1)210g a b '=++=，即210a b ++= ……….4分 (2)1(21)(1)()221(0)ax x g x ax a x x x--'=+--=>. …………6分 (i)当0a =时，(1)()(0)x g x x x --'=>.增区间为(0,1) ，减区间为(1,)+∞； (ii)当0a >时，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>.112122aa a--=,∴ ①当102a <<时，112a>.增区间是1(0,1)(,)2a +∞和，减区间是1(1,)2a ；②当12a >时，112a<.增区间是1(0,)(1,)2a +∞和，减区间是1(,1)2a . ③当12a =时，112a=.2(1)()0x g x x -'=≥，增区间是(0,)+∞，无减区间. 综上，当0a =时，增区间为(0,1) ，减区间为(1,)+∞；当102a <<时，增区间是1(0,1)(,)2a +∞和，减区间是1(1,)2a ；当12a =时，增区间是(0,)+∞，无减区间；当12a >时，增区间是1(0,)(1,)2a +∞和，减区间是1(,1)2a………………10分 (3)120x x <<,2111k x x ∴<<21212121221121ln ln 11ln ln x x x x x x x x x x x x x x ---⇔<<⇔<-<- 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<-…………………….12分 令()ln 1(1)h x x x x =-+>，11()1x h x x x-'=-=-，所以()h x 在(1,)+∞上是减函数.()(1)0h x h ∴<=.又211x x >，21()0x h x ∴<，即2211ln 1x xx x <-. 令1H()ln 1(1)x x x x =+->，22111H ()x x x x x-'=-=，所以H()x 在(1,)+∞上是增函数，H()H(1)0x ∴>=，又211x x >，21H()0x x ∴>，即22111ln 1x x x x >-.综上，22211111ln 1x x x x x x -<<-…………………………16分。

2014-2015学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．（2015•高邮市校级模拟）若全集U=R，集合M={x|x2﹣x≥0}，则集合∁U M= （0，1）．考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：把集合M化简，由实数集中不在集合M中的元素构成的集合就是M的补集．解答：解：M={x|x2﹣x≥0}={x|x≤0或x≥1}，又全集U=R，所以，∁U M={x|0＜x＜1}．故答案为（0，1）．点评：本题考查了补集及其运算，注意借助于数轴解答，是基础题．2．（2015春•扬州校级期中）已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设幂函数f（x）=x a，由f（x）过点（2，），知，由此能求出f（4）．解答：解：设幂函数f（x）=x a，∵f（x）过点（2，），∴，∴f（4）=x4=（x2）2==，故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意幂函数的性质和应用．3．（2015春•扬州校级期中）若函数f（x+1）=x2﹣2x+1，则函数f（x）的解析式为f（x）=（x﹣2）2．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：将f（x+1）=x2﹣2x+1变形，令x=x+1替换即可．解答：解：∵f（x+1）=x2﹣2x+1=x2+2x+1﹣4（x+1）+4=（x+1）2﹣4（x+1）+4，∴f（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．点评：本题考查了求函数的解析式问题，考查转化思想，是一道基础题．4．（2013•淇县校级一模）已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= 2 ．考点：函数与方程的综合运用．专题：计算题．分析：给出的是分段函数，根据所给变量的范围确定选用具体的解析式，从而得方程，故可解．解答：解：由题意，f（0）=20+1=2，∴f（2）=4+2a=4a，∴a=2故答案为2．点评：本题的考点是函数与方程的综合运用，主要考查分段函数的定义，考查求函数值，有一定的综合性5．（2014春•海安县校级期末）函数的值域为（0，1）．考点：函数的值域．分析：将函数变形为，因为2x＞0，用观察分析法求值域即可．解答：解：，∵2x＞0，∴，∴0＜y＜1故答案为：（0，1）点评：本题考查函数的值域问题，属基本题型、基本方法的考查．6．（2013•自贡一模）由下列各式：，…，归纳第n个式子应是．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中：，观察分析不等式两边的项数及右边数的大小，我们归纳分析得，左边累加连续2n﹣1个正整数倒数的集大于，由此易得到第n个式子．解答：解：∵，，，=…∴第n个式子应是：故答案为：点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．7．（2015春•扬州校级期中）设z=，则z的共轭复数是1﹣3i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的分母实数化后，求解共轭复数即可．解答：解：z===1+3i．z=，则z的共轭复数是1﹣3i．故答案为：1﹣3i．点评：本题考查复数的除法运算法则的应用，共轭复数的求法，基本知识的考查．8．（2015春•扬州校级期中）函数y=2x+log2x﹣6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为 4 ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的判定定理，即可求得结论解答：解：∵函数f（x）=log2x+2x﹣6，∴f′（x）=2+＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）单调递增，∵f（）=﹣4＜0，f（3）=log23＞0，∴f（）•f（3）＜0，且函数f（x）=log2x+2x﹣6在区间（，3）上是连续的，故函数f（x）=log2x+2x﹣6的零点所在的区间为（，3），∴，解得：3＜k＜5，∴k=4，故答案为：4．点评：本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．9．（2015春•扬州校级期中）定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2；当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）= 337 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，再由定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，能求出f（1）+f（2）+f （3）+…+f（2014）的值．解答：解：由已知得f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f （2）=2，定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=335（﹣1+0﹣1+0+1+2）+f（1）+f（2）+f（3）+f （4）=335+1+2﹣1+0=337．故答案为：337．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用．10．（2015春•扬州校级期中）已知a=log510，b=log36，c=log714，则a，b，c按照由小到大的顺序排列为c＜a＜b ．考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质把三个数转化为1加一个对数式的形式，然后由换底公式可比较大．解答：解：a=log510=1+log52，b=log36=1+log32，c=log714=1+log72，因为log32＞log52＞log72，所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查了对数值的大小比较，考查了对数式的运算性质，是基础题．11．（2015春•淮安校级期末）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣4x（x＞0），则不等式f（x）＞x的解集是（﹣5，0）∪（5，+∞）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：设x＜0则﹣x＞0，根据题意和奇函数的性质求出x＜0时函数的解析式，再用分段函数的形式表示出来，对x进行分类讨论列出不等式组，求出不等式的解集．解答：解：设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x2﹣4x（x＞0），∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣=﹣x2﹣4x，则f（x）=，∵f（x）＞x，∴或，解得﹣5＜x＜0或x＞5，∴不等式的解集是（﹣5，0）∪（5，+∞），故答案为：（﹣5，0）∪（5，+∞）．点评：本题考查函数的奇偶性的应用：求函数的解析式，一元二次不等式的解法，以及分类讨论思想，属于中档题．12．（2015春•扬州校级期中）下列命题正确的序号是①③①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是真命题；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；④方程ax2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①根据指数函数的性质判断即可；②写出p的否命题即可；③根据充分必要条件的定义判断即可；④通过讨论a=0，a≠0判断即可．解答：解：①命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题是：“若a≤b，则2a≤2b”是真命题，故①正确；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“＜0”，故②错误；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件，故③正确；④方程ax2+x+a=0，当a=0时，方程也有唯一解，故④错误；故答案为：①③．点评：本题考查了充分必要条件，考查命题之间的关系，考查方程思想，本题综合性强，属于中档题．13．（2015春•扬州校级期中）已知函数f（x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4（a0，a1，a2，a3，a4∈R，且a0≠0）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f′（x）的所有零点中最大值与最小值之差为|d| ．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先设出函数f（x）的4个零点，求出f（x）的导数，得到f′（x）的零点，从而求出答案．解答：解：设函数f（x）的四个零点构成公差为d的等差数列为：t+3，t+1，t﹣1，t﹣3，公差d=2，f（x）=（x﹣t﹣3）（x﹣t﹣1）（x﹣t+1）（x﹣t+3），用平方差公式：f（x）=，令g（x）=（x﹣t）2﹣1，h（x）=（x﹣t）2﹣9，f′（x）=g′（x）h（x）+g（x）h′（x），整理得：f′（x）=4（x﹣t）（x2﹣2tx+t2﹣5），令f′（x）=0，解得：x=t﹣，t，t+，∴零点的最大值与最小值的差是；2=|d|，故答案为：|d|．点评：本题考查了函数零点问题，等差数列，导数的应用，是一道中档题．14．（2015春•扬州校级期中）已知λ（x）=ax3+x2﹣ax（a≠0），若存在实数a∈（﹣∞，﹣]，使得函数μ（x）=λ（x）+λ′（x），x∈在x=﹣1处取得最小值，则实数b的最大值为．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由μ（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，知μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得，从而可得ϕ（b）≥0，由此能求出b的最大值．解答：解：由题意，λ（x）=ax3+x2﹣ax的导数λ′（x）=3ax2+2x﹣a，μ（x）=ax3+（3a+1）x2+（2﹣a）x﹣a，据题知，μ（x）≥μ（﹣1）在区间上恒成立，即：（x+1）（ax2+（2a+1）x+（1﹣3a））≥0…①当x=﹣1时，不等式①成立；当﹣1＜x≤b时，不等式①可化为ax2+（2a+1）x+（1﹣3a）≥0…②令ϕ（x）=ax2+（2a+1）x+（1﹣3a），由a∈（﹣∞，﹣]知其图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间的最小值必在区间端点处取得．又ϕ（﹣）=﹣a＞0，故不等式②成立的充要条件是ϕ（b）≥0，整理得：≤﹣在a∈（﹣∞，﹣]上有解，∴≤2，解得﹣1＜b≤．b的最大值为．故答案为：．点评：本题考查了有关不等式恒成立的问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．（2015春•扬州校级期中）记函数f（x）=的定义域为A，函数g （x）=lg（a＜1）的定义域为B（1）求A、B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．考点：集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法．专题：集合．分析：（1）要使函数f（x）=有意义，则（x+1）（x﹣1）≥0，解出即可．要使函数g（x）=lg（a＜1）有意义，则（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，解出即可．（2）由B⊆A，可得2a≥1或a+1≤﹣1，解出即可．解答：解：（1）由题意得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得x≥1或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪∪．点评：本题考查了根式函数与对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（2010•兴化市校级模拟）设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题．分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围．（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．由∈（﹣∞，0），知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a的取值范围．解答：解：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，若a=0，显然不成立；若a≠0，解得a＞2故如果p是真命题时，实数a的取值范围是（2，+∞）（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．∵x＞0∴3x＞1∴3x﹣9x∈（﹣∞，0）所以如果q是真命题时，a≥0．又p或q为真命题，命题p且q为假命题所以命题p与q一真一假∴或解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．17．（2015春•扬州校级期中）如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中∠C=∠D=90°，，CE=DE=1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y．（1）求x，y的关系式；（2）求水管PQ的长的最小值．考点：解三角形的实际应用．分析：（1）延长BD、CE交于A，利用S△ADE=S△BDE=S△BCE=，S△APQ=可建立x，y的关系式；（2）利用余弦定理表示出PQ，再借助于基本不等式求出水管PQ的长的最小值．解答：解：（1）延长BD、CE交于A，则AD=，AE=2 则S△ADE=S△BDE=S△BCE=∵S△APQ=，∴∴x，y的关系式为：（2）PQ2=AP2+AQ2﹣2AP•AQcos30°=•当，即，，∴水管PQ的长的最小值为．点评：本题主要考查变量关系，考查余弦定理及基本不等式的运用，有一定的综合性．18．（16分）（2015春•扬州校级期中）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意的实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立．（1）证明：f（x）=x2不属于集合M；（2）设f（x）∈M，且T=2．已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用反证法，假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，推出T无解，即假设不成立，肯定结论．（2）将﹣3＜x＜﹣2转化为1＜x+4＜2，利用当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，即可求得f（x+4）的解析式，再利用f（x+T）=Tf（x），即可求得f（x）的解析式解答：（1）证明：假设f（x）∈M，则f（x+T）=Tf（x），即（x+T）2=Tx2对任意的x恒成立，即（1﹣T）x2+2Tx+T2=0对任意的x恒成立．∴．∴T∈∅．假设错误，所以f（x）=x2不属于集合M．（2）∵﹣3＜x＜﹣2，∴1＜x+4＜2，∴f（x+4）=x+4+ln（x+4），∵存在非零常数T，使得对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，∴令T=2，∴f（x+4）=f=2f（x+2）=4f（x），∴f（x）=，∴当﹣3＜x＜﹣2时，f（x）的解析式是f（x）=．点评：本题考查了抽象函数及其应用，反证法，函数解析式的求解及常用方法，求函数解析式常见的方法有：待定系数法，换元法，凑配法，消元法等．属于中档题19．（2011秋•苏州期末）已知函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；偶函数．专题：计算题．分析：（1）由已知中函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．由偶函数的定义，构造一个关于k的方程，解方程即可求出k的值；（2）函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，即方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解，即方程在上只有一解，利用换元法，将方程转化为整式方程后，分类讨论后，即可得到a的取值范围．解答：解：（1）∵函数f（x）=log2（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数∴f（﹣x）=log2（4﹣x+1）﹣kx=f（x）=log2（4x+1）+kx恒成立即log2（4x+1）﹣2x﹣kx=log2（4x+1）+kx恒成立解得k=﹣1（2）∵a＞0∴函数的定义域为（，+∞）即满足函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，∴方程log2（4x+1）﹣x=在（，+∞）有且只有一解即：方程在上只有一解令2x=t，则，因而等价于关于t的方程（*）在上只有一解当a=1时，解得，不合题意；当0＜a＜1时，记，其图象的对称轴∴函数在（0，+∞）上递减，而h（0）=﹣1∴方程（*）在无解当a＞1时，记，其图象的对称轴所以，只需，即，此恒成立∴此时a的范围为a＞1综上所述，所求a的取值范围为a＞1．点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，偶函数，其中根据偶函数的定义求出k 值，进而得到函数f（x）的解析式，是解答的关键．20．（16分）（2014•咸阳一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），证明：．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：导数的综合应用．分析：（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）通过求导得到g′（x），通过对a分类讨论即可得出其单调性；（3）证法一：利用斜率计算公式，令（t＞1），即证（t＞1），令（t＞1），通过求导利用函数的单调性即可得出；证法二：利用斜率计算公式，令h（x）=lnx﹣kx，通过求导，利用导数研究其单调性即可得出；证法三：：令，同理，令，通过求导即可证明；证法四：利用斜率计算公式，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，及令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，通过求导得到其单调性即可证明．解答：解：（1）依题意得g（x）=lnx+ax2+bx，则，由函数g（x）的图象在点（1，g（1））处的切线平行于x轴得：g'（1）=1+2a+b=0，∴b=﹣2a﹣1．（2）由（1）得=．∵函数g（x）的定义域为（0，+∞），∴当a=0时，，由g'（x）＞0得0＜x＜1，由g'（x）＜0得x＞1，即函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当a＞0时，令g'（x）=0得x=1或，若，即时，由g'（x）＞0得x＞1或，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在单调递减；若，即时，由g'（x）＞0得或0＜x＜1，由g'（x）＜0得，即函数g（x）在（0，1），上单调递增，在单调递减；若，即时，在（0，+∞）上恒有g'（x）≥0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，综上得：当a=0时，函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；当时，函数g（x）在（0，1）单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，函数g（x）在上单调递增，在单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（3）证法一：依题意得，证，即证，因x2﹣x1＞0，即证，令（t＞1），即证（t＞1）①，令（t＞1），则＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）=0，即（t＞1）②综合①②得（t＞1），即．证法二：依题意得，令h（x）=lnx﹣kx，则，由h'（x）=0得，当时，h'（x）＜0，当时，h'（x）＞0，∴h（x）在单调递增，在单调递减，又h（x1）=h（x2），∴，即．证法三：令，则，当x＞x1时，h'（x）＜0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递减，∴当x2＞x1时，，即；同理，令，可证得．证法四：依题意得，令h（x）=x﹣x1lnx+x1lnx1﹣x1，则，当x＞x1时，h'（x）＞0，∴函数h（x）在（x1，+∞）单调递增，∴当x2＞x1时，h（x2）＞h（x1）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1＜x2﹣x1令m（x）=x﹣x2lnx+x2lnx2﹣x2，则，当x＜x2时，m'（x）＜0，∴函数m（x）在（0，x2）单调递减，∴当x1＜x2时，m（x1）＞h（x2）=0，即x2﹣x1＜x2lnx2﹣x2lnx1；所以命题得证．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、分类讨论思想方法、根据所证明的结论恰当的构造函数、一题多解等是解题的关键．。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于．2．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是．3．（5分）用数学归纳法证明不等式时，第一步：不等式的左边是．4．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝．5．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是．6．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是度．8．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．9．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）＝2n•1•3•5 (2)﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是．10．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．11．（5分）观察下列式子：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是．12．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝．13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝a﹣4i，z2＝8+6i，为纯虚数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求复数z1的平方根．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．17．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC ＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）证明：PN⊥AM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．18．（16分）已知a n＝4n+15n﹣1（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3；猜想是否存在最大的正整数m，使得a n能被m整除；（2）运用数学归纳法证明（1）中猜想的结论．19．（16分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．20．（16分）设数列{a n}满足：a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4并由此猜测a n的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①a n≥n+2②．2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于3．【解答】解：∵z＝（2﹣i）2＝4﹣4i+（﹣1）＝3﹣4i，∴复数z的实部为3，故答案为：3．2．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是三角形的内角中至少有两个钝角．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故答案为：三角形的内角中至少有两个钝角．3．（5分）用数学归纳法证明不等式时，第一步：不等式的左边是+．【解答】解：用数学归纳法证明不等式时，第一步：不等式的左边是+．故答案为：+．4．（5分）设平面α的法向量为（1，2，﹣2），平面β的法向量为（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝4．【解答】解：∵α∥β∴平面α、β的法向量互相平行，由此可得＝（1，2，﹣2），＝（﹣2，﹣4，k），∥∴＝＝，解之得k＝4．故答案为：45．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数．【解答】解：“y＝log x在（0，+∞）上是增函数”写成三段论的形式，其中大前提是“若0＜a＜1，函数log a x在（0，+∞）是减函数”故答案为：若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数6．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝i．【解答】解：1+i+i2+i3+…+i10＝1+（i﹣1﹣i+1）+（i﹣1﹣i+1）+i﹣1＝1+i﹣1＝i，故答案为：i．7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是90度．【解答】解：∵A1B1⊥面ADD1A1，AM⊂面ADD1A1，∴A1B1⊥AM．设面A1B1O与面ADD1A1的交线为A1F，面A1B1O与面BCC1B1的交线为B1E，则F，E为AD，BC的中点，∴AM⊥A1F．∵A1F∩A1B1＝A1，∴AM⊥面A1FEB1，∵OP⊂面A1FEB1，∴AM⊥OP．∴直线OP与直线AM所成的角是90°故答案为：90°8．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1在Rt△BOC 1中，∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为．故答案为：．9．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）＝2n•1•3•5 (2)﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是4k+2．【解答】解：用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）...（n+n）＝2n•1•3•5 (2)﹣1）（n∈N*）时，从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是＝2（2k+1）．故答案为：4k+2．10．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．【解答】解：∵复数z适合|z+2+2i|＝|z|，∴复数z到（﹣2，﹣2）点的距离与到（0，0）的距离相等，∴复数z在（﹣2，﹣2）与（0，0）两点的连线的中垂线上，∴复数z在过这两点的直线上，直线的斜率是﹣1，过点（﹣1，﹣1），∴直线的方程是x+y+2＝0∵|z﹣1+i|表示z到（1，﹣1）的距离，这里求最小值，只要求这个点到直线的距离即可，∴d＝＝，故答案为：．11．（5分）观察下列式子：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，可以得出的一般结论是n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2．【解答】解：∵1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…，∴n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（n+2n﹣2）＝（2n﹣1）2．12．（5分）观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，…，则a10+b10＝123．【解答】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10+b10＝123，．故答案为：123．13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．【解答】解：当i＝1时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝3，b＝2，S＝3，T＝2，i＝2，当i＝2时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝5，b＝4，S＝8，T＝6，i＝3，当i＝3时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝7，b＝8，S＝15，T＝14，i＝4，当i＝4时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝9，b＝16，S＝24，T＝30，i＝5，当i＝5时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝11，b＝32，S＝35，T ＝62，i＝6，当i＝1时，不满足执行循环的条件，退出循环后S＝[]＝7，T＝[]＝12，故z1＝7﹣12i，z2＝1+i，∴z＝z1•z2＝19+5i，∴|z|＝＝，故答案为：14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝2015．【解答】解：依题意，得：f′（x）＝x2﹣x+3，∴f″（x）＝2x﹣1．由f″（x）＝0，即2x﹣1＝0．∴x＝，∴f（）＝1，∴f（x）＝x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1）∴f（1﹣x）+f（x）＝2，∴f（）+f（）+…+f（）＝2015，故答案为：2015．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知复数z1＝a﹣4i，z2＝8+6i，为纯虚数．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）求复数z1的平方根．【解答】解：（Ⅰ）∵复数z1＝a﹣4i，z2＝8+6i，＝＝＝为纯虚数，∴8a﹣24＝0，且32+6a≠0，∴a＝3．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得复数z1＝a﹣4i＝3﹣4i，设z1的平方根为a+bi，a、b∈R，则3﹣4i＝a2﹣b2+2abi，∴a2﹣b2＝3，2ab＝﹣4．解得，或，∴z1的平方根为2﹣i，或﹣2+i．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）（5分）解之得：＜a＜﹣1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．17．（14分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC ＝1，AB⊥AC，M、N分别是CC1、BC的中点，点P在直线A1B1上，且满足．（1）证明：PN⊥AM；（2）若平面PMN与平面ABC所成的角为45°，试确定点P的位置．【解答】解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），从而＝（﹣λ，，﹣1），＝（0，1，），＝（﹣λ）×0+×1﹣1×＝0，所以PN⊥AM．（2）平面ABC的一个法向量为＝＝（0，0，1）．设平面PMN的一个法向量为＝（x，y，z），由（1）得＝（λ，﹣1，）．由解得∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，∴|cos＜，＞|＝||＝＝，解得λ＝﹣．（11分）故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|＝．（12分）18．（16分）已知a n＝4n+15n﹣1（n∈N*）．（1）计算a1，a2，a3；猜想是否存在最大的正整数m，使得a n能被m整除；（2）运用数学归纳法证明（1）中猜想的结论．【解答】解：（1）计算a1＝18＝9×2，a2＝45＝9×5，a3＝108＝9×12；…3分因为3个数的最大公约数为9，猜想存在最大的正整数m＝9，能使得a n＝4n+15n﹣1（n∈N*）能被m整除． (6)分（2）数学归纳法证明：①当n＝1时，a1＝18＝9×2，能被9整除，结论成立；…7分②假设n＝k（k∈N*）时结论成立，即4k+15k﹣1能被9整除…9分则当n＝k+1时，a k+1＝4k+1+15（k+1）﹣1变形a k+1＝4•4k+15k+14＝4（4k+15k﹣1）﹣45k+18∴a k+1＝4（4k+15k﹣1）+9（2﹣5k）…11分因为由假设结论可知4k+15k﹣1能被9整除，又因为9（2﹣5k）也能被9整除…12分所以a k+1＝4k+1+15（k+1）﹣1也能被9整除所以则当n＝k+1时，结论成立…14分由①②可知，对任意n∈N*，都有a n能被9整除成立．…15分．19．（16分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1⊥AC1．（Ⅰ）求证：AC1⊥平面A1BC；（Ⅱ）求C1到平面A1AB的距离；（Ⅲ）求二面角A﹣A1B﹣C的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为A1在底面ABC上的射影为AC的中点D所以平面A1ACC1⊥平面ABC∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC＝AC∴BC⊥平面A1ACC1∴BC⊥AC1∵AC1⊥BA1且BC1∩BA1＝B∴AC1⊥平面A1BC（Ⅱ）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系∵AC1⊥平面A1BC∴AC1⊥A1C∴四边形A1ACC1是菱形∵D是AC的中点∴∠A1AD＝60°∴A（2，0，0）A1（1，0，）B（0，2，0）C1（﹣1，0，）∴＝（1，0，）＝（﹣2，2，0）设平面A1AB的法向量＝（x，y，z），则，令z＝1，∴＝（，，1）∵＝（2，0，0）∴∴C1到平面A1AB的距离为（Ⅲ）平面A1AB的法向量＝（，，1），平面A1BC的法向量＝（﹣3，0，）∴，设二面角A﹣A1B﹣C的平面角为θ，θ为锐角，∴即二面角A﹣A1B﹣C的余弦值为20．（16分）设数列{a n}满足：a n+1＝a n2﹣na n+1，n＝1，2，3，…（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4并由此猜测a n的一个通项公式；（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①a n≥n+2②．【解答】解（1）由a1＝2，得a2＝a12﹣a1+1＝3由a2＝3，得a3＝a22﹣2a2+1＝4由a3＝4，得a4＝a32﹣3a3+1＝5由此猜想a n的一个通项公式：a n＝n+1（n≥1）（2）（i）用数学归纳法证明：①当n＝1时，a1≥3＝1+2，不等式成立．②假设当n＝k时不等式成立，即a k≥k+2，那么a k+1＝a k（a k﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1＝2k+5≥k+3．也就是说，当n＝k+1时，a k+1≥（k+1）+2据①和②，对于所有n≥1，有a n≥n+2．（ii）由a n+1＝a n（a n﹣n）+1及（i）可得：对k≥2，有a k＝a k﹣1（a k﹣1﹣k+1）+1≥a k﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1＝2a k﹣1+1a k≥2k﹣1a1+2k﹣1﹣2+1＝2k﹣1（a1+1）﹣1于是，k≥2。

2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝．2．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是．3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是．4．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于．5．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的条件．6．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是．7．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝．8．（5分）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若q是p的充分而不必要条件，则m的最大值是．9．（5分）已知直线x﹣y+a＝0与圆x2+y2＝1交于A、B两点，且向量、满足，其中O为坐标原点，则实数a的值为10．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．11．（5分）直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是．12．（5分）观察等式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…由此归纳，可得到一般性的结论是．13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1＝0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1＝0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．17．（15分）函数f（x）＝的定义域为A，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a﹣1）＜0}．（1）求集合A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．18．（15分）已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z，，z﹣z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m﹣z|＝1求|m|的最值．19．（16分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y﹣6＝0，A为直线l上一点．（1）若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠P AQ的大小；（2）若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D 分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD．（1）若AC＝4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．（3）当△OCD的外接圆面积为时，求△OCD的外接圆方程．2014-2015学年江苏省扬州市邗江区高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置1．（5分）已知集合A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝{1，2，4，6}．【解答】解：∵A＝{1，2，4}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}2．（5分）命题p：∀x∈R，x2+1＞0的否定是∃x∈R，x2+1≤0．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2+1＞0”∴命题“∀x∈R，x2+1＞0”的否定是“∃x∈R，x2+1≤0”故答案为：∃x∈R，x2+1≤0．3．（5分）用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”，正确的假设是三角形的内角中至少有两个钝角．【解答】解：由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，故答案为：三角形的内角中至少有两个钝角．4．（5分）已知复数z＝（2﹣i）2，则复数z的实部等于3．【解答】解：∵z＝（2﹣i）2＝4﹣4i+（﹣1）＝3﹣4i，∴复数z的实部为3，故答案为：3．5．（5分）设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分性不必要条件．【解答】解：若a＝1，则两直线方程为x+2y﹣1＝0，和x+2y+4＝0，此时两直线平行，若两直线平行，则当a＝0时，两直线方程为2y﹣1＝0，和x+y+4＝0，此时两直线相交，不平行不满足条件．当a≠0时，若两直线方程平行，则满足，即a（a+1）＝2，即a2+a﹣2＝0，解得a＝1或a＝﹣2，此时满足条件，故“a＝1”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+4＝0平行”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．6．（5分）将演绎推理：“y＝x在（0，+∞）上是减函数”恢复成完全的三段论，其中大前提是若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数．【解答】解：“y＝log x在（0，+∞）上是增函数”写成三段论的形式，其中大前提是“若0＜a＜1，函数log a x在（0，+∞）是减函数”故答案为：若0＜a＜1，则y＝log a x在（0，+∞）上是减函数7．（5分）设i为虚数单位，则1+i+i2+i3+…+i10＝i．【解答】解：1+i+i2+i3+…+i10＝1+（i﹣1﹣i+1）+（i﹣1﹣i+1）+i﹣1＝1+i﹣1＝i，故答案为：i．8．（5分）已知p：|x﹣4|≤6，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若q是p的充分而不必要条件，则m的最大值是3．【解答】解：由p：|x﹣4|≤6，解得：﹣2≤x≤10，由q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解得：1﹣m≤x≤1+m，若q是p的充分而不必要条件，则，解得：m≤3，∴m的最大值是3，故答案为：3．9．（5分）已知直线x﹣y+a＝0与圆x2+y2＝1交于A、B两点，且向量、满足，其中O为坐标原点，则实数a的值为±1【解答】解：根据向量的平行四边形加法和减法法则可得平行四边形AOBC的对角线相等且邻边相等，即AOBC为正方形，则圆心（0，0）的直线x﹣y+a＝0的距离d＝＝cos45°＝，解得a＝±1故答案为：±110．（5分）复数z满足|z|＝|z+2+2i|，则|z﹣1+i|的最小值为．【解答】解：复数z满足|z|＝|z+2+2i|，∴复数z表示到原点O和A（﹣2，﹣2）距离相等的点，∴复数z表示的点在OA的垂直平分线x+y+2＝0上，|z﹣1+i|表示直线x+y+2＝0上的点到B（1，﹣1）的距离，故最小值为点B到直线x+y+2＝0的距离，由点到直线的距离公式可得最小值为d＝＝故答案为：11．（5分）直线y＝kx+3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是[﹣，0]．【解答】解：由圆的方程得：圆心（3，2），半径r＝2，∵圆心到直线y＝kx+3的距离d＝，|MN|≥2，∴2＝2≥2，变形得：4﹣≥3，即8k2+6k≤0，解得：﹣≤k≤0，则k的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]12．（5分）观察等式：1＝12，2+3+4＝32，3+4+5+6+7＝52，4+5+6+7+8+9+10＝72，…由此归纳，可得到一般性的结论是n+n+1+…+2n﹣1+…+3n﹣2＝（2n ﹣1）2（n∈N*）．【解答】解：由1＝12＝（2×1﹣1）2；2+3+4＝32＝（2×2﹣1）2；3+4+5+6+7＝52＝（2×3﹣1）2；4+5+6+7+8+9+10＝72＝（2×4﹣1）2；…由上边的式子，我们可以推断：n+n+1+…+2n﹣1+…+3n﹣2＝（2n﹣1）2（n∈N*）故答案为：n+n+1+…+2n﹣1+…+3n﹣2＝（2n﹣1）2（n∈N*）13．（5分）阅读程序框图设[x]表示取x的整数部分，如[5]＝5，[2.7]＝2，经过程序框图运行后输出结果为S，T，设z1＝S﹣Ti，z2＝1+i，z＝z1•z2，则|z|＝．【解答】解：当i＝1时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝3，b＝2，S＝3，T＝2，i＝2，当i＝2时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝5，b＝4，S＝8，T＝6，i＝3，当i＝3时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝7，b＝8，S＝15，T＝14，i＝4，当i＝4时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝9，b＝16，S＝24，T＝30，i＝5，当i＝5时，满足执行循环的条件，执行完循环体后，a＝11，b＝32，S＝35，T ＝62，i＝6，当i＝1时，不满足执行循环的条件，退出循环后S＝[]＝7，T＝[]＝12，故z1＝7﹣12i，z2＝1+i，∴z＝z1•z2＝19+5i，∴|z|＝＝，故答案为：14．（5分）对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：f′（x）是函数f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y＝f（x）的“拐点”．某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f（x）＝x3﹣x2+3x﹣，根据这一发现，可求得f（）+f（）+…+f（）＝2015．【解答】解：依题意，得：f′（x）＝x2﹣x+3，∴f″（x）＝2x﹣1．由f″（x）＝0，即2x﹣1＝0．∴x＝，∴f（）＝1，∴f（x）＝x3﹣x2+3x﹣的对称中心为（，1）∴f（1﹣x）+f（x）＝2，∴f（）+f（）+…+f（）＝2015，故答案为：2015．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）已知命题p：方程x2+mx+1＝0有负实数根；命题q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1＝0无实数根，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数m的取值范围．【解答】解：p：方程有负根m＝﹣＝﹣（x+）≥2；q：方程无实数根，即△＝16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，∵“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，∴p、q一真一假，当p为真q为假时，解得m≥3，当p为假q为真时，，解得1＜m＜2，∴1＜m＜2或m≥3，所以实数m的取值范围为1＜m＜2或m≥3．16．（14分）已知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3＝0，x2+（a﹣1）x+a2＝0，x2+2ax ﹣2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【解答】解：假设没有一个方程有实数根，则：16a2﹣4（3﹣4a）＜0（1）（a﹣1）2﹣4a2＜0（2）4a2+8a＜0（3）（5分）解之得：＜a＜﹣1（10分）故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是：{a|a≥﹣1或a≤}．17．（15分）函数f（x）＝的定义域为A，B＝{x|（x﹣2a）（x﹣a﹣1）＜0}．（1）求集合A；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）要使函数f（x）＝有意义，则，且x+1≠0，化为（x+1）（x﹣1）≥0，x≠﹣1，解得x＜﹣1或x≥1．∴函数f（x）的定义域为A＝[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1）（2）当2a＝a+1，即a＝1时，B＝Φ，满足B⊆A；当2a＞a+1，即a＞1时，B＝（a+1，2a）．∵B⊆A，∴a+1≥1或2a≤﹣1，解得a＞1．当2a＜a+1，即a＜1时，B＝（2a，a+1）．∵B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1，解得或a≤﹣2．综上可得：满足条件的a的取值范围为或a≤﹣2．18．（15分）已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z，，z﹣z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m﹣z|＝1求|m|的最值．【解答】解：（1）设Z＝x+yi（x，y∈R）由题意得Z2＝（x﹣y）2＝x2﹣y2+2xyi∴故（x﹣y）2＝0，∴x＝y将其代入（2）得2x2＝2，∴x＝±1故或故Z＝1+i或Z＝﹣1﹣i；（2）当Z＝1+i时，Z2＝2i，Z﹣Z2＝1﹣i所以A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1）∴当Z＝﹣1﹣i时，＝﹣2i，Z﹣Z2＝﹣1﹣3i，A（﹣1，﹣1），B（0，﹣2），C（﹣1，3）．（3）由题知，z＝1+i设m＝c+di，则m﹣z＝（c﹣1）+（d﹣1）i|m﹣z|＝1，∴（c﹣1）2+（d﹣1）2＝1则复数m在复平面内所对应的点为M的轨迹为（1，1）为圆心，1为半径的圆所以，19．（16分）已知圆M：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，直线l：x+y﹣6＝0，A为直线l上一点．（1）若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠P AQ的大小；（2）若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题知AM⊥l，即AM为M点到直线l的距离，AM＝2，…2分在直角三角形APM中，AM＝2，PM＝2，∴AP＝2∴△APM是等腰直角三角形，…5分∴∠P AM＝45°，…6分同理得∠QAM＝45°∴∠P AQ＝90°…8分（2）由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，不妨设切线为AP，AQ，则∠P AQ为60°时，∠PMQ为120°，所以MA的长度为4，故问题转化为在直线上找到一点，使它到点M的距离为4．设A（x0，6﹣x0），则∵M（1，1），∴（x0﹣1）2+（5﹣x0）2＝16∴x0＝1或5∴点A的横坐标x0的取值范围是[1，5]…16分．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，4），B（9，0），C，D 分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD．（1）若AC＝4，求直线CD的方程；（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．（3）当△OCD的外接圆面积为时，求△OCD的外接圆方程．【解答】解：（1）因为A（﹣3，4），所以OA＝5，又因为AC＝4，所以OC＝1，所以C（﹣，），…2分由BD＝4，得D（5，0），所以直线CD的斜率＝﹣，…4分所以直线CD的方程为y＝﹣（x﹣5），即x+7y﹣5＝0．…5分（2）设C（﹣3m，4m）（0＜m≤1），则OC＝5m．所以AC＝OA﹣OC＝5﹣5m，因为AC＝BD，所以OD＝OB﹣BD＝5m+4，所以D点的坐标为（5m+4，0）…6分又设△OCD的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则有…8分解之得D＝﹣（5m+4），F＝0，E＝﹣10m﹣3，所以△OCD的外接圆的方程为x2+y2﹣4x﹣3y﹣5m（x+2y）＝0，令x2+y2﹣4x﹣3y＝0，则x+2y＝0，所以（舍）或所以△OCD的外接圆恒过定点为（2，﹣1）．…12分（3）由题知外接圆面积为时半径为…13分由（2）知圆心为（，），又过定点（2，﹣1），故圆的半径为r＝＝＝即5m2+4m﹣1＝0得m＝﹣1或m＝因为0＜m≤1所以m＝此时所求圆方程为x2+y2﹣5x﹣5y＝0…16分．。

2014-2015学年江苏省扬州中学高二数学期中考试试题及答案2014年11月（注：本试卷满分160分，考试时间120分钟，请将答案写在答题纸上） 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．抛物线x y 82=的焦点坐标为 ▲ ．2．经过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为____▲_______． 3．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_____▲_____．4.已知无论k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必经过一定点，则该定点坐标为 ▲ ．5.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，则a =_____▲______．6. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是 ▲ cm.7. 如果规定：z y y x ==,，则 z x = 叫做 z y x ,, 关于相等关系具有传递性，那么空间三直线 c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是_____ ▲______.8.双曲线)0(1222>=+-m m y m x 的一条渐近线方程为x y 2=，则=m ▲ . 9．已知椭圆13422=+y x 上一点P 到左焦点的距离为25,则它到右准线的距离为 ▲ . 10． 设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； （2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的等价条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）． 11.椭圆)0(12222>>=+b a by a x ,21,F F 为椭圆的两个焦点且21,F F 到直线1=+b ya x 的距离之和为b 3，则离心率e = ▲ .12.若点B A ,在曲线)0(222>=-x y x 上，则→→∙OB OA 的最小值为 ▲ . 13.已知过点)2,(m P 作直线l 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且A 为线段PB 的中点,则m 的取值范围为 ▲ .14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率21=e ，A,B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角分别为,αβ，则cos()=cos +αβαβ-（）▲ .16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：（1）PB ∥平面AEC ；（2）平面PCD ⊥平面PAD ．17．（本小题满分15分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ABCD ⊥平面，且1AB BC CA AD CD =====． (1)求证：1BD AA ⊥;(2)在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面11D DCC ，求BE EC的值．P A BC D E(第16题图)18. （本小题满分15分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 12510022=+y x ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、)764,0(M 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为)0,8(D ．观测点)0,4(A ,)0,6(B 同时跟踪航天器． （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19. （本小题满分16分）（1）求右焦点坐标是)0,2(，且经过点)2,2(--的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,设斜率为k 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，AB的中点为M ，证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）中所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.20. （本小题满分16分）在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点为)1,0(),1,0(B A -，平面内两点M G ,同时满足：)1(G 为ABC ∆的重心；M )2(到ABC ∆三点C B A ,,的距离相等；)3(直线GM 的倾斜角为2π.（1）求证：顶点C 在定椭圆E 上，并求椭圆E 的方程；（2）设N R Q P ,,,都在曲线E 上，点)0,2(F ，直线RN PQ 与都过点F 并且相互垂直，求四边形PRQN 的面积S 的最大值和最小值.高二数学期中试卷答题纸 2014.11一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4．5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12．13． 14．三、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解：学号________ 姓名_____________…线……………内……………不……………要……………答……………题………………16．解：17．解：18．解：19.解：P A BCDE (第16题图)请将20题做在反面高二数学期中试卷参考答案 2014.111. )0,2(；2. 280x y -+=；3. 22x -2x+y =0 ；4. (2,2)； 5. 0 ；6. 4；7. 平行； 8.32； 9. 3 ； 10. （1）（2）；12. 2；13. ]5,5[-；14. 7115.解：由(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m =4时，l 1：6x +7y -5=0，l 2：6x +7y =5,即l 1与l 2重合，故舍去。

江苏省邗江中学（集团）2013-2014学年高二数学下学期期中试题 文本试卷分第Ⅰ卷(填空题)和第Ⅱ卷(解答题）两部分，满分为160分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题纸上。

2.答题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 参考公式：方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎣⎦L第Ⅰ卷 填空题 共70分一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题纸的横线上1. 已知集合{0,1,2}A =，集合{3,2,1}B =，则A B =I ▲ ．2. 若复数1a ii-+为实数(i 为虚数单位)，则实数a = ▲ ． 3. 已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别为9，10，8，10，8，则该组数据的方差为 ▲ ． 4.函数()f x =的定义域为 ▲ ．5. 若将一枚硬币连续抛掷两次，则“至少出现一次正面向上”的概率为 ▲ ．6. 已知函数2,0()2,0xx x f x x ⎧-≥=⎨<⎩，则[(1)]f f -= ▲ ． 7. 如图所示是一个算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果为 ▲ ． 8. 二次函数2()2f x x ax b =-+-的图像与x 轴的交点为(1,0)-和(3,0)， 则函数()f x 的最大值为 ▲ ． 9. 若命题“0x ∀>，91x t x +≥+”为真，则实数t 的取值范围为 ▲ ． 10. 函数()(1)x f x x e =+⋅在区间(,)a -∞上为减函数，则实数a 的最大值为 ▲ ．11. 已知平行于x 轴的直线与函数3xy =及函数3(0)xy k k =⋅>的图像分别交于A 、B 两点， 若A 、B 两点之间的距离为1，则实数k 的值为 ▲ ．12. 给出下列数组:(1),(1,2),(1,2,1),(1,2,1,2),(1,2,1,2,1),(1,2,1,2,1,2),L L 按照此规律60 15 1Pr int n s While s s s n n n End While n←←<←+←-进行下去.记第n 个( )中各数的和为()()f n n N *∈，则()(1)f n f n ++= ▲ ．13. 已知函数2()2f x x a x =--是定义在R 上的偶函数，若方程()f x m =恰有两个实根， 则实数m 的取值范围是 ▲ ．14. 关于x 的不等式22)12(ax x <-的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围为 ▲ ．第Ⅱ卷 解答题 共90分16.已知()log ,()log (2),(0,1)a a f x x g x x a a ==->≠， (1)若(4)2f <，求a 的取值范围；(2)若1a >，设()()()h x f x g x =+，求()h x 的定义域和值域.17.已知(1,),(2,)M m N n -是二次函数2()(0)f x ax a =>图像上两点，且32MN =. (1)求a 的值；(2)求()f x 的图像在N 点处切线的方程；(2)设直线x t =与()f x 和曲线ln y x =的图像分别交于点P 、Q ，求PQ 的最小值.18.在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()(1)()Mf x f x f x =+-. 某造船厂每年最多造船20艘，造船x 台()x N *∈的产值函数23()37004510R x x x x =+-（单位:万元），其成本函数()460500C x x =+（单位:万元），利润是产值与成本之差. (1)求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ； (2)该造船厂每年造船多少艘，可使年利润最大？(3)有人认为“当利润()P x 最大时，边际利润()MP x 也最大”，这种说法对不对？说明理由.19.已知定义在R 上的函数()41x b f x a =-+的图像过点11(,)23和3(1,)5. (1)求常数,a b 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (3)解不等式(23)(1)0f x f x -+-<.20.对于定义在区间D 上的函数()f x ，若任给0x D ∈，均有0()f x D ∈，则称函数()f x 在区间D 上封闭.(1)试判断()21f x x =-在区间[0,1]上是否封闭，并说明理由； (2)若函数2()2x mg x x +=+在区间[2,9]上封闭，求实数m 的取值范围； (3)若函数3()3h x x x =-在区间[,](,)a b a b Z ∈上封闭，求,a b 的值.江苏省邗江中学（集团）2013—2014学年度第二学期高二数学（文科）期中试卷答案与评分细则二、解答题（本大题共6小题，共90分）15. 解:(1) 由题意[2,4]A = …………………………………………2分又∵[1,3]B =-，则(,1)(3,)R C B =-∞-+∞U ………………………4分 ∴(3,4]R A C B =I …………………………………………7分 (2) 由题意可知:A B ⊆ …………………………………………9分 ∴实数a 满足:244a a ≤⎧⎨+≥⎩ …………………………………………12分解得02a ≤≤ …………………………………………14分16. 解:(1)由(4)2f <得:log 42a <若1a >，则24a >，解得:2a > …………………………3分 若01a <<，则24a <，解得: 01a << …………………………6分 综上所述: 2a >或01a << …………………………7分(2) 2()log log (2)log (2)a a a h x x x x x =+-=-+,()1a >则020x x >⎧⎨->⎩，解得:02x << …………………………10分∴22(0,1]x x -+∈∴()(,0]h x ∈-∞ …………………………13分 ∴()h x 的定义域为(0,2)，值域为(,0]-∞ …………………………14分17. 解:(1)由题意得:40m a n a a =⎧⎪=⎪=>⎩1a =…………………………3分(2)由(1)可得:2()f x x =，(2,4)N∴()2f x x '=，则()f x 的图像在N 点处切线的斜率为4∴()f x 的图像在N 点处切线的方程为44y x =- …………………………6分 (3)由题意可得: 2ln ,0PQ t t t =-> …………………………7分 令2()ln ,0g t t t t =->2(122()2,0t t g t t t tt+-'=-=> …………………………9分∴当(0,()0,()2t g t g t '∈<单调减；当(),()0,()2t g t g t '∈+∞>单调增. …………………………11分∴11()ln 222g t g ≥=+ …………………………13分 ∴PQ 的最小值为11ln 222+ …………………………14分 18. 解:(1)由题意:()()()P x R x C x =-3210453240500x x x =-++-，20,x x N *≤∈…………………………2分2()(1)()30603275MP x P x P x x x =+-=-++,20,x x N *≤∈………………4分（缺少自变量范围，酌情扣分）(2)2()3090324030(9)(12)P x x x x x '=-++=-+- ……………………6分 当112x ≤<时，()0P x '>，()P x 递增；当1220x <≤时，()0P x '<，()P x 递减； ……………………9分 ∴当12x =时，利润()P x 最大.19. 解:(1)由题意得:133355b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得: 12a b =⎧⎨=⎩ …………………2分(2) 由2()1,41x f x x R =-∈+得: 224()114141x xx f x -⋅-=-=-++ 则2242(41)()()1120414141x x xx x f x f x ⋅++-=-+-=-=+++ …………………5分 ∴()()f x f x =--，即()f x 为奇函数. …………………6分 (3) 2()1,41xf x x R =-∈+ ∵41x +在R 上递增，则241x +在R 上递减 ∴2()141x f x =-+在R 上递增. …………………10分 不等式(23)(1)0f x f x -+-<可化为: (23)(1)f x f x -<-- 又∵()f x 为奇函数.∴原不等式即(23)(1)f x f x -<- …………………13分 根据单调性可知231x x -<-，即2x <∴不等式(23)(1)0f x f x -+-<的解为2x <. …………………16分 (单调性也可用定义法证明)20. 解:(1)()21f x x =-在区间[0,1]上单调递增,所以()f x 的值域为[1,1]-………………2分而[1,1][0,1]-⊄,所以()f x 在区间[0,1]上不是封闭的 ……………………3分 (2)因为24()222x m m g x x x +-==+++, ①当4m =时,函数()g x 的值域为{}2[2,9]⊆,适合题意 ……………………4分②当4m >时,函数()g x 在区间[2,9]上单调递减, ()g x 的值域为184[,]114m m++, 由184[,]114m m ++[2,9]⊆,得18211494mm +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩,解得432m ≤≤ ∴432m ≤≤ ……………………6分 ③当4m <时,在区间[2,9]上有24()2222x m m g x x x +-==+<++ 显然不合题意 …………………7分综上所述, 实数m 的取值范围是432m ≤≤ …………………………8分(3)因为3()3h x x x =-,所以()3(1)(1)h x x x '=+-,所以()h x 在(,1),(1,)-∞-+∞上递增,在(1,1)-上递减. …………………………9分①当1a b <≤-时,()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b≥⎧⎨≤⎩,即212a b -≤≤-⎧⎨≤-⎩，显然,a b 无解… ……………………………………………10分②当1a ≤-且11b -<≤时,max ()(1)2h x h b =-=>,不合题意 ……………11分 ③当1a ≤-且1b >时,因为(1)2,(1)2h h -==-都在函数的值域内, ∴2,2a b ≤-≥,又()()h a a h b b ≥⎧⎨≤⎩，即3444a a b b⎧≥⎨≤⎩，解得: 2222a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩ ∴2,2a b =-= ……………………………12分④当11a b -≤<≤时,()h x 在区间[,]a b 上递减，则()()h b ah a b≥⎧⎨≤⎩∵,a b Z ∈,经验证,均不合题意 ……………………………13分 ⑤当11a -<≤且1b >时,min ()(1)2h x h a ==-<∴此情况不合题意 ……………………………14分 ⑥当1b a >≥时, ()h x 在区间[,]a b 上递增,所以()()h a ah b b≥⎧⎨≤⎩,。

江苏省邗江中学2014-2015学年度第二学期高二数学期中试卷（理科实验班）一、填空题：1．已知i 是虚数单位，则21i i=+ ▲ .2．空间两点(1,2,1)A -，(4,3,1)B 之间的距离是 ▲ ．3．用反证法证明命题“如果a>b___▲____． 4．已知i i =1，12-=i ，i i -=3，14=i ，i i =5，由此可猜想2015i=_____▲___.5．在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为f(m ，n )，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(0，3) = ▲ .6．已知矩阵A －1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201，B －1 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，则 (AB)－1= ▲ .7．随机变量ξ的概率分布列为()1cP k k ξ==+（k ＝0，1，2，3），则(2)P ξ== ▲ ． 8．设f(n)＝1＋111123431n +++⋯++(n ∈N *)，则f(k ＋1)－f(k)＝___▲_____. 9．已知复数(,),|2|yz x yi x y R z x=+∈-=则的最大值为____▲____.10．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，则直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值为 ▲ ．11．任意确定四个日期，其中至少有两个是星期天的概率为___▲__．（请用数字作答！） 12．设O 是坐标原点，AB 是圆锥曲线的一条不经过点O 且不垂直于坐标轴的弦，M 是弦AB 的中点，OM AB k k ，分别表示直线AB,OM 的斜率。

在圆222r y x =+中，1-.=OM AB k k ，在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，类比上述结论可得 ▲ . 13．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果女生甲不能排在第一个, 且2位男生不能连着出场，那么出场顺序的排法种数为 ▲ . （请用数字作答！） 14．若9290129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值是__▲___．二、解答题：15．已知z 是复数，若i z 2+为实数（i 为虚数单位），且4-z 为纯虚数． （1）求复数z ；（2）若复数()2mi z +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围16．二阶矩阵M 对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）．（Ⅰ）求矩阵M ；（Ⅱ）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y=4，求l 的方程17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知1CA CB ==，12AA =，o 90BCA ∠=．请建立合适的空间直角坐标系，解决以下问题： （1）求异面直线1BA 与1CB 夹角的余弦值； （2）求二面角1B AB C --平面角的余弦值． 18．已知2111,3n n n a a na a +=-+=. （1）求2345,,,a a a a 的值；（2）判断n a 与2n +的关系，并用数学归纳法证明。

2014-2015学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．(★★★★)若全集U=R，集合M={x|x 2-x≥0}，则集合∁U M= （0，1）．2．(★★★★)已知幂函数f（x）过点（2，），则f（4）的值为．3．(★★★)若函数f（x+1）=x 2-2x+1，则函数f（x）的解析式为 f（x）=（x-2）2．24．(★★★)已知函数若f（f（0））=4a，则实数a= 2 ． 5．(★★★★)函数的值域为（0，1）．6．(★★★★)由下列各式：，…，归纳第n个式子应是．7．(★★★★)设z= ，则z的共轭复数是 1-3i ．8．(★★★)函数y=2x+log 2x-6的零点所在的区间是（，），则正整数k的值为4 ．9．(★★★★)定义在R上的函数f（x）为最小正周期是6的周期函数，当-3≤x＜-1时，f （x）=-（x+2）2；当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2014）=337 ．10．(★★★★)已知a=log 510，b=log 36，c=log 714，则a，b，c按照由小到大的顺序排列为 c＜a＜b ．11．(★★)已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=x 2-4x（x＞0），则不等式f（x）＞x的解集是（-5，0）∪（5，+∞）．12．(★★)下列命题正确的序号是①③①命题“若a＞b，则2 a＞2 b”的否命题是真命题；②若命题p：“＞0”，则；￢p：“≤0”；③若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；④方程ax 2+x+a=0有唯一解的充要条件是a=±．13．(★★)已知函数f（x）=a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4（a 0，a 1，a 2，a 3，a 4∈R，且a 0≠0）的四个零点构成公差为d的等差数列，则f′（x）的所有零点中最大值与最小值之差为|d| ．14．(★★)已知λ（x）=ax 3+x 2-ax（a≠0），若存在实数a∈（-∞，- ，使得函数μ（x）=λ（x）+λ′（x），x∈-1，b在x=-1处取得最小值，则实数b的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．(★★★)记函数f（x）= 的定义域为A，函数g（x）=lg（x-a-1）（2a-x）（a＜1）的定义域为B（1）求A、B；（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．16．(★★★)设命题p：函数f（x）=lg 的定义域是R；命题q：不等式3 x-9 x＜a对一切正实数x均成立．（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．17．(★★★)如图，有一块四边形BCED绿化区域，其中∠C=∠D=90o，，CE=DE=1，现准备经过DB上一点P和EC上一点Q铺设水管PQ，且PQ将四边形BCED分成面积相等的两部分，设DP=x，EQ=y．（1）求x，y的关系式；（2）求水管PQ的长的最小值．18．(★★★)已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，使得对任意的实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立．（1）证明：f（x）=x 2不属于集合M；（2）设f（x）∈M，且T=2．已知当1＜x＜2时，f（x）=x+lnx，求当-3＜x＜-2时，f（x）的解析式．19．(★★★)已知函数f（x）=log 2（4 x+1）+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）设函数，其中a＞0．若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个交点，求a的取值范围．20．(★★)已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax 2+bx，函数g（x）的图象在点（1，g （1））处的切线平行于x轴．（1）确定a与b的关系；（2）若a≥0，试讨论函数g（x）的单调性；（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），（x 1＜x 2），证明：．。

扬州市邗江区2013—2014学年度第二学期期中抽测高二数学试题（理科） 2014.04一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置上） 1．设i 是虚数单位,复数i z -=1的虚部为 ▲ .2．用反证法证明“已知a 、b 是正整数，若b a ⋅是偶数，则a 、b 中至少有一个是偶数”，那么假设的内容是 ▲ ． 3．设23-=a ，56-=b ，则a ，b 的大小关系为 ▲ .4．已知),1,2(),1,1,1(),1,0,1(λ==-=，若,,a b c 共面，则实数λ 的值为 ▲ . 5．已知)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2垂直，则k 的值为 ▲ .6．若2161216+-=x x C C ，则=x ▲ . 7．从5名志愿者中选出4人分别从事A 、B 、C 、D 四项不同的工作，每人承担一项，其中甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有 ▲ 种． 8．6)21(x +的展开式中4x 的系数是 ▲ .9．一条直线与矩形ABCD 中过顶点A 的相邻两边相交得到线段EF ，我们知道有结论：222AF AE EF +=。

类比此性质，一个平面与长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中过顶点A 的相邻三个面相交，得到三角形EFG ，请你写一个正确的结论： ▲ ．10．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品进行一一检测，直到检出所有次品为止，若所有次品恰好经过五次检测被全部检出，则这样的检测方法有 ▲ 种．11．已知二面角α－l －β，点A ∈α，AC ⊥l ，C 为垂足，点B ∈β，BD ⊥l ，D 为垂足．若AB =2, AC ＝CD =BD ＝1，则二面角α－l －β的大小为 ▲ ． 12．如图，若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为 ▲ ． 13．已知1010221052)1(x a x a x a a x ++++=+ ．其中i a (0,1,2,,10i =⋅⋅⋅)为实常数，则103211032a a a a ++++ = ▲ ．14．请阅读下列材料：若两个正实数12,a a 满足22121a a +=，那么12a a +≤证明：构造函数2221212()()()22()1f x x a x a x a a x =-+-=-++，因为对一切实数x ，恒有()0f x ≥，所以0∆≤，从而得2124()80a a +-≤，所以12a a +≤若n 个正实数满足222121n a a a ++⋅⋅⋅+=时，你能得到的结论为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指．．．．定区域内．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．(本小题满分14分) 是否存在实数a ，使得等式)2)(1()1(3221++=+⋅++⋅+⋅n n an n n 对一切正整数n 都成立，若存在，求出a 的值,并证明你的结论；若不存在，说明理由． 16．(本小题满分14分)已知nxx )21(+的展开式中前三项的系数成等差数列． （1）求n 的值； （2）求展开式中常数项． 17．(本小题满分14分)设)0(≠+=b bi a z ，求满足R zz ∈+1且2|1|=-z 的复数z ． 18．(本小题满分16分) 如图，在棱长为1的正方体A 1C 中，E 、F 分别为1CC 和11A B 的中点．（1）求证：BF DE ⊥：（2）求平面1ACC 与平面1BFC 所成的锐二面角大小：19．(本小题满分16分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中（A 为空间直角坐标系原点），顶点1A 在底面ABC 上的射影恰为点B ，且2==AC AB ,侧棱1AA 与BC 所成的角为60° （1）求B A 1长度；（2）在棱11B C 上确定一点P，使AP =20．(本小题满分16分)已知数列}{n a 满足),(12121*21N n na a a n n n ∈+-=+且.31=a （1）计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式，并给出证明；（2）求证：当2≥n 时，.4n nn n a ≥C Z扬州市邗江区2013—2014学年度第二学期期中抽测高二数学试题（理科）1．1- 2．a 、b 都是奇数 3．b a > 4．05．576．3或5 7．72 8．240 9．2222AG EAFG AEF EFG S S S S ∆∆∆∆++= 10．480 11．32π 12．3 13．160 14．n a a a n ≤+++ 2115．取1=n ，则2=6a ，所以31=a ………………………4分 证明：（1）1=n 时，等式成立。

扬州市邗江区2013—2014学年度第二学期期中抽测高二数学试题（文科） 2014.04一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．1.写出命题“0,02><∃x x ”的否定： ▲ .2.设全集{}{}{}()====B A C B A U U U ,3,1,4,3,0,4,3,2,1,0 ▲ .3.设复数z i a a )1()1(2++-=是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值是 ▲ .4．直线04)2(=+--y m x 的倾斜角为4π，则m 的值是 ▲ . 5. “1-=m ”是直线06:1=++my x l 与直线023)2(:2=++-m y x m l 平行的▲ 条件.（在“充要”“充分不必要”、“必要不充分”中选一个）６. 已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为 ▲ .７.观察下列不等式：,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+…… 照此规律，第五个不等式为 ▲ .８. 已知直线,32:1+=x y l 直线2l 与 1l 关于直线x y =对称，则直线 2l 的斜率为 ▲ . 9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则4841281612,,,S S S S S S S ---成等差数列，类比上述结论有：设等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，则 ▲ 成等比数列.10．若圆8)()(22=-+-a y a x 上总有两个点到原点的距离为2，则正数a 的取值范围是 ▲ .11．已知过点（2,5）的直线l 被圆C ：04222=--+y x y x 截得的弦长为4，则直线l 的方程为 ▲ .12．),(y x P 在圆C ：1)4()3(22=-+-y x 上移动，则22y x +的最小值为 ▲ . 13. 若过点)2,1(总可作两条直线与圆0152222=-++++k y kx y x 相切，则实数k 的取值范围是 ▲ .14. 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C ：0654)26(222=-+---+m m my x m y x ，直线l 经过点)0,1(，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)已知集合}22|{a x a x A +≤≤-=，}07124|{2≤-+=x x x B ，若A ∩B =B 求实数a 的取值范围．16.（本小题满分14分）已知复数112i z =-，234i z =+，i 为虚数单位．（1）若复数12z az +对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围；（2）若1212z z z z z -=+，求z 的共轭复数z ．17．(本小题满分14分)一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为()f n ．① ② ③（1）求出()2f ，()3f ，()4f ，()5f 的值；（2）利用归纳推理，归纳出()1f n +与()f n 的关系式；（3）猜想()f n 的表达式（不要求证明）．18．（本小题满分16分）如图，在矩形ABCD 中，已知3,,AB AD E F =为AB 的两个三等分点，,AC DF 交于点G（1）建立适当的平面直角坐标系，证明：EG DF ⊥（2）设点E 关于直线AC 的对称点为E '，问点E '是否在直线DF上，并说明理由19.（本小题满分16分）平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与y x ,轴分别交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；20.(本小题满分 16分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线02934=-+y x 相切（1）求圆的方程；（2）设直线)0(05>=+-a y ax 与圆相交于B A ,两点，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点)4,2(-P ，若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由。

2014-2015学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.若复数z=i（2-z），则z= ______ ．【答案】1+i【解析】解：复数z=i（2-z），则z===1+i．故答案为：1+i．化简已知条件，利用复数的除法的运算法则化简求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1），在验证n=1时，左端计算所得的项为______ ．【答案】1+a+a2【解析】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a2首先分析题目已知用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题．3.已知f1（x）=sinx+cosx，且f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n（x）=f n-1′（x），…（n∈N*，n≥2），则f1（）+f2（）+…+f2015（）= ______ ．【答案】【解析】解：f2（x）=f1′（x）=cosx-sinx，f3（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，f4（x）=-cosx+sinx，f5（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出f n（x）=f n+4（x）又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0，∴f1（）+f2（）+…+f2015（）=f1（）+f2（）+f3（）=-f4（）=cos-sin=0，故答案为：0．利用三角函数求导法则求出f2（x）、f3（x）、f4（x），…观察所求的结果，归纳其中的规律，发现标号的周期性为4，再将代入，每四项的和是一个常数，即可求得正确答案．本题考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，属于基础题．熟练掌握三角函数的求导法则，利用其中的函数周期性则解决本题的关键．4.已知三棱锥O-ABC，点G是△ABC的重心．设=，=，=，那么向量用基底{，，}可以表示为______ ．【答案】++【解析】解：如图所示，三棱锥O-ABC中，点G是△ABC的重心，=，=，=，∴=-=-，=-=-，∴=（+）=（-+-）=（+-2），∴==（+-2）；∴=+=+（+-2）=++．故答案为：++．画出图形，结合图形，利用向量的加法与减法的几何意义，用、、表示出、以及的值，再求出．本题考查了空间向量的加法与减法运算的应用问题，解题时应画出图形，利用图形解答问题，是基础题目．5.将3名男生和4名女生排成一行，甲、乙两人必须站在两头，则不同的排列方法共有______ 种．（用数字作答）【答案】240【解析】解：甲、乙两人必须站在两头，有=2种方法，其余5人站在中间，有=120种方法，根据乘法原理可得，不同的排列方法共有2×120=240种方法．故答案为：240．甲、乙两人必须站在两头，有=2种方法，其余5人站在中间，有=120种方法，根据乘法原理可得结论．乘法原理去考虑问题；即做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有M1种不同的方法，做第二步有M2种不同的方法，…，做第n步有M n种不同的方法，那么完成这件事就有M1×M2×…×M n种不同的方法．6.某医院有内科医生5名，外科医生6名，现要派4名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有______ 种选法（用数字作答）．【答案】310【解析】解：由题意，所有的选法共有C114种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法．故满足条件的选法共有C114-C54-C64=310（种）．故答案为：310．所有的选法共有C114种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法，运算求得结果．本题考查组合知识，考查学生的计算能力，属于基础题．7.一种报警器的可靠性为90%，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到______ ．【答案】0.99【解析】解：两个报警器都不可靠的概率为（1-90%）（1-90%）=0.01，故两个报警器至少一个可靠的概率1-0.1=0.99，故将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到，0.99，故答案为0.99．两个报警器都不可靠的概率为（1-90%）（1-90%）=0.01，故两个报警器至少一个可靠的概率1-0.1=0.99，从而得到答案．本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．8.用数学归纳法证明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n=k（k＞1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是______ ．【答案】2k【解析】解：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n=k，末项为到n=k+1，末项为，∴应增加的项数为2k．故答案为2k．观察不等式左侧的特点，分母数字逐渐增加1，末项为，然后判断n=k+1时增加的项数即可．本题是基础题，考查数学归纳法证明问题的第二步，项数增加多少问题，注意表达式的形式特点，找出规律是关键．9.若|z-i|=1，则|z|最大值为______ ．【答案】2【解析】解：|z-i|=1，表示复数复平面内的点到（0，1）的距离为1的轨迹．所以|z|最大值为2；故答案为：2直接利用复数模的几何意义，结合图象求出|z|最大值．本题是基础题，考查复数的模的最值的求法，考查计算能力．常考题型．10.边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数为______ ．【答案】36【解析】解：设较小两边长为x，y，且x≤y，则＞＜，，作可行域易知，当x=1时，y=11；当x=2时，y=10或11；…，当x=11时，y=11．所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故答案为36．先设出较小两边长为x，y，并利用三角形三边关系找到所满足的约束条件，画出可行域，在可行域内找整点即可．本题主要考查线性规划的应用．本题的易错点在于：一是约束条件找不完整；二是分类是易漏某些特殊点．11.（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为______ ．【答案】55【解析】解：（x+1）（2x+1）（3x+1）…（10x+1）展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10==55，故答案为：55．展开式中x的一次项系数为每个括号中x的系数与其它括号中的常数项1相乘得到的结果，故x的一次项系数为1+2+3+4+…+10，运算求得结果．本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．12.已知-=，则C8m= ______ ．【答案】28【解析】解：根据组合数公式，原方程可化为：-=×，即1-=×；化简可得m2-23m+42=0，解可得m=2或m=21（不符合组合数的定义，舍去）则m=2；∴C8m=C82=28；故答案为28．根据组合数公式，将原方程化为-=×，进而可化简为m2-23m+42=0，解可得m的值，将m的值代入C8m中，计算可得答案．本题考查组合数公式，解题的关键在于牢记组合数公式．13.已知关于实数x，y的方程组没有实数解，则实数k，d的取值范围为______ ．【答案】k=-1，d＜0或d＞2【解析】解：法一：将y=kx+d代入x3+y3=2得：x3+（kx+d）3-2=0无解，展开得：（1+k3）x3+3k2dx2+3kd2x+d3-2=0，若k≠-1，则这是三次方程，至少有一个实根，不符题意；若k=-1，方程化为：3dx2-3d2x+d3-2=0，若d=0，则方程化为-2=0，矛盾；若d≠0，这是二次方程，无解则判别式＜0，得：（3d2）2-4*3d（d3-2）＜0，即：d（-d3+8）＜0，得d＞2或d＜0．综合得：k=-1，d＜0或d＞2．法二关于实数x，y的方程组没有实数解，也就是没有实数解，在平面直角坐标系中，画出两个函数的图象如图：可知：两个函数没有交点，k=-1，d＜0或d＞2．故答案为：k=-1，d＜0或d＞2．法一：消去y后，化简方程，利用方程的解的情况，讨论求解即可．法二：转化方程组的两个方程为函数图象的交点问题，作出函数的图象，求解即可．本题考查函数的图象的作法，考查转化思想以及计算能力，是难度比较大的题目．14.设α，β是关于x的方程x2+2x+m=0（m∈R）的两个根，则|α|+|β|的值为______ ．【答案】，，＜．【解析】解：∵α，β是关于x的方程x2+2x+m=0（m∈R）的两个根，则△=22-4m≥0，解得m≤1，且α+β=-2，αβ=m．当m=1时，α=β=-1，此时|α|+|β|=2；当m＜1时，不妨设α＜β，若0≤m＜1，则α＜0，β≤0，则|α|+|β|=-α-β=-（α+β）=-（-2）=2；若m＜0，则α＜0，β＞0，且|α|＞|β|，∴|α|+|β|=-α+β=-（α-β）====2．综上，当0≤m≤1时，|α|+|β|=2；当m＜0时，|α|+|β|=2，故答案为：，，＜．由方程x2+2x+m=0（m∈R）有两个根得到m的范围，然后分类把|α|+|β|中的绝对值去掉，然后结合根与系数的关系得答案．本题考查了函数零点与方程的根的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．二、解答题(本大题共6小题，共90.0分)15.用数学归纳法证明等式：12-22+32-42+…+（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）（n∈N*）【答案】证明：（1）当n=1时，左边=12-22=-3，右边=-1×（2+1）=-3，故左边=右边，∴当n=1时，等式成立；（2）假设n=k（k∈N）时，等式成立，即12-22+32-…+（2k-1）2-（2k）2=-k（2k+1）成立，那么n=k+1时，左边=12-22+32-…+（2k+1）2-（2k+2）2=（k+1）（-2k-3）=-（k+1）[2（k+1）+1]综合（1）、（2）可知等式12-22+32-42++（2n-1）2-（2n）2=-n（2n+1）对于任意正整数都成立．【解析】用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n0时命题成立，第二步假设当n=k 时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论，否则会导致错误．本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是要用上归纳假设．属于基础题．16.设z是虚数，ω=z+是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值；（2）求z的实部的取值范围．【答案】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R且b≠0），则ω=z+=a+bi+=（a+）+（b-）i，∵ω=z+是实数，∴b-=0，∵b≠0，∴，即a2+b2=1，则|z|=1．（2）∵a2+b2=1，∴ω=2a，由-1＜ω＜2得-1＜2a＜2，得-＜ω＜1．【解析】（1）根据复数的模长公式即可求|z|的值；（2）根据ω的取值范围即可求z的实部的取值范围．本题主要考查复数的基本运算和复数的有关概念，比较基础．17.如图，四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，点F是PB的中点，点E是边BC上的任意一点．（1）求证：AF⊥EF；（2）求二面角A-PC-B的平面角的正弦值．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，△PAB与△PAD均是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA⊥AD，PA⊥AB，又AD∩AB=A，AB⊥BC，∴PA⊥平面ABCD，又BC⊂面ABCD，∴PA⊥BC，∵AB∩PA=A，∴BC⊥面PAB，∴BC⊥AF，∵△PAB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，F是PB中点，∴AF⊥PB，又PB∩BC=B，∴AF⊥平面PBC，∵EF⊂平面PBC，∴AF⊥EF．（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），P（0，0，1），=（0，0，1），=（1，1，0），设平面APC的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-1，0），=（0，1，-1），=（1，1，-1），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），|cos＜，＞|=||=，∴＜，＞=60°，又sin60°=，∴二面角A-PC-B的平面角的正弦值为．【解析】（1）由已知得PA⊥AD，PA⊥AB，AB⊥BC，从而PA⊥BC，进而BC⊥面PAB，又AF⊥PB，由此能证明AF⊥EF．（2）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，P为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PC-B的平面角的正弦值．本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．18.设函数f（x，n）=（1+x）n，（n∈N*）．（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）若f（i，n）=32i（i为虚数单位），求C-C+C-C+C．【答案】解：（1）展开式中系数最大的项是第4项==20x3；…5′（2）由已知，（1+i）n=32i，两边取模，得=32，所以n=10．所以C-C+C-C+C=，而（1+x）10=（+（）i=32i 所以=32．（1）展开式中系数最大的项是第4项；（2）（1+i）n=32i，两边取模，求出n，利用（1+x）10=（+（）i=32i，可得结论．本题考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查复数的运算，属于中档题．19.电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．（1）直接写出跳两步跳到C的概率P；（2）求跳三步跳到C1的概率P1；（3）青蛙跳五步，用X表示跳到过C1的次数，求随机变量X的概率分布．【答案】解：将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推．从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为．（1）P=×=；…4′（2）P=P（0123）=1××=；…10′（3）X=0，1，2．P（X=1）=P（010123）+P（012123）+P（012321）=1××1××+1××××+1×××1×=，P（X=2）=P（012323）=1+1×××1×=，P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=或P（X=0）=P（010101）+P（010121）+P（012101）+P（012121）=1×××1+1××1××+×1+1×××=，【解析】（1）将A标示为0，A1、B、D标示为1，B1、C、D1标示为2，C1标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B1再跳到A1记为121，其余类推．（2）由已知条件从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为，从1到2与从2到1的概率为．由此能求出跳三步跳到C1的概率．（3）由题设知X=0，1，2．分别求出P（X=1），P（X=2），P（X=0），由此能求出X 的分布列和E（X）．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．20.设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①f（x）的定义域为R；②方程f（x）-x=0有实数根；③函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．（1）判断函数f（x）=+是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）证明：方程f（x）-x=0只有一个实数根；（3）证明：对于任意的x1，x2，x3，当|x2-x1|＜1且|x3-x1|＜1时，|f（x3）-f（x2）|＜2．【答案】解：（1）函数f（x）=+的定义域为R，方程f（x）-x=0，即为sinx=2x，显然x=0成立；f′（x）=+cosx∈[，]⊆（0，1），即有函数f（x）=+满足条件①②③，因此f（x）∈M；（2）证明：假设f（x）-x=0存在两个实根α，β（α≠β），则f（α）-α=0，f（β）-β=0，不妨设α＜β，∵f′（x）＜1，∴函数f（x）-x为减函数，∴f（α）-α＞f（β）-β，矛盾．所以方程f（x）-x=0只有一个实数根，（3）证明：不妨设x2＜x3，∵f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，∴f（x2）＜f（x3），又∵f′（x）＜1，∴函数y=f（x）-x为减函数，∴f（x2）-x2＞f（x3）-x3，∴0＜f（x3）-f（x2）＜x3-x2，即|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|，∴|f（x3）-f（x2）|＜|x3-x2|=|x3-x1-（x2-x1）|≤|x3-x1|+|x2-x1|＜2．【解析】（1）对函数f（x）=+，求得定义域，解方程可得x=0，求得导数，由cosx的值域，即可判断；（2）运用反证法，考查函数f（x）-x为减函数，即可得证；（3）不妨设x2＜x3，由f′（x）＞0，可得f（x）为增函数，即有f（x2）＜f（x3），又f′（x）＜1可得函数f（x）-x为减函数，结合极大值不等式的性质，即可得证．本题考查新定义的理解和运用，主要考查反证法和函数的单调性的运用，属于中档题．高中数学试卷第11页，共11页。