湖南省长沙市长郡中学2018-2019学年度高二第一学期期中考试数学(理科)试题及答案

2018-2019学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分. 1.（3分）已知集合{}1,1A =-，{}1B x mx ==，且A B A =，则m 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.1或1-或02.（3分）下列命题中正确的是（ ） A.第一象限角必是锐角 B.终边相同的角相等C.相等的角终边必相同D.不相等的角其终边必不相同3.（3分）已知函数()3xg x t =+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ） A.–1t ≤B.1t <-C.3t ≤-D.3t ≥-4.（3分）等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 前9项的和9S 等于（ ） A.99B.66C.144D.2975.（3分）如图，该程序运行后输出的结果为（ ）A.7B.15C.31D.636.（3分）下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行； （2）平行于同一平面的两个平面平行； （3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有（ ） A.1B.2C.3D.47.（3分）如图所示，在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点，若6CD =，3AB =，EF BA ⊥，则EF 与CD 所成的角为（ ）A.90︒B.45︒C.60︒D.30︒8.（3分）函数tan 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A.242,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B.52,233k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C.244,433k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.5,33k Z k k ππππ⎛⎫+⎪⎭-∈⎝9.（3分）若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线():sin 06C y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ） A.17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D.410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 10.（3分）直线:20l ax y a +--=在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是（ ） A.1B.1-C.2-或1-D.2-或111.（3分）在ABC △中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()22b c b c =+，若a =7cos 8A =，则ABC △的面积等于（ ）D.3 12.（3分）若函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A.()0,1B.()–1,0C.(),0-∞D.()(),01,-∞+∞13.（3分）已知圆()()22:4325T x y -+-=，过圆T 内定点()2,1P 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 面积最大值为（ ）A.21B. C.212D.4214.（3分）设a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列，则（ ） A.a ，b ，c 依次成等差数列 B.2a ，2b ，2c 依次成等差数列D.2a ，2b ，2c 依次成等比数列15.（3分）已知函数()ln 1f x x =-，()223g x x x =-++，用{},min m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()()(){}min ,h x f x g x =，则函数()h x 的零点个数为（ ） A.1B.2C.3D.416.（理科选做）已知函数()1f x x =-，关于x 的方程()()20f x f x k -+=，下列四个结论中正确的有（ ）①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分. 17.（3分）sin15cos15︒+︒=________.18.（3分）已知()12log 11x +≥，则实数x 的取值范围是________.19.（3分）已知圆内接四边形ABCD 的边1AB =，3BC =，2CD DA ==，则BD 的长为________.20.（3分）已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________.21.（3分）（文科选做）已知动直线l 与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，且满足2AB =，点C 为直线l 上一点，若M 是线段AB 的中点，则OM OC ⋅=________.22.（理科选做）如图，在Rt ABC △中，2AB =，60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，G 是ABC △的重心.则GB GC ⋅=________.三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分.23.（8分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点，（Ⅰ）证明：平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，求三棱锥F AEC -的体积.24.（8分）等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25.（8分）过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =.（1）求γ的值；（2）设P 是圆C 上位于第一象限内的任意一点，过点P 作圆C 的切线l ，且l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，设OM OA OB =+求OM 的最小值（O 为坐标原点）26.（8分）如图，1l ，2l ，3l 是同一平面内的三条平行直线， 1l 与2l 之间的距离是1，2l 与3l 之间的距离是2，三角形ABC 的三个顶点分别在1l ，2l ，3l 上.（1）若ABC △为正三角形，求其边长；（2）若ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形，求其面积的最小值. 27.（8分）已知函数()3xf x =，()3g x x a =+-，其中a R ∈.（Ⅰ）若函数()()h x f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于直线2x =对称，求a 的值； （Ⅱ）给出函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数，并说明理由.参考答案1.【分析】利用A B A B A =⇒⊆，写出A 的子集，求出各个子集对应的m 的值.【解答】解：∵AB A =∴B A ⊆∴B =∅；{}1B =-；{}1B = 当B =∅时，0m = 当{}1B =-时，1m =- 当{}1B =时，1m = 故m 的值是0；1；1- 故选：D.【点评】本题考查等价转化的数学思想方法、分类讨论的数学思想方法、写出集合的子集. 2.【分析】根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断.【解答】解：A 、如角390︒与30︒的终边相同，都是第一象限角，而390︒不是锐角，故A 不对； B 、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B 不对；C 、因为角的始边放在x 轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C 正确；D 、如角390︒和30︒不相等，但是它们的终边相同，故D 不对. 故选：C.【点评】本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断. 3.【分析】根据指数函数的性质，求出恒过坐标，即可得出t 的取值范围.【解答】解：由指数函数的性质，可得函数()3xg x t =+恒过点坐标为()0,1t +，函数()g x 是增函数，图象不经过第二象限，∴10t +≤，解得：1t ≤-. 故选：A.【点评】本题考查了指数函数的性质，求图象恒过坐标的问题.属于基础题.4.【分析】由等差数列的性质可得413a =，69a =，可得4622a a +=，再由等差数列的求和公式和性质可得()46992a a S +=，代值计算可得. 【解答】解：由等差数列的性质可得1742a a a +=，3962a a a +=， 又∵14739a a a ++=，36927a a a ++=，， ∴1474339a a a a ++==，3696327a a a a ++==， ∴413a =，69a =，∴4622a a +=， ∴数列{}n a 前9项的()()194699992299222a a a a S ++⨯==== 故选：A.【点评】本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题.5.【分析】赋值框内的循环变量的赋值1A =，符合条件，进行运算，累加变量同时加1替换，判断是否符合条件，符合条件再进入循环，否则算法结束，输出S. 【解答】解：因为1A =，1s =判断框内的条件15≤成立，执行2113s =⨯+=，112i =+=； 判断框内的条件25≤成立，执行2317s =⨯+=，213i =+=； 判断框内的条件35≤成立，执行27115s =⨯+=，314i =+=； 判断框内的条件45≤成立，执行215131s =⨯+=，415i =+=； 判断框内的条件55≤成立，执行231163s =⨯+=，516i =+=；此时65>，判断框内的条件不成立，应执行否路径输出63，所以输入的m 值应是5. 故选：D.【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件进入循环，不满足条件，算法结束.6.【分析】（1）平行于同一直线的两个平面，或平行，或相交；（2）由平行公理知，平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两条直线或平行，或相交，或异面；（4）由线面垂直的性质知，垂直于同一平面的两直线平行.【解答】解：（1）平行于同一直线的两个平面平行，是错误的； （2）平行于同一平面的两个平面平行，是正确的； （3）垂直于同一直线的两直线平行，是错误的； （4）垂直于同一平面的两直线平行，是正确的.故选：B.【点评】本题考查了用文字语言叙述的空间中平行和垂直关系的判定，是基础题；空间中的垂直和平行，是立体几何的重要内容.7.【分析】取AD 中点G ，连结EG ，FG ，则//EG CD ，//GF AB ，FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角），132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥，由此能求出EF 与CD 所成的角. 【解答】解：取AD 中点G ，连结EG ，FG ， ∵在四面体ABCD 中，E ，F 分别是AC 与BD 的中点， ∴//EG CD ，//GF AB ，∴FEG ∠是EF 与CD 所成的角（或所成角的补角）， ∵6CD =，3AB =，EF BA ⊥， ∴132EG CD ==，1322GF AB ==，GF EF ⊥， ∴30FEG ∠=︒，∴EF 与CD 所成的角为30︒. 故选：D.【点评】本题考查直线EG 与直线BC 所成角的余弦值的求法，考查异面直角所成角的等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【分析】根据正切函数的单调性，解不等式2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈，将所得的解集化为等价的开区间，即为所求函数的单调增区间. 【解答】解：令,2322x k k πππππ⎛⎫+∈-++ ⎪⎝⎭，k Z ∈ 即2232x k k πππππ-+<+<+，k Z ∈可解得：52233k x k ππππ-<<+，k Z ∈∴函数tan 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间是52,233k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈故选：B.【点评】本题给出含有正切的三角函数式，求函数的增区间，着重考查了正切函数的单调性和复合三角函数的单调区间求法等知识，属于基础题.9.【分析】根据三角函数的性质求解对称的，令0k =，和1k =，求解对称轴，根据存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭建立不等式即可求解.【解答】解：函数，可得()sin 06y x πωω⎛⎫=> ⎪⎝⎭，其对称方程为62x k ππωπ-=+，可得23k x ππω+=.∵对称轴0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 则当0k =时，可得对称性：232k πππω+<，解得：43ω>.当1k =时，可得对称性：232k πππω+≥，解得103ω≤故得ω的取值范围是410,33⎛⎤⎥⎝⎦ 故选：D.【点评】本题考查了函数对称轴问题，根据0ω>，只需求解相邻对称轴分别位于2π两边即可满足题意. 10.【分析】先求出直线在两个坐标轴上的截距，由在两个坐标轴上的截距相等解方程求得a 的值. 【解答】解：由直线的方程：20ax y a +--=得， 此直线在x 轴和y 轴上的截距分别为2a a+和2a +， 由22a a a+=+， 得1a =或2a =-， 故选：D.【点评】本题考查直线在两坐标轴上的截距的定义，待定系数法求参数的值.11.【分析】根据条件求出2b c =，结合余弦定理求出b ，c 的值，然后利用三角形的面积公式进行求解即可.【解答】解：∵()22b c b c =+∴2220b bc c --= 即()()20b c b c +-=∵b 、c 均为三角形的边，0b c +≠， ∴20b c -=， 即2b c =，由三角形的余弦定理2222cos a b c bc A =+- 得：22764b c bc +-= （*） 再将2b c =带入（*）式可得：227562c c -=，即24c =， 得2c =，4b = ， 又由cos 78A =，可得sin 8A =所以，三角形ABC的面积是：112422si n S bc A ==⨯⨯= 故选：C.【点评】本题主要考查三角形面积的计算，利用余弦定理以及方程关系求出b ，c 的值是解决本题的关键.12.【分析】根据条件容易判断0a ≠，从而可得出()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，根据()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，从而讨论a 的符号解不等式201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-，并满足该不等式的解集关于原点对称，这样便可求出1a =-，从而得出()()1lg1x f x x -+=-，这样解不等式()1lg01x x -+<-便可得出x 的取值范围. 【解答】解：0a =时，显然()f x 不是奇函数； ∴0a ≠；∴()2lg 1a a x a f x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭=-； ∵()f x 的定义域关于原点对称；∴（1）若0a >，则20a a +>，∴不等式201a x a ax +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-的解集不关于原点对称；即这种情况不存在； （2）若0a <，则解得201a a x a x +⎛⎫- ⎪⎝⎭>-得，21a x a+<<；∴21a a+=-； 解得1a =-，满足条件； ∴()()1lg1x f x x -+=-； ∴解()1lg01x x -+<-得：()1011x x -+<<-；解得10x -<<；∴使()0f x <的x 的取值范围是()1,0-. 故选：B.【点评】考查奇函数的定义，奇函数定义域关于原点对称的特点，以及分式不等式的解法，对数函数的单调性．13.【分析】设圆心到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d ，则22128d d +=，代入面积公式12S AC BD =⨯⨯，使用基本不等式求出四边形ABCD 的面积的最大值.【解答】解：设圆心()T O 到AC 、BD 的距离分别为1d ，2d .则2222128d d TP OP +===.四边形ABCD 的面积为：()22125042dd =-+=.当且仅当2212d d =时取等号，故选：D.【点评】此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半． 14.【分析】由等差数列的性质得tan ta t 221n an B A C=+，利用正弦定理、余弦定理推导出2222a c b +=，从而2a ，2b ，2c 依次成等差数列.【解答】解：∵a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，1tan A ，1tan B ，1tan C依次成公差不为0的等差数列， ∴tan ta t 211n an B A C=+， 根据正弦定理可得cos cos cos 2b a CcB A =+， ∴2cos cos ac B bc A abcsC =+，∴22222222222b c a a b c a c b +-+-+-=+，∴2222a c b +=，∴2a ，2b ，2c 依次成等差数列. 故选：B.【点评】本题考查三个数成等差数列或等比数列的判断，考查等差数列、等比数列的性质、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15.【分析】根据{}min ,m n 的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可. 【解答】解：作出函数()f x 和()g x 的图象如图，两个图象的下面部分图象， 由()2230g x x x =-++=，得1x =-，或3x =，由()ln 10f x x =-=，得x e =或1x e=，∵()0g e >，∴当0x >时，函数()h x 的零点个数为3个， 故选：C.【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键．注意函数定义域的作用． 16.【分析】化简()11f x x =-≥-，再令()f x t =，从而化方程()()20f x f x k -+=为2k t t =-，从而作函数2k t t =-的图象，结合图象分类讨论解得，①②③④均正确. 【解答】解：∵()11f x x =-≥-， ∴当1a =-时，()f x a =有且只有一个解， 当1a >-时，()f x a =有两个不同的解， ∵令()f x t =，则方程()()20f x f x k -+= 可化为2k t t =-，作函数2k t t =-的图象如右， 结合图象可知，当14k =时， 2k t t =-有两个不同的解， 且12t =±故方程()()20f x f x k -+= 有四个不同的解，则②正确； 当104k <<时，2k t t =-有4个不同的解，且11t -<<， 故方程()()20f x f x k -+=有8个不同的解，则④正确；当0k =时，2k t t =-有三个不同的解，分别为1-，0，1； 故方程()()20f x f x k -+=有5个不同的解，则③正确； 当0k <时，2k t t =-有两个不同的解，且1t <-或1t >， 故方程()()20f x f x k -+=有2个不同的解，则①正确； 故选：D.【点评】本题考查了分类讨论与数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分.17.【分析】原式提取2，利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化简，即可得到结果. 【解答】解：()sin15cos15sin15154522⎫+=+=+⎪︒︒︒︒︒⎪⎭︒60=︒=.【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键.18.【分析】根据绝对值的定义，利用对数函数的图象与性质，列出不等式求解集即可. 【解答】解：()12log 11x +≥，∴()12log 11x +≥-或()12log 11x +≤-，解得1012x <+≤或12x +≥， 即112x -<≤-或1x ≥； ∴实数x 的取值范围是[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.故答案为：[)11,1,2⎛⎤--+∞ ⎥⎝⎦.【点评】本题考查了绝对值的定义与对数函数的性质应用问题，是基础题. 19.【分析】连结BD ，利用180A C +=︒和余弦定理，即可求得BD 的长. 【解答】解：连结BD ，由于180A C +=︒，则cos cos A C =-， 由题设及余弦定理得，在BCD △中，2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C ⋅=+-=-，…① 在ABD △中，2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+，…②由①②解得BD =【点评】本题考查了圆内接四边形内角和定理与余弦定理的应用问题，是基础题．20.【分析】利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角． 【解答】解：设两向量的夹角为θ20x a x a b ++⋅=有实根240a a b ∆=-⋅≥即24cos 0a a b θ-⋅≥ ∵20a b =≠∴1cos 2θ≤ ∴,3πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点评】本题考查二次方程有实根的充要条件：0∆≥；向量的数量积公式.21.【分析】先在直角三角形OBM 中求出3OM =23OM OC OM ⋅==.【解答】解：如图：在直角三角形OMB 中，22241OMOB BM=-=-=2cos 3OM OM OC OM OC MOC OM OC OM OC⋅=⨯∠=⨯⨯==，故答案为：3.【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题.22.【分析】由已知可得4AC =，BC =30ACB ∠=︒，结合G 是ABC △的重心及向量数量积的性质及定义可求【解答】解：Rt ABC △中，2AB =60BAC ∠=︒，90B ∠=︒，∴4AC =，BC =30ACB ∠=︒， ∵G 是ABC △的重心.()()()2111339GB GC BC BA CB CA BC CB CA BA BC AB AC ⎡⎤⋅=-+⋅-+=--⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦111240242092⎛⎫=---+⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭故答案为：20-【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，属于基础试题三、解答题：本大题共5个小题，每小题8分，共40分. 23.【分析】（Ⅰ）证明1AE BB ⊥，AE BC ⊥，1BC BB B =，推出AE ⊥平面11B BCC ，利用平面余平米垂直的判定定理证明平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）取AB 的中点G ，说明直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积.【解答】（Ⅰ）证明：∵几何体是直棱柱，∴1BB ⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，∴1AE BB ⊥， ∵直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E 分别是BC 的中点， ∴AE BC ⊥，1BCBB B =，∴AE ⊥平面11B BCC ，∵AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11B BCC ；（Ⅱ）解：取AB 的中点G ，连结1A G ，CG ，由（Ⅰ）可知CG ⊥平面11A ABB ，直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，就是1CA G ∠，则1AG CG ==∴1AA ==2CF =.三棱锥F AEC -的体积：111113232CE AE CF ⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=.【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．24.【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{}n a 的通项公式. （2）利用对数运算法则化简31323log log log n n b a a a =+++，然后化简数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，利用裂项相消法求和即可.【解答】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =.得22349a a =.所以219q =.由条件可知0q >，故13q =. 由12231a a +=，得11231a a q +=，所以113a =. 故数列{}n a 的通项式为13n n a =. （6分） （2）()()()123313233123log log log log log 3n n n n b a a a a a a -++++=+++===()()11232n n n +++++=--. 故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和：121111111122122311n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为：21n nT n =-+（12分） 【点评】本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力. 25.【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合勾股定理，可求r 的值；（2）设出直线方程，利用OM OA OB =+，表示出OM ，求出模长，利用基本不等式即可求得结论. 【解答】解：（1）圆()222:0C x y rr +=>的圆心为()0,0O ，则∵过点(Q -作圆()222:0C x y r r +=>的切线，切点为D ，且4QD =∴3r OD ====；（2）设直线l 的方程为()10,0x ya b a b+=>>，即0bx ayab +-=，则(),0A a ，()0,Bb ， ∵OM OA OB =+，(),OM a b =，∴2OM a =∵直线l 与圆C 3=222a b ab +=≤∴2236a b +≥∴6OM ≥当且仅当a b ==OM 的最小值为6.【点评】本题考查圆的切线的性质，考查向量知识的运用，考查基本不等式，属于中档题.26.【分析】（1）根据题意作高AE ，BG ，CF .根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD x =，则3AC x =，求出DG ，BG 根据三角形相似根据其相似比可求出DF ，DE 的长，再根据勾股定理即可解答. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =，由AMB BNC △△∽，得2b a=，则ABBC ==，12ABCS AB BC ⨯⨯==△ 由此利用均值不等式能求出ABC △面积的最小值. 【解答】解：（1）作高AE ，BG ，CF （如图）， 设AD x =，则3AC x =， 于是322xDG x x =-=，3BG x == ∵BDG CDF ∠=∠，90BGD CFD ∠=∠=︒，∴Rt BDG Rt CDF △△∽，∴BG DGCF DF =，即222xDF =，∴DF =，∴DE =∵22212812727AD AE DE =+=+=，∴AD =∴333AC x ===. ∴ABC △的边长为3. （2）过点B 作2MN l ⊥，交1l 于M ，交3l 于N ，设AM a =，CN b =， 则AMB BNC △△∽，∴MB AM NC BN =，即12ab =，∴2b a =，AB =BC ==∵ABC △是以B 为直角顶点的直角三角形， ∴12ABC B BC S A ⨯⨯=△=2=≥. 当且仅当212a =，即1a =，2b =时，ABC △面积取最小值2.【点评】本题考查三角形边长的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查平行线、直线方程、均值定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. 27.【分析】（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点，分①当03a ≤<时；②当3a ≥时；③30a -≤<时；④当3a <-时，画出图象判断个数. 【解答】解：（Ⅰ）函数()()33x a h x f g x +-⎡⎤=⎣⎦=的图象关于直线2x =对称，则()()44h x h x x a x a -==⇒+-+恒成立2a ⇒=-；（Ⅱ）函数()33x y g f x a ==+-⎡⎤⎣⎦的零点个数，就是函数()3x G x a =+与3y =的交点， ①当03a ≤<时，()33x x G x a a =+=+与3y =的交点只有一个，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为1个（如图1）；②当3a ≥时，()33x x G x a a =+=+与3y =没有交点，即函数()y g f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为0个（如图1）；③30a -≤<时，()3x G x a =+与3y =的交点只有1个（如图2）；④当3a <-时，()3x G x a =+与3y =的交点有2个（如图2）；【点评】本题考查了函数的零点，把零点个数转化为两函数交点个数是常用方法，属于中档题．。

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分）1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，则x的值为( ) A． B． C． D．02．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线﹣=1的离心率为( ) A． B．C．D．3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则异面直线CE与BD所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°4．设a∈R，则a＞1是＜1的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样6．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是( )A．n≤8？B．n≤9？C．n≤10？D．n≤11？7．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），M是此双曲线上的一点，且满足•=2，||•||=0，则该双曲线的方程是( )A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=19．采用简单随机抽样从含10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，个体a前两次未被抽到，第三次被抽到的机率为( )A．B． C．D．10．一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s，则爆炸点所在曲线为( )A．椭圆的一部分 B．双曲线的一支 C．.线段D．圆11．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数m的取值范围是( ) A．m＞0 B．0＜m＜1 C．﹣2＜m＜1 D．m＞1且m≠12．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )A．恰有1名男生与恰有2名女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．至少有1名男生与全是女生13．设集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，A={（x，y）|2x﹣y+m＞0}，B={（x，y）|x+y﹣n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（∁U B）的充要条件是( )A．m＞﹣1，n＜5 B．m＜﹣1，n＜5 C．m＞﹣1，n＞5 D．m＜﹣1，n＞514．今年是我校成立111周年的一年，那么十进制的111化为二进制是( )A．1 101 101 B．11 011 011 C．1 101 111 D．1 011 10015．已知向量=（﹣2，1），=（x，y），x∈，y∈则满足•＜0的概率是( )A．B．C． D．二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）16．若关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a的取值范围__________．17．抛物线y2=4x的弦AB垂直x轴，若，则焦点到AB的距离为__________．18．在抽查产品的尺寸过程中，将尺寸分成若干组，1，61，6a，b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，该组上的直方图的高为h，则|a﹣b|=．【考点】频率分布直方图．【专题】计算题．【分析】频率分布直方图中，小矩形的高等于每一组的，它们与频数成正比，小矩形的面积等于这一组的频率，则组距等于频率除以高，建立关系即可解得．【解答】解：小矩形的面积等于这一组的频率，小矩形的高等于每一组的，则组距等于频率除以高，故答案为．【点评】本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．19．在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】所有的两位数（10﹣99）共有90个，求得其中被2整除的有45个，被3整除的有30个，被6整除的有15个，可得能被2或3整除的数有60个，由此求得这个数能被2或3整除的概率．【解答】解：在所有的两位数（10﹣99）共有90个，其中被2整除的有10，12，14，…，98，共计45个．被3整除的有12，15，18，…，99，共计30个，被6整除的有12，18，24，…，96，共计15个，故能被2或3整除的数有45+30﹣15=60个．故任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为P==故答案为：【点评】本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，等差数列的通项公式，求得被2或3整除的数有60个，是解题的关键，属于基础题．20．已知圆柱的底面半径为4，与圆柱底面成60°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则这个椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1．圆柱的底面中心为O，则∠OAB=60°，可得a=O1A，b==4，可得，即可得出．．【解答】解：如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点O1．圆柱的底面中心为O，则∠OAB=60°，可得a=O1A=8，b==4，∴=．∴这个椭圆的离心率===．故答案为：．【点评】本题考查了二面角的平面角、圆柱的性质、椭圆的离心率、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，每题8分，共40分）21．已知命题p：﹣2≤x≤10，命题q：（x+m﹣1）（x﹣m﹣1）≤0（其中m＞0），且￢p是￢q 的必要条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题．【分析】已知命题p和q，然后求出￢p是￢q，根据￢p是￢q的必要条件，所以p是q的充分条件，从而求出实数m的取值范围；【解答】解：∵¬p是¬q的必要条件∴¬p⇒¬q即p⇒q由p：﹣2≤x≤10q：1﹣m≤x≤m+1得解得m≥9【点评】此题主要考查以不等式的求解问题为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题．22．已知抛物线的顶点在原点，其准线过双曲线﹣=1的一个焦点，又若抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），求此两曲线的方程．【考点】抛物线的标准方程；双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线与双曲线相交于点A（，），B（，﹣），先求出抛物线方程为y2=4x，从而得到a2+b2=1，由此能求出双曲线的方程．【解答】解：由题意可设抛物线方程为y2=2px，p＞0，将，y=代入得p=2，所求抛物线的方程为y2=4x，…其准线方程为x=﹣1，即双曲线的半焦距c=1，∴a2+b2=1，①，又，②，由①②可得，b2=，所求双曲线的方程为4x2﹣=1．…【点评】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．23．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以X（单位：t，100≤X≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率．【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】（I）由题意先分段写出，当X∈130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．【解答】解：（I）由题意得，当X∈130，150120，150hslx3y3h的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7．【点评】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义．24．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=4，CB=4，CC1=，∠ACB=90°，点M 在线段A1B1上．（1）若A1M=3MB1，求异面直线AM与A1C所成角的余弦值；（2）若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．【专题】计算题；空间角．【分析】（1）以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．算出向量、的坐标，利用空间向量的夹角公式，即可求出异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）利用垂直向量数量积为零的方程，建立方程组解出=（1，1，）是平面ABC1的一个法向量，设A1M=x，则=（x﹣4，4﹣x，2），结合题意可得与所成角为60°或120°，利用空间向量夹角公式建立关于x的方程解出x的值，即可得到点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【解答】解：（1）分别以CA、CB、CC1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示则C（0，0，0），A（4，0，0），A1（4，0，2），B1（0，4，2）∵A1M=3MB1，∴M（1，3，2），可得=（﹣4，0，﹣2），=（﹣3，3，2），∴cos＜，＞===所以异面直线AM与A1C所成角的余弦值为；（2）由（1）得B（0，4，0），B1（0，4，2）∴=（﹣4，4，0），=（﹣4，0，2）设=（a，b，c）是平面ABC1的一个法向量，可得，取a=1，得b=1，c=∴=（1，1，），而直线AM与平面ABC1所成角为30°，可得与所成角为60°或120°∴|cos＜、＞|=，设点M的横坐标为x，则=（x﹣4，4﹣x，2）即===解之得x=2或6，由于M在A1B1上可得x＜6，故x=2即点M为线段A1B1的中点时，满足直线AM与平面ABC1所成角为30°．【点评】本题建立空间坐标系，求异面直线所成角和直线与平面所成角．着重考查了空间向量的夹角公式、平面法向量的求法和利用空间坐标系研究空间角等知识点，属于中档题．25．已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】综合题；转化思想．【分析】（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，得．结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．即，将其整理为k2=﹣=﹣1﹣因为，所以，12≤a2＜18．所以，即．（13分）【点评】本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

湖南省长郡中学2018-2019学年上学期期中考试高二理数试题一、选择题（本大题共15个小题，每小题4分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集.若命题p ：x A ∀∈，2x B ∈，则 A ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∈ B ．p ⌝：x A ∃∉，2x B ∈ C ．p ⌝：x A ∃∈，2x B ∉ D ．p ⌝：x A ∀∉，2x B ∉ 【答案】C考点：命题的否定．2.如果方程22143x y m m +=--表示双曲线，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,4 B ．()(),34,-∞+∞ C ．()4,+∞ D ．(),3-∞【答案】B 【解析】试题分析：要使方程22143x y m m +=--表示双曲线，应有()()()()430430m m m m --<⇔-->，解得3x <或4x >，故选C. 考点：双曲线的标准方程．3.命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是（ ）A ．若220a b +≠，则0a ≠且0b ≠B ．若220a b +≠，则0a ≠或0b ≠C ．若0a =且0b =，则220a b +≠D ．若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠ 【答案】D 【解析】试题分析：命题的逆否命题是条件和结论同时换位、换质，所以命题“若220a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是“若0a ≠或0b ≠，则220a b +≠”，故选D. 考点：逆否命题．4.已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如表：且回归线方程是0.95 2.6y x =+，则t =（ ）A ．6.7B ．6.6 C.6.5 D ．6.4 【答案】A考点：回归直线方程．5. 在正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是AB 的中点，则直线1DB 与MC 所成角的余弦值为（ ）A．15- B ．15C.15 D ．5【答案】B 【解析】试题分析：设正方体的棱长为2,以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,2,2,2,1,0,0,2,0D B M C ,所以()()12,2,2,2,1,0D B M C ==-,因此111c o s ,152DB MC DB MC DB MC⋅===-⋅，所以异面直线1DB 与MC 所成角的余弦值为15，故选B.考点：异面直线成角．6. 已知F 为双曲线C ：()2230x y λλλ-=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线距离为（ ）A．D ．3m 【答案】A考点：双曲线的简单几何性质．7.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差2s =（ ） A ．145 B ．3 C.165 D ．185【答案】C 【解析】试题分析：样本平均数为10685675x ++++==，所以方差为()()()()()22222211610767875767,55s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦故选C.考点：样本平均数与方差．8.双曲线()22216103x y p p -=>的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p =（ ）A ．14 B ．12C.2 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：双曲线()22216103x y p p-=>的标准方程为2221316x y p -=，所以2222316p c a b =+=+，左焦点坐标为⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-2p =，解得4p =，故选D.考点：双曲线与抛物线的标准方程．9.与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ ）A ．一个椭圆上B ．双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D ．一个圆上 【答案】B 【解析】试题分析：圆221x y +=的圆心为()10,0C ,半径为11,r =圆228120x y x +-+=的圆心为()24,0C ,半径为22,r =设动圆圆心为C，半径为r ，则由题意可得1221121,2,12C C r C Cr C C C C C C =+=+∴-=<=，所以动点的轨迹是双曲线靠近1C 的一支，故选B.考点：求曲线的轨迹．10.如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1AC 的长为（ ）A ．【答案】A考点：空间向量的应用.【方法点睛】本题主要考查了空间向量的应用，属于基础题.要求平行六面体的对角线长，如果直接求解运算量较大，而且准确率低，可考虑利用空间向量来求解.解答的关键是建立空间的基底，通过向量的线性运算把对角线向量用基向量表示出来，利用向量数量积的性质——向量的平方等于模的平方，结合数量积运算求得结果. 11.若a ，b 为实数，则“01ab <<”是“1b a<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】试题分析：由于b 的符号不能确定，所以“01ab <<”不能推出“1b a <”，同时“1b a<”也不能推出“01ab <<”，因此“01ab <<”是“1b a<”的既不充分也不必要条件，故选D. 考点：充要条件．12.柜子里有3双不同的鞋，随机取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，且不成对的概率是（ ）A.15 B ．25 C.35 D ．310【答案】B考点：古典概型．13.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，若21l PF ⊥，22//l PF ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2 【答案】D【解析】试题分析：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ,渐近线分别为1l ，2l ，点P 在第一象限内且在1l 上，所以()()12,0,,0F c F c -，设(),P x y，1l 的直线方程为by x a =，2l 的直线方程为b y x a =-，因为12//,y bl PF x c a∴=--，即ay bc bx =-.因为P 在1l 上，所以ay bx =，,,222c c bc bx bc bx x P a ⎛⎫=-⇒=∴ ⎪⎝⎭，又21l PF ⊥,所以2132b cb ac a ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭即223,a b =又因为222a b c +=，所以22c a e =⇒=，故选D ． 考点：双曲线的简单几何性质.14.椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于A ，B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则m n 的值为（ ）A2 D ．2【答案】C考点：直线与椭圆的位置关系．【方法点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题.本题涉及到直线被椭圆截得的弦的中点及弦的斜率，通常有两种常用的方法，一是联立方程组，利用韦达定理求解；二是利用“点差法”和中点坐标公式，后者运算更加简单快捷.设出两个交点坐标，代入椭圆方程相减，因式分解，整理出弦的斜率的表达式，代入中点坐标即可. 15.设集合()(){}22,|41A x y x y =-+=，()()(){}22,|21B x y x t y at =-+-+=，如果命题“,t R A B ∃∈≠∅”是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.40,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A考点：圆与圆的位置关系.【方法点睛】本题以集合语言考查了圆与圆的位置关系，属于中档题.在解答过程充分体现了集合知识、圆的知识及命题的真假判断，同时考查了转化的思想.解答时首先进行转化，把命题“,t R A B ∃∈≠∅”是真命题，转化为两圆有公共点，进一步转化为直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式求出参数范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5小题，每题4分，满分20分．）16.为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为50的样本，则分段的间隔为 ． 【答案】20 【解析】试题分析：根据系统抽样的规则，应分成50组，每组抽取1个，所以分段间隔为10002050=. 考点：系统抽样法． 17.抛物线214y x =的焦点坐标是 ． 【答案】()0,1考点：抛物线的标准方程． 18.给出下列命题：①已知集合{}{}1,,1,2,3A a B ==，则“3a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件； ②“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件；③“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的充要条件； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的要条件是“0a b <”. 其中正确命题的序号是 ．（把所有正确命题的序号都写上） 【答案】①② 【解析】试题分析：①因为“3a =”可以推出“A B ⊆”，但“A B ⊆”不能推出“3a =”，所以“3a =”是“A B ⊆”的充分不必要条件，故①正确；②“0x <”不能推出 “()ln 10x +<”，但“()ln 10x +<”可以推出“0x <”， 所以“0x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件，故②正确；③因为()22cos sin cos2f x ax ax ax =-=，所以若其最小正周期为π，则212a aππ=⇒=±，因此“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期为π”是“1a =”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“0a b<”，但“0a b<”，平面向量a与b的夹角是钝角或平角，所以“0a b<”是“平面向量a与b的夹角是钝角”必要不充分条件，故④错误，正确答案为①②.考点：充要条件．19.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是．【答案】7 16考点：几何概型．【方法点睛】本题主要考查了几何概型，属于中档题.几何概型是指用实验包含基本事件空间的几何度量来表示概率，通常涉及到几何图形的长度、面积、体积等.本题的难点是根据题意进行转化，分别把甲、乙两船到达的时间用,x y表示，在平面直角坐标系中，用平面区域的面积表示事件发生的概率，求面积的比即可.20.若曲线2149y yx+=和曲线30kx y+-=有三个不同的交点，则k的取值范围是．【答案】3332,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】试题分析：由题意可得，当0y ≥时，22149x y +=，当0y <时，22149x y -=，渐近线方程为32y x =±，如图所示，由2230149kx y x y +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩可得()229424720,k x kx-+-=()()2224288940k k∴∆=+-=，解得2k =±，结合图象可得实数k 的取值范围是3332,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的思想和学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是通过讨论y 的符号，把曲线方程转化为标准方程，画出曲线，通过方程组求出满足条件的参数k 的范围，研究直线与双曲线的交点个数，要注意双曲线的渐近线的性质.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 21.（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)[)[)[)[)[)[]160,180,180,200,200,220,220,240,240,260,260,280,280,300分组的频率分布直方图如图所示.（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)[)[)[]220,240,240,260,260,280,280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（1）0.0075；（2）230,224；（3）5．试题解析：（1）由()0.0020.00950.0110.01250.0050.0025201x ++++++⨯=得：0.0075x =， 所以直方图中x 的值是0.0075. （2）月平均用电量的众数为2202402302+=， ()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，∴月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=，得224a =.即月平均用电量的中位数为224.（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，用平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，用平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，用平均用电量为[)280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例为11125151055=+++，∴用平均用电量为[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户.考点：频率分布直方图、样本的数字特征与抽样方法. 22.（本小题满分12分）设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.（1）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根 的概率；（2）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有根的概率. 【答案】（1）34；（2）23. 【解析】试题分析：（1）当0a ≥，0b ≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥.写出所有可能的取法，从中找出满足条件的基本事件，即可得到概率；（2）分别求出03a ≤≤且02b ≤≤的矩形面积和满足 b a ≤的三角形面积，用几何概型求解. 试题解析：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实根”.（1）当0a ≥，0b ≥时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥.基本事件共12个：()()()()()()()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,1,1,1,2,2,0,2,1,2,2,3,0,3,1,3,2.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值. 事件A 中包含9个基本事件，事件发生的概率为()93124P A ==.考点：古典概型与几何概率. 23.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴上，且抛物线上有一点()4,P m 到焦点的距离为6. （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 与直线2y kx =-相交于不同的两点A 、B ，且AB 中点横坐标为2，求k 的值.【答案】（1）28y x =；（2）2k =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,8y kx y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得()224840k x k x -++=， 由条件0k ≠，且()6410k ∆=+>，∴1k >-且0k ≠， 又12248k x x k ++=，∴2242k k +=，解得2k =或1k =-（舍）. ∴2k =.考点：抛物线的定义及直线与抛物线的位置关系.24．（本小题满分12分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--有最小值.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范 围.【答案】(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦． 【解析】试题分析：若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题.分别求出,p q 为真时，参数a 的范围，取其补集即得p 为假时，参数a 的范围，取交集即得实数a 的取值范围.试题解析：若p 真，则()()0,01,00,10,a f f ∆>⎧⎪<<⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即2210,01,120,240,a a a a a ⎧+->⎪<<⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩112a <≤.若q 真，()()()1,,01,,a x a x a g x a a x a x a --≥⎧⎪=>⎨-++<⎪⎩∴()10a -+<，即()g x 在(),a -∞上是单调递减的，要使()g x 有最小值，则()g x 在[),a +∞上单调递增或为常数，即10a -≥，∴01a <≤.若()p q ⌝∧是真命题，则p 为假命题且q 为真命题，∴101,201a a a ⎧<≤>⎪⎨⎪<≤⎩或即01a <≤或112a <≤.∴实数a 的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦. 考点：复合命题与简易逻辑．【方法点睛】本题主要考查了复合命题与简易逻辑，属于基础题.解答本题的关键是根据“()p q ⌝∧是真命题”，得到p 为假命题且q 为真命题.解答时，易错点是部分同学写出命题p 的否定去求参数范围，导致问题复杂化，正确的求命题为假的参数范围是先求出命题为真对应的参数范围，取其补集，这样方便快捷. 25.（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()1F 、)2F ，并且经过点12P ⎫-⎪⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与圆O ：221x y +=相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B .当OA OB λ=，且满足1223λ≤≤时，求AOB ∆面积S 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：（1）设出椭圆方程，根据题意列方程组，求出待定系数的值；（2）可设直线方程为0x my n --=，根据其与圆相切可得221n m =+，联立方程组22,440,x my n x y =+⎧⎨+-=⎩可得()2224240my m n y n +++-=，根据韦达定理求出12y y +和12y y ⋅，2121AB m y y =+-，所以整理可得()222112324AOBm S d AB m∆+==+，根据向量数量积的定义可得2214m O A O B m λ+==+，换元设21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦，最后再根据均值不等式求出AOB ∆面积S 的取值范围.（2）依题结合图形知直线l 的斜率不为零，∵直线l 即0x my n --=与圆O ：221x y +=相切，1=得221n m =+.设()11,A x y ，()22,B x y ，由22,440,x my n x y =+⎧⎨+-=⎩消去x 整理得()2224240m y mny n +++-=，得212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++. 又2121AB m y y =+-，点O 到直线l 的距离1d ==，∴2122111221AOB n S d AB m y y m ∆==+-+()()22122222112323244n m n y y mm+=-==++，()()()()12121212222221212225441144OA OB x x y y my n my n y y n m m m y y mn y y n m m λ==+=+++--+=++++==++.1223λ≤≤,令21t m =+，则[]12,3,6323t t t λ⎡⎤=∈⇒∈⎢⎥+⎣⎦， ∴()()222221323239634AOB m ttS t tt m ∆+====++++9159276,612,22t t t t ⎡⎤⎡⎤+∈⇒++∈⇒⇒⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴AOB S ∆⎤∈⎥⎣⎦，∴AOB S ∆的取值范围为：3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程与直线与椭圆的位置关系，考查了函数与方程的思想和考生的运算能力及数据处理能力，属于难题.求椭圆方程，通常用待定系数法，根据焦点位置设出方程，列待定系数的方程组求解，研究直线与椭圆的位置关系通常设而不解，根据韦达定理进行整体代换，本题的难点是面积的表示和最后函数值域的求解，面积分解为两个同底的三角形面积和，建立面积的函数关系后，通过换元，利用均值不等式求范围，这是这类问题最常用的策略.。