湖南省长郡中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷及答案

2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．1163．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（ ） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−134．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√3010 B ．√306C ．√3010D ．√225．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1 D ．y 24−x 2=16．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．√27．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（ ） A ．(0，12) B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32)D ．(√33，√63)二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝010．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√512．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（ ） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为 ． 14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为 ．15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝ 时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2．16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推． （1）这个数列的第100项为 ；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式； （2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．18．（12分）四棱锥P ﹣ABCD 中，BC ∥AD ，BC ⊥平面P AB ，P A ＝AB ＝BC ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，且PE ⊥EC ．（1）求证：BD ⊥平面PEC ； （2）求二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值．19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）求四边形QAMB 面积的最小值； （2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2． （1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知数列{a n}，a1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n}满足b1＝1，b2nb2n−1=b2n+1b2n=a n．（1）求证：数列{1a n−1}为等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）求b2n+1的表达式；（3）求证：1b2+1b4+⋯+1b2n＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u →=（1，2，﹣1），v →=（﹣3，﹣6，3），则（ ） A ．α∥βB ．α⊥βC ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确解：∵v →=−3u →，∴v →∥u →．故α∥β． 故选：A ．2．《莱因德纸草书》（RhindPapyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A ．53B ．103C ．56D ．116解：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列， 使较大的三份之和的17是较小的两份之和，设分的面包，从小到大依次为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5， 依题意得17(a 3+a 4+a 5)=a 1+a 2，故3a 1+9d ＝7（2a 1+d ），2d ＝11a 1， 由S 5＝5a 3＝5（a 1+2d ）＝100， 得a 1+2d ＝12a 1＝20， 解得a 1=53． 故选：A ．3．若直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直，则k ＝（ ） A ．3B ．13C ．﹣3D ．−13解：∵直线y ＝kx ﹣2与直线y ＝3x 垂直， ∴3k ＝﹣1，解得k =−13．故选：D ．4．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与NA 所成的角的余弦值为（ ） A ．−√3010B ．√306C ．√3010D ．√22解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°， M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 如图，BC 的中点为O ，连结ON ，MN ∥B 1C 1且MN =12B 1C 1＝OB ，则MNOB 是平行四边形， BM 与AN 所成角就是∠ANO ， ∵BC ＝CA ＝CC 1，设BC ＝CA ＝CC 1＝2，∴CO ＝1，AO =√5，AN =√5，MB =√B 1M 2+BB 12=√(√2)2+22=√6， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO =AN 2+NO 2−AO 22AN⋅NO =62×√5×√6=√3010．故选：C ． 5．双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，一条渐近线的方程为x ﹣2y ＝0，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 24−y 2=1 B ．y 29−x 236=1C ．x 29−y 236=1D ．y 24−x 2=1解：由题意双曲线C 与椭圆x 29+y 24=1有相同的焦点，知c =√5，设双曲线的方程为x 2﹣4y 2＝λ（λ＞0），∴x 2λ−y 2λ4=1，∴λ+λ4=5，∴λ＝4．则双曲线C 的标准方程为x 24−y 2=1．故选：A ．6．已知抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，过点F 作直线l 与上述两曲线自左而右依次交于点A ，C ，D ，B ，则|AC |与|BD |的乘积为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．√2解：由抛物线E ：x 2＝4y 和圆F ：x 2+（y ﹣1）2＝1，可知抛物线焦点为F （0，1）， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线的方程为x ＝m （y ﹣1），由{x =m(y −1)x 2=4y ，得m 2y 2﹣（2m 2+4）y +m 2＝0， 则y 1y 2＝1，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1+1，|BF |＝y 2+1， ∴|AC |＝y 1，|BD |＝y 2， ∴|AC |×|BD |＝y 1y 2＝1，当且仅当y 1＝2y 2，即y 1=√2，y 2=√22时取等号．故选：A ．7．已知数列{a n }满足2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)且a 1＞0．若{a n }是递增数列，则a 1的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．(12，1)C ．（0，1）D ．(0，√2−1)解：根据2a n+1a n +a n+1−3a n =0(n ∈N ∗)， 可得a n+1=3a n2a n +1， 所以1a n+1=13⋅1a n+23，所以1a n+1−1=13⋅(1a n−1)，从而可得数列{1a n+1−1}是以1a 1−1为首项，13为公比的等比数列，所以1a n−1=(1a 1−1)⋅(13)n−1，整理有a n =11+(1a 1−1)(13)n−1，因为a n +1＞a n ＞0， 所以11+(1a 1−1)(13)n＞11+(1a 1−1)(13)n−1＞0，整理得：(1a 1−1)⋅13＜1a 1−1，即0＜a 1＜1， 故选：C ． 8．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈（π4，π3），则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．(√22，√3−1) B ．(√22，1)C ．(√22，√32) D ．(√33，√63)解：椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B 点，F 为其右焦点，设左焦点为F ′．所以|AF ′|+|AF |＝2a ，根据对称关系：四边形AF ′BF 为矩形． 所以|AB |＝|FF ′|＝2c ， 由于AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α， 所以|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α， 所以2c sin α+2c cos α＝2a ， 所以ca =1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，由于α∈（π4，π3），故α+π4∈(π2，7π12)， 所以√2+√64＜sin(α+π4)＜1， 所以√2sin(α+π4)∈(√22，√3−1)，即离心率的范围． 故选：A ．二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．已知m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，则下列结论正确的是（ ） A ．若l ∥α，则5a ﹣b +1＝0 B ．若l ∥α，则a +b ﹣1＝0C ．若l ⊥α，则a +b ﹣2＝0D ．若l ⊥α，则a ﹣b ﹣3＝0解：根据题意，m →=(1，a +b ，a −b)（a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，n →=(1，2，3)是平面α的法向量，若l ∥α，则m →⊥n →，则有m →⋅n →=0，即1+2（a +b ）+3（a ﹣b ）＝0，即5a ﹣b +1＝0，A 正确，B 错误； 若l ⊥α，则m →∥n →，则有11=a+b 2=a−b 3，变形可得a +b ﹣2＝0且a ﹣b ﹣3＝0，C 、D 正确． 故选：ACD ．10．已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{a n a n +1}C ．{lg （a n 2）}D ．{a n +a n +1}解：根据题意，{a n }为等比数列，设其公比为q （q ≠0）； 对于A ，1a n =1a 1q n−1=1a 1⋅(1q)n−1，∴数列{1a n}是以1a 1为首项，1q为公比的等比数列，故A 正确；对于B ，a n+1a n+2a n a n+1=a n+2a n=q 2，∴数列{a n a n +1}是以a 1a 2为首项，q 2为公比的等比数列，故B 正确；对于C ，当a n ＝1时，lg(a n 2)=0，数列{lg(a n 2)}不是等比数列，故C 错误；对于D ，当q ＝﹣1时，a n +a n +1＝0，数列{a n +a n +1}不是等比数列，故D 错误． 故选：AB ．11．已知p ∈R ，直线l 1：x ﹣py +p ﹣2＝0过定点A ，l 2：px +y +2p ﹣4＝0过定点B ，l 1与l 2交于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．l 1⊥l 2B ．MA •MB 的最大值是25C ．点M 的轨迹方程是x 2+y 2﹣5x ＝0D ．MA +2MB 的最大值为5√5解：对于A ，1•p +（﹣p ）•1＝0，∴l 1⊥l 2，A 正确； 对于B ，l 1恒过定点A （2，1），l 2恒过定点B （﹣2，4），由选项A 正确可推得，MA 2+MB 2＝AB 2＝25≥2MA •MB ，MA ＝MB 时等号成立，∴MA •MB 的最大值是252，B 错误；对于C ，设M （x ，y ），则MA ⊥MB ，MA 2+MB 2＝AB 2＝52，（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（x +2）2+（y ﹣4）2＝25，化简有x 2+y 2﹣5y ＝0，C 错误；对于D ，设∠MAB ＝θ，θ∈(0，π2)，则MA ＝5cos θ，MB ＝5sin θ，∴MA +2MB =5(cosθ+2sinθ)=5√5sin(θ+φ)≤5√5，即MA +2MB 的最大值为5√5，D 正确． 故选：AD ．12．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是（ ） A ．若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切B ．若直线l 经过焦点F ，且OA →⋅OB →=−12，则p ＝4C ．若AF →=3FB →，则直线l 的倾斜角为π3D ．若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则|AB||MN|的最小值为√2解：由抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l 与C 交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，对于A ，当以AB 为直径作圆M ，且AB 经过焦点F 时，|MN|=12(|AF|+|BF|)=12|AB|，此时圆M 与准线相切，当直线l 不经过焦点F 时，圆M 不一定与准线相切，故A 错误；对于B ，过F 的直线l 的方程设为x =my +p2，把直线方程与抛物线方程联立，可得y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p2=14p 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=14p 2−p 2=−12(p ＞0)，解得p ＝4，B 正确；对于C ，AF →=(p2−x 1，−y 1)，FB →=(x 2−p2，y 2)，AF →=3FB →，可得p 2−x 1=3(x 2−p2)，﹣y 1＝3y 2，又y 1y 2=−p 2，x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=14p 2，可求出A(3p 2，√3p)，B(p6，−√3p 3)，k 1=y 1−y 2x 1−x 2=√3p+√3p33p 2−p 6=√3，∴直线l 的倾斜角为π3，C 正确；对于D ，设AF ＝a ，BF ＝b ，由抛物线的定义可得|MN|=12(|AF|+|BF|)=12(a +b)，以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，∴AF ⊥BF ，|AB|=√a 2+b 2，|AB||MN|=√a 2+b 212(a+b)=√(a+b)2−2ab12(a+b)≥√(a+b)2−(a+b)2212(a+b)=√2，当且仅当a ＝b 时，即AF ＝BF 时等号成立，D 正确． 故选：BCD ．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知⊙M 的圆心为M （3，﹣5），且与直线x ﹣7y +2＝0相切，则圆C 的面积为 32π ． 解：因为圆M 与直线．x ﹣7y +2＝0相切，所以点M （3，﹣5）到直线：x ﹣7y +2＝0的距离即为圆M 的半径， 所以r =|3−7×(−5)+2|√1+(−7)=405√2=4√2，圆C 的面积为π×(4√2)2=32π． 故答案为：32π．14．如图，在三棱锥O ﹣ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OA ＝OC ＝3，OB ＝2，则直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717．解：如图所示，以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O ﹣xyz ，则A （0，0，3），B （2，0，0），C （0，3，0）， 直线OB 的方向向量OB →=(2，0，0)， 由于AB →=(2，0，−3)，AC →=(0，3，−3)， 若m →=(x ，y ，z)是平面ABC 的一个法向量，则{AB →⋅m →=2x −3z =0AC →⋅m →=3y −3z =0， 据此可得m →=(32，1，1)， ∴|cos ＜OB →，m →＞|=|OB →⋅m →|OB →||m →||=32×172=3√1717， 故直线OB 与平面ABC 所成角的正弦值为3√1717． 故答案为：3√1717． 15．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，则当C 的离心率e ＝ √72时，满足sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2． 解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为C 上一点，由sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2得|PF 1|＝3|PF 2|， 由双曲线的定义可得|PF 1|﹣|PF 2|＝2|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ；因为∠F 1PF 2＝60°，由余弦定理可得4c 2＝9a 2+a 2﹣2×3a •a •cos60°， 整理可得4c 2＝7a 2，所以e 2=c 2a 2=74，即e =√72．故答案为：√72． 16．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推． （1）这个数列的第100项为 256 ；（2）整数N 满足条件：N ＞1000且该数列的前N 项和为2的整数幂，则最小整数N ＝ 1897 ． 解：对数列进行分组如下： 第一组：20，1个数， 第二组：20，21，2个数， 第三组：20，21，22，3个数， ……，第k +1组：20，21，22，…，2k ，k +1个数； （1）由1+2+3+⋯+k =k(k+1)2≤100可得k ≤13，且1+2+3+⋯+13＝91，所以该数列的第100项在第14组的第9个数，即28＝256． （2）该数列前k 组的项数和为1+2+3+⋯+k =k(k+1)2， 由题意可知N ＞1000，即k(k+1)2＞1000，解得k ≥45，n ∈N *，即N 出现在第44组之后． 又第k 组的和为20+21+⋯+2k−1=1×(1−2k)1−2=2k −1，所以前k 组的和为1+（1+2）+⋯+（1+2+⋯+2k ﹣1）＝（21﹣1）+（22﹣1）+⋯ +（2k ﹣1）＝（21+22+⋯+2k ）﹣k ＝2k +1﹣k ﹣2， 设满足条件的N 在第k +1（k ∈N *）组（k ≥44）， 且第N 项为第k +1组的第m （m ∈N *）个数， 第k +1组的前m 项和为1+2+22+⋯+2m ﹣1＝2m ﹣1，要使该数列的前N 项和为2的整数幂， 即2m ﹣1与﹣k ﹣2互为相反数， 即2m ﹣1＝2+k ， 所以k ＝2m ﹣3，由k ≥44，所以2m ﹣3≥44，解之得m ≥6， 取最小值m ＝6，此时k ＝26﹣3＝61， 对应满足的最小条件为N =61(61+1)2+6=1897． 故答案为：256；1897．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ．（1）证明：{a n }为等差数列，并求出通项公式； （2）设b n =(−1)n a n ，求b 1+b 2+b 3+⋯+b 20．解：（1）证明：因为a 1＝2，a n+12−2a n+1=a n 2+2a n ， 所以a n+12−a n 2=(a n+1−a n )(a n+1+a n )=2(a n+1+a n )，因为数列{a n }各项均为正数，即a n +1+a n ＞0， 所以a n +1﹣a n ＝2，即数列{a n }为等差数列，公差为d ＝2，首项为a 1＝2． 所以a n ＝2+（n ﹣1）×2＝2n ；（2）由（1）知a n＝2n，其公差为d＝2，所以b n=(−1)n a n=(−1)n⋅2n，所以b1+b2+b3+⋯+b20＝（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+⋯+（﹣a19+a20）＝10d＝20．18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC⊥平面P AB，P A＝AB＝BC＝2AD＝2，E为AB的中点，且PE⊥EC．（1）求证：BD⊥平面PEC；（2）求二面角E﹣PC﹣D的正弦值．（1）证明：因为BC⊥平面P AB，PE⊂平面P AB，所以BC⊥PE，因为PE⊥EC，EC∩BC＝C，EC，BC⊂平面BCD，所以PE⊥平面BCD，又BD⊂平面BCD，所以PE⊥BD，因为tan∠ABD=ADAB=12，tan∠BCE=BEBC=12，所以∠ABD＝∠BCE，因为∠BCE+∠CEB＝90°，所以∠ABD+∠CEB＝90°，即BD⊥CE，又PE∩CE＝E，PE，CE⊂平面PEC，所以BD⊥平面PEC．（2）解：由（1）得PE⊥AB，因为E为AB的中点，且P A＝AB＝2，所以PB＝2，以E为坐标原点，EB，EP所在直线分别为x轴，z轴，过点E作BC的平行线为y轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，则E （0，0，0），P(0，0，√3)，C （1，2，0），D （﹣1，1，0），B （1，0，0）， 所以PC →=(1，2，−√3)，PD →=(−1，1，−√3)，PE →=(0，0，−√3)， 设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)， 由PC →⋅m →=0，PD →⋅m →=0得，{x +2y −√3z =0−x +y −√3z =0，令x ＝1，则y ＝﹣2，z =−√3，所以m →=(1，−2，−√3)， 由（1）知，平面PCE 的一个法向量为BD →=(−2，1，0)， 所以cos ＜m →，BD →＞=m →⋅BD →|m →||BD →|=8×5=−√105，所以二面角E ﹣PC ﹣D 的正弦值为√155． 19．（12分）已知圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点． （1）求四边形QAMB 面积的最小值； （2）若|AB |=4√23，求Q 点的坐标．解：（1）∵圆M ：x 2+（y ﹣2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，∴MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB =|MA|⋅|QA|=|QA|=√|MQ|2−|MA|2=√|MQ|2−1≥√|MO|2−1=√3． ∴四边形QAMB 面积的最小值为√3．（2）设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP|=√1−(223)2=13．在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |，即1=13|MQ|， ∴|MQ |＝3，设Q （x ，0），则x 2+22＝9， ∴x =±√5， ∴Q(±√5，0)．20．（12分）设抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '，定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2． （1）求抛物线的方程；（2）当KA →=λKB →（λ∈R 且λ≠1）时，是否存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值？若存在，求出T 的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）不妨设抛物线焦点为F ， 此时F(p2，0)，因为A 、B 为抛物线上两动点，AA '⊥l 于A '， 所以|AA '|＝|AF |，又定点K （0，1）使|KA |+|AA '|有最小值√2， 此时|KA|+|AA′|=|KA|+|AF|≥|KF|=√2， 即|KF|=√(p 2−0)2+(0−1)2=√2， 解得p ＝2或p ＝﹣2（舍去）， 则抛物线的方程为y 2＝4x ； （2）因为KA →=λKB →， 所以K ，A ，B 三点共线，不妨设直线AB 方程为x ＝t （y ﹣1），A （x 1，y 1），B （x 1，y 1），T （m ，n ）， 联立{y 2=4x x =t(y −1)，消去x 并整理得y 2﹣4y +4t ＝0，此时Δ＝（4t ）2﹣4×4t ＞0， 解得t ＜0或t ＞1，由韦达定理得y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝4t ， 所以x 1＝t （y 1﹣1），x 2＝t （y 2﹣1），此时TA →⋅TB →=(x 1−m)(x 2−m)+(y 1−n)(y 2−n)，因为TA →⋅TB →=[ty 1﹣（m +t ）][ty 2﹣（m +t ）]+（y 1﹣n ）（y 2﹣n ） ＝（t 2+1）y 1y 2﹣[t （m +t ）+n ]（y 1+y 2）+（m +t ）2+n 2 ＝4t （1﹣4m ）2﹣4t [t （m +t ）+n ]+（m +t ）2+n 2 ＝（1﹣4m ）t 2+2（2﹣2n +m ）t +m 2+n 2， 若存在一定点T 满足TA →⋅TB →为定值， 此时1﹣4m ＝0且2﹣2n +m ＝0， 解得m =14，n =98，此时T(14，98)，此时TA →⋅TB →=8564． 21．（12分）已知数列{a n }，a 1＝2，a n+1=2−1a n ，数列{b n }满足b 1＝1，b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ．（1）求证：数列{1a n −1}为等差数列，并求出数列{a n }的通项公式； （2）求b 2n +1的表达式； （3）求证：1b 2+1b 4+⋯+1b 2n＜1．（1）证明：由a 1＝2，a n+1=2−1a n 可知a n+1−1=a n −1a n ， ∴1a n+1−1=a n a n −1=1+1a n −1故1a n+1−1−1a n −1=1，又1a 1−1=1，∴数列{1a n −1}是以1为公差，1为首项的等差数列，∴1a n −1=n ，即a n =n+1n ． （2）解：由b 2n b 2n−1=b 2n+1b 2n=a n ，有b 2n+1b 2n−1=a n2=(n+1n)2，∴b2n+1=b2n+1b2n−1×b2n−1b2n−3×...×b3b1×b1=(n+1n)2×(nn−1)2×⋯×(21)2×1＝（n+1）2，∴b2n+1=(n+1)2．（3）证明：由（2）可得：b2n=b2n+1a n=(n+1)2n+1n=n(n+1)，∴1b2+1b4+⋯+1b2n=11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1＜1．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，上、下顶点分别为B1、B2，A为椭圆上的点，且满足k AB1⋅k AB2=−34．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过F1、F2作两条相互平行的直线l1，l2交C于M，N和P，Q，顺次连接构成四边形PQNM，求四边形PQNM面积的取值范围．解：（1）由于焦距为2，则c＝1，设A（x0，y0），则x02a2+y02b2=1，又B1（0，b），B2（0，﹣b），k AB1⋅k AB2=−34，则k AB1⋅k AB2=y0−bx0⋅y0+bx0=y02−b2x02=−b2a2=−34，∴a2=43b2=43(a2−1)，∴a＝2，b=√3．即椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．（2）由对称性可知，四边形PQNM 为平行四边形， 设MN ：x ＝my +1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），将直线MN 的方程与椭圆方程联立得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0． 由根与系数的关系可得，y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 则|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4， 设点F 2（1，0）到直线l 1的距离为d ，则d =2√1+m 2，所以四边形PQNM 面积为：S =|MN|d =24√1+m 23m 2+4．设√m 2+1=t ≥1，则S =24t 3t 2+1=243t+1t在t ∈[1，+∞）单调递减，所以S 的取值范围为（0，6]．。

2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020-2021学年湖南省部分重点高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．命题“∀x＞4，log2x＞2”的否定是（）A．∃x0＞4，log2x0≤2B．∀x＞4，log2x≤2C．∃x0≤4，log2x0≤2D．∀x≤4，log2x≤22．抛物线y＝x2的准线方程是（）A．y＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝﹣4D．y＝﹣43．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.6x+，则＝（）x12345y 5.56778A．4.2B．4.6C．4.7D．4.94．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin2A﹣2a sin A cos B＝0，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形5．已知{a n}是等差数列，且a1+a2＝4，a8+a9＝6，则这个数列的前9项和等于（）A．45B．C．55D．6．已知正数m，n满足25m﹣1＝0.2n，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．127．已知平面向量＝（1，λ+1），＝（λ+2，2），则“λ＞﹣”是“，的夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、选择题（共4小题）.9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝4，则（）A．x0＝3B．y0＝2C．|OM|＝D．F的坐标为（0，1）10．已知a，b，c是三条不重合的直线，平面α，β相交于直线c，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则下列说法可能成立的是（）A．a与c相交，且b与c也相交B．a∥β，且b∥αC．a∥c，且b与c相交D．a⊥c，且b⊥c11．已知点P（1，﹣1）是角α终边上的一点，则（）A．函数f（x）＝sin（2x+α）的对称轴方程为B．函数f（x）＝sin（2x+α）的对称轴方程为C．函数是奇函数D．函数是偶函数12．已知lnx＞lny，x≠1，y≠1，0＜m＜1，则（）A．x m＞y mB．（x+1）log y+1m＜（y+1）log x+1mC．D．log x m•log m y＞1三、填空题（共4小题）.13．在等差数列{a n}中，已知a1＝﹣3，a4＝1，则a7＝．14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是．15．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）+a恰有一个零点，则a的取值范围是．16．已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率e，则C的长轴长的取值范围是．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①AB＝2BD＝12，②，D为BC的中点，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，在△ABC中，，点D在线段BC上，AD＝10，_____？18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C为锐角，且ab＝3，△ABC的面积为．（1）求角C；（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC的周长．19．（12分）记S n是正项数列{a n}的前n项和，a n+是6和S n+的等比中项，且a1≠2．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}的公比为，且，，﹣2成等差数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．20．（12分）2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另投入成本f（x）＝（单位：元）．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800．（1）求该游乐项目每天的利润y（元）关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；（2）当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD．点E 是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线CD，PC，PB分别交于点F，G，H．（1）证明：GH∥EF．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四边形EFGH的面积．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为，点M为椭圆C上的动点，△F1MF2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M是椭圆C的上顶点，直线MF1交椭圆C于点N，过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆C交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若S：S＝3：2，求直线l的方程．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x＞4，log2x＞2”的否定是（）A．∃x0＞4，log2x0≤2B．∀x＞4，log2x≤2C．∃x0≤4，log2x0≤2D．∀x≤4，log2x≤2【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x＞4，log2x＞2”的否定是∃x0＞4，log2x0≤2．故选：A．2．抛物线y＝x2的准线方程是（）A．y＝﹣2B．x＝﹣2C．x＝﹣4D．y＝﹣4【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．解：抛物线的方程可变为x2＝16y，故p＝8，其准线方程为y＝﹣4，故选：D．3．已知x，y的取值如表所示，若y与x线性相关，且＝0.6x+，则＝（）x12345y 5.56778A．4.2B．4.6C．4.7D．4.9【分析】根据样本中心点在线性回归直线方程上即可得解．解：由表中数据可知，＝＝3，＝＝6.7，因为样本中心点（3，6.7）在线性回归方程上，所以6.7＝0.6×3+，所以＝4.9．故选：D．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b sin2A﹣2a sin A cos B＝0，则△ABC 的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【分析】利用二倍角公式化简已知等式，结合sin A≠0，可得b cos A＝a cos B，进而由余弦定理可得a＝b，即可判断△ABC的形状为等腰三角形，即可得解．解：因为b sin2A﹣2a sin A cos B＝0，所以2b sin A cos A＝2a sin A cos B，因为sin A≠0，所以b cos A＝a cos B，由余弦定理可得b•＝a•，整理可得a＝b，所以△ABC的形状为等腰三角形．故选：B．5．已知{a n}是等差数列，且a1+a2＝4，a8+a9＝6，则这个数列的前9项和等于（）A．45B．C．55D．【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式求解．【解答】∵a1+a2＝4，a8+a9＝6，∴a1+a2+a8+a9＝10，∴2a1+2a9＝10，∴a1+a9＝5，∴S9＝＝，故选：B．6．已知正数m，n满足25m﹣1＝0.2n，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．12【分析】由已知结合指数的运算性质可得，2m+n＝2，＝（）（2m+n），然后结合基本不等式可求．解：因为正数m，n满足25m﹣1＝0.2n，所以52m﹣2＝5﹣n，即2m﹣2＝﹣n，所以2m+n＝2，m＞0，n＞0，则＝（）（2m+n）＝＝4，当且仅当且2m+n＝2即m＝，n＝1时取等号．故选：B．7．已知平面向量＝（1，λ+1），＝（λ+2，2），则“λ＞﹣”是“，的夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当的夹角为锐角时，可得出且λ≠0，然后可看出得不出且λ≠0，而且λ≠0可得出，从而可得出正确的选项．解：的夹角为锐角时，且不共线，∴，解得，且λ≠0，∵得不出且λ≠0，而且λ≠0能得出，∴是的夹角为锐角的必要不充分条件．故选：B．8．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过原点O作斜率为的直线交C的右支于点A，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】画出图形，通过三角形相似，结合余弦定理求出2a，2c，然后求解离心率即可．解：由题意可知，易得△F1OA∽△F1AF2，所以，可得．在△F1AF2中，由余弦定理可得，解得．双曲线的离心率为：．故选：D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝4，则（）A．x0＝3B．y0＝2C．|OM|＝D．F的坐标为（0，1）【分析】求出抛物线的焦点坐标判断D；利用抛物线的定义，求出x0，判断A；求出y0判断B，求解|OM|判断C．解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，可得F（1，0），所以D不正确；点M（x0，y0）在抛物线C上，所以x0＝3，所以A正确；x0＝3代入抛物线方程可得y0＝±2．所以B不正确；|OM|＝＝．所以C正确；故选：AC．10．已知a，b，c是三条不重合的直线，平面α，β相交于直线c，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则下列说法可能成立的是（）A．a与c相交，且b与c也相交B．a∥β，且b∥αC．a∥c，且b与c相交D．a⊥c，且b⊥c【分析】由题意画出图形，由图可知，ACD可能成立；利用直线与平面平行的性质及平行公理说明B不可能成立．解：如图，若a⊂α，b⊂β，且a，b为异面直线，则a与c相交，且b与c也相交可能成立，故A正确；若a∥β，由直线与平面平行的性质，可得a∥c，又b∥α，同理可得b∥c，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故B错误；当直线a处于图中d的位置时，a∥c，且b与c相交，故C正确；当图中a与c相交垂直，b与c相交垂直时，D正确．∴说法可能成立的是ACD．故选：ACD．11．已知点P（1，﹣1）是角α终边上的一点，则（）A．函数f（x）＝sin（2x+α）的对称轴方程为B．函数f（x）＝sin（2x+α）的对称轴方程为C．函数是奇函数D．函数是偶函数【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得α＝2kπ﹣，k∈Z，再利用三角函数的图象的对称性、函数的奇偶性，得出结论．解：∵点P（1，﹣1）是角α终边上的一点，∴α为第四象限角，且tanα＝﹣1，α＝2kπ﹣，k∈Z．故函数f（x）＝sin（2x+α）＝sin（2x﹣），令2x﹣＝nπ+，可得x＝+，n∈Z，故f（x）的图象的对称轴方程为x＝+，n∈Z，故A正确，B不正确．函数＝cos（3x﹣+）＝﹣cos x，故g（x）为偶函数，故D正确、C错误，故选：AD．12．已知lnx＞lny，x≠1，y≠1，0＜m＜1，则（）A．x m＞y mB．（x+1）log y+1m＜（y+1）log x+1mC．D．log x m•log m y＞1【分析】指数函数、对数函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．解：∵已知lnx＞lny，x≠1，y≠1，∴x＞y＞0，∵0＜m＜1，则x m＞y m，故A成立；∵x+1＞y+1＞1，∴log（x+1）m＞log（y+1）m，∴（x+1）log（x+1）m＞（y+1）log（y+1）m，故B正确；∵＞＞0，∴和的大小关系不确定，例如x＝4，y＝2，m＝，显然＝44，＝28，此时，＝，故C不对；∵log x m•log m y＝•＝＝log x y，当x＞1，0＜y＜1时，log x y＜0，故D错误，故选：AB．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上13．在等差数列{a n}中，已知a1＝﹣3，a4＝1，则a7＝﹣．【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a1a7＝（a4）2，进而计算可得答案．解：根据题意，在等差数列{a n}中，a1a7＝（a4）2，即﹣3a7＝1，解可得a7＝﹣，故答案为：﹣．14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是16．【分析】根据椭圆的定义即可求解．解：由已知椭圆方程可得a2＝16，所以a＝4，又由椭圆的定义可得：|AF|+|AF2|＝2a＝8且|BF1|+|BF2|＝2a＝8，所以三角形ABF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝8+8＝16，故答案为：16．15．已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）+a恰有一个零点，则a的取值范围是（﹣∞，1）．【分析】作出f（x）的图象，转化为y＝﹣a与f（x）只有一个交点问题，即可则a的取值范围．解：函数f（x）＝作出f（x）的图象，转化为y＝﹣a与f（x）只有一个交点问题，从图象可知﹣a＞﹣1，即a＜1，故a的取值范围是（﹣∞，1）故答案为：（﹣∞，1）．16．已知椭圆经过函数图象的对称中心，若椭圆C的离心率e，则C的长轴长的取值范围是（）．【分析】先求出函数的对称中心，然后代入椭圆方程可得a，b的关系式，然后再根据椭圆的离心率的范围即可求解．解：因为函数y＝，所以函数是对称中心为M（，），把M代入椭圆方程可得：，即b，而椭圆的离心率e＝，所以e＝，解得a，即a，所以2a，故答案为：（）．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①AB＝2BD＝12，②，D为BC的中点，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求AC的长；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC，在△ABC中，，点D在线段BC上，AD＝10，_____？【分析】选择条件①，在△ABD中，由余弦定理可得cos B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值，在△ABC中，由正弦定理即可求解AC的值．选择条件②，在△ABD中，可得，，在△ADC中，由余弦定理即可求解AC的值．选择条件③，在△ABD中，由余弦定理可得BD的值，可求AD＝BD＝10，，，在△ADC中，由正弦定理即可解得AC的值．解：选择条件①，在△ABD中，由余弦定理可得，∴，在△ABC中，由正弦定理得，可得．选择条件②，在△ABD中，，可得，又D为BC的中点，所以，在△ADC中，由余弦定理得AD2＝CD2+AC2﹣2CD•AC cos∠ACB，得100＝200+AC2﹣20AC，解得AC＝10．选择条件③，在△ABD中，由余弦定理可得BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB cos∠DAB＝100，即BD＝10，则AD＝BD＝10，，，在△ADC中，由正弦定理得，可得．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C为锐角，且ab＝3，△ABC的面积为．（1）求角C；（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC的周长．【分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求sin C的值，结合C为锐角，可求C的值．（2）设△ABC外接圆的半径为R，利用正弦定理可求c的值，根据余弦定理可求a+b的值，即可得解△ABC的周长．解：（1）因为ab＝3，△ABC的面积为＝ab sin C＝sin C，解得sin C＝，又因为C为锐角，所以C＝60°．（2）设△ABC外接圆的半径为R，则＝，所以c＝×＝4，因为c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，所以16＝（a+b）2﹣9，解得a+b＝5，所以a+b+c＝5+4＝9，即△ABC的周长为9．19．（12分）记S n是正项数列{a n}的前n项和，a n+是6和S n+的等比中项，且a1≠2．（1）求{a n}的通项公式；（2）若等比数列{b n}的公比为，且，，﹣2成等差数列，求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）先由题设⇒（a n+）2＝6（S n+），又（a n﹣1+）2＝6（S n﹣1+），n ≥2，两式相减整理得：a n﹣a n﹣1＝3，n≥2，再求得a1，即可得到：数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，进而求得a n；（2）先由题设求得b n，进而求得a n b n，再利用错位相减法求得其前n项和即可．解：（1）由题设可得：（a n+）2＝6（S n+），又（a n﹣1+）2＝6（S n﹣1+），n ≥2，两式相减得：（a n+a n﹣1+3）（a n﹣a n﹣1）＝6a n，整理得：a n2﹣a n﹣12＝3（a n+a n﹣1），∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝3，n≥2，又当n＝1时，有（a1+）2＝6（S1+），又a1≠2，解得：a1＝1，∴数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；（2）由题设可得：＝+﹣2，又等比数列{b n}的公比为，∴＝+﹣2，解得：b1＝，∴b n＝（）n，a n b n＝，∴T n＝+++…+，又T n＝++…++，两式相减得：T n＝+3（++…+）﹣＝+3×﹣，整理得：T n＝4﹣．20．（12分）2020年“国庆、中秋”国内游持续升温，某大型游乐公司在做好疫情防控的同时，积极进行游乐设备的升级改造，并决定开设一个大型综合游乐项目，预计整套设备每天需要10000元的维护费，每位游客游玩的票价为400元．如果每天有x人游玩该项目，需要另投入成本f（x）＝（单位：元）．同时为了满足防疫要求，规定该游乐项目每天游玩人数不能超过800．（1）求该游乐项目每天的利润y（元）关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；（2）当每天游玩该项目的人数x为多少时，该游乐公司获利最大？【分析】（1）由题意分段写出利润y（元）关于每天游玩该项目的人数x的函数关系式；（2）分别利用配方法与基本不等式求最值，取最大值中的最大者得结论．解：（1）当0＜x＜500时，y＝400x﹣（）﹣10000＝﹣，当500≤x≤800时，y＝400x﹣410x﹣＝﹣10（x+）+90000．∴；（2）由（1）可得，当0＜x＜500时，y＝﹣＝，当x＝380时，y max＝62200；当500≤x≤800时，y＝﹣10（x+）+90000＝78000．当且仅当x＝600时，y max＝78000．综上，当每天游玩该项目的人数x为600时，该游乐公司获利最大，为78000元．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD．点E 是AB的中点，过点E作平行于平面PAD的截面，与直线CD，PC，PB分别交于点F，G，H．（1）证明：GH∥EF．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求四边形EFGH的面积．【分析】（1）由已知证明BC∥GH，BC∥EF，由平行公理可得GH∥EF；（2）由棱锥体积求得PD＝2，再证明四边形EFGH为直角梯形，则其面积可求．【解答】证明：（1）∵BC∥AD，BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD，又平面PAD∥平面EFGH，∴BC∥平面EFGH，∵BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面EFGH＝GH，∴BC∥GH，同理，BC∥EF，可得GH∥EF；解：（2）由，得PD＝2，∵平面PAD∥平面EFGH，且平面PAB∩平面EFGH＝EH，平面PAB∩平面PAD＝PA，∴PA∥HE，∵平面PAD∥平面EFGH，且平面PCD∩平面EFGH＝GF，平面PCD∩平面PAD＝PD，∴PD∥GF，又点E是AB的中点，可知G、H、F分别为PC、PB、CD的中点，∴EF＝2，GH＝1，GF＝1，且GF⊥CD，∴四边形EFGH的面积为．22．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，且离心率为，点M为椭圆C上的动点，△F1MF2面积的最大值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若M是椭圆C的上顶点，直线MF1交椭圆C于点N，过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆C交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若S：S＝3：2，求直线l的方程．【分析】（1）根据题意可得bc＝1①，＝②，a2＝b2+c2③，解得a，b，进而写出椭圆C的标准方程．（2）P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线MF1与椭圆C的方程，解得N坐标，进而推出＝，由于推出|QF1|＝2|PF1|，分别分两种情况当直线l的斜率为0时，斜率不为0时，直线l的方程x＝my﹣1，联立椭圆的方程，进而得y1+y2解得m，写出直线l的方程．【解答】（1）△F1MF2面积的最大值为：S max＝|F1F2|•b＝•2c•b＝bc＝1，①又，②a2＝b2+c2，③由①②③解得，故椭圆C的标准方程为．（2）由题可得直线MF1的方程为y＝x+1，联立，得，则＝，因为，所以|NF1|•|QF1|sin∠QF1N＝（|MF1|•|PF1|sin∠PF1M）得|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，则y2＝﹣2y1联立得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，则则，得，又，则，不符合题意，所以故直线l的方程为．。

长郡中学2024年下学期高二期中考试数学得分：__________本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页.时量120分钟.满分150分.第I 卷一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线120x y +-=的倾斜角是（）A.π4 B.π2 C.3π4 D.π32.已知点B 是点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 内的射影，则OB等于（ ）A.5D.3.长轴长是短轴长的3倍，且经过点()3,0P 的椭圆的标准方程为（）A.2219x y +=B.221819x y +=C.2219x y +=或221819y x += D.2219y x +=或221819x y +=4.已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为（ ）A.()2,1--B.()(),21,∞∞--⋃-+C.()1,2D.()(),12,∞∞-⋃+5.在正四棱锥P ABCD -中，4,2,PA AB E ==是棱PD 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值是（ ）C.386.已知椭圆22:195x y C +=的右焦点为,F P 是椭圆上任意一点，点(0,A ，则APF 的周长的最大值为（ ）A.9+B.14C.7+D.15+7.已知()()3,0,0,3A B -，从点()0,2P 射出的光线经x 轴反射到直线AB 上，又经过直线AB 反射到P 点，则光线所经过的路程为（ ）A.B.6D.8.已知,A B 两点的坐标分别是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的差是2，则点M 的轨迹方程为（ ）A.()211y x x =-+≠±B.()211y x x =+≠±C.()211x y y =-+≠±D.()211x y y =+≠±二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知()()3,4,6,3A B --两点到直线:10l ax y ++=的距离相等，则a 的值可取（ ）A.13-C.79-D.7910.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过点1F 的直线与C 的左支相交于,P Q两点，若2PQ PF ⊥23PF ，则（ ）A.4PQ a=B.13PF PQ=C.双曲线C 的渐近线方程为y x =±D.直线PQ 的斜率为411.已知椭圆221:195x y C +=，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，将1C 上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，动点,P Q 在1C 上，且直线PQ 的斜率为12-，则（ ）A.顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形B.3C 的面积为1C 的4倍C.3C 的方程为2244195x y +=D.线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上第II 卷三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点()0,1P 作直线l ，使它被直线1:280l x y +-=和2:3100l x y -+=截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为__________.13.直线2y x =-与抛物线22y x =相交于,A B 两点，则OA OB ⋅=__________.14.设F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若FOH 的内切圆与x 轴切于点B ，且BF OB =，则C 的离心率为__________.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，已知点()()1,0,1,0A B -，动点P 满足PA PB ⊥.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）将点A 和点B 并入点P 的轨迹得曲线C ，若过点()1,2Q 的直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程.16.（本小题满分15分）如图，在棱长为a 的正方体OABC O A B C '-'''中，,E F 分别是,AB BC 上的动点，且AE BF =.（1）求证：A F C E '⊥'；（2）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求平面B EF '与平面BEF 所成夹角的正切值.17.（本小题满分15分）已知顶点为O 的抛物线212y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线交于,A B 两点.（1）若直线l 过点()5,0M ，且其倾斜角ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求OAB S 的取值范围；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分17分）如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD 为底面圆O 的内接正三角形，且ABD E 在母线PC 上，且1AE CE ==.（1）求证：直线PO ∥平面BDE ；（2）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值最大时，求此时点M 到平面ABE 的距离.19.（本小题满分17分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率e =O 为坐标原点，点,P Q分别是椭圆的右顶点和上顶点，POQ 的边PQ .（1）求椭圆的标准方程；（2）过点()2,0H -的直线交椭圆于,A B 两点，若11AF BF ⊥，求直线AB 的方程；（3）直线12,l l 过右焦点2F ，且它们的斜率乘积为12-，设1l 和2l 分别与椭圆交于点,C D 和,E F .若,M N 分别是线段CD 和EF 的中点，求OMN 面积的最大值.长郡中学2024年下学期高二期中考试数学参考答案一､二､选择题题号1234567891011答案CACBDBCAACBCABD1.C 【解析】因为120x y +-=，所以12y x =-+，所以直线120x y +-=的斜率为1-，所以直线120x y +-=的倾斜角为3π4.故选C.2.A 【解析】由条件知点B 的坐标为()3,4,0，所以5OB == .故选A.3.C 【解析】当椭圆焦点在x 轴上时，长半轴长3a =，短半轴长1b =，方程为2219xy +=，当椭圆焦点在y 轴上时，短半轴长3b =，长半轴长9a =，方程为221819y x +=，所以椭圆方程为2219xy +=或221819y x +=.故选C.4.B 【解析】由条件()()210m m++>可得2m <-或1m >-，故m 的取值范围为()(),21,∞∞--⋃-+.故选B.5.D 【解析】设点P 在底面ABCD 内的投影为点O ，由题意知，4,2,PA AB PO ====，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，所以(()()(),0,,,,P A C D E ⎛ ⎝，(,AE PC ⎛== ⎝，所以cos ,AE PC < .故选D.6.B【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为,4F AF AF ===''，则26PF PF a '+==，,PA PF AF APF ''-∴ …的周长6461010414AF AF PA PF PA PF AF =++-=++-+=+''='…，当且仅当P 在AF '的延长线上时取等号.APF ∴ 的周长的最大值等于14.故选B.7.C 【解析】直线AB 的方程为3y x =+，设点()0,2P 关于直线3y x =+的对称点为()1,P a b ，则21,23,22b ab a -⎧=-⎪⎪⎨+⎪=+⎪⎩得1,3a b =-=，即()11,3P -，点()0,2P 关于x 轴的对称点为()20,2P -，由题意可知，如图所示，点12,P P 都在直线CD 上，由对称性可知，12,DP DP CP CP ==，所以光线经过的路程2112PC CD DP P C CD DP PP ++=++==.故选C.8.A 【解析】设(),M x y ，则211AM BM y y k k x x -=-=+-，整理得()211y x x =-+≠±，所以动点M 的轨迹方程是()211y x x =-+≠±.故选A.9.AC 【解析】当直线l 过线段AB 中点31,22P ⎛⎫-⎪⎝⎭时，有311022a -+=，得13a =-，当直线l ∥AB 时，有79a -=，得79a =-.故选AC.10.BC 【解析】由243PQ PF =，设23,4PQ m PF m ==，由2PQ PF ⊥，得25QF m =，则1142,52PF m a QF m a =-=-，而11PF QF PQ +=，解得23a m =，因此1124,33a a PF QF ==，对于A ，2PQ a =，A 错误；对于B ，显然112F Q PF = ，则13PF PQ =，B 正确；对于C ，易知122F F c =，在12Rt PF F 中，由2221212PF PF F F +=，得222464499a a c +=，则222222178,99c a b c a a ==-=，即b a =C 的渐近线方程为y =，C 正确；对于D ，由2121tan 4PF PF F PF ∠==，结合对称性，图中,P Q 位置可互换，则直线PQ 的斜率为4±，D错误.故选BC.11.ABD 【解析】椭圆221:195x y C +=的焦点为()()2,0,2,0-，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，则椭圆2C 的焦点为()()0,2,0,2-，所以顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形，故A 正确；将1C 上所有点的横坐标､纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，所以3C 与1C 为相似曲线，相似比为2，所以3C 的面积为1C 的面积的224=倍，故B 正确；且3C222215x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即2213620x y +=，故C 错误；设()()1122,,,P x y Q x y ，则1212,22x x y y R ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，又222211221,19595x y x y +=+=，所以2222121209955x x y y -+-=()()121205y y y y +-+=，所以()121212121259y y y y x x x x x x -+⋅=-≠-+，即59PQ OR k k ⋅=-，所以109OR k =，所以线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上，故D 正确.故选ABD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.440x y +-= 【解析】设直线1l 与直线l 的交点为(),82A a a -，则由题意知，点A 关于点P 的对称点(),26B a a --在直线2l 上，代入直线2l 的方程得()326100a a ---+=，解得4a =，即点()4,0A 在直线l 上，所以直线l 的方程为440x y +-=.13.0 【解析】由22,2,y x y x =-⎧⎨=⎩可得2640x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则有12126,4x x x x +==，所以124y y =-，所以1212440OA OB x x y y ⋅=+=-=.【解析】由双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，又由双曲线C 的右焦点(),0F c 到渐近线的距离为FH b ==，所以OH a ==，则直角FOH 的内切圆的半径为2a b cr +-=，如图所示，设FOH 的内切圆与FH 切于点M ，则2a b cMH r +-==，因为BF OB =，可得12MF BF c ==，所以122a b cMF MH c FH b +-+=+==，可得a b =，所以双曲线C 的离心率为c e a ===.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.【解析】（1）法一：设(),P x y ，因为PA PB ⊥，所以由0PA PB ⋅=，得()()221,1,10x y x y x y +⋅-=-+=，所以动点P 轨迹方程为()2210x y y +=≠.法二：由题2,AB PA PB =⊥，所以P 点的轨迹是以AB 中点O 为圆心，半径为1的圆去掉,A B 两点得到的，所以P 点的轨迹方程为()2210x y y +=≠.（2）由题设知曲线C 的方程为221x y +=，因为直线l 与曲线C 有只有一个公共点（如图），①若直线l 斜率不存在，此时直线l 方程为：1x =，与曲线22:1C x y +=切于点B ，②当直线l 斜率存在且与曲线C 相切时，设():12l y k x =-+，即20kx y k -+-=，1，得34k =，所以此时直线l 方程为3450x y -+=.综上，直线l 方程为1x =或3450x y -+=.16.【解析】（1）如图，构建空间直角坐标系O xyz -，令AE BF m ==，且0m a ……，所以()()()()0,,,,0,,,,0,,,0C a a A a a E a m F a m a -''，则()(),,,,,C E a m a a A F m a a '=--'=-- ，故()20C E A F am a m a a '⋅=-+-+'= ，所以C E A F ''⊥，即A F C E '⊥'.（2）由（1）可得三棱锥B BEF '-体积取最大，即BEF 面积()22112228BEFa a S m a m m ⎛⎫=-=--+⎪⎝⎭ 最大，所以当2a m =时，()2max8BEF a S = ，故,E F 分别为,AB BC 的中点，所以(),,0,,,0,,,22a a E a F a B a a a ⎭'⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝，故0,,,,0,22a a EB a FB a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝''⎭⎝⎭ ，若(),,m x y z = 为平面B EF '的法向量，则0,20,2am EB y az am FB x az ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪''⎩令1z =-，得()2,2,1m =- ，又平面BEF 的法向量为()0,0,1n =，所以11cos ,313m n m n m n ⋅-<>===⨯，设平面B EF '与平面BEF 所成夹角为θ，则1cos 3θ=，所以sin θ==，所以sin tan cos θθθ==B EF '与平面BEF所成夹角的正切值为.17.【解析】（1）由题可知()3,0F ，且直线l 的斜率不为0，设()()1122,,,A x y B x y .设直线l 的方程为50kx y k --=，因此点O 到直线l的距离为d 联立212,15,y x x y k ⎧=⎪⎨=+⎪⎩则212600y y k --=，显然Δ0>，所以121212,60y y y y k +==-，则AB =，所以12OAB S d AB == ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则k ∈，当213k =时，OAB S取得最大值为，当23k =时，OAB S取得最小值为，所以OAB S的取值范围为⎡⎣.（2）设直线方程为y x b =+，即()()1122,,,,x y b A x y B x y =-，联立212,,y x x y b ⎧=⎨=-⎩得212120y y b -+=，故Δ144480b =->，即3b <，又121212,12y y y y b +==，易知()()11223,,3,FA x y FB x y =-=-，因为FA FB ⊥，则0FA FB ⋅=，因为1122,x y b x y b =-=-，所以()()()()2121212123323(3)0y b y b y y y y b y y b ----+=-++++=，即218270b b +-=，解得9b =-+9b =--，故存在斜率为1的直线l ，使得FA FB ⊥，此时直线l的方程为9y x =-+或9y x =--18.【解析】（1）设AC BD F ⋂=，连接EF ，ABD 为底面圆O 的内接正三角形，2,π3AC F∴==为BD中点，2221,,AE CE AE CE AC AE EC ==∴+=∴⊥ ，又312,2,1223AF CF AO AF ==∴=-===.AF AE AE AC=，且,,,EAF CAE AEF ACE AFE AEC EF AC ∠∠∠∠=∴∴=∴⊥ ∽.PO ⊥ 平面,ABD AC ⊂平面,,ABD PO AC EF ∴⊥∴∥PO ，PO ⊄ 平面,BDE EF ⊂平面,BDE PO ∴∥平面BDE .（2）1,2OF CF F ==∴ 为OC中点，又PO ∥,EF E ∴为PC 中点，2PO EF =，2PO PC ∴==，以F 为坐标原点，,,FB FC FE方向为,,x y z 轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，则3110,,0,,,,0,,0,0,222A B E D O P ⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝⎭，(3313,0,0,,,,0,,02222AB AE OP DO DA ⎫⎛⎫⎫∴====-=-⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭，设()()101,2OM OP DM DO OM λλ⎫==∴=+=-⎪⎪⎭…….设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，则30,20,AB n y AE n y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩令1y =-，解得x z n ==∴=- ，设直线DM 与平面ABE 所成夹角为θ，sin DM n DM n θ⋅∴===⋅ ，令32t λ=+，则[]22,5,3t t λ-∈∴=，2222222(2)1314717431(32)33t t t t t t t λλ-++-+⎛⎫∴===-+ ⎪+⎝⎭，111,,52t ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ 当127t =，即12λ=时，22min31311449(32)74λλ+⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦，max (sin )1θ∴==，此时1,0,1,2DM MA DA DM ⎛=-∴=-=- ⎝ ，∴点M 到平面ABE的距离MA n d n ⋅=== .19.【解析】（1）由题意，因为()(),0,0,,P a Q b POQ为直角三角形，所以PQ ==.又222e c a b c a ===+，所以1,1a b c ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，()11,0F -，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()()()112220,,,,y k x k A x y B x y =+≠，联立()221,22,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得，()2222128820k x k x k +++-=，所以()()()()22222Δ8412828120k k k k =-+-=->，即2102k <<，且22121222882,1212k k x x x x k k -+=-=++，因为11AF BF ⊥，所以110AF BF ⋅=，所以()()11221,1,0x y x y ---⋅---=，即12121210x x x x y y ++++=，所以()()1212121220x x x x k x k x +++++⋅+=，整理得()()()2221212121140kx x k x xk ++++++=，即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+-+++= ⎪++⎝⎭，化简得2410k -=，即12k =±满足条件，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+，即直线AB 的方程为220x y -+=或220x y ++=.（3）由题意，()21,0F ，设直线1l 的方程为()()()33441,,,,y m x C x y D x y =-，则直线2l 的方程为()()()556611,,,,2y x E x y F x y m=--，联立()221,21,x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()2222124220m x m x m +-+-=，所以22343422422,1212m m x x x x m m-+==++，所以()234222,121212M M M x x m mx y x m m +===-=-++，所以2222,1212m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理联立()221,211,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩消去y 得()222122140m x x m +-+-=，所以2565622214,1212m x x x x m m-+==++，所以()562211,1212212N N N x x m x y x m m m +===--=++，所以221,1212m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MN 的中点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭.所以221121111241221222OMN M N m m S OT y y m m m m=-==⨯=⨯+++ …当且仅当12m m =，即m =时取等号，所以OMN .。

长郡中学2021-2022学年度高二第一学期期中考试数学2021.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分100分．第Ⅰ卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量()0,1,1a =- ，则向量a 的模a为（）A ．1B ．2C D ．122．数列{}n a 为等差数列，若244a a +=，则3a =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．双曲线221x y -=的离心率是（）A ．1B ．12C ．2D 4．直线123x y-+=在x 轴上的截距为（）A ．2B ．2-C ．3-D ．35．已知圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形，则该圆锥的侧面积是（）A ．64πB ．48πC ．32πD ．16π6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A ，(0,B ，动点M 满足4MA MB +=，则MA MB ⋅的最大值为（）A ．2-B ．0C ．1D ．27．如图所示，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点E 是棱BC 的中点，点G 是棱DD '的中点，则异面直线GB 与B E '所成的角为（）A ．120°B ．90°C ．60°D ．30°8．对任一实数序列()123,,,A a a a = ，定义序列()213243,,A a a a a a a =--- …，它的第n 项为1n n a a +-．假定序列()A 的所有项都为1，且1820170a a ==，则2021a =（）A ．1000B ．2000C ．2003D ．4006二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9．数列{}n a 满足11a =，对任意n *∈N ，都有11n n a a +=+，数列{}n a 前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（）A ．22a =B ．36a =C ．1060a =D ．()12n n n S +=10．已知直线:10l mx y ++=，A （1，2），B （3，3），则下列结论正确的是（）A ．当1m =时，直线l 的倾斜角为45°B 当0m =时，直线l 的斜率不存在C ．直线恒过定点()0,1-D ．当2m =时，直线l 与直线AB 垂直11．若函数y =的图象与直线20x y m -+=有公共点，则实数m 的可能取值为（）A ．1-B ．1C ．1-D ．012．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（）A ．2p =B ．F 为AD 中点C ．2BD BF=D ．2BF =第Ⅱ卷三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）13．已知M 是椭圆22:195x y C +=上的一点，则点M 到两焦点的距离之和是．14．正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为．15．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为钱．16．2020年11月，我国用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，探测器在进入近圆形的环月轨道后，将实施着陆器和上升器组合体与轨道器和返回器组合体分离．我们模拟以下情景：如图，假设月心位于坐标原点O ，探测器在()A 处以12km/s 的速度匀速直线飞向距月心2000km 的圆形轨道上的某一点P ，在点P 处分离出着陆器和上升器组合体后，轨道器和返回器组合体立即以18km /s 的速度匀速直线飞至()0,3000B ，这一过程最少用时s ．四、解答题（本题共6小题，每小题8分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（6分）已知ABC △三个顶点是()1,4A -，()2,1B --，()2,3C ．（1）求BC 边上的垂直平分线的直线方程；（2）求点A 到BC 边所在直线的距离．18．（8分）已知双曲线C 与椭圆2214924x y +=有公共焦点，且它的一条渐近线为43y x =．（1）求椭圆的焦点坐标；（2）求双曲线C 的标准方程．19．（8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．（1）求数列{}n a 的前n 项和n S ，以及数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足：10n n b a =-，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值．20．（8分）已知m ∈R ，直线()2:14l mx m y m -+=和圆22:84160C x y x y +-++=．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？21．（8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，222AB AD BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PBD ；（2）若直线PD 与底面ABCD 所成的角的正切值为，求二面角B PC D --的正切值．22．（10分）设抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，已知OM =，3MF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，P 为C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 分别与C 的准线相交于D ，E 两点，证明：以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点．长郡中学2021—2022学年度高二第一学期期中考试数学参考答案题号123456789101112答案C B D B CCBDADCDABCDABC一、单项选择题1.C2.B3.D4.B5.C6.C易知M 的轨迹为椭圆，其方程为2214y x +=，设(),M x y ，则2214y x =-，∴()()222223,313244y y MA MB x y x y x y y ⎛⎫⋅=--⋅--=+-=+--=- ⎪⎝⎭ ，因为[]2,2y ∈-，所以[]230,34y ∈，即[]2322,14y -∈-，∴()max1MA MB ⋅= .故选C.7.B 8.D【解析】依题意知A ∆是公差为1的等差数列，设其首项为a ，通项为n b ，则()111n b a n n a =+-⨯=+-，于是()()()()()()1111111111221122n n n k k k k k n a n a n n a a a a a b a a n a --+==-++-⎡⎤--⎣⎦=+-=+=+=+-+∑∑.由于1820170a a ==，即111713602016201510080a a a a ++=⎧⎨++⨯=⎩，解得1016a =-，117136a =.故()202120192020171362020101640062a ⨯=+⨯-+=.故选D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对得2分）9.AD10.CD11.ABCD12.ABC 【解析】如图，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l ，则直线方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，联立222y pxp y x ⎧=⎪⎨⎫=-⎪⎪⎭⎩，得22122030x px p -+=.解得32A x p =，16Bx p =，由32422pAF p p =+==，得2p =.∴抛物线方程为24y x =.1163B x p ==，则14133BF =+=；4831cos 6032BF BD ===︒，∴2BD BF =，48433BD BF +=+=，则F 为AD 中点.∴运算结论正确的是A 、B 、C.故选：ABC.三、填空题13.614.83【解析】：∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积211822333V Sh ==⨯⨯=.15.23【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a d +，2a d +，则根据题意有()()()()()()()()22522a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=⎧⎪⎨-+-=++++⎪⎩，解得116a d =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以戊所得为223a d +=.16.80009【解析】设PA a =，PB b =，飞行过程所用时间121218123PA PB t a b ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23PC b =，即23PC PB =，设点()0,C m 在圆形轨道内，取点P 坐标为()0,2000，而()0,3000B ，由23PC PB =得()22000300020003m -=-，40003m =，即40000,3C ⎛⎫⎪⎝⎭，设动点(),P x y ，当23PC PB ==，化简整理得2222000x y +=，即满足23PC PB =的动点P 的轨迹就是给定的圆形轨道，所以距月心2000km 的圆形轨道上的任意点P 均有23PC PB =成立，如图，连PC ，于是有320003PA PC AC +==≥，当且仅当P 为线段AC 与圆形轨道交点时取“＝”，即有()111320008000121812121239PA PB t PA PC AC =+=+⋅=⋅=≥，所以这一过程最少用时8000s 9.四、解答题17.【解析】（1）∵()2,1B --，()2,3C ，∴31122BC k +==+，则所求直线的斜率为：1k =-.又BC 的中点D 的坐标为()0,1，所以BC 边上的中垂线所在的直线方程为：10x y +-=.（2）直线BC 的方程为：10x y -+=，则点()1,4A -到直线:10BC x y -+=的距离为：d ==.18.【解析】（1）椭圆2214924x y +=的焦点坐标为()5,0±.（2）设C 的方程为()220916x y λλ-=>，即221916x y λλ-=，依题意91625λλ+=，解得1λ=，所以C 的标准方程为：221916x y -=.19.【解析】（1）由题意知：312n S nn =+，则232n n n S +=，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-；而13112a =⨯-=，∴31n a n =-，*n ∈N .（2）311n b n =-，当1,2,3n =时0n b <，当4n ≥时0n b >，故()3min 15n S S ==-.20.【解析】（1）∵21mk m =+，∴20km m k -+=（*），（求出斜率表达式给2分）∵m ∈R ，∴当0k ≠时，0∆≥，解得1122k -≤≤且0k ≠，又当0k =时，0m =，方程（*）有解，综上所述，1122k -≤≤.（2）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，则120ACB ∠=︒.∵圆()()22:424C x y -++=，∴圆心()4,2C -到l 的距离为1.1=，整理得423530m m ++=∵254330∆=-⨯⨯<，∴423530m m ++=无实数解.因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧.21.【解析】（1）证明：在四边形ABCD 中，ADBC ∥，90ABC ∠=︒，22AB AD BC ===，所以ABD △，BCD △都为等腰直角三角形，即CD DB ⊥，又因为平面PBC ⊥平面ABCD ，90PBC ∠=︒，平面PBC ⋂平面ABCD BC =，所以直线PB ⊥平面ABCD ，又CD ⊂平面ABCD ，所以PB CD ⊥，又PB BD B ⋂=，所以CD ⊥平面PBD .（2）以B为原点，BC ，BP ，BA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，如图，2BC =，则1AB =，CDBD ==，因为直线PD 与底面ABCD 所成角的正切值为，所以在Rt PBD △中，tan PB PDB BD ∠===∴4PB =.设平面PBC 和平面PDC 法向量分别为m ，n ，易知可取()0,0,1m = ，(),,n x y z，因为()2,4,0PC =- ，()1,0,1CD =-，所以00PC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2400x y x z -=⎧⎨-+=⎩，令2z =，解得()2,1,2n = .设所求二面角为θ，所以2cos 3m nm nθ⋅===，∴tan 2θ=.22.【解析】（1）设点()00,M x y ，因为点M 在抛物线C上，OM =2002200212y px x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得200212x px +=，即()22012x p p +=+.因为00x >，则0x p =-.因为3MF =，则032p x +=32p -=，所以221232p p ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，化简得2440p p -+=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24y x =.（2）设直线l 的方程为1x ty =+，代入24y x =，得2440y ty --=.设点211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，则124y y t +=，124y y =-.设点2,4m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则12211444PA y m k y m y m -==+-，直线PA 的方程为2144m y m x y m ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭.令1x =-，得21114414my m y m y m y m ⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭，所以点1141,my D y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.同理，点2241,my E y m ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.设以线段DE 为直径的圆与x 轴的交点为(),0N a ，则1141,my DN a y m ⎛⎫-=+- ⎪+⎝⎭ ，2241,my EN a y m ⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭.因为DN EN ⊥，则0DN EN ⋅= ，即()212124410my my a y m y m--++⋅=++，∴()()()()()()()2221212122212121244416416161444my my m y y m y y m mt a y m y m y y m y y m m mt ---+++-+=-=-==++++++-，得1a =或3-.故以线段DE 为直径的圆经过x 轴上的两个定点()1,0和()3,0-。

2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）（23-24高二上·广东清远·期中）在四面体OOOOOOOO 中，点MM ,NN 分别为线段OOOO ,OOOO 的中点，若MMNN�������⃗=xxOOOO�����⃗+yyOOOO �����⃗+zzOOOO �����⃗，则xx +yy +zz 的值为（ ）A ．32B ．1C ．12D ．14 【解题思路】先依据空间向量基本定理利用向量OOOO �����⃗,OOOO �����⃗,OOOO �����⃗表示向量MMNN �������⃗，进而求得xx ,yy ,zz 的值，即可求得xx +yy +zz 的值. 【解答过程】由MMNN �������⃗=OONN ������⃗−OOMM ������⃗=12OOOO �����⃗+12OOOO �����⃗−12OOOO �����⃗ 又MMNN �������⃗=xxOOOO �����⃗+yyOOOO �����⃗+zzOOOO �����⃗，则⎩⎪⎨⎪⎧xx −12yy =12zz =12 所以xx +yy +zz =12故选：C. 2．（5分）（23-24高二上·广东广州·期中）已知点OO (2,−3),OO (−5,−2)，若直线ll :mmxx −yy +mm +1=0与线段AB （含端点）有公共点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．�−43,34�B ．�−∞,−43�∪�34,+∞�C ．�−34,43�D ．�−∞,−34�∪�43,+∞� 【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【解答过程】由mmxx −yy +mm +1=0，得yy −1=mm (xx +1)，所以直线l 的方程恒过定点PP (−1,1)，斜率为mm .因为OO(2,−3)，OO(−5,−2)，所以kk PPPP=−3−12+1=−43，kk PPPP=−2−1−5+1=34.由题意可知，作出图形如图所示，由图象可知，mm≥34或mm≤−43，所以实数m的取值范围为�−∞,−43�∪�34,+∞�.故选：B.3．（5分）（23-24高二上·重庆·期中）已知EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，点MM在正方体表面上������⃗⋅MMEE������⃗的最小值为（）运动，则MMEEA．−48B．−32C．−16D．0������⃗⋅MMEE������⃗的表达式|OOMM������⃗|2−48，确【解题思路】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得MMEE������⃗|的最小值，即得答案.定|OOMM【解答过程】如图，EEEE是棱长为8的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为√82+82+822=4√3,�����⃗=−OOEE�����⃗，设外接球球心为OO，则OOEE������⃗⋅MMEE������⃗=(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)⋅(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)=(MMOO������⃗+OOEE�����⃗)⋅(MMOO������⃗−OOEE�����⃗)则MMEE=|MMOO������⃗|2−|OOEE�����⃗|2=|MMOO������⃗|2−(4√3)2=|OOMM������⃗|2−48,由于点MM在正方体表面上运动，������⃗|2的最小值为球心OO与正方体面的中心连线的长，故|OOMM即为正方体棱长的一半，为82=4，������⃗⋅MMEE������⃗的最小值为42−48=−32，所以MMEE故选：B.4．（5分）（23-24高二上·广东珠海·期中）已知抛物线yy2=2ppxx，过其焦点F的直线与该抛物线交于A、B两点，A在第一象限，且OOEE=2EEOO，则直线AB的斜率为（）A．1 B．√2C．2√2D．无法确定【解题思路】结合题意及抛物线的定义，分析该几何图形，利用△OOOOOO为直角三角形，得到边角关系，进而求得斜率.【解答过程】结合题意：可知抛物线yy2=2ppxx的准线为：xx=−pp2，如图所示：过OO,OO分别作准线的垂线OOMM,OONN，垂足为MM,NN,过点OO作OOMM的垂线，垂足为点OO,设OOEE=2xx，直线OOOO的倾斜角为αα，因为OOEE=2EEOO,所以EEOO=xx,OOOO=3xx，由抛物线的定义：OOEE=OOMM=2xx,OOEE=OONN=xx，结合图形易知：OONN=OOMM，∠OOOOOO=αα,所以OOOO=OOMM−OOMM=xx，在直角三角形△OOOOOO中，OOOO=√OOOO2−OOOO2=2√2xx，所以直线AB的斜率kk=tanαα=tan∠OOOOOO=PPBB PPBB=2√2xx xx=2√2.故选：C.5．（5分）（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知F为椭圆C：xx29+yy2=1的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：xx2+(yy−4)2=1上一点，则|PPPP|−|PPEE|的最小值为（）A．−2√6B．2√6C．−5+2√6D．−7+2√6【解题思路】要求的|PPPP|−|PPEE|最小值，根据椭圆的定义可以转化为|PPPP|+|PPEE|−6（其中EE为椭圆的左焦点），即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，即为圆心与的距离减去半径，进而解决问题．【解答过程】如图，由题可知，圆MM的圆心坐标为(0,4)，半径为1，设椭圆OO的左焦点为EE，即EE�−2√2,0�，则|PPPP|−|PPEE|=|PPPP|−(2aa−|PPEE|)=|PPPP|+|PPEE|−6，故要求|PPPP|−|PPEE|的最小值，即求|PPPP|+|PPEE|的最小值，所以|PPPP|+|PPEE|的最小值等于|MMEE|−1=√8+16−1=2√6−1，即|PPPP|−|PPEE|的最小值为−7+2√6，故选：D．6．（5分）（23-24高二上·山东济宁·期中）已知圆OO的方程为xx2+yy2=9，直线ll:xx+2yy−10=0，点PP是直线ll上的一动点，过PP作圆OO OO,OO，当四边形PPOOOOOO的面积最小时，直线OOOO的方程为（）A．2xx+4yy+9=0B．4xx+2yy+9=0C．4xx+2yy−9=0D．2xx+4yy−9=0【解题思路】由题意可得当点PP到圆心的距离最小时，切线PPOO,PPOO的长度最小，此时四边形PPOOOOOO的面积最小，求出点PP的坐标，以OOPP为直径的圆的方程，两圆相减得到直线OOOO的方程.【解答过程】由圆OO 的方程为xx 2+yy 2=9可知圆心OO (0,0)，半径rr =3，点PP 到圆心的距离最小时，切线PPOO ,PPOO 的长度最小，此时四边形PPOOOOOO 的面积最小，所以kk OOPP ×�−12�=−1，kk OOPP =2，所以直线OOPP 的方程为yy =2xx ， 联立�yy =2xx xx +2yy −10=0 ，解得PP (2,4)， 以OOPP =√22+42=√20为直径，以OO ,PP 中点(1,2)为圆心的圆方程为(xx −1)2+(yy −2)2=5， 两圆方程相减可得直线OOOO 的方程2xx +4yy −9=0，故选：D.7．（5分）（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线OO ：xx 2aa 2−yy 2bb 2=1(aa >0,bb >0)的左、右焦点分别为EE 1(−cc ,0)，EE 2(cc ,0)，过点EE 1的直线ll 与双曲线OO 的左支交于点OO ，与双曲线OO 的一条渐近线在第一象限交于点OO ，且|EE 1EE 2|=2|OOOO |（OO 为坐标原点）.下列三个结论正确的是（ ）①OO 的坐标为(aa ,bb )；②|OOEE 1|−|OOEE 2|>2aa ；③若OOOO �����⃗=3EE 1OO �������⃗，则双曲线OO 的离心率1+√173； A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③【解题思路】按题意利用双曲线的定义或进行坐标运算逐个判断即可【解答过程】对于①：由题意可知直线OOOO :yy =bb aa xx ， 设OO �xx 0,bb aa xx 0�(xx 0>0)，则|OOOO |=�xx 02+�bb aa xx 0�2=ccxx 0aa =cc ，可得xx 0=aa即OO (aa ,bb )，故①正确； 对于②：设直线ll 与双曲线的右支交于点MM ，由双曲线的定义可得：|MMEE 1|−|MMEE 2|=2aa ， 在△MMOOEE 2中可得|MMOO |>|MMEE 2|−|OOEE 2|，即|MMOO |−|MMEE 2|>−|OOEE 2|， 所以|MMEE 1|−|MMEE 2|=|OOEE 1|+|MMOO |−|MMEE 2|>|OOEE 1|−|OOEE 2|，即|OOEE 1|−|OOEE 2|<2aa ，故②错误； 对于③：设OO (xx 1,yy 1)(xx 1<0)，由EE 1(−cc ,0)，可得OOOO �����⃗=(aa −xx 1,bb −yy 1)，EE 1OO �������⃗=(xx 1+cc ,yy 1)， 因为OOOO �����⃗=3EE 1OO �������⃗，则�aa −xx 1=3(xx 1+cc )bb −yy 1=3yy 1 ，解得�xx 1=aa−3cc 4yy 1=bb 4 ， 即OO �aa−3cc 4,bb 4�，由点OO 在双曲线上可得�aa−3cc 4�2aa 2−�bb 4�2bb 2=1，整理得3cc −aa =√17aa ，解得ee =1+√173，故③正确；故选：C.8．（5分）（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体OOOOOOAA−OO1OO1OO1AA1中，P为线段OO1OO上的动点，则下列结论错误的是（）A．直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是ππ6B．当OO1PP=2PPOO时，点AA1到平面OO1OOPP的距离为23C．当OO1PP=2PPOO时，OOPP=2√143D．若OO1PP�������⃗=13OO1OO�������⃗,则二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√36【解题思路】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC 后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D 的正误.【解答过程】建立如图所示的空间直角坐标系，则OO(0,0,0),OO(2,0,0),OO(2,2,0),AA(0,2,0)，OO1(0,0,2),OO1(2,0,2),OO1(2,2,2),AA(0,2,2)，对于A，设OO1PP�������⃗=ttOO1OO�������⃗=tt(0,2,−2)=(0,2tt,−2tt)(0≤tt≤1)，故PP(2,2tt,2−2tt)，故OO1PP�������⃗=(2,2tt,−2tt)，而OOAA������⃗=(−2,2,0)，设直线OO1PP与OOAA所成的角为θθ，则cosθθ=�PPBB������⃗⋅PPPP�����⃗�PPBB������⃗��PPPP�����⃗��=4−4tt2√2×√4+4tt2+4tt2，若直线OO1PP与OOAA所成的角是π6，则4−4tt2√2×√4+8tt2=√32，整理得到：4tt2+4tt+1=0，此方程在[0,1]上无实数解，故直线OO1PP与OOAA所成的角不可能是π6，故A正确.对于B，当OO1PP=2PPOO时，结合A中分析可得tt=23，故PP�2,43,23�，�����⃗=�0,43,23�，而OOOO1��������⃗=(−2,0,2)，设平面OO1OOPP的法向量为mm��⃗=(xx,yy,zz)，故OOPP则�mm��⃗⋅OOPP�����⃗=0mm��⃗⋅OOOO1��������⃗=0即�43yy+23zz=0−2xx+2zz=0，取xx=2，则yy=−1，zz=2，故mm��⃗=(2,−1,2)，又AA1OO1����������⃗=(0,−2,0)，故AA1到平面OO1OOPP的距离为�mm���⃗⋅BB1PP1�����������⃗|mm���⃗|�=23，故B正确.对于C，当OO1PP=2PPOO时，又B的分析可得PP�2,43,23�，故OOPP�����⃗=�2,43,23�，�����⃗�=�4+209=√563=2√143，故C正确.故�OOPP对于D，当OO1PP�������⃗=13OO1OO�������⃗时，结合OO的分析可得tt=13，此时PP�2,23,43�，�����⃗=�0,23,43�，而OOOO1��������⃗=(−2,0,2)，设此时平面OO1OOPP的法向量为nn�⃗=(aa,bb,cc)，故OOPP则�nn�⃗⋅OOPP�����⃗=0nn�⃗⋅OOOO1��������⃗=0即�23bb+43cc=0−2aa+2cc=0，取aa=1，则bb=−2，cc=1，故nn�⃗=(1,−2,1)，又OO1PP�������⃗=PP�2,23,−23�，OO1OO1���������⃗=(2,0,0)，设平面OO1OO1PP的法向量为ss⃗=(uu,vv,ww)，则�nn�⃗⋅OO1PP�������⃗=0nn�⃗⋅OO1OO1���������⃗=0即�2uu+23vv−23ww=02uu=0，取vv=1，则uu=0，ww=1，故ss⃗=(0,1,1)，故cos⟨ss⃗,nn�⃗⟩=2√6×√2=√36，故二面角OO−OO1PP−OO1的平面角的正弦值为√336，故D错误.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。