代数式中的相关概念

第06讲代数式相关概念（8大考点）考点考向一．代数式代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b23，a+2等．注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈．②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等．二．列代数式（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．【规律方法】列代数式应该注意的四个问题1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．三．代数式求值（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．四．规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．五．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．六．整式（1）概念：单项式和多项式统称为整式．他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数．（2）规律方法总结：①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字．②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论．七．单项式（1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义．（2）单项式的系数、次数单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式．八．多项式（1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．（2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式考点精讲一．代数式（共2小题）1．（2021秋•海安市期中）下列各式中，符合代数式书写要求的是（）A．x•5B ．﹣ab C．1x D．4m×n【分析】根据代数式的书写要求判断各项．【解答】解：A、字母与数字相乘时，乘号省略不写，数字写在前面，原书写错误，故此选项不符合题意；B、符合代数式的书写要求，原书写正确，故此选项符合题意；C、带分数应写成假分数，原书写错误，故此选项不符合题意；D、字母与字母相乘时，通常简写成“•”或者省略不写，原书写错误，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查代数式的书写规则．解题的关键是掌握代数式的书写规则：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．2．（2021秋•高淳区期中）某超市的苹果价格如图，试说明代数式100﹣9.8x的实际意义用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱．【分析】根据题意结合图片得出代数式100﹣9.8x的实际意义．【解答】解：代数式100﹣9.8x的实际意义为：用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱．故答案为：用100元买每斤9.8元的苹果x斤余下的钱．【点评】此题主要考查了代数式，结合题意利用图片得出是解题关键．二．列代数式（共6小题）3．（2021秋•惠山区期末）某校开展了丰富多彩的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（m+11）人（用含m的代数式表示）．【分析】根据题意和题目中的数据，可以用含m的代数式表示出参加文艺类社团的人数和参加科技类社团的人数，然后将三个社团的人数相加，即可求得参加三类社团的总人数．【解答】解：由题意可得，参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的有（m+6）人，参加科技类社团的有[（m+6）+2]人，故参加三类社团的总人数为：m+（m+6）+[（m+6）+2]＝m+m+6+（m+6）+2＝m+m+6+m+3+2＝（m+11）人．故答案为：（m+11）人．【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是用含m的代数式表示出参加文艺类社团的人数和参加科技类社团的人数．4．（2021秋•溧水区期末）用代数式表示图中阴影部分的面积ab﹣πb2．【分析】用矩形的面积减去半径为b的半圆的面积即可得到阴影部分的面积．【解答】解：S阴影部分＝S矩形﹣S半圆＝ab﹣πb2，故答案为：ab﹣πb2【点评】本题考查了列代数式的知识，解题的关键是明确阴影部分的面积的求法．5．（2021秋•宝应县期末）甲超市在中秋节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4kg以上的苹果，超过4kg的部分按标价6折售卖，x（单位：kg）表示购买苹果的质量．（1）中秋节这天，小明购买3kg苹果需付款30元；购买5kg苹果需付款46元；（2）中秋节这天，小明需购买苹果xkg，则小明需付款10x或（6x+16）元；（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖，小明如果要购买多少kg苹果时，随便在哪家购买都一样？【分析】（1）根据在不同购买量不同的价格进行计算；（2）分x≤4和x＞4两种情况进行列式表达；（3）根据两家超市的优惠方案列方程求解即可．【解答】解：（1）10×3＝30（元），10×4+10×0.6×（5﹣4）＝40+6×1＝40+6＝46（元），故答案为：30，46；（2）当x≤4时，小明需付款10x元，当x＞4时，小明需付款10×4+10×0.6×（x﹣4）＝40+6×（x﹣4）＝40+6x﹣24＝（6x+16）（元），故答案为：10x或（6x+16）；（3）由题意列方程得，10×4+10×0.6×（x﹣4）＝10×0.8x，解得x＝8，答：小明如果要购买8kg苹果时，随便在哪家购买都一样．【点评】此题考查了根据实际问题列代数式的能力，关键是能准确理解实际问题中的数量关系．6．（2021秋•溧阳市期末）为“美丽乡村”建设，某市对市属国道两旁绿化区域进行绿化升级，“阳光”工程队承包了该路段绿化升级工程，原计划每天绿化升级0.5公里，施工开始时，工程队改变计划，实际施工绿化升级是原计划的1.6倍，已知该市需要绿化升级的总长为a公里，完成这项工程的实际时间比原计划时间少用天（用含a的代数式表示）．【分析】用原计划的天数﹣实际天数即可得解．【解答】解：原计划的天数为（天），实际天数为（天），（天）．故答案为：．【点评】本题主要考查了列代数式，解题的关键是求出原计划的天数和实际天数．7．（2021秋•南京期末）小淇同学在元旦晚会上表演了一个节目：他准备了♥（红桃）和♠（黑桃）的扑克牌各10张，洗匀后将这些牌的牌面朝下，排成两列：一列m（m＞10）张，一列（20﹣m）张，他立刻报出长的一列中的♠（黑桃）比短的一列中的♥（红桃）多了（m ﹣10）张．（结果用含有m的代数式表示）【分析】设一列m（m＞10）张的黑桃有n张，则红桃有（m﹣n）张，再求出短的一列中红桃有10﹣（m﹣n）＝（10﹣m+n）张，两种牌数作差即可﹒【解答】解：设一列m（m＞10）张的黑桃有n张，则红桃有（m﹣n）张，短的一列中红桃有10﹣（m﹣n）＝（10﹣m+n）张，：．长的一列中的（黑桃）比短的一列中的（红桃）多：n﹣（10﹣m+n）＝（m﹣10）张．故答案为：（m﹣10）．【点评】本题考查用代数式表示数，整式的加减法运算，掌握用代数式表示数的方法，整式的加减法运算去括号合并同类项是解题关键﹒8．（2021秋•如东县期末）一个两位数的个位上的数是a，十位上的数是b，列式表示这个两位数为10b+a．【分析】个位数字a，十位数字b的两位数可以表示为：10b+a．【解答】个位数字a，十位数字b的两位数是：10×b+1×a＝10b+a，故答案为：10b+a．【点评】本题考查正整数的代数式表示．注意代数式表示数字与具体数字表示的区别．三．代数式求值（共7小题）9．（2021秋•广陵区期末）已知a﹣2b2＝3，则2022﹣2a+4b2的值是（）A．2016B．2028C．2019D．2025【分析】将原式变形为2022﹣2（a﹣2b2），然后把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：2022﹣2a+4b2＝2022﹣2（a﹣2b2），∵a﹣2b2＝3，∴原式＝2022﹣2×3＝2016．【点评】本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用．10．（2021秋•江都区期末）已知﹣2x+y＝2，则（2x﹣y）2+2x﹣y﹣3＝﹣1．【分析】由﹣2x+y＝2得出2x﹣y＝﹣2，整体代入进行计算即可得出答案．【解答】解：∵﹣2x+y＝2，∴2x﹣y＝﹣2，∴（2x﹣y）2+2x﹣y﹣3＝（﹣2）2+（﹣2）﹣3＝4﹣2﹣3＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了代数式求值，由﹣2x+y＝2得出2x﹣y＝﹣2是解题的关键．11．（2021秋•溧阳市期末）若2x﹣y＝﹣3，则6﹣4x+2y＝12．【分析】首先变形6﹣4x+2y＝6﹣2（2x﹣y），再把2x﹣y＝﹣3代入可得答案．【解答】解：∵2x﹣y＝﹣3，∴6﹣4x+2y＝6﹣2（2x﹣y）＝6﹣2×（﹣3）＝12，故答案为：12．【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是变形6﹣4x+2y＝6﹣2（2x﹣y）．12．（2021秋•仪征市期末）如图是一个数值运算的程序，若输入的x值为5，则输出的y值为12．【分析】根据运算程序中的计算顺序，将x＝5代入即可．【解答】解：由题意得，y＝＝12．故答案为：12．【点评】本题是程序运算题，考查了有理数的混合运算，根据程序得到运算顺序是解题的关键．13．（2021秋•徐州期末）若a﹣2b+1＝0，则代数式3a﹣6b的值为﹣3．【分析】根据a﹣2b+1＝0，可得：a﹣2b＝﹣1，再整体代入即可．【解答】解：∵a﹣2b+1＝0，∴a﹣2b＝﹣1，∴3a﹣6b＝3×（﹣1）＝﹣3故答案为：﹣3．【点评】本题考查了代数式求值问题，涉及到整体代入，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入计算，有时需要整体代入．14．（2021秋•高新区期末）已知关于x的代数式2x2﹣bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关，则a+b＝﹣13．【分析】根据已知列出关于a、b的方程，求出a、b的值，再代入即可得到答案．【解答】解：∵关于x的代数式2x2﹣bx2﹣y+6和ax+17x﹣5y﹣1的值都与字母x的取值无关，∴2﹣b＝0，a+17＝0，∴a＝﹣17，b＝4，∴a+b＝﹣17+4＝﹣13．故答案为：﹣13．【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握代数式的值与x无关，则含x的同类项合并后系数为0．15．（2021秋•宝应县期末）如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为2021．【分析】把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．【解答】解：把1921代入得：（1921﹣1840+50）×（﹣1）＝﹣131＜1000，把﹣131代入得：（﹣131﹣1840+50）×（﹣1）＝1921＞1000，则输出结果为1921+100＝2021．故答案为：2021．【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．四．规律型：数字的变化类（共6小题）16．（2021秋•徐州期末）下列一组数：1，2，3，4，3，2，1，2，3，4，3，2，1，2，…其中第2022个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】不难发现这组数以1，2，3，4，3，2，这6个数不断循环出现，则2022÷6＝372，从而可判断第2022个数．【解答】解：由题意得：这组数以1，2，3，4，3，2，这6个数不断循环出现，∵2022÷6＝337，∴第2022个数是2．故选：B．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析出存在的规律．17．（2021秋•广陵区期末）【阅读】计算1+3+32+...+3100的值时，令S＝1+3+32+ (3100)则3S＝3+32+33+…+3100+3101，因此3S﹣S＝3101﹣1，所以．仿照以上推理，计算：＝．【分析】令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+...+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣ (42021)42022，求出S＝﹣，再运算即可．【解答】解：令S＝1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021，则4S＝4﹣42+43﹣44+45﹣…+42021﹣42022，∴5S＝1﹣42022，∴S＝﹣，∴1﹣4+42﹣43+44﹣45+…+42020﹣42021+＝﹣+＝，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化规律，根据所给的例子仿照列式，并准确计算是解题的关键．18．（2021秋•东台市期末）如图，“海春书局”把WIFI密码做成了数学题．小红在海春书局看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“海春书局”的网络，那么她输入的密码是88．【分析】通过观察发现，密码的前两位数是第一个数字与第三个数的乘积，中间两位数字是第二个数与第三个数的乘积，最后两个数是所得的两个积的和．【解答】解：通过观察可知密码的前两位数是2×8＝16，中间两位数是9×8＝72，最后两位数是16+72＝88，故答案为：88．【点评】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的密码，探索出密码与所给数字之间的运算关系是解题的关键．19．（2021秋•连云港期末）观察下列两行数：3，5，7，9，11，13，15，17，19，…．4，7，10，13，16，19，22，25，…．探究发现：第1个相同的数是7，第2个相同的数是13，…，若第n个相同的数是1801，则n等于300．【分析】由所给的数字可发现：第1个相同的数是7，第2个相同的数是13＝7+6，第3个相同的数为19＝7+6×2，…，从而可得其规律：第n个相同的数为：6（n+1），则可求解．【解答】解：第1个相同的数是7，第2个相同的数是13＝7+6，第3个相同的数为19＝7+6×2，…，则第n个相同的数为：7+6（n﹣1）＝6n+1，∴当第n个相同的数是1801时，得：6n+1＝1801，解得：n＝300．故答案为：300．【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是根据所给的数字，得出相应的规律．20．（2021秋•高新区期末）王老师在教学过程中善于把数学知识与实际生活联系在一起．在课堂上，他把全班同学分成五组，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是10、6、7、9、8．游戏规则：当他数完1后，人数最少的那一组学生不动，其他各组各出一个人去人数最少的那组；当他数完2后，此时人数最少的那一组学生不动，其他各组再各出一个人去人数最少的那组；……如此进行下去，那么如果当王老师数完2022后，C组中的人数是6．【分析】分别求出每次变化后每组的人数，发现每五次循环一次，由此可知2022后与数完2的人数相同，即可求解．【解答】解：编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是10、6、7、9、8，数完1，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是9、10、6、8、7，数完2，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是8、9、10、7、6，数完3，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是7、8、9、6、10，数完4，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是6、7、8、10、9，数完5，编号分别是A、B、C、D、E，每组的人数分别是10、6、7、9、8，……∴每五次循环一次，∵2022÷5＝404…2，∴2022后与数完2的人数相同，∴C组有10人，故答案为：10．【点评】本题考查数字的变化规律，根据题意，分别求出每次变化的人数，从而发现循环规律是解题的关键．21．（2021秋•海门市校级月考）如图，数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第8行的最后一个数是36，它是自然数8的平方，第8行共有15个数；（2）用含n的式子表示：第n行的最后一个数是n2，第n行第一个数是n2﹣2n+2，第n行共有（2n﹣1）数；（3）求第n行各数之和（只需要写出算式）【分析】（1）根据图中的数据，可以发现数字的变化特点，从而可以写出第8行的最后一个数；（2）根据题意和（1）中发现的数字变化特点，可以写出第n行的第一个数和第n行的数字个数；（3）根据前面发现的数字的变化特点进行求解即可．【解答】解：（1）由图中的数据可知，第n的行的最后一个数据是n2，每一行中的数据都是按照从小到大排列的，每行的数字个数依次为1，3，5，…，是一些连续的奇数，故第8行的最后一个数是82＝64，它是自然数8的平方，第8行共有82﹣72＝15个数；故答案为：64，8，15；（2）由题意可得，第n的行的最后一个数据是n2，第n行的第一个数是：（n﹣1）2+1＝n2﹣2n+1+2＝n2﹣2n+2，第n行共有数的个数为：n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，故答案为：n2，n2﹣2n+2，（2n﹣1）；（3）第n行各数之和为：[（n﹣1）2+1+n2]×（2n+1）＝（2n+1）（n2﹣n+1）＝2n3﹣n2+n+1．【点评】本题主要考查了数字的变化规律，发现每行末尾数字是行数的平方是解答此题的关键．五．规律型：图形的变化类（共6小题）22．（2021秋•建湖县期末）如图所示的图形是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，若要得到604个圆，则为第（）个图形．A．200B．201C．202D．302【分析】观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的个数为4+3＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝10；进而发现规律，即可得第n个图形中圆的个数，从而可求得到604个圆时，n的值．【解答】解：观察图形的变化可知：第1个图形中圆的个数为4；第2个图形中圆的个数为4+3＝4+3×1＝7；第3个图形中圆的个数为4+3+3＝4+3×2＝10；…则第n个图形中圆的个数为4+3×（n﹣1）＝3n+1．当有604个圆时，得3n+1＝604，解得：n＝201．故选：B．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，总结规律．23．（2021秋•新吴区期末）由点组成的正方形，每条边上的点数n与总点数s的关系如图所示，则当n＝60时，计算s的值为（）A．220B．236C．240D．216【分析】观察可得规律：n每增加一个数，s就增加四个．【解答】解：n＝2时，s＝4＝1×4；n＝3时，s＝8＝2×4；n＝4时，s＝12＝3×4；…；n＝60时，s＝（60﹣1）×4＝236．故选：B．【点评】主要培养学生的观察能力和空间想象能力．24．（2021秋•宝应县期末）某地铺设矩形人行道，由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推．现在街道上铺设一条这样的人行道，一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（2n+4）（用含n的代数式表示）．【分析】观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，据此可得答案．【解答】解：观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1，图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图3：8＝3+2×2+1＝4+2×2，归纳得：4+2n（即2n+4），∴若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（2n+4）块，故答案为：（2n+4）；【点评】本题以等腰直角三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．25．（2021秋•淮安期末）用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成正方形．第90个比第89个多179个小正方形纸片．【分析】根据图形得出第n个图形有n2个小正方形纸片即可．【解答】解：根据图形知，图1有1＝12个小正方形纸片，图2有4＝22个小正方形纸片，图3有9＝32个小正方形纸片，图4有16＝42个小正方形纸片，…，图n有n2个小正方形纸片，∴第90个图比第89个图多902﹣892＝179（个），故答案为：179．【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化归纳出第n个图形有n2个小正方形纸片是解题的关键．26．（2021秋•秦淮区期末）在某多媒体电子杂志的某一期上刊登了“正方形雪花图案的形成”的演示案例：作一个正方形，设每边长为4a，将每边四等分，作一凸一凹的两个边长为a的小正方形，得到图形如图（2）所示，称为第一次变化，再对图（2）的每个边做相同的变化，得到图形如图（3），称为第二次变化，如此连续作几次，便可得到一个绚丽多彩的雪花图案．如不断发展下去到第n次变化时，图形的面积和周长分别为（）A．16a2和2n+3a B．16a2和2n+4aC．32a2和2n+3a D．32a2和4n a【分析】观察图形，发现对正方形每进行1次分形，周长增加1倍；每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变．【解答】解：周长依次为32a，64a，128a，…，2n+4a，即无限增加，所以不断发展下去到第n次变化时，图形的周长为2n+4a；图形进行分形时，每增加一个小正方形同时又减少一个相同的小正方形，即面积不变，是一个定值16a2．故选：B．【点评】此题考查了图形的变化类，主要培养学生的观察能力和概括能力，观察出后一个图形的周长比它的前一个增加1倍是解题的关键，本题有一定难度．27．（2021秋•泰州期末）在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为6个、11个、18个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是443．【分析】根据每一个图形都是图形的个数×（图形的个数+2），再加上3，即可求出答案．【解答】解：根据所给的图形可得：第一个图有小正方形的个数是：6＝1×3+3（个），第二个图有小正方形的个数是：11＝2×4+3（个），第三个图有小正方形的个数是：18＝3×5+3（个），…，则第n个为n（n+2）+3＝n2+2n+3，第20个图有小正方形的个数是：400+40+3＝443（个），故答案为：443．【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．六．整式（共2小题）28．（2021秋•邗江区校级期中）下列代数式，其中整式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用整式的定义判断得出答案．【解答】解：整式有，m2+3m，，﹣8，共有4个．故选：D．【点评】此题主要考查了整式，正确掌握整式的定义是解题的关键．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．29．（2021秋•高港区期中）下列代数式：（1）﹣mn，（2）m，（3），（4），（5）2m+1，（6），（7），（8）x2+2x+中，整式有（）A．3个B．4个C．6个D．7个【分析】根据整式的定义即可得．【解答】解：整式的有：（1）﹣mn，（2）m，（3），（5）2m+1，（6），（8）x2+2x+，故选：C．【点评】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解题的关键．七．单项式（共4小题）30．（2021秋•新吴区期末）单项式﹣23a2b3的系数和次数分别是（）A．﹣2，8B．﹣2，5C．2，8D．﹣8，5【分析】根据单项式的系数和次数的概念求解可得．【解答】解：单项式﹣23a2b3的系数是﹣23＝﹣8，次数分别是2+3＝5，故选：D．【点评】本题主要考查单项式，解题的关键是熟练掌握单项式的系数和次数的概念．31．（2021秋•崇川区期末）关于单项式的说法，正确的是（）A．系数为2，次数是2B．系数为，次数是3C．系数为，次数是2D．系数为，次数是3【分析】根据单项式系数及次数的定义进行解答即可．【解答】解：单项式﹣xy2的系数为﹣、次数为3，故选：D．【点评】本题考查了单项式的相关概念，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数是解答此题的关键．32．（2021秋•射阳县校级期末）单项式﹣2πa2bc的次数为4．【分析】根据单项式的次数的概念解答即可．【解答】解：单项式﹣2πa2bc的次数为：2+1+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是单项式的次数的概念，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．33．（2021秋•建湖县期末）单项式﹣23xy3的次数是4．【分析】直接利用一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而得出答案．【解答】解：单项式﹣23xy3的次数是4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．八．多项式（共4小题）34．（2021秋•鼓楼区校级期末）多项式x3﹣4x2y3+26的次数是5．【分析】根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数解答．【解答】解：多项式x3﹣4x2y3+26的次数是5．故答案为：5．【点评】本题考查的是多项式，掌握多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数是解题的关键．35．（2021秋•启东市期末）若关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，则m＝．【分析】直接利用多项式系数与次数确定方法得出3m﹣1＝0，进而得出答案．【解答】解：∵关于x、y的多项式2x2+3mxy﹣y2﹣xy﹣5是二次三项式，∴3mxy﹣xy＝0，。

《2.1 代数式的概念和列代数式》知识清单《21 代数式的概念和列代数式》知识清单一、代数式的概念在数学中，代数式是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。

单独的一个数或者一个字母也叫做代数式。

例如：5，a，3x ＋ 2y，ab 等都是代数式。

需要注意的是，代数式中不含有关系符号（如等号、大于号、小于号）。

像 3 ＝ x ，x ＞ 5 这样的式子就不是代数式。

代数式可以分为有理式和无理式。

有理式包括整式和分式。

整式是指只包含加、减、乘运算的代数式，且除数不能为字母。

像 3x，x² 2x ＋ 1 等都是整式。

分式则是指除数中含有字母的有理式，例如 2 ／ x ，（x ＋ 1) ／（x 1) 等。

无理式是指被开方数含有字母的代数式，如√x ，³√（x ＋ y) 等。

二、列代数式列代数式就是把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。

1、抓住关键词语在列代数式时，要认真审题，抓住题目中的关键语句，准确理解数量关系。

例如，“x 的 3 倍与 5 的差”，其中“x 的 3 倍”表示为 3x ，“差”用减法，所以代数式为 3x 5 。

2、明确运算顺序在列代数式时，要注意运算顺序。

一般先读的先写，后读的后运算。

比如，“x 与 y 的和的平方”，先算和，即 x ＋ y ，再平方，所以代数式为（x ＋ y)²。

3、正确使用括号当需要改变运算顺序时，要正确使用括号。

比如，“a 减去 b 与 c 的和”，先算 b 与 c 的和，即 b ＋ c ，所以代数式为 a （b ＋ c) 。

4、注意单位在列代数式时，如果遇到单位名称，要根据具体情况添加括号。

例如，“小明跑步的速度是 a 米/秒，他跑了 5 分钟，所跑的路程是多少？”因为 5 分钟＝ 300 秒，所以路程为 300a 米。

5、多种情况分别列式当问题中涉及到多种情况时，要分别列式。

初中数学知识点总结：代数式的相关概念知识点总结一、代数式的定义：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

注意：(1)单个数字与字母也是代数式;(2)代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号;(3)代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解。

三、整式：单项式与多项式统称为整式。

1.单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数;单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。

特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。

2.多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项;在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

四、升(降)幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升(降)幂排列。

五、代数式书写要求：1.代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写;数与字母相乘时，数应写在字母前面;数与数相乘时，仍用“×”号;2.数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序.如式子(a+b)·2·a 应写成2a(a+b);3.带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘;4.在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写;5.在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面;如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，(2a-b)kg。

六、系数与次数单项式的系数和次数，多项式的项数和次数。

1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。

注意：(1)单项式的系数包括它前面的符号;(2)若单项式的系数是"1”或-1“时，"1"通常省略不写，但“-”号不能省略。

七年级代数式知识点及例题代数式在初中数学中占有重要地位，是进一步学习高中数学和其他科学学科的基础。

本文将为大家介绍七年级代数式的知识点，并通过例题让大家更好地掌握这些知识点。

一、代数式的概念代数式指用数字和字母以及运算符号组成的式子，例如：2x+3y或a²-b²等。

其中数字和字母都被称为代数项，符号+、-、×和÷被称为代数式的运算符号。

二、代数式的基本运算1. 合并同类项合并同类项是代数式基本原则之一。

同类项有相同的字母部分，其指数可以不同，例如：3x、5x和-2x就是同类项。

将同类项相加或相减得到的结果称为合并同类项。

例如：2x²+3x²=5x²，6xy-2xy=4xy。

2. 去括号一般情况下，可以使用分配律去掉括号，从而简化代数式。

例如：3(x+2)=3x+6。

3. 移项移项是指将代数式中的各个式子移到等式两边，通过加、减或乘、除等运算来求解。

三、代数式的解题方法1. 代入法代入法是求解代数式的一种简单方法。

将给定的数值代入代数式中，然后通过基本运算得出最终结果。

例如：已知x=2，求2x+3，将x=2代入得：2*2+3=7。

2. 整理法整理法是指通过基本运算对代数式进行化简，化简后的代数式更符合求解要求，从而实现对代数式求解的目的。

例如：已知3x+2=8，将式子化简为3x=6，然后得出x=2的解。

四、常见的七年级代数式例题1. 合并同类项：将3x+5x+2y-7y合并同类项，并化简为最简代数式。

解：同类项3x和5x的和是8x，同类项2y和-7y的和是-5y，因此合并同类项后得到8x-5y。

2. 去括号：化简3(x+2)+2(x-1)，并将其化简为最简代数式。

解：根据分配律，展开式子3(x+2)+2(x-1)得到3x+6+2x-2。

将同类项3x和2x合并，同类项6和-2合并，得到最简代数式5x+4。

3. 求解未知数：已知3x+2=8，求x的值。

代数式的值知识点一 代数式的相关概念1.代数式的定义用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子,叫做代数式单个的数或字母也是代数式.如a+b,2ab a y x xy t s a ,21,0,,,1 等。

温馨提示：(1)代数式中不含有“=”“>”“<”“≠”等符号(2)代数式中,除了含有数、字母和运算符号外,还可含有括号如2(x+y)也是代数式例1 在式子m+5、ab 、a+b<1、x 、-ah 、s=ab 中,代数式的数是 （ ）2代数式的读法(1) 按运算顺序读:a+b 读作“a 加b ”,ts 读作“s ”除以“t ”或“t 分之s ” (2)按运算结果读:a+b 读作“a 与b 的和”,t s 读作s 与t 的商 温馨提示:(1)一个代数式无论按哪种读法,都要体现运算顺序,而且不至于引起误解(2)括号内的代数式应看成一个整体,按运算结果来读3.书写要求(1)数与字母相乘或字母与字母相乘时,“×”可以省略不写或用“·”代替;(2)数与字母相乘时,数要写在字母前面,如4xa 应写作4a(3)数字因数是1或-1时,“1”常省略不写,如1×mn 写成m,-1*mn 写成-mn;(4)带分数与字母相乘时应把带分数化为假分数,如211×a 应写成a 23(5)含有字母的除式应写成分数的形式,如b÷a应写成ab(6)式子后面有单位且式子是和或差的形式时,应把式子用括号括起来,如(3+a)米,4+2(m-1)]千克等例2 下列各式:3.、350×3,x-1,2a÷b,其中符合书写要求的有 ( )个个个 D4个4.列代数式(1)列代数式的含义:列代数式就是把问题中与数量有关的词语用含有数、字母和运算符号的式子表示出来(2)列代数式的步骤:首先要认真审题,弄清问题中表示的数量关系与运算顺序,然后将题中表示数量关系的词语正确地转化为代数式温馨提示(1)正确理解问题中的数量关系是列代数式的关键,特别是要弄清楚问题中“和”“差”“积”“商”及“大”“小”“多”“少”“倍”“几分之几”等词语的含义(2)若所列代数式的结果是含有加、减的式子,且后面带有单位,要用括号把整个代数式括起来,再在后面写上单位例3用代数式表示:(1)a除b的商与5的差;(2)比m小3的数的35%;(3)m与n的和乘m与n的差(4)a的一半与b的2倍的和5.代数式表示的实际意义(1)若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义,则代数式就表示某些实际意义(2)解释一个代数式的实际意义时,可联系生活,构造问题情境,使所叙述的数量关系与代数式中的数量关系一致如代数式3b+2a的实际意义可解释为购买甲种糖果2千克,乙种糖果1千克,已知甲种糖果每千克a 元,乙种糖果每千克b 元,则平均每千克糖果的价格是3b +2a 元。

初中数学知识点总结代数式的相关概念代数式是由数或字母和基本运算符号（如加减乘除）组成的数学表达式。

它是数学中重要的基础概念之一，用来描述数与数之间的关系。

在初中数学中，代数式是学习代数的基础，了解代数式的相关概念对于后续学习代数的知识具有重要的意义。

一、代数式的定义代数式是由数字、字母、运算符号组成的表达式，它可以包含一个或多个项，每个项由系数与字母的乘积构成。

代数式中的字母表示未知数，而数字作为字母的系数表示了未知数的倍数。

代数式可以用于表示实际问题中的数学关系，是解决各种数学问题的基础。

二、代数式的基本运算1.加法：将两个或多个代数式按照字母的指数相同的项进行合并，然后将系数相加得到最终的和。

例如：3x+2x=5x。

2.减法：将减数取相反数，然后按照加法的规则进行计算。

例如：2x-3x=-x。

3.乘法：将两个代数式中的每一项按照字母的指数相加的规则进行相乘，并将得到的各项的系数相乘得到最终的积。

例如：(3x+2y)×2=6x+4y。

4.除法：将被除式除以除式，按照乘法的逆运算进行计算。

例如：(6x+4y)÷2=3x+2y。

三、代数式的合并与分解1.合并同类项：将代数式中字母的指数相同的项进行合并，然后将系数相加得到最终的结果。

例如：2x+3x=5x，2y^2+3y^2=5y^22.分解：将代数式按照括号中字母的指数进行分解，将各项按照运算符号进行合并得到最终的结果。

例如：3x+6=3(x+2)。

四、代数式的求值代数式可以通过给字母赋予具体的数值来求得结果，这个过程叫做代数式的求值。

例如：求代数式3x+2在x=4时的值，代入x=4得到3×4+2=14五、代数式的应用代数式是解决实际问题的有效工具，可以用来描述和计算各种数学关系。

例如：利用代数式可以表示速度、力和电流等物理量之间的关系，在解决与这些物理量相关的问题时，代数式能够提供有效的数学模型。

总结：代数式是由数字、字母和运算符号组成的数学表达式，用来描述数与数之间的关系。

初中数学中的代数知识点汇总代数是数学中的一个重要分支，它研究数的运算、未知数和变量之间的关系，以及多项式、方程和函数等数学结构。

在初中数学中，学生们将接触到许多与代数相关的知识点。

本文将对初中数学中的代数知识点进行汇总，帮助学生们更好地理解和掌握代数这一部分的内容。

一、代数表达式代数表达式是用数和字母组合起来表示数的式子。

在代数表达式中，字母称为变量，代表一个未知数。

初中代数表达式的知识点主要包括以下几个方面：1.1 代数表达式的基本概念：括号、系数、指数、项、多项式等概念的理解和运用。

1.2 合并同类项：将同一变量的各项相加或相减，并化简合并得到一个结果。

例如，3x + 2x可以合并为5x。

1.3 分配律：将一个数与一对括号中的每个项分别相乘或相加。

例如，2(x + 3)可以分配为2x + 6。

1.4 代数表达式的求值：用具体数值代入代数表达式中的变量，并计算出结果。

二、一元一次方程一元一次方程是指未知数只有一个，且未知数的最高次数为1的方程。

初中一元一次方程的知识点主要包括以下内容：2.1 方程的概念：由等号连接的两个代数表达式构成。

2.2 解方程的基本方法：通过加减消元、乘除消元或移项运算，求出方程中未知数的值。

2.3 方程的应用：利用方程来解决实际问题，如年龄、速度和长度等。

三、二元一次方程组二元一次方程组是指含有两个未知数和两个方程的方程组。

初中二元一次方程组的知识点主要包括以下内容：3.1 方程组的概念：由多个方程构成的一个数学系统。

3.2 方程组的解法：通过消元法、代入法或加减法来求解未知数的值。

3.3 方程组的解集表示：解集的概念，以及用不等式表示解集的方法。

四、因式分解与最大公因数因式分解是将一个代数式写成几个乘积的形式的过程，最大公因数是指能够同时整除一个代数式中的所有项的最大的公因数。

初中因式分解与最大公因数的知识点主要包括以下内容：4.1 因式分解的基本方法：把多项式写成几个乘积的形式，并合并同类项。

列代数式知识点概括摘要：一、代数式的概念1.代数式的定义2.代数式的基本组成二、代数式的分类1.单项式2.多项式3.分式4.二次根式三、代数式的运算1.代数式的加减法2.代数式的乘除法3.代数式的乘方四、代数式的性质1.代数式的基本性质2.代数式的运算规律五、代数式的应用1.代数式在数学问题中的应用2.代数式在实际生活中的应用正文：代数式是代数学中的一个重要概念，它是用运算符号连接的数字、字母和常数的表达式。

代数式可以表示数值、关系和规律，是解决数学问题的关键工具。

一、代数式的概念代数式是用运算符号（如加号、减号、乘号、除号、指数符号等）把数或表示数的字母连接起来的式子。

代数式的基本组成包括数、变量、运算符号和常数。

二、代数式的分类根据代数式的形式和特点，代数式可以分为单项式、多项式、分式和二次根式等。

1.单项式：只包含一个字母和它的指数的代数式，如3x、-2y等。

2.多项式：由多个单项式相加或相减组成的代数式，如3x - 2xy + y、2ab - 3ab + ab等。

3.分式：由分子和分母组成的代数式，如1/x、2a/b 等。

4.二次根式：形如√(ax+bx+c) 的代数式，其中a、b、c 为常数，a≠0。

三、代数式的运算代数式的运算包括加减法、乘除法和乘方。

1.代数式的加减法：将同类项相加减，如3x + 2y - x = 2x + 2y。

2.代数式的乘除法：用乘法分配律和除法的倒数原理进行运算，如(3x + 2y) * (x - y) = 3x - 2xy + 2xy - 2y = 3x - 2y。

3.代数式的乘方：对代数式进行幂运算，如(2x) = 4x。

四、代数式的性质代数式有许多基本性质，如结合律、交换律、分配律等。

代数式的运算规律是解决数学问题的关键。

五、代数式的应用代数式在数学问题中有着广泛的应用，如求解方程、证明数学定理、分析数学图形等。

代数式的知识点代数式是代数学中的基础知识，是代数运算的基本单位。

本文将介绍代数式的定义、组成要素以及常见的运算规则，以加深对代数式的理解和应用。

一、代数式的定义代数式是由数或变量及其之间的运算符号组成的符号表达式。

其中，数是确定的常数，而变量表示不确定的数或可变的量。

代数式是数和变量通过运算符号进行组合而成的一种数学表达形式，它可以表示数的关系和数的运算。

二、代数式的组成要素1. 数：代数式中的数是具体的、可计算的常数，如2、5、7等。

2. 变量：代数式中的变量表示未知数或可变的量，如x、y、z等。

变量可以表示各种数值，并在运算中代表这些数值。

三、代数式的运算规则1. 算术运算：代数式中可以使用加法、减法、乘法和除法等基本的算术运算符，来表示数的运算关系。

例如，代数式「2x + 3y」包含了两个变量x和y的加法运算。

2. 代数运算：代数式中可以使用指数运算、开方运算和求值运算等代数运算符。

例如，代数式「x^2 + y^2」表示变量x和y的平方和运算。

3. 对称性：代数式中的运算满足对称性质，如加法和乘法的交换律和结合律。

这意味着代数式中运算的次序不影响最后的结果。

例如，「ab + ba」和「(a + b)a」是等价的代数式。

4. 分配律：代数式中的乘法满足分配律，如「a(b + c) = ab + ac」。

这个规则允许将乘法运算分配到括号中的各个项上。

5. 合并同类项：代数式中可以合并拥有相同变量和相同指数的项。

例如，「3x + 2x」可以合并为「5x」。

四、代数式的应用代数式在数学和实际问题中有广泛的应用。

在数学中，代数式是解方程、推导公式及研究函数的基础。

在实际问题中，代数式可以用来描述各种关系和运算，如物体的运动、统计数据的分析等。

总结：代数式是由数和变量及其之间的运算符号组成的符号表达式。

它具有数和变量的组成要素，通过算术运算和代数运算的规则进行运算。

代数式的应用广泛，既是数学理论研究的基础，也是解决实际问题的有力工具。