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代数式整式ppt xx年xx月xx日•代数式整式的定义和分类•代数式整式的运算•代数式整式的应用•代数式整式的化简和简化目•代数式整式的综合应用•代数式整式的拓展提升录01代数式整式的定义和分类代数式是一种数学表达式，它可以用字母、数字和运算符号进行组合。
代数式中可以包含加、减、乘、除等基本运算，也可以包含括号和幂运算等复杂运算。
代数式的定义整式是一种代数式，它只包含加、减、乘、除等基本运算，不包含幂运算。
整式中只允许使用整数或整数的加减乘除运算，不能使用小数、分数或根号等运算。
整式的定义代数式可以分为单项式和多项式两种类型，其中单项式只包含一个字母或数字，多项式则包含多个单项式。
整式也可以分为单项式和多项式两种类型，其中单项式的系数必须是整数，而多项式的系数则可以是整数或整数加减乘除运算的结果。
代数式和整式的分类02代数式整式的运算1 2 3代数式的加减法运算是在代数符号前面添加适当的数，并且根据加法和减法法则进行运算。
代数式的加减法可以合并同类项，即把相同的代数项合并起来，简化计算。
代数式的加减法可以化简复杂式子，即把式子中复杂的部分用简单的符号代替，从而简化计算。
03代数式的除法可以转化为乘法的倒数，即把除法转化为乘法的倒数进行计算。
01代数式的乘除法是通过在代数符号前面添加系数相乘或相除的数，并且根据乘法和除法的运算法则进行运算。
02代数式的乘法可以分配律展开，即把一个系数分别乘入代数式的每一项中。
代数式的乘方和幂运算01代数式的乘方是通过在代数符号前面添加系数自乘的数，并且根据乘方的运算法则进行运算。
02幂运算是指在一个数或代数符号前面添加指数，即表示该数或代数式的次数。
03代数式的乘方和幂运算可以结合使用，即一个数或代数式的幂可以与另一个数或代数式的乘方相乘。
03代数式整式的应用代数式是将实际问题抽象为数学模型的重要工具。
通过将实际问题的已知量和未知量之间的关系用数学符号表示出来，能够更好地理解和分析问题的本质。
【代数式、整式】用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
注意：有等号和不等号连接的式子就不是代数式了。
整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。
单项式和多项式统称为整式。
（1）单项式的概念由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式（monomial ）。
单独一个数或一个字母也叫单项式，如Q ，-1，a 。
（2）单项式的系数1、单项式中的常数因数及性质符号叫做单项式的系数.2．如果一个单项式只含有字母因数，是正数的单项式系数为1，是负数的单项式系数为-1.（3）单项式的次数1、一个单项式中所有字母指数的和叫做这个单项式的次数。
例：4xy 的系数为4，次数为2。
x 的指数是1，y 的指数是1，指数相加得2.（1）多项式及有关概念几个单项式的和叫做多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项.一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号，看作各项的性质符号.一元N 次多项式最多N+1项。
例：在多项式2x-3中，2x 和-3是他的项，其中-3是常项数；在多项式x²+2x+18中它的项分别是x²；，2x 和18，其中18是常数项。
（2）多项式的次数多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数.（3）多项式的排列1.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2.把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
随堂练习1、下列整式：―52x 2，21（a+b ）c ，3xy ，0，332 a ，―5a 2+a 中，是单项式的有 ，是多项式的有 .2． 多项式―35a 3b ―7ab ―6ab 4+1是 次 项式，它最高项的系数是 . 3． 温度由10℃上升了t ℃后是 ℃.4． 商场中某牌子的电视机有A ，B ，C 三种型号，售价分别为3000元，3500元，4000元，三月份商场出售的这三种型号的电视机数量分别是：A 型的a 台，B 型的b 台，C 型的c 台， 则该商场三月份这三种电视的销售额是 元.5． 在y 3+1，m 3+1，―x 2y ，cab ―1，―8z ，0中，整式的个数是（ ） A. 6 B.3 C.4 D.56． 下列说法正确的是（ ）A.8―z2是多项式 B. ―x 2yz 是三次单项式，系数为0 C. x 2―3xy 2+2 x 2y 3―1是五次多项式 D. x b 5-是单项式 7． 下列结论中，正确的是（ ）A 、单项式52ab 2的系数是2，次数是2 B 、单项式a 既没有系数，也没有指数 C 、单项式—ab 2c 的系数是—1，次数是4 D 、没有加减运算的代数式是单项式8． 单项式―x 2yz 2的系数、次数分别是（ ）A ．0，2 B.0，4 C. ―1，5 D. 1，49． 下列说法正确的是（ ）A. 没有加、减运算的式子叫单项式B. 35πab 的系数是35，次数是3 C. 单项式―1的次数是0 D. 2a 2b ―2ab+3是二次三项式10．如果一个多项式的次数是5，那么这个多项式的任何一项的次数（ ）A ．都小于5 B. 都等于5 C.都不小于5 D.都不大于511．某市出租车收费标准是：起步价7元，当路程超过4km 时，每km 收费1.5元，如果某出租车行驶P （P >4），司机应收费（单位：元）( )A. 7+1.5PB. 7―1.5PC.7+（P ―4）×1.5D. 7―（P ―4）×1.512．如果单项式3a 2b43-m 的次数与单项式31x 3y 2z 2的次数相同，试求m 的值。
整式与代数式代数是数学中的一个分支，主要研究的是数与数之间的关系以及这种关系的运算规律。
其中，整式和代数式是代数学中两个重要的概念。
一、整式整式是指由常数、变量及它们的乘积与幂的和或差组成的代数式。
常数可以是整数、有理数或实数，变量可以是字母或字母组合。
通常用字母表示整式中的变量，例如x、y、z等。
整式的形式可以是：1. 单项式：只包含一个项的整式。
例如2x、-3y^2。
2. 多项式：包含多个项的整式，各项之间通过加减运算符连接。
例如3x + 4y、-2x^2 + 5xy - 7。
整式的运算规则与整数的运算规则类似，可以进行加法、减法、乘法和幂运算。
例如，对于整式3x^2 + 2xy - 5y^2，可以进行如下的运算：1. 加法：将同类项合并，即将具有相同字母部分的项加在一起。
例如，3x^2 + 2xy - 5y^2 + x^2 - 4xy可以合并为4x^2 - 2xy - 5y^2。
2. 减法：将减数取相反数，再按加法规则进行运算。
例如，3x^2 +2xy - 5y^2 - (x^2 - 4xy)可以转化为3x^2 + 2xy - 5y^2 - x^2 + 4xy。
3. 乘法：将两个整式中的每个项相乘，然后将乘积相加。
例如，(3x + 2y)(2x - 5y)可以展开为6x^2 - 15xy + 4xy - 10y^2。
4. 幂运算：将整式中的每个项进行指数运算。
例如，(2x - 3y)^2可以展开为4x^2 - 12xy + 9y^2。
二、代数式代数式是指由常数、变量及它们的乘积与幂的和、差、积、商组成的表达式。
代数式可以包括整式，也可以包括其他的代数式。
代数式的形式可以是：1. 整式：由前面讲到的整式形式组成。
2. 分式：由两个代数式通过除法运算符相除得到的表达式。
例如，(3x^2 + 2xy - 5y^2)/(2x - 3y)。
3. 根式：由代数式的开方运算得到的表达式。
例如，√(x^2 + y^2)。
第二部分 式与式的运算一、代数式、整式的运算、因式分解、分式 1.代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.单独一个字母或一个数也是代数式，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.2.单项式：只含有数或字母的乘法（含乘方）运算的代数式叫做单项式，单独一个字母或一个数也是单项式，所有字母的指数和叫做单项式的次数.3.多项式：几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数.升幂排列： 降幂排列：4.整式：单项式与多项式统称为整式.5.整式的加法：合并同类项. 添括号：()a b c a b c -+=-- 去括号：()a b c a b c +-=+-6.整式的乘法： （1）单项式×单项式:()()()212312325a b c abab c ab c +--+⋅==.（2）单项式×多项式:()2a b a ab a -=-. （3）多项式×多项式:()()a b c d +⋅+()()a c d b c d =⋅++⋅+ac ad bc bd =+++（4）乘法公式()()22a b a b a b +-=- ① ()2222a b a ab b ±=±+ ②a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab (a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ． (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3 7.整式的除法()232226422624242a b a b a b a b a b a b --÷=÷== 8.因式分解：把一个多项式表示成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解.多项式=（ ）·…·（ ） 常用方法有： （1）提公因式法：如()ab ac ad a b c d ++=++；（2）公式法（利用乘法公式）：如()()()22224222x y x y x y x y -=-=+-；（3）十字相乘法： 因式分解：243x x ++x 1 x 3所以：()()24313x x x x ++=++ 因式分解：223x x --x 1 x 3-所以：()()22313x x x x --=+- 9、分式：（1）概念：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式. （2）分式运算的符号规律：a a a ab b b b --=-=-=--； a a a b b b--==-. （3）分式通分“根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
整式与代数式知识点梳理一、整式的概念与性质：1.整式的定义与概念：整式是由常数和变量按照代数运算法则通过加减乘除及乘方得到的表达式。
例如，x²+3x-2、2x³-5x²+7x-4等都是整式。
2.整式的次数：整式中变量的最高次数称为整式的次数。
例如，对于x²+3x-2，它的次数是2；对于2x³-5x²+7x-4，它的次数是33.整式的项与系数：整式由多个项组成，每个项由变量和它的系数相乘构成。
例如，对于x²+3x-2，它的三个项分别是x²、3x和-2，它们的系数分别是1、3和-24.整式的相等与相似：如果两个整式的各相应项的系数相等，则称它们相等；如果两个整式仅有常数项不等，但各相应项的次数、变量和系数都相等，则称它们相似。
5.整式的加法、减法与乘法：整式的加法、减法与乘法按照代数运算法则进行。
例如，对于整式x²+3x-2和2x³-5x²+7x-4，它们的加法是3x³-4x²+10x-6，减法是-x³+2x²-4x+2，乘法是2x⁵-5x⁴+7x³-6x²-8x+8二、代数式的概念与性质：1. 代数式的定义与概念：代数式是由数、字母及运算符号组成的表达式。
例如，3x+2y、5a²+3b²、2xy²等都是代数式。
2.代数式的值与解：给代数式中的字母赋予特定的数值，代入代数式中，计算出的结果称为代数式的值；使代数式等于零的数解称为代数式的解。
3.代数式的化简与展开：根据代数式的运算法则，对代数式进行合并同类项、提取公因式、配方法等化简操作，得到一个更简单的代数式就称为代数式的化简；将代数式的乘法运算进行展开，得到一个或多个乘积项的和就称为代数式的展开。
4.代数式的因式分解与求值：根据代数式的运算法则，将代数式分解成若干个乘积的形式，使每个乘积项都是不可再分解的就称为代数式的因式分解；将代数式中的字母用给定的数值代入，计算出的结果称为代数式的值。
学乐教育数学- 1 -基础练习 代数式练习1、下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式：(1)22b ab a +-；(2)()h b a S +=21；(3)2a + 3b ≥0；(4)yx 1+-；(5)0；(6)0322=-+x x ；(7) y . 解： 是代数式； 2、当a = 2，b =–1，c =–3时，求代数式3、在整式(1) x + 1 ，(2)2r π，(3)b a 223-是单项式， 是多项式（填编号）4、单项式z y x 3245的系数是 ，次数是5、x 3 – 2x 2y 2 + 3y 3是一个 次 项式。
6、把多项式a 3+ b 3–3a 2b –3ab 2按a 把多项式a 3+ b 3–3a 2b –3ab 2按a 7、若 18 x 8y n 与 – 2 x m y 2若 7 x 5 yn – 1与 – xm + 2y 3是同类项，则 m = ， n =8、某三位数的个位数字为a ，十位数字为b ，百位数字为c ，则此三位数可表示为 . 整式的加减练习9.计算:3562+-a a 与1252-+a a 的差,结果正确的是( )（A ）432+-a a （B ）232+-a a （C ）272+-a a （D ）472+-a a 化简下列各式.（1）b a b a 7635+-+ （2）)142()346(22----+m m m m22．先化简，再求值.)15()42(22---+-a a a a ，其中2-=a .提高训练1、有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截取5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）米 A 、m n B 、mn 5 C 、5m 5 D 、(5mn－5) 2、数轴上点A 所表示的是实数a ，则到原点的距离是（ ） A 、a B ．－a C ．±a D ．－|a|3、若ab x 与a y b 2是同类项，下列结论正确的是（A ．X ＝2，y=1B ．X=0，y=0C ．X ＝24、x －（2x －y ）的运算结果是（ ）A ．－x+yB ．－x －yC ．x －yD ．3x －y 5、下列各式不是代数式的是（ ）A ．0B ．4x 2－3x+1 C ．a ＋b= b+a D 、2y6、两个数的和是25，其中一个数用字母x A ．x （x ＋25） B ．x （x—25） C7、下列各组的两个代数式是同类项的是（ ）A 、－12 x 2与0.1y 2B 、－a 2与aC 、－3a 28、－2x 3y 的系数是_____，－2axy 3的系数是探索创新9、观察下列算式：21=2，22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256，…那么227的未位数字是_______. 10、研究下列各式，你发现什么规律？将你找到的规律用含n 的等式表示出来__________11、观察下列数表：根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为________，第n 行与第n 列交叉点上的数应为_________（用含有n 的代数式表示，n 为正整数） 12、观察下列各等式：（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的___________；如果等号左边的第一个实数用x 表示，第二个实数用y 表示，那么这些等式的共同特征可用含x ，y 的等式表示为_____________________.（2）将以上等式变形，用含y 的代数式表示x 为_________________；（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：__________________1，3，5，7，9，……， ______2，4，6，8，10，……， ______ 1，4，9，16，25，……，______0，3，8，15，24，……，______ 2，5，10，17，26，……, ______2，6，12，20，30，……，_____ 1，5，9，13，17，……，______看图形找规律： 1、 先写出对应数据，根据数据找规律；2、 直接找出图形的变化规律；★。
代数式与正式的概念及运算
一、代数式的概念
1、代数式的概念
用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．
【注意点】代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．
例1 判断下列式子是不是代数式
2、代数式的分类；
单项式：都是数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。
多项式：几个单项式的和叫做多项式
整式：单项式和多项式统称整式.
分式：如果整式A除以整式B,可以表示成A
B
的形式,且除式B中含有字母,那么称式子为分
式.
有理式：整式和分式统称有理式. 所以总结：
; 2
)1 (
)8(
;0
)6(
; )4(
;0
1
)2(
+
=
≥
-
n
n
vt
S
x
; )9(
;0 4
)7(
;
)5(
;
2
1
)3(
;4
3
)1(
t
s
x
a
ah
x
=
+
+
练习：
1、填空题
（1）某种足球a 元，则涨价20%后是 元；
（2）m 箱橘子重x kg ，每箱重 kg ；
（3）购买单价为a 元的笔记本8本，共需人民币 元；
（4）小明的体重是a kg ，小红比小明重b kg ，则小红的体重是 kg ；
（5）练习本每本定价0.6元，铅笔每支定价0.2元，买a 本练习本，b 支铅笔共需_______元；
（6）三个连续偶数中间的一个为2n ，则这三个数的和表示为_________。
2、选择题：
（1）在一次数学测验中，30名男生平均得分为a,20名女生平均得分为b ，这个班所有同学的平均得分是（ ）。
Ａ．2a b + Ｂ．30202a b + Ｃ．302050a b + Ｄ． 50
a b + （2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%，要得到m 千克面粉，需要小麦（ ）千克。
Ａ．（1+15%）m Ｂ．(1-15%)m Ｃ．15%m + Ｄ．15%m -
3、设某数为x ，用x 表示下列各式：
（1）某数与12的差；（2）某数的12与13
的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数
二、列代数式和代数式所表示的实际意义
(1) 列代数式
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．
(2)代数式所表示的实际意义
若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义，则代数式的内容显得丰富，富有内涵．说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相等，把实际问题中的数量关系用代数式表示后必须与原代数式吻合．
在读代数式时，通常是按运算顺序选最后一步运算，依运算结果读．
例2、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.
（1）甲、乙两数的平方差；
（2）甲、乙两数差的平方；
（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；
（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.
例3、（1）5a＋2b （2）abc－(a3＋b3＋c3)
（3）3n+1 （4）100a＋50＋b
解析：（1）与5a的差是b的2倍的数；
（2）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差；
（3）被3除余1的数；
（4）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数
三、代数式的求值
1、直接代值
例4、当X=2,Y=-3时，求代数式3X-2Y的值。
解：当X=2,Y=-3时
3X-2Y=3ⅹ2-2ⅹ（-3）
=6-（-6）
=12
变式：当m=5,n=3时，求代数式2()m n +-()m n -的值。
2、整体代入法
例5、已知a+b=5,ab=3,则4(a+b)-2ab 的值
解：当a+b=5,ab=3时
4(a+b)-2ab=4ⅹ5-2ⅹ3
=20-6
=14
变式：①当x+y=12,xy=-15
时，求6x+5xy+6y 的值。
四、整式的概念及运算
1．单项式的定义：都是数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.（学生填充）单独的一个数字或一个字母呢？
2．单项式的系数：系数是对某些字母而言，例如,5abx -对所有字母,,,x b a 来讲，它们的系数就是5-；而对字母x 而言，它的系数就是ab 5-.在没有明确交代的时候，我们规定单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的系数. 例6：根据要求填空
7
42
xy 的系数是 ， a -的系数是 ，
mn 的系数是 .
3．单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和。
例如：单项式23xy ，所有字母的指数和是321=+，所以23xy 是三次单项式.单独的一个数（零除外），像,8.0,3.0,1999-…，它们的次数都是零，叫做零次
单项式.
4．多项式的定义：几个单项式的和，叫做多项式（学生填充）.
其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号，其中不含字母的项，叫做常数项.
6．多项式的次数：在一个多项式里，次数最高的项的次数就叫做这个多项式的次数.
7．多项式的升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列.
8．整式的定义：单项式和多项式，统称为整式.
经典例题：
1、在下列各式：4322130211.0222
-++y ，x ，x x ，，x y ，xy ，，a π中，是单项式的有（ ）个
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2、单项式22
1x π的系数是 ，次数是 ； 单项式225xy 的系数是 ，次数是 ；
单项式n m y x 12+是 次单项式.
3、若0)3(12=++-b a ，求单项式a b a y x ---25的系数和次数.
4、若关于y x ,的多项式y y nx x m +-+122是一个三次三项式，且最高次项的系数是1，求n m +的值。
5、若312143-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-x m x n 是关于x 的五次二项式，试求n m ,的值.
6、多项式332244367x xy y x y x --+-,按字母x 的降幂排列是 按字母y 的降幂排列是 .。
