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似然比检验

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广义似然比检验课件

广义似然比检验课件
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目录
CONTENTS
• 广义似然比检验的基本原理 • 广义似然比检验的步骤 • 广义似然比检验的优缺点 • 广义似然比检验的案例分析 • 结论与展望
01
引言
广义似然比检验的定义
01
广义似然比检验是一种统计假设 检验方法，它基于似然比的概念， 通过比较两组或多组数据的似然 函数值来检验假设。
趋势。
02
广义似然比检验的
基本原理
似然函数的概念
似然函数
在概率论和统计中，似然函数是 一种描述数据点在给定假设下出 现的概率的函数。它基于样本数
据和假设的概率分布来计算。
似然函数的性质
似然函数具有非负性、归一性和随 着样本数据的增加而增加的性质。
似然函数的最大化
在给定假设下，似然函数最大化对 应的参数值即为该假设下的最优参 数估计值。
详细描述
例如，研究不同性别对身高是否有显著影响，可以通过单因素广义似然比检验 来评估。
多因素广义似然比检验案例
总结词
多因素广义似然比检验用于比较多个 分类变量与连续变量的关系。
详细描述
例如，研究性别、年龄和职业对收入 的影响，可以通过多因素广义似然比 检验来评估。
时间序列数据广义似然比检验案例
总结词
时间序列数据广义似然比检验用于分析时间序列数据中是否存在显著趋势或周期性变化。
详细描述
例如，分析过去几年经济增长率是否存在显著趋势，可以通过时间序列数据广义似然比检验来进行评 估。
06
结论与展望
结论
广义似然比检验是一种有效的统计方 法，用于比较两组数据的分布情况。
通过对实际数据的分析，我们发现广 义似然比检验具有较高的准确性和稳 定性。

4.4似然比检验

4.4似然比检验

似然比检验讨论。
例 4.16 设 X ∼ N (µ,σ 2 ) ， ( X1, X2 , , Xn )T 为 X 的样本， 考虑检验 H0 : µ = µ0(H1 : µ ≠ µ0 ) ，这里σ 2 已知。
解 根据题意
（1）
H0 : µ = µ0 ↔ H1 : µ ≠ µ0 Θ0 = {µ0 },
Θ1 = Θ −Θ0 = {µ : µ ∈ (−∞, +∞), µ ≠ µ0 },
, xn , µ,σ 2 ) = (
1 2π σ
)n exp{−
1 2σ 2
n
( xi
i =1
− µ)2}
∑ = (
1 2π
σ
)n
exp{−
1 2σ
2
[
n i =1
(
xi
−
x)2
+n(
x
−
µ )2 ]},
则令θ = (µ,σ 2 ) ，有
L( x1 ,
xn ) = sup L( x1 , θ ∈Θ
⎡
λ( x1 , ..., xn ) =
L1( x1 , ..., xn ) L0 ( x1 , ..., xn )
显然 λ( x1, ..., xn ) ≥ 1，直观上讲，若 H0 为真， λ( x1, ..., xn ) 应
接近 1，反之， λ( x1,..., xn ) 的值若足够大就应该否定假设
⎤n/2
∑ xn;θ
)
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
2π
n i =1
n ( xi−来自x )2⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
−n
e 2，
L0 ( x1 ,
xn ) = sup L( x1 , θ ∈Θ 0

7.4似然比检验与分布拟合检验

7.4似然比检验与分布拟合检验

4 July 2024
第七章 假设检验
第23页
解：这是一个典型的分布拟合优度检验，总体 共有6类，其发生概率分别为0.1、0.2、0.3、 0.2、0.1和0.1，选用如下卡方检验统计量
2 k ni npi 2 ，
i 1
npi
检验拒绝域为:
这里k=6，
2
2 1
5
,
4 July 2024
4 July 2024
第七章 假设检验
第2页
当 ( x) 较大时，拒绝原假设 H0 ， 否则，接受 H0 ，
这种检验方法称为似然比检验。
例1 对正态总体，方差已知，检验问题
H0 : 0 , H1 : 1 (1 0 )
似然比为
(x)
p( x1,, xn , 1 ) p( x1,, x, 0 )
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
1
)2
1
2
n exp
1
2 2
n
( xi
i 1
0
)2
4 July 2024
第七章 假设检验
exp
1
2 2
n
[( xi
i 1
1 )2
(xi
0
)2
]
exp
1 2
0
2
n
(2xi
i 1
1 0 )
exp
n ( 1
0 )
x
0
n
4 July 2024
第七章 假设检验
第10页
可得临界值为 c1 F1 (1, n 1)
这样检验统计量也可以为

似然比检验

似然比检验

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software For evaluation only.似然比检验、wald 检验、拉格朗日乘数检验都基于 MLE，就大样本而言三者是渐 进等价的。

1、似然比检验的思想是：如果参数约束是有效的，那么加上这样的约束不应该 引起似然函数最大值的大幅度降低。

也就是说似然比检验的实质是在比较有约束条件下的似然函数最大值与无约束 条件下似然函数最大值。

似然比定义为有约束条件下的似然函数最大值与无约束 条件下似然函数最大值之比。

以似然比为基础可以构造一个服从卡方分布统计量 （具体形式参见 Greene）。

2、wald 检验的思想是：如果约束是有效的，那么在没有约束情况下估计出来的 估计量应该渐进地满足约束条件，因为 MLE 是一致的。

以无约束估计量为基础可以构造一个 Wald 统计量（具体形式参见 Greene），这 个统计量也服从卡方分布； 3、拉格朗日乘数检验的思想是：在约束条件下，可以用拉格朗日方法构造目标 函数。

如果约束有效， 则最大化拉格朗日函数所得估计量应位于最大化无约束所 得参数估计值附近。

这里也是构造一个 LM 统计量 （具体形式参见 Greene） 该统计量服从卡方分布。

，对于似然比检验，既需要估计有约束的模型，也需要估计无约束的模型；对于 Wald 检验，只需要估计无约束模型；对于 LM 检验，只需要估计有约束的模型。

一般情况下，由于估计有约束模型相对更复杂，所有 Wald 检验最为常用。

对于 小样本而言，似然比检验的渐进性最好，LM 检验也较好，Wald 检验有时会拒绝 原假设，其小样本性质不尽如人意。

似然比 似然比(likelihood ratio, LR) 是反映真实性的一种指标，属于同时反映灵敏 度和特异度的复合指标。

即有病者中得出某一筛检试验结果的概率与无病者得 出这一概率的比值。

似然比检验loglikelihoodratiotest-EmpowerStats

似然比检验loglikelihoodratiotest-EmpowerStats

似然比检验（log likelihood ratio test）：似然，英文likelihood，实际上也可以翻译为可能性。

一个回归模型的似然值，可以理解为给定模型参数后出现所观察样本的可能性。

如模型I：Y=β0+ β1*X1 + β2*X2, 这个模型，给定的模型参数是β0、β1、β2，抽样得出所观察到的样本的可能性为L1。

似然比检验（LRT）用来比较两个模型，看是否可以用一个简单模型来替代一个复杂模型。

如上例模型I，若除去自变量X2，模型II：Y=β0+ β1*X1，这个模型参数少一个，相对简单，由这个模型抽样得出所观察到的样本的可能性为L2。

因为模型II少一个参数，自然L2要小于L1。

现在要问的问题是：是否L2比L1小得太多，以至于我们不应该剔除X2呢？判断是否可以简化模型I为模型II的标准，是用似然比检验（LRT）：LR = 2*(lnL1-lnL2)，其中lnL1为复杂模型I的似然值对数，lnL2为简单模型II的似然值对数。

LR近似符合卡方分布，自由度等于复杂模型I中的模型参数个数与简单模型II的参数个数差，这里等于1。

这样根据卡方分布临界值表，我们就可以判断模型差异是否显著。

如果差异显著，表示不能用简单模型II替代复杂模型I。

一般来说，似然比检验得出结论与模型I中对X2回归系数的Wald检验结论基本一致。

在做似然比检验比较两个模型时，要注意：（1）简单模型是从复杂模型简化得来的，即嵌套关系。

（2）两个模型所用的观察对象完全相同（当所剔除的变量有缺失值需注意两模型所用的样本量是否相同）。

§3.5 似然比检验(发)

§3.5 似然比检验(发)

∈Θ<≥≤0000000ˆˆ()(,)(,),.(3)()()(4)sup (())x p x p x xΘΘH xC H xC H C p XC θλθθθλλαλ 若取值较小,也就是较很小时在给定下，中的出现的可能性都很小，即原假设成立的可能性很小，我们有理由怀疑不真 检验准则： 当时，拒绝； 当时，接受. 临界值的选取：给定显著性水平后,使得尽..αα可能的接近 我们把这样得到的水平为的广义似然验称为比检验检⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎩>≥≤<0000(),(()()()()()()(().)).G X A H G G XG X A H G X X A H A X G XX H X G XG λλ 说明：若存在一个统计量是的严单调下降 格单调函数，那么基于的一个检验： 在的分布没有现成的表可查单调上升当时，拒绝；当时，接 时，但分布是我们所熟 当时，拒绝悉分布时,常利；当用此时，接受受方法构造=≠2120010.,,(,),. v 1 s .n X X N H H μσμσαμμμμ 似然比检验 设样本取自正态分布，未知，取显著性水平为试检验 ：：例=≠2120010 ,,(,),. vs .n X X N H H μσμσαμμμμ 设样本取自正态分布，未知，取显著性水平为试检验 ：： 解：2220010~(,),{(,):,0}::.X N H H μσμσμσμμμμΘ=-∞<<+∞>=↔≠设总体求的广义似然比检验678与t 检验的拒绝域一致. 9二、似然比检验0000{},(|)W P H λλλλλα=>>≤拒绝域为应满足1011{}. W U U αμ=>所以与检验的结论一致12。

似然比检验

似然比检验
一种假设检验，用于比较两个模型–一个所有参数都是自由参数的无约束模型，以及由原假设约束为较少参数的相应约束模型–的拟合优度以确定哪个模型
与样本数据拟合得更好。

例如，您可以使用此检验来比较无约束 3 参数 Weibull 分布与受约束 2 参数 Weibull 分布以确定哪个模型更适合您的数据。

该比较基于受约束模型的最大化似然函数与不受约束模型的最大化似然函数的比率进行。

如果此比率值足够小，就可以断定，与受原假设约束的简化模型相比，无约束模型与样本数据拟合得更好。

似然比检验对于检验复杂模型非常有用。

例如，Minitab 的“质量工具”菜单中的“个体分布识别”过程就是使用似然比检验比较 1 参数指数分布与无约束 2 参数指数分布的拟合优度。

如果 LRT p 值小于 a 水平（通常为 0.05 或 0.10），您可以断定与 1 参数模型相比，无约束 2 参数模型能够为您的数据提供显著更好的拟合优度。

如果 l 是似然比的值，那么对于大样本，(-2lnl) 服从卡方分布，且自由度等于无约束模型和受约束模型中自由参数数目之差。

因此，Minitab 经常通过卡方分布提供与似然比检验相关的 p 值。

第4.4节 似然比检验

4.2
4.2 0.185, 3!
11 i 1
3
ˆ ˆ ˆ p12 PX 12 1 pi 0.002,
具体计算结果见下表,
表1
Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
2 拟合检验计算表 例3的
Ni
1 6 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 6 1 0
P{ X k } (1 p)k 1 p, k 1, 2,,
若黑球白球个数相等，则p=1/2,因此 1 1 1 P{ X 1} , P{ X 2} , P{ X 3} , 2 4 8 1 1 P{ X 4} , P{ X 5} 16 16 由此可知，检验的问题是
2
(不论 H 0 中的分布属什么分布), 皮尔逊统计量总 是渐近地服从自由度为 m 1 的 分布. 2 m ˆ N i npi 0 近似 2 (m 1) 2 n ˆ npi 0 i 1
此种检验法称为 2拟合优度检验法.
此类假设检验的拒绝域为
W { x : n
第4.4节
似然比检验
一、似然比检验的基本步骤 二、从似然比检验导出正态总体的几 个检验
问题引入 第二节涉及到的假设检验问题，都是依赖总体 为正态分布。总体服从什么分布，一般预先无法知 晓，因而需要对总体的分布进行各种假设。 本节将主要讨论对总体分布的假设检验问题， 此类问题通常称为非参数统计方法. 本文主要介绍其中常见的3种方法.

ˆ pi

0.015 0.078 0.063 0.132 0.185 0.194 0.163 0.114 0.069 0.036 0.017 0.007 0.065 0.003 0.002

似然比检验


2
n i 1
n ( xi
x )2
n
e2
当 0 , 2 sn2时（利用微分法可得）
L0( x1, x2 ,L , xn ) sup L( x1, x2,L , xn; , 2 ) ( , 2 )0
n
2
2
n i 1
n ( xi
0 )2
n
e2
n
( x1, x2 ,L
, xn )
根据给定的显著性水平，确定，使得
P{(1
T2 n )2
n 1
}
P{T
2
B
}
P{| T
|
C
}
当H0成立时，T : t(n 1), 显然，C t (n 1)
2
(4) 确定拒绝域
W {( x1, x2 ,L , xn ) :| T | t (n 1)}
2
注：结果与前一章结论一致
再见
这是因为如果原假设成立，似然比应接近1，反之， 似然比足够大时，可以拒绝原假设，接受备选假设.
二、从似然比检验导出正态总体的 几个检验
我们利用似然比方法，解决正态总体参数的假设 检验问题，以此说明利用似然比解决问题的方法。
例1(p144例4.16) 设X : N (, 2 ),( X1, X 2 ,L , X n )为 总体X的样本，当 2已知时，考虑检验
2
0 )2
2
}
P{( x
0
)2
B
}
P{| x 0 | C }
当H0成立时，| X
0
n
|
:
N (0,1),显然，C
u 2
n
(4) 确定拒绝域
W
{( x1, x2 ,L

统计学中的似然比检验原理及应用

统计学中的似然比检验原理及应用在统计学中，似然比检验（Likelihood Ratio Test）是一种常用的假设检验方法，用于比较两个或多个统计模型的拟合优度。

似然比检验基于似然函数的比较，通过比较模型的似然函数值来判断哪个模型更好地描述了数据的特征。

本文将介绍似然比检验的基本原理、计算方法以及在实际应用中的具体案例。

### 1. 似然比检验的基本原理似然比检验的基本原理是比较两个模型的似然函数值，从而判断哪个模型更符合观测数据。

假设我们有两个模型，分别记为\(M_0\)和\(M_1\)，它们分别对应两个参数向量\(\theta_0\)和\(\theta_1\)。

我们可以计算出在给定模型下观测数据出现的概率，即似然函数\(L(\theta|x)\)，其中\(x\)表示观测数据。

似然函数的值越大，说明模型拟合数据的效果越好。

似然比检验的原理在于比较两个模型的似然函数值的比值，即似然比（Likelihood Ratio）：\[ \lambda = \frac{L(\theta_0|x)}{L(\theta_1|x)} \]根据似然比的大小，我们可以进行假设检验，判断哪个模型更为合适。

在统计学中，通常使用似然比的对数值作为检验统计量：\[ \Lambda = 2 \times \left( \log L(\theta_1|x) - \logL(\theta_0|x) \right) \]### 2. 似然比检验的计算方法在进行似然比检验时，我们首先需要估计模型参数，然后计算出对应的似然函数值。

接着，根据似然比的计算公式，得到似然比的值。

最后，我们可以根据似然比的大小和自由度进行假设检验，判断哪个模型更优。

在实际计算中，通常使用似然比的值与卡方分布进行比较。

假设我们有\(k\)个参数需要估计，那么似然比统计量\(\Lambda\)在\(H_0\)成立时近似服从自由度为\(k\)的卡方分布。

我们可以根据卡方分布表或统计软件计算出对应的p值，从而进行假设检验。

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最大值为从分母中得到的那个数值。
z 我们需要遵循相同的步骤来计算分子中的数值，但是，只需要在原假设空间内估计
μ 所有可能值的似然数。因为在这种情况下，原假设空间是一个简单原假设，所以必须在μ
=0 处估计似然数。
z 我们根据条件， P（T 〈d μ = 0) = α ，计算 d 。与似然比检验一样，计算 T 的分布
我们并不是求解这个检验，而是给出基本的指导： H0 :μ = 0 H1 :μ ≠ 0
决策规则表达式为：“ 如 果 T〉d， 则 拒 绝 H 0”。 T 为如下统计量：
z 我们需要计算 T 和 d.。对于 T ，就要找到似然函数的最大值（给定样本数据），
通过在原假设和备择假设的集（此时
）中的所有可能的值估计 μ。这个似然函数的
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 年 春季
0 (四个)最常用的假设检验：应用复习
我们针对同一个随机样本的应用，来复习一下四个最常用的假设检验框架。对每种检验， 我们需要变换所做的假设和决策规则。
0.1 随机样本 设 X1,..., X10 为总体服从正态分布的一个随机样本，均值(μ)未知，标准差已知(σ=1)。
决策规则的表达式为：““如果x〉c,则拒绝 H0 ”。
z 我们需要计算 c 值，它取决于我们想要构造的假设检验的显著性水平。
0.3.1 计算 c
我们要找到满足犯第一类错误的概率为 6%这一条件的 c 的值， P(X 〉c μ = 0.4 ) = α0 = 0.06
要计算 c ，我们首先需要知道随机变量 X 的分布。随机样本是正态分布，因此，可得
下面的表格代表了随机样本的实现值：
0.2 似然比检验 (LRT):
用显著性水平为 5%进行似然比检验，原假设是总体均值为 0，备择假设是为总体均值为 1。
H0：μ = 0 H1：μ = 1 决策规则的表达式为： “如果 f1(x)/f0(x)〉k ，则拒绝 H0 ” 。 z 我们需要计算 k 和对于 i = 0,1 时， fi(x)的值。k 的值取决于我们想要构造的检验 的显著性水平， fi(x)的值取决于随机样本的实现值。
方法因情况不同而异，很多时候很难计算。当计算广义似然比检验时，我们采用另一种方法。
这种方法只应用于假设 n→∞的情况下。在一个大样本中，我们知道 −2 ln T 的极限分布（这
一结果本课程不予证明）如下：
其中，
r
等
于
Ω
中
的
自
由
参
数
#减
掉
Ω
中
0
的
自
由
参
数
#
r1
z
如果
−2
ln
T
〉χ
2 （ r） ,α
， 则拒绝H0
旦知道了
f1(x)/f
(x)的分布，我们就可以寻找满足显著性水平条件的
0
k
值：
P( f1(x)/f0(x)〉k μ=0)=α =0.05
DeGroot
and
Schervish(2002，第
465
页第八章)中提出一种不一定要知道
f1(x)/f
(x)
0
的 分 布 就 能 计 算 k 的 方 法 。 运 用 这 种 方 法 我 们 计 算 出 k=1.22 ， 这 意 味 着
0.4 双侧检验:
在显著性水平为 1%下，采用对称的双侧检验，检验总体均值等于 0.1 的原假设和总体 均值不等于 0.1 的备择假设。
H0：μ = 0.1 H1：μ ≠ 0.1
决策规则的表达形式为：“如果 <c1或 >c2 ，拒绝H0”。 z 需要计算c1和c2，它们的值取决于检验的显著性水平。
0.4.1 计算 c1 和 c2
。那么在原假设中，
，所以，
因为
，我们知道
3
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 春
因为
，z0.94=1.555，可得：
因此，
0.3.2 检验的结果
，所以，在显著性水平为 6%下，不能拒绝总体均值为 0.4 的
原假设 H0 ，总体均值大于 0.4 的备择假设。
，在原假设中，
，因此：
因为
且 ，可得：
以及
因为 P(Z 〈 z0.005 ) = 0.005 和 P(Z 〉 z0.995 ) = 0.005 ，在这里， z0.005 = −2.575 和 z0.995 = −2.575 ，可得：
和 解得：
和
z 注意，计算c2可以遵循上述单侧检验中计算c的步骤。（α = 0.005 ） 0.4.2 检验结果
。
1技术结果表明该分布是一个
χ2 (r)
分布，自由度
r
=
dim
Ω
−
dim
Ω0
。
6
1
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 春
0.2.1 计算 k
பைடு நூலகம்为了计算 k，我们需要先知道原假设中 f1(x)/f0(x)的分布。注意大写字母 X 说明统计
量 f1(x)/f0(x)是一个由随机样本中的随机变量函数构造的随机变量。
计算 f1(x)/f0(x)分布的方法取决于（具体例子）假定的总体分布，往往很难计算。一
0.2.3 检验的结果
f1(x)/f0(x)=1.49〉k=1.22 ，所以，在显著性水平为 5%下，拒绝总体均值为 0 的原
假设，接受总体均值为 1 的备择假设。
0.3 单侧检验:
用显著性水平为 6%的单侧检验，检验原假设为总体均值为 0.4，备择假设为总体均值 大于 0.4。
H0：μ = 0.4 H1：μ 〉 0.4
我们需要找到满足犯第一类错误概率为 1%这一条件的c1和c2的值。
因为我们构造的是一个对称的检验，需要满足如下两个条件：
4
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 春
P（ <c1|μ=0.1）=0.005 和P（ >c2|μ=0.1）=0.005
为了计算c1和c2，我们需要知道随机变量 X 的分布。随机样本是正态的，则可知
P( f1(x)/f0(x)〉1.22 μ=0)=α =0.05 。大家课后可详见 DeGroot and Schervish 书中的叙述。
（不是考试必读部分）
0.2.2 计算似然比 f1(x)/f0(x)
计算 f0(x)：
计算 f1(x)：
2
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 春
x = 0.54〉c1 = −0.714和x = 0.54〈c2 = 0.914 ，则显著性水平为 1%时不能够拒绝总体
均值等于 0.1 的原假设而去接受总体均值不为 0.1 的备择假设。
5
HERMAN BENNETT 第 10 讲补充—麻省理工学院 14.30 2006 春
0.5 广义似然比检验（GLRT)：