[整理]一阶线性非齐次方程解法推倒.

一阶非齐次微分方程的通解公式
我们要找出一阶非齐次微分方程的通解公式。

首先，我们需要理解一阶非齐次微分方程的基本形式和它的通解。

一阶非齐次微分方程的一般形式是：
y' = f(x) + g(x)y' = f(x) + g(x)y'=f(x)+g(x)
其中 f(x) 和 g(x) 是已知函数，y 是未知函数。

通解是满足方程的所有可能的 y(x)y(x)y(x)。

为了找到通解，我们通常使用常数变易法。

常数变易法的基本思想是：
1. 先解对应的齐次方程 y' = f(x)y' = f(x)y'=f(x)。

2. 然后将任意常数 C 替换为待求的 y，得到非齐次方程的特解。

3. 最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，得到非齐次方程的通解。

根据常数变易法，一阶非齐次微分方程的通解公式为：
y = e−∫g(x)dx[∫f(x)e∫g(x)dxdx+C]y = e^{- \int g(x) \, dx} \left[ \int f(x) e^{\int g(x) \, dx} \, dx + C \right]y=e−∫g(x)dxdx∫f(x)e∫g(x)dxdx+C
其中 C 是任意常数。

一阶非齐次线性方程的解一阶非齐次线性方程比较两个方程： .)()(x q y x p y =+' ,0)(=+'y x p y 请问，你有什么想法？我想：它们的解的形式应该差不多。

但差了一点什么东西呢？⎰-=dxx p Ce y )(⎰-=dxx p e x C y )()(行吗?!)()(x q y x p y =+' 则可微且待定函数令,)(,)()(x C ex C y dx x p ⎰=-,)()()())(()()()(⎰⎰⎰----'='='dx x p dx x p dx x p e x C x p e x C e x C y 怎么办？得的表达式代入方程中及将,y y ', )()()()()()()()()(x q x p e x C e x C x p ex C dx x p dx x p dx x p =+-'⎰⎰⎰---故,)()()(x q e x C dx x p ='⎰-即,)()()(⎰='dx x p e x q x C上式两边积分，求出待定函数C dx e x q x C dx x p +=⎰⎰)()()()(为任意常数C通解为得一阶非齐线性方程的中代入,)()(⎰=-dx x p e x C y ,))(()()(C dx e x q e y dx x p dx x p +=⎰⎰⎰-以上的推导过程称为“常数变易法”。

这种方法经常用来由齐次问题推出相应的非齐次问题、由线性问题推出相应的非线性问题。

=+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-)C dx e x q e y dx x p dx x p )()()(()()(x q y x p y =+'解 2 12.cos 的通解求方程例x e xy y x =-' ,cos )(,2)(2x e x q x x p x =-=因为所以，方程的通解为)cos ()()( 222C dx xe e ey dx x x dx x +=⎰⎰⎰---)cos ( C 222+=⎰-dx ex e e x x x )cos ( C 2+=⎰xdx e x . 2)sin (C x e x +=解.的通解求方程例 23y x y dx dy +=不是线性方程原方程可以改写为 12,y x y dy dx =-这是一个以y 为自变量的一阶非齐线性方程，其中12,)(,)(y y q y y p =-=故原方程的通解为)()()( 121⎰+=⎰⎰---C dy e y e x dy y dy y . 213Cy y +==+'y x p y )(⎰-=dxx p Ce y )(⎰+=⎰⎰-) C dx e x q e y dx x p x x p )(d )()(()()(x q y x p y =+'⎰+=⎰⎰-) C dy e y q e x dy y p dy y p )()()(()()(y q x y p x =+'。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()不难发现：第一项是对应的齐次线性方程2的通解； 第二项是非齐次线性方程1的一个特解。

由此得到一阶线性非齐次方程的通解之结构。

【例1】求方程dy dxyxx-+=+21132()的通解。

解：]23)1([1212dxexcey dxxdxx⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln)1(ln dxexce xx+-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx11212=+⋅++()[()]x c x121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

一阶线性非齐次微分方程的解法探析汤维曦【摘要】介绍求解一阶线性非齐次微分方程的积分变换法和积分因子法,有助于解决学生学习“常数变易法”中的存疑；通过对三种解法的辨析,明确各种解法的特点与关系；对同一问题,注重采用一题多解的教学方式,从不同角度、采用不同方法加以探究求解,有利于拓宽学生的解题思路,培养学生灵活解题的能力.【期刊名称】《福建教育学院学报》【年(卷),期】2013(014)001【总页数】3页(P122-124)【关键词】一阶线性非齐次微分方程;通解;常数交易法;积分变换法;积分因子法【作者】汤维曦【作者单位】漳州城市职业学院教师教育系,福建漳州 363000【正文语种】中文【中图分类】O175.1形如y′+p（x）y=q（x）的方程称为一阶线性微分方程.当q（x）=0时，称为一阶线性齐次微分方程；当q（x）≠0时，称为一阶线性非齐次微分方程.对于一阶线性齐次微分方程，用分离变量法可得其通解y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而对于一阶线性非齐次微分方程，其求通解的方法较多也较复杂.许多高等数学教材仅介绍“常数变易法”，其余方法未予介绍.常数变易法虽然解法较为简洁、巧妙，但在教学过程中学生普遍反映思维突兀、不易理解.为此，教师可向学生多介绍其它几种解法：如积分变换法和积分因子法等，变过去“单向的、线性的”教学模式为“多向的、非线性的”教学模式.对同一问题，注重采用一题多解的教学方式，从不同角度、采用不同方法加以探究求解，不但有助于拓宽学生的解题思路，培养学生灵活解题的能力，激发学生探究问题的热情，同时还可弥补一些高等数学教材中仅介绍“常数变易法”这一种解法的不足.1 常数变易法一阶线性非齐次微分方程与一阶线性齐次微分方程y′+p（x）y=0的差异仅在于方程右边的项 q（x）.y′+p （x）y=0 是可分离变量的微分方程，用分离变量法易得其通解为y=ce-∫p（x）dx（c为任意常数），而方程（1）不能用分离变量法求解，但因其形式与y′+p （x）y=0类似，因此，猜测其通解也应有类似的表达式.于是将方程y′+p（x）y=0的通解y=ce-∫p（x）dx中的任意常数 c 换成待定函数 c（x），假设y=c （x）e-∫p（x）dx 为方程（1）的解.为了确定 c（x），将整理得c′（x）=q（x）e∫p（x）dx两边积分，得 c（x）=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c（c 为任意常数）代入 y=c（x）e-∫p（x）dx，即可得到一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q （x）的通解y=e-∫p（x）dx（∫q（x）e∫p（x）dx+c）（c为任意常数）上述“常数变易法”解法，是从给定的非齐次方程所对应的齐次方程的通解出发的，把对应的齐次方程的通解中的常数c变易为待定函数c（x），然后通过确定待定函数c（x）的表达式，进而求出非齐次方程的通解.“常数变易法”无疑是求一阶线性非齐次微分方程通解的重要方法，在一般的微积分或微分方程的教学中所采用的多是常数变易法，在解高阶常微分方程时，这种方法更能发挥作用，体现解法优势，所以教学中最常介绍它，很多教材都采用它.这是一种相当简洁、思维巧妙的解法.但正因其解法过于巧妙，学生普遍反映此种解法思维太突然，不易理解：为什么可以把这个任意常数c变易为待定函数c（x）呢?对此，多数教材中并未给予解释.那么，如何才能解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑，降低思维难度呢?作为教师，需结合教学经验，改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采用先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍“常数变易法”来解一阶线性非齐次微分方程.2 积分变换法将方程（1）改写成y′=-p（x）y+q（x），注意到未知函数 y 的导数是两个代数式-p（x）y 与 q（x）的和，并联想到求导运算中两个函数之积的导数也是两个代数式的和.受此启发，构造函数其中u和z都是关于x的函数.这样求y关于x的函数关系就转化为分别求u关于x的函数关系和z关于 x的函数关系的问题.将（2）代入（1），得如果此时利用分离变量法来求z关于x的函数关系，我们发现无法把 z从（u′+p （x）u）z单独分离出来.注意到若令u′+p（x）u 等于 0，则应用分离变量法，可求得u=e-∫p（x）dx.则方程（3）简化为z′=q（x）u-1，于是可求得z=∫q（x）u-1dx+c=∫q（x）e∫p（x）dxdx+c.将 u 和 z代入（2），即得方程（1）的通解这一解法过程联系学生熟知的两个函数之积的导数公式，再采用变量代换y=uz，从另一角度探究了求一阶线性非齐次微分方程（1）的通解的方法.此法看起来似乎增加了求解过程的复杂度，但实际上是把一个不能直接分离变量的微分方程转化成了两个可以直接分离变量的微分方程，即用u·ν代换y思维自然，简单明了，更易于学生理解和掌握.3 积分因子法对于解一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）（其中q（x）≠0），按照通常思路，可考虑运用积分求解，但此式明显不能直接积分，其原因在于方程左边y′+p（x）y为两项之和，一般来说这样的和式不是一个完全微分式，不可直接积分，联想我们所熟知的乘积的导数公式：由此得到启示，不妨将（1）式两端同乘以一个适当的函数因子 h（x）（h（x）≠0），可得：比较（4）式的右端与（5）式的左端，可知 h（x）应满足：于是（5）式可以写成（h（x）y）′=h（x）q（x）.积分得现在问题归结为求解齐次方程（6），得出 h（x）.对方程（6）应用分离变量法，得 h（x）=e∫p（x）dx，代入（7），得到所求的一阶线性非齐次微分方程（1）的通解称h（x）为积分因子，故上述求解方法称为“积分因子法”，此种解法，思路清晰，方法自然，学生很容易掌握.在实际教学中，若能按上述方法一步一步对学生加以引导，让学生了解解法特点，定能使学生思维顺畅，更好地理解和掌握求解一阶线性非齐次微分方程的过程.4 三种解法的辨析上述积分变换法与积分因子法的求解过程，可以看出：两种解法有着异曲同工之效，其思维切入点相同，都是始于乘积的导数公式的启示从而找到求解思路的，其求解关键都是将不可分离变量的微分方程转化为可以直接分离变量的微分方程，最终达到求解目的.但两种解法的思考角度不同，求解方法也不同，求解步骤各异，解法各有特点.积分变换法这一种解法，应抓住两个关键：其一，巧妙作出变量代换，令y=uz，以u·ν 代换 y，从而将方程化成uz′+（u′+p（x）u）z=q（x），接下来的思路很明确，即分别将u和z求出；其二，在发现无法把z从（u′+p（x）u）z单独分离出来时，令u′+p（x）u=0，不但使计算可行更使计算简化.而积分因子法的关键在于：将一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）乘以一个积分因子 h（x）（h（x）≠0），把方程变形为（h（x）y）′=h（x）q（x），积分可得h（x）y=∫h（x）q（x）dx+c（c为任意常数），只要再设法求出积分因子h（x）即可.比较常数变易法与积分变换法，不难发现，用常数变易法在求一阶线性非齐次微分方程y′+p（x）y=q（x）对应的齐次方程y′+p（x）y=0时，其实就是积分变换法中求 u 的微分方程u′+p（x）u=0.求得齐次方程y′+p（x）y=0的解为 y=ce-∫p（x）dx，这其实是积分变换法中的 u 被求出而已，最终答案应该是 y=uz，进一步，y=ze-∫p（x）dx.由此得到启发，只要将齐次方程y′+p（x）y=0的解y=ce-∫p（x）dx中的 c 换成关于 x 的函数 z即可得到非齐次微分方程的解.这里的z就相当于常数变易法中由c“变易”而成的待定函数c（x）.通过对常数变易法的“变易”过程的审视可见，常数变易法实际上是未知量代换的过程，常数变易与变量代换是相互渗透相互联系的，二者的本质相同.此法在思路上并无多大突破，只是利用积分变换法现成的结论逆推而得.所以，可以说常数变易法是由积分变换法发展而来的.用通俗的话来说，常数变易法是借用积分变换法“走了一条捷径”，只是教材对于“这条捷径从何来”自始至终未加解释，因而导致读者疑惑茫然.经过以上辨析，能使学生明白常数变易法中为什么可以把这个任意常数变易为待定函数的道理，解决学生在学习“常数变易法”中存在的疑惑.5 结论常数变易法显然不是求一阶线性非齐次微分方程的通解的唯一方法，并且学生在初学时往往觉得有一定难度，不易理解，因此，教师可以尝试改变以往教学中一开始就直接向学生介绍“常数变易法”的教法，采取先介绍积分变换法或积分因子法为过渡，然后再介绍常数变易法.这样做，可以降低思维难度，易于学生接受.同时，向学生介绍不同解法，可使学生了解各种解法的特点，拓宽学生的解题思路，使学生在实际应用中能更好地根据自身情况选择合适的方法求解问题.【相关文献】[1]徐荣聪.高等数学[M].厦门：厦门大学出版社，2003：164-165.[2]同济大学应用数学系.高等数学（上册）[M].第五版.北京：高等教育出版社，2002.[3]王高雄等.常微分方程[M].第二版.北京：高等教育出版社，1997.[4]赵奎奇.几个特殊类型微分方程的统一方法[J].高等数学研究，2006（2）：30.[5]汪维刚.关于常数变易法求一阶线性非齐次微分方程通解的两点思考[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2012（6）.。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0,则方程称为齐次的;如果Q x()不恒等于零,则方程称为非齐次的。

a)首先,我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次,我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x(),即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() , '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于就是得到非齐次线性方程1的通解[]y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之与y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程dy dx y x x -+=+21132()的通解。

解:]23)1([1212dx e x c ey dx x dxx ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c ex x +-+⎰⋅++⋅==+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知,若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程,求解它只需套用公式。

以下几类为一阶微分方程的简捷求法1 预备知识形如()()dyP x y Q x dx+= (1) 的方程称为一阶线性方程、这里()P x 、()Q x 在所考虑的区间上就是连续的、当()0Q x ≡时,方程(1)变为 ()0dyP x y dx+= (2)方程(1)(()0Q x ≠)称为一阶非齐次线性方程,而方程(2)称为与(1)相对应的一阶齐次线性方程、方程(1)可用常数变易法求解,方程(2)可用分离变量法求解、 形如()()n dyP x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (3) 的方程称为伯努利方程、它可通过变量代换、常数变易、变量回代等求解过程转化为一阶线性微分方程来求解、现提出几类一阶微分方程,并用简洁方法进行求解、 2 主要结果定理1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()n ndy F x F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦ (4) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(4)化为 ()()()nnd F x dy F x y Q x dx dx⎡⎤⎣⎦+= ()()()n nF x dy d F x y Q x dx ⎡⎤+=⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、推论1 若一阶非齐次线性微分方程具有如下形式'()()()dyF x F x y Q x dx+= (6) 则它的通解为 1()()y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (7) 定理2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0nndy F x F x y dx ⎡⎤+=⎣⎦ (8) 则它的通解为 ()n Cy F x =(9) 证明 在定理1的结果1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰中,取()0Q x =便可得证、 推论2 若一阶齐次线性微分方程具有如下形式'()()0dyF x F x y dx+= (10) 则它的通解为 ()Cy F x = (11) 定理3 若一阶微分方程具有如下形式()ln ()()ln ()n dyP x y F y Q x y F y dx+= (12) 当1n =时,其通解为 []ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰ (13)当1n ≠时,其通解为其中ln ()F y 在所考虑区间上就是连续的、 证明 若1n =,方程(12)变为()ln ()()ln ()dyP x y F y Q x y F y dx+= (15)此方程为可分离变量的微分方程、分离变量得[]()()ln ()dyQ x P x dx y F y =-[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx F y =-两边积分得[]ln ()()ln ()d yQ x P x dx C F y =-+⎰⎰此即为方程(15)的通解表达式、若1n ≠,方程(12)两端同除以ln ()ny F y 得11()()ln ()ln ()n n dy P x Q x y F y dx F y -+=令1ln()nz F y -=,则定理3 若一阶微分方程具有如下形式'()()()n dyF x F x y Q x y dx+= (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n dy dF x F x y Q x y dx dx+= []()()n d F x y y Q x dx =g方程两端除以ny ,得到 1()()()nndy dF x y F x y Q x dx dx--+= 11()()()1nn n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=- 令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、定理3 若一阶线性微分方程具有如下形式'()()()n n n dy F x F x y Q x y dx⎡⎤+=⎣⎦ (0,1)n ≠ (12) 则它的通解为 1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ (5) 证明 将方程(12)化为 ()()()n nn d F x dy F x y Q x y dx dx⎡⎤⎣⎦+=方程两端除以n y ,得到 1()()()nn nn d F x dy y F x y Q x dx dx--⎡⎤⎣⎦+= 11()()()1n n n n d F x F x dy y Q x n dx dx--⎡⎤⎣⎦+=-令1nz y-=,则(1)ndy dzn ydx dx--=,代入上式,得到关于变量z 的一阶线性方程 ()()()1n n d F x F x dz z Q x n dx dx⎡⎤⎣⎦+=- ()(1)()(1)()n nF x dz n d F x z n Q x dx ⎡⎤+-=-⎣⎦()()nd F x y Q x dx ⎡⎤=⎣⎦g两边积分得 ()()n F x y Q x dx C =+⎰g1()()n y Q x dx C F x ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 证毕、。

一阶非齐次线性微分方程是微积分学中的一个重要分支，包含了很多实际问题的数学建模。

本文旨在探讨的性质、求解方法及其应用。

一、概述的一般形式为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中$P(x),Q(x)$为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。

如果$Q(x)=0$，则方程为齐次线性微分方程。

否则为非齐次线性微分方程。

二、性质的性质如下：1.线性方程中未知函数$y$和其导数$\frac{dy}{dx}$的系数都是常数或已知函数，因此方程是线性的。

2.非齐次方程中的常数项$Q(x)$非零，因此方程是非齐次的。

3.存在唯一解根据常微分方程的Peano存在定理和Picard-Lindelof定理可知，方程存在唯一解。

三、求解方法的求解方法主要有两种：常数变易法和Lagrange乘数法。

1.常数变易法常数变易法的基本思想是将未知函数的系数表示为某个待定常数的函数形式。

设$$y=y(x,a)$$其中$a$为待定常数。

将上式带入方程中，得到$$\frac{\partial y}{\partial x}+P(x)y(x,a)=Q(x)$$对上式两边同时关于$a$求偏导数，得到$$\frac{\partial y}{\partial a}+\frac{\partial y}{\partialx}\frac{\partial a}{\partial a}+P(x)y(x,a)\frac{\partial a}{\partiala}=0$$即$$\frac{\partial y}{\partial a}=-\int P(x)y(x,a)da$$因此，设$y_p(x)$为方程的一个特解，则有$$y(x)=y_h(x)+y_p(x)$$其中$y_h(x)$为方程的齐次解，由$$\frac{dy_h}{dx}+P(x)y_h=0$$解得。

grange乘数法Lagrange乘数法的基本思想是将方程写成如下形式：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y-Q(x)=0$$其中，$Q(x)$是一个与$y$无关的函数。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy?P(x)y?Q(x)dx1。

)一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的叫做0x)?Q(，则方程称为齐次的；如果)(xQ非齐次的。

不恒等于零，则方程称为如果式所对应的齐次方程a)首先，我们讨论1dy0x)y??P(dx2的通解问题。

dydx)P??(x y分离变量得c?ln)Plny??(xdx?两边积分得dx)?(Px?ec??y或的通解。

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1u(x)c，即作变换换成的未知函数将的通解中的常数1?P(x)dx?eu?y? ?P(x)dx?P(x)?y?uP(x)e两边乘以得dy?P(x)dx?P(x)dx??exe)?uP(?u?dx两边求导得得代入方程1?P(x)dx dxx)P(???Q(x)u?Q(uex)e??，P(x)dx?dx?)eQ(xu?c?的通解于是得到非齐次线性方程1??dx)P(xdx)x?P(??dx?c?Qy?eex)(?将它写成两项之和P(x)dxdxx)P?(?Px)dx(???dx?ecy??Qe)?e(x?不难发现：第一项是对应的齐次线性方程的通解；2第二项是非齐次线性方程的一个特解。

1一阶线性非齐次方程的通解之结构。

由此得到非齐次通解齐次通解非齐次特解】求方程【例13y2dy2)1x???(1?dxx?(x?y?e1)??[cedx]1x?1x?解：3的通解。

322??dx??dx?2222)?1?ln((lnx?1)x?(x??e1)?e?[c?dx]1?22dx)]1c?(x??x?(?1)[?122])x?1(?[1x?(?)?c2由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。

．二、贝努利方程方程dy n(n?0,1(?Qx)?y)?P(x)?y dx叫做贝努利方程。

n?0时，它是一阶线性非齐次微分方程当dy?P(x)?y?Q(x)dxn?1时，它是一阶线性齐次微分方程当dy?[P(x)?Q(x)]?y?0dxn?0,1时，它是一阶非线性的微分方程，通过变量代换可化归为一阶线性当微分方程。

一类常系数非齐次线性微分方程组的几种解法[摘要] 微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。

本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。

[关键词] 齐次线性方程组非齐次线性方程组通解特解微分方程的解法是学习微分方程最基本的问题，但是它的解法种类繁多，求解过程复杂，一般教材只是介绍常数变易法和可积组合法。

本文归纳了解非齐次线性微分方程组的各种方法，从介绍常系数齐次线性方程组的解法入手，进而讨论、研究、比较求解常系数非齐次线性方程组的特解的几种方法的异同。

下面，我们首先研究常系数齐次线性微分方程组的解法。

对于常系数非齐次线性方程组（1）的求解问题，可以先求出它对应的齐次方程组（2）的通解，再求出它本身的任何一个特解，叠加起来就是它的通解。

我们记得阶线性非齐次微分方程组为（1）它所对应的齐次方程组为（2）其中是维向量，A是矩阵，在某个区间上连续.当A是常矩阵时，称为常系数线性微分方程组。

1.常系数齐次线性方程组我们通常采用以下三种方法来解答常系数齐次线性微分方程组：待定系数法、消元法和拉氏变换法。

1.1待定系数法待定系数法又称欧拉法，是解常系数齐次线性微分方程组的常用方法.其具体步骤是：（1）写出特征方程，算出特征根及重数，是互不相同的特征根，重数分别为；（2）对每一特征根作形式解代入方程组（2），比较t的同次幂的系数，得的代数方程组，解之可（比例地）确定它们，从而得到个线性无关解，若A是实数矩阵，是虚根时，所得的解要转换为实解；（3）对一切，我们共得个线性无关解，它们构成（2）的基本解组，线性组合之，即得（2）的通解。

1.2消元法消元法的基本思想是先设法消去方程组中的某些变元，得到只含一个变元的一个方程（在这里是一个高阶常系数齐次线性微分方程），求出这个方程的解，再回原方程组，求出变元的解。

一阶非齐次线性微分方程的通解
一阶非齐次线性微分方程的通解形如y'P()y=Q()的线性微分方程称
之为一阶线性微分方程，Q()称为随意项。

一阶，指的是方程式中有关Y
的导函数是一阶导数。

线形，指的是方程式简单化后的每一项有关y、y'
的系数为1。

线性微分方程，就是指带有不明函数公式以及导函数的表达式。

解微分方程便是找到不明函数公式。

物理学中很多涉及到变力的动力学、动力学模型问题，如气体的压力
为速率函数公式的落体健身运动等问题，许多可以用微分方程求解。

除此
之外，线性微分方程在有机化学、水利学、社会经济学和人口数据等方面
都是有运用。

线性微分方程的功效：线性微分方程，是高数中较为关键的一个支系
行业，只需在式子中带有未知量的导函数与自变量中间相互关系的方程式，都能够称作线性微分方程。

大家使用线性微分方程可以将一个错综复杂的个人切分成无尽个细微
一部分，在运用线性微分方程对一个一个的小一部分运用初始条件对它进
行求得，最终求得全部一部分的解。

线性微分方程，如今广泛运用在现代
电子技术、电子线路测算、航天航空等众多行业。

一阶非齐次线性方程的通解
如今，大数据、云计算正在发力，助力互联网的发展与改变。

一阶非齐次线性方程也作为一种重要的解决复杂算法问题的数学模型，被广泛应用在日常的计算过程中。

一阶非齐次线性方程定义为：ax + b = 0，该方程组有一个形如x=`-b/a`的解，a、b均为实数，a ≠ 0。

它是一个相对简单的一阶线性方程，意味着方程中只有一个未知数x，且对应一次阶，因其只含一个未知量，所以只有一个解。

一阶非齐次线性方程经常被用来解决多种数学方法的计算问题，而且调用起来也可以比较快捷，提高计算效率。

例如该方程可以用来确定特定的上涨速度，根据实际数据设定方向下降点，便可着手处理复杂的优化问题。

此外，一阶非齐次线性方程的求解过程也相对简单，只要将所有的参数封装入恰当的初始值中，可求得该方程的解，从而通过指定精确的值来完成解决这一复杂计算问题。

可见，一阶非齐次线性方程在互联网行业有着重要的应用价值，它能够快速解决各种复杂的计算问题，并对对网络安全也起着重要作用。

因此，熟练掌握一阶非齐次线性方程，对于现代互联网行业来说，势在必行而易之。

一阶非齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程是根据一定的条件，求解一元非齐次线性微分方程的一种数学方法。

它对应于求解非齐次线性微分方程：\frac{dy}{dx} + p(x) y = f(x)其中，p(x)与f(x)是任意给定的函数。

一、一阶非齐次线性微分方程特点1、一阶非齐次线性微分方程不仅比较容易，而且可以解决实际问题的微分方程问题；2、与一阶齐次线性微分方程的求解不同，一阶非齐次线性微分方程的求解不能利用特殊函数完全解出，需要转向积分法；3、一阶非齐次线性微分方程的求解，应考虑到它的特殊性，即方程的右面f(x)变化，此时，无穷多的解中，只有一个满足某种条件的解能够成功使空间内满足它对应的微分方程；4、在计算实际问题时，首先应考虑到它在初值条件上的解，再将次解代入到微分方程中，以满足微分方程的求解。

二、求解一阶非齐次线性微分方程的方法1、逻辑划分法：首先将一阶非齐次线性微分方程表示为一组数字方程，然后把它分解为两个独立系统，一组求解未知函数的数学方程，一组求解未知函数的微分方程；2、背景计算：即首先确定方程的右边形式，以及它的特殊解，然后考虑满足初始条件的解，以此计算出未知变量；3、数值求解法：将微分方程化为差分方程，采用某种数值近似方法，求得近似解；4、积分法：即采用某种泰勒展开的方法，将某个特定的范围上的特殊方程拆分为无穷多的更简单的抽象型方程，然后利用这些方程的积分来求一阶非齐次线性微分方程的解。

三、案例讲解下面我们以一元非齐次线性微分方程：\frac{dy}{dx} + 4y = x^3初值y(1)=0为例，来讲解一阶非齐次线性微分方程的解法。

1、逻辑划分法：将上述微分方程数学形式转换成数学形式：\frac{dy}{dx} + 4y = x^3可以划分为两个系统：第一组求解未知函数的微分方程：\frac{dy}{dx} + 4y =0第二组求解未知函数的方程：y = \frac{x^3}{4}2、背景计算法：接下来，我们来考虑满足初始条件的解。

一阶非齐次微分方程解一阶非齐次微分方程的常用方法之一是变量分离法。

具体步骤如下：Step 1: 将dy/dx + P(x)y = Q(x)移项，得到dy/dx = -P(x)y +Q(x)。

Step 2: 对于右侧Q(x)项，如果存在一个函数u(x)，使得u'(x) =Q(x)，则可以将方程写成dy/dx = -P(x)y + u'(x)。

Step 3: 对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫(-P(x)y + u'(x))dx。

Step 4: 对右侧第一项进行整理，得到∫dy = -∫P(x)ydx +∫u'(x)dx。

Step 5: 对于第一项，可以利用乘法法则进行化简，得到∫dy = -y∫P(x)dx + ∫u'(x)dx。

Step 6: 对第一项利用积分的线性性质，得到∫dy = -y∫P(x)dx +u(x)。

Step 7: 对两边同时积分，得到y = -∫P(x)dx + ∫u(x)dx + C。

这就是一阶非齐次微分方程的通解。

需要说明的是，如果在求解途中无法找到合适的u(x)使得u'(x)=Q(x)，则无法使用变量分离法求解，需要考虑其他的解法。

除了变量分离法外，常见的解法还包括常数变易法、指数函数解、一阶线性微分方程解等等。

这里不一一赘述。

下面以一个具体的例子来说明一阶非齐次微分方程的求解过程。

例题：求解微分方程dy/dx + y/x = cos(x)/x。

解：首先将方程改写为dy/dx = -y/x + cos(x)/x。

然后观察右侧项，发现可以取u(x) = sin(x)，则u'(x) = cos(x)。

将u'(x)带回方程，得到dy/dx = -y/x + u'(x)。

对方程两边同时积分，得到∫dy = ∫(-y/x + u'(x))dx。

进行整理，得到∫dy = -∫(y/x)dx + ∫u'(x)dx。

一阶线性非齐次微分方程 y'+p(x)y=q(x)。

通解为 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}。

用的方法是先解齐次方程，再用参数变易法求解非齐次。

相关介绍：
微分方程伴随着微积分学一起发展起来的。

微积分学的奠基人Newton和Leibniz 的著作中都处理过与微分方程有关的问题。

微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。

此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。

只有少数简单的微分方程可以求得解析解。

不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。

在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。

动力系统理论强调对
于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

一阶微分非齐次方程的解解一阶微分非齐次方程一阶微分非齐次方程是指形如dy/dx=f(x)+g(x)的微分方程，其中f(x)和g(x)都是已知函数，而g(x)不为零。

这种微分方程的解法比较复杂，需要用到一些特殊的技巧。

我们可以将方程化为dy/dx=f(x)+h(x)的形式，其中h(x)是一个新的函数，它满足h(x)=g(x)/u(x)，其中u(x)是一个未知函数。

我们可以通过求解u(x)来确定h(x)的具体形式。

接下来，我们需要找到一个特殊的函数v(x)，它满足v'(x)=u(x)v(x)。

这个函数被称为积分因子，它可以将原方程化为一个齐次方程。

具体来说，我们将原方程两边同时乘以v(x)，得到v(x)dy/dx+v(x)h(x)=v(x)f(x)。

由于v'(x)=u(x)v(x)，所以我们可以将v(x)h(x)写成v'(x)g(x)，从而得到v(x)dy/dx+v'(x)g(x)=v(x)f(x)。

这个方程可以通过分离变量的方法求解，得到y(x)=c*v(x)+∫v(x)f(x)dx，其中c是一个常数。

我们需要确定积分因子v(x)的具体形式。

这可以通过求解v'(x)=u(x)v(x)的一般解来实现。

具体来说，我们可以将v'(x)/v(x)写成du(x)/u(x)，从而得到v(x)=exp(∫u(x)dx)。

这个式子可以用来求解积分因子v(x)的具体形式。

解一阶微分非齐次方程需要用到积分因子的概念，以及一些特殊的技巧。

通过这些方法，我们可以将原方程化为一个齐次方程，并求解出它的通解。

这个通解包含一个常数项，它可以通过给定的初始条件来确定。

一阶非齐次微分方程的通解和特解微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系。

其中，一阶非齐次微分方程是指方程中含有非零常数项的微分方程。

在求解一阶非齐次微分方程时，我们需要找到其通解和特解。

让我们来了解一阶非齐次微分方程的概念。

一阶非齐次微分方程的一般形式为dy/dx = f(x) + g(x)，其中f(x)和g(x)分别是x的函数。

这里，f(x)是方程的非齐次项，g(x)是方程的齐次项。

为了求解一阶非齐次微分方程，我们首先考虑其对应的齐次方程dy/dx = g(x)，其中g(x)为非零函数。

对于齐次方程，我们可以使用分离变量的方法求解。

将dy和dx分离开来，然后两边同时积分，最后得到齐次方程的通解。

然而，对于一阶非齐次微分方程，我们还需要找到其特解。

特解是指满足方程的一个特定解，它与通解不同。

为了求解一阶非齐次微分方程的特解，我们可以使用常数变易法。

常数变易法的基本思想是假设特解为一个常数乘以非齐次项的一个特解。

我们假设特解为y = u(x) * v(x)，其中u(x)是未知函数，v(x)是非齐次项。

然后，我们求出u(x)和v(x)的导数，代入原方程，从而得到一个关于u(x)和v(x)的代数方程。

通过解这个方程，我们可以得到u(x)和v(x)的具体表达式。

有了u(x)和v(x)的表达式后，我们就可以得到特解y = u(x) * v(x)。

将这个特解代入原方程，我们可以验证特解是否满足原方程。

如果满足，那么我们就找到了一阶非齐次微分方程的特解。

我们将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，就得到了一阶非齐次微分方程的通解。

这个通解包含了齐次方程的通解和特解，它能够满足原方程的所有解。

总结一下，一阶非齐次微分方程的求解过程包括求解齐次方程、求解特解和得到通解三个步骤。

通过齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，我们可以得到一阶非齐次微分方程的通解。

这个通解能够满足原方程的所有解。

在实际问题中，一阶非齐次微分方程的求解具有重要的应用价值。

The Solution of First Order Linear Nonhomogeneous Differential Equation Using Improvising Differential Method(一阶线性非齐次方程的凑微解法)有许多学生反应说书本上解一阶线性非齐次方程用的方法在常数变异的时候不大理解，对此我思考一个非常简单的方法：凑微法。

一阶线性非齐次方程的数学形式可表为d yd x + P （x ）y = Q (x) ..ie ()()dy P x ydx Q x +=dx对上面这个方程我们凑上一个函数f (x), 则得到()()()()()f x dy yP x f x dx Q x f x dx +=注意f(x)必不为0，否则对我们讨论的问题来说无意义。

由此我们可以想到，只要等式 左边能够凑成一些全微分问题就解决了。

即()()[()]P x f x dx d f x =，从而()[()]()()f x dy yd f x Q x f x dx +=[()]()()d yf x Q x f x dx =两边积分[()]d yf x ⎰ = ()()Q x f x dx ⎰所以()()()yf x Q x f x dx =⎰ +C 1 (C 1是常数)i.e. 1[()()()y Q x f x dx f x =⎰ + C 1 ]于是，当Q （x ） = 0 时，11()y C f x =，而Q(x) = 0时原方程即为一阶线性齐次方程，众所周知其解可表为 y = C e－∫P(x)dx ，因此1()C f x = C e －∫P(x)dx ，（此处若将C 1和C 都换为同一个常数C 我感觉也应是可以的，因为Q （x ）= 0 的话，则C 1和C 都来自方程 d yd x + P （x ）y = 0的解，只不过C 1是此方程凑微后再积分的解，而C 是直接积分的解，同样都是积分，C 1应该等于C ；这样分析应该没有什么问题，若确实有问题的话，那C 和C 1就不合并成C 了）所以()f x = 1C C · e ∫P(x)dx从而得到一阶线性非齐次方程的解为 y = 1CC e －∫P(x)dx ·[1C +()Q x ⎰1C C e ∫P(x)dx ·dx ] 将1CC 乘到中括号里面得y = e －∫P(x)dx ·[()C Q X +⎰·e ∫P(x)dx dx ] (C 是常数)。

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程方程dy dxP x y Q x+=()()1叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果Q x()≡0，则方程称为齐次的；如果Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程dy dxP x y+=()02的通解问题。

分离变量得dyyP x dx =-()两边积分得ln()ln y P x dx c=-+⎰或y c e P x dx=⋅-⎰()其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换y u e P x dx=⋅-⎰()两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()⋅=-⎰两边求导得dydxu e uP x eP x dx P x dx ='--⎰-⎰()()()代入方程1得'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()u c Q x e dxP x dx =+⎰⎰()()于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dxP x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21132()的通解。

解：]23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰=+-+--]23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+⎰⋅++⋅= =+⋅++-⎰()[()]x c x dx 11212=+⋅++()[()]x c x 121212由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。