三章阶线性微分方程组三阶线性非齐次方程组的般理论

三阶常系数线性非齐次微分方程通解的降阶法降阶法是高阶线性微分方程的一种解法，它可以解决三阶常系数非齐次微分方程。

下面我们来分析一下它是如何解决三阶常系数非齐次微分方程的。

1. 定义降阶法降阶法是一种用于解决三阶常系数非齐次微分方程的算法，它将三阶常系数非齐次微分方程转化为一组互相关的线性一阶方程组。

2. 三阶常系数非齐次微分方程三阶常系数非齐次微分方程是在三阶线性常系数微分方程的基础上，涉及右端非齐次项，则称为三阶常系数非齐次微分方程，它的一般形式为：$$y^{'''}+a_2y''+a_1y'+a_0y=g(x)$$3. 降阶法的基本思想降阶法的基本思想是将三阶general equation降低到一组互相关的线性一阶方程组，通过求解这个方程组来解决三阶general equation，换言之，就是将三阶微分方程转化为三个一阶微分方程。

4. 降阶法的具体步骤（1）令$u_1=y$ 、$u_2=y'$和$u_3=y''$ ，引入三个新变量。

（2）将三阶常系数非齐次微分方程变换为三个一阶微分方程：$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_1'=u_2$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_2'=u_3$$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad u_3'=g(x)-a_2u_2-a_1u_1-a_0u_0$（3）解上述方程组，即可求得三阶常系数非齐次微分方程原方程的通解。

5. 降阶法的优缺点（1）优点：相比于其他解法，降阶法计算量较小，易于推导和实现。

（2）缺点：当微分方程非常复杂时，降阶法可能会出现运算失真或者不稳定的现象，影响最终结果的准确性。

一．线性微分方程组的一般理论1. 线性微分方程组一般形式为：1111122112211222221122()()()(),()()()(), 1 ,()()()(),n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⋅⋅⎪⎪'=++++⎩（） 记：111212122212111222()()()()()()()()()()()()(), , ()n n n n nn n n n a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t f t x x f t x x f t x x f t x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥'===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦非齐次线性方程组表示为：()() x A t x f t '=+齐次线性方程组表示为：()x A t x '=2.齐次线性方程组的一般理论(1)定理 (叠加原理) 如果12(),(),,()n x t x t x t ⋯是齐次方程组()x A t x '=的k 个解，则它们的线性组合1212()()()n n c x t c x t c x t ++⋯+也是齐次方程组的解，这里12,,,n c c c ⋯是任意常数(2)向量函数线性相关性定义在区间],[b a 上的函数12(),(),,()n x t x t x t ⋯，如果存在不全为零的常数k c c c ,,,21⋯使得1212()()()0n n c x t c x t c x t ++⋯+≡在],[b a 上恒成立，我们称这些向量函数是线性相关的，否则称这些向量函数线性无关。

教学单位学生学号本科毕业论文（设计）题目学生姓名专业名称指导教师年月日三阶非齐次常系数线性微分方程解的表达式胡青（111114110）（湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000）摘要：利用常数变易法求解二阶常系数非齐次线性微分方程，这种方法被许多作者研究过。

本文利用常数变易法求出了三阶非齐次常系数微分方程解的表达式，利用解的表达式，可以很方便地求出三阶非齐次常系数微分方程的解。

关键词：常数变易法；三阶；非齐次；常系数微分方程；解的表达式The Solution of third-order Non-homogeneous Ordinary Differential Equation with Constant C oefficientHuQing (111114110)(Hubei Engineering College, Xiaogan, Hubei, 432000)Abstract:Uses the method of constant variation to second-order constant coefficient non-homogeneous linear differential equation, this method by many authors studied. In this paper, the constant variation method is used to derive the third order nonhomogeneous the expressions of the constant coefficient differential equations, using the expression of the solution can be easily calculated third-order differential equation with constant .Key words:constant variation method; The third order. Non-homogeneous; Constant coefficient differential equations; Expression of solution1. 预备知识定义1.1：方程0...)(111=++++≡--n n n n a a a F λλλλ称为常系数齐次线性方程0...)1(1)2(2)1(1)(=+++++---x a y a y a y a y n n n n n 的特征方程。

第三章 线性微分方程线性微分方程是常微分方程理论的重要组成部分，它在自然科学和工程技术方面有着极其广泛的应用，很多实际问题都可以用线性微分方程来处理.在第一章中，我们学习了一阶线性微分方程的处理方法，本章介绍高阶线性微分方程的概念以及常系数线性微分方程的解法.3.1 线性微分方程的一般理论在第一章，我们介绍了一阶线性微分方程)()(x q y x p y =+'的解法，这里介绍n 阶线性微分方程的概念，以及解的存在唯一性定理.首先来研究下面一个实际的例子.例1 弹簧振动设一质量为m 的物体A 悬挂在一上端固定的弹簧的末端（假设弹簧的质量相对于物体A 的质量可以忽略）试求该物体在外力)(t f 作用下的所满足的微分方程.当物体A 不受外力时，重力与弹簧的拉力平衡时的位置选为坐标轴x 的原点O ，向下的方向取为x 轴的正向.设t 时刻，物体A 的位移为)(t x ，速度为)(t v ，加速度为)(t a ，则22)(,)(dtx d t a dt dx t v ==. 由牛顿第二定律知，ma F =，其中m 是物体A 的质量，a 是加速度，F 是合外力.下面对物体A 所受到的力进行分析，由以下几个部分构成.（1）弹簧的拉力1f ，设弹簧的弹性系数为k ，在t 时刻，物体的位移为)(t x ，依据胡克定律知kx f -=1（2）空气的阻力2f ，当速度不太大时，空气的阻力与物体的速度成正比，设比例常数为)0(>μ，因为阻力的方向与速度的方向相反，所以dtdx v f μμ-=-=2 （3）外力)(t f因此，我们得到合外力)(t f dtdx kx F +--=μ 代入ma F =得物体A 所满足的微分方程为)(22t f kx dt dx dtx d m =++μ （3.1） 那么物体A 的运动规律方程)(t x 就是上述微分方程（3.1）的解，如何解该方程是我们本章学习的重点.方程（3.1）和我们第一章中所学的一阶线性微分方程一样，都是线性微分方程，因为方程（3.1）中的导数的最高阶数为2，所以（3.1）是二阶线性微分方程.一般的n 阶线性微分方程具有如下的形式：)0)((),()()()()(01)1(1)(0≠=+'+++--x a x y x a y x a y x a y x a n n n n ϕ因为0)(0≠x a ，所以上式可化为)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2） 其中)()()();,,2,1(,)()()(00x a x x f n i x a x a x p i i ϕ=== 方程（3.2）的初值条件为)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y （3.3） 方程（3.2）在什么条件下存在满足初值条件（3.3）的解呢？有解的话，其解是否唯一？存在区间又是什么呢？为了解决这些问题，我们先给出一般的n 阶方程),,,,()1()(-'=n n y y y x f y满足初值条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 的解的存在唯一性定理.定理3.1 如果函数),,,,()1(-'n y y y x f 在闭区域1)1(0)1(100001,,,,:---+≤-≤'-'≤-≤-n n n n b y y b y y b y y a x x R上满足（1）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上连续；（2）),,,,()1(-'n y y y x f 在1+n R 上关于变量)1(,,,-'n y y y 满足李普希兹条件，即存在正数N ，使得对于任何一对点1)1(222)1(111),,,,(),,,,,(+--∈''n n n R y y y x y y y x ，总有)(),,,,(),,,,()1(2)1(12121)1(222)1(111-----++'-'+-≤'-'n n n n y y y y y y N y y y x f y y y x f 则初值问题⎩⎨⎧='='='=---)1(00)1(0000)1()()(,,)(,)(),,,,(n n n n y x y y x y y x y y y y x f y 在0000h x x h x +≤≤-上存在唯一解)(x y ϕ=. 这里),,,,(max },,,,,min{)1(),,,,(11001)1(-∈'-'==+-n R y y y x n y y y x f M Mb M b M b a h n n . 定理3.1的证明和第二章中的解的存在唯一性定理的证明是相仿的，读者可以模仿定理2.1的证明，完成定理3.1的证明.n 阶线性微分方程（3.2）只是一般的n 解微分方程的一种特殊形式，和一阶线性微分方程类似，有如下的解的存在唯一性定理.定理3.2 如果方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，则初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)()()()()(n n n n n n y x yy x y y x y x f y x p y x p y x p y 在],[b a 上存在唯一解)(x y ϕ=.该定理的证明可以利用定理3.1，只要),,2,1)((n i x p i =以及)(x f 在区间],[b a 上连续，则该初值问题就满足了定理3.1的两个条件，从而定理3.2是成立的.如无特别声明，在本章的讨论中，总假定方程（3.2）的系数),,2,1)((n i x p i =以及右端函数)(x f 在区间],[b a 上有定义而且都连续，从而，方程（3.2）满足初值条件（3.3）的解在闭区间],[b a 上存在且唯一.特别地，如果0)(=x f ，则方程（3.2）变为0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n （3.4）方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程；如果0)(≠x f ，则称方程（3.2）为n 阶线性非齐次微分方程.这时，称方程（3.4）为方程（3.2）所对应的n 阶线性齐次微分方程.3.2 n 阶线性齐次微分方程的一般理论方程（3.4）称为n 阶线性齐次微分方程，对于这类方程应该如何处理呢？我们先研究方程（3.4）的解的性质（1）如果1y 是方程（3.4）的解，则对任意常数C ，1Cy 也是方程（3.4）的解.证明 因为1y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(111)1(11)(1Cy x p Cy x p Cy x p Cy n n n n +'+++--00))()()((111)1(11)(1=⨯=+'+++=--C y x p y x p y x p y C n n n n 因此，1Cy 也是方程（3.4）的解.（2）如果21,y y 是方程（3.4）的解，则21y y +也是方程（3.4）的解.证明 因为21,y y 是方程（3.4）的解，所以0)()()(111)1(11)(1=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 0)()()(221)1(21)(2=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n 从而有))(())(())(()(21211)1(211)(21y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--))(())((])())[(()()(21211)1(2)1(11)(2)(1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- ))()()(())()()((221)1(21)(2111)1(11)(1y x p y x p y x p y y x p y x p y x p y n n n n n n n n +'+++++'+++=---- 000=+=因此，21y y +也是方程（3.4）的解.推论 如果n y y y ,,,21 是方程（3.4）的解，则对任意n 个常数n C C C ,,,21 ，线性组合n n y C y C y C +++ 2211也是方程（3.4）的解.该推论可由性质（1）和性质（2）直接推出.并且根据性质（1）和性质（2），我们可以得出，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的解构成一个线性空间，称为解的线性空间.例1 易于验证函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，因此，函数x x e C e C x y -+=21)(也是原方程的解.反过来，方程0=-''y y 的通解是不是x x e C e C x y -+=21)(呢？同样地，给出了方程（3.4）的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 后，含有n 个任意常数n C C C ,,,21 的函数)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是否就是线性齐次微分方程的通解呢？为了解决这个问题，我们首先给出函数组的线性相关和线性无关的概念.定义3.1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果其中的某个函数可由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性相关的.如果任何一个函数都不能由其余的1-n 个函数线性表出，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上是线性无关的.定理3.3（判定定理）函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.如果只有n k k k ,,,21 全为零时，0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n 才成立，则称函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性无关.证明 如果存在一组不全为零的常数n k k k ,,,21 ，使得0)()()(2211=+++x y k x y k x y k n n不妨假定01≠k ，则)()()(12121x y k k x y k k x y n n ---= 即)(1x y 可由)(,),(2x y x y n 线性表出，因此函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上线性相关.由线性相关与线性无关的定义，我们可以很容易的得出下面的结论：（1）在函数组)(,),(),(21x y x y x y n 中，如果含有一个零函数，比如0)(=x y i ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关.事实上，)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即)(0)(0)(0)(0)(00)(1121x y x y x y x y x y x y n i i i ⨯++⨯+⨯++⨯+⨯=+-（2）如果函数组只含有两个函数)(),(21x y x y ，则它们线性相关等价于它们之比)()(21x y x y 为常数. 证明 如果)(),(21x y x y 线性相关，则其中的一个可以由另一个线性表出，不妨设)()(21x y x y →，则存在常数k ，使得)()(21x ky x y =，所以k x y x y =)()(21为常数. 反过来，如果)()(21x y x y 为常数，设k x y x y =)()(21，则)()(21x ky x y =， 即)()(21x y x y →，所以)(),(21x y x y 线性相关.例2 函数组x x e x y e x y -==)(,)(21在任意区间是线性无关的.证明 因为x e x y x y 221)()(=不是常数，所以x x e x y e x y -==)(,)(21线性无关. 例3 函数组x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===在任意区间上是线性相关的.证明 因为x x x 22sin cos 2cos -=，即)()()(321x y x y x y -=，所以函数组 x x y x x y x x y 23221sin )(,cos )(,2cos )(===线性相关.对于一般的函数组，直接用线性相关和线性无关的定义，或者用定理3.3去判定是非常困难的.比如函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性相关的，还是线性无关的呢？为了解决这个问题，我们下面给出朗斯基（Wronski ）行列式的定义.定义3.2 设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，我们称行列式)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式.函数组的朗斯基行列式有如下的性质：定理3.4 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义而且线性相关，又对每个),,2,1)((n k x y k =存在1-n 阶导数，则它们的朗斯基行列式恒等于零.证明 因为函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，所以其中的一个函数可由其余1-n 个函数线性表出，不妨设)(x y i 可由其余1-n 个函数线性表出，即存在1-n 个常数n i i k k k k k ,,,,,,1121 +-，使得)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i ++++++=++--而且有)()()()()()(11112211x y k x y k x y k x y k x y k x y n n i i i i i '++'+'++'+'='++-- …………………………………………………………………………………………)()()()()()()1()1(11)1(11)1(22)1(11)1(x y k x y k x y k x y k x y k x y n nn n i i n i i n n n i --++------++++++= 则在朗斯基行列式)()()()()()()()()()()()()()1()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n i n n i i ----''''=的计算中，第一列乘以1k -，第二列乘以2k -，…，第1-i 列乘以1--i k ，第1+i 列乘以1+-i k ，…，第n 列乘以n k -后，全加至第i 列，则第i 列中的每个元素全为零，所以0)()()(0)()(0)()(0)()()()1()1(2)1(12121='''=---x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n nn n n n推论1 函数组)(,),(),(21x y x y x y n 在区间I 上有定义，而且都存在1-n 阶导数，如果存在某一点I x ∈0，使得0)(0≠x W ，则函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关.该推论是定理3.4的逆否命题，所以显然是成立的.例4 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 在任意区间上是线性无关的.证明 函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 的朗斯基行列式为01cos sin sin cos 0cos sin 0sin cos 1cos sin )(≠-=---=---=x x x x x x x x x x x W 所以函数组1)(,cos )(,sin )(321===x y x x y x x y 是线性无关的.例5 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 （其中n λλλ ,,21两两互异）在任意区间上是线性无关的.证明 函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 的朗斯基行列式为1121121)(1121121111)(21212121---+++---==nnn n nx x nn x n x n x n x x x x xn n n n e e e e e e e e e e x W λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ∏≤<≤+++-=n j i i j xn e 1)()(21λλλλλ因为n λλλ ,,21两两互异，所以0)()(1)(21≠-=∏≤<≤+++n j i i j xn e x W λλλλλ ，因此，函数组x n x x n e x y e x y e x y λλλ===)(,,)(,)(2121 线性无关.由定理3.4知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关，则它们的朗斯基行列式恒为零；反过来，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式恒为零，能不能得出函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关呢？即朗斯基行列式恒为零是不是线性相关的充分必要条件呢？下面的例子给出了答案.例6 函数组,0,0)(21<≥⎩⎨⎧=x x x x y 0,0,0)(,22<≥⎩⎨⎧=x x x x y 显然是线性无关的，因为)()(21x y x y 不是常数.但是，它们的朗斯基行列式为 当0≥x 时，0020)(2==x x x W ，当0<x 时，0200)(2==xx x W . 即，对所有的R x ∈，朗斯基行列式恒为零.通过这个例子，我们可以看出即使函数组的朗斯基行列式恒为零，该函数组也有可能是线性无关的，所以函数组的朗斯基行列式恒为零是判定函数组线性相关的必要条件，而不是充分条件.我们只能用朗斯基行列式在某点处不为零，判定该函数组线性无关.但是，如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解，这时它们的朗斯基行列式恒为零是判定该函数组线性相关的充分必要条件.这可由下面的定理得到.定理3.5 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，则它们的朗斯基行列式0)(≠x W在区间),(b a 上恒成立.证明 假设0)(≠x W 在区间),(b a 上不恒成立，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x W .构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='++'+'=+++---0)()()(0)()()(0)()()(0)1(0)1(220)1(1100220110022011x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C x y C n n n n n n n n n因为方程组的系数行列式0)(0=x W ，所以方程组有非零解，设为)0()0(2)0(1,,,n C C C （)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零） 以)0()0(2)0(1,,,nC C C 为系数，构造)(,),(),(21x y x y x y n 的线性组合)()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++=根据齐次线性微分方程解的性质知，它是方程（3.4）的解.而且满足初始条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=='++'+'='=+++=----0)()()()(0)()()()(0)()()()(0)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10)1(0)0(02)0(201)0(100)0(02)0(201)0(10x y C x y C x y C x yx y C x y C x y C x y x y C x y C x y C x y n n n n n n n n n n 而0)(≡x y 也是方程（3.4）的解，也满足0)(,,0)(,0)(0)1(00=='=-x y x y x y n .因为初值问题⎩⎨⎧=='==+'+++---0)(,,0)(,0)(0)()()(0)1(001)1(1)(x yx y x y y x p y x p y x p y n n n n n 的解是唯一的，所以0)()()()()0(2)0(21)0(1≡+++=x y C x y C x y C x y n n又)0()0(2)0(1,,,nC C C 不全为零，由定理3.3知，函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关，这与函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性无关矛盾. 所以，假设不成立，因此，0)(≠x W 在区间),(b a 上恒成立. 推论2如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n定义在区间),(b a 上的n 个解，如果存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0=x W则该解组在),(b a 上线性相关.该推论是定理3.5的逆否命题，所以显然是成立的. 推论3方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 在其定义区间),(b a 上线性无关的充要条件是，存在),(0b a x ∈，使得它们的朗斯基行列式0)(0≠x W . 这样，我们就可以得出下面的结论：设函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠.这样，我们判定方程的n 个解是线性相关还是线性无关就可以看),,(0b a x ∈∀ )(0x W 是否为零.解决了线性相关与线性无关的判定问题后，我们继续解决线性齐次微分方程的通解问题，首先给出基本解组的概念.定义3.3 方程（3.4）的定义在区间),(b a 上的n 个线性无关的解，称为方程（3.4）的基本解组.例7 在例1中，我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的解，而且x x e x y e x y -==)(,)(21是线性无关的两个解，即)(),(21x y x y 是方程0=-''y y的基本解组，那么x x e C e C x y -+=21)(是否为方程的通解呢？我们需要证明，方程的任一解是否可由基本解组线性表出？定理 3.6 如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则对于（3.4）的任一解)(x y ，均可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，存在一组数)0()0(2)0(1,,,nC C C ，使得 )()()()()0(2)0(21)0(1x y C x y C x y C x y n n +++= .证明 设)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 构造n C C C ,,,21 的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++'='++'+'=+++----)1(00)1(0)1(220)1(110002201100022011)()()()()()()()()(n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C y x y C x y C x y C因为)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的基本解组，即)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，所以它们的朗斯基行列式在0x x =的值不为零，即方程组的系数行列式0)(0≠x W ，因此方程组存在唯一的解，设其解为)0()0(2)0(1,,,n C C C ，这样，我们可以用)0()0(2)0(1,,,nC C C 构造函数 )()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y n n +++=根据线性齐次微分方程解的性质知，)(~x y 是方程（3.4）的解，而且)(~x y 满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++='='++'+'='=+++=-----)1(00)1()0(0)1(2)0(20)1(1)0(10~)1(00)0(02)0(201)0(10~00)0(02)0(201)0(10~)()()()()()()()()()()()(n n n n n n n n n n n y x y C x y C x y C x yy x y C x y C x y C x y y x y C x y C x y C x y 又)(x y 是方程（3.4）的任一解，并且满足初始条件)1(00)1(0000)(,,)(,)(--='='=n n y x y y x y y x y 因为初值问题⎩⎨⎧='='==+'+++----)1(00)1(00001)1(1)()(,,)(,)(0)()()(n n n n n n y x y y x y y x y y x p y x p y x p y 的解是唯一的，所以)()()()()()0(2)0(21)0(1~x y C x y C x y C x y x y n n +++==即，)(x y 可由函数组)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出. 由定理3.6，可以得出下面的基本定理.定理3.7（基本定理）如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程（3.4）的一个基本解组，则)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的通解，其中n C C C ,,,21 是n 个任意常数.证明 首先由线性齐次微分方程解的性质知，对任意的n C C C ,,,21)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=是方程（3.4）的解.其次，由定理3.6知，方程（3.4）的任一解均可由)(,),(),(21x y x y x y n 线性表出，即，任一解都可以表示成)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 的形式. 因此，)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是方程（3.4）的通解. 由基本定理可知，方程（3.4）的求解，关键是找到方程（3.4）的一个基本解组，即，方程（3.4）的n 个线性无关的解)(,),(),(21x y x y x y n ，这样就可以很容易的写出方程（3.4）的通解：)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= .例8 求方程0=-''y y的通解.解 我们验证了函数x x e x y e x y -==)(,)(21是方程0=-''y y的两个线性无关的两个解，因此方程的通解为：x x e C e C x y -+=21)(.根据基本定理，我们可以得到下面的推论.推论4 n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个. 证明 设)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是方程（3.4）的任意1+n 个解.如果前n个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性相关的，则上述1+n 个解是线性相关的. 如果前n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 是线性无关的，由定理3.6知，)(,),(),()(211x y x y x y x y n n →+所以)(),(,),(),(121x y x y x y x y n n + 是线性相关的. 因此，方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个.由推论4知，n 阶线性齐次微分方程（3.4）的线性无关解的个数不超过n 个，那么方程（3.4）的线性无关解的个数是不是有且只有n 个呢？其基本解组存在吗？下面的定理可以回答这个问题.定理3.8 方程（3.4）总存在定义在),(b a 上的基本解组，即，总存在n 个线性无关的解.证明 在),(b a 上任取一点0x x =，由解的存在唯一性定理，方程（3.4）在),(b a 上必存在n 个解)(,),(),(),(321x y x y x y x y n ，它们分别满足下列初始条件：0)(,,0)(,0)(,1)(0)1(1010101==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,0)(,1)(,0)(0)1(2020202==''='=-x y x y x y x y n 0)(,,1)(,0)(,0)(0)1(3030303==''='=-x y x y x y x y n………………………………………………………1)(,,0)(,0)(,0)(0)1(000==''='=-x y x y x y x y n n n n n由于这n 个解在0x x =点的朗斯基行列式的值011000010100001)(0≠==x W所以)(,),(),(),(321x y x y x y x y n 是线性无关的解，从而它们是方程（3.4）定义在),(b a 上的基本解组.由定理3.8知，线性齐次微分方程（3.4）的基本解组一定存在，且含有n 个线性无关的解.而且方程（3.4）的解与它的系数之间满足如下的刘维尔（Liouville ）公式.定理3.9 设)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的任意n 个解，)(x W 是这n 个解的朗斯基行列式，则对),(b a 上的任一点0x x =，总有⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在给出定理3.9的证明之前，先给出行列式函数求导法则 设n 阶行列式函数为)()()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D nn n n n n n =则+'''+'''=)()()()()()()()()()()()()()()()()()())((212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a dxx D d nn n n n n nn n n n n n)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a nn n nn n '''+证明 当2=n 时，这时)()()()()()()()()(21122211222112112x a x a x a x a x a x a x a x a x D -===dxx D d ))((2)]()()()([)]()()()([2112221121122211x a x a x a x a x a x a x a x a '-'+'-' )()()()()()()()(2221121122211211x a x a x a x a x a x a x a x a ''+''= 当3=n 时，)()()()()()()()()()()()()()()()(3231222113333123211233322322113x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x D +-==dx x D d ))((3)()()()()()()()()()()()()()()(323122211333312321123332232211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '+'-' ))()()()()(())()()()()(())()()()()((323122211333312321123332232211'+'-'+x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(333231232221131211333231232221131211333231232221131211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a '''+'''+'''= 假设对1-n 阶方阵成立，则对于n 的情形有：)()()()()()()(1112121111x A x a x A x a x A x a x D n n n +++==dxx D d n ))(()]()()()()()([1112121111x A x a x A x a x A x a n n '++'+' )()([1111x A x a '+ )]()()()(111212x A x a x A x a n n '++'+ )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(212222111211212222111211212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a nnn nn n nn n n n n nn n n n n '''++'''+'''=下面，我们给出定理3.9的证明.证明 因为)()()()()()()()()()()1()1(2)1(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x W n n n n n n ---'''=对朗斯基行列式求导得：)()()()()()()()()()()()()()()(2)(1)2()2(2)2(12121x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n---'''=分别用)(,),(),(21x p x p x p n n -乘以上述行列式的第一行，第二行，…，第1-n 行后，全部加至第n 行，这时第n 行元素为：),,2,1(,)()()(1)2(2)(n i y x p y x p y x p y i n i n n i n i =+'+++--因为)(,),(),(21x y x y x y n 均是方程（3.4）的解，即),,2,1(,0)()()()(1)2(2)1(1)(n i y x p y x p y x p y x p y i n i n n i n i n i ==+'++++--- 所以),,2,1(,)()()()()1(11)2(2)(n i y x p y x p y x p y x p y n i i n i n n i n i =-=+'+++--- 所以第n 行元素可以换为：),,2,1(,)()1(1n i y x p n i =--因此)()()()()()()()()()()()()()()()()()(1)1(1)1(21)1(11)2()2(2)2(12121x W x p x y x p x y x p x y x p x y x y x y x y x y x y x y x y x y dxx dW n n n n n n n n n n -=---'''=------即)()()(1x W x p dxx dW -= 即dx x p x W x dW )()()(1-= 从0x 到x 积分得：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.在前面我们已经得出：如果函数组)(,),(),(21x y x y x y n 是方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n在区间),(b a 上的n 个解，则)(,),(),(21x y x y x y n 线性相关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈=⇔≡ )(,),(),(21x y x y x y n 线性无关⇔)),((0)(0)(00b a x x W x W ∈≠⇔≠. 现在刘维尔公式直接给出了n 个解)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式的值与它在某一点0x x =处的值之间的关系：⎰=-xx dtt p ex W x W 01)(0)()(.下面给出刘维尔公式的一个简单应用：对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，则由刘维尔公式可以求得与)(1x y 线性无关的另一个解，从而可求得方程的通解.设)(x y 是二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的与)(1x y 线性无关的解，则由刘维尔公式得：)0()()(11≠⎰=''=-C Ce y y y y x W dxx p即⎰='-'-dxx p Ce y y y y )(11两边同时乘以211y 得： ⎰='-'-dx x p ey C y y y y y )(212111 积分得：⎰⎰⎰=⎰=--dx e y C dx e y C y y dxx p dx x p )(21)(2111 即⎰⎰=-dx e y Cy y dxx p )(2111 因此方程的通解为：⎰⎰+=-dx e y Cy y C x y dxx p )(2111*1)(. 例9 已知方程011)ln 1(2=-'+''-y xy x y x的一个解x y ln 1=，试求其通解.解 这里)1(ln 1)(--=x x x p ，由公式可得通解为：]ln 1[ln ]1[)1(ln 1ln 12*)1(ln 121*1⎰⎰⎰+=⎰+=---dx e xC C x dx e y C C y y x d x dx x x)]ln 1ln 1([ln ]ln 1ln [ln 2*2*⎰⎰⎰-+=-+=dx x dx x C C x dx xx C C x Cx x C xCx C x dx x x xd x x C C x +=+=--+=⎰⎰ln )ln (ln )]ln 1ln 1ln ([ln **2*. 上述例子表明，一个二阶的线性齐次微分方程，如果能得到其一个非零解，利用刘维尔公式可求得该线性齐次微分方程的通解.我们也可以采用换元法，将二阶线性齐次微分方程降阶为一阶微分方程，从而求得该方程的通解，下面介绍一下换元法.对于二阶线性齐次方程0)()(=+'+''y x q y x p y如果已知它的一个非零解)(1x y ，下面做变量代换，令z y y 1=则z y z y z y y z y z y y ''+''+''='''+'='111112,，代入原方程得： 0)())((2111111=+'+'+''+''+''z y x q z y z y x p z y z y z y 即0))(2())()((111111=''+'+'++'+''z y z y x p y z y x q y x p y 因为)(1x y 是原方程的解，所以0)()(111=+'+''y x q y x p y ，从而上式可化为： 0))(2(111=''+'+'z y z y x p y 令u z ='，则u z '=''，代入得：0))(2(111='++'u y u y x p y 降为了一阶微分方程，而且是变量可分离的方程，整理得：dx y y x p y u du111)(2+'-=102积分得：⎰=+'-dxy y x p y Ceu 111)(2.从而得到⎰⎰⎰=⎰=+'-+'-dx Cey y dx Cez dxy y x p y dxy y x p y 111111)(21)(2,.因此方程的通解为：⎰⎰+=+'-dx eCy y C x y dx y y x p y 111)(211*)(.例10 求方程066323=-'+''-'''y y x y x y x的通解，已知它的两个特解221,x y x y ==.解 令xz y =，则z z x y z z x y z z x y ''+'''=''''+''=''+'='3,2, 代入066323=-'+''-'''y y x y x y x 得：06)(6)2(3)3(23=-+'+'+''-''+'''xz z z x x z z x x z z x x即04='''z x ，所以,,,12321x z x z z ===因此33x y =故原方程的通解为：33221x C x C x C y ++=.习 题 3.21.试讨论下列各函数组在它们的定义区间上是线性相关的还是线性无关的？（1）;sin ,cos ,2sin t t t （2）;tan ,cos ,sin x x x （3）;42,2,322+++-x x x x x （4）.,,2t t t e t te e2.设在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(x p 在某区间I 上连续且恒不为零，103试证它的任意两个线性无关的解的朗斯基行列式是区间I 上的严格单调函数.3.试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数.4.已知方程022)1(2=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.5.已知方程0)1(=+'-''-y y x y x 的一个解x y =1，试求其通解.6.在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯基行列式等于常数.7.设)(1x y 是n 阶线性齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x a y x a y x a y n n n n的一个非零解.试证明：利用线性变换z x y y )(1=可将已知方程化为1-n 阶的齐次方程.3.3 n 阶线性非齐次微分方程的一般理论对于线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- （3.2）而言，我们首先研究其解与对应的线性齐次微分方程解之间的关系.（1）如果)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解，)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.证明 因为)(x y 是线性齐次微分方程（3.4）的解， 所以0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n因为)(*x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解， 所以)()())(())(()(**1)1(*1)(*x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(**1)1(*1)(*y y x p y y x p y y x p y y n n n n ++'++++++--104))(())()(())()(()(**1)1(*)1(1)(*)(y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n ++'+'+++++=--- )1(*1)(*1)1(1)())(()(())()()((---+++'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y )()(0))())((**1x f x f y x p y x p n n =+=+'++- . 即，)()(*x y x y +是线性非齐次微分方程（3.2）的解.（2）如果)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，则)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.证明 因为)(),(*2*1x y x y 是线性非齐次微分方程（3.2）的解，所以)()())(())(()(*1*11)1(*11)(*1x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++-- )()())(())(()(*2*21)1(*21)(*2x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--因此))(())(())(()(*2*1*2*11)1(*2*11)(*2*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n -+'-++-+---))(())())((())())((()()(*2*1*2*11)1(*2)1(*11)(*2)(*1y y x p y y x p y y x p y y n n n n n n -+'-'++-+-=--- )1(*21)(*2*1*11)1(*11)(*1))(()(())())(())(()((---+-+'+++=n n n n n n y x p y y x p y x p y x p y 0)()())())((*2*21=-=+'++-x f x f y x p y x p n n . 即，)()(*2*1x y x y -是线性齐次微分方程（3.4）的解.根据上述两条性质，我们可以得到下面的定理. 定理3.10 n 阶线性非齐次微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x p y x p y x p y n n n n =+'+++--的通解等于它对应的齐次方程0)()()(1)1(1)(=+'+++--y x p y x p y x p y n n n n的通解与它本身的一个特解之和.即)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=证明 因为)()()(2211x y C x y C x y C n n +++ 是齐次方程（3.4）的解，)(*x y 是105非齐次方程（3.2）的解，由性质（1）知，)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++=是非齐次方程（3.2）的解.下面证明非齐次方程（3.2）的任一解)(x y 都可以表示成)()()()(*2211x y x y C x y C x y C n n ++++事实上，因为)(x y 和)(*x y 都是非齐次方程（3.2）的解，由性质（2）知，)()(*x y x y -是齐次方程（3.4）的解，所以可表示成方程（3.4）的通解形式，即)()()()()(2211*x y C x y C x y C x y x y n n +++=-因此)()()()()(*2211x y x y C x y C x y C x y n n ++++= .故非齐次方程（3.2）的通解可以表示为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和.由定理3.10知，求解一个线性非齐次方程（3.2）的关键是先找到对应的线性齐次方程（3.4）的通解，再找到一个非齐次方程的特解就可以了，这时有非齐通解=齐通解+非齐特解.假定我们已经求得了线性齐次微分方程（3.4）的齐通解)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++=这时，可以采用常数变易法求非齐次方程的特解)(*x y .下面来看一下n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法.已知)()()()(2211x y C x y C x y C x y n n +++= 是齐次方程（3.4）的通解，设)()()()()()()(2211*x y x C x y x C x y x C x y n n +++=是线性非齐次方程（3.2）的一个特解，为了将)(*x y 代入方程（3.2），我们需要首先计算)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数.则)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n '+'+'++'+'='106)]()(x y x C nn '++ 在求二阶导数之前，我们先研究一下特解)(*x y ，要想得到)(*x y ，必须求得)(,),(),(21x C x C x C n ，但是代入方程（3.2）只能得到一个等式，所以我们必须构造)(,),(),(21x C x C x C n 满足的另外1-n 个等式，因此在))((*'x y 中，令0)()()()()()(2211='++'+'x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n '++'+'=' 这时，再求))((*''x y ，有)()()()([)]()()()()()([))((22112211*x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n ''+''+''++''+''='' )]()(x y x C n n ''++ 再令0)()()()()()(2211=''++''+''x y x C x y x C x y x C n n 则)()()()()()())((2211*x y x C x y x C x y x C x y n n ''++''+''='' 序行此法，可得)()([)]()()()()()([))(()1(11)2()2(22)2(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n -----+'++'+'= )]()()()()1()1(22x y x C x y x C n n n n --+++令0)()()()()()()2()2(22)2(11='++'+'---x y x C x y x C x y x C n n n n n则)()()()()()())(()1()1(22)1(11)1(*x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n ----++++=这时，再求)(*))((n x y ，有)()([)]()()()()()([))(()(11)1()1(22)1(11)(*x y x C x y x C x y x C x y x C x y n n n n n n n +'++'+'=--- )]()()()()()(22x y x C x y x C n n n n +++107最后将求得的)(*x y 的一阶，二阶，…，n 阶导数代入方程（3.2）得：)()()()([)]()()()()()({[)(22)(11)1()1(22)1(11x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n n ++'++'+'--- )]()()()()()()[()]}()()1()1(22)1(111)(x y x C x y x C x y x C x p x y x C n n n n n n n n ---++++++)()()[()]()()()()()()[(1122111x y x C x p x y x C x y x C x y x C x p n n n n +'++'+'++- )()]()()()(22x f x y x C x y x C n n =+++ 即)]()()()()()()()[(111)1(11)(11x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n +'+++-- ++'++++--)]()()()()()()()[(221)1(21)(22x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n )]()()()()()()()[(1)1(1)(x y x p x y x p x y x p x y x C n n n n n n n n n +'++++-- )()]()()()()()([)1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'+---因为),,2,1(,0)()()()()()()(1)1(1)(n i x y x p x y x p x y x p x y i n i n n i n i ==+'+++-- 所以)()()()()()()()1()1(22)1(11x f x y x C x y x C x y x C n n n n n ='++'+'---这样，就得到了)(,),(),(21x C x C x C n ''' 的n 个方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()()1()1(22)1(11)2()2(22)2(1122112211x f x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C x y x C n n n n n n nn n n n n n n 该方程组的系数行列式为)(,),(),(21x y x y x y n 的朗斯基行列式)(x W ，因为这n 个解是线性无关的，所以0)(≠x W ，因此，该方程组存在唯一解，这样就可以求得)(,),(),(21x C x C x C n ''' ，再逐个积分，求得)(,),(),(21x C x C x C n ，从而得到特解)(*x y .例1 求方程10812-=-''x xe e y y的通解.解 齐次方程0=-''y y的通解为：x x e C e C y -+=21.设xxe x C e x C x y -+=)()()(21*为方程12-=-''x xe e y y 的一个特解，则⎪⎩⎪⎨⎧-='-'='+'--12)()(0)()(2121x x xx x x e e e x C e x C e x C e x C ， 解方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-='-='x xx e e x C e x C 1)(11)(221，所以x e de ee de e e dx e x C xx x x x x x x --=--=-=-=⎰⎰⎰1ln )111()1(111)(1 )1(ln )111(11)(22xx x x x x x x x e e de e de e e dx e e x C +--=+--=-=-=⎰⎰⎰ 因此非齐特解为)11ln (1ln )(*+----=-x x x x x e e xe e e x y故方程的通解为)11ln (1ln )(21+----++=--x x x x x x x e e xe e e e C e C x y .例2 求方程)(2t f x x =+∙∙ω的通解. 解 对应的齐次方程020=+∙∙x x ω的通解为t C t C t x 0201sin cos )(ωω+=.。

三阶常系数线性非齐次微分方程特解的两种解法一种解法是求解特征方程，另一种解法是采用逐步求解法。

1、求解特征方程法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)其中a2,a1,a0为常数，f(x)为右端函数。

（1）求解特征方程：设特征根为λ1,λ2,λ3，则特征方程为：λ3+a2λ2+a1λ+a0=0求解特征方程，得到特征根：λ1,λ2,λ3（2）求解特解：令特解为y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x代入方程，得：C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x+a2(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a1(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)+a0(C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x)=f(x)即：(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ1x+(C1λ3+C2λ2+C3λ1)eλ2x+(C1λ3+C2λ2 +C3λ1)eλ3x=f(x)化简得：C1λ3+C2λ2+C3λ1=f(x)解得：C1=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)C2=f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)C3=f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)故特解为：y=f(x)λ3/(λ3-λ2)(λ3-λ1)eλ1x+f(x)λ2/(λ2-λ1)(λ2-λ3)eλ2x+f(x)λ1/(λ1-λ2)(λ1-λ3)eλ3x2、逐步求解法：设三阶常系数线性非齐次微分方程为：y'''+a2y''+a1y'+a0y=f(x)（1）求解一阶线性微分方程：设y1(x)为一阶线性微分方程的解，则有：y1'+a2y1=0解得：y1=C1e-a2x（2）求解二阶线性微分方程：设y2(x)为二阶线性微分方程。

摘要我在此论文中主要讨论长微分方程中的非齐次线性微分方程的几种解法。

关键词：线性相关，通解，特解，朗斯基行列式，拉普拉斯变换,线性无关，目录摘要 (1)引言 (3)1.n阶线性齐次微分方程的一般理论: (3)2.n阶线性非齐次微分方程的一般理论: (6)2.1常数变易法 (6)2.2待定系数法: (9)2.1.1第一类型非齐次方程特解的待定系数解法 (9)2.2.2第二类型非齐次微分方程特解的待顶系数法 (11)2.3拉普拉斯变换法 (13)总结 (15)参考文选 (16)致谢 (17)引言非齐次线性微分方程是常微分方程中的重要概念之一。

非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解的之和。

这个毕业论文中关键的任务是求它的一个特解。

下面我们主要介绍求特解的方法。

1.n 阶线性齐次微分方程的一般理论:()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++= （1） ()(1)11()()()0n n n n y a x y a x y a x y --'++++= （2）定理1：设方程（2）有n 个线性无关的解，这n 个线性无关的解称为方程的基本解组。

定理2：方程（2）的基本解组一定存在。

方程（2）的基本解组的个数不能超过n 个。

定理3：n 阶线性非齐次微分方程的通解等于它的对应齐次方程的通解与它本身的一个特解之和。

定理4：齐次方程（2）的n 个解12,,,n y y y 在其定义区间I 上线性无关的充要条件是在I 上存在点0x ，使得它们的朗斯基行列式0()0W x ≠。

目前为止没有求方程（2）线性无关解的一般方法。

下面我们研究几个例子。

例：方程2)(1220x y xy y '''--+=的两个解是121,ln 121x xy x y x+==-- ∴ 它的通解为121ln 121x x y C x C x+=+-- 定理5：设12,,,n y y y 是方程（2）的任意n 个解。

三阶微分方程理论本书讨论的是三阶微分方程理论，大部分内容是基于作者早期的三阶微分方程研究成果。

本书论述的许多内容发展和更新了具有常系数三阶线性齐次微分方程结果，给出更多具有变系数的三阶微分方程理论、方法和技术。

本书作者论述了常系数的三阶微分方程解的振荡行为与非振荡行为，给出了变系数三阶齐次微分方程解的振荡性、非振荡性与渐近性，分析了三阶延迟微分方程的稳定性。

这些研究成果对微分方程理论分析、代数理论的研究具有重要意义。

全书共分7章：1.引言，主要内容有预备知识、常系数三阶线性微分方程、三阶延迟微分方程、三阶标准微分方程、基本结论和分析结果；2.三阶齐次微分方程解的性质，主要内容有不同系数下的三阶微分方程解的性质、三阶线性微分方程的振荡性与非振荡性、公开性问题（open problems）和注解；3.三阶线性非齐次微分方程的振荡性，主要内容有非齐次线性微分方程解的非振荡行为、非齐次线性微分方程解的振荡行为、非齐次线性微分方程的非振荡性、三阶线性非齐次微分方程振荡解的渐近性质、公开性问题、讨论和注解；4.齐次三阶非线性微分方程的振荡性与非振荡性，主要内容有各类三阶非齐次微分方程解的性质、公开性问题、讨论和注解；5.三阶非线性非齐次微分方程的振荡性与非振荡性，主要内容有两类三阶非线性非齐次微分方程解的振荡行为与非振荡行为、公开性问题、讨论和注解；6.三阶延迟微分方程解的振荡行为与渐近性质，主要内容有不同类型三阶线性延迟微分方程解的渐近性质、三阶非线性延迟微分方程解的振荡行为与非振荡行为、具有分布性偏差变元三阶微分方程解的振荡性、三阶非线性非齐次延迟微分方程解的非振荡性、公开性问题、讨论和注解；7.三阶微分方程的稳定性，主要内容有各类三阶微分方程解的稳定性、公开性问题、讨论和注解。

本书讨论了三阶微分方程理论，通过三阶线性微分方程和三阶非线性微分方程解的振荡行为与非震荡行为的分析以及三阶延迟微分方程解的渐近性和稳定性的讨论，建立和发展了许多新的微分方程理论和方法。

【单选题】n 阶齐次线性微分方程的基本解组中所含解的个数恰好是________个．A 、n -1；B 、n ；C 、n +1；D 、n +2.答案：B【单选题】下了判断正确的是_______________.A 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差不是对应齐次微分方程组的解；B 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之差是对应齐次微分方程组的解;C 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和还是该非齐次微分方程组的解；D 、一阶线性非齐次微分方程组的任意两个解之和是对应齐次微分方程组的解.答案：B【计算题】解微分方程'''1211,,11t t x x x t x t x e t t+-=-==--. 答案：常数变易法令12()()t x c t t c t e =+是原方程的解，并代入原方程得''12''12()()0()()1t t c t t c t e c t c t e t ⎧+=⎨+=-⎩， 解得''12()1,()t c t c t te -=-=,所以1122(),()(1)t c t t c c t t e c -=-+=-++ 因此原方程的通解为2121t x c t c e t =+-- 其中21,c c 是任意常数. 【计算题】解微分方程2'''2312ln 4636,,t t x tx x x t x t t-+===. 答案：常数变易法 令2312()()x c t t c t t =+是原方程的解，并代入原方程得'2'312'2'123()()0ln 2()3()36c t t c t t t tc t t c t t ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得334411229()412ln ,()9ln 4c t t t t c c t t t t c ----=++=--+ 因此原方程的通解为23111273ln 4x c t c t t t t --=+++ 其中21,c c 是任意常数 . 【计算题】已知方程220d x x dt-=有基本解组 ,t t e e -，试求此方程适合初值条件'(0)1,(0)0x x ==及'(0)0,(0)1x x ==的基本解组.答案：由题意知通解为12t t x c e c e -=+ ，则'12t t x c e c e -=-，分别把初值条件代入得121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.因此方程的标准基本解组为 121111(),()2222t t t t x t e e x t e e --=+=-.【证明题】证明n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dtdt---++++= 存在且最多存在1n +个线性无关的解. 答案：设齐次线性微分方程的n 个线性无关的解为12,,,n x x x ，设满足某初值条件的非齐次线性微分方程的解为x ，则显然12,,,,n x x x x x x x +++为非齐次微分方程的+1n 个解。

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务1-6试题及答案100%通过考试说明：2022年秋期电大把该网络课纳入到“国开平台”进行考核，该课程共有6个形考任务，针对该门课程，本人汇总了该科所有的题，形成一个完整的标准题库，并且以后会不断更新，对考生的复习、作业和考试起着非常重要的作用，会给您节省大量的时间。

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课程总成绩=形成性考核某50%+终结性考试某50%形考任务1题目1本课程的教学内容共有五章，其中第三章的名称是（）．选择一项： A.一阶线性微分方程组B.定性和稳定性理论简介C.初等积分法D.基本定理题目2本课程安排了6次形成性考核任务，第2次形成性考核作业的名称是（）．选择一项： A.第一章至第四章的单项选择题B.第二章基本定理的形成性考核书面作业C.初等积分法中的方程可积类型的判断D.第一章初等积分法的形成性考核书面作业题目3网络课程主页的左侧第3个栏目名称是：（）．选择一项： A.课程公告B.自主学习C.课程信息D.系统学习题目4网络课程的“系统学习”栏目中第一章初等积分法的第4个知识点的名称是（）．选择一项： A.一阶隐式微分方程B.分离变量法C.全微分方程与积分因子D.常数变易法题目5网络课程的“视频课堂”栏目中老师讲课的电视课共有（）讲．选择一项： A.18B.20C.19D.17题目6网络课程主页的左侧“考试复习”版块中第二个栏目名称是：（）．选择一项： A.考核说明B.复习指导C.模拟测试D.各章练习汇总题目7请您按照课程的学习目标、学习要求和学习方法设计自己的学习计划，并在下列文本框中提交，字数要求在100—1000字．答：常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。

§3 线性微分方程一、一般概念[齐次线性微分方程与非齐次线性微分方程] 设微分方程()()()()()()0d d d d d d 011110≠=++++---x a x R y x a x yx a xy x a x y x a n n n n n n (1)如果方程中的未知函数()x y 及其各阶导数n n xyx y x y d d ,,d d ,d d 22 都是一次的，这种方程称为线性微分方程.因为()00≠x a ，所以（1）称为n 阶线性微分方程. 当()0≡x R ，(1)称为齐次线性微分方程.当()-=0/x R ，(1)称为非齐次线性微分方程.如果()()()x a x a x a n ,,,10 都是常数，(1)就称为常系数线性微分方程.[解的存在和唯一性定理] 如果()()()x a x a x a n ,,,10 和()x R 在区间()()0,00>+-δδδx x 内连续，且()00≠x a ，那末对任意给定的初始条件()()()()1011000,,,--=='=n n b x y b x y b x y方程(1)存在唯一解()x y y =，式中110,,,-n b b b 为实数.[函数的线性相关性] 对于一组函数()()()x y x y x y n ,,,21 ，如果有不全为零的常数n c c c ,,,21 ,使等式()()()02211≡+++x y c x y c x y c n n在区间[]b a ,上成立，则称这组函数()()()x y x y x y n ,,,21 在区间[]b a ,上线性相关.否则称这组函数线性无关（线性独立）.[朗斯基行列式] 如果()()()x y x y x y n ,,,21 是n 个1-n 次可微的函数，则称行列式[]()()()()11211212121,,,---'''≡≡n nn n n n n y y y y y y y y y x W y y y W为函数()()()x y x y x y n ,,,21 的朗斯基行列式.朗斯基行列式具有以下性质：1o 如果函数()()()x y x y x y n ,,,21 线性相关，那末它们的朗斯基行列式[]0,,,21≡n y y y W2o 如果函数()()()x y x y x y n ,,,21 是某齐次线性微分方程的解，那末它们线性相关的充分必要条件是它们的朗斯基行列式[]0,,,21≡n y y y W[n 阶齐次线性微分方程解的结构] 如果n 阶齐次线性微分方程()()()()()()01110=+'+++--y x a y x a y x a y x a n n n n ， 0)(0≠x a有n 个线性无关的解()()()x y x y x y n ,,,21 .那末它的通解是这n 个解的线性组合，即()()()()x y c x y c x y c x y n n +++= 2211其中n c c c ,,,21 是任意常数.这时又称()()()x y x y x y n ,,,21 为所给齐次线性微分方程的一组基本解.[n 阶非齐次线性微分方程解的结构] 非齐次线性微分方程的通解是它的一个特解与对应齐次方程的通解之和，即()()()()()x y c x y c x y c x y x y n n ++++= 2211* 式中n c c c ,,,21 为任意常数.二、常系数线性微分方程1. 齐次线性微分方程通解的求法[特征方程与特征根] 对于n 阶实常系数齐次线性微分方程01)1(1)(0=+'+++--y a y a y a y a n n n n 0,0≠a (2)作相应的n 次代数方程0,001110≠=++++--a a a a a n n n n λλλ (3)称它为微分方程(2)的特征方程，特征方程(3)的n 个根n λλλ,,,21 称为相应微分方程(2)的特征根.[齐次方程的通解] 为了求n 阶常系数齐次线性微分方程(2)的通解，只要找出它的n 个线性无关的特解就可以了.根据其全体特征根的各种情况，分别列出对应的线性无关特解.2. 非齐次线性微分方程特解的求法 给定n 阶非齐次线性微分方程()()()x R y a y a y a y a n n n n =+'+++--1110它的特解可用下面两种方法来求.[常数变易法] 设其相应的齐次线性微分方程的通解是()()()()x y c x y c x y c x y n n +++= 2211 那末非齐次线性微分方程有一个特解()()()()()()()x y x c x y x c x y x c x y n n +++= 2211*式中()()n j x c j ,,2,1 =是待定函数，它们的导数满足方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='++'+'=''++''+''='++'+'---)()()()()()()(0)()()()()()(0)()()()()()()1()1(22)1(1122112211x R x y x c x y x c x y x c x y x c x y x c x y x c x y x c x y x c x y x c n n n n n n n nn例 求微分方程''+=y y x sec的通解.解 先求其相应的齐次方程''+=y y 0的通解.因特征方程λ210+=，有特征根λλ12==-i i ,.于是齐次方程的通解为()x c x c x y sin cos 21+=利用常数变易法求非齐次方程的一个特解y*(x ) .令()()()x x c x x c x y sin cos 21*+=而c 1(x ),c 2(x )由下列方程组确定()()()()⎩⎨⎧='+'-='+'x x x c x x c x x c x x c sec cos sin 0sin cos 2121解方程组得()()1,cos sin 21='-='x c xxx c 积分后得()()2211,cos ln k x x c k x x c +=+=（k 1,k 2是任意常数）（因为只要一个特解，可令k 1=k 2=0）,所以原方程的通解为()()x x x x x c x c x y sin cos cos ln sin cos 21+++=[待定系数法] 对特殊类型的()x R ，可把特解()x y *的待定表达式及其相应的各阶导数代入原微分方程，然后比较同类项系数，定出()x y *的待定表达式里所含的系数i i B A ,，最后得出方程的特解()x y *.现在把部分情况下的特解形式列表如下：表中1,,2,1,,,+=k j b a b a jj 为已知常数；k 是正整数，如果x R 的两个多项式的次数不相同，则取k 为次数较大者；()1,,2,1,,,+=k j B A B A j j 是待定常数.表中右栏表达式分别是（自上而下）在βαβμβαβμi i i i ±±±±,,,,0,,不是其特征根的情形下的特解()x y *的待定表达式；如果它们是特征方程的r 重根，那末在表中的表达式上再乘以r x .例 求解微分方程x y xyx y 2sin d d 2d d 2244=++ 解 先求相应的齐次线性方程y (4)+2y"+y=0的通解.由特征方程λ4+2λ2+1=(λ2+1)2=0可知特征根λ=±i 都是二重根.所以齐次方程的通解为y (x )=c 1cos x +c 2sin x+c 3x cos x+c 4x sin x利用待定系数法，求非齐次线性方程的一个特解.由于R (x )=sin2x ，属于表中第二类表达式(a=0,b=1,β=2)，同时±i β=±2i 不是特征根，所以特解应为y*(x )=A cos2x +B sin2x .代入原方程，比较同类项系数得91,0==B A所以特解是 ()x x y 2sin 91*=原方程的通解为()x x x c x x c x c x c x y 2sin 91sin cos sin cos 4321++++=式中c 1,c 2,c 3,c 4是任意常数.三、 欧拉方程具有形状0d d d d d d 111110=++++----y a x y x a x y x a x y x a n n n n n n n n (n a a a a ,,,,210 是常数) 的方程称为欧拉方程.欧拉方程可以通过变量替换t e x =或x t ln =化成未知函数y 关于新自变量t 的常系数线性微分方程.例 求解欧拉方程0d d 3d d 222=++y x y x x y x解 令t e x =或t=ln x ，原方程变成0dt d 2d d 22=++y yty 特征方程是0)1(1222=+=++λλλ1-=λ是二重根.通解为y=e -t (c 1+c 2t )所以原方程的通解是()()x c c xx y ln 121+=四、 齐次线性微分方程的幂级数解法[具有幂级数形式的解] 一般变系数的齐次线性微分方程，不一定能找到用初等函数表示的解，这时可以考虑求具有幂级数形式的解.现以二阶齐次线性微分方程为例说明解法（高阶方程同样适用）.设()0d d )(d d 22=++y x b x yx a x y其中()x a 和()x b 在0x x =可展成幂级数.要求方程在0x x =附近的解，只要先假定这个解具有幂级数形式()()kk k x x a x y 00-=∑∞=然后形式地算出所需的各阶导数，代入原方程变成恒等式，确定待定的系数k a 从而得出所求的幂级数解.如果()x a ，()x b 在0x x =不能展成幂级数，比如是x 的有理分式，而分母在0x x =等于零，这时可试求具广义幂级数形式()()()∑∞=--=00k kkx x a x x x y α的解，其中α和k a 都是待定常数. [求勒让德方程的解] 方程()()01212=++'-''-y n n y x y x称为勒让德方程，它的解称为勒让德函数.在x =0附近，方程的系数可以展成幂级数，令()∑∞==0k k k x a x y代入原方程，可以定出两个线性无关解()()()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+++--++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++-++-=25322421;23;21,21!54231!321;21;21,2!4312!211x n n xF x n n n n x n n x x y x n n F x n n n n x n n x y所以勒让德方程的通解为()()()x By x Ay x y 21+=式中A,B 是任意常数，()x F ;;,γβα是高斯超几何级数.若n 为整数，则()x y 1与()x y 2中有一个为多项式，另一个仍然是无穷级数.适当选取任意常数A,B ,使当x =1时，多项式的值为1，这个多项式称为勒让德多项式，记作()x P n ，它属于第一类勒让德函数.另一个则与()x P n 线性无关，它是无穷级数，记作()x Q n ，属于第二类勒让德函数.此时，勒让德方程的通解为()()()x BQ x AP x y n n += 式中A,B 为任意常数.[求贝塞耳方程的解] 方程()0222=-+'+''y v x y x y x称为v 阶贝塞耳方程，式中v 为任意实数（或复数），它的解称为贝塞耳函数.因方程系数()()221,1xv x b x x a -== ,在x =0不能展成幂级数，而是x 的有理分式.令()∑∞==0k k kx axx y α代入原方程，令 x 各次幂的系数等于零，得v ±=α ，先取α=v ，得()k n k a a a k k +-==-2,021 所以()()()()m v v v m a a a a a mm m m +++-======+ 21!2102021231 取()1210+Γ=v a v，得贝塞耳方程的一个特解，记作 ()()()()01!21022≥++Γ-=∑∞=++v m v m x x J m m v mv mv它称为v 阶第一类贝塞耳函数. 取v -=α，得另一特解()()()∑∞=+-+--++-Γ-=0221!21m mv mv mv m v m x x J 当v 不为整数时，这两个特解线性无关，此时贝塞耳方程的通解为()()x BJ x AJ x y v v -+=)(式中A,B 是任意常数.当v=n 为整数时，)(x J n 与)(x J n -线性相关.此时记()()()απαπαααsin cos lim x J x J x N n n -→-=它也是贝塞耳方程的一个解，而且与()x J n 线性无关.称)(x N n 为n 阶第二类贝塞耳函数.于是贝塞耳方程的通解为()()()x BN x AJ x y n n +=式中A,B 是任意常数.。