下载文档原格式
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：题目摘要天然肠衣搭配问题优化模型摘要：本文通过对题目中所给数据和参考资料以及网站上获得的数据进行分析,利用多种模型对数据规律进行归纳提炼.首先我们建立了,方程和不等式,利用线性归回求最优,利用matelab求解，通过常识和分析我们知道,由于受到人为和多种外在和内在因素的影响,是不可能实现的,它只是在理想情况下的一种模式.在这个模型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下数据，虽然精度很大，但是预测的时间太短。
于是，在分析了天然糖衣的搭配问题。
首先我们是将数据进行处理，利用四舍五入以0.5为一个等级划分并作图。
而后我们是对两表的数据信息进行分类，总共分为三类。
解本题的思路是，利用线性归回求最优解，将最优的搭配一一列好，将剩余的材料进行降级处理后再次搭配。
天然肠衣搭配的数学模型[摘要]本文为肠衣组装提供了一个原料搭配方案，为了使原料能充分利用，建立了优化模型，通过lingo软件计算三种规格的最大捆数以及总捆数，再在最大捆数的前提下，通过lingo软件计算得到具体每捆的搭配方案。
[关键词]肠衣搭配优化模型捆扎[中图分类号] o29 [文献标识码] a [文章编号] 2095-3437（2012）10-0048-03数学模型[1]是指对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构，以便于通过数学上的演绎推理和分析求解深化对所研究的实际问题的认识。
近年来，许多学者对各种数学模型进行了研究，以三个文献作为说明。
[2][3][4]天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3米-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
表2为某批次原料描述。
公司要求：（1）对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；（2）对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；（3）为提高原料使用率，总长度允许有±0.5米的误差，总根数允许比标准少一根；（4）某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格。
根据以上要求和原料描述，建立数学模型，给出最优搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
一、问题分析本模型讲述的是肠衣的加工搭配问题，把成品规格按从小到大分为三种规格。
天然肠衣搭配问题是一个组合优化问题，通常涉及到在满足一系列约束条件下，选择合适的肠衣以最大化某种目标函数。
下面我将提供一个简单的数学模型，以帮助您理解这个问题。
假设我们有n种不同的天然肠衣，每种肠衣都有不同的长度和特性。
我们的目标是选择一定数量的肠衣，使得它们的总长度最大，同时满足以下约束条件：
每种肠衣的数量不能超过其最大供应量。
选择的肠衣必须满足特定的品质要求。
选择的肠衣的总成本不超过预算限制。
数学模型如下：
目标函数：最大化所有选择的肠衣的总长度。
约束条件：
每种肠衣的数量不超过其最大供应量。
选择的肠衣必须满足品质要求。
选择的肠衣的总成本不超过预算限制。
我们可以用线性规划或整数规划等优化方法来解决这个问题。
这些方法可以帮助我们在满足约束条件下，找到最优的肠衣搭配方案，使得目标函数达到最大或最小值。
需要注意的是，天然肠衣搭配问题可能涉及到更多的因素和复杂的约束条件，需要根据具体情况进行适当的调整和扩展。
天然肠衣搭配问题一、摘要肠衣加工企业对原材料应制定合理有效的方式来搭配，使得企业的收益最大化，同时基于保鲜的需要，也要求搭配方案能够尽可能快速。
因此肠衣的搭配问题是个很有实际意义的研究课题。
在本问题中，给出了2组数据，我们需要根据这2组数据设计搭配的方案。
显然，肠衣分配问题是一个整数规划问题。
所以本文都采用Lingo软件进行编程求解，求解这个整数规划问题本文都选择单纯形法。
对于每一个题设的要求，我们都单独考虑。
对于第一个问题：我们将问题分为3个小块，对于长度在[3,6.5]的长度，由于题设限制了一捆要求满足20根肠衣并且一捆最短要89米，所以我们通过构建线性方程组，来找到满足条件的结果；对于其他长度的肠衣，我们也是类似于[3,6.5]的方式进行。
对于第二个问题，题设要求最短长度的尽量多，所以我们在第一问的基础上，给较短长度的肠衣较大的权系数，最后通过Lingo软件求得全局最优解。
关于第三个问题的求解，我们参照求解问题一的方法使用不等式约束。
对于问题四，我们运用贪心算法来求解，即对于剩余的肠衣，我们通过贪心准则来进行降级，使得每次的贪心选择都是当时的最佳选择。
由于原材料已定，按照题设，分别讨论每个要求，解得第一问中肠衣最多只能做出130捆；第二问中对剩余的肠衣加权，也得到了比较理想的结果；第三问最多可以生产183捆合格成品；第四问中我们通过贪心算法对降级问题进行处理，最终得到剩下的肠衣可以组成183 捆。
对于第五问，我们每个程序的时间都仔分钟内就可以得到结果，所以能够在30分钟内得到分配方案。
关键词：搭配问题、LINGO软件、整数规划、全局最优、加权二、问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工就是我国的一个传统产业，已有百余年的历史，出口量占世界首位，为我国创造了可观的经济价值。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
天然肠衣搭配问题摘要肠衣的搭配问题就是把给定的若干长度不同的原料进行搭配成捆，使得每捆的总长度，所含原料的根数满足一定条件的情况下，得到的总成品捆数和某些规格的成品捆数越多越好，从而可以最大可能的提高公司肠衣的销售收入。
、本文就肠衣的搭配方案问题进行了研究，通过对题目中给定的具体数据进行分析和合理的假设，得到求解该问题最优解的多目标线性整数规划模型。
模型中含有较多的决策变量及约束方程。
因为问题对食品保鲜有具体的时间要求，为了在有限的时间内得到问题的尽可能合理的搭配方案，使得工人可以按照搭配方案进行捆扎，我们把建立的大规模整数目标规划问题的求解分解成若干个较小规模的整数线性规划问题的求解。
运用Lingo 软件编程计算每个整数线性规划问题的最优搭配方案及相应的捆数，同时考虑到每捆的总长度要求、根数要求及不同规格的原材料间的可能的降级使用，我们给出了一个求问题可行解的一个算法，从而得到肠衣搭配问题的一个通用的方案。
通过把算法运用到问题给定的实际数据中，我们可以得到算法的几个特点。
首先，该算法可以在几分钟内产生可行的原料搭配方案，使得每个成品捆都满足相应的总长度要求、每捆的根数要求。
其次，方案中也考虑到了规格长的剩余原料可降级使用，以提高原料使用率。
最后，也是更重要的是，该算法得到的总捆数和最短长度最长的成品捆数与这两类捆数的上界是非常接近的。
关键词：优化肠衣的优化搭配方法多目标线性整数规划单目标线性整数规划运筹lingo软件目录一、问题重述 (3)二、模型的基本假设与符号说明 (4)2.1、模型的基本假设 (4)2.2、符号说明 (4)三、问题分析与模型的建立 (4)3.1、问题分析 (4)3.2、模型建立 (5)3.3、模型分析 (6)四、模型求解 (7)4.1、求解第三规格的总捆数 (7)4.2、求解第二规格的总捆数 (8)4.3、求解第一规格的总捆数 (9)五、结果分析 (11)六、参考文献 (11)七、附录1-8 lingo 编程代码 (12)一、问题重述天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
D题天然肠衣搭配问题
天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
表1 成品规格表
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
表2为某批次原料描述。
表2 原料描述表
根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有以下具体要求：
(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；
(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；
(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；
(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；
(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。
天然肠衣搭配问题摘要本文针对天然肠衣原料的搭配方案进行设计，充分考虑最优化原则，运用线性规划知识建立模型，并利用LINGO软件计算出结果。
本文首先对题目中的五个要求进行分析，将前三个要求综合在一起考虑，建立数学模型解决。
充分考虑前三个要求：成品捆数越多越好，在此基础上每捆中最短长度最长的越多越好，并且成品总长度及每捆数量可以有适当误差，确定线性规划中的目标函数为每种规格中的原料组装后所剩肠衣的长度之和最小，并结合题意给出约束条件，在算出每种规格理想的最大捆数的基础上运用LINGO软件求出最佳的搭配方案。
其次针对第四个要求，先将规格三和规格二中所剩的肠衣，按照最优化理论建立线性规划模型求解，然后再将规格二和规格一中所剩下的肠衣建立模型求解，并给出最终的设计方案。
运用上述模型，再利用LINGO软件计算出最终成品数为191捆，剩余肠衣原料总长为285米。
当肠衣的原料表给出后，将数据带入文中模型并运用LINGO软件进行计算，能够在30分钟以产生最佳搭配方案，满足题目要求。
关键词：搭配线性规划模型LINGO一．模型假设1、假设在设计方案中，组装时优先考虑每种规格的肠衣独自组装，之后再将每种规格所剩的肠衣降级进行组装。
2、假设肠衣原料降级使用只能降到相邻规格。
比如，规格三只能降级到规格二，而不能降级到规格一。
3、假设肠衣原料降级使用时，原料长度不降级。
比如，将长度为14米的原料与长度介于7-13.米的进行捆扎时，长度仍然按14米计算。
二．符号说明ij x 为某一规格中第i 捆成品中第j 档肠衣原料的根数 ij a 为第i 捆成品中第j 档次肠衣的长度 j b 为某一规格中第j 档次对应的总根数k d 为第k 种规格中每捆要求的根数，.3,2,1 k k p 为第k 种规格中最大成品捆数三．模型分析结合题目要求，我们将设计的搭配方案分为两个模型。
其中模型一的设计方案先将每种规格的肠衣分别进行搭配；模型二将模型一中每种规格所剩肠衣按照要求（4）降级进行搭配。
天然肠衣搭配问题的数学模型贾淑明;赵凯;张文胜;刘保文;刘信【摘要】针对天然肠衣搭配打捆问题,依据给出的规格表和原料信息表,以及有关要求给出了3种规格成品捆数最优方案的双目标（以捆数尽可能的多和最短长度原料的长度尽可能大为目标）规划模型.对于规格Ⅲ的模型给出了分段优化的求解算法,规格Ⅰ及规格Ⅱ的模型不需用分段,由Lin-go程序在很短的时间内可得到最优解.对于该问题的求解方法,可以推广到生产中有关原料的配比等问题.%Dual-object(bundle numbers as much as possible and length of the shortest material as long as possible) programming models of the optimal solution to three kinds of specifications of products are given,which are in accordance with the specification table and material information table as well as related requirements.For the models of specifications Ⅲ,a piecewise optimizing algorithm has been provided;for models of specification Ⅰ and Ⅱ,a piecewise optimizing algorithm isn’t necessary,its optimal solution has been found by using Lingo program in the shortest time.The solution to this issue can be implemented for proportioning of materials during the producing process.【期刊名称】《兰州工业学院学报》【年(卷),期】2012(019)005【总页数】4页(P59-62)【关键词】天然肠衣;Lingo;分段优化;全局最优解【作者】贾淑明;赵凯;张文胜;刘保文;刘信【作者单位】兰州工业学院建筑工程系,甘肃兰州730050;兰州工业学院软件工程系,甘肃兰州730050;兰州工业学院电气工程系,甘肃兰州730050;兰州工业学院软件工程系,甘肃兰州730050;兰州工业学院机械工程系,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O211.671 问题提出和基本分析1.1 问题提出已知某天然肠衣组装的规格表(见表1)和某批次原料的描述表(见表2).表1 成品规格表规格最短长度/m最大长度/m根数总长度/m规格Ⅰ36.52089规格Ⅱ713.5889规格Ⅲ14∞589根据生产规格和原料描述表，设计满足以下要求及允许条件下的组装方案(即对原料进行打捆的搭配方案).1) 对于给定的一批原料，装出的成品时，捆数越多越好；2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；3) 允许成品总长度有±0.5 m的误差；4) 每捆总根数允许比标准少1根;5) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用.表2 原料描述表长度/m根数长度/m根数3～3.44314.5～14.9293.5～3.95915～15.4304～4.43915.5～15.9424.5～4.94116～16.4285～5.42716.5～16.9425.5～5.92817～17.4456～6.43417.5～17.9496.5～6.92118～18.4507～7.42418.5～18.9647.5～7.92419～19.4528～8.42019.5～19.9638.5～8.92520～20.4499～9.42120.5～20.9359.5～9.92321～21.42710～10.42121.5～21.91610.5～10.91822～22.41211～11.43122.5～22.9211.5～11.92323～23.4012～12.42223.5～23.9612.5～12.95924～24.4013～13.41824.5～24.9013.5～13.92525～25.4014～14.43525.5～25.911.2 基本分析对给出的数据及要求进行分析，认为该问题实际上可以转化为双目标规划问题.其中，要求1、要求2为规划目标，要求3～5是一些约束条件，而最后的方案就是决策，可通过一定的决策变量的优化取值来体现.结合实际问题的特点，我们可以采用分级优化来解决问题，总体优化思路是：根据要求5，先可给出规格Ⅲ中原料的最优搭配方案，把余下的原料降低规格(归为第Ⅱ规格的最高档原料)，再对第Ⅱ规格中的原料给出最优的搭配方案，把余下的原料降低规格(归为第Ⅰ规格的最高档原料)，最后再对第Ⅰ规格的原料进行优化搭配，这样整个优化搭配方案可分3级完成.而对于每一级的优化过程，其目标及约束条件基本一致，只要建立某一级的优化模型，便可平移到另外两级的优化搭配的处理中(仅对初始值作适当调整).为了建立数学模型，先给出必要的若干符号及其含义.xij为规格Ⅰ成品中第i档原料放在第j捆的根数(i=1,2,3,…,8.j=1,2,3,…,N1)；yij为规格Ⅱ成品中第i档放在第j捆的根数(i=1,2,3,…,14.j=1,2,3,…,N2)；zij为规格Ⅲ成品中第i档放在第j捆的根数(i=1,2,3,…,24.j=1,2,3,…,N3)；Nk为第k成品规格的优化捆数(k=1,2,3.)；为第k规格原料中第i档的单位长度；为第k规格原料中第i档的根数；rk为第k规格原料打捆后剩余的原料数量；2 模型的建立过程[1-3]首先考虑规格Ⅲ原料的优化搭配方案.由要求1，优化搭配的主要目标就是使捆数N3达到最大，即max N3.(1)根据要求3和要求4，有以下约束条件(2)(3)(4)(5)(6)由式(2)～(3)进一步可得从而有(7)其中:但是在以上各式中，目标变量N3同时为各和式的项数，这不符合规划模型的描述格式，编程(特别是lingo编程)也难以实现，因此我们对各约束条件中的项数需作常数化处理.事实上，只需用N3可能的最小上界N3作为项数，依题意(8)再考虑要求2，这个要求也要以目标的形式体现，我们采用加权目标进行刻画.由于表示第i档原料被选择的根数，它可以反映成品中第i档原料的长度比例.因此，该目标为(9)其中ωi为权重，一般要ω1>ω2>...>ω12，这样结合目标(1)和目标(9)中，再结合以上约束条件，则规格Ⅲ成品搭配方案的线性规划模型如下(Ⅲ)(10)其中为权重.约束条件对于规格Ⅱ的规划模型与规格Ⅲ的完全类似，不同之处主要是规格Ⅲ的原料进行搭配打捆以后，可能还会有剩余原料，根据要求5，这些材料可以降到规格Ⅱ，使第Ⅱ规格的最高档根数增加.规格Ⅲ原料剩余根数为(11)令类似地可得规格Ⅱ的规划模型为目标：(12)约束条件：其中为权重，令可得类似的规格Ⅰ的规划模型目标：(13)约束条件其中为权重，3 模型求解[4-5]对于规格Ⅲ的模型，我们采用Lingo软件进行了全局求解，但是由于有4 000多个变量，所以在较短时间内(比如30 min)得不到结果，故我们用分段求解的算法，算法如下(流程图如图1所示)：1) 给出比小的初值N0，令num=0；2) 调用Lingo优化程序(见附件)，以求N3的局部最优解；3) 若有N3的分段局部最优解n(n≤N0),且时间足够短(在5 min内)，则令转 2)；否则，转4)；4) 若超时，则令N0：=N0-m(其中m为小于N0的值)，转2)；否则，说明num 为N3的局部最优解，算法结束.以上算法的实现由手工控制和计算机运行程序结合实现，因为分段越多，N3达到的值越小，所以，取初值以此类推.我们分3种情况对规格Ⅲ的模型进行了分段模拟求解，以下是这3种情况的对照表.表3 规格Ⅲ三种求解情况对照表分段种类分段/m捆数剩余捆数程序运行总时间 / min190+30+20133179 260+60+17+13128285 340+40+40+20124442从上表可以看出，第1种情况捆数最大，达到133，同时程序运行时间不超过9 min，是理想的结果.对于规格Ⅱ和规格Ⅰ，不需分段求解，直接调用lingo优化程序，便可都在几秒钟之内给出全局最优解43和17捆和相应的方案.三种规格的总的最优捆数和运行时间如表4所示.表4 3种规格总的最优捆数和程序运行时间表规格运行时间/s最优捆数剩余根数规格I21717规格II34348规格III48013318合计485193174 结语本题为天然肠衣搭配问题的数学模型，当原料规模很大时，Lingo程序运行时间很长(大于30 min)，所以必须要采用分段的方法，以节约时间，但是这种方法得到的解不是全局最优解.对于该问题的求解方法，可以推广到生产中有关原料的配比等问题.参考文献：[1] 古松林.线性代数与线性规划[M].兰州：甘肃文化出版社，1999:122-132.[2] 刘焕彬，库在强.数学模型与实验[M].北京：科学出版社，2008:56-78.[3] 冯杰，黄力伟.数学建模原理与案例[M].北京：科学出版社，2008:130-138．[4] 谢金星，薛毅.优化模型与LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社，2005.[5] 张之胚，李建德.动态规划及其应用[M].北京：国防工业出版社，2000：114-127.。
2011D 天然肠衣搭配问题讲稿提要题目：天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
表2为某批次原料描述。
根据以上成品和原料描述，设计一个原料搭配方案，工人根据这个方案“照方抓药”进行生产。
公司对搭配方案有以下具体要求：(1) 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；(2) 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；(3) 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；(4) 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
如长度为14米的原料可以和长度介于7-13.5米的进行捆扎，成品属于7-13.5米的规格；(5) 为了食品保鲜,要求在30分钟内产生方案。
请建立上述问题的数学模型，给出求解方法，并对表1、表2给出的实际数据进行求解，给出搭配方案。
解答：我们将上种类型的成品分别称作小尺寸、中尺寸、大尺寸。
其定义见表3。
由于满足大规格的的原料可以降级作中规格，满足中规格的的原料可以降级作小规格。
因此我们先考虑大规格产品的搭配，再考中规格产品的搭配，最后考虑规格小规格产品的搭配。
一、考虑大规格产品的搭配这里采用两种不同的方法求解。
方法一：直接法设长度为14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21,21.5,22,22.5,23.5,25.5的20种肠衣分成K 组，设第i 种长度的原料分到第j 组为ij x 根。
设第i 种长度的原料有i a 根，1,2,...,24i =。
其中a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,,6,1。
第i 种长度的原料分到所有K 组的根数不能超过i a 根。
则有：11,2, (20)ijij xa i =≤=∑每组的根数为5根，由(3)知也可以为4根，因此对每组的根数满足：201451,2,...,ij i x j K =≤≤=∑设第i 种长度的原料的长度为i l 米。
其中l =14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21,21.5,22,22.5,23.5,25.5。
每组的长度为89米，由(3) 知可以± 0.5米的误差，因此每组的总长度满足：20188.589.51,2,...,i ij i l x j K =≤≤=∑为考虑中规格中利用大规格产品中的剩余，我们求出大规格产品中每种长度原料的剩余。
设第i 种长度的原料的剩余根数为,1,2,...,20i r i =。
则有：1Ki i ij j r a x ==-∑我们建立目标函数。
(1)要求对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好,因此我们的第一目标为：1max Z K =(2)要求对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好。
我们设法建立第二目标。
令min{|0,1,2,...,20}j ij i x i τ=>=，1,2,...,j K =。
该序列表示各列最短长度的序号。
令max j ju τ=，表示所有组中最短长度的序号最大值。
令{|}j S j u τ==，表示取得最短长度最大值的序号集。
第二目标函为各列最短长度最大的捆数最多，则有：2max Z S =其中S 表示集合S 的元素个数为说明我们的方法，下面采用一个例子说明。
如某分配方案如表4，其中i a 为单调增序列。
则有各列最短长度的行序号τ={1,3,3,4,4,2}， 其最大值4u =，τ中取得最大值的序号{4,5}S =。
则计算出22Z S ==即该分配方案中最短长度最长为4a ，总共有2捆成品。
因此总的模型为： 1m a x Z K = 2m a x Z S =120120111,2,...,20451,2,...,88.589.51,2,...,..1,2,...,20min{|0,1,2,...,20}max {|},1,2,...,20;1,2,...,Kij ij ij i i ij i K i i ijj j ij jjj ij x a i x j K l x j K s t r a x i i x i u S j u x i j Kτττ====⎧≤=⎪⎪⎪≤==⎪⎪⎪≤≤=⎪⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎪=>======⎩∑∑∑∑取整⎪⎪⎪⎪⎪⎪其中l =14,14.5,15,15.5,16,16.5,17,17.5,18,18.5,19,19.5,20,20.5,21, 21.5,22,22.5,23.5,25.5。
a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,,6,1。
评价：该模型容易想到，也容易建立。
但该模型求解困难。
在确定第一目标K 最大时，需要尝试不同的K ，而在给定K 进行求解时，利用Lingo12求解极其耗时，通常会1小时以上。
而在求解第二目标，由于是非线性，求解就更困难，采用Lingo 几乎没法求解，即使求解成功，也是局部最优解。
鉴于此，我们采用另外的方法建模求解。
讲解时进行LINGO 程序展示。
方法二：模式法我们首先求出20种肠衣根据原料可搭配成捆的所有模式，然后建立线性规划模型求解。
在这种方法里，我们首先利用编制Matlab 程序求出20种肠衣根据原料可搭配成捆的所有模式，然后在模式中选择最佳的搭配。
先对问题进行分析：2.1 最大捆数分析：20种原材料中长度为201.i ii L a l==∑=12159.5米每捆长度最少为88.5米，因此捆数最多为：[][]12195.5/88.5137.4137K ≤== 其中[.]表示取整。
20种原材料的总根数为201ii T a==∑=677根每捆最少为4根，因此捆数最多为[][]677/4169.25169K ≤==根。
二者取最小值，因此137K ≤。
2.2 每捆成品的组成模式分析每捆成品可以有不同的构成模式，每种模式由一个向量1220(,,...,)x x x 构成。
i x 代表第i 种材料的根数。
则各i x 取值的最大整数值为：89.5min ,,5i i i M a l ⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭1,2,...,20i =计算得到各i x (1,2,...,20i =)的最大取值i M 为： 5,5, 5,5,5,5,5,5,4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 2,3,1。
如果直接对各i x 从0到i M 进行完全枚举所有符合条件的模式，计算量为：20891(1)(51)(41)(21)(31)(11)i i T M ==+=+++++≈7.871310⨯如此巨大的计算量很难进行枚举。
我们通过剪枝计算，可大大减少计算量，采用Matlab 编程，可在不到1秒钟内计算出所有模式，其总数为2783种。
2.3 模型建立设共有n 种模式(这里2783n =)，每种模式为一个20维的列向量，代表一种符合条件的模式。
即根数满足4或5根，长度为88.5米、或89米、或89.5米的一捆。
所有些模式用矩阵207320B ⨯表示。
ij b 表示第i 种模式中第j 种长度的肠衣的根数。
1,2,...,2783;i = 1,2,...,20j =。
所有模式向量由前面计算得到。
决策变量为第i 种模式i x 捆，则成品捆数最多的目标函数为：278311max i i Z x ==∑现设法找到所有模式中最短长度最长的模式。
在Matlab 中通过编程，进行剪枝计算，得到在所有的2783种模式中，每捆最短长度最长的有3种模式，第一种是模式1，为2根22米和2根22.5米构成；第二种是模式2，为3根22米和1根22.5米构成；第三种是模式3，为3根22米和1根23.5米构成。
则第二目标要求最短长度最长的捆数最大，有：2123max Z x x x =++满足的约束为各种长度的原料的数量，则有：278311,2,...,20i ijji x ba j =≤=∑j a 第j 种长度的原料的根数。
更进一步，从实际问题出发，当模式数比较多时，会增加搭配操作的复杂性，导致花费更多的搭配组装时间，因此我们尽量使搭配的模式尽量少。
因此我们在前面两个目标情况下，考虑使搭配模式最少的方案。
建立决策变量10i i y i ⎧=⎨⎩第种模式选中第种模式未选中(1,2,...,2783)i =我们建立的第三目标为总模式数最小，即278331min i i Z y ==∑需要满足的约束有：当第i 种模式未被选中时，则不能选取该种模式作成品，且选中时不影响i x 的取值，则有：.i i x M y ≤ (1,2,...,278i = 其中M 为一个足够大整数，如可取200M =当第i 种模式被选中时，则该种模式下一定有成品，因此有： i i x y ≥ (1,2,...,278i = 则总的模型为：278311max i i Z x ==∑2123max Z x x x =++278331min i i Z y ==∑278311,2,...,20.1,2,...,2783..1,2,...,2783,011,2,...,2783i ij ji i i i i i i x b a j x M y i s t x y i x y i =⎧≤=⎪⎪⎪≤=⎨⎪≥=⎪==⎪⎩∑为整数或； 其中a =35,29,30,42,28,42,45,49,50,64,52,63,49,35,27,16,12,2,6,1.令第一目标1Z 最大化，利用LINGO12在7秒种内得到1Z =137 ，最短长度为22米的有2捆，其模式为3根22米和1根23.5米构成。
该结果还不是最优解。
将1137Z =变为约束，令2Z 最大，利用LINGO12求解。
在2秒内得到23Z =的最优解。
该解情况下材料无剩余，但使用模式有32种。
再将12137,3Z Z ==作为约束，对目标3Z 最小，利用Lingo12得到总模式为16种的搭配方案。
具体搭配方案见下表5。
最短长度为22米的有3捆.分别为：2捆模式为3根22米和1根22.5米的原材料。
