一元二次方程在几何中的应用

22.3 一元二次方程的实际应用学案——几何图形问题知识技能1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．2.2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．数学思考经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述。

解决问题通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．情感态度通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．重难点、关键重点：列一元二次方程解有关问题的应用题难点：发现问题中的等量关系关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型一、 复习引入常见的几何图形的面积公式：（1）矩形的面积＝长× ； （2）正方形的面积＝（3）三角形的面积＝21×底× ； （4）梯形的面积＝21×（ ）×高； （5）．圆的面积公式是什么？二、 探索新知1、一个正方形的面积为362m ，若设正方形的边长为x m ，则列出方程为2、要使一块长方形场地的面积为162m ，并且长比宽多6 m ， 若设长方形场地的宽为x m ，则长为 ，根据题意，列出方程为3、一个直角三角形两条直角边相差3cm ，面积为92cm ，若设较短的直角边长为xcm ，则较长的直角边长为 ，根据题意，列出方程为 三、例题选讲：例1、在长为60cm ，宽为40cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为8002cm ，求所截去小正方形的边长。

解：设所截去小正方形的边长为x cm ，则底面长方形的长为 ，宽为 ，根据题意，得答：例2、生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验地，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？解：设小道的宽为x m ，根据题意，得把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为米，宽为 米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程 。

用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。

设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。

3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。

4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。

5.一个矩形周长为56厘米。

1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。

2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。

知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。

求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。

一元二次方程解决几何问题
一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c是实数，而x是未知数。

它可以用于解决许多几何问题，如以下几个例子：
1. 高度和时间问题：假设一颗物体从一个高度h开始自由下落，利用物体的自由落体运动公式可以得到一个关于时间t的二次方程，通过解方程可以确定物体落地的时间点。

2. 路程和时间问题：假设一个物体以某个速度v在直线上运动，利用物体的匀速运动公式可以得到一个关于时间t的一次方程，通过解方程可以确定物体达到某个距离的时间点。

3. 面积问题：对于某些几何图形，如矩形、正方形和圆等，可以通过设定面积为某个值的条件，建立相应的二次方程来求解图形的尺寸。

这只是一些常见的例子，实际上，一元二次方程在几何问题中具有广泛的应用。

一元二次方程解决实际问题的备考建议一元二次方程是数学中一个重要的概念，通过一元二次方程，我们可以解决很多实际问题，比如抛物线运动、自然界中的某些现象等。

在备考数学考试的过程中，掌握一元二次方程的解题方法非常重要。

下面，我将从深度和广度两个方面来探讨在备考过程中如何更好地掌握一元二次方程解决实际问题的方法。

深度方面：在学习一元二次方程解决实际问题时，首先要掌握一元二次方程的基本概念和解题方法。

一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，x为未知数。

在解决实际问题时，首先要将问题转化为一元二次方程的形式，然后根据特定的解题方法进行求解。

要想深入地理解一元二次方程的解题方法，可以通过大量的练习和实际问题的应用来加深对该方法的理解。

要掌握一元二次方程在几何图形中的应用。

通过一元二次方程，可以求解抛物线的顶点、焦点、直径等相关问题。

这些问题在几何图形中非常常见，因此掌握一元二次方程在几何图形中的应用对于备考数学考试至关重要。

广度方面：在备考数学考试时，除了掌握一元二次方程的具体解题方法之外，还要了解一元二次方程在现实生活中的应用。

通过一元二次方程可以解决关于抛物线运动的实际问题，包括抛物线的轨迹、最大高度、最远距离等相关问题。

了解一元二次方程在实际问题中的应用，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其运用到实际生活中。

还要注意与一元二次方程相关的其他数学概念和方法。

要了解一元二次方程与函数、导数、积分等数学概念的关系，这样可以帮助我们更全面地理解一元二次方程的应用。

总结回顾：通过深度和广度的探讨，我们可以更好地掌握一元二次方程解决实际问题的方法。

在备考数学考试的过程中，重点要掌握一元二次方程的基本概念和解题方法，了解其在几何图形中的应用，同时要了解一元二次方程在现实生活中的应用，并结合其他数学概念和方法进行综合运用。

只有深入理解和灵活运用一元二次方程的解题方法，才能更好地解决实际问题，也才能在考试中取得好成绩。

一元二次方程解决问题的各种形式一元二次方程解决问题的各种形式一元二次方程是中学数学学习中的重要内容，它不仅在数学中有着广泛的应用，还能帮助我们解决实际生活中的问题。

在本文中，我们将从多个不同的角度探讨一元二次方程解决问题的各种形式，帮助读者更全面地理解这一重要的数学概念。

1. 一元二次方程的基本形式一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别是常数且a≠0。

解一元二次方程的方法有很多种，如配方法、公式法、完全平方公式等。

我们先来看一个简单的例子，通过配方法来解一元二次方程。

我们要解方程x²+6x+5=0，我们可以通过配方法将其写成(x+1)(x+5)=0，进而得出方程的解为x=-1或x=-5。

这是解一元二次方程的基本形式，但实际问题往往不止这一种形式。

2. 几何解法除了代数方法外，一元二次方程还可以通过几何方法来解决实际问题。

一条电线和一根铁管构成一个角，已知铁管的长度比电线的长度多5米，且电线和铁管的夹角是45度。

我们可以建立一个关于铁管长度的一元二次方程，并通过几何解法求出铁管的长度。

这种几何解法可以帮助我们更直观地理解一元二次方程在实际问题中的应用。

3. 时间、速度与距离的问题在物理和工程学科中，一元二次方程经常用于描述时间、速度与距离之间的关系。

一个运动员以8m/s的速度沿着一条笔直的跑道奔跑，30秒后他跑了240米的路程。

我们可以建立一个关于时间和距离的一元二次方程，通过分析这个方程来解决实际问题。

这种应用形式使得一元二次方程成为了解决实际问题的重要工具。

4. 经济与商业问题一元二次方程也被广泛地应用于经济学和商业领域。

某公司生产一种产品，生产成本和销售数量之间存在着一定的关系。

我们可以建立一个关于销售数量的一元二次方程，通过求解这个方程来找到最优的生产数量，使得利润最大化。

这种经济与商业问题的应用形式，让一元二次方程成为了决策分析中的有力工具。

一元二次方程与实际问题的公式一、引言在数学学科中，一元二次方程是一种经典的数学概念。

它在代数学和实际问题中有着重要的应用。

本文将深入探讨一元二次方程及其在实际问题中的应用，帮助读者更加全面地理解这一数学概念。

二、一元二次方程的基本形式和求解方法一元二次方程通常写作ax²+bx+c=0的形式，其中a、b和c是已知的常数，而x是未知数。

解一元二次方程可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。

这些方法能够帮助我们找到方程的根，进而解决各种实际问题。

三、一元二次方程在几何中的应用以一元二次方程为基础的二次函数能够描述抛物线的形状。

抛物线在现实生活和几何中都有广泛的应用，比如天文学中的行星运动轨迹、物理学中的抛体运动等。

一元二次方程在几何中有着重要的地位。

四、一元二次方程在经济学中的应用在经济学中，成本、收益和利润往往是与生产量或销售量相关的。

这些关系通常可以用一元二次方程来描述。

通过求解一元二次方程，我们可以找到最大化利润或最小化成本的最优解，这对企业经营和管理有着重要的指导意义。

五、一元二次方程在物理学中的应用在物理学中，一元二次方程经常出现在描述运动、力学和波动等方面。

比如自由落体运动、弹簧振动系统的频率等问题，都可以用一元二次方程来建模和求解。

六、总结与展望通过对一元二次方程的深入探讨，我们可以看到它在数学、几何、经济学和物理学中都有着广泛的应用。

它不仅是一种抽象的数学概念，更是解决实际问题的有力工具。

希望本文能够帮助读者更好地理解一元二次方程及其在实际问题中的应用，让数学变得更加具体和生动。

七、个人观点在我看来，数学中的一元二次方程不仅是一种工具，更是一种思维方式。

通过对实际问题的抽象和建模，我们可以运用数学的知识和方法来解决各种复杂的问题。

我认为掌握一元二次方程及其应用是非常重要的。

希望读者能够通过本文的阅读，对一元二次方程有更深入的理解和应用。

通过本文对一元二次方程的探讨，我们可以深刻地理解这一数学概念所蕴含的丰富内涵。

一元二次方程的根的几何意义一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。

这个方程的解，也称为方程的根，对于一元二次方程而言，一般有两个根。

那么，这两个根在几何上有何意义呢？我们来了解一下一元二次方程的图像。

一元二次方程可以表示二次函数的图像，这个图像是一个抛物线。

当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。

这个抛物线的对称轴是一个直线，它的方程为x = -b/2a。

对称轴将抛物线分成两部分，左右两边关于对称轴对称。

对称轴上的点称为抛物线的顶点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示方程的函数。

根据一元二次方程的定义，我们知道它的两个根就是使方程成立的x值。

从几何的角度来看，这两个根就是抛物线与x轴的交点，也就是抛物线与x轴的零点。

这两个交点的坐标分别为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2是方程的两个根。

通过观察这两个根的坐标，我们可以得出一些几何意义。

首先，如果方程有两个不相等的实根，那么抛物线与x轴有两个交点，也就是抛物线与x轴有两个零点。

这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成三段，分别为开口朝上的一段、开口朝下的一段和过对称轴的一段。

这种情况下，抛物线与x轴的交点是一个很重要的几何特征。

如果方程只有一个实根，那么抛物线与x轴有一个交点，也就是抛物线与x轴有一个零点。

这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成两段，分别为开口朝上的一段和过对称轴的一段。

这种情况下，抛物线与x轴的交点也是一个重要的几何特征。

如果方程没有实根，那么抛物线与x轴没有交点，也就是抛物线与x轴没有零点。

这时，抛物线与x轴不相交，整个抛物线都在x轴的上方或下方。

这种情况下，抛物线与x轴的关系也是一个重要的几何特征。

一元二次方程的根在几何上有着重要的意义。

通过观察方程的根，我们可以推断出抛物线与x轴的交点个数、抛物线的开口方向以及抛物线与对称轴的关系。

一元二次方程在几何和实际生活中的应用的教案一元二次方程在几何和实际生活中的应用的教案作为一名专为他人授业解惑的人民教师，时常会需要准备好教案，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

写教案需要注意哪些格式呢？下面是小编收集整理的一元二次方程在几何和实际生活中的应用的教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

一、教材1．教学内容：本节课是北师大版九年级上第二章第五小节第一课时。

内容是一元二次方程在几何和实际生活中的应用。

2．本节课在教材中所处的地位和作用：《一元二次方程》这一章是前面所学知识的继续和发展，尤其是一元一次方程、二元一次方程（组）等内容的深入和发展，是方程知识的综合运用。

学好这部分知识，为九下学习一元二次函数知识打下扎实的基础，是后继学习的前提。

而本节内容是一元二次方程的实际应用，是一元二次方程的最后部分。

当然，尽管是最后一部分内容，但在本章的2～4节探索医院二次方程解法的过程中已经涉及到了一些关于一元二次方程的应用题，因此学生对此并不陌生，已经积累了一定的经验。

3．教学目标（1）经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤。

（2）通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。

4．教材的重点：掌握运用方程解决实际问题的.方法。

5．教材的难点：建立方程模型。

二、教法：选取现实生活中的题材，调动兴趣，探索、解决问题，讲练结合。

三、学法：通过阅读细化问题、逐步解决问题四、教学过程：（一）导入新课，隐射教学目标1．观察图片：古埃及胡夫金字塔，古希腊巴特农神庙，上海东方明珠电视塔，它们都是古今中外历史上著名的建筑，在这些建筑的设计上都运用到了数学一个很奇妙的知识——黄金分割。

2．释疑：你想知道黄金分割中的黄金比是怎样求出来的吗？如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果_______________那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比（0.618）。