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一元二次方程的几何意义一元二次方程是一种常见的数学表达式，具有重要的几何意义。
通过了解一元二次方程的几何意义，我们可以更好地理解方程的解和图像之间的关系。
本文将探讨一元二次方程的几何意义，并分析其在几何学中的应用。
1. 一元二次方程的定义和特点一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
这个方程的解是x的值，使得方程等式成立。
一元二次方程有以下几个重要特点：- 它是二次方程，最高次项是x的二次幂。
- 它只有一个未知数x。
- 它的系数a、b、c可以是实数，但a不能为0。
2. 一元二次方程的几何意义一元二次方程的几何意义体现在其解和图像之间的关系上。
一元二次方程在平面直角坐标系上对应着一条曲线，称为抛物线。
抛物线是一种拱形曲线，具有以下几个特点：- 抛物线关于y轴对称。
当a为正数时，抛物线开口朝上；当a为负数时，抛物线开口朝下。
- 抛物线的顶点为(xv, yv)，其中xv = -b/(2a)，yv = f(xv)，f(x)表示方程的右侧。
- 抛物线与x轴的交点为方程的根。
当方程有实根时，抛物线与x轴有两个交点；当方程有重根时，抛物线与x轴有一个交点；当方程没有实根时，抛物线与x轴没有交点。
3. 一元二次方程在几何学中的应用一元二次方程在几何学中有广泛的应用。
以下是一些例子：- 平抛运动：在物理学中，对于一个自由下落的物体，其运动轨迹是一个抛物线。
通过建立一元二次方程，可以描述物体的运动状态，如抛体的高度、速度和时间的关系。
- 几何图形：一元二次方程可以用于描述几何图形的形状。
例如，通过变换一元二次方程的系数和常数项，可以得到不同类型的抛物线，如上开口、下开口、左右平移、纵轴伸缩等操作。
- 最优化问题：一元二次方程可以用于解决最优化问题。
例如，对于给定一元二次函数，通过求解方程的最值点，可以找到函数的最大值或最小值，从而解决实际问题中的优化需求。
综上所述，一元二次方程具有重要的几何意义。
一元二次方程与几何问题的联系与应用在数学中，一元二次方程是常见的代数方程，它可以用来解决各种与几何问题相关的数学难题。
本文将探讨一元二次方程与几何问题之间的联系，并介绍它们在实际生活中的应用。
1. 一元二次方程的定义与性质一元二次方程是形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c为实数且a ≠ 0。
该方程含有二次项x^2，一次项x和常数项c。
一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式得到。
方程的解可以是实数或复数。
2. 与几何问题的联系一元二次方程与几何问题之间存在着密切的联系。
让我们探讨一些常见的几何问题与一元二次方程之间的关系。
2.1 直线与抛物线的交点考虑一个一元二次方程y = ax^2 + bx + c和一条直线y = mx + n。
这两个图形的交点可以通过求解方程ax^2 + bx + c = mx + n得到。
由此可见，一元二次方程可以用来求解直线与抛物线的交点。
2.2 求解面积一元二次方程在几何中也可以用来求解面积问题。
例如，考虑一个矩形的面积问题，已知边长之和为固定值，我们可以设其中一条边的长度为x，另一条边的长度为a-x，根据矩形的性质可以列出一个一元二次方程。
通过解这个方程可以得到矩形的最大面积。
2.3 最小路径问题在几何中，最小路径问题是一个经典的优化问题。
例如，考虑一个人从一个点A沿着x轴走到点B，然后再沿直线走到点C，我们需要找到一条路径使得总路径最小。
这个问题可以通过建立一元二次方程并求解来解决。
3. 实际应用除了与几何问题相关之外，一元二次方程还有着广泛的实际应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学一元二次方程在物理学中有着广泛的应用。
例如，通过建立抛物线的方程，可以计算出抛体的运动轨迹和最大高度。
此外，一元二次方程还可以用来描述光的传播和反射等现象。
3.2 经济学经济学中的一些问题也可以通过一元二次方程来解决。
例如，成本函数和收入函数往往可以建模为一元二次方程。
用一元二次方程解决几何图形问题含答案用一元二次方程解决几何图形问题基础题知识点1：一般图形的问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米。
设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为x(x+10)=900.2.从一块正方形的木板上锯掉2m宽的长方形木条，剩下的面积是48平方米，则原来这块木板的面积是64平方米。
3.一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是7平方厘米，则它的两条直角边长分别为2cm和7cm。
4.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果它的长减少2米，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12米。
5.一个矩形周长为56厘米。
1) 当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为18厘米和10厘米。
2) 不能围成面积为200平方厘米的矩形，因为方程y^2-28y+200=0无实数根。
知识点2：边框与甬道问题6.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1米，另一边减少了2米，剩余空地的面积为18平方米。
求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x米，则可列方程为(x-1)(x-2)=18.7.在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，则道路的宽应为22米，因为可列方程为100×80-100x-80x=7644.10.某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则草坪的面积为(32-2x)(20-x)，因此正确的方程是A：(32-2x)(20-x)=570.11.在长为70 m，宽为40 m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的1/8，则路宽x应满足的方程是C：(40-2x)(70-3x)=2450.。
一元二次方程与几何问题 篇一：一元二次方程与几何问题 已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边 形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH， 若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？ 如图， 将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开， 再把△ ABC 沿着 AD 方向平移， 得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？ 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形， 则 BE 的长为？ 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 ∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能， 请说明理由． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm， （1）当 x 为何值时，点 P、N 重合； （2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． 1 / 10（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长； 若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B， 另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由． 如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终 点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒． （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的 值； 若不存在，请说明理由． 如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发， 运动时间为 t（s）． （1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由． 如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周 长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？ 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到 达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后， （1）求出△ PBQ 的面积； （2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值． （3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在， 求出 t 的值，若不存在，说明理由． 例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？ （2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前 进， 2 / 102 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移 动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间 为 t 秒， （1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s， 则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？ （2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从 点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速 度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ BP 例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在 线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每 秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒， （1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ （2）当 t 为何值时，△ APQ 的面积为个平方单位？ 5 24 篇二：一元二次方程与几何问题 已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形 ACDB．取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM．过 E 作 EF 丄 CD，垂足为 F 点．若正方形 AENM 与四边 形 EFDB 的面积相等，則 AE 的长为 ? 如图，矩形 ABCD 的周长是 20cm，以 AB，CD 为边向外作正方形 ABEF 和正方形 ADGH， 若正方 2 形 ABEF 和 ADGH 的面积之和 68cm，那么矩形 ABCD 的面积是？ 如图， 将边长为 2cm 的正方形 ABCD 沿其对角线 AC 剪开， 再把△ ABC 沿着 AD 方向平移， 得 2 到△ A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为 1cm，则它移动的距离 AA′等于？ 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F 分别是 BC、CD 上的点，且△ AEF 是等边三角形， 则 BE 的长为？ 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形 DEFH 的边长为 2 米，坡角 3 / 10∠A=30°，∠B=90°， BC=6 米．当正方形 DEFH 运动到什么位置，即当 AE 为多少米时，有 222DC=AE+BC． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC， CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止．已 2 知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构 成一个三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能， 请说明理由． 如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P、Q、M、N 分别从 A、B、C、D 出发，沿 AD、BC、 CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即 停止、 2 已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x≠0），则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=xcm， （1）当 x 为何值时，点 P、N 重合； （2）当 x 为何值时，以 P、Q、M、N 为顶点的四边形是平行四边形． 如图，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角 板 PHF 的直角顶点 P 落在 AD 边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P． （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长； 若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B， 另一直角边 PF 与 DC 延长线交于点 Q，与 BC 交于点 E，能否使 CE=2 cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由． 如图，Rt△ ABC 中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点 P、Q 分别从点 A 和点 B 同时出发，其中点 P 以 2cm/s 的速度，沿 AB 向终点 B 移动；点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 向终 点 C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接 PQ．设动点运动时间为 x 秒． （1）用含 x 的代数式表示 BQ、PB 的长度； （2）当 x 为何值时，△ PBQ 为等腰三角形； 2（3）是否存在 x 的值，使得四边形 APQC 的面积等于 20cm？若存在，请求出此时 x 的 值； 若不存在，请说明理由． 如图，△ ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点 P 从 C 出发沿着 CB 方向以 1cm/S 的速度运动，另一动点 Q 从 A 出发沿着 AC 方向以 2cm/S 的速度运动，P，Q 两点同时出发， 运动时间为 t（s）． （1）当 t 为几秒时，△ PCQ 的面积是△ ABC 面积的 1？ 4 （2）△ PCQ 的面积能否为△ ABC 面积的一半？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由． 如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场 ABCD 的顶点 B、C 两点同时出发，甲由 C 4 / 10向 D 运动，乙由 B 向 C 运动，甲的速度为 1km/min，乙的速度为 2km/min；若正方形广场的周 长为 40km ，问几分钟后，两人相距 km？ 如图，矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1 厘米/秒的速 度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2 厘米/秒的速度移动，当点 P 到达 B 点或点 Q 到 达 C 点时，两点停止移动，如果 P、Q 分别是从 A、B 同时出发，t 秒钟后， （1）求出△ PBQ 的面积； （2）当△ PBQ 的面积等于 8 平方厘米时，求 t 的值． （3）是否存在△ PBQ 的面积等于 10 平方厘米，若存在，求出 t 的值，若不存在，说明理由． 例 1、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别 2 从 A、B 同时出发，几秒后△ PBQ 的面积等于 8cm？ A P 学生练习、在△ ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发，（1）多长时间后，点 P、Q 的距离等于 42 cm？ （2）如果点 P 到点 B 后，又继续在边 BC 上前进，点 Q 到点 C 后，又继续在边 CA 上前 进， 2 经过多长时间后，△ PCQ 的面积等于 12.6 cm? 例 2、如图，在△ ABC 中，∠B＝90°，BC＝12cm，AB＝6cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 点 B 以 2cm/s 的速度移动（不与 B 点重合），动直线 QD 从 AB 开始以 2cm/s 速度向上平行移 动，并且分别与 BC、AC 交于 Q、D 点，连结 DP，设动点 P 与动直线 QD 同时出发，运动时间 为 t 秒， （1）试判断四边形 BPDQ 是什么特殊的四边形？如果 P 点的速度是以 1cm/s， 则四边形 BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？ （2）求 t 为何值时，四边形 BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？ QD↑ABP 学生练习：某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向 30km 的 A 处有一艘可疑船只，测得它正 以 60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以 75km/H 的速度在 B 处拦截，问缉私艇从 C 处到 B 处需航行多长时间? AB 例 3、如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点 P、Q 分别从 点 A、C 同时出发，点 P 以 3cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速 度向点 B 移动，经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm? DQ P 5 / 10例 4、如图，在平面直角坐标系内，已知点 A(0，6)、点 B(8，0)，动点 P 从点 A 开始在 线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O 移动，同时动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每 秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动，设点 P、Q 移动的时间为 t 秒， （1）当 t 为何值时，△ APQ 与△ AOB 相似？ 篇三：一元二次方程与几何运动问题 一元二次方程与几何运动问题 1 动态几何图形中边长的表示：1)题设运动时间为 t，表示出动点有关边长。
利用一元二次方程解图形问题作者：许广跃来源：《中学生数理化·中考版》2008年第07期一元二次方程的知识不仅可以用来解决实际问题，在解决许多几何图形问题时，若能运用所学知识，构造一元二次方程求解，也能起到避繁就简的作用.现举例说明.一、用于判断三角形的形状例1 已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，试判断三角形的形状.解：将a2+b2+c2=ab+bc+ca整理为主元为a的一元二次方程，得a2-（b+c）a+b2-bc+c2=0.这个方程必有实数根，故Δ=（b+c）2-4（b2-bc+c2）=-3（b-c）2≥0.∴（b-c）2≤0，又（b-c）2≥0，故b-c=0，即b=c.把b=c代入原方程，得a2-2ac+c2=0.∴（a-c）2=0，得a=c.故a=b=c，即△ABC为等边三角形.二、方案设计问题例2 将一块长18 m、宽15 m的矩形荒地修建成一个花园，道路或四角活动地（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二.（精确到0.1 m）（1）设计方案1：如图1，花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.（2）设计方案2：如图2，花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都符合条件？若符合，请计算出图1中的小路的宽和图2中扇形的半径；若不符合条件，请说明理由.解：（1）符合条件.设小路宽为x m.可列方程18x+16x－x2＝ ×18×15.整理，得x2－34x+180＝0.解这个方程，得x＝，取x≈6.6.即路宽6.6 m.（2）符合条件.设扇形半径为r m，则3.14r2＝ ×18×15，即r2≈57.32.所以r≈7.6.即半径为7.6 m.三、动态几何问题例3 如图3所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动.（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可以使得△PCQ的面积为8 cm2？（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.解：因为∠C＝90°，所以AB＝＝＝10 （cm）.（1）设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2.所以AP＝x cm，PC＝（6－x） cm，CQ＝2x cm.根据题意，得（6－x）•2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0.解这个方程，得x1＝2，x2＝4.所以P，Q同时出发，移动2 s和4 s时△PCQ的面积为8 cm2.（2）设点P移动x s时，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半.根据题意，得（6－x）•2x＝ × ×6×8.整理，得x2－6x+12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC面积一半的时刻.四、平分几何图形的周长与面积问题例4 如图4，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10，点E在下底边BC 上，点F在腰AB上.（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积.（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE 的长；若不存在，请说明理由.（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.分析：为了能正确求得图形的面积，不妨过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.这样，由三角形的面积公式即可列出含x的代数式.解：（1）由已知条件，可得梯形周长为24，高为4，面积为28.过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K.由 = ，可得FG＝ ×4.所以S△BEF ＝BE•FG＝－ x2+ x（7≤x≤10）.（2）存在.由（1）得－ x2+ x＝14.解这个方程，得x1＝7，x2＝5（舍去）.当BE=7时，FG= ×4=4，BF+BE=12.所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7.（3）不存在.假设存在，应该有S△BEF ∶S多边形AFECD＝1∶2和（BE+BF）∶（AF+AD+DC）＝1∶2同时成立.由面积比例式，得－ x2+ x＝ .整理，得3x2－36x+70＝0.由周长比例式，得BF+x= ×24=8.可知3≤x而方程3x2-36x+70=0的根不在这个范围内，所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
初中数学“一元二次方程与几何图形问题”全解析一、引言一元二次方程与几何图形问题是初中数学中的重要内容，也是考试中的常见题型。
这类问题结合了代数与几何的知识，旨在考察学生的综合分析和解决问题的能力。
本文将详细解析一元二次方程与几何图形问题的基本概念、解题方法及应用，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
二、基本概念1.一元二次方程：形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程称为一元二次方程。
2.几何图形：初中数学中常见的几何图形有直线、角、三角形、四边形、圆等。
3.方程与图形的关联：在几何问题中，常利用一元二次方程来表示某些特定的条件或关系，如长度、面积、角度等。
三、解题方法1.建立方程：根据几何问题的条件，设定未知数并建立与问题相关的一元二次方程。
这一步是关键，要求能正确理解和转化几何条件为代数表达式。
2.解方程：利用一元二次方程的求解方法（如配方法、公式法等）解出未知数。
3.回归几何：将求得的代数解回归到原几何问题中，解释其实际意义，并验证其合理性。
四、应用举例1.直线与圆的位置关系：已知圆的半径r和圆心到直线的距离d，判断直线与圆的位置关系（相离、相切、相交）。
可通过比较d与r的大小来判断，若d=r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交；若d>r，则直线与圆相离。
在此过程中，可通过建立一元二次方程求解d或r。
2.三角形的形状判断：已知三角形的三边a、b、c（满足a²+b²=c²），判断三角形的形状。
由勾股定理知，若满足上述条件，则三角形为直角三角形。
若不满足，则可通过比较a²+b²与c²的大小关系，进一步判断三角形为锐角三角形或钝角三角形。
在此过程中，也可能涉及到一元二次方程的求解。
3.面积问题：在求解某些特定形状（如矩形、梯形等）的面积时，可能会遇到需要利用一元二次方程来解决的问题。
例如，已知矩形的周长和一条边的长度，求矩形的面积。
几何图形与一元二次方程
1 •掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
2 •继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题. 3•通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力.
、情境导入
10cm,宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下 的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%你能求出所截去小正方形的边长吗?
二、合作探究
探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型
用10米长的铝材制成一个矩形窗框，
使它的面积为6平方米.若设它的一条边长
为x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为(
)
A. x (5 + X )= 6 B • x (5 — X )= 6 C. x (10 — x ) = 6 D . x (10 — 2x ) = 6
解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5 — x )米，根据它的面积为 6平方米，即可列 出方程得：
x (5 — x ) = 6，故选择B.
方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关 系列出方程.
现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为
1500cm 2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长.
解析：设小正方形的边长为 x cm,则长方体盒子底面的长、宽
均可用含x 的代数式表示, 再根据面积，即可建立等量关系，列出方程.
(60 — 2x )cm ,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积， 方程可列为(80 — 2x )(60 —2x ) = 1500,整理得 x 2— 70x + 825= 0,解得 X 1 = 55, X 2= 15.又 60 — 2x >0,x = 55(舍). 小正方形的边长为 15cm.
方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息， 通过图形求出面积，解
题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可.
【类型二】整体法构造一元二次方程模型
如图，在长为 x cm 的
小正方形，做成一个底面积为
解：设小正方形的边长为 x cm,则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80 — 2x )cm ，宽是
22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂如图，在一块长为
直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方
米.设道路宽为x米，根据题意可列出的方程为________________________
解析：解法一：把两条道路平移到靠近矩形的一边上，用含x的代数式表示草坪的长为
(22 —X)米，宽为(17 —X)米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22 —x)(17 —X)= 300.
2
解法二：根据面积的和差可列方程：22 X 17—22x—17x+ x = 300.
方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解.
【类型三】利用一元二次方程解决动点问题
U如图所示，在△ ABC中，/ C= 90° , AO 6cm, BC= 8cm,点P从点A出发沿边AC 向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1) 如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△ PCQ勺面积为8平方厘米？
(2) 点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ勺面积等于厶ABC的面积的
一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.
解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC与CQ的长，根据面积公式建立方
程求解.
2
解：(1)设x s 后，可使△ PCQ勺面积为8cm ,所以AP= x cm, PC= (6 —x)cm, CQ= 2x cm.
1 2
则根据题意，得' (6 —x) -2x = 8.整理，得x —6x + 8= 0,解这个方程，得X1 = 2, X2= 4.
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△ PCC的面积为8cnf.
1
⑵设点P出发x秒后，△ PCQ勺面积等于厶ABC面积的一半.则根据题意，得J6 —x) -2x
1 1 一2一
=2X X 6X 8.整理，得x —6x + 12= 0.由于此方程没有实数根，所以不存在使^ PCQ的面积等于△ ABC面积一半的时刻.
三、板书设计
与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分
割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好。
