一元二次方程的几何解法_邱华英

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本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。

包含本课对应内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。

一元二次方程的解法及应用本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力。

写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进。

因此, 写作教案具有重要地位。

然而, 当前的写作教案存在“ 重结果轻过程”的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上，忽视了语言的输入。

这个话题很容易引起学生的共鸣，比较贴近生活，能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时，应注意将本单元情感目标融入其中，即保持乐观积极的生活态度，同时要珍惜生活的点点滴滴。

在教授语法时，应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心，因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句，一个清晰的脉络能为后续学习打下基础。

此教案设计为一个课时，主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括，下一个课时则对语法知识进行讲解。

在此教案过程中，应注重培养学生的自学能力，通过辅导学生掌握一套科学的学习方法，才能使学生的学习积极性进一步提高。

再者，培养学生的学习兴趣，增强教案效果，才能避免在以后的学习中产生两极分化。

在教案中任然存在的问题是，学生在“说”英语这个环节还有待提高，大部分学生都不愿意开口朗读课文，所以复述课文便尚有难度，对于这一部分学生的学习成绩的提高还有待研究。

23.2.2 一元二次方程的解法（2）课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、配方法：任何一个形如bx x +2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解0762=++x x 时，可把方程化为762-=+x x ，222267266⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x ，即()232=+x ，从而得解．注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1；(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．2、用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把方程变为一般形式，并且要使二次项系数为1；②把常数项移到方程的右边；③方程的两边同时加上一次项系数一半的平方；④把原方程转化为()()02≥=+b b a x 的形式；⑤用直接开平方法解方程.3、对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，将c b a ,,代入式子aac b b x 242-±-=中，就可得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式.4、公式法：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根是由方程的系数c b a ,,确定的，在042≥-ac b 的前提下，aac b b x 242-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即()002≠=++a c bx ax 的形式；②正确地确定方程各项的系数c b a ,,的值(要注意它们的符号)；③计算042<-ac b 时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将c b a ,,的值代入求根公式，求出方程的两个根．注意：像直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法，解题时要根据方程的特征灵活选用方法．5、一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac b 42-的值来确定．因此ac b 42-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根；△＝0⇔方程有两个相等的实数根；△<0⇔方程没有实数根．注意判别式的应用：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：用配方法解一元二次方程例1、用适当的方法解24830x x ++=．【解题思路】根据方程的特点用配方法解题较有优势．【解】因为2483x x ++234(2)4x x =++234(211)4x x =++-+24(1)1x =+-，所以211(1)142x x +=+=，或112x +=-．所以121322x x =-=-，． 【方法归纳】用配方法解一元二次方程的一般思路是：一元二次方程−−−→配方转化成2()(00)ax b c a c +=≠，≥，−−−→开平方转化成两个一元一次方程. 类型二：一元二次方程的求根公式例2、用配方法推导关于x 的一元二次方程()04022≥-=++q p q px x 的求根公式.【解题思路】按照配方法的步骤进行即可.注意左边配成完全平方式后，需保证右边为非负数，才能运用直接开平方法求出方程的根.【解】移项，得：q px x -=+2，配方，得22222⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++p q p px x ，即44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. ∵042≥-q p ，∴0442≥-q p ，∴24,24222qp p x q p px -±-=-±=+.故2421qp p x -+-=，2422q p p x ---=. 【方法归纳】推导求根公式时，特别给出条件042≥-q p ，这一条件是根据22⎪⎭⎫ ⎝⎛+p x 非负而产生的，如果042<-q p ，那么就有22⎪⎭⎫ ⎝⎛+p x ＜0，这在实数范围内是不可能的，因此约定042≥-q p .类型三：用公式法解一元二次方程例3、解关于x 的方程()02322=-+--n n m x m x .【解题思路】先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定042≥-ac b 的情况下，利用公式法求解．【解】把原方程左边展开，整理，得()023222=--+-n mn m mx x ，∵222.3,1n mn m c m b a --=-==，∴()()()022143422222≥+=--⨯⨯--=-n m n mn m m ac b∴()2232n m m x +±=，∴n m x n m x -=+=21,2．【方法归纳】解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．类型四：阅读理解题例4、阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：1x +2x ＝－b a ，1x ⋅2x ＝ca.根据该材料填空：已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则21x x +12x x 的值为 ． 【解题思路】题中直接给出了一元二次方程根与系数的关系,并要求利用此结论求所给代数式的值.可先将所给代数式变形为两根之和与两根之积相关的式子,再结合方程求出两根的和与积,代入变形后的式子即可.【解】由根与系数的关系得,621-=+x x 321=⋅x x ,∴10332)6(2)(221212212122212112=⨯--=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x . 【方法归纳】本题通过介绍新知识“根与系数”的关系，并要求同学们运用提供的新知识解决新问题.考查了学生对知识的理解水平，应用和知识迁移能力. 类型五：新定义型题例5、定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）. A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==【解题思路】按照题目定义的方程满足的条件和方程有两个相等的实数根，可得到a 、b 、c 的关系式，将所得式子整理、化简即可求出结果.【解】由20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，得0a b c ++=①，再由方程有两相等的实数根，得240b ac -=②.由①得()b a c =-+③，将③代入②，得2[()]40a c ac -+-=，整理，得2()0a c -=，所以0a c -=，故应选A.类型六：判断一元二次方程根的情况例6、关于x 的一元二次方程0)2(2=-+-m mx x 的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定 【解题思路】因为2,,1-=-==m c m b a ，所以()()()0422144222≥+-=-⨯⨯--=-m m m ac b ，所以该方程有两个不相等的实数根.【解】选A. 易错警示例7、已知关于x 的方程0m x )1m 2(mx 2=++-有两个实数根，则m 的取值范围是__________．【错解】要使方程有两个实数根△≥0，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-，4m ＋1≥0，41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥．【错因分析】要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m ≠0，而上述解法只考虑△≥0，而忽视了m ≠0．【正解】要使方程有两个实数根，需满足⎩⎨⎧≥∆≠00m ，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-=∆，4m ＋1≥0，41m -≥． ∴m 的取值范围是41m -≥，且m ≠0．例8、0)2(2=-+x x【错解】x x =+2)2(，x x ±=+2，∴ x x xx --=+-=2221【错因分析】把未知数与常数混淆.【正解】原方程整理为：043=++x x ，∵ 4,3,1===c b a ，∴4143422⨯⨯-=-ac b 169-=07<-=，∴ 原方程无实数根.。

华师大版九年级（上）第二十三章《一元二次方程》第二节23.2 一元二次方程的解法-4(因式分解法) 教案【三维教学目标】知识与技能：通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题。

过程与方法：①引导（教师指出学习目标）②学生自学③分组交流、探究④展示（探究结果）⑤教师点评（探究结果最终确认与知识、能力的提升）情感态度与价值观：经历知识产生的过程，探索新知识。

教学重点：用因式分解法解一元二次方程。

教学难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便。

【课堂导入】学生活动：解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上（14）2，同时减去（14）2．（2）直接用公式求解。

【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。

B交流：例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，•另一边为0的形式。

解：（1）移项，得：4x2-11x=0因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0x1=0，x2=11 4（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=4例2．已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．分析：要求22a b a bb a ab+--的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误．解：原式=22222 a b a b bab a ---=-∵9a2-4b2=0∴（3a+2b）（3a-2b）=0 3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b当a=-23b时，原式=-223bb-=3当a=23b时，原式=-3．C探究：例3．我们知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0分析：二次三项式x2-（a+b）x+ab的最大特点是x2项是由x·x而成，常数项ab是由-a·（-b）而成的，而一次项是由-a·x+（-b·x）交叉相乘而成的．根据上面的分析，•我们可以对上面的三题分解因式．解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0或x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0或x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0或x-1=0∴x1=-5，x2=1上面这种方法，我们把它称为十字相乘法．【课堂作业】1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．4．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0（3）x2-12x-28=0 （4）x2-12x+35=05．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．《作业答案与解析》1．x（x-5），（x-3）（2x-5）2．x1=12，x2=13．（x+12）（x+8），x1=-12，x2=-8 4．（1）3y（y-2）=0，y1=0，y0=2（2）（5y）2-42=0 （5y+4）（5y-4）=0，y1=-45，y2=45（3）（x-14）（x+2）=0 x1=14，x2=-2（4）（x-7）（x-5）=0 x1=7，x2=55．x+y=0或x+y-1=0，即x+y=0或x+y=1【教学反思】（1）用因式分解法，即用提取公因式法、乘法公式法、•十字相乘法等解一元二次方程要注意提醒学生整体法思想的应用，提出的的公因式，乘法公式法中的a、b，十字相乘法中的a、b不仅可以代表一个数或字母，而且还可以代表一个多项式。

华师大版九年级（上）《第二十三章·一元二次方程》第二节23.2一元二次方程的解法-2（配方法A）教案【三维教学目标】知识与技能：掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。

过程与方法：引导-自学-探究-交流-展示（探究结果确立与班级内分享）情感态度与价值观：在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能。

教学重点：“直接降次有困难，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤。

教学难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧。

【课堂导入】学生活动：请同学们解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老师点评：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=或mx+n=p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2【教学过程】A自学：请同学们用10---15分钟时间自学教科书上本节内容。

B交流：例1：解下列方程：（1）2x＋2x＝5；（2）2x－4x＋3＝0.思考能否经过适当变形，将它们转化为（ mx+n ）2= p 的形式，应用直接开方法求解？解（1）原方程化为2x＋2x＋1＝6，（方程两边同时加上1）_____________________,_____________________, （由学生板书完成）_____________________.（2）原方程化为2x－4x＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）_____________________,_____________________, （由学生板书完成）_____________________.归纳：上面，我们把方程2x－4x＋3＝0变形为（x-2）2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.我们注意到：配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。

22．2.4 一元二次方程根的判别式1．能运用根的判别式,判断方程根的情况和进行有关的推理论证．2．会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围．重点根的判别式的正确理解与应用．难点含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用．一、情境引入教师多媒体展示,回顾已有知识．用公式法解下列一元二次方程:(1)x 2＋5x ＋6＝0；(2)9x 2－6x ＋1＝0；(3)x 2－2x ＋3＝0.解:(1)x 1＝－2,x 2＝－3；(2)x 1＝x 2＝13； (3)无解．二、探究新知教师课件展示,提出问题,引导学生解决问题．观察解题过程,可以发现:在把系数代入求根公式之前,需先确定a,b,c 的值,然后求出b 2－4ac 的值,它能决定方程是否有解,我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,即Δ＝b 2－4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现:(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2. 【归纳结论】(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ,x 2＝－b －b 2－4ac 2a； (2)当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根:x 1＝x 2＝－b 2a； (3)当Δ<0时,方程没有实数根． 例1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况:(1)2x 2－3x －32＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42＋9＝0; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.解:(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根．三、练习巩固教师多媒体展示问题,引导学生灵活运用知识,学生小组内交流．1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．有一个实数根D．没有实数根2．已知x2＋2x＝m－1没有实数根,求证:x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．四、小结与作业小结1．用判别式判定一元二次方程根的情况:(1)Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)Δ＝0时,一元二次方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0时,一元二次方程无实数根．2．运用根的判别式解决具体问题时,要注意二次项系数不为0这一隐含条件．布置作业从教材相应练习和“习题22.2”中选取．本课时创设情境,启发引导,让学生充分感受理解知识的产生和发展过程,在教师适时点拨下,学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索,发现数学规律,培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力．。

一元二次方程的几何解法一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是数学与几何联系紧密的部分。

在几何上，一元二次方程的解对应着图像与坐标系的交点，通过几何解法可以更直观地理解方程的意义和解的含义。

一元二次方程的一般形式为：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数，且a≠0。

我们以一个具体的例子来说明几何解法的思路。

假设我们有一个一元二次方程x^2-3x+2=0。

首先，我们可以将方程转化为标准形式，即(x-1)(x-2)=0。

这意味着方程的解为x=1和x=2，我们可以通过几何解法来验证这一点。

我们可以将方程绘制成一个二次曲线，即抛物线。

在坐标系中，将x轴表示为横轴，将y轴表示为纵轴。

对于方程x^2-3x+2=0，我们可以通过计算得出对应的抛物线的顶点坐标为(3/2,-1/4)。

接下来，我们可以在坐标系上画出抛物线的图像。

通过几何解法，我们可以看到抛物线与x轴有两个交点，即x=1和x=2，这与方程的解是一致的。

通过这个例子，我们可以看到几何解法的优势。

相比于代数解法，几何解法更直观，更容易理解。

我们可以通过绘制图像来观察方程的解的位置和性质，从而更好地理解方程的意义。

除了绘制抛物线，几何解法还可以利用图形的对称性质来求解一元二次方程。

例如，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以将其转化为(x-2)^2=0的形式。

这意味着方程的解为x=2，我们可以通过几何解法来验证这一点。

同样地，在坐标系中，我们可以将方程对应的抛物线绘制出来。

通过观察，我们可以发现抛物线在x=2的位置有一个顶点，这与方程的解是一致的。

通过这个例子，我们可以看到几何解法在观察方程的对称性质时的优势。

通过绘制图像，我们可以更容易地观察到抛物线的顶点位置，从而得到方程的解。

总结起来，一元二次方程的几何解法是一种更直观、更易于理解的解方程的方法。

通过绘制抛物线的图像，我们可以观察方程的解的位置和性质，从而更好地理解方程的意义。

同时，通过观察抛物线的对称性质，我们可以更容易地得到方程的解。